用有限体积方法求解欧拉方程
有限体积法介绍
有限体积法介绍有限体积法1 有限体积法基本原理上⼀章讲到的有限差分法将数值⽹格的节点上定义为计算节点，并在⽹格节点上对微分形式的流体基本⽅程进⾏离散，⽤⽹格节点上的物理量的代数⽅程作为原PDE 的近似。
在本章所要学习的有限体积法则采⽤了不同的离散形式。
⾸先，有限体积法离散的是积分形式的流体⼒学基本⽅程：d q ds ds SSΩΩ+??Γ=?φφρφn n v(1)计算域⽤数值⽹格划分成若⼲⼩控制体。
和有限差分法不同的是，有限体积法的⽹格定义了控制体的边界，⽽不是计算节点。
有限体积法的计算节点定义在⼩控制体内部。
⼀般有限体积法的计算节点有两种定义⽅法，⼀种是将⽹格节点定义在控制体的中⼼，另⼀种⽅法中，相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。
第⼀种⽅法的优点在于⽤计算节点的值作为控制体上物理量的平均值具有⼆阶的精度；第⼆种⽅法的好处是在控制体边界上的中⼼差分格式具有较⾼的精度。
积分形式的守恒⽅程在⼩控制体和计算域上都是成⽴的。
为了获得每⼀个控制体上的代数⽅程，⾯积分和体积分需要⽤求⾯积公式来近似。
2 ⾯积分的近似采⽤结构化⽹格，在⼆维情况下，每⼀个控制体有4个⾯，⼆维情况，每⼀个控制体有6个表⾯。
计算节点⽤⼤写字母表⽰，控制体边界和节点⽤⼩写字母表⽰。
为了保证守恒性，控制体不能重叠，每⼀个⾯都是相邻两个控制体的唯⼀公共边界。
控制体边界上的积分等于控制体个表⾯的积分的和：∑??=kkfds fdS(2)上式中，f 可以表⽰n u ρφ或nΓφ。
显然，为了获得边界上的积分，必须知道f 在边界上的详细分布情况，这是不可能实现的，由于只是计算节点上的函数值，因此必须采⽤近似的⽅法来计算积分。
整个近似过程分成两步第⼀步：⽤边界上⼏个点的近似积分公式第⼆步：边界点上的函数值⽤计算节点函数值的插值函数近似⾯积分可采⽤以下不同精度的积分公式：⼆阶精度积分：e e e e S e Sf S f fds F e≈==?(3)上式中e f 为边界中点出的函数值。
欧拉公式的证明和应用
数学文化课程报告欧拉公式的证明与应用一.序言------------------------------------------------------------------------2二.欧拉公式的证明--------------------------------------3极限法 --------------------------------------3指数函数定义法-------------------------------4分离变量积分法-------------------------------4复数幂级数展开法-----------------------------4变上限积分法---------------------------------5类比求导法-----------------------------------7三.欧拉公式的应用求高阶导数-----------------------------------7积分计算------------------------------------8高阶线性齐次微分方程的通解------------------9求函数级数展开式----------------------------9三角级数求和函数----------------------------10傅里叶级数的复数形式-------------------------10四.结语------------------------------------------------11参考文献-----------------------------------------------11一．序言欧拉是十八世纪最杰出的最多产的数学家之一[1]，留下了数不胜数的以其名字命名的公式。
本文关注的欧拉公式x i x e ixsin cos +=，在复数域中它把指数函数联系在一起。
应用有限差分法计算二维欧拉方程
应用有限差分法计算二维欧拉方程有限差分法是一种常用的数值计算方法，用于求解偏微分方程。
二维欧拉方程是一类常见的二阶偏微分方程，表示为：∂u/∂t=a(∂²u/∂x²+∂²u/∂y²)其中，u(x,y,t)是待求解的函数，a是常数。
为了使用有限差分法计算二维欧拉方程，我们需要离散化方程中的时间和空间变量。
我们可以将定义域分成n个小区间，将时间区间分成m个小区间，其中n和m可以任意选择，但需要满足数值稳定性要求。
在空间方向上，我们可以将二维区域分成nx × ny个小网格，每个小网格的尺寸为Δx × Δy，其中Δx和Δy是步长。
在时间方向上，我们将整个时间域分成m个时间步长，每个时间步长的尺寸为Δt。
我们可以用u(i,j,k)表示空间坐标(x,y)为(iΔx,jΔy)、时间坐标t 为kΔt的节点处的值。
根据欧拉法的思想，我们可以使用以下差分格式来近似二维欧拉方程：(u(i,j,k+1)-u(i,j,k))/Δt=a((u(i+1,j,k)-2u(i,j,k)+u(i-1,j,k))/Δx²+(u(i,j+1,k)-2u(i,j,k)+u(i,j-1,k))/Δy²)注意到，上式使用中心差分来近似二阶偏导数项。
通过对上述方程进行适当的变换和代数运算，我们可以得到u(i,j,k+1)的计算公式：u(i,j,k+1)=u(i,j,k)+aΔt((u(i+1,j,k)-2u(i,j,k)+u(i-1,j,k))/Δx²+(u(i,j+1,k)-2u(i,j,k)+u(i,j-1,k))/Δy²)通过以上公式，我们可以在每个时间步长上，从已知时刻的u值，计算下一个时刻的u值。
在进行计算前，我们还需要确定边界条件。
边界条件是在方程定义域的边界上给出的额外条件，用于限定问题的解。
常见的边界条件有固定值边界条件、导数值边界条件和周期性边界条件等。
欧拉公式19种证明
欧拉公式19种证明欧拉公式是数学中的一个重要公式，它的表达式为e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)，其中e表示自然对数的底数2.71828…，i表示虚数单位。
欧拉公式有多种证明方法，下面我们将介绍其中19种常见的证明方法。
1. 泰勒级数证明法：利用泰勒级数展开式展开e^(ix)和cos(x)+i*sin(x)，然后将它们相等的系数进行比较，即可得出欧拉公式。
2. 复合函数证明法：将e^(ix)看作复数函数f(x)=e^x，将cos(x)和sin(x)看作f(x)的实部和虚部，则有f(ix)=cos(x)+i*sin(x)，即e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)。
3. 微积分证明法：将欧拉公式两边分别对x求导，得到ie^(ix)=-sin(x)+i*cos(x)，再将其两边同时乘以i，即可得到欧拉公式。
4. 积分证明法：将欧拉公式两边同时积分，得到e^(ix)/i=-sin(x)/i+cos(x)，再将其两边同时乘以i，即可得到欧拉公式。
5. 欧拉级数证明法：将e^(ix)和cos(x)+i*sin(x)的泰勒级数展开式进行对比，即可得到欧拉公式。
6. 幂级数证明法：将e^(ix)和cos(x)+i*sin(x)的幂级数展开式进行对比，即可得到欧拉公式。
7. 矩阵证明法：构造一个2x2矩阵，使其特征值为e^(ix)和e^(-ix)，然后求解该矩阵的本征向量，即可得到欧拉公式。
8. 矩阵幂证明法：将e^(ix)表示为矩阵的形式，然后对该矩阵进行幂运算，即可得到欧拉公式。
9. 极限证明法：将e^(ix)表示为极限的形式，然后通过极限的性质推导出欧拉公式。
10. 解微分方程证明法：将e^(ix)看作微分方程y'=iy的解，并利用欧拉公式将其转化为y=cos(x)+i*sin(x)，即可得到欧拉公式。
11. 解偏微分方程证明法：将e^(ix)看作偏微分方程u_t+iu_x=0的解，并利用欧拉公式将其转化为u=cos(x-t)+i*sin(x-t)，即可得到欧拉公式。
应用有限差分法计算二维欧拉方程
基于非结构网格二维Euler方程的Jameson求解方法姓名：王司文学号：sx摘要本文介绍了基于CFD理论的求解二维可压缩流Euler方程的Jameson中心格式方法。
在空间离散上采用的是有限体积法，时间上采用的是四步显式Runge －Kutta迭代求解。
人工耗散项为守恒变量的二阶和四阶差分项。
边界条件采用的是无反射边界条件，并采用当地时间步长进行加速收敛。
最后对NACA0012翼型划分了三角形，并应用本文程序进行数值模拟，结果较为理想。
关键字：CFD，Jameson中心格式，Euler方程，有限体积法AbstractA method for the numerical solution of the two-dimensional Euler equations has been developed. The cell-centred symmetric finite-volume spatial discretisation is applied in a general formulation. The integration in time, to a steady-state solution, is performed using an explicit, four-stage Runge－Kutta procedure. The artificial dissipation is constructed as a blending of second and fourth differences of the conserved variables. And in the boundary, there is none of the outgoing waves are reflected back into the computational domain. An acceleration technique called local time stepping is used. At last, standard test cases for both subsonic and supersonic flows have been used to validate the method.Key words：CFD, Jameson method,Euler equations, finite-volume第一章引言在工程应用的推动下，计算流体力学随着计算机技术的发展和计算格式的不断更新而迅猛发展。
计算流体力学中的有限体积法 pdf
计算流体力学中的有限体积法 pdf 有限体积法（Finite Volume Method）是计算流体力学中一种常用的数值求解方法，它通过将流域划分为离散的有限体积单元来近似描述流体的宏观守恒方程。
这一方法在许多领域中得到广泛应用，如流体动力学、热传导、质量传递等。
有限体积法通过将流域划分为有限体积单元，将守恒方程应用于每个单元，并通过积分得到方程在单元内的平均值。
在有限体积单元内，流体的宏观守恒方程可以表示为一个线性代数方程组。
通过对方程组进行离散化，可以得到数值解，进一步用于模拟和预测流体力学现象的特性。
在有限体积法中，流域被划分为网格，通常是结构化或非结构化网格。
结构化网格以规则的矩形或立方体单元组织，而非结构化网格则根据流体流动的特性灵活调整单元的形状和大小。
无论是结构化还是非结构化网格，有限体积法都能够准确地处理流体流动的各种边界条件。
有限体积法的优势之一是它保持了宏观物理量的守恒性质。
例如，在处理流体流动时，有限体积法能够准确地保持质量、能量和动量的守恒。
这使得有限体积法在工程领域的应用十分重要。
例如，在空气动力学中，有限体积法可以精确地模拟飞机周围的空气流动，从而帮助设计师优化飞行器的性能。
为了得到准确的数值解，有限体积法需要进行离散化和数值逼近。
通常使用线性或高阶的插值方法对守恒方程进行离散化。
此外，为了解决方程组中的非线性项，可以采用迭代方法，如简单迭代或牛顿迭代。
有限体积法在多相流、湍流流动和传热等领域有着广泛的应用。
例如，在化工工艺中，有限体积法可以模拟复杂的多相流动，从而帮助工程师优化生产过程。
同时，有限体积法还可以用于研究液体和气体的传热特性，如对流、传导和辐射的影响。
总之，有限体积法是计算流体力学中一种重要的数值求解方法，通过将流域划分为离散的有限体积单元，通过离散化和数值逼近得到数值解，以模拟和预测流体力学现象的特性。
它具有保持宏观守恒性质的优势，适用于各个领域的流体流动问题。
欧拉方程推导过程
欧拉方程推导过程概述欧拉方程（Euler’s equation）是描述流体运动的基本方程之一，它是由瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler）在18世纪提出的。
欧拉方程在流体力学、空气动力学等领域具有广泛的应用。
本文将介绍欧拉方程的推导过程，以及一些相关的概念。
基本假设在推导欧拉方程之前，我们需要先明确一些基本假设和定义： 1. 流体是连续的：假设流体是连续、无限可分的。
这意味着我们可以对流体的性质进行连续的观察和分析。
2. 流体是可压缩的：假设流体在运动过程中可以发生密度的变化。
3. 流体满足牛顿力学：假设流体的运动可以用牛顿力学描述，即满足牛顿第二定律。
推导过程为了推导欧拉方程，我们首先需要从基本假设出发，利用牛顿第二定律来描述流体运动。
1. 守恒方程守恒方程是流体力学中的基本方程，描述了质量、动量和能量的守恒。
在欧拉方程的推导中，我们主要关注质量守恒和动量守恒。
1.1 质量守恒质量守恒可以表达为以下形式：∂ρ+∇⋅(ρv)=0∂t其中，ρ表示流体的密度，v表示流体的速度。
该方程描述了密度在空间和时间上的变化。
1.2 动量守恒动量守恒可以表达为以下形式：ρ(∂v ∂t+v ⋅∇v)=−∇p +∇⋅T +ρg 其中，p 表示流体的压强，T 表示应力张量，g 表示重力加速度。
该方程描述了流体的动量在空间和时间上的变化。
2. 应力张量欧拉方程中的应力张量T 描述了流体内部的相互作用力。
它可以通过牛顿第二定律和基本假设推导得到。
2.1 应力张量的定义应力张量是一个二阶张量，它描述了流体内部各点沿不同方向的力和应变之间的关系。
在流体力学中，应力张量可以表示为：T ij =−pδij +σij其中，p 是流体的压强，δij 是克罗内克（Kronecker ）δ符号，σij 是剪切应力张量。
2.2 应力张量的推导为了推导应力张量，我们考虑流体中某一点的受力情况。
由牛顿第二定律可知，该点受到的合力等于质量乘以加速度：F =ma将质量表示为体积乘以密度m =ρV ，并将加速度表示为速度的时间导数a =dv dt ，可以得到：F =ρV dv dt将体积表示为面积乘以厚度V =SΔz ，并将速度的导数表示为时间的偏导数dv dt =∂v ∂t ，可以得到：F =ρSΔz ∂v ∂t当体积趋近于0时，左侧的合力可以表达为面积上的应力乘以面积元dS，即F= TdS。
限体积法中面积分离散格式的精度分析
北京航空航天大学学报 Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics
October 2000 Vol. 26 No15
有限体积法中面积分离散格式的精度分析
马 亮 李亭鹤
( 北京航空航天大学 飞行器设计与应用力学系)
近年来 ,在复杂流场的数值计算中出现了另 一种有限体积格式 — — — 顶点中心格式 , 它让物理 变量处于网格的节点上 , 而控制体为围绕该点的 虚拟网格 . 这种格式吸取了中心格式结构简单的 长处 ,又保留了顶点格式中物理量位于网格节点 的特点 , 已有人将此格式应用于复杂流场的计 算 [2 ] ,但还没有对此格式的详细精度分析 . 本文以 文献 [ 1 ] 的分析方法为基础 ,采用 Taylor 级数展开 的方法 ,给出了顶点中心格式在不同网格上的精
由此可以看到有限体积法的中心格式由于其本身固有的零阶误差不能通过加密网格来提高精度要保持较好的计算精度网格必须充分光滑正交顶点格式和顶点中心格式精度高于中心格式对于光滑性较差的网格也能保持一阶精度可以通过加密网格来减小误差因而更适合于绕复杂外形流场的计算
2000 年 10 月 第 26 卷 第 5 期
图6 粗网格上计算的等压图
图 7 是粗网格上计算的局部等压线 . 可以看 到 ,对于中心格式 ,等压线在网格扭曲较大的前后 缘处有明显的抖动 , 而顶点格式和顶点中心格式 则较光滑 . 图 8 和图 9 是在细网格上计算的等压 线 . 与粗网格相比 ,中心格式的等压线在前后缘处 的抖动依然存在 , 而顶点格式和顶点中心格式在 相应区域的等压线则变得更光滑了 .
x
5V
V→ 0 V
采用中心格式在网格单元 V i , j 的中心点上对 一阶导数进行数值近似 ( 图 3) , 有
微分方程欧拉方程解法
微分方程欧拉方程解法一、引言微分方程是数学中重要的一部分，它在物理、工程、经济等学科的研究中具有广泛的应用。
在解微分方程的过程中，欧拉方程是一种常见的解法之一。
本文将介绍欧拉方程的基本概念和求解方法，并通过具体的例子来说明其应用。
二、欧拉方程的定义欧拉方程是指具有形如F(x,y,y′,y″,...)=0的形式的微分方程。
其中，F是关于x,y,y′,y″,...的函数，y是未知函数，y′,y″分别表示y的一阶、二阶导数等。
解欧拉方程即是要找到满足该方程的函数y=f(x)。
三、欧拉方程的求解方法欧拉方程的求解方法主要有以下几种：3.1 变量分离法变量分离法是一种常用的解微分方程的方法，也适用于欧拉方程的求解。
具体步骤如下： 1. 将方程中所有含有y′的项移到方程的一边，其它项移到方程的另一边，得到F(x,y)−y′G(x,y,y′,y″...)=0的形式； 2. 观察方程的左边和右边是否可以通过变量分离，即是否可以将y和x分离开来； 3. 若能分离，则将左边只含有y的项移到右边，只含有x的项移到左边； 4. 对两边分别积分，得到H(x)+C=∫G(x,y,y′,y″...) dx的形式； 5. 求解上述积分方程，得到H(x)的表达式； 6. 将H(x)代入F(x,y)中，得到关于y的方程； 7. 求解该关于y的方程，得到解y=f(x)。
3.2 特征方程法特征方程法是欧拉方程求解的一种常用方法，适用于形如x n y(n)+a n−1x n−1y(n−1)+...+a0y=f(x)的方程。
具体步骤如下： 1. 假设解为y=x m，代入原方程，得到特征方程； 2. 求解特征方程，得到特征方程的根m； 3. 根据特征方程的根，给出通解的形式； 4. 根据边界条件，求解常数，得到特解。
四、欧拉方程的例子及求解过程为了更好地理解欧拉方程的求解方法，我们来看一个具体的例子：x2y″+xy′−4y=0。
下面是求解该方程的步骤：4.1 将方程变形为欧拉方程将方程变形为x2y″+xy′−4y=x2(d2ydx2)+x(dydx)−4y=0。
有限体积法简介
第七讲 有限体积法简介（a ）圆形管流的结构网格（b ）圆形管流的非结构网格123459876HKGF E D C B A (,)i j (1,)i j +(1,)i j -(,1)i j -(,1)i j +A B ABy ∆ABx ∆AB CD E F G HK (,)i j (,1)i j +(,1)i j -(1,)i j +(1,1)i j ++(1,1)i j -+(1,)i j -(1,1)i j --(1,1)i j +-JΩIJΩ12345二维有限体积网格中心单元结构网格中心结点结构网格中心单元非结构网格中心结点非结构网格AB CDE FGHDCGHSABCDS ADHESEFGH SAB CD PAB CDEFGHABCDFE HG六面体划分成四面体或棱锥的方法应用于势流计算的飞机有限面元三角网格计算域的常规有限元划分二．有限体积方法（Finite V olume Method ）（一）积分形式的Euler 方程 二维非定常Euler 方程0U F Gt x y∂∂∂++=∂∂∂ （12-1） u U v e ρρρ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ()2u u p F uv e p u ρρρ⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦ ()2v uv G v p e p v ρρρ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦ 补充 ()22112p e u v ργ=++-在区域ABCD 内对Euler 方程进行积分：0ABCD U F G dxdy t x y ⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰ （12-2） 整理上式，得0ABCD ABCD F G Udxdy dxdy t x y ⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰ （12-3） 1j -1j +j1i +1i -i12j S +(),i j RTSPABCDQ12i S +格林定理：设C 为逐段光滑的简单（无自交点）闭曲线围成的单连域S ，这围线的方向使区域S 保持在左边。
教学课件：第1章-有限体积法
在应用中，有限体积法能够处理复杂的多物理场耦合问题，如流体与结 构的相互作用、热力电化学反应等，为复杂系统设计和优化提供重要依 据。
04
有限体积法的优缺点
教学与人才培养
为了更好地推广和应用有限体积法， 需要加强教学和人才培养工作。例如 ，在高校开设相关课程，介绍有限体 积法的基本原理和应用实例；组织学 术交流活动，促进研究人员之间的合 作与交流；提供实践机会，让学生在 实际项目中锻炼和掌握有限体积法的 应用技能。
THANKS
感谢观看
在应用中，有限体积法能够处理复杂 的流动问题，如湍流、分离流和多相 流等，为工程设计和优化提供重要依 据。
通过将连续的流体离散成有限个控制 体，有限体积法能够求解流体动力学 的控制方程，如Navier-Stokes方程， 得到流场的数值解。
有限体积法在传热学中的应用
传热学是研究热量传递规律的科学，有限体积法在传热学中广泛应用于数值传热学 模拟。
通过具体的应用实例，如一维稳态对 流方程、二维非稳态对流方程等，展 示了有限体积法的计算过程和结果。 这些实例表明，有限体积法能够准确 地模拟流体流动和传热过程，为工程 实际问题提供了有效的数值解决方案 。
有限体积法的局限性 和改进方向
尽管有限体积法具有许多优点，但在 某些情况下也存在一些局限性，如处 理复杂边界条件、非均匀网格划分等 问题。为了提高计算精度和效率，未 来的研究可以针对这些局限性进行改 进，如开发更高效的数值格式、研究 自适应网格技术等。
有限体积法的优点
精度高
有限体积法在计算流体 动力学问题时，能够得 到高精度的数值结果。
欧拉公式的证明(整理)
欧拉公式的证明
着名的欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ是人们公认的优美公式。
原因是指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，而在复数域中却发现了他们可以相互转化，并被一个非常简单的关系式联系在一起。
特别是当θ=π时，欧拉公式便写成了e^(iπ)+1=0,就这个等式将数中最富有特色的五个数0，1，i,e,π,绝妙地联系在一起
方法二：见复变函数第2章，在整个负数域内重新定义了sinzcosz而后根据关系推导出了欧拉公式。
着个才是根基。
由来缘于此。
方法一是不严格的。
来源：网络转载
再请看这2个积分
∫sqrt(x^2-1)dx=x*sqrt(x^2-1)/2-ln(2*sqrt(x^2-1)+2x)/2
∫sqrt(1-x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/2;
上式左边相当于下式左边乘以i
于是上式右边相当于下式右边乘以i
然后化简就得到欧拉公式
这个证明方法不太严密
但很有启发性
历史上先是有人用上述方法得到了对数函数和反三角函数的关系然后被欧拉看到了,才得到了欧拉公式
来源：网络转载。
2.4欧拉运动方程及其积分详解
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
绕整个封闭曲线的速度环量为（上图中微元矩形块的重合 部分做线积分时因正负号相反而相消）
v u V ds (udx vdy) ( )dS 2z dS L x y L s s
上式即为二维问题中的格林公式。 表明：沿平面上一封闭围线 L做速度的线积分，所得的环量 等于曲线所围面积上每个微团角速度的2倍乘以微团面积之 和，即等于通过面积S的涡通量。
dx
x
dy
y
dz
涡线
z
涡面
给定瞬间，通过某一曲线（本身不是涡线） 的所有涡线构成的曲面称为涡面。 由封闭涡面组成的管状涡面称为涡管。
涡管
§ 2.5.1 环量与涡的概念
涡线是截面积趋于零的涡管。涡线和涡管的强度都定义为 绕涡线或涡管的一条封闭围线的环量。 涡量在一个截面上的面积分称为涡通量，在平面问题中， 涡通量就是： n
z
γ
dS
2
S
z
dS
dS
S
平面问题的涡通量
空间问题的涡通量
在三维空间问题中，涡通量就是：
2 dS 2 cos dS
S S
式中的S 是任意形状空间曲面，γ是曲面上微面积 dS 的法 线和ω的轴线之间的夹角。
§ 2.5.2 环量与涡量的关系
在有旋流动中，速度环量与涡量存在着十分密切的联系。 为说明这个联系，首先考察二维流场。
2.4 欧拉运动方程及其积分
2.4.1 欧拉运动方程 欧拉运动微分方程组是在不计流体粘性前提下推导出 来的，该方程实质上是微分形式的动量方程。 在流场中划出一块三边分别的为
y
dx，dy，dz的微元矩形六面体。不计
用有限体积方法求解欧拉方程
本文通过运用JAMESON有限体积法求解了二维定常和非定常可压缩Euler方程。程序实现语言为C++。其中，使用的网格是三角形非结构网格。在时间推进上使用的是四步龙—库塔推进格式。推进的时间步长取的是当地的时间步长。为了消除迭代误差、round-off等误差，本文采用了添加人工耗散项的办法。另外，本文计算了NACA0012翼型在跨音速下不同迎角的情况，并与fluent软件的计算结果进行了比较，来验证程序的准确性。
（21）
自适应系数为：
（22）
尺度系数为：
（23）
其中的U,V表示边上的值，C表示当地声速。
五、时间离散
方程最后的稳定解是通过时间上的迭代得到的，可以写为：
（24）
右边项的表达式为：
（25）
为了加速收敛，时间迭代使用的是4步龙—库塔推进格式。格式如下：
（26）
其中的n表示的是当前的时间步，n+1表示的是新的时间步：
（27）
（28）
为了减小计算时间，人工耗散项的计算只在第一步进行，在下面几步的迭代中保持不变。运用上面的方法计算，可以发现CFL数可以取到 ，本文中使用的是2.0。
使用显示格式迭代的主要缺点是由于稳定区域的限制，所以不能使用过大的时间步长。可以用近似的方法估算时间步长，对于任意形状的网格，可以使用下面的方法：
（15）
在有限体积法中，耗散项的公式可以表示为：
（16）
其中：
（17）
其中的I表示单元k和p的公共边， 定义为：
（18）
上面的j表示与k相邻的单元。
（19）
（20）
其中的量 的范围是： 。
在计算时发现上面方法得到的人工耗散项并不太适合。其在光滑区域耗散项太大，而在大剃度区域又显得太小，为了弥补上面的不足，作下面的修改：
流体力学中的欧拉方程
流体力学中的欧拉方程流体力学是研究流体（包括气体和液体）运动规律和性质的科学。
欧拉方程是流体力学中的重要方程之一，它描述了流体在宏观尺度上的动力学行为。
本文将介绍欧拉方程的起源、基本形式和应用领域。
一、欧拉方程的起源欧拉方程由18世纪的瑞士数学家和物理学家欧拉提出，是基于动量守恒和质量守恒原理推导得到的。
这个方程描述了流体的整体动力学行为，不考虑微观粒子之间的相互作用。
二、欧拉方程的基本形式欧拉方程可以用偏微分方程的形式表示：∂u/∂t + u∇u = -1/ρ ∇p + g其中，u是流体速度矢量，t是时间，ρ是流体的密度，p是压强，g 是重力加速度。
方程左边表示流体速度随时间变化的部分，右边表示压强和重力对流体速度的影响。
这个方程在各个坐标轴方向上都有相应的分量。
三、欧拉方程的应用领域1. 空气动力学：欧拉方程可以用来研究飞行器等物体在空气中的运动规律，以及空气动力学性能的优化设计。
2. 水力学：欧拉方程可以应用于水流的研究，例如河流的水位、流速等参数的计算和预测，有助于水利工程的规划和管理。
3. 汽车工程：欧拉方程可以用来模拟车辆在道路上的运动情况，对于提高汽车性能和安全性有重要意义。
4. 燃烧工程：欧拉方程可以用来研究燃烧物质的速度和温度分布等参数，对于燃烧过程的优化和控制具有指导意义。
四、欧拉方程的数值求解方法欧拉方程是一个非线性偏微分方程，解析求解较为困难。
因此，通常采用数值方法进行求解，如有限差分法、有限元法和控制体积法等。
这些方法可以将连续的欧拉方程转化为离散的方程组，通过迭代计算获取数值解。
五、欧拉方程的改进和扩展除了基本形式的欧拉方程外，还有一些改进和扩展的版本，如纳维-斯托克斯方程和雷诺-欧拉方程。
纳维-斯托克斯方程考虑了流体的粘滞效应，适用于高速、大粘性流体的研究；雷诺-欧拉方程则结合了欧拉方程和统计力学理论，可以用来研究湍流流动等复杂问题。
六、总结欧拉方程是流体力学中的基本方程之一，用于描述流体的整体运动规律。
有限体积法基础
有限体积法基础什么是有限体积法有限体积法（Finite Volume Method，FVM）是一种数值计算方法，用于求解流体流动、传热以及其他物理现象中的控制方程。
它将计算区域分割成有限数量的小体积，通过质量、能量以及动量守恒方程来描述物理过程，并在整个区域上进行积分。
有限体积法广泛应用于流体力学、热传导、化学反应等领域，在工程和科学研究中发挥着重要作用。
有限体积法的基本原理有限体积法主要基于守恒律原理，在控制体积上进行积分求解控制方程。
它将计算区域划分为若干个小体积，每个体积被称为一个控制体（Control Volume）或单元（Cell）。
对于每个控制体，根据守恒律原理，可以得到质量、能量和动量的守恒方程。
有限体积法中的关键步骤包括网格划分、离散化、数值积分和方程求解。
首先，需要将计算区域划分为有限数量的控制体，并构建相应的网格结构。
然后，对于每个控制体，将守恒方程进行离散化，将连续性方程转化为代数方程。
通过对方程进行数值积分，可以得到控制体内各个参数的平均值。
最后，利用线性代数方法求解代数方程组，从而得到整个计算区域内各个参数的数值解。
有限体积法的优势和应用领域有限体积法具有许多优势，使其成为求解控制方程的常用方法。
首先，有限体积法能够处理复杂的几何形状，适用于不规则的计算区域。
其次，它保持了守恒律原理的严格适应性，得到的解保持了物理量的守恒特性。
此外，有限体积法还具有较好的数值稳定性和精度控制能力，可以有效地解决数值计算中的振荡和不稳定问题。
有限体积法广泛应用于流体力学领域，包括过程工程、气候模拟、风洞试验、航空航天等。
它在流动分析、传热问题以及多相流体等方面都有着重要的应用。
有限体积法还可以用来模拟复杂的流体现象，如湍流、自由涡流、多孔介质流动等。
通过基于体积平均的数值方法，有限体积法能够更好地考虑物理现象的局部变化，并提供准确的数值解。
有限体积法的发展和挑战有限体积法作为一种数值计算方法，经过多年的发展和研究，已经取得了重要的成果。
用有限体积方法求解欧拉方程
实用标准文案有限体积法求解二维可压缩Euler方程——计算流体力学课程大作业老师：夏健、刘学强学生：徐锡虎学号：SQ0901*******日期：2010年2月5日目录一、内容摘要 (2)二、流动控制方程 (2)三、有限体积法的空间离散 (2)四、人工耗散 (3)五、时间离散 (4)六、边界条件 (5)七、计算结果 (8)八、结论与展望 (11)参考文献 (11)一、内容摘要本文通过运用JAMESON 有限体积法求解了二维定常和非定常可压缩Euler 方程。
程序实现语言为C++。
其中，使用的网格是三角形非结构网格。
在时间推进上使用的是四步龙—库塔推进格式。
推进的时间步长取的是当地的时间步长。
为了消除迭代误差、round-off 等误差，本文采用了添加人工耗散项的办法。
另外，本文计算了NACA0012翼型在跨音速下不同迎角的情况，并与fluent 软件的计算结果进行了比较，来验证程序的准确性。
二、流动控制方程守恒形式的Euler 方程：0=-+Ω∂∂⎰⎰ΩGdx Fdy wd t S（1） 其中x 和y 代表笛卡儿坐标系。
W 是守恒变量。
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=E V U W ρρρρ (2)F,G 表示通量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=UH UV P U U F ρρρρ2, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=VH P V UV V G ρρρρ2(3) ρ,P , H 和E 表示密度，压强，单元总焓和单元总能量。
U,V 表示笛卡儿坐标系下的速度矢量。
这些量由理想气体的单位体积的总能量和总焓相互联系。
2/122）（）（V U P E ++-=ργρ (4)P E H +=ρρ (5)三、有限体积法的空间离散计算域被划分为互不重叠的单元。
在每个单元运用守恒形式的Euler 方程。
由于每个单元相对于时间都是不变的，所以等式（1）可以写成：⎰⎰ΩΩ--=∂∂d Gdx Fdy tWS )( （8）其中Ω和S 是单元的体积和边界。
一维理想气体euler方程 有限体积求解 附python代码
一维理想气体euler方程有限体积求解附python代码一维理想气体Euler方程有限体积求解理论引言理想气体Euler方程是研究压缩流体动力学中的基本方程之一，广泛应用于流体力学、燃烧物理等领域。
本文将利用有限体积法对一维理想气体Euler方程进行求解，并给出附带的Python代码。
1. 理想气体Euler方程简介一维理想气体Euler方程是描述压缩流体动力学过程的基本方程，由质量守恒、动量守恒和能量守恒方程构成。
其形式如下：质量守恒方程：∂ρ/∂t + ∂(ρu)/∂x = 0动量守恒方程：∂(ρu)/∂t + ∂(ρu^2 + p)/∂x = 0能量守恒方程：∂(ρE)/∂t + ∂(uρE + pu)/∂x = 0其中，ρ为气体密度，t为时间，x为空间坐标，u为速度，p为压力，E为总能量。
2. 有限体积法求解有限体积法是一种基于积分形式的数值求解方法，利用有限体积作为计算域，将偏微分方程转化为离散的代数方程组，并采用时间步进方法求解。
以下是有限体积法求解一维理想气体Euler方程的基本步骤：（1）区域离散化：将计算区域分割为离散的网格单元，如等间距的网格单元。
（2）守恒量离散化：对质量、动量和能量守恒方程进行离散化，采用中心差分或者其它合适的格式。
（3）数值通量计算：根据离散化的守恒方程，计算数值通量以描述质量、动量和能量的传输。
（4）边界条件处理：根据实际问题，对边界处的网格单元进行边界条件的施加。
（5）时间步进：采用适当的时间步进方法，如显式、隐式或半隐式方法，对离散的方程组进行时间推进。
（6）迭代求解：根据时间步进方法，迭代求解离散的方程组，直至达到收敛。
3. Python代码实现以下是利用Python编写的一维理想气体Euler方程的有限体积求解代码：```pythonimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# 参数设置x_start = 0.0 # 计算区域起始位置x_end = 1.0 # 计算区域结束位置nx = 100 # 网格数dx = (x_end - x_start) / nx # 网格间隔nt = 100 # 时间步数dt = 0.01 # 时间步长# 初始条件rho = np.ones(nx) # 密度u = np.zeros(nx) # 速度p = np.ones(nx) # 压力# 数值通量计算def compute_flux(rho, u, p):flux = np.zeros(nx)for i in range(1, nx):f_rho = rho[i-1] * u[i-1]f_rhou = rho[i-1] * u[i-1]**2 + p[i-1]flux[i] = f_rhoureturn flux# 边界条件处理def apply_boundary_conditions(rho, u, p):rho[0] = rho[1]u[0] = u[1]p[0] = p[1]rho[-1] = rho[-2]u[-1] = u[-2]p[-1] = p[-2]# 时间步进for n in range(nt):flux = compute_flux(rho, u, p)rho[1:-1] = rho[1:-1] - dt / dx * (flux[1:] - flux[:-1])u[1:-1] = u[1:-1] + dt / dx * (p[1:] - p[:-1])p[1:-1] = p[1:-1] - dt / dx * (flux[1:] * u[1:] - flux[:-1] * u[:-1]) apply_boundary_conditions(rho, u, p)# 结果可视化x = np.linspace(x_start, x_end, nx)plt.plot(x, rho, label='Density')plt.plot(x, u, label='Velocity')plt.plot(x, p, label='Pressure')plt.xlabel('x')plt.ylabel('Value')plt.legend()plt.show()```结论本文利用有限体积法对一维理想气体Euler方程进行了求解，并提供了基于Python的求解代码。
用有限体积方法求解欧拉方程
有限体积法求解二维可压缩Euler方程——计算流体力学课程大作业老师：夏健、刘学强学生：徐锡虎学号：SQ日期：2010年2月5日目录一、内容摘要 (2)二、流动控制方程 (2)三、有限体积法的空间离散 (2)四、人工耗散 (3)五、时间离散 (4)六、边界条件 (5)七、计算结果 (8)八、结论与展望 (11)参考文献 (11)一、内容摘要本文通过运用JAMESON 有限体积法求解了二维定常和非定常可压缩Euler 方程。
程序实现语言为C++。
其中，使用的网格是三角形非结构网格。
在时间推进上使用的是四步龙—库塔推进格式。
推进的时间步长取的是当地的时间步长。
为了消除迭代误差、round-off 等误差，本文采用了添加人工耗散项的办法。
另外，本文计算了NACA0012翼型在跨音速下不同迎角的情况，并与fluent 软件的计算结果进行了比较，来验证程序的准确性。
二、流动控制方程守恒形式的Euler 方程：0=-+Ω∂∂⎰⎰ΩGdx Fdy wd t S（1） 其中x 和y 代表笛卡儿坐标系。
W 是守恒变量。
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=E V U W ρρρρ (2)F,G 表示通量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=UH UV P U U F ρρρρ2, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=VH P V UV V G ρρρρ2(3) ρ,P , H 和E 表示密度，压强，单元总焓和单元总能量。
U,V 表示笛卡儿坐标系下的速度矢量。
这些量由理想气体的单位体积的总能量和总焓相互联系。
2/122）（）（V U P E ++-=ργρ (4)P E H +=ρρ (5)三、有限体积法的空间离散计算域被划分为互不重叠的单元。
在每个单元运用守恒形式的Euler 方程。
由于每个单元相对于时间都是不变的，所以等式（1）可以写成：⎰⎰ΩΩ--=∂∂d Gdx Fdy tWS )( （8）其中Ω和S 是单元的体积和边界。
W 是单元的平均值。
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有限体积法求解二维可压缩Euler方程——计算流体力学课程大作业老师：夏健、学强学生：徐锡虎学号：SQ日期：2010年2月5日目录一、容摘要 (2)二、流动控制方程 (2)三、有限体积法的空间离散 (2)四、人工耗散 (3)五、时间离散 (4)六、边界条件 (5)七、计算结果 (8)八、结论与展望 (11)参考文献 (11)一、容摘要本文通过运用JAMESON 有限体积法求解了二维定常和非定常可压缩Euler 方程。
程序实现语言为C++。
其中，使用的网格是三角形非结构网格。
在时间推进上使用的是四步龙—库塔推进格式。
推进的时间步长取的是当地的时间步长。
为了消除迭代误差、round-off 等误差，本文采用了添加人工耗散项的办法。
另外，本文计算了NACA0012翼型在跨音速下不同迎角的情况，并与fluent 软件的计算结果进行了比较，来验证程序的准确性。
二、流动控制方程守恒形式的Euler 方程：0=-+Ω∂∂⎰⎰ΩGdx Fdy wd t S（1） 其中x 和y 代表笛卡儿坐标系。
W 是守恒变量。
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=E V U W ρρρρ (2)F,G 表示通量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=UH UV P U U F ρρρρ2, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+=VH P V UV V G ρρρρ2(3) ρ,P , H 和E 表示密度，压强，单元总焓和单元总能量。
U,V 表示笛卡儿坐标系下的速度矢量。
这些量由理想气体的单位体积的总能量和总焓相互联系。
2/122）（）（V U P E ++-=ργρ (4)P E H +=ρρ (5)三、有限体积法的空间离散计算域被划分为互不重叠的单元。
在每个单元运用守恒形式的Euler 方程。
由于每个单元相对于时间都是不变的，所以等式（1）可以写成：⎰⎰ΩΩ--=∂∂d Gdx Fdy tWS )( （8）其中Ω和S 是单元的体积和边界。
W 是单元的平均值。
在对上述方程进行时间离散前，先对空间进行离散，则方程（6）可以写为：k k k QdtdW Ω-= （9）其中k Ω表示第k 个单元的体积，k W 是第k 个单元的守恒变量。
k Q 表示第k 个单元的通量。
方程（7）的右边项可以写成：∑=∆-∆=kedgesi ik x G y F Q 1)( （10）其中 a b i a b i y y y x x x -=∆-=∆, （11） （8）式中的求和是对第k 个单元的所有边进行的。
守恒参数的量是单元中心值，在求通量时，第I 条边的守恒参数值是用左右单元的平均来表示的：2/)(W p k i W W += （12）引入变量：i i i i i x V y U Z ∆-∆= （13）则第k 单元的Euler 方程可以写为：∑=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆-∆+Ω-=kedges i ik k H Z x P V Z y P U Z Z dt dW 11ρρρρ （14） 在本文中，采用的是JAMENSON 有限体积法，为了减少存储的相关信息的量，其存储的方式选择的是按边存储的方法。
在存储的每条边的信息中，包含了这条边的边号，左右单元号和边的端点。
在计算通量时采用按边循环的方式：do I=1,nedgek=connmatrix(I,1) a=connmatrix(I,2) b=connmatrix(I,3) p=connmatrix(I,4)flux=function(k,a,b,p) sum(k)=sum(k)+flux sum(p)=sum(p)-flux end do这里给出的是FOTRAN 语言的形式，我编写采用的是C ，具体表现在上交的程序中。
在计算时间步长、人工耗散项等也可用象这样按边循环，从此处我们可以看出求解时与单元的形状无关。
四、人工耗散人工粘性模型对方法的成功应用起着关键作用，人工粘性抑制解在激波附近的振荡，又阻尼解在光滑区域的高阶误差，对解的线性稳定和收敛于定态是很重要的。
本文在方程（14）的右端加入了人工耗散项，如对于单元k ，其表达式可以表示为：()k k k k D Q dtdW Ω--= （15）在有限体积法中，耗散项的公式可以表示为：∑∑==+=kedgesi ikedgesi ik ddD 1)4(1)2( （16）其中：()()ik pii ii k p i i i W WdW W d 22)4()4()2()2(∇-∇=-=εαεα （17）其中的I 表示单元k 和p 的公共边，2∇定义为：()∑=-=∇kedges i k jk W WW 12（18）上面的j 表示与k 相邻的单元。
∑∑==+-=kedges i ik pkedgesi ik pk P PP P11)()(ν （19）),0max(),max()2()4()4()2()2(iii k p i kk εεννε-== （20）其中的量)4()2(,k k的围是：0.121,3212561)2()4(<<<<k k 。
在计算时发现上面方法得到的人工耗散项并不太适合。
其在光滑区域耗散项太大，而在大剃度区域又显得太小，为了弥补上面的不足，作下面的修改：kp k p i P P P P +-=ν （21）自适应系数为：),0max()2()4()4()2()2(iii i kk εενε-== （22）尺度系数为：()22y xcx V y U i ∆+∆+∆-∆=α （23）其中的U,V 表示边上的值，C 表示当地声速。
五、时间离散方程最后的稳定解是通过时间上的迭代得到的，可以写为：k kR dtdW = （24） 右边项的表达式为：()k k k k D Q R Ω--=/ （25）为了加速收敛，时间迭代使用的是4步龙—库塔推进格式。
格式如下：)4(1)1()0()()0(4..1.....W W to m for tR W WW W n m m m n==∆+==+-α （26）其中的n 表示的是当前的时间步，n+1表示的是新的时间步：()Ω--=)0()()(D Q Rm m （27）1,21,1,414321====αααα （28）为了减小计算时间，人工耗散项的计算只在第一步进行，在下面几步的迭代中保持不变。
运用上面的方法计算，可以发现CFL 数可以取到22，本文中使用的是2.0。
使用显示格式迭代的主要缺点是由于稳定区域的限制，所以不能使用过大的时间步长。
可以用近似的方法估算时间步长，对于任意形状的网格，可以使用下面的方法：()∑=∆+∆+∆-∆Ω=∆kedges i i iii i iik k y xc x V yU CFLt 122 （29）六、边界条件 1 固面边界条件对与无粘流动，固面边界条件无穿透条件，设其法向的速度通量为零，即0=i Z 。
由于压强项的影响，x －向和y －向的动量通量并不为零。
固面的压强近似的取为其相邻的单元的单元中心压强。
广泛的数值研究证明，如果贴近壁面的单元足够小，并且人工耗散项运用正确，用这种方法取得的压强对结果的精度不会产生太大的影响。
2 远场边界条件本文提到的远场，实际是人为的有界边界，对于流场中的扰动会传到很远的地方。
因而对于远场边界条件，情况比较复杂，它不能直接给定具体的流场值，需要与流场的值来共同确定远边场的流场值。
如果边界取得过小，则通常采用环量修正。
一般情况下，我们采用无反射边界条件。
为了保证扰动波不会反射回流场，应用A.Jamson 提出的远场边界法向一维特征分析方法，来建立无反射的远场边界条件。
一维均熵流动的Euler 方程可写成：0=++x t U U ρρρ (30)02=++x x t a UU U ρρ(31)这里，动量方程中除去了压强项，将上式写成矩阵形式为：0=∂∂+∂∂xw A t w (32) 这里：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=U w ρ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=U a U A ρρ2(33) A 的特征值为：a U -=1λ，a U +=2λ因此，上式的两族特征线为：a U dtdx-= (34)a U dtdx+= (35) (34)为-C 特征线，(35)为+C 特征线。
沿-C ，+C 给出了众所周知的Riemann 不变量+R ，-R ：12--=-γaq R n (36) 12-+=+γaq R n (37) 这里不变量-R ，沿入流特征线-C 是常数，可以用来流条件计算得到；+R 沿出流特征线是常数，可以用流场部向外插值计算：12--=∞∞-∞γa q R n (38)12--=-γene e a q R (39) 上式中下标“∞”表示来流值，下标“e ”表示以计算域部参数外插获得的值。
通过Riemann 不变量+R ，-R 的加减，可获得远场的法向速度n q 和音速a ：()-∞++=R R q e n 21 (40) ()-∞+--=R Ra e 41γ (41)根据Riemann 不变量，按边界附近信息传播的性质把远场边界条件分成以下四种情况： A 、 亚音速入流条件()0<⋅n U ，它有三条入流特征线，需规定三个条件：()1212-+=-+∞γγa q a q n n (42) ()1212--=--∞γγaq a q n n (43) ∞=)(t t q q (44) ∞=s s (45)其中下标t 表示切向，n 代表方向，()∞代表自由流，()e 代表从流场到边界的外插值，上式的右端皆为已知，可解出边界上的s q c q t n ,,,值，再由s 和c 求出p 和ρ。
B 、 亚音速出流条件()0≥⋅n U ，它有一条入流特征线，需规定一个条件()1212--=--∞∞γγa q aq n n (46) ()1212-+=-+γγe e n n a q aq (47) e t t q q )(= (48) e s s =(49)C 、 超音速出流条件()0≥⋅n U ，无入流特征线，不需在边界上规定边界条件l W W = （50）其中的W 表示边上的守恒变量，l W 表示与此边相邻元素的守恒变量值。
D 、 超音速入流条件()0<⋅n U ，它有四条入流特征线，需规定全部四个条件∞=W W （51）其中的W 表示边上的守恒变量，∞W 表示来流值。
七、计算结果本文计算了三个算例，一个是攻角 0，马赫数0.80的情况，二是攻角25.1，马赫数0.80的情况，三是攻角2.5°，马赫数1.5的情况XY-10-50510-10-5510XY0.51-0.500.5翼型网格示意图 1．80.00=Ma ，＝α表面压强系数分布 等压线等马赫线 压力云图马赫数云图升力系数 CL=-3.27408E-005 阻力系数 CD= 1.14998670E-002 2.80.025.1==Ma ，α上下表面压强系数分布图等压线图 等马赫图压力云图 马赫数云图升力系数为 CL ＝2.741130755E-001阻力系数为 CD=2.15905376E-0023.5.15.2==Ma ，α上下表面压强系数分布压力云图 马赫数云图升力系数为 CL= 0.1352582564阻力系数为 CD= 0.1037842242八、结论与展望本文主要介绍了求解二维非结构网格欧拉方程定常解的问题。