江苏省如皋市2021届高三上学期教学质量调研(一)数学试题

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江苏省南通市如皋县2021届高三数学上学期期中调研考试试题

江苏省南通市如皋县2021届高三数学上学期期中调研考试试题注意事项:1. 本试卷共150分,考试时间120分钟.2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知a为正实数,复数1+a i(i为虚数单位)的模为2,则a的值为()A. B. 1 C. 2 D. 32.已知集合M={1,2},集合N满足M∪N={0,1,2},则集合N的个数为()A. 3B. 4C. 6D. 73.已知a=,b=log25,c=log37,则a,b,c的大小顺序是()A. a>b>cB. c>a>bC. c>b>aD. b>c>a4. 5人排成一排照相,甲排在乙左边(可以相邻,也可以不相邻)的排法总数为 ()A. 30B. 60C. 120D. 2405.在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,双曲线x2-=1的右焦点为F,则以F为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为()A. x2+y2+4x+1=0B. x2+y2+4x+3=0C. x2+y2-4x-1=0D. x2+y2-4x+1=06.在正三棱锥S-ABC中,若SA=2,AB=2,则该棱锥外接球的表面积为()A. 4πB. 4πC. 12πD. 6π(第7题)7.将函数f(x)=sin+1的图象向右平移个单位长度后,再进行周期变换可以得到如图所示的图象()A. B.C. D.8.函数y=tan2x-2tan x的最大值为()A. -3B. 3C. 0D. -3二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得3分,不选或有错选的得0分.9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F分别为B1B,B1C1的中点,则()A. 直线A1E∥平面ACD1B. 直线B1D⊥平面ACD1C. 平面A1EF∥平面ACD1D. 平面A1B1CD⊥平面ACD110.下列关于函数的描述正确的是()A. 函数y=f(x)是奇函数的一个必要不充分条件是f(0)=0B. 定义:如果一个函数既是奇函数又是偶函数,这样的函数称为“两面派”函数,那么“两面派”函数一定有无数个C. 若一个奇函数在定义域内每个点处均有导数,则其导函数必为偶函数D. 若一个函数的导函数是奇函数,则该函数必为偶函数11.已知A=B={1,2,3},分别从集合A,B中各随机取一个数a,b,得到平面上一个点P(a,b),事件“点P(a,b)恰好落在直线x+y=n上”对应的随机变量为X,P(X=n)=P n,X的数学期望和方差分别为E(X),V(X),则()A. P4=2P2B. P(3≤X≤5)=C. E(X)=4D. V(X)=12.已知抛物线C:y2=4x,其焦点为F,P为直线x=-2上任意一点,过P作抛物线C的两条切线,切点分别为A,B,斜率分别为k1,k2,则()A. k1k2=-B. |k1-k2|=2C. AB过定点(2,0)D. AF·BF的最小值为8三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知正三角形ABC的边长为3,=, =2,则·=.14.设(1-2x)5(1+x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a6x6,则a0+a3=.15.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c均为正数)过点(1,1),值域为[0,+∞),则ac的最大值为;若实数λ满足1-b=λ,则λ的取值范围为.16.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作,其记载的“日月历法”曰“阴阳之数,日月之法,十九岁为一章,四章为一蔀,七十六岁,二十蔀为一遂,一千五百二十岁,…,生数皆终,万物复始,天以更元作纪历”.如皋是著名的长寿之乡,该地区的如城街道一老年公寓共有20位老人,他们的年龄(均为正整数)之和为一遂又三蔀,其中有两位百岁老人(均不到110岁),他们的年龄相差一岁,其余18位老人的年龄也恰好依次相差一岁,则20位老人中年龄最小的岁数为.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分)已知锐角三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=2,c=3,△ABC的面积为.(1) 求BC边上的高;(2) 求sin(A-C)的值.18. (本小题满分12分)设数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n=(a n+1-1).(1) 求证:数列{a n}是等比数列,并求通项a n;(2) 若等差数列{b n}的各项均为正数,求数列{a n b n}的前n项和T n.19. (本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形ABC是边长为2的正三角形,侧面ACC1A1是菱形,且平面ACC1A1⊥平面ABC,E,F分别是棱A1C1,BC的中点,=2.(1) 求证:EF∥平面ABB1A1;(2) 若①三棱锥C1-ABC的体积为1;②C1C与底面所成的角为60°;③异面直线BB1与AE所成的角为30°.请选择一个条件求平面EFG与平面ACC1A1所成的二面角(锐角)的余弦值.(第19题)20. (本小题满分12分)利用简单随机抽样的方法,从某校高一年级男生体检表格中抽取20名同学的胸围x(单位:cm) 与肺活量y(单位:ml)的样本,计算平均值=80.5,=4 030,并求出线性回归方程为=32.26x+a.高一男生胸围与肺活量样本统计表胸围70 75 80 85 82 73 77 73 85 72肺活量 3 700 4 600 4 000 4 300 4 400 3 400 3 200 3 800 4 400 3 500胸围70 83 78 91 81 74 91 76 104 90肺活量 3 600 4 500 3 700 4 100 4 700 3 700 4 600 4 000 4 700 3 700(1) 求a的值;(2) 求样本y与x的相关系数r,并根据相关性检验的临界值表,判断有无99%的把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的(精确到0.001);(3) 将肺活量不低于4 500 ml视为大肺活量,用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率,求从本校高一年级任意抽取4名男同学,恰有两名是大肺活量的概率.附:相关性检验的临界值表n-2检验水平0.05 0.0116 0.468 0.59017 0.456 0.57518 0.444 0.56119 0.433 0.54920 0.423 0.53721. (本小题满分12分)已知椭圆E:+=1(a>b>0),点(1,e)和都在椭圆E上,其中e为椭圆E的离心率.(1) 求椭圆E的方程;(2) 设椭圆E的左、右顶点分别为A,B,过点Q(-2,2)的直线l与椭圆E分别交于点M,N,直线OQ与BM交于点T,试问:直线AT与BN是否一定平行?请说明理由.(第21题)22. (本小题满分12分)已知函数f(x)=(x-1)-(x+2)sin x.(1) 当x∈时,求y=f(x)零点的个数;(2) 当x∈[0,2π]时,求y=f(x)极值点的个数.。

江苏省如皋中学2021-2022学年高三上学期期初测试数学试题及答案

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0,
2
21 21
【详解】设动点 P ( x, y) ，因为 PA = 2 PB ，则 (x + 2)2 + y2 = 2 (x −1)2 + y2 ，
整理得动点 P 得轨迹为 C ： ( x − 2)2 + y2 = 4( y 0) ；
设直线 PM 的方程为 y = k ( x + 3) ，即 kx − y + 3k = 0 ，
A． 30
B． 20
C．10
D．10 3
【详解】由大椭圆和小椭圆扁平程度相同，可得两椭圆的离心率相同，
由大椭圆长轴长为 40cm，短轴长为 20cm，可得焦距长为 20 3 cm，故离心率为 e = 3 ， 2
所以小椭圆离心率为 e = 3 ，小椭圆的短轴长为 10cm，即 2b =10 cm， 2
A．若 △MF1 F2
的周长为16
，则椭圆的方程为
x2 25
+
y2 16
=
1
B．若△MF1F2 的面积最大时， F1MF2 = 120 ，则 e =
3 2
C．若椭圆 C 上存在点 M 使 MF1 MF2 = 0 ，则 e 0,
2
2
D．以 MF1 为直径的圆与以 A1A2 为直径的圆内切
12.
已知椭圆
C1
:
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a b 0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ，离心率为 e1 ，椭圆 C1 的上
顶点为 M ，且 MF1 MF2 = 0 ，曲线 C2 和椭圆 C1 有相同焦点，且双曲线 C2 的离心率为 e2 ， P
为曲线 C1

江苏省如皋市2021~2021学年度高三年级第一学期教学质量调研(一

江苏省如皋市2021~2021学年度高三年级第一学期教学质量调研（一2021～2021学年度高三年级第一学期教学质量调研（一）历史问题（考试时间100分钟，满分120分）一、多项选择题：本大题共有20个子题，每个子题得3分，共计60分。

在每个子问题中列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

1.钱穆说：“这一制度在当时的政治上非常重要，一个年轻人跑到太学学习，毕业后被送到太学地方服务。

待服务地方行政有了成绩，再经长官察选到中央，又须经过中央一番规定的考试，然后才始正式入仕。

”由此可见，这一制度a．由品评官评定授官c．特别注重分科考试b、排除贵族家庭的子女担任公职D.推荐当地人才2．“1785年，为了统一货币，美国国会采用了美元，但1美元的价值是多少呢？新英格兰和弗吉尼亚州和其他州设定为6先令（英国货币单位），而中大西洋州设定为7先令和6便士，南卡罗来纳州和其他州设定为4先令和6便士。

“为了改变这种情况，1787年美国宪法规定a.建立总统民主共和国C.权力分立和中央部门的制衡b．建立联邦制国家d．强化独立的州权3.有学者在评论《高层管理新篇》时说：“这真的给天国的野蛮杀戮增添了时代气息其理论，还必须和封建性做艰巨的斗争”。

由此可推断，《资政新篇》a．不符合中国社会发展趋势b．反映农民的理想和追求c．具有先进性但缺乏现实性d．是反抗外来侵略的产物4.中共十八大第一代表、广东省惠州市惠城区汝湖镇南新村党支部书记陈兴芬说：“村子里开会，有分组讨论，也有全体大会，还有投票表决，和在人民大会堂的会差不多。

”陈杏芬的话表明，我国a、发展人民代表大会制度B.巩固政治协商制度C.完善民族区域自治制度D.不断发展基层民主政治5．《华沙条约》序言：“由于正在重新军国主义化的联邦德国加入北约，从而加深新战争的危“爱好和平的欧洲国家必须采取必要措施，确保自身安全，维护欧洲和平。

”基于这一分析，华约的建立旨在a．维护世界的长久和平b．防止军国主义的复辟c．对抗美国的冷战政策d．阻止欧洲联合的进程6.根据汉代官员和大臣的名单，少夫手下有各种各样的监督员，如制作武器和盔甲的工作令，精炼和染色的监督员的平准令、掌管婢缝制衣服及洗补的御府令、造作刀剑及其他器物的尚方令等。

2021如皋高三数学试卷(定稿)

2021～2021学年度如皋高三年级第一学期期末教学质量调研数学Ⅰ参考公式：锥体的体积公式13V Sh =锥体，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合A ＝{2＋a 2，a }，B ＝{0，1，3}，且A ⊆B ，则实数a 的值是 ▲ ．2．已知复数z ＝1＋3i1－i（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ▲ ． 3．为了解某地区的中小学生视力情况，从该地区的中小学生中用分层抽样的方法抽取300位学生进行调查，该地区小学、初中、高中三个学段学生人数分别为1200、1000、800，则从高中抽取的学生人数为 ▲ ．4．执行右边的伪代码，输出的结果是 ▲ ．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2213x y -=的左准线与抛物线2y ax =的准线重合，则a 的值为 ▲ ．6．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3的倍数的概率是 ▲ ．7．设实数x ，y 满足约束条件101010y x y x y +⎧⎪-+⎨⎪++⎩≥，≥，，≤则2z x y =-的最大值是 ▲ ．8．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若6a 6，a 8，8a 4成等差数列，且S 2k ＝65S k ，则正整数k 的值是 ▲ ．9．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AA 1＝3，AB ＝2，点D 是棱CC 1的中点，点E 在棱AA 1上，则三棱锥B 1－EBD 的体积为 ▲ ．（第4题图）S ←1 I ←3While S ≤200 S ←S ×I I ←I ＋2 End While Print I10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：222430x y x y +---=与x 轴交于A ，B 两点，若动直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且△CMN 的面积为4，若P 为MN 的中点，则△PAB 的面积最大值为 ▲ ．11．已知正实数x ，y 满足22x y +=，则21x y y x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是 ▲ ．12．如图，在四边形ABCD 中，已知AB ＝2，CD 与以AB 为直径的半圆O 相切于点D ，且BC ∥AD ，若AC BD ⋅＝－1，则AD OD ⋅＝ ▲ ．13．已知函数()eln 2xf x x=，()22x g x x m =-，若函数()()()h x g f x m =+有3个不同的零点x 1，x 2，x 3(x 1＜x 2＜x 3)，则()()()1232f x f x f x ++的取值范围是 ▲ ．14．在△锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知222cos 3a ab C b +=，则tan tan tan A B C 的最小值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，DC ∥AB ，DC ＝2AB ，平面PCD ⊥平面PAD ，△PAD 是正三角形，E 是PD 的中点．（1）求证：AE ⊥PC ；（2）求证：AE ∥平面PBC ．16．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，其中A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2，x ∈R ，其部分图象如图所示．（1）求函数y ＝f (x )的解析式；（2）若f (α)＝233，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos2α的值．（第16题图）PABCDE（第15题图）17．（本小题满分14分）一件铁艺品由边长为1（米）的正方形及两段圆弧组成，如图所示，弧BD ，弧AC 分别是以A ，B 为圆心半径为1（米）的四分之一圆弧．若要在铁艺中焊装一个矩形PQRS ，使S ，R 分别在圆弧AC ，BD 上，P ，Q 在边AB 上，设矩形PQRS 的面积为y ．（1）设AP ＝t ，∠PAR ＝θ，将y 表示成t 的函数或将y 表示成θ的函数（只需选择一个变量求解），并写出函数的定义域；（2）求面积y 取最大值时对应自变量的值（若选θ作为自变量，求cos θ的值）．18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，右准线方程为4x =，A ，B 分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）记△AFM ，△BFN 的面积分别为S 1，S 2，若1232S S =，求k 的值；19．（本小题满分16分）已知函数()ln 2f x x ax a =-+，其中a ∈R ．SRQP ABCD（第17题图）（1）若函数()f x 的图象在1x =处的切线与直线20x ay --=垂直，求实数a 的值；（2）设函数()()22g x f x ax a =++．1.求函数()g x 的单调区间；2.若不等式()0g x >对任意的实数()1x ∈+∞，恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n，若为等差数列，且11a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（3）若数列{}n b 满足21n n n n b b b S +-=，11b k=，且对任意的*N n ∈，都有1n b <，求正整数k 的最小值．2018～2019学年度如皋高三年级第一学期期末教学质量调研数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．1 23．80 4．11 5．6 6．257．1 8．6 910．6 11．32 12．3213．()11002⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 14．6 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【证明】（1）因为△PAD 是正三角形，点E 是PD 的中点，所以AE ⊥PD ． …… 2分又平面PCD ⊥面PAD ，平面PCD ∩平面PAD ＝PD ，AE ⊂平面PAD ．所以AE ⊥平面PCD ． (5)分又PC ⊂平面PCD ，所以AE ⊥PC ． (7)分（2）取PC 的中点F ，连结EF ，在△PCD 中，E ，F 分别是PD ，PC 的中点，所以EF ∥CD 且CD ＝2EF ．又AB ∥CD ，CD ＝2AB ，所以EF ∥AB 且EF ＝AB ，所以四边形AEFB 是平行四边形，所以AE ∥BF ， …… 10分又AE ⊄平面PBC ，BF ⊂平面PBC ，所以AE ∥平面PBC ． …… 14分16．【解】（1）由图可知，A ＝2，15πππ4632T =-=，所以2πT =，所以2π2πω=，1ω=． …… 4分PABCDE（第15题图）F又π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以π2sin 23ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为ππ22ϕ-<<，所以ππ5π636ϕ-<+<，故ππ32ϕ+=，π6ϕ=．所以()π2sin 6x x f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． …… 7分（2）因为()f α=，所以π2sin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为π02α<<，所以ππ2π663α<+<．又因为πsin 62α⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，所以πππ664α<+<．所以πcos 6α⎛⎫+== ⎪⎝⎭， …… 10分所以ππππππsin sin sin cos cos sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1122= …… 12分所以2211cos212sin 1226αα⎛=-=-⨯=+ ⎝⎭． …… 14分 17．【解】选AP ＝t ．（1）依题意，BQ ＝t ，PQ ＝1－2t ．在Rt △AQR 中，∠RQA ＝90°，AQ ＝1－t ，AR ＝1，故RQ显然010121t t <<⎧⎨<-<⎩，，解得102t <<．所以y ＝()12t -102⎛⎫⎪⎝⎭，． …… 7分（2）由（1）知，y ＝()12t -，即y ，102t <<．令()()()4323241212922f t t t t t t t t =+-=-++--，102t <<．则()()3232'1636182281189f t t t t t t t =-+-+=---+()()()()()22=212t 421921221471t t t t t t t ⎡⎤--++--=---+⎣⎦．令()'0f t =，得tt =12（舍）． …… 10分列表：答：面积y 取最大值时，AP …… 14分选PAR θ∠=（1）在Rt △AQR 中，∠RQA ＝90°，AR ＝1，∠RAQ ＝θ，所以RQ ＝sin θ，AQ ＝cos θ．故BQ ＝AB －AQ ＝1－cos θ，且AP ＝1－cos θ．所以PQ ＝AQ －AP ＝cos θ－(1－cos θ)＝2cos θ－1．依题意，0sin 10cos 1θθ<<⎧⎨<2-<1⎩，，，解得锐角π03θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，．所以y ＝(2cos θ－1)sin θ，定义域为π03⎛⎫⎪⎝⎭，． (7)分（2）由（1）知，()2cos 1sin y θθ=-，π03θ<<，故()222sin sin 2cos 1cos 2cos 2sin cos y θθθθθθθ'=-⋅+-=--()2222cos 21cos cos 4cos cos 2θθθθθ=---=--，令0y '=，解得cos θ，设锐角0π03θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且0cos θ= …… 10分列表：故当0θθ=时，y 取最大值．答：面积y 取最大值时，cos θ …… 14分 18．【解】（1）设椭圆的焦距为2c (c ＞0)．依题意，12c a =，且24a c =，解得a ＝2，c ＝1．故b 2＝a 2－c 2＝3．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． …… 4分（2）设点M (x 1，y 1)， N (x 2，y 2)．据题意，1232S S =，即12132122AF y BF y ⨯⨯=⨯⨯，整理可得1212y y =，所以2NF FM =．代入坐标，可得()21211212x x y y -=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，，即2121322x x y y =-⎧⎨=-⎩．，又点M ， N 在椭圆C 上，所以()()22112211143322143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩，，解得1174x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以直线l的斜率8714k ==-． …… 9分（3）法一：依题意，直线l 的方程为()1y k x =-．联立方程组()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，，整理得()22224384120k x k x k +-+-=，所以2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．故21224243D x x k x k +==+，()23143D D ky k x k =-=-+，所以直线OD 的方程为34y x k =-，令x ＝4，得3E y k =-，即34E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．所以33141k k k-==--． …… 12分所以()2121321211122y y k k k k k k x x k ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅+=⋅+ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭ ()()()()()()()()2211221211211111212222k x k x k x x x x x x k x x ----+-+⎡⎤=⋅+=⎢⎥-++-⎣⎦()2121212121212122224k x x x x x x x x x x x x -+++-+-⎡⎤⎣⎦=-+-()()()212121212212122123244k x x x x x x x x x x x x x x -+++-+-+⎡⎤⎣⎦=-+-+222222222222222412841281234343434341282444343k k k k k x k k k k k k x k k ⎡⎤---++--+⎢⎥++++⎣⎦=--⨯-+++22222222222276211833433432824476444343k k x x k k k k x x k k ⎛⎫++- ⎪-+⎝⎭+===+⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭． ……16分法二：依题意，直线l 的方程为()1y k x =-，即11x y k =+，记1m k=，则直线l 的方程为1x my =+，与椭圆C 联立方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，整理得()2243690m y my ++-=，所以122643m y y m +=-+，122943y y m =-+．故1223243D y y m y m +==-+，24143D Dx my m =+=+，所以直线OD 的方程为34my x =-，令x ＝4，得3E y m =-，即()43E m -，．所以3341mk m -==--． …… 12分所以()()()()122121213212112212222y y my x y y k k k k k m k x x x x ++⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅+=⋅+= ⎪ ⎪-++-⎝⎭⎝⎭()()()()2122122121212121333133my y my y y my my my my m y y my my ++++==+--+-()()()22221222221212222291313439634344343m my m y y my m m m m y y m y y my my m m +-++++==-+-+-+-+++ ()()2222229133434121443m my m m my m +-++==+-++． …… 16分法三：依题意，点M (x 1，y 1)， N (x 2，y 2)在椭圆C 上，所以22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，两式相减，得22222121043x x y y --+=，即2121212134y y y y x x x x +-⋅=-+-，所以34OD k k ⋅=-，即34OD k k=-，所以直线OD 的方程为34y x k =-，令x ＝4，得3E y k =-，即34E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，所以33141k k k-==--． …… 12分又直线AM 的方程为()12y k x =+，与椭圆C 联立方程组()1222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，，整理得()2222111431616120k x k x k +++-=，所以211211612243k x k --⋅=+，得211216843k x k -=+，()11112112243ky k x k =+=+．所以点M 的坐标为211221168124343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，．同理，点N 的坐标为222222286124343k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，．又点M ，N ，F 三点共线，所以12221222122212121243436886114343k k k k k k k k k -++==----++，整理得()()12124330k k k k +-=，依题意，10k >，20k >，故213k k =．由1211221121124346814143k k k k k k k +==---+可得，21111141144k k k k k -==-，即11114k k k +=．所以()21311111133344k k k k k k k k ⎛⎫⋅-=⋅+=⋅= ⎪⎝⎭．…… 16分19．【解】（Ⅰ）因为函数()ln 2f x x ax a =-+，定义域为()0+∞，，所以()1f a =-，()1'2f x a x=-，()'112f a =-，所以函数()f x 图象在1x =处的切线方程为()()()121y a a x --=--，即()1210a x y a --+-=．依题意，()()()11210a a ⨯-+--=，解得1a =．所以实数a 的值为1． (4)分（Ⅱ）令()()2222ln 43g x f x ax a x ax ax a =++=+-+，0x >，则()2221'242ax ax g x ax a x x-+=+-=⋅．（1）① 若0a =，()2'0g x x=>，故函数()g x 在()0+∞，上单调增． …… 5分② 若0a >，记244a a ∆=-．若0∆≤，即01a <≤，则()'0g x ≥，函数()g x 在()0+∞，上单调增．若0∆>，即1a >，令()'0g x =，得11x =，21x =+．当()()120x x x ∈+∞，，时，()'0g x >，()g x 在()10x ，和()2x +∞，上单调增；当()12x x x ∈，时，()'0g x <，()g x 在()12x x ，上单调减． …… 7分③ 若0a <，令()'0g x =，得1x =．当01x ⎛∈ ⎝⎭，时，()'0g x >，()g x 在01⎛- ⎝⎭，上单调增；当1x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()'0g x <，()g x 在1⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调减． (9)分综上所述，当0a <时，函数()g x 的单调增区间为01⎛- ⎝⎭，，减区间为1⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭；当01a ≤≤时，函数()g x 的单调增区间为()0+∞，，无减区间；当1a >时，函数()g x 的单调增区间为01⎛ ⎝⎭，和1⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，减区间为11⎛+ ⎝⎭． (10)分（2）由（1）可知，当01a ≤≤时，函数()g x 在()1+∞，上单调增，故()()10g x g >=，所以01a ≤≤符合题意；当1a >时，函数()g x 在11⎛ ⎝⎭，上单调减，在1⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调增，故存在01x =+，()()010g x g <=，所以1a >不符题意；……12分当0a <时，()g x 在11⎛- ⎝⎭，上单调增，在1⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调减．下面证明：存在0241x a =->，()00g x <．首先证明：0241x a =->-．要证：241a ->-，只要证：23a -因为0a <，所以()2222381140a a a --=-+>，故23a ->所以241a ->-．其次证明：当0a <时，3ln 2x x a <-对任意的()1x ∈+∞，都成立．令()3ln 2t x x x a =-+，1x >，则()1'10t x x=-<，故()t x 在()1+∞，上单调递减，所以()()31102t x t a <=-<，即3ln 02x x a -+<．所以当0a <时，3ln 2x x a <-对任意的()1x ∈+∞，都成立．又当024x x a==-时，()200002ln 43g x x ax ax a =+-+ 20000032243402x a ax ax a ax x a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫<-+-+=--= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，与题意矛盾，故0a <不符题意．综上所述，实数a 的取值范围是[]01，． …… 16分20．【解】（1）设等差数列{}n a 的公差d ，则()11n a n d +-=⋅，() 12n n n S n d +-=⋅．又是等差数列，所以=即1=d ＝2．此时2n S n =n ，符合数列是等差数列，所以21n a n =-． (4)分（2）假设存在*N n ∈，使得1n n a S ++，222n n a S ++，444n n a S ++成等比数列．则()()()24422 214n n n n n n a a S S a S ++++++=，由（1）可知21n a n =-，2n S n =，代入上式，得 ()()()2222121481116244n n n n n n -+-++-+++=，整理得322427210n n n -++=．（*） (6)分法一：令()32242721f x x x x =-++，x ≥1．则()()2725427220'54x x x f x x -+=-+>=，所以()f x 在[)1∞+，上单调增，所以()0f n =在[)1∞+，上至少有一个根．又()10f =，故1n =是方程（*）的唯一解．所以存在1n =，使得1n n a S ++，222n n a S ++，444n n a S ++成等比数列，且该等比数列为3，9，27． (9)分法二：32224243210n n n n --++=，即()()()22411310n n n n ---+=，所以方程（*）可整理为()()2124310n n n ---=．因为*N n ∈，所以224310n n --=无解，故1n =．所以存在1n =，使得1n n a S ++，222n n a S ++，444n n a S ++成等比数列，且该等比数列为3，9，27． (9)分（3）由21n n n n b b b S +-= 可知，212n n n b b b n+-=．又11b k=，*N k ∈，故10b >，所以10n n b b +>>．依题意，1n b <对任意*N n ∈恒成立，所以11b <，即11k<，故1k >． ① 若2k =，据212n n n b b b n+-=，可得当2n ≥，*N n ∈时，()222211231222111231n n b b b b b b n --=++++-()()222222122212222222111111232311b b b b b b n n ⎡⎤>++++=++++⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦()2222121211111233412b b b b n n n ⎡⎤⎛⎫>++++=+-⎢⎥ ⎪⨯⨯-⎝⎭⎢⎥⎣⎦．由112b =及212121b b b -=可得234b =．所以，当2n ≥，*N n ∈时，1191124162n b n ⎛⎫->+- ⎪⎝⎭，即3393216n b n>-．故当18n >，*N n ∈时，33913216n b n>->，故2k =不合题意． …… 12分② 若3k ≥，据212n n n b b b n +-=，可得112n n n n b b b b n++-<，即21111n n b b n +-<．所以，当2n ≥，*N n ∈时，()222111111121n b b n -<+++-，当2n =时，12111b b -<，得2111112k b b >-=-≥，所以2112b <<．当3n ≥，*N n ∈时，()222111111121n b b n -<+++-()()211111211223211n n n <++++=-⨯⨯---，所以111111221111n k b b n n n >-+=-++---≥，故11111n b n <<+-．故当3k ≥时，1n b <对任意*N n ∈都成立．所以正整数k 的最小值为3． (16)分21B ．【解】（1）因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 211，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 21 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 211＝3423⎡⎤⎢⎥⎣⎦． …… 4分（2）设点()x y ，是直线l 上任意一点，其经过A 2 对应的变换作用后得到点()''x y ，，则'34'23x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即'34'23x x y y x y =+⎧⎨=+⎩．，依题意，点()''x y ，在直线l ′：x －y －1＝0上，即''10x y --=，所以()()342310x y x y +-+-=，整理得x ＋y －1＝0．所以直线l 的方程为x ＋y －1＝0． (10)分21C ．【解】（1）依题意，2cos212sin y ϕϕ==-，[]sin 11x ϕ=∈-，，所以212y x =-，其中[11]x ∈-，，所以曲线C 的普通方程为212y x =-，[11]x ∈-，． (4)分（2）直线l 的极坐标方程为π4θ=，所以直线l 的直角坐标方程为y ＝x ．联立方程组212y x y x =⎧⎨=-⎩，，解得11x y =-⎧⎨=-⎩，或1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．，所以直线l 被曲线C…… 10分22．【解】（1）记“甲同学至少购买2种书籍”为事件A ．则()3121113111342342342324P A =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．所以甲同学至少购买2种书籍的概率为1324． …… 4分（2）设甲、乙同学购买2种书籍的概率分别为p 1，p 2．则131********42342342312p =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，2211211111532232232212p =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以p 1＝p 2． (6)分所以X ～5212B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．()0202574901212144P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()1112577011212144P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()222572521212144P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．所以X 的概率分布为()4970255021441441446E X =⨯+1⨯+⨯=．所以随机变量X 的数学期望为56． …… 10分23．【解】（1）当n ＝3时，U ＝{}123，，，则A ＝{}2或{}23，，故35S =；当n ＝4时，U ＝{}1234，，，，则A ＝{}2或{}23，或{}24，或{}234，，或{}4，故417S =． (3)分（2）设A 中的最小元素为2k ，*N k ∈，则最大元素可以取2k ，2k ＋1，2k ＋2，…，n ．其中最大元素为2k 的集合A 共有1个，最大元素为2k ＋1的集合A 共有1个，最大元素为2k ＋2的集合A 共有01111+C 2C =个，…最大元素为n 的集合A 共有01122112n-1-2k 12+C 2n k n k n k n k C C --------++=个．所以，最小元素为2k 所有集合A 中的最大元素为 ()()0121212122222n k k M k k k n --=⨯++⨯++⨯++⋅，故()()012122122222n k k M k k k n ---=+⨯++⨯++⨯，①()()()()1221222212222122n k n k k M k k k n n ----=+⨯++⨯++-⨯+⨯，②①－②得，()01221221222222n k k n k M k k n ---+⋅++++-⋅-+=，所以()20012212221222222212n kn k n k k k n M n n ------++++-⋅=-⋅=-()222212121n k n k n k n n ---=--⋅=-⋅+． …… 8分所以()()111222221111 121122n n n n kn k k k k k n S n M n n -----===-⎡⎤==-⋅+=-+⎣⎦∑∑∑ ()()1212111144111 1212142214n n n k n k n n n n --⎡⎤⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭--⎛⎫⎣⎦=-⋅+=-⋅⋅+ ⎪⎝⎭-∑=()()()()11121121221 12132326n n n n n n n n +---⎛⎫---=-⋅⋅+=+-= ⎪⎝⎭．…… 10分。

江苏省如皋中学2021届上学期高三年级期初测试数学试卷

江苏省如皋中学2022届上学期高三年级期初测试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1 直线3450x y ++=的斜率和它在y 轴上的截距分别为（）A ．43，53B ．43-，53-C ．34-，54-D ．34-，542 双曲线2212524x y -=的两个焦点为1F ，2F ，双曲线上一点P 到1F 的距离为11，则点P 到2F 的距离为（）A ．1B ．21C ．1或21D ．2或213 椭圆221259x y +=与221(09)925x y k k k +=<<--关系为（） A ．有相等的长轴长 B ．有相等的离心率 C ．有相同的焦点D ．有相等的焦距4 万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式在手工课上，老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40cm ，短轴长为20cm ，小椭圆的短轴长为10cm ，则小椭圆的长轴长为（）cmA ．30B ．20C ．10D ．5 已知双曲线C 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为y =，点(P 在C 上，则C 的方程为 A ．22124x y -= B ．221714x y -= C ．22142x y -= D ．221147y x -=6 已知()2,0A -，()10B ,，()3,0M -三点，且满足2PA PB =，则直线PM 的斜率取值范围是（）A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．2210,21⎡⎫⎛⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦7 根据圆维曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角请解决下面问题：已知1F ，2F 分别是双曲线22:12y C x -=的左、右焦点，若从点2F 发出的光线经双曲线右支上的点()0,2A x 反射后，反射光线为射线AM ，则2F AM ∠的角平分线所在的直线的斜率为（）A ．B ．CD 8 已知圆()()22:4616M x y -+-=，过x 轴上的点()0,0P x 存在圆M 的割线PAB ，使得PA AB =，则0x 的取值范围（）A ．⎡-⎣B ．⎡-⎣C ．4⎡-+⎣D ．44⎡-+⎣二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

如皋市2021~2021学年度第一学期高三期初调研考试数学试卷

如皋市2021~2021学年度第一学期高三期初调研考试数学试卷数学试卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I 卷1～2页，第II 卷3～8页.全卷满分150分，考试时刻120分钟．第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必在答题卡的相应栏目内写上自己的姓名、准考证号、考试科目，并用铅笔涂写在答题卡上.2．选择题部分每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.3.考试终止，将答题卡和第II 卷一并交回.一．选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1．下列集合中，恰有2个元素的集合是A ．{}20x x -=B ．{}2|0x x x -=C ．{}2|x y x x =-D ．{}2|y y x x =-2．函数1()3f x =-2cos (0)x ωω>的周期与函数()tan 2x g x =的周期相等，则ω等于A ．2B. 1C.12D.143．定义{}|A B x x A x B -=∈∉且. 若A ={2, 4, 6, 8, 10}，B ={1, 4, 8}，则A B -=A ．{4，8}B ．{1，2，6，10}C ．{1}D ．{2，6，10} 4．若要得到函数y =sin(2x －4π)的图象，能够把函数y =sin2x 的图象 A. 向右平移8π个单位 B. 向左平移8π个单位C. 向右平移4π个单位 D. 向左平移4π个单位5. 原命题“设,,a b c ∈R ，若22ac bc >，则a b >.”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有A.0个B.1个C.2个D.3个6．在△ABC 中，tan A 是以－4为第3项，4为第7项的等差数列的公差；tan B 是以13为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则该三角形是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形7. 关于函数f (x )=ax 2+bx+c （a ≠0），若作代换x=g (t )，则不改变函数f (x )的值域的代换是A ．g (t )=2tB ．g (t )=|t |C ．g (t )=sin tD ．g (t )=2log t8．函数log (2)a ax y =-在[0，1]上是减函数，则a 的取值范畴是A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（1，2）D ．(2,)+∞9. 四个实数－9，a 1，a 2，－1成等差数列，五个实数－9，b 1，b 2，b 3，－1成等比数列，则 b 2（a 2－a 1）等于 A. 8B. －8C. ±8D.9810.有容积相等的桶A 和桶B ，开始时桶A 中有a 升水，桶B 中无水. 现把桶A 的水注入桶B ，t 分钟后，桶A 的水剩余1ty am =（升），其中m 为正常数. 假设5分钟时，桶A 和桶B的水相等，要使桶A 的水只有8a 升，必须再通过A.7分钟B.8分钟C.9分钟D.10分钟11.设{}n a 是等比数列，有下列四个命题：①{}2n a 一定是等比数列；②{}1n n a a ++一定是等比数列；③1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭一定是等比数列；④{}lg n a 一定是等比数列. 其中正确命题的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 412. 已知三个不等式：000c dab bc ad a b>->-≥，，（其中a ，b ，c ，d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3第II 卷（非选择题，共90分）注意事项：1. 第II 卷共6页，用钢笔或圆珠笔直截了当答在试卷上.2.答卷前将密封线内的项目填写清晰.二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填在题中的横线上． 13. 已知全集{}*27S x x =∈-<<N ，{}3,4,5M =，{}1,3,5P =，则()()SSMP＝ .（用列举法表示） 14. 设{}n a 是公差为2 的等差数列，假如1473130a a a a ++++=，那么36933a a a a ++++＝．15. 设)(x f 是定义域为R 且最小正周期为23π的函数，在一个周期内若 =)(x f cos 2,0,15()24sin ,0.x x f x x πππ⎧-≤<⎪-⎨⎪≤<⎩则= . 16. 已知正数x 、y 满足x ＋2y ＝1，则11xy+的最小值是 .17．规定记号“⊗”表示两个正数间的一种运算：(00),a b a b a b >>⊗=+，．若13k ⊗=，则函数()f x k x =⊗的值域是．18. 已知点1122(,),(,)A x y B x y 是函数sin (0)y x x π=-<<图象上的两个不同点，且12x x <，给出下列不等式：①12sin sin x x <；②12sin sin22x x <；③12121(sin sin )sin22x x x x ++>；④1212sin sin x x x x >. 其中正确不等式的序号是 . 三．解答题：本大题共5小题，共66分．解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（本小题满分12分）等差数列{}n a 中，前（2k ＋1）项（*k ∈N ）之和为77，其中偶数项之和为33，且a 1－a 2k ＋1＝18，求数列{}n a 的通项公式.20．（本小题满分12分）已知函数()f x 满足5(3)log (35).6x f x x x-=≤≤-(1)求函数()f x 解析式及定义域; (2)求函数()f x 的反函数1()f x -; (3)若5()log (2)f x x ≥，求x 的取值范畴.21. （本小题满分14分）若定义在R 上的函数f (x )为奇函数，且在[0,)+∞上是增函数. (1)求证：f (x )在(,0]-∞上也是增函数；(2)对任意θ∈R ，不等式(cos 23)(2sin )0f f m θθ-+->恒成立,求实数m 的取值范畴.22. （本小题满分14分）已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，设22(,)sin 2cos 22cos 22f A B A B A B =+-+.（1）当f (A , B )取得最小值时，求C 的大小；（2）当2C π=时，记h （A ）＝f (A , B )，试求h （A ）的表达式及定义域；（3）在（2）的条件下，是否存在向量p ，使得函数h （A ）的图象按向量p 平移后得到函数()2cos 2g A A =的图象？若存在，求出向量p 的坐标；若不存在，请说明理由.23. （本小题满分14分）设S n 是数列{}n a 的前n 项和，且*2()2n n S a n =∈-N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 使11122(21)22n n n a b a b a b n ++++=-+*()n ∈N ，求{}n b 的通项公式；（3）设*21()(1)n n c n b =∈+N ，且数列{}n c 的前n 项和为T n ，试比较T n 与14的大小．高三数学参考答案及评分标准说明：1.本解答仅给出了一种解法供参考，假如考生的解法与本解答不同，可依照试题的要紧考查内容对比评分标准制订相应的评分细则．2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中显现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步显现错误时，假如后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视阻碍的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解承诺得分数的一半；假如后继部分的解答有较严峻的错误，就不再给分．3. 解答右端所注分数，表示考生正确做出这一步应得的分数．4. 给分或扣分均以1分为单位．选择题和填空题不给中间分．一．选择题：每小题5分，共60分．二、填空题：每小题4分，共24分13．{}1,2,4,6 14．74 15．216．3+ 17．()1,+∞ 18．②③ 三、解答题：19．（12分）前（2k ＋1）项中偶数项共有k 项. …………1分设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得12(21)(21)77,(1)2332k a k k d k k ka d +++=-+⋅=⎧⎪⎨⎪⎩ 即[]12(21)()77,(1)33.k a kd k a k d ++=+-=⎧⎨⎩①②…………3分∵12(1)a kd a k d +=+-， ∴2177,33k k+=解得k ＝3. …………2分∵a 1－a 2k ＋1＝2kd -，∴2kd -＝18，∴d ＝－3. …………2分将k ＝3，d ＝－3代入①得a 1＝20. …………2分故1(1)323.n a a n d n =+-=-+ …………2分 20．（12分）（1）设t ＝x －3，则x ＝t ＋3.∵ 5(3)log ,6x f x x-=- ∴53()log ,3t f t t+=- …………1分∵ 35x ≤≤，∴0 2.t ≤≤ 由30,302tt t +>-≤≤⎧⎪⎨⎪⎩得0 2.t ≤≤ …………2分因此53()log ,3x f x x+=- 且定义域为[0，2]. …………1分（2）设y ＝53()log ,3x f x x+=- 则353yx x+=-，即3(51)51y y x -=+，∴1()f x -3(51)51x x -=+. …………2分∵02,x ≤≤ ∴133x ≤-≤，∴ 361[1,5].33x xx+=-+∈--从而53log [0,1]3x x+∈-.故函数()f x 的反函数为1()f x -3(51)51x x -=+（01x ≤≤）. …………2分（3）5()log (2)320,302f x x xx x x ≥+⎧≥>⎪⇔-⎨⎪≤≤⎩⇔301,202x x x <≤≥⇔≤≤⎧⎪⎨⎪⎩或301 2.2x x <≤≤≤或 …………4分21．（14分）（1）设x 1<x 2≤0, 则－x 1>－x 2≥0.∵f (x )在[0,)+∞上是增函数，∴f (－x 1) > f (－x 2). …………2分 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x 1)＝－f (x 1)，f (－x 2)＝－f (x 2). …………2分因此－f (x 1) > －f (x 2)，即f (x 1) <f (x 2).因此f (x )在(,0]-∞上也是增函数. …………2分（2）由（1）知，函数f (x )在(),-∞+∞上是增函数. …………1分 ∵f (x )为奇函数，∴(cos 23)(2sin )0f f m θθ-+->(cos 23)(2sin )(cos 23)(2sin )f f m f f m θθθθ⇔->--⇔->-+ …………2分由（1）知f (x )在(,)-∞+∞上是增函数，∴cos 2sin 3(cos 23)(2sin )cos 232sin 2f f m m m θθθθθθ-++->-+⇔->-+⇔>221115sin sin 1sin 2416m θθθ>++=++⎛⎫⇔ ⎪⎝⎭. …………3分∵θ∈R ，∴当sin θ＝1时，2115sin 416θ++⎛⎫ ⎪⎝⎭取得最大值52.∵不等式(cos 23)(2sin )0f f m θθ-+->恒成立，∴故实数m 的取值范畴是5,2+∞⎛⎫⎪⎝⎭. ; …………2分22. （14分）（1）配方得f (A ，B ) = (sin2A2)2+ (cos2B -12)2 +1， …………2分∴ [f (A ，B ) ]min = 1,当且仅当sin 221cos 22A B ==⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩时取得最小值. …………2分在△ABC中，,,sin 26321.cos 2662A A AB B B ππππ===⇔===⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩或故C = 23π或2π.…………3分（2）2C π=⇔A +B = 2π，因此h （A）＝22(,)sin 2cos 22cos 22f A B A B A B =+-+22sin 2cos 22cos 2222A A A A ππ=+---+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦＝cos2A2A ＋3=2cos(2A +3π) + 3. …………4分∵A +B = 2π，∴02A π<<. …………1分（3）∵函数h （A ）在区间0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数，在区间,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数；而函数 ()2cos 2g A A =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数. ∴函数h （A ）的图象与函数()2cos 2g A A =的图象不相同，从而不存在满足条件的向量p . …………2分23．（14分）（1）∵*2()2n n S a n =∈-N ，∴1122n n S a ++=-，因此a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝（2 a n ＋1－2）－（2 a n －2），即a n ＋1＝2a n . …………2分又a 1＝S 1＝2 a 1－2, 得a 1＝2. …………1分 ∴{}n a 是首项和公比差不多上2的等比数列，故a n ＝2n . …………1分(2) 由a 1b 1＝（2×1－1）×21＋1＋2＝6及a 1＝2得b 1＝3. …………1分当2n ≥时，11122(21)22n n n n a b a b a b +-+=+++[](1)1(23)22(1)1222n n n n n n n n a b a b -+-=--++=++，∴1(21)2(23)2(21)2n n nn n a b n n n +=---=+. …………2分∵a n ＝2n ，∴b n ＝2n ＋1（2n ≥）. …………1分 ∴*3,(1),21().21,(2)n n b n n n n ===+∈+≥⎧⎨⎩N …………1分（3）2221(1)111111(22)4(1)4(1)41n n b c n n n n nn +===<=-++++⎛⎫⎪⎝⎭. …………3分 121111111111142231414n n T c c c n n n =+++<-+-++-=-<++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. …………2分。

2021届江苏省如皋中学高三第一学期阶段检测试卷数学

2020/2021学年度第一学期阶段检测试卷数学一、选择题：（共8小题，每题5分，共40分）1. i 为虚数单位， 512iz i=+，则的共轭复数为（） A. 2i - B ．2i + C. 2i -- D ．2i -+2．函数2()ln 1f x x x=-+的零点所在的大致区间是（）A ．(2,)eB ． (1,2)C ．(,3)eD ．(3,)+∞3.已知集合A ＝{x ｜lg （x －2）＜1}，集合B ＝{x ｜x 2－2x －3＜0}，则A ∪B 等于（）A ．（2，12）B ．（一l ，3）C ．（一l ，12）D ．（2，3） 4. 指数函数（，且）在上是减函数，则函数在其定义域上的单调性为（）A ．单调递增B ．单调递减C ．在上递增，在上递减D ．在上递减，在上递增5. 已知函数f (x )＝若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 6..设函数f(x)=xIn,则函数的图像可能为( )7.对于给定的复数z ，若满足42z i -=的复数对应的点的轨迹是椭圆，则1z -的取值范围是（）A ．2⎤⎦B ．1⎤-⎦C.2⎤-⎦ D ．1⎤-+⎦8.平面向量 a = ( 2 , 1 ) ,| b | = 2 , a ·b =4,则向量 a , b 夹角的余弦值为A.255 B.45 C.55 D.15二、多项选择题（共4小题，每题5分，选对不全得3分） 9. 下列函数中，在其定义域内是偶函数的有( )A. y =x cos x ,B. y =e x +x 2C. lg √x 2−2D. y =x sin x 10. 给出四个选项能推出1a<1b 的有( )A. b >0>aB. 0>a >bC. a >0>bD. a >b >011.如图所示,在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1,若AB =BC ,E ,F 分别是A B 1,B C 1的中点,则下列结论中不成立的是( )A. EF 与BB 1垂直B. EF ⊥平面BDD 1B 1C. EF 与C 1D 所成的角为450D. EF ∥平面A 1B 1C 1D 112. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x <0时,f (x )=e x (x +1),则下列命题正确的是( )A. 当x >0时,f (x )=−e −x (x −1)B. 函数f (x )有3个零点C. f (x )<0的解集为(−∞,−1)∪(0,1)D. ∀x 1,x 2∈R ,都有|f (x 1)−f (x 2)|<2三、填空题：（共4小题，每题5分，计20分）13.如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为________．14. 函数e xy mx =-在区间(]0,3上有两个零点，则m 的取值范围是_________15. 已知函数f (x )＝x 3－ax ＋1，g (x )＝3x －2，若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )＜g (x )，有三个零点，则实数a 的取值范围是．16. 在ABC ∆中，若tan tan 3tan tan A AB C+=，则sin A 的最大值为_____. 四、计算题：17.已知二次函数f(x)满足f(x)= f(-4-x),f(0)=3，若x 1 x 2是f(x) 的两个零点,且|x 1− x 2|=2.(I)求f(x)的解析式; .(I)若x>0,求g(x)=xf(x)的最大值。

2021届江苏省南通市如皋中学高三上学期阶段检测数学试题(解析版)

2021届江苏省南通市如皋中学高三上学期阶段检测数学试题一、单选题1．i 为虚数单位，512iz i=+，则z 的共轭复数为（） A ．2-i B ．2+iC ．-2-iD ．-2+i【答案】A【解析】试题分析：55(12)5i(12)2+12(12)(12)5i i i i z i i i i --====++-，则复数2+i 的共轭复数为2-i ；选A【考点】1.复数运算；2.共轭复数； 2．函数2()ln 1f x x x=-+的零点所在的大致区间是（） A ．(1,2) B ．(2,)eC ．(,3)eD ．(3,)+∞【答案】A【解析】由函数零点存在性定理结合(1)0f <、(2)0f >，即可得解. 【详解】因为函数2()ln 1f x x x=-+在()0,∞+上单调递增，且2(1)ln11101f =-+=-<，2(2)ln 21ln 202f =-+=>，所以函数()f x 的零点所在的大致区间为(1,2). 故选：A. 【点睛】本题考查了函数零点存在性定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 3．已知集合(){}lg 21A x x =-<，集合{}2230B x x x =--<，则AB 等于（）．A ．()2,12B ．()1,3-C ．()1,12-D ．()2,3【答案】C【解析】解不等式化简集合,A B ，再进行并集运算，即可得答案；【详解】(){}lg 21{|212}A x x x x =-<=<<，{}{}223013B x x x x x =--<=-<<，∴()1,12A B =-，故选：C. 【点睛】本题考查解不等式及集合的并运算，考查运算求解能力，属于基础题. 4．指数函数()x f x a =（0a >，且1a ≠）在R 上是减函数，则函数22()a g x x-=在其定义域上的单调性为（） A ．单调递增B ．单调递减C ．在(0,)+∞上递增，在(,0)-∞上递减D ．在(0,)+∞上递减，在(,0)-∞上递增【答案】C【解析】结合指数函数的性质可知：01a <<，函数()g x 的导函数：()()322'a g x x --=，当(),0x ∈-∞时，()'0g x <，函数()g x 单调递减，当()0,x ∈+∞时，()'0g x >，函数()g x 单调递增，本题选择C 选项.5．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x kx ≥，则k 的取值范围是（）A ．(,0]-∞B ．1]-∞（，C ．[]21-， D ．[]20-，【答案】D【解析】先求出当0x <时,2k ≥-；当0x =时，k ∈R ；当0x >时，利用数形结合求出0k ≤即得解. 【详解】当0x <时,因为220x x -+<，所以22x x kx -≥，即22k x k ≥-∴≥-; 当0x =时00≥，即k ∈R ;当0x >时，ln(1)x kx +≥，由图可知0k ≤;综上k 的取值范围是[]20-，，故选：D.【点睛】本题主要考查函数的图象及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力. 6．设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（） A ． B ． C ．D ．【答案】B【解析】根据函数为偶函数排除,A C ，再计算11()22ln 30f =>排除D 得到答案. 【详解】1()ln1xf x x x +=-定义域为：(1,1)- 11()ln ln ()11x xf x x x f x x x-+-=-==+-，函数为偶函数，排除,A C11()22ln 30f => ，排除D 故选B 【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧. 7．对于给定的复数0z ，若满足042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则01z -的取值范围是（）A ．()172,172-+ B ．()171,171-+ C ．()32,32-+D ．()31,31-+【答案】A【解析】根据条件可得042z i -<，即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部. 01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离，由圆的性质可得答案. 【详解】因为042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，所以042z i -<由复数的几何意义可知042z i -<表示复数0z 对应的点到()0,4的距离小于2. 即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离.如图，设()0,4C ,1,0A 221417AC =+=则0212AC z AC -<-<+,即01721172z -<-<+ 故选：A【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，考查复数的几何意义的应用和利用圆的性质求范围，属于中档题.8．平面向量()2,1a =，2b =，4a b ⋅=，则向量a 、b 夹角的余弦值为（） A ．25B ．45C 5D ．15【答案】A【解析】求得a 的值，利用平面向量数量积的定义可求得向量a 、b 夹角的余弦值.【详解】设平面向量a 、b 的夹角为θ，()2,1a =，则5a =，由平面向量数量的定义可得cos 552a b a bθ⋅===⨯⋅.故选：A. 【点睛】本题考查利用平面向量的定义求解向量夹角的余弦值，考查计算能力，属于基础题.二、多选题9．下列函数中，在其定义域内是偶函数的有（）A ．cos y x x =B ．2x y e x =+C ．y =D ．sin y x x =【答案】CD【解析】利用偶函数的定义逐一判断，即可得正确选项. 【详解】对于A ：cos y x x =，定义域为R ，()()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，所以cos y x x =是奇函数，故A 不正确；对于B ：2xy e x =+，定义域为R ，()22()()x x f x f x e x e x ---==-+-+≠，且()e ()x f x x f x -2-=+≠所以2x y e x =+是非奇非偶函数，故B 不正确；对于C ：y =(),2,⎡-∞+∞⎣，关于原点对称，()()f x f x -===，所以y =C 正确；对于D ：sin y x x =，定义域为R ，()()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，所以sin y x x =是偶函数，故D 正确；故选：CD 【点睛】本题主要考查了利用偶函数的定义判断函数的奇偶性，属于基础题. 10．(多选题)下列四个条件，能推出1a ＜1b成立的有（） A ．b ＞0＞a B ．0＞a ＞b C ．a ＞0＞bD ．a ＞b ＞0【答案】ABD【解析】运用不等式的性质以及正数大于负数判断. 【详解】因为1a ＜1b 等价于110b a a b ab--=<，当a ＞b ，ab ＞0时，1a ＜1b成立，故B 、D 正确. 又正数大于负数，A 正确，C 错误，故选：ABD. 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题.11．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -，若AB BC =，E ，F 分别是1AB ，1BC 的中点，则下列结论中不成立的是（）A ．EF 与1BB 垂直B ．EF ⊥平面11BDD BC ．EF 与1CD 所成的角为45° D ．//EF 平面1111D C B A【答案】ABD【解析】连接1A B ，根据中位线定理得到11//EF A C ，结合线面平行和垂直的判定定理和心智定理，分析判定,,A B D 正确，再由异面直线所成的角的概念，可判定C 错误，即可求解. 【详解】连接1A B ，则1A B 交1A B 于点E ，又F 为1BC 的中点，可得11//EF A C ，由1BB ⊥平面1111D C B A ，可得111BB A C ⊥，可得1BB EF ⊥，故A 正确；由11//EF A C ，11A C ⊥平面11BDD B ，可得EF ⊥平面11BDD B ，故B 正确；异面直线EF 与1C D 所成的角为11AC D ∠，因为1A A 的长度不确定，所以11AC D ∠的大小不确定，所以C 错误；由,E F分别是11,AB BC的中点，得到11//EF A C，可得//EF平面1111D C B A，故D正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，以及异面直线所成角的求解及判定，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及异面直线所成角的求法是解答的关键，着重考查空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.12．已知函数()f x是定义在R上的奇函数，当0x<时，()()1xf x e x=+，则下列命题正确的是（）A．当0x>时，()()1xf x e x-=--B．函数()f x有3个零点C．()0f x<的解集为()(),10,1-∞-⋃D．12,x x R∀∈，都有()()122f x f x-<【答案】BCD【解析】利用函数()f x是定义在R上的奇函数，且0x<时，()()1xf x e x=+，求出()f x在R上的解析式，判断A错；由A分别令()0f x=，解出零点，判断B对；由A令()0f x<，求出解集，判断C对；当0x<时，对函数求导判断出单调区间，求出最值，再利用奇函数的对称性得出函数的值域，要证明12,x x R∀∈，()()122f x f x-<，即证明()f x最大值与最小值的差的绝对值小于2，D对．【详解】对于A ，当0x >时，0x -<，则由题意得()()1xf x e x --=-+，∵ 函数()f x 是奇函数，∴ ()00f =，且0x >时，()()()()11xx f x f x ex e x --=--=--+=-，A 错；∴()()()1,00,01,0x x e x x f x x e x x -⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，对于B ，当0x <时，由()()10xf x e x =+=得1x =-，当0x >时，由()()10xf x ex -=-=得1x =，∴ 函数()f x 有3个零点-1,0,1，B 对；对于C ，当0x <时，由()()10xf x e x =+<得1x <-，当0x >时，由()()10xf x ex -=-<得01x <<，∴ ()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃，C 对；对于D ，当0x <时，由()()1xf x ex =+得()()2x f x e x '=+，由()()20x f x e x '=+<得2x <-，由()()20xf x e x '=+≥得20x -≤<，∴ 函数()f x 在(],2-∞-上单调递减，在[)2,0-上单调递增， ∴函数在(),0-∞上有最小值()22f e --=-，且()()()01011xf x ex e =+<+=，又∵ 当0x <时，()()10xf x ex =+=时1x =-，函数在(),0-∞上只有一个零点，∴当0x <时，函数()f x 的值域为)2,1e ⎡-⎣，由奇函数的图象关于原点对称得函数()f x 在R 的值域为()()221,,11,1ee --⎤⎡-⋃-=-⎦⎣， ∴ 对12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<，D 对；故选：BCD ．【点睛】本题考查导数在函数求值域中的应用，考查函数的性质，考查函数的表示方法，属于中档题．三、填空题13．如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为_______．【答案】23【解析】设BC 的中点为D ，连结AD ，过点P 作PO ⊥平面ABC ，角AD 于点O ，则A0=PO=R=2，AD=3，AB=BC=23，由此能求出挖去的正三棱锥的体积，得到答案. 【详解】由题意，某中螺帽是由一个半径为R=2的半球体挖去一个正三棱锥P-ABC 构成的几何体，该正三棱锥P-ABC 的底面三角形ABC 内接于半球底面的大圆，顶点P 在半球面上，设BC 的中点为D ，连结AD ，过点P 作PO ⊥平面ABC ，交AD 于点O ，则AO=PO=R=2，AD=3，AB=BC=23，所以1233332ABC S ∆=⨯⨯=，所以挖去的正三棱锥的体积为113322333ABC V S PO ∆==⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及三棱锥的体积的计算，以及空间中线线、线面、面面位置关系等基础题知识，其中解答中根据组合体的结构特征，求得正三棱锥的底面边长和三棱锥的高，利用体积公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.14．函数e x y mx =-在区间(]03,上有两个零点，则m 的取值范围是_________．【答案】3ee,3⎛⎤⎥⎝⎦【解析】试题分析：由题意得e0xy mx=-=，得xemx=，设()()22(1)x x x xe e x e e xf x f xx x x⋅--=='=⇒，可得()f x在区间(1,3)上单调递增；在区间(0,1)上单调递减，所以当1x=时，函数()f x取得极小值，同时也是最小值()1f e=，因为当0x→时，()f x→+∞，当3x=时，()333ef=，所以要使得函数e xy mx=-在区间(0,3]上有两个零点，所以实数m的取值范围是3ee3m<<．【考点】利用导数研究函数的单调性及极值（最值）．15．已知函数f (x)＝x3－ax＋1，g (x)＝3x－2，若函数F(x)＝(),()()(),()()f x f xg xg x f x g x≥⎧⎨<⎩有三个零点，则实数a的取值范围是__________．【答案】3322a>【解析】当a≤0时，函数f(x)在R上单调递增，F(x)至多两个零点，不满足题意．当a＞0时，根据图像可知：当f3a≥0时，所以F(x)至多两个零点；当f3a＜0，即33273242a>=时，列式f(23)＜0或者23233fa⎧⎛⎫≥⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎪<⎪⎩，可解得结果.【详解】易得f'(x)＝3x2－a．当a ≤0时，()0f x '≥，函数f (x )在R 上单调递增，F (x )至多两个零点，不满足题意．当a ＞0时，令f'(x )＝3x 2－a ＝0，解得x ＝±3a ，由()0f x '>，得3ax <-或3a x >，由()0f x '<，得33a a x -<<，所以函数f (x )在(－∞，－3a )，(3a ，＋∞)上单调递增，在(－3a ，3a )上单调递减，在同一坐标系中，分别作出函数f (x )，g (x )的图像，根据图像可知：当f (3a)≥0时，所以F (x ) 至多两个零点；当f 3a ＜0，即3)1033a a a -<，又23()03a a -=，10333a a a <2133aa >，所以33273242a >=时，要使得F (x )有三个不同的零点，则f (23)＜0或者203233f a ⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎪<，即322()1033a -+<或3221033233a a ⎧⎛⎫-+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭>，即3518a >或435318a <≤，解得a ＞43．又3322a >332423>，所以3322a >.故答案为：3322a >.或【点睛】本题考查了数形结合思想，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究函数的零点，属于中档题. 16．在ABC ∆中，若tan tan 3tan tan A AB C+=，则sin A 的最大值为_____. 21 【解析】根据同角三角函数中的商数关系式，结合正弦和角公式化简，并由正弦定理将角化为边，代入余弦定理即可表示出cos A ，再由基本不等式即可求得cos A 的取值范围，进而结合同角三角函数关系式求得sin A 的取值范围，即可求得sin A 的最大值. 【详解】在ABC ∆中，tan tan 3tan tan A AB C+=，则sin cos sin cos 3cos sin cos sin A B A CA B A C+=，通分化简可得()sin cos sin cos sin 3cos sin sin A B C C B A B C+=，由正弦和角公式可得()sin sin 3cos sin sin A C B A B C+=，所以2sin 3cos sin sin AA B C=，由正弦定理代入可得23cos a bc A=，即23cos a bc A =，又由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，代入可得223cos 2cos bc A b c bc A =+-，所以2222cos 555b c bc A bc bc +=≥=，当且仅当b c =时取等号，则24cos 25A ≥，所以241sin 25A -≥，即221sin 25A ≤，所以sin 5A ≤，则sin A 的最大值为5.故答案为：5. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的综合应用，正弦和角公式化简三角函数关系式，正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，基本不等式求最值，综合性强，属于难题.四、解答题17．已知二次函数()f x 满足()(4)f x f x =--，(0)3f =，若1x ，2x 是()f x 的两个零点，且122x x -=. （1）求()f x 的解析式；（2）若0x >，求()()xg x f x =的最大值.【答案】（1）2()43f x x x =++；（2）1. 【解析】（1）根据题意可得()f x 的对称轴为2x =-，零点为13x =-，21x =-，设()(3)(1)(0)f x a x x a =++≠，由(0)3f =即可求解.（2）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）()(4)f x f x =--，1x ，2x 是()f x 的两个零点，且122x x -=.()f x 的对称轴为：2x =-，可得13x =-，21x =-.设()(3)(1)(0)f x a x x a =++≠ 由(0)33f a ==，得1a =，所以2()43f x x x =++（2）∵21()13()4324x x g x f x x x x x===≤=-++++，当且仅当3x x '=，x = ∴()g x的最大值是12-. 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.18．已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，且当0x >时，37,02()51,2x x f x x x ⎧-<≤⎪=⎨-->⎪⎩，()()g x f x a =-.（1）若函数()g x 恰有三个不相同的零点，求实数a 的值；（2）记()h a 为函数()g x 的所有零点之和.当11a -<<时，求()h a 的取值范围. 【答案】（1）2a =或2a =-；（2）()3312log 2,2log 21--.【解析】（1）作出函数()f x 的图象，函数()g x 恰有三个不相同的零点，即直线y a =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，由图象可得实数a 的值；（2）由()f x 的图象可知，当11a -<<时，()g x 有6个不同的零点，利用函数的奇偶性结合对称性得出()h a ，进而可得()h a 的取值范围．【详解】（1）作出函数()f x 的图象，如图，由图象可知，当且仅当2a =或2a =-时，直线y a =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，∴当且仅当2a =或2a =-时，函数()g x 恰有三个不相同的零点.（2）由()f x 的图象可知，当11a -<<时，()g x 有6个不同的零点，设这6个零点从左到右依次为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，则1210x x +=-，5610x x +=，3x 是方程370x a -+-=的解，4x 是方程370x a ---=的解.∴3337()10log (7)log (7)10log 7ah a a a a+=---+++=- 当11a -<<时，714341,7743a a a +⎛⎫=-∈ ⎪--⎝⎭，∵()33()12log 2,2log 21h a ∈-- ∴当时11a -<<，()h a 的取值范围为()3312log 2,2log 21--. 【点睛】本题考查函数与方程思想，考查考查函数的奇偶性和对称性，考查指对函数的性质，属于中档题．19．有甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪80元，送餐员每单制成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分送餐员每单抽成6元，超过40单的部分送餐员每单抽成7元.现从这两家公司各随机选取一名送餐员，分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数分布表：送餐单数 38 39 40 41 42 甲公司天数 10 10 15 10 5 乙公司天数101510105（1）从记录甲公司的50天送餐单数中随机抽取3天，求这3天的送餐单数都不小于40单的概率；（2）假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，将频率视为概率，回答下列两个问题：①求乙公司送餐员日工资的分布列和数学期望；②小张打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，小张应选择哪家公司应聘？说明你的理由. 【答案】（1）29140；（2）①分布列见解析，()238.6E X =；②小张应选择甲公司应聘. 【解析】（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，可得P （A ）的值．（2）①设乙公司送餐员送餐单数为a ，可得当38a =时，386X =⨯，以此类推可得：当39a =时，当40a =时，X 的值．当41a =时，X 的值，同理可得：当42a=时，X ．X 的所有可能取值．可得X 的分布列及其数学期望．②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出．【详解】解：（1）由表知，50天送餐单数中有30天的送餐单数不小于40单，记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件A ，则()33035029140C P A C ==．（2）①设乙公司送餐员的送餐单数为n ，日工资为X 元，则当38n =时，386228X =⨯=；当39n =时，396234X =⨯=；当40n =时，406240X =⨯=；当41n =时，4067247X =⨯+=；当42n =时，40614254X =⨯+=．所以X 的分布列为13111()228234240247254238.65105510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为380.2390.2400.3410.2420.139.8⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以甲公司送餐员的日平均工资为80439.8239.2+⨯=元，因为238.6239.2<，所以小张应选择甲公司应聘．【点睛】本题考查了随机变量的分布列与数学期望、古典概率计算公式、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图所示，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且DAB DBF 60∠∠==． ()1求证：AC ⊥平面BDEF ；()2求直线AD 与平面ABF 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析. 15. 【解析】（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，由菱形的性质可得AC BD ⊥，由等腰三角形的性质可得AC FO ⊥，利用线面垂直的判定定理可得结果；(2)先证明FO ⊥平面ABCD .可得OA ，OB ，OF 两两垂直，以OA ，OB ，OF 建立空间直角坐标系O xyz -，求出()3,1,0AD =--，利用向量垂直数量积为零列方程组求出平面ABF 的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果. 【详解】（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥，又FO BD O ⋂=，∴AC ⊥平面BDEF .（2）连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形， ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD .∵OA ，OB ，OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz-，如图所示，设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，∴2BD =，23AC =. ∵DBF ∆为等边三角形，∴3OF =.∴()3,0,0A，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,3F ，∴()3,1,0AD =--，()3,0,3AF =-，()3,1,0AB =-.设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =，则·330·30AF n x z AB n x y ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，取1x =，得()1,3,1n =.设直线AD 与平面ABF 所成角为θ，则·15sin cos ,5·AD n AD n AD nθ===.【点睛】本题主要考查线面垂直的证明、利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21．已知函数()ln f x kx x x =-，k ∈R ．（1）当2k =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当01x <≤时，()f x k ≤恒成立，求k 的取值范围；（3）设n N *∈，求证：ln1ln 2ln (1)2314n n n n -+++≤+．【答案】（1）单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞；（2）[1,)+∞；（3）证明见解析.【解析】（1）代入2k =，求出'()f x ，再令'()0f x >求出其单调递增区间，令'()0f x <求出其单调递减区间；（2）求出'()f x ，再分类讨论k 的取值，验证其正确性，进而求出k 的取值范围；（3）利用（2）中得出的结论，取1k =，得到不等式ln 1x x x -≤，再令x =21n*()n N ∈，对不等式变形得到ln 1n n +≤12n -，进而证明原不等式. 【详解】解：（1）当2k =时，()2ln f x x x x =-，'()1ln f x x =-，由'()0f x >，解得0x e <<；由'()0f x <，解得x e >，因此函数()f x 单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞．（2）()ln f x kx x x =-，故'()1ln f x k x --＝．当1k 时，因为01x <≤，所以10ln k x -≥≥，因此'()0f x ≥恒成立，即()f x 在(]0,1上单调递增，所以()(1)f x f k ≤=恒成立．当1k <时，令'()0f x =，解得1(0,1)k x e -=∈．当1(0,)k x e -∈，'()0f x >，()f x 单调递增；当1(,1)k x e -∈，'()0f x <，()f x 单调递减；于是1(1))(k f ef k -=＞，与()f x k ≤恒成立相矛盾．综上，k 的取值范围为[1,)+∞．（3）由（2）知，当01x <≤时，ln 1x x x -≤．令x =21n *()n N ∈，则21n +22n ln 1n ≤，即22ln 1n n -≤，因此ln 1n n +≤12n -．所以ln1ln 2ln 011(1) (23)12224n n n n n --+++≤+++=+. 【点睛】本题主要考查函数的单调性与最值，以及不等式的证明相关问题，考查运算求解能力，属于中等题型.。

江苏省如皋市2020-2021学年高三数学第一学期教学质量调研(一)

江苏省如皋市2020-2021学年高三数学第一学期教学质量调研（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．计算cos960的值为_________.2．函数y =_______．3．已知直线l 1：210ax y a -+-=和l 2：3(2)50x a y --+=平行，则实数a 的值为_______．4．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)y px p =>的焦点在直线220x y +-=上，则p 的值为_______．5．若实数x ，y 满足2222x y +=，则xy 的最大值为_______．6．设曲线()ln f x ax x =-的图象在点(1，(1)f )处的切线斜率为2，则实数a 的值为_______．7．已知实数x ，y 满足约束条件0321y x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≤-⎩，则2x y +的最大值为_______．8．设向量a ，b ，c 均为单位向量，且23a b c =-，则向量a ，b 的夹角等于_______．9．已知圆229x y +=被直线210mx y m +--=所截得弦长为32，则实数m 的值为____．10．已知cos 5α=，(απ∈-，0)，tan()1αβ+=，则tan β的值为_______． 11．已知奇函数()f x 的图象关于直线x ＝1对称，当[0x ∈，1]时，2()log (1)=+f x x ，则函数6()y f x x =-在[﹣3，9]上的零点个数是_______．12．若函数2220()20x x x x f x x ⎧-+->=⎨<⎩，，，则不等式5(())4f f x <-的解集为_______． 13．设a ＞0，b ＞0，a ≤2b ≤2a ＋b ，则2222ab a b +的取值范围为_______．14．在△ABC 中，D 为AB 的中点，若2BA DC 3AB AC ⋅=⋅，则tan A tan B tanC ++的最小值是_______．二、解答题15．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且2)b a c =+，sin Bsin C ．（1）求角B ；（2）若△ABC 的面积为b ，c ．16．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，△CBD 是以B 为直角顶点的等腰三角形，且点A ，D 分布在直线BC 两侧，点E 为BC 的中点．（1）若1AF AC 3=，求AE BF +的值；（2）若点P 为等腰直角△CBD 内一动点（不包含边界），求AE EP ⋅的取值范围．17．如图，养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线CA 、CB 围成一个三角形养殖区ACB ．为了便于管理，在线段AB 之间有一观察站点M ，M 到直线BC ，CA 的距离分别为8百米、1百米．（1）若围成△ABC 面积为16万平方米，求观察点M 到A 、B 距离之和；（2）当观察点M 到A 、B 距离之和最小时，求围成△ABC 的面积．18．已知椭圆T 的焦点分别为F 1(﹣1，0)、F 2(1，0)，且经过点，)．（1）求椭圆T 的标准方程；（2）设椭圆T 的左右顶点分别为A 、B ，过左焦点的直线与椭圆交于点C 、D ，△ABD 和△ABC 的面积分别为S 1、S 2，求12S S -的最大值；（3）设点M 在椭圆T 外，直线ME 、MF 与椭圆T 分别相切于点E 、F ，若ME ⊥MF ，求证：点M 在定圆上．19．已知函数2()(f x x bx c b =++、)c R ∈．（1）当c ＝b 时，解关于x 的不等式()f x ＞1；（2）若()f x 的值域为[1，+∞)，关于x 的不等式()f x a <的解集为(m ，m ＋4)，求实数a 的值；（3）若对[2x π∈-，0)(0⋃，]2π，2()0sin f x ≥恒成立，函数2223()1x g x x +=-+，且(())f g x 的最大值为1，求22b c +的取值范围．20．设a 为实数，函数21()12x f x e ax =--，其中e 为自然对数的底数．（1）当a ＝e 时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在1x x =和2x x =处取得极值，且11212x x x <<≤，求实数a 的取值范围．参考答案1．12-；【分析】首先将角960化为3360120⨯-，之后应用诱导公式化简求值即可得结果.【详解】 1cos960cos(1080120)cos1202=-==-，故答案是12-. 【点睛】该题考查的是有关三角函数求值问题涉及到的知识点有诱导公式，以及特殊角的三角函数值，属于简单题目.2．[)2,+∞；【解析】试题分析：因为2402x x -≥⇒≥，所以定义域为[2,)+∞考点：函数定义域3．1-；【解析】【分析】首先利用两直线平行时方程中系数所满足的条件，列出对应的等式和不等式，最后求得结果.【详解】当两直线平行时，有(2)353(21)a a a a --=-⎧⎨≠-⎩，解得1a =-，故答案是1-.【点睛】该题考查的是有关直线平行时，方程的系数所满足的条件，需要注意的是需要将重合的情况排除，属于简单题目.4．2；【解析】【分析】首先根据抛物线的方程，判断出其焦点所在轴，求得直线220x y +-=与x 轴的交点坐标，从而得到焦点坐标，进一步求得p 的值.【详解】直线220x y +-=与x 轴的交点坐标为(1,0)，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)，即12p =，所以2p =，故答案为2.【点睛】该题考查的是有关抛物线的焦点的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有抛物线的焦点所在轴，直线与坐标轴的交点，抛物线的焦点坐标，熟练掌握基础直线是解题的关键.5．2【解析】【分析】首先将椭圆的方程化为标准方程，之后应用其参数方程，将,x y 用θ来表示，之后借助于三角函数的最值求得结果.【详解】由2222x y +=得2212x y +=，设,sin x y θθ==，所以sin 2xy θθθ=⋅=故答案是2. 【点睛】该题考查的是有关椭圆上的点的坐标运算式的最值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有椭圆的参数方程，正弦的倍角公式，三角函数的最值，正确理解题意是解题的关键. 6．3【解析】【分析】首先对函数求导，根据函数图象在某个点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数，从而将相应的量代入，求得结果.【详解】函数()ln f x ax x =-，可得1'()f x a x=-，所以切线的斜率为'(1)12k f a ==-=，解得3a =，故答案是3.【点睛】该题考查的是有关函数图象在某个点处的切线的斜率问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，根据题意，得到参数所满足的等量关系，求得结果，属于简单题目.7．143；【解析】【分析】首先画出约束条件对应的可行域，画出直线01:2l y x =-，上下移动，得出其过点A 时取得最大值，联立方程组，求得A 点的坐标，代入求得最大值，得到结果.【详解】约束条件0321y x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≤-⎩对应的可行域如图所示：三角形区域即为所求，画出直线12y x =-，从图中可以看出，当直线过点A 时，目标函数取得最大值，解方程组321x y y x +=⎧⎨=-⎩，得45(,)33A ，此时410142333x y +=+=，故答案是143. 【点睛】该题考查的是有关简单的线性规划问题，在解题的过程中，正确画出其可行域是解题的关键，注意分析目标函数的形式，分三种，线性的即为截距型，分式型即为截距型，平方和型为距离型，正确判断在哪个点处取得最值是关键.8．π3；【分析】首先将23a b c =-变形得23a b c -=-，结合三个向量都是单位向量，利用向量数量积的运算性质，两边平方，得到4123a b +-⋅=，求得12a b ⋅=，之后应用向量夹角余弦公式求得结果.【详解】根据向量a ，b ，c 均为单位向量，且23a b c =-，所以23a b c -=-，两边平方得4123a b +-⋅=，所以12a b ⋅=，所以1cos ,2a b a b a b ⋅==⋅，又因为向量夹角的取值范围为[0,]π，所以向量a ，b 的夹角为3π. 【点睛】该题考查的是有关向量夹角的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有向量数量积的运算性质，向量夹角余弦公式，正确应用公式是解题的关键.9．1或7；【解析】【分析】首先根据圆中的特殊三角形，应用勾股定理，求得弦心距，即圆心到直线的距离，之后应用点到直线的距离公式求得结果.【详解】因为圆229x y +=的圆心是(0,0)，半径为3，根据弦长为2d ==，所以2d ==1m =或7m =，所以答案是1或7.【点睛】该题考查的是有关圆中的特殊三角形的问题，即弦心距、半弦长和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理，求得弦心距，之后应用点到直线的距离公式建立相应的等量关系式，求得结果.10．3-【解析】试题分析：cos sin tan 2ααα===-，()()()12tan tan 3112βαβα--⎡⎤=+-==-⎣⎦+⨯-考点：同角间三角函数关系及两角和差的正切公式11．5；【分析】首先作出所给的区间上的函数的图象，之后根据函数的轴对称性以及奇函数的中心对称性，从而求得函数是周期函数，画出所研究的区间上的图象，之后在同一坐标系中画出直线6x y =，根据交点的个数即为零点的个数，从而求得结果. 【详解】首先作出函数()()[]2log 1,0,1f x x x =+∈的图象，之后根据函数图象关于直线1x =对称，以及奇函数关于原点对称，从而得到函数是以4为周期的周期函数，作出其在[﹣3，9]上的图象，之后在同一坐标系中，作出直线6x y =，可以发现其一共有5个交点，从而得到函数在相应区间上有5个零点，故答案是5.【点睛】该题考查的是有关函数零点的个数问题，涉及到的知识点有对数型函数的图象的画法，函数图象的对称性，函数零点个数，数形结合思想的应用，认真审题是解题的关键.12．(),1-∞-【解析】【分析】首先令分段函数每一段上的函数值小于54-，之后结合分段函数的定义域以及函数值的大小，求解相应的不等式，得到结果.【详解】令25224x x -+-<-，解得12x <或32x >，因为0x >，所以13(0,)(,)22x ∈⋃+∞，因为20x >，所以不用考虑，再令1022x <<，解得1x <-，又因为2222(1)11x x x -+-=---≤-，所以不可能大于32，所以不等式()()54f f x <-的解集为(),1-∞-. 【点睛】该题考查的是有关多层函数不等式的问题，涉及到的知识点有分段函数的值域，指数不等式，二次函数的值域等，正确转化式子是解题的关键.13．4,92⎡⎢⎣⎦；【解析】【分析】首先根据不等式的性质，得到122a b ≤≤，之后将所求的式子化为关于ab的关系式，之后借助于对勾函数以及不等式的性质，求得目标式的取值范围. 【详解】根据a ＞0，b ＞0，由222a b b a b≤⎧⎨≤+⎩求得122ab ≤≤，222222ab a b a b b a=++，令1[,2]2a t b =∈，则29]2t t +∈，所以24[,292t t∈+，故答案是4[,92. 【点睛】该题考查的是有关代数式的取值范围的问题，涉及到的知识点有不等式的性质，对勾函数的性质，在求解的过程中，注意对式子的正确转化. 14．【分析】首先利用向量的运算法则，将题中所给的条件进行转化，得到()3AB CA CB AB AC ⋅+=⋅，进一步根据向量数量积的运算式以及正弦定理，得到tan 4tan A B =，之后应用诱导公式以及和角公式将式子化为关于tan B 的关系式，之后应用导数研究函数的最值，即可求得结果.【详解】根据D 为AB 的中点，若2BA DC 3AB AC ⋅=⋅，得到()3AB CA CB AB AC ⋅+=⋅，化简整理得4BA BC AB AC ⋅=⋅，即cos 4cos ca B cb A =，根据正弦定理可得sin cos 4sin cos A B B A =，进一步求得tan 4tan A B =，所以tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan A BA B C A B A B+++=+--3225tan 20tan 5tan 14tan 14tan B BB B B-=-=--，求导可得当tan B =时，式子取得最大值，代入求得其结果为2083144-=-⨯，. 【点睛】该题考查的是有关三角函数值的最值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有向量的加减运算，向量的数量积的定义式，正弦定理，正切函数的和角公式以及诱导公式，最后应用导数研究函数的最大值，正确应用公式是解题的关键. 15．（1）2π3B =（2）c =b =【分析】（1）首先根据正弦定理得到b =，利用题的条件，进一步求得a c =，利用余弦定理，求得2221cos 22a cb B ac +-==-，结合三角形内角的取值范围，求得其大小；（2）利用三角形面积公式，结合三角形边的关系，最后求得其边长. 【详解】（1）在ABC 中，sin sin sin a b cA B C==，由已知sin B C =．得b =，又因为)2b a c =+，所以a c =．所以2221cos 22a cb B ac +-==-，因为()0,πB ∈，所以2π3B =．（2）211sin 22ABCSac B ac ===，由S =又因为a c =，b =，所以c =b = 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有应用正弦定理，余弦定理解三角形的问题，三角形的面积公式，正确理解题的条件是解题的关键.16．（1）193AE BF +=（2）(0, 【分析】（1）首先根据题意建立适当的平面直角坐标系，根据题中所给的边长的有关条件，得出相应点的坐标，之后应用向量的加法运算法则以及模的坐标公式求得结果.（2）设出点的坐标，将向量的数量积转化为相应的关系式，根据其范围，得到结果. 【详解】如图，由已知ABC 是边长为2的等边三角形，CBD 是以B 为直角顶点的等腰三角形，则以B 为原点，BC ，BD 所在直线分别作为x ，y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则()0,0B ，()2,0C ，(A ，()0,2D -，()1,0E ．（1）由13AF AC =，得43F ⎛ ⎝⎭，所以4,33AE BF ⎛+=- ⎝⎭，所以19AE BF +=．（2）设(),P x y ，则20y -<<，则(()(0,1,AE EP x y ⋅=⋅-=∈．【点睛】该题考查的是有关向量的模以及数量积的范围，在解题的过程中，注意向量的运算公式，模的求解公式，以及数量积的坐标运算式，正确理解题意是解题的关键，注意将向量坐标化的思想.17．（1）AB =2）25 【分析】（1）首先根据题意，建立合适的平面直角坐标系，设出直线的方程，根据题中所给的三角形的面积，求得18k =-，从而得到对应的点的坐标，利用两点间的距离公式求得结果；（2）将AB 表示成关于k 的函数，利用导数求其最值，从而得到最后的结果. 【详解】以C 为原点，CA ，CB 所在直线分别作为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，则()8,1M ．设直线():18AB y k x -=-，即18y kx k =+-，则18,0k A k -⎛⎫-⎪⎝⎭，()0,18B k -，所以180180kkk -⎧->⎪⎨⎪->⎩，所以0k <，（1）()11818162ABCk Sk k -⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪⎝⎭，也即2641610k k ++=，解得18k =-，此时()16,0A ，()0,2B ，AB =（2）()()()22218180k AB k f k k k -⎛⎫=-+-=< ⎪⎝⎭，则()()()2211810f k k k k ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭则()()()()()()()32233218811121881182k k f k k k k kk --+⎛⎫=-⨯-⨯+'+-⨯-⨯= ⎪⎝⎭，所以当12k =-时，AB 最短，此时ABC 的面积为25．【点睛】该题考查的是有关函数的应用题，在解题的过程中，注意其解题的过程是先建立适当的坐标系，之后设出直线的方程，得到对应的点的坐标，利用面积公式得到其等量关系式，再者就是应用导数研究其最值，得到结果.18．（1）22132x y +=（2）点M 在定圆225x y +=上【解析】【分析】（1）根据题意，先设出椭圆的方程，根据题中所给的条件，建立,a b 所满足的等量关系式，求解方程组得结果；（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，将三角形的面积用坐标表示，之后应用基本不等式求得最值；（3）分情况讨论，联立方程组，结合圆的相关性质，证得结果. 【详解】（1）设所求的方程为()222210x y a b a b+=>>，其中2221a b c -==，且22231a b ⎛⎫⎪⎝⎭+=，解得23a =，22b =，椭圆T 的标准方程为22132x y +=．（2）点A 、B 的坐标分别为()2,0-、()2,0，设点C 、D 的坐标为()11,x y 、()22,x y ，因为要构成三角形，又直线CD 过焦点，则C 、D 分别在x 轴两侧，所以120y y <，不妨设10y >，20y <，则122S y =-，212S y = 直线CD 过焦点()1,0-，且斜率不为0，设直线CD 方程为1x my =-，与椭圆方程联立消元得()2223440m y my +--=，1y 、2y 是该方程的两个异号实根，122112S S y y y -=-=+=，当0m =时，120S S -=当0m ≠时，1232S S m m-=≤=+当且仅当32m m =，即232m =时取等号，综上，12S S -．（3）当直线ME 、MF 斜率分别不存在和为0时，ME 、MF 分别垂直于坐标轴，点M 坐标为或(或(或，则MO =，其中O 是坐标原点，点M 在定圆225x y +=上．当直线ME 、MF 斜率存在且不为0时，设点M 坐标为()00,x y ，设直线ME 、MF 的方程分别为()100y k x x y =-+、()200y k x x y =-+，可以统一为()00y k x x y =-+的形式，并与椭圆方程联立消元得：()()()22222200000236636360k x k xky x k x kx y y +--+-+-=，直线ME 、MF 与椭圆相切，则()()()2222220000006642336360k x ky k k x kx y y ∆=--+-+-=直线ME 、MF 与椭圆相切，则()()()2222220000006642336360k x ky k k x kx y y ∆=--+-+-=展开化简得：()()()22200003220x k x y k y -++-=（2030x -≠且2020y -≠），1k 、2k 可以看作是这个方程的两根，由ME MF ⊥得201220213y k k x -=-=-，即2205x y +=，并且此时方程中的判别式()()22222000004434520x y x yy ⎡⎤∆=---=+>⎣⎦恒成立，点M 也在定圆225x y +=上，综上，点M 在定圆225x y +=上．【点睛】该题考查的是有关直线与圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合问题，椭圆中的三角形的面积的问题，以及点在圆上的证明方法，思路清晰是正确解题的关键.19．（1）见解析（2）[]32,74 【解析】【分析】（1）当c b =时，不等式可化为210x bx b ++->，因式分解可得()()110x b x +-+>，之后根据根的大小，得到不等式的解集；（2）根据函数的值域，得到函数的最值，从而求得2414c b -=，再根据关于x 的不等式()f x a <的解集为(),4m m +，得到20x bx c a ++-=的两根之差为4，得到方程组 ()2241644b c a c b ⎧--=⎨-=⎩，求得结果；（3）将恒成立问题转化为最值处理即可求得结果.【详解】（1）当c b =时，由()1f x >得210x bx b ++->，即()()110x b x +-+>，当11b ->-，即2b <时，原不等式的解集为()(),11,b -∞-⋃-+∞；当2b =时，原不等式的解集为()(),11,-∞-⋃-+∞；当2b >时，原不等式的解集为()(),11,b -∞-⋃-+∞．（2）由()f x 的值域为[)1,+∞，得2414c b -=，又关于x 的不等式()f x a <的解集为(),4m m +，所以m ，4m +是方程()f x a =的两个根，即20x bx c a ++-=的两根之差为4．所以4=()2241644b c a c b ⎧--=⎨-=⎩，解得5a =．（3）ππ,00,22x ⎡⎫⎛⎤∈-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦时，(][)2,22,sin x ∈-∞-⋃+∞，则(][),22,x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x ≥恒成立．又()[)22223123,211x g x x x +=-=--∈--++，因为()()f g x 的最大值为1，()f x 在[)3,2x ∈--上的最大值为1，由()f x 图像开口向上，所以()()3121f f ⎧-=⎪⎨-≤⎪⎩，即931421b c b c -+=⎧⎨-+≤⎩，则38c b =-，且5b ≤；此时由(][),22,x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x ≥恒成立，即2380x bx b ++-≥恒成立，则()20f -≥，得4b ≥，所以522b -≤≤-，要满足(][),22,x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x ≥恒成立，则0∆≤，解得()24380b b --≤，48b ≤≤，所以45b ≤≤．此时()[]222223810486432,74b c b b b b +=+-=-+∈．【点睛】该题考查的是有关二次函数的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，二次函数的最值，恒成立问题的转化方向，分类讨论思想的应用，认真审题是解题的关键.20．（1）()f x 的增区间为(),-∞+∞，没有减区间．（2）122,2ln 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）将a e =代入函数解析式，之后对()f x 求导，再求二阶导，通过研究其性质，得到()0f x '≥恒成立，从而求得函数的单调区间；（2）根据题意，可知1x ，2x 是()0f x '=的两根，即1212x xe ax e ax -=-，结合其大小关系，以及题中所给的条件，得到212x x ≥，之后构造新函数，求导研究函数的性质，得到结果. 【详解】（1）当a e =时，()2112xf x e ex =--，()x f x e ex '=-，令()xg x e ex =-，则()xg x e e '=-，所以()()10g x g ≥=，即()0f x '≥恒成立，所以()f x 的增区间为(),-∞+∞，没有减区间．（2）()xf x e ax '=-，由()f x 在1x x =和2x x =处取得极值，可知1x ，2x 是()0f x '=的两根，即1212x xe ax e ax -=-，又11212x x x <<≤，即1112x <<且212x x ≥．设()()0x e g x x x =>，则()()221xx x e x xe e g x x x='--=，由1212x x <≤得212212x x e e x x ≥，又1212x xe ax e ax -=-，得2121x x e e x x =，则112112x x e e x x ≥，即22x e ≤，即1ln2x ≤，所以11ln22x <≤．由1111ln22x e a x x ⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，且()x e g x x =在()0,1上单调递减，得1222ln2a e ≤<．综上，实数a 的取值范围是122,2ln2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．【点睛】该题考查的是有关利用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，构造新函数研究函数的性质，保持思路清晰，是解题的关键.。

【数学】南通如皋2021届高三期初数学试题与解析

数学试题
一．选择题（共 8 小题）
1．记全集 U＝R，集合 A＝{x|x2≥16}，集合 B＝{x|2x≥2}，则（∁UA）∩B＝（）
A．[4，+∞）
B．（1，4]
C．[1，4）
D．（1，4）
【解析】∵全集 U＝R，集合 A＝{x|x2≥16}＝{x|x≥4 或 x≤﹣4}，集合 B＝{x|2x≥2}＝{x|x≥1}，
学满意，女生中有 15 名表示对线上教学不满意．
（1）完成 2×2 列联表，并回答能否有 99%的把握认为对线上教学是否满意与性别有关”；
态度
满意
不满意
合计
性别
男生
女生
合计
120
（2）从被调查的对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取 8 名学生，再在这 8 名学生中抽取 3 名学生，作
线上学习的经验介绍，其中抽取男生的人数为ξ，求出ξ的分布列及数学期望．
7．设 F1、F2 分别为双曲线
（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与圆 O：x2+y2＝a2 相切，
l 与 C 的渐近线在第一象限内的交点是 P，若 PF2⊥x 轴，则双曲线的离心率等于（）
A．
B．2
C．2
D．4
-2-
第 -2- 页
【解析】双曲线的渐近线方程：ax﹣by＝0，因为 PF2⊥x 轴，可得 P（c，），直线 PF1：的斜率为：k＝＝，
C．向左平移
D．向右平移
6．《易经》是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（─表示一根阳线，﹣﹣表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有 2 根阳线和 1 根阴线的概率为（）

江苏省南通市如皋市2021-2022学年高三上学期期中数学试题

2021—2022学年度高三年级第一学期期中教学质量调研数学试卷一、选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有--项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －2)}，B ＝{x |x 2－4x ＜0}，则(C R A )∩B ＝A ．(－∞，2]B ．(0，2]C ．(2，4)D ．[2，＋∞) 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足z (2＋i)＝3＋4i ，记―z 为z 的共轭复数，则|―z |＝A ． 5B ．553C ．293D ．2953．已知函数y ＝f (x )的部分图象如图所示，则函数y ＝f (x )的解析式可能是A ．y ＝x cos(x ＋π)B ．y ＝1－cos xe xC ．y ＝sin x －x e xD ．y ＝sin x －x cos x4．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面向量→a ，→b 满足→a ＝(1，3)，|→a ＋→b |＝4，则|→b |的取值范围是A ．[23，6]B ．[2，23]C ．[2，6]D ．[1，23]5．已知关于x 的不等式x 2＋2bx ＋4＜0的解集为(m ，4m )，其中m ＜0，则b 4a ＋4b的最小值为A ．－2B ．1C ．2D ．86．某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务．若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往同一基地，丙，丁两名成员前往不同基地，则不同的分配方案总数A ．86种B ．64种C ．42种D ．30种 7．设x ，y ，z ∈R ，已知ln x x ＝y e y ＝ln zez ，若0＜x ＜1，则A ．x ＞y ＞zB ．z ＞x ＞yC ．x ＞z ＞yD ．y ＞z ＞x8．由倍角公式cos2x ＝2cos 2x －1，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式，对于cos3x ，我们有cos3x ＝cos(2x ＋x )＝cos2x cos x －sin2x sin x ＝(2cos 2x －1)cos x －2sin x cos x sin x ＝4cos 3x －3cos x ，可见cos3x 也可以表示为cos x 的三次多项式．一般地，存在一个n 次多项式P n (t )，使得cos nx ＝P n (cos x )，这些多项式P n (t )称为切比雪夫(P.L.Tschebyschelf)多项式．(提示：18°×3＝90°－18°×2)如图，在等腰△ABC 中，已知AB ＝54°，AB ＝AC ，且△ABC 的外接圆半径OC ＝1，结合上述知识，可得BC ＝A ．5＋12 B ．5－12 C ．5＋14 D ．5－14二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到y ＝g (x )的图象，则下列说法正确的是A ．φ＝－π3B ．f (x －π6)＝f (－x )C ．函数g (x )为奇函数D ．函数g (x )在区间(π3，3π4)上单调递减10．已知(1－2x )2021＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2021x 2021，则A ．展开式中所有项的系数和为－1B ．展开式中二项系数最大项为第1010项C ．a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 202122021＝－1 D ．a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2021a 2021＝202111．若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，则使得x －y ＜1成立的一个充分不必要条件是A ．x ＋y ＜1B ．log 2x －log 2y ＜1C ．sin x －sin y ＜1D ．4x －2 4y ＜012．观察如下数阵：第n 行 1 x 1 x 2 … … … … … … … x k 2该数阵特点：在第n 行每相邻两数之间都插入它们的和得到第n ＋1行的数，n ∈N*．设第n 行数的个数为a n ，第n 行的所有数之和为S n ，则A ．a n ＋1＝2a n －1B ．S n ＋1＝3s n －3C ．S n ＝3[(n －1)2＋1] D ．k ＝2n －1－1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知角θ的终边与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，sin(π2＋2θ)的值为．14．写出满足条件“函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (xy )＝f (x )＋f (y )”的一个函数f (x )＝． 15．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与圆O ：x 2＋y 2＝a 2相切的直线与双曲线C 的一条渐近线相交于点M (点M 在第一象限)，若MF 1⊥MF 2，则双曲线C 的离心率e ＝．16．某同学高考后参加国内3所名牌大学A ，B ，C 的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3所大学A ，B ，C 招生考试的概率分别为x ，y ，12，该同学能否通过这3所大学的招生考试相互独立，且该同学恰好能通过其中2所大学招生考试的概率为518，则该同学至少通过1所大学招生考试的概率为；该同学恰好通过A ，B 两所大学招生考试的概率最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本题满分10分)为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康观念，手机APP 也推出了多款健康运动软件，如“微信运动”，某运动品牌公司140名员工均在微信好友群中参与了“微信运动”，且公司每月进行一次评比，对该月内每日运动都达到10000步及以上的员工授予该月“运动达人”称号，其余员工均称为“参与者”，下表是该运动品牌公司140名员工2021年1月－5月获得“运动达人”称号的统计数据：(1)关于x 的回归直线方程ŷ＝bˆx ＋a ˆ，并预测该运动品牌公司6月份获得“运动达人”称号的员工数； (2)为了进一步了解员工们的运动情况，选取了员工们在3月份的运动数据进行分析，统计结果如下：请补充上表中的数据(与性别有关?参考公式：bˆ＝∑∑==-⋅-ni ini i i x n xy x n yx 1221，aˆ＝―y －b ˆ―x ， K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )．已知各项均为正数的数列{a n }，{b n }满足a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列．(1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)记c n ＝1a n ＋1a n ＋1，记{c n }的前n 项和为S n ，若a k ＞54，求正整数k 的最小值．19．(本题满分12分)如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知c ＝4，b ＝2，sin2C ＝sin B ，且D 为BC 的中点，点E 满足→AE ＝13→AB ＋23→AC ．(1)求a 的值； (2)求cos ∠DAE 的值．为落实立德树人根本任务，坚持五育并举全面推进素质教育，某校举行了乒乓球比赛，其中参加男子乒乓球决赛的12名队员来自高一年级3人，高二年级4人，高三年级5人．本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，即每名队员进行11场比赛(每场比赛都采取5局3胜制)，最后根据积分选出最后的冠军，亚军和季军积分规则如下：每场比赛5局中以3：0或3：1获胜的队员积3分，落败的队员积0分；而每场比赛5局中以3：2获胜的队员积2分，落败的队员积1分． (1)比赛结束后冠亚军恰好来自不同年级的概率是多少?(2)已知最后一轮比赛两位选手是甲和乙，假设每局比赛甲获胜的概率均为23．记这轮比赛甲所得积分为X ，求X 的概率分布及数学期望E (X )．21．(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y23＝1的左，右顶点和右焦点分别为A ，B 和F ，直线l ：x ＝my＋t 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，记直线AM ，BM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，k 3． (1)求证：k 1k 2为定值；(2)若k 1＝3k 3，求△FMN 的周长．已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1，a ∈R ． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的最大值； (2)若关于x 的不等式f (x )＋ex －1x＋a －2≥0对任意的实数x ≥1恒成立，其中e 为自然对数的底数，求a 的取值范围．。

江苏省南通市如皋县2021届高三上学期期中调研考试数学数学

个单位长度后,再进行周期变换可
A. π B. π
12
6
C. π D. π
3
4
8.
函数 y=tan2x-lt;
π 2
的最大值为
()
A. -3 3
B. 3 C. 0 D. -3
二、多项选择题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项
符合题目要求.全部选对得 5 分,部分选对得 3 分,不选或有错选的得 0 分.
江苏省南通市如皋县 2021 届高三期中调研考试数学
注意事项: 1. 本试卷共 150 分,考试时间 120 分钟. 2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、单项选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知 a 为正实数,复数 1+ai(i 为虚数单位)的模为 2,则 a 的值为 ( )
B. 定义:如果一个函数既是奇函数又是偶函数,这样的函数称为“两面派”函数,那么“两面
派”函数一定有无数个
C. 若一个奇函数在定义域内每个点处均有导数,则其导函数必为偶函数
D. 若一个函数的导函数是奇函数,则该函数必为偶函数
11. 已知 A=B={1,2,3},分别从集合 A,B 中各随机取一个数 a,b,得到平面上一个点 P(a,b),事件
18. (本小题满分 12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=12(an+1-1).
(1) 求证:数列{an}是等比数列,并求通项 an;
4
(2) 若等差数列{bn}的各项均为正数,且∑
=1
= 24, 1 + 1, 2 + 2, 3 + 3成等比数列,求数

江苏省如皋市2021-2022学年高三上学期期末考试数学试题【含答案】

A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.c＜b＜aD.c＜a＜b
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.关于复数 (i为虚数单位)，下列说法正确的是（）
A.|z|＝1B. z＋z2＝－1C. z3＝－1D.(z＋1)3＝i
当时，f(x)＝sinx是奇函数，
因此“函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数” “a＝1”充要条件，
故选:C.
3.已知随机变量X服从正态分布，且，则（）
A.0.43B.0.28C.0.14D.0.07
【答案】D
【解析】
【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得．
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，M＝P∪Q，则集合M中的元素共有（）
A.4个B.6个C.8个D.无数个
2.“函数f(x)＝sinx＋(a－1)cosx为奇函数”是“a＝1”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
17.已知在△ABC中，D为边BC上一点，CD=10，2AC=3AD= AB，cos∠CAD= .
（1）求AD的长；
（2）求sinB.
18.已知数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋(－1)nn.
（1）求a2n；
（2）设bn＝，求数列{bn}的前n项和.
19.已知盒子里有6个形状、大小完全相同的小球，其中红、白、黑三种颜色，每种颜色各两个小球现制定如下游戏规则：每次从盒子里不放回的摸出一个球，若取到红球记1分；取到白球记2分；取到黑球记3分.

2021届江苏省如皋市高三年级第一学期教学质量调研(一)文科数学

2021届江苏省如皋市高三年级第一学期教学质量调研（一）文科数学文科数学试题一、填空：这个大问题有14个小问题，每个小问题5分，总共70分。

每个子问题中只有四个选项中的一个项符合课题要求1.命题“?x?r,x?x?0”的否定是命题（填“真”或“假”）2.设集合p?{1,2,3,4}，q?{x|?2?x?2,x?r}，则p?q?.3.若复数z?2a?i（a?r,i为虚数单位）的实部与虚部相等，则z的模等于.2i?2x?y?2?4.若实数x,y满足约束条件?x?y??1，则目标函数z?2x?y的最小值为.十、Y1.5.知道x吗？0，y？0，lg2？lg8？LG2，那么xy11的最小值是.?x3y1?6.设向量a?(2,1)，b?(1,2)，若(2a?b)//(a?kb)，则实数k的值为.27.设置函数f（x）？Sin（2x？8.遵循以下等式：6)的图象向右平移6个单位，所得图像的解析公式为12?132? 2.3.452? 3.4.5.6.772? 4.5.6.7.8.9? 十92?5?6?7?8?9?10?11?12?13n2?100?101?102m那么n？M9.设定曲线f（x）？？前任？1在点P处与Y轴相交，则F（x）图像在点P 处的切线方程为xx10.已知直线y?a与函数f(x)?3及g(x)?2?3的图象分别交于a,b两点，则线段ab 的长度为.11.若sin??3sin(2)，则tan()?2tan??.12.已知函数f（x）的导数函数是f'（x）？Ax（x2）（xa）（a0），如果函数f（x）在x中？？如果取最小值为2，则实数a的值范围为13.若点g为?abc的重心，且ag?bg，ab?2，则ca?cb的值为.14.知道x，y，Z吗？(0,??) X呢？5岁？4z？那么XY呢？YZ的最大值为222二、解答题（本大题共6小题，满分90分，将答案填在答题纸上）15.（本子题满分为14分）已知函数f（x）？？cos2（？x×6）？3（±10，±0）的最大值为2，最小正周期为2?.3（1）求函数y?f(x)的解析式；（2）当x?[0,?2]时，求函数f(x)的值域.16.（本分题满分14分）如图所示，矩形abcd的顶点a,d分别在x轴，y轴正半轴（含坐标原点）滑动，其中ad?4,ab?2.（1）若?dao??4，求|oc?od|；（2）求你了？OC的最大值17.（本小题满分14分）知道吗？ABC内角a、B和C的对边是a、B、C和SINB？辛克？直径）和？ABC地区s？A.（b？c）。

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江苏省如皋市2021届高三上学期第一次教学质量调研
数学试题
2020．10
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1．已知复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为
A ．3
B ．2
C ．1
D ．2 2．已知集合A ＝{}
ln(2)x y x =-，B ＝{
}
2, A x
y y x =∈，则A
B ＝
A ．(-∞，2)
B ．(-∞，4)
C ．(0，2)
D ．(0，4) 3．已知α，β，γ是三个不同的平面，且α
γ＝m ，βγ＝n ，且m ∥n 是α∥β的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 4．函数()sin(e e )x
x
f x -=+的图像大致为
5．《九章算术》是我国古代的一本数学著作．全书共有方田，粟米，衰分，少广，商宫，均输，盈不足，方程和勾股共九章，收录246个与生产、生活实践相关的实际应用问题．在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各有几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在该问题中，任意两人所得的最大差值为 A ．
13 B ．23 C ．16 D ．56
6．在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥面ABC ，△ABC 是边长为2的正三角形，且PA 3二面角P —BC —A 的大小为
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．无法确定
7．在平面直角坐标系xOy 中，点F 是椭圆C ：22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)的左焦点，A 为椭圆
的上顶点，过点A 作垂直于AF 的直线分别与x 轴正半轴和椭圆交于点M ，N ，若AM 3MN =，则椭圆C 的离心率e 的值为
A ．
2 B ．12 C ．12 D ．13
8．已知全集U ＝{}
N , 12020x x n n ∈=≤≤，若集合A ⊆U ，B ⊆U ，A
B ＝∅，A ，B
的元素个数相同，且对任意的n ∈A ，2n ∈B ，则A B 的元素个数最多为
A ．20
B ．18
C ．16
D ．以上结果都不正确二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
9．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)
且双曲线C 的左焦点在直线x ＋y 0上，A ，B 分别是双曲线C 的左，右顶点，点P 是双曲线C 的右支上位于第一象限的动点，记PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是
A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x
B ．双曲线
C 的方程为2
214
x y -= C ．1k 2k 为定值
1
4
D ．存在点P ，使得1k ＋2k ＝1 10．已知等比数列{}n a 的公比q ＜0，等差数列{}n b 的首项10b >，若99a b >，且1010a b >，则下列结论一定正确的是
A ．9100a a <
B ．910a a >
C ．100b >
D ．910b b > 11．设α，β是两个相交平面，则下列说法正确的是
A ．若直线m ⊥α，则在平面β内一定存在无数条直线与直线m 垂直
B ．若直线m ⊥α，则在平面β内一定不存在与直线m 平行的直线
C ．若直线m ⊂α，则在平面β内一定存在与直线m 垂直的直线
D ．若直线m ⊂α，则在平面β内一定不存在与直线m 平行的直线 12．关于函数()e cos x
f x a x =-，x ∈(π-，π)，下列说法正确的是 A ．当a ＝1时，()f x 在x ＝0处的切线方程为y ＝x B ．若函数()f x 在(π-，π)上恰有一个极值，则a ＝0
C ．对任意a ＞0，()f x ≥0恒成立
D ．当a ＝1时，()f x 在(π-，π)上恰有2个零点
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．命题p ：“∀x ＞0，x 2＞0”的否定⌝p ：
． 14．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课可设“礼”“乐”“射” “御”“书”“数”6门课程，每周开设一门，连续开设六周．若课程“乐”不排在第一周，课程“书”排在第三周或第四周，则所有可能的排法种数为．
15．已知F 是抛物线C ：2
2y px =(p ＞0)的焦点，设点A(p ，1)，点M 为抛物线C 上任意一点，且MA ＋MF 的最小值为3，则p ＝，若线段AF 的垂直平分线交抛物线C 于P 、Q 两点，则四边形APFQ 的面积为（本题第一空2分，第二空3分）．
16．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝2AB ＝2BC ＝2，将△ABC 沿对角线AC 翻折到△AMC ，连结MD ．当三棱锥M —ACD 的体积最大时，该三棱锥的外接球的表面积为．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
在①1a ，2a ，5a 成等比数列，且2n n T b =-；②2
42S S =，且1
12()2
n n T -=-这两个条件中任
选一个填入下面的横线上并解答．
已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，其前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，
若．
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n Q ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本小题满分12分）
如图，在六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1∥CC 1，底面ABCD 是菱形，且A 1D ⊥平面AA 1C ．（1）求证：平面AB 1C ⊥平面A 1DB ；（2）求证：BB 1∥DD 1．
19．（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知等轴双曲线E
：22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)的左顶点A ，
过右焦点F 且垂直于x 轴的直线与E 交于B ，C 两点，若△ABC 的面积为21+．
（1）求双曲线E 的方程；
（2）若直线l ：y ＝kx ﹣1与双曲线E 的左，右两支分别交于M ，N 两点，与双曲线E 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，求
MN
PQ
的取值范围．
20．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n n S a n =-，n N *
∈．
（1）求证：数列{}1n a +为等比数列；（2）设11n n n n a b a a ++=
，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足不等式30
31
n T ≥的最小正整数n 的值．
21．（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，
F 2，焦距为2，且经过点(﹣1，
2
2
)．若斜率为k 的直线l 与椭圆交于第一象限内的P ，Q 两点（点P 在Q 的左侧），且OP ⊥PQ ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若PF 1∥QF 2，求实数k 的值．
22．（本小题满分12分）
已知函数()e (ln )x
f x x a x x =-+，x ＞0，若()f x 在0x x =处取得极小值．（1）求实数a 的取值范围；（2）若0()0f x >，求证：03
00
()
f x x x -＞2．。