等腰三角形常用辅助线专题练习(含答案)汇总
等腰三角形常用辅助线专题练习含答案
等腰三角形常用辅助线专题练习1.如图：已知，点D、E在三角形ABC的边BC上，AB=AC, AD二AE,求证：BD=CEo证明：作AF_LBC,垂足为F,则AF±DEo VAB=AC, AD=AE又VAF±BC , AF±DE, ABF=CF, DF=EF （等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）。
..・BD=CE.2.如图，在三角形ABC中，AB二AC,AF平行BC于F, D是AC边上任意一点，延RBA到E,使AE=AD,连接DE,试判断直线AF与DE的位置关系，并说明理由解：AF1DE.理由：延长ED 交BC 于G, VAB=AC, AE=AD /. ZB=ZC, ZE=ZADE A ZB+ZE=ZC+ZADE V ZADE=ZCDG A ZB+ZE=ZC+Z CDG VZB+ZE=ZDGC,ZC+ZCDG=ZBGE, ZBGE+ZCGD=180° AZ BGE=ZCGD=90° AEG±BC. VAF/7BCAAF±DE.E解法2：过A 点作AABC 底边上的高，BC 证明 AF±DE3.如图,A ABC 中，BA=BC,点D 是AB 延长线上一点，DF±AC 交BC 于E,求证： A DBE 是等腰三角形。
证明：在AABC 中， VBA=BC, A ZA=ZC, VDF1AC,A ZC+ZFEC=90° , ZA+ZD=90° , :. ZFEC^ZD V ZFEC^ZBED,ZBED=4.如图，AABC中，AB二AC, E在AC ±,且AD=AE, DE的延长线与BC相交于F。
求证：DF_LBC.证明：VAB=AC, AZB=ZC, 又VAD=AE, A ZD=ZAED,若把“AD=AE”与结论“DF_LBC”互换，结论也成立。
若把条件"AB=AC”与结论“DF_LBC”互换，结论依然成立。
八年级下册等腰三角形添辅助线的综合专题(含答案)
提升题：等腰三角形常见的七种添加辅助线技巧类型一：已知底边的中点，常作底边的中线例题1 如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，E ，F 分别是AB ，AC 上的点，且BE ＝AF ，求证：(1)ED ＝DF ；分析：D 是底边的中点，直接连接AD ，根据三线合一以及△BED ≌△AFD 即可证明。
证明：如图，连接AD ，∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∠BAD ＝∠CAD ，∠B ＝∠C.∵∠BAC ＝90°，∴∠B ＝∠C ＝∠BAD ＝∠CAD ＝45°，∴AD ＝BD.在△BED 与△AFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝AF ，∠B ＝∠DAF ，BD ＝AD ，∴△BED ≌△AFD (SAS)，∴ED ＝DF . (2) ED ⊥DF.证明：∵△BED ≌△AFD ，∴∠BDE ＝∠ADF ，∴∠BDE ＋∠EDA ＝∠EDA ＋∠ADF ＝90°，∴∠EDF ＝90°，∴ED ⊥DF.类型二：等腰三角形中没有底边中点时，常作底边上的高例题2 如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC.求证：EB⊥AB.证明：如图，作EF⊥AC于点F，∵EA＝EC，∴AF＝FC.又∵AC＝2AB，∴AF＝AB.又∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠ABE＝∠AFE＝90°，∴EB⊥AB.类型三等腰三角形中证与腰有关联的线段时，常作腰的平行线（或垂线）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P从点B出发沿线段BA移动(点P与A，B不重合)，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.求证：PD＝QD.证明：如图，过点P作PF△AC交BC于点F.∵点P和点Q同时出发，且速度相同，∴BP＝CQ.△PF//AQ，∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD.又△AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠B＝∠PFB. ∴BP＝PF.∴PF＝CQ.在△PFD和△QCD中，∠DPF＝∠DQC，∠PDF＝∠QDC，PF＝CQ，∴△PFD≌△QCD(AAS)，∴PD＝QD.类型四：等腰三角形中证与底有关联的线段时，常作底的平行线。
等腰三角形典型例题练习(含答案)汇总(2)
等腰三角形典型例题练习等腰三角形典型例题练习•选择题（共2小题）AD 平分/ BAC 交BC 于D,若BC=5cm , BD=3cm ，则点 D 到AB 的距离为（2. 如图，已知 C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC 、BC 为边并且在AB 的同一侧作等边 △ ACD 和等边△ BCE,连接AE 交CD 于M ，连接BD 交CE 于N .给出以下三个结论：① AE=BD② CN=CM③ MN // AB其中正确结论的个数是（ ）A. 0 B . 1 |C. 2 D. 3二.填空题（共1小题）3. ______________________________________ 如图，在正三角形 ABC 中，D, E, F 分别是 BC, AC , AB 上的点，DE 丄AC , EF 丄AB , FD 丄BC ,则△ DEF 的面积与△ ABC 的面积之比等于 .E 、F 分别为 AB 、AC 上的点，且/ EDF+ / EAF=180 °求证5. 在△ ABC 中，/ ABC 、/ ACB 的平分线相交于点 0,过点0作DE // BC,分别交 AB 、AC 于点D 、E.请说明DE=BD+EC .C DA . 5cm B. 3 cm C. 2cm |D .不能确定1.如图，/ C=90°三.解答题（共15小题）6. ＞已知：如图，D是厶ABC的BC边上的中点，DE丄AB , DF丄AC ,垂足分别为 E, F,且DE=DF .请判断△ ABC 是什么三角形？并说明理由.7. 如图，△ ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长 BC至E,使CE=CD .连接DE .(1)Z E等于多少度？(2)△ DBE是什么三角形？为什么？&如图，在△ ABC 中，/ ACB=90 ° CD 是 AB 边上的高，/ A=30 ° 求证：AB=4BD .9.如图，△ ABC中，AB=AC，点D、E分别在 AB、AC的延长线上，且 BD=CE , DE与BC相交于点F.求证: DF=EF .10 .已知等腰直角三角形 ABC , BC是斜边./ B的角平分线交 AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E,求证：BD=2CE .11. (20PP?牡丹江)如图①，△ ABC中.AB=AC , P为底边 BC上一点，PE丄AB , PF丄AC , CH丄AB，垂足分别为E、F、H.易证PE+PF=CH .证明过程如下：如图①，连接AP.•/ PE丄 AB , PF丄 AC , CH 丄 AB ,二 S^ABP=P AB ?PE, S A ACP= AC?PF, S A ABC=』AB?CH .又••• S A ABP +S A ACP =S A ABC ,••• !AB ?PE +!AC ?PF 去B ?CH •2 [2 2•/ AB=AC ,• PE +PF =CH •(1)如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变， PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想, 并加以证明： (2) 填空：若/ A=30 ° △ ABC 的面积为49,点P 在直线BC 上，且P 到直线ACPE= •的长(请你直接写出结果)13. 已知：如图， AF 平分/ BAC , BC 丄AF 于点E,点D 在AF 上，ED=EA ，点P 在CF 上，连接PB 交AF 于点 M .若/ BAC=2 / MPC ，请你判断/ F 与/ MCD 的数量关系，并说明理由.C14. 如图，已知 △ ABC 是等边三角形，点 D 、E 分别在BC 、AC 边上，且 AE=CD , AD 与BE 相交于点F.(1) 线段AD 与BE 有什么关系？试证明你的结论.(2) 求/ BFD 的度数.的距离为PF ,当PF=3时，则12 •数学课上，李老师出示了如下的题目：在等边三角形 ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且 ED=EC ，如图, 关系，并说明理由”.小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：(1) 特殊情况，探索结论当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论： 或=”). (2) 特例启发，解答题目解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE ________EF // BC ,交AC 于点F .(请你完成以下解答过程)(3) 拓展结论，设计新题 在等边三角形 ABC 中，点E 在直线 AB 上，点D 在直线BC 上，且ED=EC •试确定线段 AE 与DB 的大小 AE DB （填DB (填\”， 或=”).理由如下：如图 2，过点E 作AE=2，求 CD16. 已知：如图，在 △ OAB 中，/ AOB=90 ° OA=OB ，在△ EOF 中，/ EOF=90 ° OE=OF ，连接 AE 、BF .问线 段AE 与BF 之间有什么关系？请说明理由.17. (20PP?郴州)如图，在 △ ABC 中，AB=AC , D 是BC 上任意一点，过 D 分别向AB , AC 引垂线，垂足分别为E, F ，CG 是AB 边上的高.(1) DE ，DF ，CG 的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明;(1)中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由.18. 如图甲所示，在 △ ABC 中，AB=AC ，在底边BC 上有任意一点P ，贝U P 点到两腰的距离之和等于定长(腰上 的高)，即PD+PE=CF ，若P 点在BC 的延长线上，那么请你猜想 PD 、PE 和CF 之间存在怎样的等式关系？写出你 的猜想并加以证明.和CF , 求证：AE=CF .(2)若D 在底边的延长线上, 甲等腰三角形典型例题练习参考答案与试题解析一 •选择题（共2小题）1. 如图，/ C=90° AD 平分/ BAC 交BC 于D ，若BC=5cm , BD=3cm ，则点D 到AB 的距离为（） A . 5cmB . 3cm C. 2cm D.不能确定 解：T / C=90 ° AD 平分/ BAC 交 BC 于 DD 到AB 的距离即为CD 长CD=5 - 3=2故选C .2. 如图，已知C 是线段AB 上的任意一点（端点除外），分别以AC 、BC 为边并且在AB 的同一侧作等边△ ACD 和等边△ BCE ，连接AE 交CD 于M ，连接BD 交CE 于N .给出以下三个结论：①AE=BD ②CN=CM ③MN // AB 其中正确结论的个数是（） 卜析： 由厶ACD 和厶BCE 是等边三角形，根据 SAS 易证得△ ACE DCB ，即可得① 正确；由A ACE DCB ，可得 / EAC= / NDC ，又由/ ACD= / MCN=60 °利用ASA ，可证得△ ACM DCN ，即可得②正确；又可证得 △ CMN 是等边三角形，即可证得 ③正确. 军答： 解：：△ ACD 和厶 BCE 是等边三角形，二/ ACD= / BCE=60 ° AC=DC ，EC=BC ， /•Z ACD+ / DCE= / DCE+ / ECB ，即/ ACE= / DCB ，二△ ACEDCB （SAS ）， ••• AE=BD，故① 正确； /Z EAC= Z NDC ，T Z ACD= Z BCE=60 ° /Z DCE=60 ° /Z ACD= Z MCN=60 ° •/ AC=DC ，/△ ACM DCN （ASA ），•/ CM=CN ，故②正确； 又Z MCN=180。
辅助线证明题三角形全等
做辅助线证明三角形全等1、如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 为腰CB 上的中线，CE ⊥AD 交AB 于E ．求证∠CDA ＝∠EDB ．2、在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，CE 是角平分线，和高AD 相交于F ，作FG ∥BC 交AB 于G ，求证：AF ＝BG ．3、如图，已知△ABC 是等边三角形，∠BDC ＝120º，说明AD=BD+CD 的理由4、如图，在△ABC 中，AD 是中线，BE 交AD 于F,且AE=EF,说明AC=BF 的理由5、如图，在△ABC 中，∠ABC=100º，AM=AN,CN=CP,求∠MNP 的度数C 1 2 A B CD E6、用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB 、AC 重合.将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC 、CD 相交于点E 、F 时（如图所示），通过观察或测量BE 、CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；B（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC 、CD 的延长线相交于点E 、F 时（如图所示），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由。
B7、.在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD ＋BE ；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE =AD －BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．C B A ED 图1 N M A B C DE M N 图2 A C B E D N M 图3。
专题训练(一) 等腰三角形中常见辅助线的作法
证明：过点 E 作 EF⊥AC 于点 F，∵EA＝EC，∴AF＝FC＝12 AC. ∵AC＝2AB，∴AF＝AB.∵AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，∴∠BAD＝∠CAD， 在△BAE 和△FAE 中，A∠BB＝AADF＝，∠CAD， ∴△ABE≌△AFE(SAS)，
AE＝AE， ∴∠ABE＝∠AFE＝90°，∴EB⊥AB
证明：过点 E 作 EG∥AC 交 BC 于点 G，则∠ACB＝∠BGE，∠F＝∠DEG， ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠BGE，∴BE＝GE.
又∵BE＝CF，∴GE＝CF.在△CDF 和△GDE 中，∠ ∠FC＝ DF∠＝D∠EGG， DE， CF＝GE，
∴△CDF≌△GDE(AAS)， ∴DE＝DF
方法2：截长补短构造等腰三角形 技巧点拨：对于线段和差问题，利用“截长补短”的思想，添加辅助线，可构 造等腰三角形来实现边角之间的转化． 7．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D， 求证：AB＝AD＋BC.
证 明 ： 方 法 一 ： ( 截 长 法 ) ， 如 图 ① ， 在 AB 上 截 取 BE ＝ BC ， 连 接 ED ， 易 证 △BCD≌△BED，∴∠DEB＝∠ACB＝108°.又∵∠A＝∠ABC＝36°，∴∠AED＝ ∠ADE＝72°，∴AD＝AE，∴AB＝BE＋AE＝BC＋AD.
解：如图，过点 C 作 BA 的垂线，交 BA 的延长线于点 D. ∵AB＝AC，∠B＝15°，∴∠CAD＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°. ∵AC＝2ห้องสมุดไป่ตู้CD 是 AB 边上的高，∴CD＝12 AC＝12 ×2＝1. ∴AB 边上的高是 1
4．如图，四边形ABCD中，∠C＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°. 若AB＝2，CD＝8，求AD的长．
专题 等腰三角形中常用的辅助线作法(原卷版)
（苏科版）八年级上册数学《第2章轴对称图形》专题等腰三角形中常用的辅助线作法解题技巧提炼当遇到等腰三角形时，常利用“三线合一”的性质，若已知图中无此线，可将其构造出来以辅助解决问题，通常是作底边上的高，再证底边上的中线或顶角的平分线.【例题1】（2022秋•秦淮区月考）如图所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝DE，F是CD的中点，连接AF．求证：AF⊥CD．【变式1-1】如图，△ABC中，CA＝CB，D在AC的延长线上，E在BC上，且CD＝CE，求证：DE⊥AB．【变式1-2】（2022秋•新洲区期中）如图．△ABC中，CA＝CB．D是AB的中点．∠CED＝∠CFD＝90°，CE＝CF，求证：∠ADF＝∠BDE．【变式1-3】已知：如图，△ABC中，AB＝AC，CE⊥AE于E，CE=12BC，E在△ABC外，求证：∠ACE＝∠B．【变式1-4】（2022秋•晋江市期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB．【变式1-5】（2022秋•大足区期末）如图所示，△ABC中，AC＝BC，点D是AB上一点，DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F．（1）若∠ADE＝160°，求∠DEF的度数；（2）若点D是AB的中点，求证：∠BDE=12∠ACB．【变式1-6】（2022秋•南乐县月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，且BE＝4．（1）求∠D的度数；（2）若BC＝5，求ED的长．【变式1-7】如图，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝AB+CD．（1）求证：BE＝CE；（2）求证：AE⊥DE；（3）求证：AE平分∠DAB．【例题2】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，EF 交AB 于点E ，交BC 与点D ．交AC 的延长线于点F ，且BE ＝CF ．求证：DE ＝DF ．【变式2-1】如图，△ABC 是等边三角形，D 为AC 延长线上一点，E 是BC 延长线上一点，CE ＝AD ，求证：DB ＝DE．【变式2-2】如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD＝DE，EF∥BC交BD于F．求证：AB＝EF．【变式2-3】如图，在△ABC中，AB＝AC，在AB上取一点E，在AC的延长线上取一点F，使BE＝CF，EF交BC于点G．（1）试说明EG＝FG；（2）试说明AB+AC＞2EG．【变式2-4】如图，在△ABC中，AB＝AC，E在线段AC上，D在AB的延长线，连DE交BC于F，过点E 作EG⊥BC于G．（1）若∠A＝50°，∠D＝30°，求∠GEF的度数；（2）若BD＝CE，求证：FG＝BF+CG．【变式2-5】如图所示，等边三角形ABC的边长是6，点P在边AB上，点Q在BC的延长线上，且AP＝CQ，设PQ与AC相交于点D．（1）当∠DQC＝30°时，求AP的长．（2）作PE⊥AC于E，试探究DE、AE、CD三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．【变式2-6】已知，△ABC为等边三角形，点D为AC上的一个动点，点E为BC延长线上一点，且BD＝DE．（1）如图1，若点D在边AC上，猜想线段AD与CE之间的关系，并说明理由；（2）如图2，若点D在AC的延长线上，（1）中的结论是否成立，请说明理由．【变式2-7】如图，AD为△ABC的平分线，E为BC的中点，EF∥AD交BA的延长线于F，交AC于G．（1）求证：AF＝AG；（2）求证：BF＝CG；（3）求AB AC CG的值．【例题3】如图，△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝108°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，求证：AB ＝AD +BC ．【变式3-1】如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，E 为BC 上一点，BE ＝DE ．求证：BC ＝CD +AD．解题技巧提炼对于线段和差问题，利用“截长补短法”的思想，添加辅助线，可构造等腰三角形来实现边角之间的转化.【变式3-2】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD＝AB，CM⊥AD交AD延长线于点M．求证：AM=12（AB+AC）．【变式3-3】如图（1），线段AD∥BC，连接AB、CD，取CD中点E，连接AE，AE平分∠BAD．（1）线段AB与AD、BC之间存在怎样的等量关系？请说明理由．（2）如果点C在AB的左侧，其他条件不变，如图（2）所示，那么（1）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出新的结论，并说明理由．【变式3-4】（2022秋•崇川区校级月考）如图1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．（1）求证：△BCD为等腰三角形；（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD＝AB+BE；（3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论．【变式3-5】在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系．（1）如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN．（2）如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？答： ．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．（3）如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．【例题4】阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE ＝∠CDE ．求证：AB ＝CD ．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB ＝CD ，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接BF ；②如图2，分别过点B 、C 作BF ⊥DE ，CG ⊥DE ，垂足分别为点F ，G ．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．【变式4-2】如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E 是AD 上一点，BE ＝AC ．若∠C ＝70°，∠DAC ＝50°，求∠EBD的度数．解题技巧提炼当题目中已知某线段的中点时，通过倍长中点处的线段构造全等三角形，从而将题目中的相等的角或边集中到新的三角形中构成等腰三角形.【变式4-3】（2022秋•文峰区月考）如图，已知△ABC中，AD是中线，AE是△ABD的中线，BA＝BD，∠BAD ＝∠BDA，求证：AC＝2AE．【变式4-4】阅读并完成以下填空：如图1，已知：AD为△ABC的中线，求证AB+AC＞2AD．证明：延长AD至E使得DE＝AD．连接EC，则AE＝2AD．∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD．在△ABD和△CED中，BD＝CD， ， ．∴△ABD≌△CED．∴AB＝EC．在△ACE中，根据三角形的三边关系有AC+EC AE．而AB＝EC，AE＝2AD，∴AB+AC＞2AD．这种添加辅助线的方法，我们称为“倍长中线法”．请利用这种方法解决下列问题：问题1：如图2，在△ABC中，AC＝5，AB＝13，D为BC的中点，DA⊥AC．求△ABC的面积．问题2：如图3，在△ABC中，AD是三角形的中线．点F在中线AD上，且BF＝AC，连接并延长BF 交AC于点E．求证AE＝EF．【变式4-5】（2023春•汉寿县期中）已知：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，AB＝BC，AD＝DE，按图1放置，使点E在AB上，取CE的中点F，连接DF，BF．（1）观察发现：图1中DF，BF的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明：将图1中的△ADE绕点A顺时针转动45°，再连接CE，取CE的中点F（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论；（3）拓展延伸：将图1中的△ADE绕点A顺时针转动任意角度（转动角度在0°到90°之间），再连接CE的中点F（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？请证明你的结论．【例题5】如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，CD平分∠ACB交AB于D，求证：AC+AD＝BC．【变式5-1】在△ABC中，AD是BC边上的高，CD＝AB+BD．求证：∠B＝2∠C．【变式5-2】如图，在△ABC中∠ABC＝2∠C，若AD⊥BC于D，BD＝4，CD＝16，求AB的长．【变式5-3】（2022•南京模拟）小明在完成一道几何证明问题时，往往会思考看是否会有不同的证明方法．例如：在如图1所示的△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且BD＝BC，求证：∠ABC＝2∠ACD．他发现，除了方法1直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：方法2：如图2，作BE⊥CD，垂足为点E．方法3：如图3，作CF⊥AB，垂足为点F．根据阅读材料，请你从三种方法中任选一种方法，证明∠ABC＝2∠ACD，并写出其证明过程．。
等腰三角形经典练习题及详细答案
等腰三角形练习题一、计算题：1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数3、AB 于⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数CFDA4. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=21,DE+BC=1,求∠ABC 的度数BBDC7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值二、证明题：8. 如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系9. 如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O求证：AE+CD=ACABCDAD FEABCDE12. 如图,△ABC 中,AB=AC,D 为△ABC 外一点，且∠ABD=∠ACD =60° 求证：CD=AB-BD13.已知：如图，AB=AC=BE ，CD 为△ABC 中AB 边上的中线求证：CD=21CE14. 如图，△ABC 中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=EDECA BDE1 2 ABCD15. 如图，△ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF 交BC 于点G 求证：EG=FG16. 如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 是BC 边上的高，B 到点E ，使BE=BD求证：AF=FC17. 如图，△ABC 中，AB=AC,AD 和BE 两条高，交于点H ，且AE=BE 求证：AH=2BDABDFECBD18. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠BAC=90°,BD=AB, ∠ABD=30° 求证：AD=DC19. 如图，等边△ABC 中，分别延长BA 至点E ，延长BC 至点D ，使AE=BD 求证：EC=ED20. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD+∠BCD=180°，AD 、BC 的延长线交于点F ，DC 、AB 的延长线交于点E ，∠E 、∠F 的平分线交于点H 求证：EH ⊥FHBCDHABDCEF一、计算题：1. 如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB求∠A的度数设∠ABD为x,则∠A为2x由8x=180°得∠A=2x=45°2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD求∠A的度数设∠A为x,由5x=180°得∠A=36°3. 如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥BC交AC于点F，若∠EDF=70°，求∠AFD的度数∠AFD=160°FDAB4. 如图，△ABC中，AB=AC,BC=BD=ED=EA求∠A的度数设∠A为x∠A=71805. 如图，△ABC中，AB=AC，D在BC上, ∠BAD=30°,在AC上取点E，使AE=AD, 求∠EDC的度数设∠ADE为x∠EDC=∠AED－∠C=15°B2x6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=21,DE+BC=1,求∠ABC 的度数 延长DE 到点F,使EF=BC 可证得:△ABC ≌△BFE 所以∠1=∠F 由∠2+∠F=90°, 得∠1+∠F=90°在Rt △DBF 中, BD=21,DF=1所以∠F =∠1=30°7. 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值在AC 上取一点E,使AE=AB 可证△ABD ≌△ADE 所以∠B=∠AEDFAE由AC=AB+BD,得DE=EC,所以∠AED=2∠C 故∠B ：∠C=2:1 二、证明题：8. 如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 证明△PBD 和△PEA 是等腰三角形9. 如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系 DF+AD=AE在AE 上取点B,使AB=AD10. 如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O 求证：AE+CD=AC 在AC 上取点F,使AF=AE 易证明△AOE ≌△AOF, 得∠AOE=∠AOF由∠B=60°，角平分线AD 、CE,CBAD EPAD FEBOABCDEF得∠AOC=120°所以∠AOE=∠AOF=∠COF=∠COD=60°故△COD ≌△COF,得CF=CD所以AE+CD=AC11. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠A=100°，BD 平分∠ABC,求证：BC=BD+AD延长BD 到点E,使BE=BC,连结CE在BC 上取点F,使BF=BA易证△ABD ≌△FBD,得AD=DF再证△CDE ≌△CDF,得DE=DF故BE=BC=BD+AD也可:在BC 上取点E,使BF=BD,连结DF在BF 上取点E,使BF=BA,连结DE先证DE=DC,再由△ABD ≌△EBD,得AD=DE,最后证明DE=DF 即可 12. 如图,△ABC 中,AB=AC,D 为△ABC 外一点，且∠ABD=∠ACD =60° 求证：CD=AB-BD在AB 上取点E ，使BE=BD ，在AC 上取点F ，使CF=CD得△BDE 与△CDF 均为等边三角形，只需证△ADF ≌△AED AC FA C E F A BCDE F13.已知：如图，AB=AC=BE ，CD 为△ABC 中AB 边上的中线求证：CD=21CE 延长CD 到点E,使DE=CD.连结AE 证明△ACE ≌△BCE14. 如图，△ABC 中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC求证：BD=ED在CE 上取点F,使AB=AF易证△ABD ≌△ADF,得BD=DF,∠B=∠AFD 由∠B+∠BAC+∠C=∠DEC+∠EDC+∠C=180°所以∠B=∠DEC所以∠DEC=∠AFD所以DE=DF,故BD=ED15. 如图，△ABC 中，AB=AC,BE=CF,EF 交BC 于点G求证：EG=FGE C A B D E 1 2 F16. 如图，△ABC 中，∠ABC=2∠C ，AD 是BC 边上的高，B 到点E ，使BE=BD 求证：AF=FC17. 如图，△ABC 中，AB=AC,AD 和BE 两条高，交于点H ，且AE=BE 求证：AH=2BD 由△AHE ≌△BCE,得BC=AH18. 如图，△ABC 中，AB=AC, ∠BAC=90°,BD=AB,∠ABD=30°求证：AD=DC作AF ⊥BD 于F,DE ⊥AC 于E可证得∠DAF=DAE=15°,所以△ADE ≌△ADF得AF=AE,由AB=2AF=2AE=AC,所以AE=EC,因此DE 是AC 的中垂线,所以AD=DCA B DFE C B D19. 如图，等边△ABC 中，分别延长BA 至点E ，延长BC 至点D ，使AE=BD 求证：EC=ED延长BD 到点F,使DF=BC,可得等边△BEF,只需证明△BCE ≌△FDE 即可20. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD+∠BCD=180°，AD 、BC 的延长线交于点F ，DC 、AB 的延长线交于点E ，∠E 、∠F 的平分线交于点H求证：EH ⊥FH延长EH 交AF 于点G由∠BAD+∠BCD=180°,∠DCF+∠BCD=180°得∠BAD=∠DCF,由外角定理,得∠1=∠2,故△FGM 是等腰三角形 由三线合一,得EH ⊥附录资料：不需要的可以自行删除生活中的物理知识大全厨房中的物理知识我们认真观察厨房里燃料、炊具，做饭、做菜等全部过程，回忆厨房中发生的一系列变化，会看到有关的物理现象。
等腰三角形常用辅助线
等腰三角形常用辅助线一、作高线（顶角平分线、底边中线） 例1、小课本P44,等腰三角形性质的证明例2、已知：如图，△ABC ，AB=AC ，CD ⊥AB 于D 求证：∠BAC=2∠DCB法1、法2、变式：求证：等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
（需分类讨论）例3、已知：△ABC ，AB=AC ，∠A=120°，AB 的中垂线交AB 于D ，交CA 延长线于E 求证：DE=12BC （无图） 总结：倍、半关系证明方法例4、已知：如图，△ABC，AB=AC,在BA延长线上取AE=AF。
求证：EF⊥BC（多种方法）例5、已知：如图，RtΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，AE＝BF．求证：（1）DE＝DF；（2）ΔDEF为等腰直角三角形．是等边三角形，延长BC到点D,延长BA到E,且BD=AE,试判断CE例6、已知如图ABC与DE的关系，并证明你的结论。
二、移腰(利用等腰三角形两腰相等，变换相等线段的位置) 例1、小课本P50，例1 例2、小课本P50，例2 例3、小课本P52，练习4（角平分线+平行线=等腰三角形模型；对比全等处的截长补短） 例4、（校本P28，4）已知：如图7－9，在ΔABC 中，CE 是角平分线，EG ∥BC ，交AC 边于F ，交∠ACB 的外角 （∠ACD ）的平分线于G ，探究线段EF 与FG 的数量关系并证明你的结论．例5、如图2，△ABC 中，AB ＝AC ，在AC 上取点P ，过点P 作EF ⊥BC ，交BA 的延长线于点E ，垂足为点F ．求证：．AE ＝AP ． 例6、如图3，在△ABC 中，∠BAC 、∠BCA 的平分线相交于点O ，过点O 作DE ∥AC ，分别交AB 、BC 于点D 、E ．试猜想线段AD 、CE 、DE 的数量关系，并说明你的猜想理由．例7、如图4，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 、F 分别在BD 、AD 上，且DE ＝CD ，EF ＝AC ．求证：EF ∥AB ．图2FBACD P ECA B EDO图3图4F C DEB AM例8、已知：如图，△ABC ，AB=AC,BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于E 求证：CD=12BE例9、已知：AB=7，AC=11，M 为BC 中点,AD 平分∠BAC,MF ∥AD, 求CF利用角平分线+平行线，构造等腰三角形模型总结：当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图1①中，若AD 平分∠BAC ，AD ∥EC ，则△ACE 是等腰三角形；如图1②中，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，则△ADE 是等腰三角形；如图1③中，AD 平分∠BAC ，CE ∥AB ，则△ACE 是等腰三角形；如图1④中，AD 平分∠BAC ，EF ∥AD ，则△AGE 是等腰三角形．例10、（移腰与截长补短结合）（校本P29，2）已知：如图，ΔABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝100°，BE 平分∠B 交AC 于E ． （1）求证：BC ＝AE ＋BE ；（2）探究：若∠A ＝108°，那么BC 等于哪两条线段长的和呢？试证明之． 1)图1①D B②CBD BC④BF CDBB三、例5、已知：如图，AC=BC，∠C=20°，又M在AC边上，N在BC边上且满足∠BAN=50°，∠ABM=60°，求∠NMB的度数。
八年级数学下册2.解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法 (2)(附答案)
解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法——形成精准思维模式，快速解题◆类型一利用“三线合一”作辅助线一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线)1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BE于点E，且∠ABE＝∠ABC.若BE＝2，则BC ＝________.2．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE ＝AF.求证：DE＝DF.3．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且EA ＝EC，连接EB.求证：EB⊥AB.二、构造等腰三角形4．如图，在△ABC中，BP平分∠BAC，且AP⊥BP于点P，连接CP.若△PBC的面积为2，则△ABC的面积为( )A．3 B．4 C．5 D．65．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE⊥BD，交BD的延长线于点E.求证：BD＝2CE.◆类型二巧用等腰直角三角形构造全等6．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E，F分别在AC，BC上．求证：DE＝DF.◆类型三等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：BC ＝AB＋CD.8．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连接PQ交AC于点D.(1)求证：PD＝DQ；(2)若△ABC的边长为1，求DE的长．【方法8】参考答案与解析1．42．证明：连接AD.∵AB＝AC ，D 是BC 的中点，∴∠EAD＝∠FAD.在△AED 和△AFD 中，⎩⎨⎧AE ＝AF ，∠EAD＝∠FAD，AD ＝AD ，∴△AED≌△AFD，∴DE＝DF.3．证明：过点E 作EF⊥AC 于点F.∵EA＝EC ，∴AF＝FC ＝12AC.∵AC＝2AB ，∴AF＝AB.∵AD 平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.又∵AE＝AE ，∴△ABE≌△AFE(SAS)，∴∠ABE＝∠AFE＝90°，∴EB⊥AB.4．B5．证明：如图，延长BA 和CE 交于点M.∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°.∵BD 平分∠ABC，∴∠MBE ＝∠CBE.又∵BE＝BE ，∴△MBE≌△CBE，∴EM＝EC ＝12MC.∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠MAC＝90°，BA ＝AC ，∴∠ABD＋∠BDA＝90°.∵∠BEC＝90°，∴∠ACM＋∠CDE＝90°.∵∠BDA＝∠E DC ，∴∠ABE＝∠ACM.又∵AB＝AC ，∴△ABD≌△ACM(ASA)，∴DB＝MC ，∴BD＝2CE.6．证明：连接CD.∵AC＝BC ，∠C＝90°，D 是AB 的中点，∴CD 平分∠ACB，CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∠B＝∠C＝45°，∴∠ACD＝∠B＝∠BCD，∴CD ＝BD.∵ED⊥DF，∴∠EDF＝∠EDC＋∠CDF＝90°.又∵∠CDF＋∠BDF＝90°，∴∠EDC＝∠FDB，∴△ECD≌△FBD，∴DE＝DF.7．证明：如图，在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE.∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD.又∵BD＝BD ，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠BED＝∠A＝108°，∴∠CED＝180°－∠BED＝72°.又∵AB＝AC ，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝12×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE ＝180°－∠ACB－∠CED＝180°－36°－72°＝72°.∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE ，∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD.8．(1)证明：过点P作PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD ＝∠QCD.∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠AFP＝60°，∴△APF是等边三角形，∴PF＝PA＝CQ，∴△PFD≌△QCD，∴PD＝DQ.(2)解：由(1)知△APF是等边三角形，∵PE⊥AC，∴AE＝EF.由(1)知△PFD≌△QCD，∴DF＝CD，∴DE＝EF＋DF＝12AF＋12CF＝12AC.又∵AC＝1，∴DE＝12.。
等腰三角形七种常见辅助线作法(方法梳理与题型分类讲解)(人教版)(教师版) 25学年八年级数学上册
专题13.14等腰三角形七种常见辅助线作法（方法梳理与题型分类讲解）第一部分【模型归纳与题型目录】题型目录【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明 (1)【题型2】遇到中点作中线求值或证明 (6)【题型3】过一腰上的某一已知点作另一腰的平行线 (10)【题型4】过一腰上的某一已知点作底边的平行线 (14)【题型5】倍长中线构造等腰三角形 (20)【题型6】截长补短构造等腰三角形 (24)【题型7】延长相交构造或证明等腰三角形 (28)第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】作等腰三角形底边上高线求值或证明【例1】（2024·浙江·模拟预测）如图，ABC V 是等腰三角形，AB AC =．设BAC α∠=．(1)如图1，点D 在线段AB 上，若45ACD BAC ∠+∠=︒，求DCB ∠的度数（用含α的代数式表示）．(2)如图2，已知AB AC BD ==．若180∠+∠=︒ABD BAC ，过点B 作BH AD ⊥于点H ，求证：12BH BC =．【答案】(1)452DCB ∠=+︒α(2)见解析【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，（1）根据等腰三角形的性质可得B ACB ∠=∠，设ACD β∠=，DCB x ∠=，解出方程组，即可求解；（2）延长DB ，交AC 于点F ，过点A 作AE BC ⊥于点E ．根据180∠+∠=︒ABD BAC ，可得ABF BAC α∠=∠=．再由等腰三角形的性质可得1122D DAB ABF α∠=∠=∠=，从而得到1122BAE BAF α∠=∠=，12BE BC =，进而得到DAB BAE ∠=∠，然后根据角平分线的性质定理，可得BH BE =，即可求证．解：（1）∵AB AC =，∴B ACB ∠=∠．设ACD β∠=，DCB x ∠=，则()452180x βαβα+=︒⎧⎨++=︒⎩解得：452x α=+︒，即452DCB ∠=+︒α；（2）如图，延长DB ，交AC 于点F ，过点A 作AE BC ⊥于点E ．∵180∠+∠=︒ABD BAC ，180ABD ABF ∠+∠=︒．∴ABF BAC α∠=∠=．又∵AB BD =，∴1122D DAB ABF α∠=∠=∠=∵AB AC =，∴1122BAE BAF α∠=∠=，12BE BC =∴DAB BAE ∠=∠．又∵BH AD ⊥，BE AE ⊥，∴BH BE =，∴12BH BC =．【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC V 中，2AC AB =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，E 是AD 上一点，且EA EC =．求证：EB AB ⊥．【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键．作EF AC ⊥于点F ，根据等腰三角形的性质得出12AF FC AC ==，再证明 ≌ABE AFE 即可得出结论．证明：如图，作EF AC ⊥于点F．EA EC = ，12AF FC AC ∴==．2AC AB = ，AF AB ∴=．AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠．在BAE 和FAE 中，AB AF BAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABE AFE ∴ ≌，90ABE AFE ∴∠=∠=︒，EB AB ∴⊥．【变式2】（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）在ABC V 中，AB AC =，过点C 作射线CB '，使ACB ACB '∠=∠（点B '与点B 在直线AC 的异侧）点D 是射线CB '上一动点（不与点C 重合），点E 在线段BC 上，且90DAE ACD ∠+∠=︒．(1)如图1，当点E 与点C 重合时，AD 与CB '的位置关系是，若BC a =，则CD 的长为；（用含a 的式子表示）(2)如图2，当点E 与点C 不重合时，连接DE ，①若30DAE ∠=︒，求BAC ∠的度数；②用等式表示BAC ∠与DAE ∠直间的数量关系，并证明．【答案】(1)互相垂直；12a (2)①60︒；②2BAC DAE∠=∠【分析】（1）根据三角形内角和定理可得AD 与CB '的位置关系是互相垂直，过点A 作AM BC ⊥于点M ，根据等腰三角形性质得到1122CM BM BC ===，利用AAS 证明ACD ACM ≌ ，根据全等三角形性质即可得出12CD CM a ==；（2）当点E 与点C 不重合时，①求解60ACD ∠=︒，可得60ACB ACB '∠=∠=︒，由AB AC =，可得60ABC ACB ∠=∠=︒，可得60BAC ∠=︒；②过点A 作AM BC ⊥于点M 、AN CB '⊥于点N ，利用AAS 证明ACD ACM ≌ ，根据全等三角形性质即可得到2BAC DAE ∠=∠；解：（1）当点E 与点C 重合时，DAE DAC ∠=∠，∵90DAE ACD ∠+∠=︒，∴90DAC ACD ∠+∠=︒，∴90ADC ∠=︒，∴AD CB '⊥，即AD 与CB '的位置关系是互相垂直，若BC a =，过点A 作AM BC ⊥于点M ，如图：则90AMC ADC ∠∠=︒=，∵AB AC =，∴1122CM BM BC a ===，在ACD 与ACM △中，ADC AMC ACD ACM AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AAS ACD ACM ≌，∴12CD CM a ==，即CD 的长为12a ，（2）解：①∵90DAE ACD ∠+∠=︒，30DAE ∠=︒，∴60ACD ∠=︒，∴60ACB ACB '∠=∠=︒，∵AB AC =，∴60ABC ACB ∠=∠=︒，∴60BAC ∠=︒；②当点E 与点C 不重合时，用等式表示BAC ∠与DAE ∠之间的数量关系是：2BAC DAE ∠=∠，证明如下：过点A 作AM BC ⊥于点M 、AN CB '⊥于点N，如图：则90AMC ANC ∠=∠=︒，∴90CAN ACB '∠+∠=︒，∵90DAE ACD ∠+∠=︒，即90DAE ACB '∠+∠=︒，∴DAE CAN ∠=∠，∵AB AC =，AM BC ⊥，∴22CA B C A A M B M ∠∠=∠=，在ACN △与ACM △中，ANC AMC ACN ACM AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ACN ACM ≌，∴CAN CAM ∠=∠，∴222BAC CAM CAN DAE ∠=∠=∠=∠；【点拨】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．【题型2】遇到中点作中线求值或证明【例3】（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）在Rt ABC △中，AB AC =，45DEF ∠=︒且DEF ∠的顶点E 在边BC 上移动，在移动过程中，边DE ，EF 分别与AB ，AC 交于点M ，N ，(1)当BE CN =且M 与A 重合时，求证：ABE ECN△≌△(2)当E 为BC 中点时，连接MN ，求证：NC AM MN=+【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，（1）根据等腰直角三角形的性质可得==45ABE ECN ∠∠︒，利用三角形外角的性质与等量代换可得BAE CEN =∠∠，在根据全等三角形的判定即可证明；（2）连接AE ，在AC 上截取AM CG =，根据等腰直角三角形的性质可得AE EC =，===45MAE CAE ACE ∠∠∠︒，证得()AME CGE SAS ≌，可得=ME GE ，=MEA GEC ∠∠，利用等量代换可得==45MEN GEN ∠∠︒，证得()MEN GEN SAS ≌，可得MN GN =，即可得证．解：（1）证明：∵AB AC =，90BAC ∠=︒，∴==45ABE ECN ∠∠︒，∵==45AEC AEN CEN CEN ∠∠+∠︒+∠，又∵==45AEC ABE BAE BAE ∠∠+∠︒+∠，∴BAE CEN =∠∠，又∵BE CN =，∴()ABE ECN AAS ≌；（2）证明：连接AE ，在AC 上截取AM CG =，∵AB AC =，90BAC ∠=︒，E 为BC 中点，∴AE BC ⊥，AE EC =，∴===45MAE CAE ACE ∠∠∠︒，在AME △和CGE 中，AM CG MAE GCE AE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AME CGE SAS ≌，∴=ME GE ，=MEA GEC ∠∠，∵90AEG GEC ∠+∠=︒，∴=90MEA AEG ∠+∠︒，即90MEG ∠=︒，∵45DEF ∠=︒，∴==45MEN GEN ∠∠︒，又∵NE NE =，=ME GE ，∴()MEN GEN SAS ≌，∴MN GN =，∵=CN CG GN +，∴=CN AM MN +．【变式1】（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，ABC V 中，AB AC =，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE AF =，求证：DE DF =．【分析】本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，属于基础题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．连接AD ，根据等腰三角形的性质可得∠∠EAD FAD =，然后即可证明AED AFD ≌，进而可得结论．证明：连接AD ，AB AC = ，D 是BC 的中点，∴∠∠EAD FAD =，在AED △和AFD △中，AE AF EAD FAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AED AFD SAS ∴ ≌，DE DF ∴=．【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在ABC 中，B C ∠∠=，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别为点E ，F ．(1)求证：DE DF =；(2)若40BDE ∠=︒，求BAC ∠的度数．【答案】(1)见解析；(2)80︒。
15.3等腰三角形专题训练及答案
15.3 等腰三角形专题一 等腰三角形知识的应用1.如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。
求证：M 是BE 的中点.2.如图,已知△ABC 为等边三角形,延长BC 到D ,延长BA 到E ,并且使AE =BD ,连结CE 、DE .求证:EC =ED .专题二 等腰三角形操作题3.在正方形网格图①、图②中各画一个等腰三角形．要求：每个等腰三角形的一个顶点为格点Ａ，其余顶点从格点Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ中选取，并且所画的两个三角形不全等．4.东风汽车公司冲压汽车零件的废料都是等腰三角形的小钢板，如图1，其中AB=AC ，该冲压厂为了降低汽车零件的成本，变废为宝，把这些废料加工成红星农业机械厂粉碎机上的零件，销售给红星农业机械厂，这些零件的形状都是矩形。
现在要把如图1所示的等腰三角形钢板切割后再焊接成两种不同规格的矩形，每种矩形的面积正好等于该三角形的面积，每次切割次数最多两次（切割的损失忽略不计）。
（1）请你设计两种不同的切割焊接方案，并用简要的文字加以说明；（2）若要把该三角形废料切割后焊接成正方形零件（只切割一次），则该三角形应满足什么条件？图①图②E专题三等腰三角形探究题5.下面是数学课堂上的一个学习片断，阅读后，请回答下面的问题:学习等腰三角形后，庞老师请同学们讨论这样一个问题上：“已知等腰三角形的两边长分别是7㎝，8㎝，请你求出三角形的周长．”同学们经片刻思考交流后，李刚同学举手说“三角形的周长为22㎝”；王明同学说：“是23㎝”，还有一些同学也提出了不同的看法．．．．．．．(1)假如你也在课堂上，你的意见如何？为什么？(2)通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？(用一句话表示)6.已知△ABC为等边三角形，在图①中，点M是线段BC上任意一点，点N线段CA 上任意一点，且BM=CN，直线BN与AM相交于Q点．（1）请猜一猜：图①中∠BQM等于多少度？（2）若M、N两点分别在线段BC、CA的延长线上，其它条件不变，如图②所示，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如不成立，请说明理由．【知识要点】1.有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边都相等的三角形叫做等边三角形.2.等腰三角形的两底角相等,等边三角形的三个内角相等,每个内角都等于60°,等腰三角形的顶角平分线垂直于底边并且平分底边.3.有两个角相等的三角形是等腰三角形,三个角都相等的三角形是等边三角形,有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.【温馨提示】1.在等腰三角形中,若说边或角时,一般都明确指出是腰还是底边,是顶角还是底角,若题目没说明,要分类讨论.2.等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角,而底角只能是锐角.3.等边三角形是特殊的等腰三角形,它不仅具有一般三角形的性质,而且还具有自身特有的性质.【方法技巧】1.在与等腰三角形有关的一些命题的证明中,会遇到一些添加辅助线的问题,其顶角的平分线、底边上的高、底边上中线是常见的辅助线,具体作哪条,要根据具体问题具体分析.2.要说明一个三角形是等边三角形,可以考虑:(1)利用定义证明;(2)证明三个角相等;(3)证明它是等腰三角形并且有一个角是60°.4.平行于等边三角形一边的直线截其它两边或其延长线,得到的三角形仍是等边三角形,解决等边三角形问题时常用这个结果作辅助线.参考答案1.证明:因为三角形ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点, 所以∠1＝21∠ABC . 又因为CE ＝CD ，所以∠CDE ＝∠E . 所以∠ACB ＝2∠E, 即∠1＝∠E .所以BD ＝BE ，又DM ⊥BC ，垂足为M , 所以M 是BE 的中点.2.证法一:延长BD 到F,使DF =BC ,连结EF ,如图2.则BE =AE +AB =BD +DF =BF ,故△BEF 为等边三角形,从而可证△BCE ≌△FDE ,所以EC =ED .证法二:过E 作EF ∥AC ,交BD 的延长线于F ,如图2,则△BEF 为等边三角形,以下同证法一.证法三:在AE 上截取EF =BC ,如图3.则AF =CD ,故AC ∥DF ,从而△BDF 是等边三角形,DF =BF =AE ,可证△ACE ≌△FED ,所以EC =ED .证法四:过D 作DF ∥AC 交AE 于F 点,如图3,以下同证法三.证法五:作EF ∥BC 交CA 的延长线于F ,如图4.则△AEF 是等边三角形,从而可证 △CEF ≌△EDB ,所以EC =ED .证法六:作DF ∥AB 交AC 的延长线于F ,连结EF,如图5.则△CDF 是等边三角形,故AF =AC +CF =BC +CD =BD =AE ,从而∠AEF =∠AFE =30O ,∠DFE =30O,即EF 是等腰△CFD 的顶角平分线,所以EF 垂直平分CD ,由此得EC =ED .证法七:作EF ⊥BD ,垂足为F ,如图6.则∠BEF =30O,BE =2BF ,即AB +AE =2BC +2CF ,从而有BC +2CF =AE =BD =BC +CD ,即CD =2CF ,有CF =DF ,EF 为CD 的垂直平分线,所以有CE =ED .3.以下答案仅供参考4.方案一：如图1（1）所示。
(完整版)初二数学辅助线常用做法及例题(含答案)
DCB A常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 法构造全等三角形．3) 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
八年级数学 构造等腰三角形解题的辅助线常用做法(含答案)
构造等腰三角形解题的辅助线常用做法等腰三角形是一种特殊的三角形，常与全等三角形的相关知识结合在一起考查。
在许多几何问题中，通常需要构造等腰三角形才能使问题获解。
那么如何构造等腰三角形呢？一般有以下四种方法：（1）依据平行线构造等腰三角形；（2）依据倍角关系构造等腰三角形；（3）依据角平分线+垂线构造等腰三角形；（4）依据120°角或60°角，常补形构造等边三角形。
1、依据平行线构造等腰三角形例1：如图。
△ABC中，AB=AB，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于D，求证DE=DF.[点拔]：若证DE=DF，则联想到D是EF的中点，中点的两旁容易构造全等三角形，方法是过E或F作平行线，构造X型的基本图形，只需证两个三角形全等即可。
证明：过E作EG∥AC交BC于G∴∠1=∠ACB，∠2=∠F∵AB=AC∴∠B=∠ACB∴∠1=∠B∴BE=GE∵BE=CF∴GE=CF在△EDG和△FDC中∠3=∠4∠2=∠FGE=CF∴△EDG≌△FDC∴DE=DF[评注]：此题过E作AC的平行线后，构造了等腰△BEG，从而达到转化线段的目的。
2、依据倍角关系构造等腰三角形例2：如图。
△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的平分线求证：AB+BD=AB[点拔]：在已知条件中出现了一个角是另一个角的2倍，可延长CB，构造等腰三角形，问题即可解决。
证明：延长CB至E，使BE=BA，连接AE∵BE=BA∴∠BAE=∠E∵∠ABC=2∠C, ∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E∴∠C=∠EAC=AE∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠EAD=∠BAE+∠1=∠E+∠1=∠C+∠2=∠BDA∴EA=ED∵ED=EB+BD，EB=AB，AC=AE∴AC=AB+BD[评注]：当一个三角形中出现了一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找等腰三角形。
3、依据角平分线+垂线，构造等腰三角形例3，如图。
专题2.1 探究等腰三角形中的常用辅助线(解析版)
专题2.1 探究等腰三角形中的常用辅助线学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1、如图，在△ABC中，AC＞BC，∠A＝45°，点D是AB边上一点，且CD＝CB，过点B作BF⊥CD于点E，与AC交于点F．∠BCD；（1）求证：∠ABF＝12（2）判断△BCF的形状，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）△BCF是等腰三角形，见解析【解析】（1）证明：过点C作CG⊥AB于点G，∴∠DCG+∠CDG＝90°，∵BC＝DC，∴∠BCG＝∠DCG＝1∠BCD，2∠BCD；∵BF⊥CD于点E，∴∠ABF+∠CDG＝90°，∴∠ABF＝∠DCG＝12（2）解：如上图，△BCF是等腰三角形，理由：∵∠A＝45°，CG⊥AB，∴∠ACG＝45°，∵∠ACB＝∠ACG+∠BCG，∠BFC＝∠A+∠ABF，∴∠ACB＝45°+∠BCG，∠BFC＝45°+∠ABF，∵∠BCG＝∠DCG＝∠ABF，∴∠BCF＝∠BFC，∴BC＝BF，∴△BCF是等腰三角形．2、如图，在△ABC中，∠B=∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F．（1）求证：DE=DF；（2）若∠A=60°，BE=3，求△ABC的周长．【答案】（1）见解析；（2）△ABC的周长为36．【解析】解：（1）证明：连接AD，∵AB=AC，D为BC边的中点，∴∠EAD=∠FAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF；（2）解：∵AB=AC，∠A=60°，∴△ABC为等边三角形．∴∠B=60°，∵∠BED=90°，∴∠BDE=30°，BD，∴BE=12∵BE=3，∴BD=6，∴BC=2BD=12，∴△ABC的周长为36．3、如图，已知30Ð=°，P是∠AOB平分线上一点，CP//OB，交OA于点C，AOBPD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，求PD的长．【答案】2【解析】解：过点P作PE⊥OA于点E，∵OP是∠AOB的平分线，∴PE=PD．∵PC∥OB，∴∠POD=∠OPC，∴∠PCE=∠POC+∠OPC=∠POC+∠POD=∠AOB=30°，PC=2，∴PD=2．∴PE=124、如图，过边长为3的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC 延长线上一点，问：若PA＝CQ时，连接PQ交AC边于D，求DE的长？【答案】32【解析】过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP=PF=AF，∵PE⊥AC，∴AE=EF，∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．在△PFD和△QCD中，∠PFD＝∠QCD∠PDF＝∠QDCPF＝CQ∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD，AC，∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE=12∵AC=3，∴DE【划考点】中线、垂线、平行线、角平分线、倍长中线等这些都是等腰三角形中常用的辅助线。
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等腰三角形常用辅助线专题练习
（含答案）
1.如图：已知，点D、E在三角形ABCの边BC上， AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE。
证明：作AF⊥BC，垂足为F，则AF⊥DE。
∵AB=AC，AD=AE
又∵AF⊥BC ，AF⊥DE，∴BF=CF，DF=EF （等腰三角形底边上の高与底边上の中线互相重合）。
∴BD=CE.
2.如图，在三角形ABC中，AB=AC,AF平行BC于F， D是AC边上任意一点，延长BA到E，使AE=AD，连接 DE，试判断直线AF与DEの位置关系，并说明理由
解：AF⊥DE．理由：延长ED交BC于G，∵AB=AC，AE=AD ∴∠B=∠C，∠E=∠ADE ∴∠B+∠E=∠C+∠ADE ∵∠ADE=∠CDG ∴∠B+∠E=∠C+∠CDG ∵∠B+∠E=∠DGC，∠C+∠CDG=∠BGE，∠BGE+∠CGD=180°∴∠BGE=∠CGD=90°∴EG⊥BC．∵AF∥BC ∴AF⊥DE．
解法2：
过A点作△ABC底边上の高，
再用∠BAC=∠D+AED=∠2∠ADE, 即∠CAG=∠AED,证明AG∥DE 利用AF∥BC证明AF⊥DE
3.如图，△ABC中，BA=BC,点D是AB延长线上一点， DF⊥AC交BC于E,求证：△DBE是等腰三角形。
证明：在△ABC中，∵BA=BC，∴∠A=∠C，∵DF⊥AC，∴∠C+∠FEC=90°，∠A+∠D=90°，∴∠FEC=∠D ∵∠FEC=∠BED，∴∠BED=
∠D，∴BD=BE，即△DBE是等腰三角形．
4. 如图，△ABC中，AB=AC,E在AC上，且AD=AE,DE の延长线与BC相交于F。
求证：DF⊥BC.
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵AD=AE，∴∠D=∠AED，
∴∠B+∠D=∠C+∠AED，∴∠B+∠D=∠C+∠CEF，
∴∠EFC=∠BFE=180°× 1/2 = 90°，∴DF⊥BC;
若把“AD =AE”与结论“DF⊥BC”互换，结论也成立。
若把条件“AB=AC”与结论“DF⊥BC”互换，结论依然成立。
5. 如图，AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD, A 求证：CM=MD.
证明：连接AC,AD
∵AB=AE,∠B=∠E,BC=ED ∴△ABC≌△AED(SAS)
∴AC=AD
∵AM⊥CD ∴∠AMC=∠AMD=90°∵AM=AM (公共边) ∴RT△ACM≌RT△ADM (HL)
∴CM=DM
6.如图，已知AD是△ABCの中线，BE交AC于F, 且AE=EF,求证：BF=AC 证明：过B点做ACの平行线,交ADの延长线于G点
∵AD为中线，∴BD=CD ∵BG平行于AC，∴∠FGB=∠CAF，∠DBG=∠ACD 在△AFE和△GFB中,∵∠FGB=∠CAF，∠GFB=∠AFE ∴△AFE∽△GFB
∴∠FGB=∠FAE
∵AE=EF,∴∠FAE=∠AFE
∴∠BFG=∠G ∴△GFB为等腰三角形，且BF=BG 在△ADC和△GBD中∵∠DBG=∠ACD，BD=CD，∠BDG=∠CDA ∴△ADC≌△GBD ∴BG=AC
∴BF=AC
7.已知：如图，△ABC(AB≠AC)中，D、E在BC上，且DE=EC,过D点作DF∥BA,交AE于点F,DF=AC, 求证：AE平分∠BAC
证明：延长AE，过D作DM‖AC交AE延长线于M ∴∠M=∠1,∠C=∠2 在△DEM与△CEA中∠M=∠1,∠C=∠2, DE=CE ∴△DEM≌△CEA ∴DM=CA 又∵DF=CA,∴DM=DF,∴∠M=∠3 ∵AB‖FD,∴∠3=∠4,∴∠4=∠1 ∴AE 平分∠BAC
8. 已知：如图，△ABC中，AB=AC,在AB上取一点D,在延长线上取一点E,连接DE交BC于点F,若F是DE中点。
求证：BD=CE
证明：过D作DF∥AC交BC于F，∵DF∥AC（已知），∴∠DFC=∠FCE，∠DFB=∠ACB（平行线の性质）∵AB=AC（已知），∴∠B=∠ACB（等边对等角），∴∠B=∠DFB（等量代换），∴BD=DF（等角对等边），∵BD=CE（已知），∴DF=CE（等量代换），
∵∠DFC=∠FCE，∠DGF=∠CGE（已证），
∴△DFG≌△ECG（AAS），
∴DG=GE（对应边相等）
9. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC=CE,B是AD上一点， BE⊥CB 交CD 于E,AC⊥DC, 求证：BE=1/2BC
证明：过点A作AF⊥BC交BC于点F
∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠ABF=∠ACF…（1）∴AF是BC上の垂直平分线，AF⊥BC，BF=CF=BC/2……（2）∵BE⊥BC，∴BE//AF ∴∠DBE=∠BAF………………………………（3）∵∠CBE=90°∴∠DBE+∠ABF=90°=∠ACF+∠ECB…………（4）由（1）和（4）知道：∠DBE=∠ECB………………（5）由（3）和（5）知道：∠BAF=∠ECB 又∵AB=CE，∠BFA=∠EBC=90°∴RT△BFA≌RT△EBC（角角边）∴BF=EB…………………………（6）由（2）和（6）知道：BE=BC/2
10.如图，AD为△ABCの角平分线，M为BCの中点，ME∥DA交 BA延长线于E, 求证：BE=CF=1/2(AB+AC)
证明：（1）延长EM，使EM=MG，连接CG
∵点M是BCの中点 ,∴BM=CM ∵∠BME=∠CMG ∴△BME≌△CMG（SAS) ∴BE=CG,∠E=∠G
∵AD平分∠BAC ,∴∠BAD=∠CAD ∵ME∥DA,∴∠BAD=∠E，∠CAD=∠AFE ∴∠E=∠AFE，∴AE=AF ∵∠AFE=∠CFG ，∴∠G=∠CFG ∴CF=CG ，∴BE=CG，∴BE=CF
(2)∵BE=AB+AE，∴2BE=2AB+2AE
∵CF=BE，AC=CF+AF，AE=AF
∴2BE=2CF=AB+(AB+AE)+AE =AB+BE+AE=AB+(CF+AE) ∵AC=AF+CF ∴2BE=AB+AC ∴BE=CF=1/2(AB+AC)
11.如图，已知△ABC中，AD⊥BC,∠ABC=2∠C. 试说明AB+BD=CDの理由。
证明：在DC上截取DE=BD，连接AE ∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADE=90°∵AD=AD ∴RT△ADB≌RT△ADE（SAS) ∴AB=AE ，∠ABC=∠AEB
∵∠AEB=∠C+∠EAC ∵∠ABC=2∠C（已知）∴∠EAC=∠C
∴AE=CE ，∴AB=CE ∵CD=CE+DE ，∴AB+BD=CD
12.已知：如图，AD是△ABCの角平分线，且AC=AB+BD. 求证：∠B=2∠C.
证明：在AC上作AE＝AB，连结DE ∵AC=AB+BD＝AE+CE ,∴BD＝CE ∵AD是角平分线 ,∴∠BAD＝∠EAD 又∵AB=AE，AD=AD ∴△ABD≌△EAD ∴∠B＝∠AED，BD＝DE＝CE
∴∠EDC=∠C，∠AED＝2∠C
即:∠B＝2∠C
13.如图所示，已知在△ABC中AD是∠Aの平分线，且∠B=2∠C. 求证：AC=AB+BD.
证明：延长AB到E，使AC=AE，连接DE
∵AD是∠BACの角平分线∴∠BAD=∠DAC（角平分线の定义）∵公共边AD=AD AC=AE ∠BAD=∠DAC ∴△ACD≌△AED (SAS) ∴∠ACB=∠DEA （全等三角形形の对角相等）
∵∠BDE+∠DEB=∠CBA ∠CBA=2∠ACB ∠ACB=∠DEA ∴∠BDE=∠DEA ∴BD=BE（等角对等边）
∵AB+BE=AE,AC=AE,BD=BE
∴AB+BD=AC
14.如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB, △ABC外一点D满足BD=AC,且BE平分∠BDE。
求∠BDEの度数解：连接CE，∵AC=BC，AE=BE，CE为公共边，∴△BCE≌△ACE，∴∠BCE=∠ACE=30° 又∵BD=AC=BC，∠DBE=∠CBE，BE为公共边，∴△BDE≌△BCE，∴∠BDE=∠BCE=30°
15.如图，已知在△ABC中，AB=BC=CA,E是AD上一点，并且 EB=BD=DE. 求证：BD+DC=AD. A
提示：证明△ABE≌△BCD即可 E B C
16.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB于M,AT平分∠BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE∥AB交BC于E，求证：CT=BE
证明1：作DF∥BC交AB于F,则:
∵∠AFD=∠B=∠ACD, AT为∠BACの角平分线,AD为公共边∴△AFD≌△ACD,AF=AC 连接TF ∵AF=AC, AT为∠BACの角平分线,AT为公共边∴△ACT≌△AFT, TF⊥AF,TF∥CM ∵DF∥CT∥BE,TF∥CD,DE∥BF ∴四边形CTFD和四边形BEDF都是平行四边形∴CT=DF=BE
证明2：作TF⊥AB于F,则: ∵∠CDT=∠ADM=90°-∠DAM=90°-∠DAC=∠CTD ∴∠CDT =∠CTD , ∴CT=CD ∵AT为∠BACの角平分线，TF⊥AB，AC⊥TC ∴CT=TF=CD ∵DE∥BF,TF∥CD, ∴∠DEC=∠B, ∠DCE=∠FTB 又∵TF=CD ∴△CDE≌△TFB, ∴CE=BT ∴CE-TE=BT-TE,CT=BE。