球面最短距离

合集下载

地球表面两点间最短距离

判断： A到D的最短航线所沿方向
先东南再东北
相关练习：
从甲地（70°N，80°E）到乙地（70°N， 150°E），若不考虑地形因素，最近的走法是
C
冬至日，（12月22日）凌晨4点（地方时）一架飞机从甲地（60°N、100°W）起飞，沿最近航线匀速飞行， 8小时后抵达乙地（60°N、80°E）。据此回答各题。
一、两地之间的最短航线问题
球面上最短距离的判断
球面最短距离,是经过两点的大圆的劣弧长度。凡是地球的大圆，其圆心必定是地心且均分地球。赤道、经线圈、晨昏圈都是大圆。
最短距离的判断主要分三种情况： 1、两点都在赤道上 2、两点在相对经线上 3、两点既不在赤道上，也不在相对经线上
1、看所求的两点是否同位于赤道，若同位于赤道上，赤道即为大圆，所以沿赤道向东或向西走劣弧即可。
60
60
A到C的最短航线所沿方向是_先__向__东__北__再__向__东南 A到D的最短航线所沿方向是_先__向__西__北__再__向__西南
形式二：极地俯视图
判：
1到2地最短航线所沿方向先西北再西南
1到3地最短航线所沿方向先东北再东南
1到4地最短航线所沿方向先北再南
形式三：侧俯视图（能看到其中一极）
A 1、飞机出发时的行航向
A、朝北 B、朝南 2、飞机途中航向
C、朝西南 D、朝东北
D
A、一直不变
B、先朝东北后朝东南
C、先朝西北后朝西南 D、先朝北后朝南
3、这架飞机若以同样速度，沿北纬60°航行，抵达
乙地大致需要
D
A、16小时 B、12小时 C、20小时 D、24小时
谢谢收看！
制作人：株洲市一中唐文利

球面距离计算方法

球面距离计算方法说实话球面距离计算方法这事，我一开始也是瞎摸索。

我就想啊，球面上两点的距离肯定和普通平面上两点距离不一样，那咋算呢？我最开始想，能不能把球面摊平像算平面距离那样，但是很快就发现这根本不行，球面上的几何和平面几何有本质区别呢，就像你不能把一个球的皮完整地无拉伸无变形地摊平在一个平面上一样，这是我第一个失败的尝试。

后来我就去翻以前学的数学书，有说到大圆这个概念。

我了解到在球面上，两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆的劣弧的长度。

这就好比在地球上，从北京到纽约，如果沿着过北京和纽约的那个大圆飞，这个路线就是最短的，而不是在平面地图上看着的直线，这里从立体的地球角度看可没有直线那种概念，因为地球是个球体。

那怎么算出这个大圆劣弧长度呢？我学了这个计算方法，要用弧长公式。

这得先确定圆心角。

有个公式是根据两点的经纬度可以算出圆心角的余弦值，这里面涉及一些三角函数的东西。

我最开始计算的时候老是把经纬度的数值搞混，比如说把北纬当成南纬的值带进去计算，这就导致结果错得离谱。

后来我才长记性，做的时候可仔细对着数值运算了。

可是就算前面都对了，算弧长的时候，我又容易忘记把角度转成弧度。

这就好比你汽车的油加错了型号，整个事儿就不对了。

弧长公式里的角度是要用弧度制的。

还有呢，在确定大圆的时候，也不是那么简单的。

有时候想找经过两点的大圆，容易被一些复杂的图形干扰，我就会多画图，不管画得多难看都没关系，只要能把想法表达清楚，帮助我理解是不是找到了正确的大圆就好。

现在我再算球面距离的时候，我都会先仔细确认两点的经纬度信息，然后一步步稳稳当当地算出圆心角，最后记住把角度转成弧度去计算弧长。

如果中间某个环节不确定，我就重新检查一遍前面的步骤，因为只要有一个地方错了，结果可就相差很多，就像盖房子，一块砖歪了，可能整面墙都不稳当了。

我觉得这球面距离计算方法啊，多练就能熟练掌握。

要是基础概念比如圆心角和大圆这些理解得模模糊糊的话，计算也会老是出错的。

球面两点距离计算公式

球面两点距离计算公式在我们的数学世界里，有一个挺有趣的东西，那就是球面两点距离的计算公式。

这玩意儿可不像咱们平时在平地上算两点距离那么简单。

咱们先来说说啥是球面两点距离。

想象一下，你手里有个地球仪，上面随便标了两个点，这两个点之间沿着球面的最短路径长度，就是球面两点距离。

那这计算公式到底是咋来的呢？其实啊，它背后有一整套复杂又巧妙的数学原理。

给大家举个例子吧，有一次我带着学生们在操场上做了个小实验。

我在操场上画了一个大大的圆，假装那是个球面。

然后让几个同学站在不同的位置，就像是球面上的两个点。

我们试图用绳子去测量他们之间的最短距离。

一开始，同学们都有点懵，不知道从哪儿下手。

有的说直接拉直线，有的说绕着圈儿走。

后来经过一番讨论和尝试，大家慢慢发现，不能像在平面上那样简单粗暴地拉直线，得考虑这个“球面”的弯曲特性。

这就好比我们在地球上，如果要从北京到纽约，不能直接在地图上画直线，而是要沿着地球的弧线走。

咱们再回到球面两点距离计算公式。

这个公式通常会涉及到经度和纬度的差异，还有球的半径等因素。

比如说，已知两个点的经纬度，通过一些数学运算，就能算出它们之间的距离。

在实际生活中，这个公式也有不少用处呢。

像飞机飞行的航线规划，航海时船只的路线选择，都得靠它来帮忙，算出最短、最省油、最省时的路径。

不过，对于很多同学来说，一开始接触这个公式可能会觉得有点头疼。

但别担心，只要多做几道题，多琢磨琢磨，慢慢地就能掌握其中的窍门。

学习球面两点距离计算公式，就像是一场有趣的冒险。

虽然过程中可能会遇到一些小挫折，但当你最终搞懂它，能够熟练运用的时候，那种成就感可真是无与伦比。

所以啊，同学们，别害怕这个公式，勇敢地去探索它的奥秘，说不定你会发现数学的世界原来这么奇妙！。

高三地理最困难考点系列考点1利用经纬网定“最短航线”知识点新人教版必修1

利用经纬网定“最短航线”★★★★○○○1.最短航线的概念地球上两点间最短航线为球面最短距离，即经过两点的大圆劣弧长度。

(注：所谓大圆指过地心的平面与球面的交线)①同一经度上的两点，其最短距离的劣弧线就在经线上(如图中AB)。

②同一纬线上的两点，其最短距离的劣弧线向较高纬度凸(如图中同一条纬线上MK之间的最短航线是MPK而不是MQK)。

③由于晨昏线本身就是一个大圆，故处在晨昏线上的两点最短航线就是两点之间的最短晨昏线(即最短劣弧线)。

2.最短航线的判断方法球面最短距离是一段弧，该弧线的确定可依据下面两个步骤进行。

(1)确定“大圆”：“大圆”即球面两点所在的过球心的平面与球面的交线。

①在地球上，三种情况下“大圆”是确定的。

如下图所示。

②非赤道的纬线上两点，所在“大圆”具有以下特征：a.北半球——大圆向北极方向倾斜；b.南半球——大圆向南极方向倾斜。

(2)确定“劣弧”：大圆上两点间的最短距离具体应该是哪一段弧线，则由“劣弧”来决定，所谓“劣弧”，即两点间的弧度小于180°。

如图6中的两段劣弧。

如果记忆不牢固的话，可通过下图进行推导。

如图A、B为位于北半球的两点且不在常见的大圆上，则其最短航线为一个向北弯曲的弧线，C、D为位于南半球的两点且不在常见的大圆上，则其最短航线为一个向南弯曲的弧线。

具体是：同北偏北，同南偏南，同一条经线圈上走极点。

寻“最短航线”的技巧(1)若两地经度差等于180°，过这两点的大圆便是经线圈。

最短航线经过两极点，具体分三种情况：①同在北半球，先向北，过极点后再向南，如A到E。

②同在南半球，先向南，过极点后再向北，如B到D。

③两地位于不同半球，则看劣弧过哪个极点再做讨论，如A至C。

(2)同一纬线上但不在同一经线圈上①同在北纬，从A到B的最短距离；先向东北，再向东南方向。

②同在南纬，从A到B的最短距离：先向东南，再向东北方向。

读下图，从E点到F点的最短航线是( )A．先西北后西南 B．先东南后东北C．先西南后西北 D．先东北后东南【答案】A某飞行员驾机从A机场(30°N,120°E)起飞，为了经济省时，飞机必须沿最短航线飞往B机场(35°S,60°W)执行任务。

关于已知两点经纬度求球面最短距离的公式推导

关于已知两点经纬度求球⾯最短距离的公式推导已知两点经纬度计算球⾯距离的公式，⼀搜⼀⼤堆，形式如下：可是⾄于这个公式为什么是这样的，今天推导了⼀下，详细推导过程如下。

⾸先画个图（图1），要不然空间想象能⼒差的话容易犯糊涂。

⾸先对图1做个⼤致的说明，红⾊的半圆表⽰⾚道，蓝⾊的圆弧表⽰本初⼦午线（也就是经度为0的⼦午线）。

球最上⽅是北极点，点A和点B分别为要计算的两个点，坐标分别为A（jA,wA）和B（jB，wB）。

图1 ⽰意图再开始推导之前，我们需要在图中绘制⼀些辅助线，便于后⾯的描述和推导。

如图1所⽰，A（jA,wA），B（jB,wB）两点分别为球⾯上的两点，坐标为经纬度表⽰。

延A、B两点分别做垂直于⾚道平⾯的垂线交⾚道⾯为C、D两点。

连接C、D两点，然后过A做CD的平⾏线交BD与点E。

⾄此，所有的辅助线绘制完毕。

假设地球为⼀个规则的圆球，半径为R（其实地球是⼀个椭球体，⾚道的半径⽐极地的半径稍微⼤⼀点点）。

第⼀步：确定已知条件，第⼆步：在直⾓和直⾓中有：第三步：在平⾯ABCD中，有：第四步：在直⾓中，使⽤勾股定理可以得到AB的直线长度。

如下：第五步：这⾥需要引⼊⼀个公式（5），就是⼤名⿍⿍的余弦定理，假设三⾓形的三个⾓为A,B,C，则有：把上⾯的公式（1）、（2）、（3）、（5）带⼊（4）中，然后整理可以得到：最后，通过整理得到AB之间的直线距离为：第六步：我们已经知道AB的直线距离，那么AB的弧长距离可以先通过计算中对应的圆⼼⾓，然后⽤弧长公式计算出来。

这⾥在依旧使⽤余弦定理公式（5），经过变形可以得到：把式（6）带⼊式（7），化简得到：最终，我们得到了⼀个关于圆⼼⾓的余弦值的公式：第七步：知道圆⼼⾓，计算弧长的公式很简单，使⽤半径乘以圆⼼⾓（弧度单位）即可：所以最后我们就得到了球⾯上AB的距离应该是：最后使⽤公式（10）就可以编写代码来计算球⾯上任意两点间的最短距离了。

这⾥使⽤的是⼀个规则的球来代替的椭球的，肯定会有误差的，⼀般都⽤这个公式来进⾏计算。

经纬网应用--最短航线

A 弧ANB
C 弧AMB
B 弧AGB
D 弧ACB
5、上图中从D点到E点的最短航线是( A．先西北后西南 C．先西南后西北
D：60°N，165°W
E：60°N，45°W
)
B．先东南后东北 D．先东北后东南
同一纬线，北半球，向东行
思考：从E飞往F的最短航线是怎样？
总结：特殊大圆---经线圈、赤道、晨昏圈同一纬线上（非赤道、非经线圈）
80° M 40° P 60°
M：60°N，80°W
P： 60°N，40°W
30°
练1：若一架飞机从M点起飞，沿最短航线到达P点，则飞机飞行的方向是
A 一直向东 C 一直向西 B D 先东北再东南先东南再东北
同一纬线，半球，方向
经纬网的应用（四）
--最短航线
利用经纬网确定球面两点间“最短航线”
地球上两点间的最短航线为球面最短距离，即经过两点的大圆劣弧长度。（大圆指的是过地心的平面与地面的交线）在地球仪上，三种情况下“大圆”是确定的： 1.赤道 2．经线圈 3．晨昏圈
N
N P Q
● ●
N P● Q
P
O
●
●
● ●
O
O
● ●
（1）两地都在北半球，最短航线过北极点。航向为先向正北，再向正南（如图中A、B两地）（2）两地都在南半球，最短航线过南极点。航向为先向正南，再向正北（如图中C、D两地）（3）若一地在南半球，一地在北半球时，比较两地纬度值的大小，最短航线经过两地中纬度值较大者所在半球的极点。
由A到D时先向南，过南极点，然后向北由B到C时先向北，过北极点，然后向南
Q
S
S
S

球面最短距离

球面最短距离一、概述球面最短距离是指在一个球体上两点之间的最短路径，也称为大圆弧距离或者地球表面的测地线。

在地理学、天文学、航空航天等领域中，球面最短距离是一个十分重要的概念。

二、公式推导假设有两个球面上的点A和B，它们的经纬度分别为(φ1, λ1)和(φ2,λ2)，其中φ表示纬度，λ表示经度。

则它们之间的大圆弧距离d可以通过以下公式计算：d = R * arccos(sinφ1 * sinφ2 + cosφ1 * cosφ2 * cos(λ1 - λ2))其中R为球体半径。

这个公式可以通过余弦定理推导得到。

将球体看作一个半径为R的圆，以A点和B点为圆心画出两条半径，并连接这两个点。

则这两个半径与圆周所夹成的角就是AB之间的大圆弧角度θ。

根据余弦定理，我们可以得到：cosθ = cosR / (cosA * cosB) - tanA * tanB / (cosA * cosB)其中A和B分别为AB连线与北极点连线所成角度，R为球体半径。

将A和B带入上式可以得到：cosθ = sinφ1 * sinφ2 + cosφ1 * cosφ2 * cos(λ1 - λ2)因为θ就是AB之间的大圆弧角度，所以d可以表示为：d = R * θ将θ带入上式即可得到球面最短距离公式。

三、应用场景1. 地理学：在地球表面上，球面最短距离可以用来计算两个城市之间的距离。

这个概念在航空、航海、旅游等领域中都有广泛的应用。

2. 天文学：在天文学中，球面最短距离可以用来计算星际之间的距离。

例如，在太阳系内，我们可以使用这个概念来计算地球和其他行星之间的距离。

3. 机器人领域：在机器人领域中，球面最短距离可以用来规划机器人移动路径。

例如，在一个球形空间中，机器人需要从一个点移动到另一个点，我们就可以使用这个概念来计算机器人需要走多长的路程。

四、误差分析虽然球面最短距离公式非常有用，但是它并不是完全准确的。

这是因为地球并不是一个完美的球体，而是一个略微扁平的椭球体。

地球表面最短距离计算

地球表面最短距离的计算摘要：本论文探讨在仅知经纬度的情况下，地球表面最短距离计算的问题。

本文通过利用极点、已知地点的地理坐标构建球面三角形，引入球面三角形的第一五元素公式；用经纬度代换公式中的球心角的角度（弧度），成功的解决了利用经纬度计算地球表面任意两地间最短距离的问题。

导出了通过经纬度求两地最短距离的公式，并简化了特殊情况下的计算公式。

非常适合于地理学习、全球定位与导航等问题中的最短距离计算。

（球面距离）=2πrarcos[sinw1sinw2+cosw1cosw2cos(j1-j2)]/3600关键词：经纬度，球面距离，球面三角形，第一五元素公式，反余弦在地理科学的学习与应用中，我们时常遇到求地球表面两地间最短距离的情况。

在条件特殊时：如两点都在赤道上、或在同一经线上时较容易。

但当两地不再同一经线或赤道上时我们就难以获得准确答案。

笔者经过长时间的思考学习，总结了球面上任意两点间距离的计算方法，效果不错。

现介绍如下，以供大家参考。

1.公式推导球面距离，就是球面上经过这两点的大圆的劣弧的长度。

而地球表球面上每个地点的位置是由经度、纬度来确定的，如果能利用经纬度来计算球面距离，我们就可以确定任意两地间的球面距离（不考虑地形影响，下同）。

如左图：设m（w1，j1）、l（w2，j2）为地球表面两点，n为极点，表示两点之间的最短距离（球面距离），、分别表示极点至m、l的经线长。

依球面三角形概念可知：n、m、l共三点构成了球面三角形nml的三个顶点，、、构成了球面三角形的三条边。

它们的夹角、弧度、弧长等可根据球面三角形的性质进行相关计算得出。

为方便计算，按经纬度划分原则，将东经记为正，西经记为负；北纬记为正，南纬记为负。

例；东经60度记作j= +600、西经60度记作j =-600、北纬60度记作w=+600、南纬60度记作w=-600；用a、b、c分别表示三条边、、所对应的球心角，w1 w2分别m、l纬度,j1j2分别表示m、l两地的经度，a表示两地所在经线的夹角且小于1800， r为地球半径。

球面距离最短

为什么球面上任意两点连线中球面距离最短? 首先,连接两点有一弦,在球面上,自然是圆弧最短,我们不考虑走诡异路线的连线（微分可以看成多条圆弧的组合构成）；因为弦是一样的,你可以推算出在同样的弦上,半径最大,所过的弧长最短（就这一点保证任何情况下大圆圆弧最短）,可以证明（根据圆心角和半径以及弦长的关系）
证明：过在一个平面上的任意两点,可以作无数圆.利用平面几何的知识,可以很容易得出以下推论——在这些得到的圆中,如果半径越大,这两点所夹的圆弧长度就越短；对于以这两点间距离为直径的圆,这两点所夹的圆弧长度达到最大.
过球面上任意两点的圆弧都是在某个过这两点的平面与该球切割出的圆上.在所有的可能存在的圆中,过这两点且过球心的那个平面所切割出的圆有最大的半径（即球的半径）,根据上面的推论,该平面所切的圆弧长度最短.
得了何时最小两种情况！！！。

球面最短距离

1、飞机的航向应为：D
A、一直向东南
ห้องสมุดไป่ตู้B、一直向西北
C、先向北，后向南
D、先向南，后向北
2、最短航程为：A
A、175×111 KM
B、185×111 KM
C、65×111 KM
D 、155×111 KM
从B到D的最短路线：一直向东南。
2、俯视图：
．．N B ．
A
从A到B的最短路线：先向东北，（再向正东），最后向东南。
．．S D
．
C
从C到D的最短路线：先向西南，（再向正西），最后向西北。
N E
A
D1
从A地到D地最近路线应该沿：C
A、AD线
B、AED线
C、ABD线
D、AND
某飞行员驾机从A机场（300N，1200E）起飞，为了经济省时，飞机沿最短航线飞往B机场（350S，600W）执行任务，据此回答下列1—2题：
地球上任意两点之间的最短距离
球面上两点间最短距离：过这2点的大圆的劣弧。一、特殊情况的大圆：赤道、经线圈、晨昏线
如2点为对跖点（以地心为对称），则该2点间的最短航线有无数条。
二、一般情况： 1、侧视图：
．
．
B
A
．
．
D
C
从A到B的最短路线：先向东北，再向东南。
从C到D的最短路线：先向东南，再向东北。

2020届高三地理复习讲解：如何合理选择“最短航线”

2020届高三地理复习讲解：如何合理选择“最短航线”一、知识讲解地球上两点间最短航线为球面最短距离，即经过两点的大圆劣弧长度。

(注：所谓大圆指过地心的平面与球面的交线)1．同一经线上的两点，其最短距离的劣弧线就在其经线上(如图中)。

经度相对的两点，其最短距离的劣弧线是经线圈的一段，最短距离过极点(如图中)。

2．同一纬线上的两点(赤道除外)，其最短距离的劣弧线向较高纬度凸(如图中同一条纬线上MK之间的最短航线是，而不是)。

[特别提醒]地球上有三种大圆是确定的，如下图所示：3．航向的判读(以图中从M点到K点最短航线为例)：(1)首先判读两点的东西相对位置。

K点(目的地)在M点东侧，若想到达K点必须向东航行。

(2)航行过程需要经过较高纬的P点，故需要先向较高纬(向北)航行，后向较低纬(向南)航行。

(3)结合上面两点分析，其航行方向为东北(—正东)—东南。

二、典题示例(2019·宁波一模)一架速度为800 km/h的飞机从我国海口市(20°N,110°E)直飞M地(20°S,70°W)，行程约需()A．20 h B．25 hC．45 h D．15 h[解题步骤]第一步：根据题干材料关键信息“直飞”的要求，飞机要按照“最短航线”飞行。

第二步：寻找最短航线：结合两地经纬度可知，两地关于地心对称，则其飞行最短航线是经过两地的任意大圆。

第三步：两地最短距离应为2万km，速度为800 km/h，可计算飞机需要飞行约25 h 到达M地。

[答案] B三、跟踪训练1．新加坡(采用的是东八区的计时方法)是亚洲与大洋洲的航空枢纽，也是伦敦到悉尼的重要航空中转站。

由新加坡沿最短线路飞往伦敦的航班()A．航程小于10 000 km B．航程大于15 000 kmC．航向一直朝西北D．航向先向西北再向西南解析：选D最短航线所跨的经度小于180°，故整体向西飞，但在同一半球中跨经度大于90°，则有方向上的拐点，故航向先向西北再向西南。

球面上任意两点的最短距离

球面上任意两点的最短距离，是过这两点的大圆的劣弧。

①若两地经度差等于180°，过这两点的大圆便是经线圈，过两极点为最短航程，具体又分为三种情况：a.同为于北半球，最近航程一定是先向北，过极点后再向南；b.同位于南半球，最近航程一定是先向南，过极点后再向北；c.两地位于不同半球，这时需要讨论，确定过哪个极点的为劣弧，再讨论。

②两地经度差不等于180°，则过两点的大圆不是经线圈，而与经线圈斜交，最短航程不过两极点，而是过两极地区（或上空），可分为两种情况：
a．甲地位于乙地的东方，从甲到乙的最短航程为：同在北半球，先向西北再向西，最后向西南；同在南半球，先向西南，再向西，最后向西北；位于不同半球时需要讨论，方法同上。

b．甲地位于乙地的西方，从甲到乙的最短航程为：同在北半球，先向东北再向东，最后向东南；同在南半球，先向东南，再向东，最后向东北；位于不同半球时需要讨论，方法同上。

球面上两点间最近距离

D A
----球面上两点间的最短距离为大圆的劣弧。
C B
例1.图中ACB为晨昏线
1.由A到B的最短航线是 45° C ( B ) 70° A.由A点出发沿纬线向东到B D B.沿ACB C.沿ADB D.从A出发过极点再到B 2.飞行方向的变化是先向东北再向东南。 ________________ A 30°
地球表面上两点间的最短距离
地球上两点间的最短距离
1.最短距离的判断依据：球面上两点间的最短距离为两点所在大圆的劣弧。 2.大圆：球面上任意两点与球心所构成的平面与球面相交所得的圆，即大圆的圆心为球心。
观察判断：
图示的圆有没有大圆？
判断图中 AB、CD、 EF是否为球面两点间的最短距离。
地球上两点间的最短航线方向问题 2.在以上几条线上最短航线方向的判断
①经线圈上同一经线上：正南或正北经度相对：过较近的极点
E
A
C
B
D
一、同一经线圈上两点间的最短距离
1.均位于北半球: AB之间 CD之间 2.均位于南半球： EF之间 GH之间
A C G
B
D
3.位于南、北两个半球： CG之间、 DH之间、 AE之间、 BF之间、DG之间
B
例2.飞机从②处沿图中箭头路线飞往①的航向是( D ) A.从东南向西北 B.从南向北 C.先向西北再向西南 D.先向东北再向东南
E
F
H
一、同一经线圈上两点间的最短距离
1.均位于北半球: 先向正北，过北极点再向正南。 2.均位于南半球：先向正南，过
A C
B
D
南极点再向正北。 G E 3.位于南、北两个半球：同一经线向正南或正北；相对的经线过较近的极点。（即：纬度差小于180°）

计算球面上两点间最短距离的方法

计算球面上两点间最短距离的方法在球面上确定两点之间的最短距离，实际上是寻找这两点沿球面大圆（即过球心的平面与球面相交得到的圆）上的弧长。

这是因为球面大圆上的弧是球面上任意两点之间的最短路径。

以下是如何计算这一最短距离的步骤：1. 坐标表示首先，需要知道这两点在三维空间中的坐标，记为点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)。

2. 转换为球坐标（可选）虽然这一步不是必需的，但将直角坐标转换为球坐标（即纬度、经度和半径）有时可以使问题更直观。

然而，在直接计算最短距离时，我们通常会保持使用直角坐标。

3. 计算球心角两点之间的最短距离对应于以球心为顶点、两点为端点的球面三角形的内角（或称为球心角）。

这个角θ可以通过计算两点与球心构成的向量之间的夹角来得到。

具体地，使用向量的点积公式：cosθ=OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=x1x2+y1y2+z1z2R2其中，R是球的半径，OA⃗⃗⃗⃗⃗ 和OB⃗⃗⃗⃗⃗ 是从球心O到点A和点B的向量。

注意，由于OA⃗⃗⃗⃗⃗ 和OB⃗⃗⃗⃗⃗ 都是半径为R的向量，所以它们的模都是R，可以直接在公式中消去。

4. 计算最短距离一旦我们有了球心角θ（以弧度为单位），就可以使用弧长公式来计算两点之间的最短距离d：d =R ∙θ但是，由于我们已经有cosθ，并且需要得到θ本身，我们可以使用反余弦函数（即arccos 或cos −1）来找到它：θ=arccos (x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2R 2)然后，将θ代入弧长公式得到最短距离：d =R ∙arccos (x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2R 2)注意事项● 确保在计算arccos 时使用的是弧度制，而不是角度制。

● 如果两点几乎重合或非常接近，则cosθ将非常接近于1，这可能导致数值不稳定性。

在实际应用中，可能需要添加一些检查来处理这种情况。

球面两点间的最短距离

球⾯两点间的最短距离为何地图上的航线是曲线如果我们观察地图上的航线，就会发现航线是弯曲的。

基本上可以认为地球是个球体，如果飞机在两个城市之间飞⾏，最好的飞⾏线路是取这两个城市之间的最短距离。

这其实课看成球⾯上任意两点之间的最短距离。

过球⾯上的任意两点以及球⼼可以做⼀个截平⾯，与球⾯的截痕为⼀个圆，这个圆的⼤⼩不随两点不同⽽变化，半径都是球半径。

这个圆是任意平⾯与球⾯相截得到的所有不同的圆中，半径最⼤的，因此叫做⼤圆。

⽽只要你沿着球表⾯做线连接任意两个点，曲线长度最短的⼀定是这个⼤圆的劣弧长度。

航线按两个城市之间的⼤圆弧航⾏才最经济。

地图是球⾯向平⾯做投影做出来的，所以我们看到的航线就是曲线了。

定理：球⾯上任意两点间的距离以⼤圆最短初等⼏何的观察如图AB是连接A,B两点的⼤圆弧，C是AB弧上的任意⼀点，过C做以A,B为极点的圆,设AF,GF，GB为⼀条球⾯曲线，且BG是⼤圆弧，AF也是⼤圆弧则CB=BG,AC=AF,但AF+FG+GB>AF+GB=AC+CB=AB.如果B,E,D,A是另外⼀条球⾯上的曲线，过B,D,A的球⾯三⾓形中AD+BD>AB,过E,B,A的球⾯三⾓形中亦有BE+AE>AB。

微积分证明下⾯我们利⽤球⾯坐标系与微积分给出⼀个精确的证明。

令A,B是半径为R的球⾯上的任意两点，C为球⼼，⼤圆弧长可以表达为以C为中⼼建⽴直⾓坐标系，让A在z轴上，则球⾯上任意⼀点P的坐标可以写成：空间中任意曲线的长度可以定义为：其中s是参数，对球⾯曲线就有所以上式严格成⽴，也就是要求不论s取值如何都不能离开⼤圆弧AB时等式严格成⽴，这就证明了球⾯上两点的最短距离为⼤圆弧。

这个距离被⾼斯称为球⾯测地线。

球面距离的计算及其计算公式

球面距离的计算及其计算公式
一、概述
球面距离是指在地球表面上的空间距离，是地球的球面延伸绘制出来的一种距离。

球面距离是指两个地点之间的空间距离，即在球面上两点之间经过的最短路径的长度，用数学的话来说就是空间点之间两点距离的圆周长。

球面距离是地理学中常用的概念，它可以提供更有说服力的分析结果。

它可以用来测量两个地点之间的距离，并可以用来标识地球上的一些特殊空间关系，如两城市相距多远等。

二、球面距离的计算
1、球面距离计算的基本原理：球面距离是建立在地球的球体表面上进行测量距离的，它是两点之间最短连线上的距离。

根据它最短的特性，我们可以用数学公式来计算球面距离，具体的计算公式如下：
d = r·arccos(sin(φ1)·sin(φ2) +
cos(φ1)·cos(φ2)·cos(Δλ))
其中，d表示球面距离，r为地球半径，arccos为反余弦函数，φ1和φ2分别表示两点的纬度，Δλ表示两点的经度之差。

2、GIS软件中球面距离的计算：现在，在GIS软件中，可以使用比较简单的方法，来计算球面距离。

只需要把需要计算的两个点的经纬度数据输入到GIS软件中，就可以计算出这两个点之间的球面距离。

地理最短航线

地理最短航线定“最短航线”
球面最短距离是一段弧,该弧线的确定可依据下面两个步骤进行。

（1）确定“大圆”：“大圆"即球面两点所在的过球心的平面与球面的交线.
如图4所示。

①在地球上，三种情况下“大圆”是确定的。

如图5所示。

②非赤道的纬线上两点,所在“大圆”具有以下特征:
a．北半球—-大圆向北极方向倾斜；
b．南半球—-大圆向南极方向倾斜.
(2)确定“劣弧”：大圆上两点间的最短距离具体应该是哪一段弧线，则由
“劣弧”来决定，所谓“劣弧"，即两点间的弧度小于180°。

如图6中的
两段劣弧。

在经纬网图上确定对称点
（1）关于赤道对称的两点：经度相同，纬度相反，数值相等。

如A（40°N，20°W）与B(40°S，20°W)。

(2）关于地轴对称的两点：经度相对，和为180°;纬度相同.如A（40°N，20°W）与C（40°N，160°E）。

(3）关于地心对称的两点(对跖点)：经度相对，和为180°，纬度南北相反，数值相等.如A（40°N，20°W)与D（40°S,160°E）。

球面距离最短的证明.

球面距离最短的证明简介：已知:球O 的半径为R, A 、B 是球O 上的两定点且A 、B 间直线距离为AB =2a(0<a ≤R),⊙o 1是过A 、B 的平面截球面的任意一个圆半径为x (a ≤x ≤R),⊙o 1上A 、B 对应的劣弧长为L 1=2x arcsinx a ,⊙o 是过A 、B 的大圆,⊙o 上A 、B 对应的劣弧长为L=R 2arcsin Ra (即:球面距离).求证: L 1≥L 已知:球O 的半径为R, A 、B 是球O 上的两定点且A 、B 间直线距离为AB =2a(0<a ≤R),⊙o 1是过A 、B 的平面截球面的任意一个圆半径为x (a ≤x ≤R),⊙o 1上A 、B 对应的劣弧长为L 1=2x arcsinx a ,⊙o 是过A 、B 的大圆,⊙o 上A 、B 对应的劣弧长为L=R 2arcsin Ra (即:球面距离).求证: L 1≥L证明：引理:sin α<α<tan α (0<α<2π) (用单位圆、三角形面积公式及不等式)证略. 证明:(1)当a=R 时.过A 、B 的平面截球面的任意一个圆均为大圆,所以L 1=L=πR (2)当0<a<R 时考察⊙o 1的半径满足a<x ≤R 时，在⊙o 1上设A 、B 对应的圆心角为α=2arcsin x a ( 2arcsin Ra ≤α<2arcsin1=π),所以L 1=αx=2x arcsin x a , (L 1)求导=2arcsin x a +2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a 211a(-x 21)=2arcsin x a -2ax a 22- β=arcsin x a ,( arcsin R a ≤α<arcsin1=2π)则sin β=x a ,cos β=x a x 22-,tan β=ax a22- 由引理知β<tan β,则arcsinx a <a x a 22-所以(L 1)求导<0,则L 1=αx=2x arcsinx a 在a<x ≤R 上为减函数, 又L 1=αx=2x arcsin x a 在a ≤x ≤R 上连续, 所以L 1=αx=2x arcsin xa 在a ≤x ≤R 上为减函数, 所以L 1=αx=2x arcsin x a ≤2a arcsin aa =a π L 1=αx=2x arcsin x a ≥R 2arcsin R a =L ，所以当x=R 时, L 1最小=L=R 2arcsin Ra 由以上两种情况可知L 1≥L评注: 由以上证明可知以AB 为直径的大圆对应的劣弧最小。