§99 函数图象总述及描点法作图
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y=sinx的图象
y=cosx的图象
y=tanx的图象
世上本无路 走的人多了 便有了路 三角运算公式关联图
半角
作用和差 化积升幂来自积化 和差降幂 万能 平方 关系 倒数 关系 商数 关系
一角二名三结构 和差倍半是变角 基本诱导是变名 辅助升降变结构
倍角
同角
基本 关系
辅助角
异角
加法 公式
诱导
三角式的定义
2
（两弦式） （余弦式） （正弦式）
1 - 2sin □ 2 tan□ tan 2□ 2 1 - tan □
2
2.作用：
变角变名变结构
三倍角公式
sin 3□ 3 sin □ - 4sin □
3
cos 3□ 4 cos □ - 3cos□
3
cos 2□ cos □ - sin □
2
（降幂公式）
注1.余弦倍角1变6 同+异-三个2 注2.降幂公式两端同时开方，即得半角公式
辅助角公式
1. a sin □ bcos□ a 2 b 2 sin( □ ) b （其中 tan ，Φ 与点(a,b)同象限） a 注1.使用前提是同角 少式多角成和谐 注2.a，b的确定方法： ① asin□与bcos□之间是“+”连接 ② a,b分别是sin□与cos□的系数 (a,b) 注3.辅助角φ 的确定方法： φ 方法甚多凭爱好 数形结合两限制 O 点定终边辅助角 正余系数为坐标 2. a sin □ bcos□ a 2 b 2 cos(□ ) 注.与正相反是余弦 纵横相反+变-
y=secx的图象
y=cscx的图象
练习1.画出函数y =sinx,y =cosx及y =tanx的草图 先画图象后画轴 头为负比尾加T
下降平衡点 下降 平衡点
y=sinx的图象
下降平衡点 下降平衡点 最高点
最高点
最高点
最高点
最低点
最低点
最低点
最低点
上升 平衡点
上升 平衡点
上升 平衡点
上升平衡点
诱导公式——分公式（共9组） （2）奇偶性公式
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
注：正弦函数 y =sinx 是奇函数 余弦函数 y =cosx 是偶函数
正切函数 y =tanx 是奇函数
(3)补角公式
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
二、三角函数的概念及图象 1.概念
形如 y =sinx的函数称为正弦函数 形如 y =cosx的函数称为余弦函数 形如 y =tanx的函数称为正切函数
2.图象
y=sinx， y=cosx及y=tanx的图象要做到“胸有成竹”
y=sinx的图象
y=cosx的图象
y=tanx的图象
y=cotx的图象
同角基本关系式
1.公式： ①平方关系 ②商数关系 ③倒数关系
sinx
cosx
sin 2 cos 2 1 sin tan tanx cos
1
cotx
tan cot 1
secx
cscx
2.作用： 变名变结构
注：经典题型：同角两弦的和差商积……是“知一有 n” 桥梁： (sin x cos x) 2 1 2 sin x cos x 1 sin 2 x
sin □○ sin □cos○ cos□sin ○ cos□○ cos□cos○ sin □sin ○
tan□ tan○ tan □○ 1 tan□tan ○
2.作用：
变角变名变结构
倍角公式
1.公式：
sin 2□ 2 sin □cos□
2 2
cos 2□ cos □ - sin □ 2 cos □- 1
诱导公式——分公式（共9组） （1）周期性公式
k
sin( k ) (1) sin( )
k
cos(k ) (1) cos( ) tan( k ) tan( )
注：函数 y =Asin(ω x+φ )的最小正周期 T
2
2 函数 y =Acos(ω x+φ )的最小正周期 T 函数 y =Atan(ω x+φ )的最小正周期 T
x )的草图 2 3
作业：
1.方程 cosx= x 的实根个数为 5 2.画出下列函数在长度为一个周期的区间上的简图 ① y sin(
3
2 x) 1
② y 2 cos( 2 x
3
) 1
③
y tan(
x ) 4 3
预习：单式变换法作图
y=sinx的图象
2
3 2
y 1
2
先画图象后画轴
头为负比尾加T
y=cosx的图象
y 1
2
3 2
2
y=tanx的图象
2
练习2.方程 lgx = cosx的实根个数为
3个
(10,1)
练习3.以点代线是小作
(1).（2013年四川）函数 y
x 【C 】 的图象大致为 3x 1
§99 函数图象总述及描点法作图
一、函数图象总述
(一)用图、识图与作图密不可分： (二)作图的方法:
1.描点法 作图基础描点法 和谐函数五点法 2.变换法 以点代线是小作 四点三线绝对值
(1).单式变换法： ①平移 ②伸缩 ③对称 ④翻折 ⑤旋转 (2).复式变换法：①双重变换法 ②多重变换法
二、三角函数的概念及图象 三、五点法画和谐函数的图象
θ (x0,y0)
P(x,y)
r
x x0 r cos (为参数 ) y y0 r sin
特殊角的函数值
弧度 角度 sinx cosx tanx
0
6
1 2
3 2 3 3
4
2 2 2 2
3
3 2
2
900 1 0 ±∞
0 -1 0
3 2
2
3600 0 1 0 370
X
a （其中 tan ， Φ 与点(b,a)同象限） b
一、函数图象总述
(一)用图、识图与画图密不可分： 两域五性反导数 ①用图是目的：利用图象解题 上大下小中为根 ②识图是关键：获取图中信息 基本函数要熟知 ③作图是基础：根据条件作图 描点变换是陌生
注1.函数总论： 三求一画 基本函数 注2.基本函数: ⑴常值函数 ⑵正比函数 ⑸一次函数 ⑹二次函数 ⑼对数函数 ⑽指数函数 反复讨论 一十有二 ⑶反比函数 ⑷对号函数 ⑺三次函数 ⑻幂函数 (11)三角函数 (12)绝对值函数
2 2
（两弦式） （余弦式） （正弦式）
①
②
cos 2□ 2 cos □- 1
2
□ ③ 1 cos□ 2cos 2 2 □ ④ 1 cos□ 2sin 2
2
cos 2□ 1 - 2sin □
2
（升幂公式）
1 - cos 2□ ⑤ sin □ 2 1 cos 2□ 2 ⑥ cos □ 2
三角概述
三角函数 三角方程 1.四个三：
三角不等式
三 角 式
五点做图象 “代 表”+kT 一角二名三结构 和差倍半是变角 基本诱导是变名 辅助升降变结构
2.解三角形：正余弦定理 知三有三 a b c b2 c2 a2 2R cos A 2bc sin A sin B sin C
a 2 b 2 c 2 2bc cos A b 2 a 2 c 2 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
a2 c2 b2 cos B 2ac a2 b2 c2 cos C 2ab
三角式的坐标定义法
y
o
纵 坐 标 sin ﹒Px, y 距 离 横 坐 标 cos 距 离 ﹒ x 纵 坐 标 M tan 横 坐 标 圆的参数方程
3
(2).（2013年山东）函数 y x cos x sin x 的图象大致为
解析：奇偶性+以点代线，可秒杀
【D】
三、五点法画和谐函数的图象
1.概念 形如 y =Asin(ω x+φ )的函数称为正弦式和谐函数 形如 y =Acos(ω x+φ )的函数称为余弦式和谐函数 形如 y =Atan(ω x+φ )的函数称为？？？函数 2.画法 ①周期五点法 先画图象后画轴 头为负比尾加T
一、函数图象总述
(一)用图、识图与画图密不可分： (二)作图的方法:
1.描点法 作图基础描点法 和谐函数五点法 2.变换法 以点代线是小作 四点三线绝对值
(1).单式变换法： ①平移 ②伸缩 ③对称 ④翻折 ⑤旋转 (2).复式变换法：①双重变换法 ②多重变换法
(1).单式变换法： ①平移 (1)横向(2)纵向(3)周期性(4)向量 ②伸缩 (5)横向(6)纵向 ③对称 (7)奇偶性及其推广（原点，y轴„） (8)x轴 (9)反函数 y=x ④翻折 (10)横向(11)纵向 ⑤旋转 (12) 极坐标 注1：＋－平移×伸缩 变号变位为对称 横横纵纵绝对翻 运算主体纯字母 注2：自对称与互对称 注3：同号周期性 异号对称性 适当取O 左加右减 若f(m+x)=±f(n+x),则f(x)具有周期性…… 若f(m+x)=±f(n-x),则f(x)具有对称性……
注3.尾加T：
弦式
x5 x1 T
注4.正弦式： 当A＞0,ω ＞0时，y1=y3=y5=B，y2=B+A，y4=B-A 注5.y轴的位置：找到原点O即可
练习4.五点法作和谐函数的图象 ①课本P：70 A组 Ex16
②课本P：58
③课本P：44 画出函数 y
A组
例6
Ex2（4）
tan(
3 5 4 5 3 4
00 300 0 1 0
450 600
1800 2700 -1 0 ±∞
1 2
3
1
1≈57.30≈57018l≈600
三角式的符号
法1.有图就有一切 上大下小中为0 法2.一全二正 三切四余 法3.记忆图 法4.定义法
sinx
法5.单位圆
tanx
cosx
法1.有图就有一切 上大下小中为0
(4)余角公式
同名补角正弦等
同名补角其他反
sin(
2
) cos
互余异名值相等
cos( ) sin 2 tan( ) cot 2
诱导公式——总公式
符号看象限 奇变偶不变
k f ( ) f ( ) f ( ) 2
和角与差角公式(加法公式) 1.公式：
②单位圆五点法、代数五点法……
周期五点法：
先画图象后画轴
注1.“头”的含义
当 Aω ＞0时，“头”是距原点最近的上升平衡点 ①正弦式：
当 Aω ＜0时，“头”是距原点最近的下降平衡点
头为负比尾加T
当 A＞0时，“头”是距原点最近的最高点 ②余弦式： 当 A＜0时，“头”是距原点最近的最低点
③正切式： “头”是距原点最近的平衡点 注2.头为负比： x1
y=cosx的图象
y=tanx的图象
世上本无路 走的人多了 便有了路 三角运算公式关联图
半角
作用和差 化积升幂来自积化 和差降幂 万能 平方 关系 倒数 关系 商数 关系
一角二名三结构 和差倍半是变角 基本诱导是变名 辅助升降变结构
倍角
同角
基本 关系
辅助角
异角
加法 公式
诱导
三角式的定义
2
（两弦式） （余弦式） （正弦式）
1 - 2sin □ 2 tan□ tan 2□ 2 1 - tan □
2
2.作用：
变角变名变结构
三倍角公式
sin 3□ 3 sin □ - 4sin □
3
cos 3□ 4 cos □ - 3cos□
3
cos 2□ cos □ - sin □
2
（降幂公式）
注1.余弦倍角1变6 同+异-三个2 注2.降幂公式两端同时开方，即得半角公式
辅助角公式
1. a sin □ bcos□ a 2 b 2 sin( □ ) b （其中 tan ，Φ 与点(a,b)同象限） a 注1.使用前提是同角 少式多角成和谐 注2.a，b的确定方法： ① asin□与bcos□之间是“+”连接 ② a,b分别是sin□与cos□的系数 (a,b) 注3.辅助角φ 的确定方法： φ 方法甚多凭爱好 数形结合两限制 O 点定终边辅助角 正余系数为坐标 2. a sin □ bcos□ a 2 b 2 cos(□ ) 注.与正相反是余弦 纵横相反+变-
y=secx的图象
y=cscx的图象
练习1.画出函数y =sinx,y =cosx及y =tanx的草图 先画图象后画轴 头为负比尾加T
下降平衡点 下降 平衡点
y=sinx的图象
下降平衡点 下降平衡点 最高点
最高点
最高点
最高点
最低点
最低点
最低点
最低点
上升 平衡点
上升 平衡点
上升 平衡点
上升平衡点
诱导公式——分公式（共9组） （2）奇偶性公式
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
注：正弦函数 y =sinx 是奇函数 余弦函数 y =cosx 是偶函数
正切函数 y =tanx 是奇函数
(3)补角公式
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
二、三角函数的概念及图象 1.概念
形如 y =sinx的函数称为正弦函数 形如 y =cosx的函数称为余弦函数 形如 y =tanx的函数称为正切函数
2.图象
y=sinx， y=cosx及y=tanx的图象要做到“胸有成竹”
y=sinx的图象
y=cosx的图象
y=tanx的图象
y=cotx的图象
同角基本关系式
1.公式： ①平方关系 ②商数关系 ③倒数关系
sinx
cosx
sin 2 cos 2 1 sin tan tanx cos
1
cotx
tan cot 1
secx
cscx
2.作用： 变名变结构
注：经典题型：同角两弦的和差商积……是“知一有 n” 桥梁： (sin x cos x) 2 1 2 sin x cos x 1 sin 2 x
sin □○ sin □cos○ cos□sin ○ cos□○ cos□cos○ sin □sin ○
tan□ tan○ tan □○ 1 tan□tan ○
2.作用：
变角变名变结构
倍角公式
1.公式：
sin 2□ 2 sin □cos□
2 2
cos 2□ cos □ - sin □ 2 cos □- 1
诱导公式——分公式（共9组） （1）周期性公式
k
sin( k ) (1) sin( )
k
cos(k ) (1) cos( ) tan( k ) tan( )
注：函数 y =Asin(ω x+φ )的最小正周期 T
2
2 函数 y =Acos(ω x+φ )的最小正周期 T 函数 y =Atan(ω x+φ )的最小正周期 T
x )的草图 2 3
作业：
1.方程 cosx= x 的实根个数为 5 2.画出下列函数在长度为一个周期的区间上的简图 ① y sin(
3
2 x) 1
② y 2 cos( 2 x
3
) 1
③
y tan(
x ) 4 3
预习：单式变换法作图
y=sinx的图象
2
3 2
y 1
2
先画图象后画轴
头为负比尾加T
y=cosx的图象
y 1
2
3 2
2
y=tanx的图象
2
练习2.方程 lgx = cosx的实根个数为
3个
(10,1)
练习3.以点代线是小作
(1).（2013年四川）函数 y
x 【C 】 的图象大致为 3x 1
§99 函数图象总述及描点法作图
一、函数图象总述
(一)用图、识图与作图密不可分： (二)作图的方法:
1.描点法 作图基础描点法 和谐函数五点法 2.变换法 以点代线是小作 四点三线绝对值
(1).单式变换法： ①平移 ②伸缩 ③对称 ④翻折 ⑤旋转 (2).复式变换法：①双重变换法 ②多重变换法
二、三角函数的概念及图象 三、五点法画和谐函数的图象
θ (x0,y0)
P(x,y)
r
x x0 r cos (为参数 ) y y0 r sin
特殊角的函数值
弧度 角度 sinx cosx tanx
0
6
1 2
3 2 3 3
4
2 2 2 2
3
3 2
2
900 1 0 ±∞
0 -1 0
3 2
2
3600 0 1 0 370
X
a （其中 tan ， Φ 与点(b,a)同象限） b
一、函数图象总述
(一)用图、识图与画图密不可分： 两域五性反导数 ①用图是目的：利用图象解题 上大下小中为根 ②识图是关键：获取图中信息 基本函数要熟知 ③作图是基础：根据条件作图 描点变换是陌生
注1.函数总论： 三求一画 基本函数 注2.基本函数: ⑴常值函数 ⑵正比函数 ⑸一次函数 ⑹二次函数 ⑼对数函数 ⑽指数函数 反复讨论 一十有二 ⑶反比函数 ⑷对号函数 ⑺三次函数 ⑻幂函数 (11)三角函数 (12)绝对值函数
2 2
（两弦式） （余弦式） （正弦式）
①
②
cos 2□ 2 cos □- 1
2
□ ③ 1 cos□ 2cos 2 2 □ ④ 1 cos□ 2sin 2
2
cos 2□ 1 - 2sin □
2
（升幂公式）
1 - cos 2□ ⑤ sin □ 2 1 cos 2□ 2 ⑥ cos □ 2
三角概述
三角函数 三角方程 1.四个三：
三角不等式
三 角 式
五点做图象 “代 表”+kT 一角二名三结构 和差倍半是变角 基本诱导是变名 辅助升降变结构
2.解三角形：正余弦定理 知三有三 a b c b2 c2 a2 2R cos A 2bc sin A sin B sin C
a 2 b 2 c 2 2bc cos A b 2 a 2 c 2 2ac cos B 2 2 2 c a b 2ab cos C
a2 c2 b2 cos B 2ac a2 b2 c2 cos C 2ab
三角式的坐标定义法
y
o
纵 坐 标 sin ﹒Px, y 距 离 横 坐 标 cos 距 离 ﹒ x 纵 坐 标 M tan 横 坐 标 圆的参数方程
3
(2).（2013年山东）函数 y x cos x sin x 的图象大致为
解析：奇偶性+以点代线，可秒杀
【D】
三、五点法画和谐函数的图象
1.概念 形如 y =Asin(ω x+φ )的函数称为正弦式和谐函数 形如 y =Acos(ω x+φ )的函数称为余弦式和谐函数 形如 y =Atan(ω x+φ )的函数称为？？？函数 2.画法 ①周期五点法 先画图象后画轴 头为负比尾加T
一、函数图象总述
(一)用图、识图与画图密不可分： (二)作图的方法:
1.描点法 作图基础描点法 和谐函数五点法 2.变换法 以点代线是小作 四点三线绝对值
(1).单式变换法： ①平移 ②伸缩 ③对称 ④翻折 ⑤旋转 (2).复式变换法：①双重变换法 ②多重变换法
(1).单式变换法： ①平移 (1)横向(2)纵向(3)周期性(4)向量 ②伸缩 (5)横向(6)纵向 ③对称 (7)奇偶性及其推广（原点，y轴„） (8)x轴 (9)反函数 y=x ④翻折 (10)横向(11)纵向 ⑤旋转 (12) 极坐标 注1：＋－平移×伸缩 变号变位为对称 横横纵纵绝对翻 运算主体纯字母 注2：自对称与互对称 注3：同号周期性 异号对称性 适当取O 左加右减 若f(m+x)=±f(n+x),则f(x)具有周期性…… 若f(m+x)=±f(n-x),则f(x)具有对称性……
注3.尾加T：
弦式
x5 x1 T
注4.正弦式： 当A＞0,ω ＞0时，y1=y3=y5=B，y2=B+A，y4=B-A 注5.y轴的位置：找到原点O即可
练习4.五点法作和谐函数的图象 ①课本P：70 A组 Ex16
②课本P：58
③课本P：44 画出函数 y
A组
例6
Ex2（4）
tan(
3 5 4 5 3 4
00 300 0 1 0
450 600
1800 2700 -1 0 ±∞
1 2
3
1
1≈57.30≈57018l≈600
三角式的符号
法1.有图就有一切 上大下小中为0 法2.一全二正 三切四余 法3.记忆图 法4.定义法
sinx
法5.单位圆
tanx
cosx
法1.有图就有一切 上大下小中为0
(4)余角公式
同名补角正弦等
同名补角其他反
sin(
2
) cos
互余异名值相等
cos( ) sin 2 tan( ) cot 2
诱导公式——总公式
符号看象限 奇变偶不变
k f ( ) f ( ) f ( ) 2
和角与差角公式(加法公式) 1.公式：
②单位圆五点法、代数五点法……
周期五点法：
先画图象后画轴
注1.“头”的含义
当 Aω ＞0时，“头”是距原点最近的上升平衡点 ①正弦式：
当 Aω ＜0时，“头”是距原点最近的下降平衡点
头为负比尾加T
当 A＞0时，“头”是距原点最近的最高点 ②余弦式： 当 A＜0时，“头”是距原点最近的最低点
③正切式： “头”是距原点最近的平衡点 注2.头为负比： x1