固体物理学答案(朱建国版)

固体物理学·习题指导配合《固体物理学（朱建国等编著）》使用

2022年4月24日

第1章晶体结构 (1)

第2章晶体的结合 (12)

第3章晶格振动和晶体的热学性质 (20)

第4章晶体缺陷 (33)

第5章金属电子论 (37)

第1章 晶体结构

1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于 多少？

答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ： 对于面心立方，处于 面心的原子与顶角原子的距离为：R f =

22

a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R

b =

32

a 那么，

Rf Rb =23a

a

=63

1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，

a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？

答：晶面族（123）截a 1,a 2,a 3分别为1,2,3等份，ABC 面是离原点O 最近的晶面，OA 的长度等于a 1的长度，OB 的长度等于a 2长度的1/2，OC 的长度等于a 3长度的1/3，所以只有A 点是格点。若ABC 面的指数为（234）的晶面族，则A 、B 和C 都不是格点。 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。

答：二维布拉维点阵只有五种类型，两晶轴b a 、，夹角ϕ，如下表所示。 序号 晶系 基矢长度与夹角

关系 布拉维晶胞类型 所属点群 1 斜方 任意2

,π

ϕ≠

b a 、

简单斜方（图中1所示） 1，2 2 正方 2,π

ϕ=

=b a

简单正方（图中2所示） 4，4mm 3 六角 32,π

ϕ==b a

简单六角（图中3所示） 3，3m ，6，6mm 4

长方

2

,π

ϕ=

≠b a

简单长方（图中4所示） 有心长方（图中5所示）

1mm ，2mm

1 简单斜方

2 简单正方

3 简单六角

4 简单长方

5 有心长方 二维布拉维点阵

1.4 在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil ）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a 1，a 2，a 3上的截距a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，第四个指数表示该晶面的六重轴c 上的截距c/l.证明：i=-（h+k ） 并将下列用（hkl ）表示的晶面改用（hkil ）表示：（001）(133)(110)(323)（100）

（010）(213) 答：证明

设晶面族（hkil ）的晶面间距为d ，晶面法线方向的单位矢量为n °。因为晶面族（hkil ）中最靠近原点的晶面ABC 在a 1、a 2、a 3轴上的截距分别为a 1/h ，a 2/k ，a 3/i ，因此

123o o o a n hd

a n kd a n id

=== ……… (1) 由于a 3=–（a 1+ a 2）

313()o o a n a a n =-+

把（1）式的关系代入，即得

()id hd kd =-+ ()i h k =-+

根据上面的证明，可以转换晶面族为

（001）→（0001），(133)→(1323)，(110)→(1100)，(323)→(3213)，（100）→(1010)，（010）→(0110)，(213)→(2133)

1.5 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（1）简立方：

6

π

（23π32π（42π（5）金刚石：

3π

。 答：令Z 表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni 是位于晶胞内的球数，Nf 是在晶胞面上的球数，Ne 是在晶胞棱上的球数，Nc 是在晶胞角隅上的球数。于是有：

111248

i f e c Z N N N N =+

++

边长为a 的立方晶胞中堆积比率为

3

34*3r F Z a

π=

假设硬球的半径都为r ，占据的最大面积与总体积之比为θ，依据题意 （1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r ，那么：

θ= 33

4/3(2)

r r π= 6π （2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r

，那么： θ

= 3

= （3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为4r

，则其边长为r ，那么：

θ

= 3

= 6

（4）对于六方密堆积

一个晶胞有两个原子，其坐标为（000）（1/3，2/3，1/2），在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为a=2r ，因此

θ

342()

r π⨯

=6 （5）对于金刚石结构

Z=8 8r =

那么33

344*8(338

r F Z a ππ==⨯⨯

=16.

1.6 有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以nm 为单位）a=3i ，b=3j ，c=1.5（i+j+k ），

此处i ，j ，k 为笛卡儿坐标系中x ，y ，z 方向的单位失量.问： （1）这种晶格属于哪种布拉维格子？

（2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？ 答：（1）因为a=3i ，b=3j ，而c=1.5（i+j+k ）=1/2（3i+3j+3k ）=1/2（a+b+c ′）式中c ′=3c 。

显然，a 、b 、c ′构成一个边长为3*10-10m 的立方晶胞，基矢c 正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。

（2）晶胞的体积= c (a b)'⨯= 3k (3i 3j)⨯=27*10-30(m 3) 原胞的体积=c (a b)⨯=

1

(333)(33)2

i j k i j +++=13.5*10-30(m 3) 1.7

六方晶胞的基失为：2a a ai j =

+

，2

a b j =+，c ck =