高中数学 第一章《立体几何初步》1-2课时教学案 苏教版必修2
苏教版必修二：第一章 立体几何初步 1.2.3 第1课时
1.2.3直线与平面的位置关系第1课时直线与平面平行的判定学习目标 1.掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系.2.掌握空间中直线与平面平行的判定定理.知识点一直线与平面的位置关系思考如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面有几种位置关系？★★答案★★三种位置关系：(1)直线在平面内；(2)直线与平面相交；(3)直线与平面平行. 梳理直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点无数个1个0个符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示知识点二直线与平面平行的判定定理思考1如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系？★★答案★★平行.思考2如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b.这两条直线共面吗？直线a与平面α相交吗？★★答案★★由于直线a∥b，所以两条直线共面，直线a与平面α不相交. 梳理表示定理图形文字符号直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行错误!⇒a∥α类型一直线与平面的位置关系例1下列说法中，正确的个数是________.①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，那么a∥b；④如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么AB∥α.★★答案★★ 1解析如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，但AA′在过BB′的平面AB′内，故①不正确；AA′∥平面B′C，BC⊂平面B′C，但AA′不平行于BC，故②不正确；AA′∥平面B′C，A′D′∥平面B′C，但AA′与A′D′相交，所以③不正确；④显然正确.反思与感悟(1)此类题在求解时，常受思维定势影响，误以为直线在平面外就是直线与平面平行.(2)判断直线与平面位置关系的问题，其解决方式除了定义法外，还可以借助模型(如长方体)和举反例两种行之有效的方法.跟踪训练1若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是________.(填序号)①α内的所有直线都与直线a异面；②α内不存在与a平行的直线；③α内的直线都与a相交；④直线a 与平面α有公共点. ★★答案★★ ④解析 直线a 不平行于平面α，则a 与平面α相交或a ⊂α，故④正确. 类型二 线面平行的判定定理及应用 命题角度1 以锥体为背景证明线面平行例2 如图，M ，N 分别是底面为矩形的四棱锥P —ABCD 的棱AB ，PC 的中点，求证：MN ∥平面P AD .证明 如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ，NE ， ∵N 是PC 的中点，∴EN ∥DC ， EN ＝12DC .又∵AM ∥CD ，AM ＝12CD ，∴NE ∥AM ，NE ＝AM .∴四边形AMNE 是平行四边形，∴MN ∥AE . 又∵AE ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD ， ∴MN ∥平面P AD .反思与感悟 利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找出一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等.跟踪训练2 已知空间四边形ABCD ，P ，Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心，如图所示，求证：PQ ∥平面ACD .证明 如图所示，取BC 的中点E ，连结AE ，DE .∵P ，Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心，∴A ，P ，E 三点共线且AE ∶PE ＝3∶1，D ，Q ，E 三点共线且DE ∶QE ＝3∶1，∴在△AED 中，PQ ∥AD . 又AD ⊂平面ACD ，PQ ⊄平面ACD ， ∴PQ ∥平面ACD .命题角度2 以柱体为背景证明线面平行例3 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，A 1C 1的中点，求证：EF ∥平面A 1CD .证明 ∵在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，F 为A 1C 1的中点， ∴A 1F 綊12AC ，∵D 、E 分别是棱AB ，BC 的中点， ∴DE 綊12AC ，∴A 1F 綊DE ，则四边形A 1DEF 为平行四边形， ∴EF ∥A 1D .又EF ⊄平面A 1CD 且A 1D ⊂平面A 1CD ， ∴EF ∥平面A 1CD .反思与感悟 证明以柱体为背景包装的线面平行证明题，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点，常利用取中点去寻找平行线的方法. 跟踪训练3 如图所示，已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1.(1)求证：BC 1∥平面AB 1D 1；(2)若E ，F 分别是D 1C ，BD 的中点，求证：EF ∥平面ADD 1A 1.证明 (1)∵BC 1⊄平面AB 1D 1，AD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1∥AD 1， ∴BC 1∥平面AB 1D 1.(2)∵点F 为BD 的中点，∴F 为AC 的中点. 又∵点E 为D 1C 的中点， ∴EF ∥AD 1，∵EF ⊄平面ADD 1A 1，AD 1⊂平面ADD 1A 1， ∴EF ∥平面ADD 1A 1.1.下列命题中正确命题的个数是________. ①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行；③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行. ★★答案★★ 0解析 ①中，当l ∩α＝A 时，除A 点以外所有的点均不在α内；②中，当l ∥α时，α中有无数条直线与l 异面；③中，另一条直线可能在平面内.2.观察下列命题，在“________”处缺少一个条件，补上这个条件使其构成正确命题(其中l ，m 为直线，α，β为平面)，则此条件为________.⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αl ∥m ⇒l ∥α. ★★答案★★ l ⊄α3.如图(1)，已知正方形ABCD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，如图(2)所示，则BF 与平面ADE 的位置关系是________.★★答案★★ 平行解析 ∵BF ∥DE ，DE ⊂平面ADE ，BF ⊄平面ADE ， ∴BF ∥平面ADE .4.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是面对角线A 1D 、B 1D 1的中点，则正方体6个面中与直线EF 平行的平面有________________. ★★答案★★ 平面C 1CDD 1和平面A 1B 1BA解析如图，连结A1C1，C1D，在△A1C1D中，EF为中位线，∴EF∥C1D，又EF⊄平面C1CDD1，C1D⊂平面C1CDD1，∴EF∥平面C1CDD1.同理可得EF∥平面A1B1BA.故与EF平行的平面有平面C1CDD1和平面A1B1BA.5.如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，点O是AC与BD的交点.求证：B1O∥平面A1C1D.证明如图，连结B1D1，交A1C1于点O1，连结DO1.∵O1B1＝DO，O1B1∥DO，∴四边形O1B1OD为平行四边形，∴B1O∥O1D.∵B1O⊄平面A1C1D，O1D⊂平面A1C1D，∴B1O∥平面A1C1D.1.直线与平面的位置关系，其分类方式有两种：一类是按直线与平面是否有公共点，另一类是按直线是否在平面内.2.直线与平面平行的关键是在已知平面内找出一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化.课时作业一、填空题1.下列命题正确的是________.(填序号)①若一条直线a与平面α平行，则直线a与平面α没有公共点；②若一条直线a与平面α有公共点，则直线a与平面α相交；③若一条直线a与平面α有两个公共点，则a⊂α.★★答案★★①③解析因为当a∥α时，a与α无公共点，所以①正确；因为当直线a与平面α有两个公共点时，a⊂α，所以②错误，③正确.2.若直线l与平面α不平行，则下列结论正确的是______.(填序号)①α内的所有直线都与直线l异面；②α内不存在与l平行的直线；③α内的直线与l相交；④直线l与平面α有公共点.★★答案★★④解析①中，过公共点的直线与直线l相交，不异面，①错误；②③中，当l⊂α时，α内有无数多条直线与l平行，故②③错；④中，直线l与平面α不平行，则直线l与平面α相交或在平面内，所以l与平面α有公共点，故④正确.3.若平面外一条直线上有两点到该平面的距离相等，则这条直线与平面的位置关系是________.★★答案★★平行或相交解析当两点在平面的一侧时，这条直线与平面平行；当两点在平面的两侧时，这条直线与平面相交.所以这条直线与平面的位置关系是平行或相交.4.若P是△ABC所在平面外一点，E，F，G分别是AB，BC，PC的中点，则图中与过E，F，G的截面平行的线段有________条.★★答案★★ 2解析由题意知，EF∥AC，FG∥PB，∴AC∥平面EFG，PB∥平面EFG，即有2条与平面EFG平行的线段.5.如图，在五面体FEABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________.(填“平行”或“相交”)★★答案★★平行解析∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE.6.如图所示，长方体ABCD—A1B1C1D1中，与BC平行的平面是________；与BC1平行的平面是________；与平面A1C1和平面A1B都平行的棱是________.★★答案★★平面A1C1与平面AD1平面AD1CD解析观察图形，根据判定定理可知，与BC平行的平面是平面A1C1与平面AD1；与BC1平行的平面是平面AD1；由于平面A1C1与平面A1B的交线是A1B1，所以与其都平行的棱是CD.7.若AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是________.★★答案★★平行把解析这三条线段放在正方体内如图，显然AC∥EF，AC⊄平面EFG.EF⊂平面EFG，故AC∥平面EFG.8.过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条.★★答案★★12解析如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE的对角线与平面BB1D1D平行，同等位置有4条，总共12条.9.在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是________.★★答案★★平行解析∵AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，∴EF∥AC.又∵EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF.10.如图，四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，则能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________.(写出所有符合要求的图形序号)★★答案★★①③解析①如图(1)，Q为所在棱的中点，连结MQ，NQ，PQ，则NQ∥AB，且NQ⊂平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB∥平面MNP.②过N作AB的平行线交底面正方形于其中心O，NO⊄平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB与平面MNP不平行.③易知AB∥MP，MP⊂平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB∥平面MNP.④如图(2)，过M作MC∥AB，∵MC⊄平面MNP，AB⊄平面MNP，∴AB与平面MNP不平行.二、解答题11.如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，Q是P A的中点.求证：PC∥平面BDQ.证明连结AC，交BD于O，连结OQ，因为底面ABCD为正方形，所以O为AC的中点.又因为Q是P A的中点，所以OQ∥PC，又因为OQ⊂平面BDQ，PC⊄平面BDQ，所以PC∥平面BDQ.12.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，点G为BC 的中点.求证：OG∥平面EFCD.证明 ∵四边形ABCD 是菱形，AC ∩BD ＝O ，∴点O 是BD 的中点.又点G 为BC 的中点，∴OG ∥CD .又OG ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ，∴OG ∥平面EFCD .13.如图，在直棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝2AD ＝2CD ＝2.若P 为A 1B 1的中点，求证：DP ∥平面ACB 1，且DP ∥平面BCB 1.证明 由P 为A 1B 1的中点，得PB 1∥AB ，且PB 1＝12AB . 又∵DC ∥AB ，DC ＝12AB ， ∴DC ∥PB 1，且DC ＝PB 1，∴四边形DCB 1P 为平行四边形.从而CB 1∥DP .又CB 1⊂平面ACB 1，DP ⊄平面ACB 1，∴DP ∥平面ACB 1.同理，DP ∥平面BCB 1.三、探究与拓展14.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，(1)与直线AB 平行的平面是________；(2)与直线AA 1平行的平面是________；(3)与直线AB 1平行的平面是________.★★答案★★ (1)平面A 1B 1C 1D 1，平面CDD 1C 1(2)平面BCC 1B 1，平面CDD 1C 1(3)平面CDD 1C 1解析 如图，可知AB ∥平面A 1B 1C 1D 1，AB ∥平面CDD 1C 1；AA 1∥平面BCC 1B 1； AA 1∥平面CDD 1C 1，AB1∥平面CDD1C1.15.已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB边AB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.解SG∥平面DEF.证明如下：连结CG交DE于点H，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H是CG的中点.∴FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，∴SG∥平面DEF.。
苏教版高中数学必修二第课时立体几何初步教案(1)(2)
听课随笔第13课时二面角一、【学习导航】知识网络学习要求1.理解二面角及其平面角的概念2.会在具体图形中作出二面角的平面角，并求出其大小． 【课堂互动】自学评价１. 二面角的有关概念(1)．半平面：(2).二面角：(3).二面角的平面角：(4).二面角的平面角的表示方法：(5).直二面角：(6).二面角的范围：2.二面角的作法：(1)定义法(2)垂面法(3)三垂线定理【精典范例】例1：下列说法中正确的是 （D ）A.二面角是两个平面相交所组成的图形B.二面角是指角的两边分别在两个平面内的角C.角的两边分别在二面角的两个面内, 则这个角就是二面角的平面角D.二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱.例２如图, 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中:(1)求二面角D 1-AB-D 的大小;(2)求二面角A 1-AB-D 的大小D D 1 A 1 C B 1 C 1见书43例1(1) 45°(2) 90思维点拨要求二面角的平面角，关键是根据图形自身特点找出二面角的平面角，主要方法有：定义法，垂面法，三垂线定理法．步骤为作，证，求．例３在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面A 1BD 与平面C 1BD 的夹角的正弦值．点拨：本题可以根据二面角的平面角的定义作出二面角的平面角．分析：取BD 的中点O ，连接A 1O,C 1O ，则∠A 1O C 1为平面A 1BD 与平面C 1BD 的二面角的平面角．答：平面A 1BD 与平面C 1BD 的夹角的正弦值13C A 听课随笔追踪训练1.从一直线出发的三个半平面，两两所成的二面角均等于θ，则θ=60°2.矩形ABCD中，AB=3,AD=4,PA⊥面ABCD，且，则二面角A-BD-P的度数为30°3.点A为正三角形BCD所在平面外一点，且A到三角形三个顶点的距离都等于正三角形的边长，求二面角A-BC-D的余弦值.答：1 3。
高中数学 第一章 立体几何第学案 苏教版必修2 学案
第20课时立体几何体复习一、【学习导航】知识网络2. 会证线线、线面、面面的平行与垂直的问题,会求简单的线线、线面、面面间的角与距离以及简单几何体的面积与体积的问题.【课堂互动】自学评价1.空间几何体(柱锥台球,三视图) 的概念：2.平面的基本性质(3个公理与3个推论) ：.3.空间两直线的位置关系(3种关系)：4. 直线和平面的位置关系(3种关系)：5.平面和平面的位置关系(2种关系) ：6.空间几何体的表面积和体积公式.7.三种角与六种距离的简单计算方法：8.物体按正投影向投影面投射所得到的图【精典范例】例1：已知平面外两平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条直线也平行于这个平面．略证．先写已知，求证，再进行证明．突出使用线面平行的性质与判定定理．例2：已知直线AC,DF被三个平行平面α,β,γ所截,交点为A,B,C及D,E,F.求证：AB DEBC EF证明：连ＡＦ交β于Ｋ．连ＢＫ，ＫＥ，ＣＦ，ＡＤ．由β∥γ得ＢＫ∥ＣＦ．因α∥β得ＡＤ∥ＫＥ．所以ＡＢ／ＢＣ＝ＡＫ／ＫＦ．听课随笔ＡＫ／ＫＦ＝ＤＥ／ＥＦ所以 ＡＢ／ＢＣ＝ＤＥ／ＥＦ．例3.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 和BD 的交点，G 为CC 1中点，求证：A 1O⊥面GBD ． 略证：连ＯＧ．易证：BD O A ⊥1． 又易证OG A 1∆为直角三角形． 所以 OG O A ⊥1所以⊥O A 1面GBD ．例4.四面体ABCD 中， AB ，BC ，BD 两两垂直，且AB ＝BC ＝2， E 是AC 的中点，异面直线AD 与BE求四面体ABCD 的体积．思路：用作证求角法或建空间直角坐标系的方法可求出ＢＤ＝４，所以四面体ABCD 的体积＝384231=⨯⨯．例5.设P 、A 、B 、C 是球O 表面上的四点, PA 、PB 、PC 两两垂直, 且PA=PB=PC=1, 则球的体积为π23, 球的表面积为π3 .例6．平面四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝a,∠Ｂ＝90°，∠ＤＣＢ＝135°，沿对角线ＡＣ将四边形折成直二面角，求证： （１）求证：ＡＢ⊥面ＢＣＤ （２）求面ＡＢＤ与面ＡＣＤ成的角． 略证：（１）易证略 （２）作ＣＨ⊥ＤＢ于Ｈ，作ＣE ⊥ＤA 于E ，连ＨＥ，可证得∠ＣＥＨ为所求二面角的平面角．在直角三角形ＣＥＨ中可求得sin ∠ＣＥＨ=23,所以∠ＣＥＨ＝ 60 所以所求二面角的大小为 60. 追踪训练 1.已知a//b,且c 与a,b 都相交，求证：a,b,c 共面． 易证略 2.空间四边形ABCD 中, AB=CD , 且AB 与CD 成60°角, E 、F 分别为AC 、BD 的中点, 则EF 与AB 所成角的度数为 6030或. 3.设长方体三棱长分别为a,b,c,若长方体所有棱长的和为24,一条对角线长为5,体积为2,则=++c b a 111 ( A ) A 411 B 114 C 211 D 112 4.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为听课随笔5:2:8,体积为14, 则棱台的高为( B )A 3B 2C 5D 45. 一个正四面体的所有棱长都为2，四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( A )A 3πB 4πC 5πD 6π。
高一数学：《立体几何初步》教案第2课时(苏教版必修2)
第二课时圆柱、圆锥、圆台、球【学习导航】知识网络学习要求1．初步理解圆柱、圆锥、圆台和球的概念。
掌握它们的生成规律。
2．了解圆柱、圆锥、圆台和球中一些常用名称的含义。
3．了解一些复杂几何体的组成情况，学会分析并掌握它们由哪些简单几何体组合而成。
4．结合日常生活中的一些具体实例，体会客观世界中事物与事物之间内在联系的辨证唯物主义观点，初步学会用类比的思想分析问题和解决问题．【课堂互动】自学评价1．圆柱的定义：母线底面轴听课随笔2．圆锥的定义：3．圆台的定义：4．球的定义：5．旋转面的定义：６．旋转体的定义：７．圆柱、圆锥、圆台和球的画法。
【精典范例】例1：给出下列命题：甲：圆柱两底面圆周上任意两点的连线是圆柱的母线乙：圆台的任意两条母线必相交丙：球面作为旋转面，只有一条旋转轴，没有母线。
其中正确的命题的有 （ Ａ ）A ．0 B. 1 C. 2 D. 3例2：如图，将直角梯形ABCD 绕AB 边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？。
【解】见书９页例１例３：指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的？。
甲乙【解】见书９页例２思维点拨：如何解答一个复杂几何体的组成情况，主要是将原几何体分割成柱、锥、台和球后再解答。
如：以正六边行的一边所在直线为轴旋转一周，所得几何体由哪些简单几何体组成的？解：是由一个圆柱，两个圆台挖去两个圆锥所得几何体。
追踪训练1. 指出下列几何体分别由哪些简单几何体构成？答：略2. 如图，将平行四边形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单几何体构成的？D CA B答：圆锥和圆柱3．充满气的车轮内胎可以通过什么图形旋转生成？ 答：圆【师生互动】听课随笔。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1.4 直观图画法教案 苏教版必修2-苏教版高一必修2数学教案
1.1.4 直观图画法【教学目标】1. 了解中心投影的概念及物体的透视图；2. 理解平行投影(斜投影)在作物体直观图的实际意义及其应用； 3． 掌握斜二测画法的基本步骤及画法的基本特征。
【教学重点】斜二测画法的基本步骤。
【教学难点】用斜二测画法作空间物体的直观图。
【过程方法】通过组织学生画空间几何图形的直观图,进一步培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力；通过师生之间、同学之间相互交流，培养学生合作学习的习惯。
【教学过程】1．中心投影、斜投影、直观图在中心投影（透视）中，水平线(或铅直线)仍保持水平(或铅直)，但斜的平行线则会相交，交点称为消点。
用透视法所得的图形称为透视图。
中心投影（透视）虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图方法复杂，又不易度量，因此在立体几何中通常采用斜投影来画空间图形的直观图。
2．斜二测画法规则①在空间图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于O 点，再取z 轴，使090xOy =∠，且090yOz =∠；②画直观图时把它们画成对应的'x 轴、'y 轴和'z 轴，它们相交于'O ，并使045'y 'O 'x =∠（或0135），090'z 'O 'x =∠，'x 轴、'y 轴所确定的平面表示水平平面；③已知图形中平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于'x 轴、'y 轴和'z 轴的线段；④已知图形中平行于x 轴、z 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，其长度变为原来的一半。
例1． 作正方形和正方体的直观图。
例2．作圆、圆柱、圆锥和圆台的直观图。
课本P16 练习1、2、3； 【课后作业】1．如图的平面图形是 三角形。
2．利用斜二测画法叙述正确的是( ) A ．正三角形的直观图是正三角形B ．三角形平行四边形的直观图是平行四边形C ．矩形的直观图是矩形D ．圆的直观图一定是圆3．下列结论正确的是（ ）A ．相等的线段在直观图中仍然相等B ．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行C ．两个全等三角形的直观图一定也全等D ．两个图形的直观图是全等的三角形，则这两个图形一定也是。
高中数学第1章立体几何初步1.2.2空间两条直线的位置关系讲义苏教版必修2
1.2.2 空间两条直线的位置关系1．空间两直线的位置关系2．公理4及等角定理(1)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c .(2)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．3．异面直线的判定及其所成的角 (1)异面直线的判定定理提示：(1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a α，b β，即a 、b 分别在两个不同的平面内，但是因为a ∩b ＝O ，所以a 与b 不是异面直线．(2)异面直线所成的角①定义：a 与b 是异面直线，经过空间任意一点O ，作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把直线a ′和b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角．②异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°．③当θ＝π2时，a 与b 互相垂直，记作a ⊥b ．1.思考辨析(1)如果a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .( )(2)如果a ，b 是异面直线，b ，c 是异面直线，则a ，c 也是异面直线．( ) (3)如果a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 也相交． ( ) (4)如果a ，b 共面，b ，c 共面，则a ，c 也共面． ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．已知棱长为a 的正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，M ，N 分别为CD ，AD 的中点，则MN 与A ′C ′的位置关系是________．平行 [如图所示，MN 12AC ，又∵ACA ′C ′， ∴MN 12A ′C ′.]3．已知AB ∥PQ ，BC ∥QR ，∠ABC ＝30°，则∠PQR 等于__________．30°或150° [∠ABC 的两边与∠PQR 的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，所以∠PQR ＝30°或150°.]4．已知a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ，则c 与b 的位置关系是________． 相交或异面 [a ，b 是异面直线，直线c ∥直线a ，因而c 不平行于b ，若c ∥b ，则a ∥b ，与已知矛盾，因而c 不平行于b .]①两条直线无公共点，则这两条直线平行；②两条不重合的直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的直线与平面内的任意一条直线均构成异面直线； ④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线． (2)a ，b ，c 是空间中三条直线，下列给出几个说法： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②a ∥b 是指直线a ，b 在同一平面内且没有公共点；③若a ，b 分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．其中正确的有__________．(填序号)思路探究：根据空间两直线位置关系的有关概念及公理4进行判断．(1)② (2)①② [(1)对于①，空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面，因此①不正确；对于②，因为空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面，所以②正确；对于③，过平面外一点与平面内一点的直线和过平面内这点的直线是相交直线，因此③不正确；对于④，和两条异面直线都相交的两直线可能是相交直线，也可能是异面直线，因此④不正确．(2)由公理4知①正确；由平行线的定义知②正确；若α∩β＝l ，a α，b β，a ∥l ，b ∥l ，则a ∥b ，③错误．]空间两直线的位置关系为相交、平行、异面，若两直线有交点则为相交，若两直线共面且无交点则为平行，若以上情况均不满足则为异面．1．如图所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是________； ②直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是________； ③直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是________； ④直线AB 与直线B 1C 的位置关系是________．①平行 ②异面 ③相交 ④异面 [直线A 1B 与直线D 1C 在平面A 1BCD 1中，且没有交点，则两直线平行，所以①应该填“平行”；点A 1，B ，B 1在一个平面A 1BB 1内，而C 不在平面A 1BB 1内，则直线A 1B 与直线B 1C 异面．同理，直线AB 与直线B 1C 异面，所以②④都应该填“异面”；直线D 1D 与直线D 1C 显然相交于D 1点，所以③应该填“相交”．]1．如图所示，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，若E ，F ，G ，H 分别为PA ，PB ，PC ，PD 的中点．那么四边形EFGH 是什么四边形？为什么？[提示] 平行四边形．因为在△PAB 中， ∵E ，F 分别是PA ，PB 的中点， ∴EF 12AB ，同理GH 12DC .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ABCD ，∴EFGH ，∴四边形EFGH 是平行四边形．2．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么由等角定理能推出什么结论？ [提示] 这两条直线所成的锐角(或直角)相等．【例2】 如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，E 1，F 1分别为棱AD ，AB ，B 1C 1，C 1D 1的中点．求证：∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.思路探究：解答本题时，可先证明角的两边分别平行，即A 1E ∥CE 1，A 1F ∥CF 1，然后根据等角定理，得出结论．[证明] 如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，取A 1B 1的中点M ，连结BM ，MF 1， 则BF ＝A 1M ＝12AB .又BF ∥A 1M ，∴四边形A 1FBM 为平行四边形， ∴A 1F ∥BM .而F 1，M 分别为C 1D 1，A 1B 1的中点，则F 1MC 1B 1. 而C 1B 1BC ，∴F 1M ∥BC ，且F 1M ＝BC . ∴四边形F 1MBC 为平行四边形， ∴BM ∥F 1C .又BM ∥A 1F ， ∴A 1F ∥CF 1.同理取A 1D 1的中点N ，连结DN ，E 1N ，则A 1NDE ， ∴四边形A 1NDE 为平行四边形， ∴A 1E ∥DN .又E 1N ∥CD ，且E 1N ＝CD ， ∴四边形E 1NDC 为平行四边形， ∴DN ∥CE 1，∴A 1E ∥CE 1.∴∠EA 1F 与∠E 1CF 1的两边分别对应平行． 即A 1E ∥CE 1，A 1F ∥CF 1， ∴∠EA 1F ＝∠E 1CF 1.运用公理4的关键是寻找“中间量”即第三条直线．证明角相等的常用方法是等角定理，另外也可以通过证明三角形相似或全等来实现．2．如图，已知棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，AD 的中点．(1)求证：四边形MNA 1C 1是梯形； (2)求证：∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. [证明] (1)在△ADC 中， ∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ADC 的中位线．∴MN 12AC .由正方体性质知，ACA 1C 1， ∴MN 12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1.∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1， 又因为ND ∥A 1D 1，而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.11111111DB 1与EF 所成角的大小．思路探究：先根据异面直线所成角的定义找出角，再在三角形中求解．[解] 法一：如图(1)，连结A 1C 1，B 1D 1，并设它们相交于点O ，取DD 1的中点G ，连结OG ，A 1G ，C 1G ，则OG ∥B 1D ，EF ∥A 1C 1，(1)∴∠GOA 1为异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角． ∵GA 1＝GC 1，O 为A 1C 1的中点． ∴GO ⊥A 1C 1.∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.法二：如图(2)，连结A 1D ，取A 1D 的中点H ，连结HE ，HF ，则HE ∥DB 1，且HE ＝12DB 1.(2)于是∠HEF 为异面直线DB 1与EF 所成的角或补角．设AA 1＝1.则EF ＝22，HE ＝32， 取A 1D 1的中点I ，连结IF ，IH ，则HI ⊥IF ， ∴HF 2＝HI 2＋IF 2＝54，∴HF 2＝EF 2＋HE 2.∴∠HEF ＝90°，∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.法三：如图(3)，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连结DQ ，B 1Q ，则B 1Q ∥EF .(3)于是∠DB 1Q 为异面直线DB 1与EF 所成的角或其补角．设AA 1＝1，则DQ ＝22＋1＝5，B 1D ＝12＋12＋12＝3，B 1Q ＝12＋12＝2，所以B 1D 2＋B 1Q 2＝DQ 2，从而异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.求两条异面直线所成角的步骤(1)恰当选点，用平移法构造出一个相交角． (2)证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)．(3)把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．(4)给出结论：若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角．3.如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成的角．[解] 如图所示，取BD 的中点G ，连结EG ，FG . ∵E ，F ，G 分别为BC ，AD ，BD 的中点，AB ＝CD ， ∴EG 12CD ，GF 12AB .∴∠GFE 就是EF 与AB 所成的角或其补角． ∵AB ⊥CD ，∴EG ⊥GF ， ∴∠EGF ＝90°. ∵AB ＝CD ，∴EG ＝GF ， ∴△EFG 为等腰直角三角形，∴∠GFE ＝45°，即EF 和AB 所成的角为45°.1．本节课的重点是会判断空间两直线的位置关系，理解异面直线的定义，会求两异面直线所成的角，能用公理4和等角定理解决一些简单的相关问题．难点是求异面直线所成的角．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两条直线位置关系的方法．(2)证明两条直线平行的方法．(3)求异面直线所成角的解题步骤．3．本节课的易错点是将异面直线所成的角求错．1．分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．以上皆有可能[答案] D2．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是________．平行或异面[若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．]3．空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝________．70°或110°[∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°，又∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°.]4．如图，已知长方体ABCDA′B′C′D′中，AB＝23，AD＝23，AA′＝2.(1)BC和A′C′所成的角是多少度？(2)AA′和BC′所成的角是多少度？[解](1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角．在Rt△A′B′C′中，A′B′＝23，B′C′＝23，所以∠B′C′A′＝45°.(2)因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BC′所成的角．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝23，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝4，∠B′BC′＝60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.。
高一数学第1课时：《立体几何初步》教案(苏教版)必修2
▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌第一章 立体几何初步一、知识结构二、重点难点重点：空间直线，平面的位置关系。
柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。
平行、垂直的定义，判定和性质。
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
文字语言，图形语言和符号语言的转化。
平行，垂直判定与性质定理证明与应用。
听课随笔第一课时棱柱、棱锥、棱台听课随笔1．初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。
掌握它们的形成特点。
2．了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义。
3．了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何体简单作图方法4．了解多面体的概念和分类．【课堂互动】自学评价1．棱柱的定义：表示法：思考:棱柱的特点：.【答】2．棱锥的定义：表示法：思考:棱锥的特点：.【答】3．棱台的定义：表示法：思考:棱台的特点：.【答】4．多面体的定义：5．多面体的分类：⑴棱柱的分类⑵棱锥的分类⑶棱台的分类【精典范例】例1：设有三个命题：甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱；乙：有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥；丙：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台。
以上各命题中，真命题的个数是（A）A．0 B. 1 C. 2 D. 3例2：画一个四棱柱和一个三棱台。
【解】四棱柱的作法：⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形；⑵画侧棱-----从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段；⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点见书７页例１⑷画一个三棱锥，在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个侧面画出与底面平行的线段，将多余的线段檫去．见书７页例１点评：(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得思维点拔：解柱、锥、台概念性问题和画图需要：Array(1).准确地理解柱、锥、台的定义(2).灵活理解柱、锥、台的特点：例如：棱锥的特点是：⑴两个底面是全等的多边形；⑵多边形的对应边互相平行；⑶棱柱的侧面都是平行四边形。
苏教版高中数学必修二第一章学生教案立体几何第课时(1)(2)
第 23 课时 立体几何总复习课(2)一、【学习导航】 知识网络见上一课时间学习要求1.会证线线、线面、面面的平行与垂直的问题,会求简单的线线、线面、面面间的角与距离以及简单几何体的面积与体积２、了解并能运用分割求和的思想。
自学评价1、垂直于同一条直线的两条直线一定A 、平行B 、相交C 、异面D 、以上都有可能 2、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥C 、1AC 与DC 成45o角D 、11AC 与1B C 成60o角3、若直线l P 平面α，直线a α⊂，则l 与a 的位置关系是A 、l a PB 、l 与a 异面C 、l 与a 相交D 、l 与a 没有公共点 4、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有A 、1B 、2C 、3D 、45、在空间四边形ABCD 各边AB BC CD DA 、、、上分别取E F G H 、、、四点，如果与EF GH 、能相交于点P ，那么A 、点必P 在直线AC 上B 、点P 必在直线BD 上C 、点P 必在平面ABC 内D 、点P 必在平面ABC 外、 6.如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为A 、2V B 、3V C 、4V D 、5V【精典范例】、例1：已知ABC ∆中90ACB ∠=o，SA ⊥面ABC ，AD SC ⊥，求证：AD ⊥面SBC例2：已知△BCD 中，∠BCD =90°，BC =CD =1，AB ⊥平面BCD ，∠ADB =60°，E 、F 分别是AC 、AD 上的动点，且(01).AE AFAC ADλλ==<< （Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF ⊥平面ABC ； （Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF ⊥平面ACD ？思维点拔：灵活掌握与运用立体几何中的基本知识与方法。
(教师用书)高中数学 第一章 立体几何初步教案 苏教版必修2
第1章立体几何初步1．1空间几何体1．1.1 棱柱、棱锥和棱台(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解棱柱、棱锥、棱台的概念．(2) 认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征．(3) 能根据几何结构特征对现实生活中的简单物体进行描述．2．过程与方法(1)让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征．(2)让学生在观察、讨论、归纳、概括中获取知识．3．情感、态度与价值观(1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力．(2)培养学生的空间想象能力和抽象概括能力．●重点难点重点：棱柱、棱锥和棱台及多面体的概念和画法．难点：棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括．重难点突破：以学生熟知的现实世界中几何体为切入点，教师通过提供丰富的实物模型引导学生对观察到的实物进行分类，考虑到棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括既是本节教学的重点又是本节教学的难点，教师可利用采用多媒体辅助教学法，利用多媒体演示，让学生通过观察比较，从而发现规律，概括出几何体的结构特征，突破难点．(教师用书独具)●教学建议本节内容是立体几何的入门教学，是义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与提高，通过本节内容的学习可帮助学生逐步形成空间想象能力．由于本节知识具有概念多，感知性强等特点，教学时建议采用启导法和多媒体辅助教学法．引导学生从熟悉的物体入手，利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，多角度、多层次地揭示空间图形的本质．按照从整体到局部、由具体到抽象的原则，让学生认识棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征，进而通过空间图形，培养和发展学生的空间想象能力．●教学流程创设问题情境，引出问题：棱柱、棱锥和棱台分别具有怎样的结构特征？⇒引导学生观察棱柱、棱锥和棱台的相关图片得出空间几何体的定义．⇒通过引导学生回答所提问题掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征．⇒通过例3及其变式训练，引导学生掌握棱柱、棱锥、棱台的画法，进—步认知三种几何体．⇒通过例2及其互动探究，引导学生应用概念判别几何体，加深对棱柱结构特征的认识．⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握棱柱、棱锥和棱台的概念及结构特征．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．(见学生用书第1页)【问题导思】 1．仔细观察下面的几何体，如果把它们看作是由一个平面图形平移而形成的，它们分别是由什么平面图形平移而成的？【提示】 (1)是由三角形平移而成的；(2)是由矩形平移而成的；(3)是由五边形平移而成的．2．上述几何体中，除了平移前后的平面，其余各面都是什么四边形？ 【提示】 平行四边形． 1．棱柱的定义、表示及相关概念(1)分类：底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (2)共同特征：两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形．1．如图，棱柱的一个底面收缩为一点时，可得到怎样的图形？【提示】2．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个什么几何体？【提示】棱锥和棱台．1．棱锥(1)定义：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．(2)相关概念及表示：图1－1－1该四棱锥可记作S－ABCD.(3)棱锥的共同特征：底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．2．棱台(1)定义：棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分．(2)相关名称及表示图1－1－2记作：棱台ABCD－A′B′C′D′由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．(见学生用书第2页)根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体；(2)由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．【思路探究】【自主解答】(1)这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥，其中六边形面是底面，其余的三角形面是侧面．(3)这是一个三棱台，其中相似的两个三角形面是底面，其余三个梯形面是侧面．根据形成几何体的结构特征的描述，结合棱柱、棱锥、棱台的定义进行判断，注意判断时要充分发挥空间想象能力，必要时做几何模型，通过演示进行准确判断．下列说法中正确的有________．①一个棱柱至少有五个面②用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台③棱台的侧面是等腰梯形④棱柱的侧面是平行四边形．【解析】因为棱柱有两个底面，因此棱柱的面数由侧面个数决定，而侧面个数与底面多边形的边数相等，故面数最少的棱柱为三棱柱，有五个面，①正确；②中的截面与底面不一定平行，故②不正确；由于棱台是由棱锥截来的，而棱锥的所有侧棱不一定相等，所以棱台的侧棱不一定都相等，即不一定是等腰梯形，③不正确；由棱柱的定义知④正确，故填①④.【答案】①④图1－1－3如图1－1－3所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？并指出底面．如果不是，请说明理由．【思路探究】根据棱柱的定义或棱柱的结构特征进行判断．【自主解答】是棱柱，并且是四棱柱．因为它可以看成由四边形ADD1A1沿AB方向平移至四边形BCC1B1形成的几何体，符合棱柱的定义．(2)截面BCFE右边的部分是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1与△CFC1是底面．截面BCFE 左边的部分是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面．1．解答本题的关键是正确掌握棱柱的几何特征，本题易出现认为所分两部分的几何体，一个是棱柱，一个是棱台的错误．2．在利用几何体的概念进行判断时，要紧扣定义，注意几何体间的联系与区别，不要认为底面就是上下位置，如此题，底面也可放在前后位置．用一个平面去截本例中的长方体，能截出三棱锥吗？【解】可以截出三棱锥，如图所示，三棱锥D1－ACD便符合题意．画一个三棱柱和一个四棱台．【思路探究】(2)画一个四棱锥→画四棱台【自主解答】①画三棱柱可分以下三步完成：第一步：画上底面——画一个三角形；第二步：画侧棱——从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段；第三步：画下底面——顺次连结这些线段的另一个端点(如图所示)．②画四棱台可分以下三步完成：第一步：画一个四棱锥；第二步：在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段；第三步：将多余的线段擦去(如图所示)．1．在画立体图形时，被遮挡的线画成虚线，可以增加立体感．2．由于棱台的侧棱延长线交于一点，因此画棱台时，要先画棱锥，再截得棱台．画一个六面体(1)使它是一个四棱柱；(2)使它是五棱锥．【解】如图(1)(2)所示．(见学生用书第3页)棱柱、棱锥、棱台的概念理解不清致误如图1－1－4甲、乙、丙是不是棱柱、棱锥、棱台？为什么？甲乙丙图1－1－4【错解】图甲有两个面ABC和A2B2C2平行，其余各面都是平行四边形，所以甲图的几何体是棱柱；图乙因一面ABCD是四边形，其余各面都是三角形，所以图乙的几何体是棱锥；图丙是棱台．【错因分析】上述解答过程都运用了“以偏概全”的思想，都是根据相应概念的某一结论去判断几何体，判断的依据不充分．【防范措施】判断一个几何体是否为棱柱、棱锥、棱台，应按照几何体的定义，抓住几何体的本质特征，严防“以偏概全”．【正解】图甲这个几何体不是棱柱．这是因为虽然上、下面平行，但是四边形ABB1A1与四边形A1B1B2A2不在一个平面内．所以多边形ABB1B2A2A1不是一个平面图形，它更不是一个平行四边形，因此这个几何体不是一个棱柱；图乙中的六个三角形没有一个公共点，故不是棱锥，只是一个多面体；图丙也不是棱台，因为侧棱的延长线不能相交于同一点．1．在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱台、三棱锥为例)．2．根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先要熟练掌握各几何体的概念，把握好各类几何体的特点，其次要有一定的空间想象能力.(见学生用书第3页)1．四棱柱共有______个顶点，________个面，________条棱．【答案】8 6 122．三棱锥是________面体．【解析】因为三棱锥有四个面，故三棱锥是四面体．【答案】四3．如图1－1－5所示的几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．图1－1－5【解析】由棱柱、棱锥和棱台的定义知，①③④符合棱柱的定义，⑥符合棱锥的定义，②是一个三棱柱被截去了一段，⑤符合棱台的定义．故①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台．【答案】①③④⑥⑤4．如图1－1－6，已知△ABC.(1)如果认为△ABC是水平放置的三角形，试以它为底画一个三棱柱；(2)如果认为△ABC是竖直放置的三角形，试以它为底再画一个三棱柱．图1－1－6【解】(1)如图①所示．(2)如图②所示．(见学生用书第79页)一、填空题1．正方体是________棱柱，是________面体．【解析】因为正方体的底面是正方形，故正方体是四棱柱，六面体．【答案】四六2．下面图形所表示的几何体中，不是棱锥的为________．图1－1－7【解析】结合棱锥的定义可知①不符合其定义，故填①.【答案】①图1－1－83．如图1－1－8，棱柱ABCD－A1B1C1D1可以由矩形________平移得到．(填序号)①ABCD；②A1B1C1D1；③A1B1BA；④A1BCD1【解析】结合棱柱的定义可知，棱柱ABCD－A1B1C1D1可由矩形ABCD或A1B1BA或A1B1C1D1平移得到．【答案】①②③4．(2013·辽宁实验中学检测)下列判断正确的是________．(填序号)(1)棱柱中只能有两个面可以互相平行(2)底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱(3)底面是正六边形的棱台是正六棱台(4)底面是正方形的四棱锥是正四棱锥【解析】(1)不正确，如正方体有三对对面相互平行．(2)正确．(3)(4)不正确．其中正四棱锥除了底面是正方形外，还要求顶点在底面的射影是底面的中心，同样(3)也如此．【答案】(2)5．下面描述中，是棱柱的结构特征的有________．①有一对面互相平行②侧面都是四边形③每相邻两个侧面的公共边都互相平行④所有侧棱都交于一点【解析】由棱柱的定义知①②③是它的结构特征，④不是棱柱的结构特征，因为棱柱的侧棱均平行．【答案】①②③6．(2013·内蒙古检测)下列说法正确的有________．①有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱．②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱．③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥．④棱台各侧棱的延长线交于一点．【解析】结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知，④正确．【答案】④7．给出下列几个命题：①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；③多面体至少有四个面；④将一个正方形沿不同方向平移得到的几何体都是正方体．其中真命题是________【解析】①②均为真命题；对于③，一个图形要成为空间几何体，则它至少需有4个顶点，3个顶点只能构成平面图形，当有4个顶点时，可围成4个面，所以一个多面体至少应有4个面，而且这样的面必是三角形，故③也是真命题；对于④，当正方形沿与其所在平面垂直的方向平移，且平移的长度恰好等于正方形的边长时，得到的几何体才是正方体，故④不正确．故填①②③.【答案】①②③8．一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥一定不是________棱锥．(从“三”、“四”、“五”、“六”中选)．【解析】若满足条件的棱锥是六棱锥，则它的六个侧面都是正三角形，侧面的顶角都是60°，其和为360°，则顶点在底面内，与棱锥的定义相矛盾．【答案】六二、解答题9．判断如图1－1－9所示的几何体是不是棱台，并说明理由．图1－1－9【解】(1)侧棱延长后不交于一点，故不是棱台．(2)上、下底面不平行，故不是棱台．(3)由棱台的定义可知，是棱台．10．如图1－1－10，在透明塑料制成的长方体ABCD—A1B1C1D1容器中灌进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，水的形状形成如下图(1)(2)(3)三种形状．(阴影部分)请你说出这三种形状分别是什么名称，并指出其底面．图1－1－10【解】(1)是四棱柱，底面是四边形EFGH和四边形ABCD；(2)是四棱柱，底面是四边形ABFE和四边形DCGH；(3)是三棱柱，底面是△EBF和△HCG.图1－1－1111．如图1－1－11，四边形AA1B1B是边长为3的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱；若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面．【解】∵这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，∴这个几何体不是棱柱．在四边形ABB1A1中，在AA1上取点E，使AE＝2；在BB1上取点F，使BF＝2；连结C1E，EF，C1F，则过点C1、E、F的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABC－EFC1，其侧棱长为2；截去的部分是一个四棱锥C1－EA1B1F，如图．(教师用书独具)画出如图所示的几何体的表面展开图．【思路点拨】以一个面为依托，其他各面沿侧棱展开．【规范解答】表面展开图如图所示：多面体表面展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是________．【解析】将四个选项的平面图形折叠，看哪一个可以复原为正方体．【答案】③1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)会用语言概述圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征．(2)直观了解由柱、锥、台、球组成的简单组合体的结构特征．(3)能运用简单组合体的结构特征描述现实生活中的实际模型．2．过程与方法(1)让学生通过直观感知空间物体，从实物中概括出圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征．(2)让学生通过直观感知空间物体，认识简单的组合体的结构特征，归纳简单组合体的基本构成形式．3．情感态度与价值观(1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力．(2)培养学生的空间想象能力，培养学习教学应用意识．●重点难点重点与难点：圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征和简单组合体的结构特征．重难点突破：以丰富的实物模型为切入点，通过让学生观察、分析实物体，抽象概括出圆柱、圆锥、圆台及球的几何结构特征和简单组体体的结构特征，突出圆锥与圆台间的内在联系，进而在观察思考中形成旋转体的概念，突破重点的同时化解难点．(教师用书独具)●教学建议本节内容是上节知识延续与提高，通过本节内容的学习可帮助学生进一步了解空间几何体中圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征．由于本节知识具有概念多、感知性强等特点，教学时，建议采用引导法和多媒体辅助教学法，引导学生从熟悉的物体入手，利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，通过整体观察，直观感知，引导学生多角度、多层次地揭示圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征．在此基础上，再通过让学生说一说，举一举等方式，明确简单组合体的结构特征，最终达到通过空间图形培养和发展学生的空间想象能力的目的．●教学流程创设问题情境，引出问题：圆柱、圆锥、圆台及球是如何定义的？⇒通过引导学生回答所提问题理解圆柱、圆锥、圆台及球的形成过程，把握圆柱、圆锥、圆台及球的结构特征，形体旋转体的概念．⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握旋转体的结构特征，掌握旋转体的有关概念．⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握简单组合体的结构特征．⇒结合旋转体的结构特征及平面几何知识，完成例3及其变式训练，初步培养学生解决与立体几何知识相关运算的步骤及方法．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正．(见学生用书第4页)1．如图，将矩形ABCD绕其边AB所在的直线旋转一周得到一个什么几何体？【提示】圆柱．2．仔细观察以下三个几何体，分析它们分别是由什么平面图形旋转而成的？【提示】图(1)是直角三角形绕其一直角边旋转而成的；图(2)是直角梯形绕其垂直于底边的腰所在的直线旋转而成的；图(3)是半圆绕着它直径所在的直线旋转而成的．1.一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面．2．旋转体的定义封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体．3．旋转面与旋转体的图示图1－1－12(见学生用书第4页)下列叙述错误的有__________．①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．【思路探究】根据旋转体的特征判断各命题的对错．【解析】以直角三角形的一条直角边为旋转轴旋转才可得到圆锥，以直角三角形的斜边为旋转轴旋转得到的几何体为两个同底的圆锥连在一起的几何体，如图(1)，故①错；以直角梯形垂直于底边的一腰为旋转轴旋转可得到圆台，以直角梯形的不垂直于底的腰为旋转轴旋转得到的几何体为一个圆台一侧挖去一个同上底的圆锥，另一侧补上一个同下底的圆锥，如图(2)，故②错；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，而不是圆，故③错；用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故④错．【答案】①②③④1．准确掌握圆柱、圆锥、圆台、球的生成过程及其结构特征是解决此类概念问题的关键．要注意定义中的关键字眼，对于似是而非的问题，可以通过动手操作来解决．2．旋转体的形状关键是看平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转所得的旋转体不同．给出以下四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．上述命题中正确的是________．【解析】①不正确，因为这两点的连线不一定与圆柱的旋转轴平行；②符合圆锥母线的定义，正确；③不正确，结合圆台母线的定义可知，母线与旋转轴的延长线应交于一点，而从圆台上、下底面圆周上各取一点，其连线未必满足这一条；④正确，符合圆柱母线的性质．【答案】②④如图1－1－13所示，画出下列图形绕直线旋转一周后所形成的几何体，并说出这些几何体是由哪些旋转体组合而成的．图1－1－13【思路探究】过图(1)(2)中的顶点D、C分别向旋转轴引垂线，即可得到旋转后的图形．【自主解答】如图所示，(1)是由圆锥、圆柱组合而成的，(2)是由圆柱中间挖去一个圆锥组合而成的．的形成过程进行分析．图1－1－14(2013·连云港检测)如图1－1－14，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，∠B和∠C均为锐角，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．【解】如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．【思路探究】画出轴截面，依据相似三角形求解．【自主解答】 (1)如图所示，设圆台的轴截面是等腰梯形ABCD ，作AM ⊥BC 于M ，延长BA ，CD 交于S .由已知得上底面半径O 1A ＝2 cm ，下底面半径OB ＝5 cm ，且腰长AB ＝12 cm ，∴圆台的高AM ＝122－－2＝315(cm)．(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm ， 则由△SAO 1∽△SBO ，得l －12l ＝25， 解得l ＝20.即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.1．本题在求解过程中，通过轴截面实现了空间运算平面几何化的思想，其优点是轴截面较直观得反映了圆台的母线长、高及上、下底面半径间的关系．2．解有关圆柱、圆锥、圆台的计算问题时常常利用它们的轴截面．(2013·南通检测)把一个圆锥截成圆台，已知圆台上下底面的半径之比为1∶4，母线长为9；则圆锥的母线长是________．【解析】 设该圆锥的轴截面如图所示，由平面几何知识可知，O ′B ′OB ＝CB ′CB∴14＝CB ′CB ′＋9∴CB ′＝3，∴BC ＝3＋9＝12.即圆锥的母线长为12.【答案】12(见学生用书第6页)分割法判断旋转体的构成图1－1－15(14分)已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的一腰，如图1－1－15所示．分别以AB，BC，CD，DA所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．【思路点拨】以直角梯形的不同边所在直线为轴旋转，所得到的几何体是不同的．【规范解答】(1)以AB边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台．如图①所示.3分(2)以BC边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图②所示.6分(3)以CD边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如图③所示.10分(4)以AD边所在的直线为轴旋转得到一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图④所示.14分1．根据几何体的结构特征判断几何体的类型，首先要熟练掌握各类几何体的概念，把握好各类几何体的主要特征，其次要有一定的空间想象能力．2．对于不规则的平面图形绕轴旋转问题，要先对原平面图形作适当的分割，再根据柱、锥、台的结构特征进行判断．1．圆柱、圆台、圆锥的关系如图所示：2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想，处理组合体问题常采用分割思想．3．重视圆柱、圆台、圆锥的轴截面在解决与旋转体相关量(如母线长等)中的特殊作用，体会空间几何问题平面化的思想．。
高中数学 第一章《立体几何初步复习与小结》教案 苏教版必修2
课题：书法---写字基本知识课型：新授课教学目标：1、初步掌握书写的姿势，了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点：基本笔画的书写。
难点：运笔的技法。
教学过程：一、了解书法的发展史及字体的分类：1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体：颜、柳、赵、欧体，分类出示范本，边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求：1、书写姿势：做到“三个一”：一拳、一尺、一寸（师及时指正）2、了解钢笔的性能：笔头富有弹性；选择出水顺畅的钢笔；及时地清洗钢笔；选择易溶解的钢笔墨水，一般要固定使用，不能参合使用。
换用墨水时，要清洗干净；不能将钢笔摔到地上，以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括：横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习，教师指导。
（姿势正确）4、运笔的技法：起笔按，后稍提笔，在运笔的过程中要求做到平稳、流畅，末尾处回锋收笔或轻轻提笔，一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果，以求字的美观、大气。
5、学生练习，教师指导。
（发现问题及时指正）四、作业：完成一张基本笔画的练习。
板书设计：写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考：通过导入让学生了解我国悠久的历史文化，激发学生学习兴趣。
这是书写的起步，让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础，必须认真书写。
课后反思：学生书写的姿势还有待进一步提高，要加强训练，基本笔画也要加强训练。
课题：书写练习1课型：新授课教学目标：1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思，并用钢笔写出符合要求的的字。
重点：正确书写6个字。
难点：注意字的结构和笔画的书写。
教学过程：一、小结课堂内容，评价上次作业。
二、讲解新课：1、检查学生书写姿势和执笔动作（要求做到“三个一”）。
2、书写方法是：写一个字看一眼黑板。
（老师读，学生读，加深理解。
高中数学新学案同步 必修2苏教版 第一章 立体几何初步 1.2.4 第2课时
第2课时两平面垂直的判定学习目标 1.了解二面角及其平面角的概念，能确定二面角的平面角.2.初步掌握面面垂直的定义及两个平面垂直的判定定理．知识点一二面角思考1观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？答案二面角．思考2平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？答案二面角的平面角．梳理(1)二面角的概念①定义：一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形．②相关概念：(ⅰ)这条直线叫做二面角的棱；(ⅱ)每个半平面叫做二面角的面．③画法：④记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q.(2)二面角的平面角①定义：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．②表示方法：若有(ⅰ)O∈l；(ⅱ)OA⊂α，OB⊂β；(ⅲ)OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.知识点二平面与平面垂直思考建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？答案都是垂直．梳理两面垂直的定义及判定(1)平面与平面垂直①定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．②画法：③记作：α⊥β.(2)判定定理文字语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直图形语言符号语言l⊥α，l⊂β⇒α⊥β1．若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直．(√)2．两垂直平面的二面角的平面角大小为90°.(√)类型一面面垂直的判定例1如图所示，在四棱锥S—ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD.证明如图，连结AC，与BD交于点F，连结EF.因为F为平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，所以F 为AC 的中点．又E 为SA 的中点，所以EF 为△SAC 的中位线，所以EF ∥SC .又SC ⊥平面ABCD ，所以EF ⊥平面ABCD .又EF ⊂平面EBD ，所以平面EBD ⊥平面ABCD .反思与感悟(1)面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．(2)面面垂直的定义也是证明面面垂直的基本方法，只需要证明两个平面构成的二面角为直二面角．跟踪训练1如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠ACB ＝90°，AC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．证明：平面BDC 1⊥平面BDC .证明由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.又DC 1⊂平面ACC 1A 1，所以DC 1⊥BC .由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，所以∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC .又DC ∩BC ＝C ，所以DC 1⊥平面BDC .又DC 1⊂平面BDC 1，所以平面BDC 1⊥平面BDC .类型二与面面垂直有关的探索性问题例2如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝ 3.在CD 上确定一点E ，使得平面PBE ⊥平面PAB .解取CD的中点E，连结PE，BE，BD.由底面ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，所以BE⊥平面PAB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.所以当E为CD的中点时，平面PBE⊥平面PAB.反思与感悟存在性问题是将传统意义上指定线线、线面、面面位置关系的证明，变成开放性和探究性问题．需要先找到相应的点、线、面之间平行与垂直关系再进行证明，但也可能不存在对应的点、线、面平行与垂直关系．跟踪训练2如图，在直角梯形ABCD中，E为CD的中点，且AE⊥CD，又G，F分别为DA，EC的中点，将△ADE沿AE折起，使得DE⊥EC.(1)求证：AE⊥平面CDE；(2)求证：FG∥平面BCD；(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB，并说明理由．(1)证明由已知得DE⊥AE，AE⊥EC.∵DE ∩EC ＝E ，DE ，EC ⊂平面DCE ，∴AE ⊥平面CDE .(2)证明取AB 的中点H ，连结GH ，FH ，由已知得ABCE 为矩形，且G ，F 分别为AD ，EC 的中点，∴GH ∥BD ，FH ∥BC .∵GH ⊄平面BCD ，BD ⊂平面BCD ，∴GH ∥平面BCD .同理，FH ∥平面BCD ，又GH ∩FH ＝H ，∴平面FHG ∥平面BCD ，∵GF ⊂平面FHG ，∴GF ∥平面BCD .(3)解取线段AE 的中点R ，DC 的中点M ，DB 的中点S ，连结MS ，RS ，BR ，DR ，EM .则MS ∥12BC ，MS ＝12BC ，又RE ∥12BC ，RE ＝12BC ，∴MS ∥RE ，MS ＝RE ，∴四边形MERS 是平行四边形，∴RS ∥ME .在△DEC 中，ED ＝EC ，M 是CD 的中点，∴EM ⊥DC .由(1)知AE ⊥平面CDE ，AE ∥BC ，∴BC ⊥平面CDE .∵EM ⊂平面CDE ，∴EM ⊥BC .∵BC ∩CD ＝C ，∴EM ⊥平面BCD .∵EM ∥RS ，∴RS ⊥平面BCD .∵RS⊂平面BDR，∴平面BDR⊥平面DCB.1．下列说法中正确的是________．(填序号)①若平面α和平面β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β；②若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β；③若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β；④若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.答案③解析①中，α与β还可能平行或相交且不垂直，所以①不正确；因为由平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，得α⊥β，所以②④不正确，③正确．2．已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图所示)，图中互相垂直的平面有________对．答案5解析∵DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A，∴DA⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB.又AB⊥平面PAD，∴DC⊥平面PAD.∴平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．3.如图所示，在三棱锥D—ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是________．(填序号)①平面ABC⊥平面ABD；②平面ABC⊥平面BCD；③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；④平面ABC ⊥平面ACD ，且平面ACD ⊥平面BDE .答案③解析由AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 为AC 的中点知，AC ⊥DE ，AC ⊥BE .又DE ∩BE ＝E ，从而AC ⊥平面BDE ，故③正确．4.点P 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，给出下列命题：①三棱锥A —D 1PC 的体积不变；②A 1P ∥平面ACD 1；③DP ⊥BC 1；④平面PDB 1⊥平面ACD 1.其中正确的命题序号是________．答案①②④解析连结BD 交AC 于点O ，连结DC 1交D 1C 于点O 1，连结OO 1，则OO 1∥BC 1，所以BC 1∥平面AD 1C ，动点P 到平面AD 1C 的距离不变，所以三棱锥P —AD 1C 的体积不变．又因为1P AD C V -三棱锥＝1A D PC V -三棱锥，所以①正确；因为平面A 1C 1B ∥平面AD 1C ，A 1P ⊂平面A 1C 1B ，所以A 1P ∥平面ACD 1，②正确；由于当点P 在B 点时，DB 不垂直于BC 1，即DP 不垂直BC 1，故③不正确；由于DB 1⊥D 1C ，DB 1⊥AD 1，D 1C ∩AD 1＝D 1，所以DB 1⊥平面AD 1C .又因为DB 1⊂平面PDB 1，所以平面PDB 1⊥平面ACD 1，④正确．5．如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AC ，BD 交于点E ，F 是PB 的中点．求证：(1)EF ∥平面PCD ；(2)平面PBD ⊥平面PAC .考点平面与平面垂直的判定题点利用判定定理证明两平面垂直证明(1)∵四边形ABCD是正方形，∴E是BD的中点．又F是PB的中点，∴EF∥PD.又∵EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴EF∥平面PCD.(2)∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC.∵PA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴PA⊥BD.又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC.又BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC.证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义．(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．一、填空题1．在空间四边形ABCD中，如果AD⊥BC，BD⊥AD，那么下列判断正确的是________．(填序号)①平面ABC⊥平面ADC;②平面ABC⊥平面ADB；③平面ABC⊥平面DBC;④平面ADC⊥平面DBC.答案④解析∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.2．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是________．(填序号)答案②④解析①不符合二面角定义；③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．3.如图所示，已知PA垂直于圆O所在平面．AB是圆O的直径，C是圆周上一点，则图中互相垂直的平面共有______对．答案3解析∵PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，PA⊂平面PAB，∴平面PAC⊥平面ABC，平面PAB⊥平面ABC.又BC⊥AC，PA⊥BC，∴BC⊥平面PAC.又BC⊂平面PCB，∴平面PCB⊥平面PAC.∴共3对．4.如图，已知三棱锥P—ABC的所有棱长都相等，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中正确的是________．(填序号)①BC∥平面PDF；②DF⊥平面PAE；③平面PDF⊥平面ABC；④平面PAE⊥平面ABC.答案①②④解析∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF.∴①正确．∵BC⊥PE，BC⊥AE，PE∩AE＝E，∴BC⊥平面PAE.∴DF⊥平面PAE，∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．∴②④正确．5．以下所给角：①异面直线所成的角；②直线和平面所成的角；③二面角的平面角．其中可能为钝角的有________个．答案1解析异面直线所成角的范围为(0°，90°]，直线和平面所成角的范围为[0°，90°]，二面角的平面角的范围为[0°，180°]，只有二面角的平面角可能为钝角．6．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫做x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________．答案平行解析由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理知，平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性．7．已知α，β是两个不同的平面，m，n分别是平面α与平面β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)答案①③④⇒②(或②③④⇒①)解析当m⊥α，m⊥n时，有n∥α或n⊂α.∴当n⊥β时，α⊥β，即①③④⇒②.当α⊥β，m⊥α时，有m∥β或m⊂β.∴当n⊥β时，m⊥n，即②③④⇒①.8．在四面体A－BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A－BD－C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED＝________.考点二面角题点求二面角的大小答案90°解析如图，设AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝a ，取BD 中点F ，连结AF ，CF .由题意可得AF ＝CF ＝22a ，∠AFC ＝90°.在Rt △AFC 中，可得AC ＝a ，∴△ACD 为正三角形．∵E 是CD 的中点，∴AE ⊥CD ，∴∠AED ＝90°.9．如图，在三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面三角形A 1B 1C 1是正三角形，E 是BC 的中点，则下列叙述正确的是________．(填序号)①CC 1与B 1E 是异面直线；②直线AC ⊥平面ABB 1A 1；③直线A 1C 1与平面AB 1E 不相交；④∠B 1EB 是二面角B 1—AE —B 的平面角．答案④解析CC 1与B 1E 都在平面BB 1C 1C 内，即①不正确；若AC ⊥平面ABB 1A 1，则AC ⊥AB ，与△ABC 是正三角形矛盾，即②不正确；若直线A 1C 1与平面AB 1E 不相交，则A 1C 1∥平面AB 1E ，取B 1C 1的中点E 1，则A 1E 1∥平面AB 1E ，又A 1C 1∩A 1E 1＝A 1，于是平面A 1B 1C 1∥平面AB 1E ，这与平面A 1B 1C 1和平面AB 1E 都过点B 1矛盾，所以③不正确；由已知可得AE ⊥平面BCC 1B 1，所以∠B 1EB 是二面角B 1—AE —B 的平面角，即④正确．10.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析连结AC.∵底面各边都相等，∴AC⊥BD.又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.又AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.二、解答题11.如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知PA⊥AC，PA ＝6，BC＝8，DF＝5.求证：(1)PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.证明(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA.又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以PA∥平面DEF.(2)因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA＝6，BC＝8，所以DE ＝12PA ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .又PA ⊥AC ，DE ∥PA ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .12.如图所示，在四棱锥S —ABCD 中，SD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，BC ⊥BD ，∠BAD ＝60°，SD ＝AD ＝AB ，E 是SB 的中点．求证：(1)BC ⊥DE ；(2)平面SBC ⊥平面ADE .证明(1)∵SD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥SD .又∵BC ⊥BD ，SD ∩BD ＝D ，∴BC ⊥平面SBD ，∵DE ⊂平面SBD ，∴BC ⊥DE .(2)∵SD ＝AD ＝AB ，∠BAD ＝60°，∴△ABD 为等边三角形，∴SD ＝BD ，∵E 为SB 的中点，∴DE ⊥SB ，又∵BC ⊥DE ，SB ∩BC ＝B ，∴DE ⊥平面SBC ，又DE ⊂平面ADE ，∴平面SBC ⊥平面ADE .13.如图所示，在三棱台DEF —ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点．若CF ⊥BC ，AB ⊥BC ，求证：平面BCD ⊥平面EGH .证明因为G ，H 分别为AC ，BC 的中点，所以GH ∥AB .由AB ⊥BC ，得GH ⊥BC .又H 为BC 的中点，所以EF ∥HC ，EF ＝HC ，因此四边形EFCH 是平行四边形，所以CF ∥HE .又CF ⊥BC ，所以HE ⊥BC .又HE ，GH ⊂平面EGH ，HE ∩GH ＝H ，所以BC ⊥平面EGH .又BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面EGH .三、探究与拓展14．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，截面A 1BD 与底面ABCD 所成二面角A 1－BD －A 的正切值为________．考点二面角题点求二面角的大小答案2解析如图所示，连结AC 交BD 于点O ，连结A 1O ，O 为BD 中点，∵A 1D ＝A 1B ，∴在△A 1BD 中，A 1O ⊥BD .又∵在正方形ABCD 中，AC ⊥BD .∴∠A 1OA 为二面角A 1－BD －A 的平面角．设AA 1＝1，则AO ＝22.∴tan ∠A 1OA ＝122＝ 2.15.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥PA ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点．求证：(1)CE ∥平面PAD ；(2)平面EFG ⊥平面EMN .证明(1)如图，取PA 的中点H ，连结EH ，DH .因为E 为PB 的中点，H 为PA 的中点，所以EH ∥AB ，EH ＝12AB .又AB ∥CD ，CD ＝12AB ，所以EH ∥CD ，EH ＝CD .所以四边形DCEH 是平行四边形．所以CE ∥DH .又DH ⊂平面PAD ，CE ⊄平面PAD ，所以CE ∥平面PAD .(2)因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥PA .又AB ⊥PA ，所以AB ⊥EF .同理可证AB ⊥FG .又EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，因此AB ⊥平面EFG .又M ，N 分别为PD ，PC 的中点，所以MN ∥DC .又AB ∥DC ，所以MN ∥AB ，所以MN ⊥平面EFG .又MN ⊂平面EMN ，所以平面EFG ⊥平面EMN .。
苏教版高中数学必修二第一章-立体几何初步1.2.4第2课时ppt课件
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教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
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课 标 解 读
1.了解二面角的概念，能在长方体中 度量二面角．(难点) 2．理解并掌握面面垂直的判定定理和 性质定理．(重点、难点)
当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
直观感知中得出面面垂直的判定及性质定理，重难点顺利突 破．
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●教学建议 本节课在学习了直线与平面垂直的基础上，介绍了面面 垂直的定义及判定及性质定理，是前面知识的巩固升华，所 以，本节课的内容及思想方法，在整个立体几何里，有非常 重要的作用．基于学生立体几何的基础比较薄弱，教学时， 建议采用发现探讨式的教学方法，用由浅入深的问题引导学 生自己去发现问题、产生概念、形成定理．同时在例题的讲 解中，教师应重视加强题组的设计和变形，使教学真正体现 出由浅入深，由易到难的特点，通过题组训练，使学生建立 “面面垂直”的问题与“线面垂直”的问题互化意识．培养 学生的思维能力、论证能力．
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高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.4 第1课时 两平面平行学案 苏教版必修2-苏教版高一必修2
1.2.4 第1课时两平面平行1．了解平面与平面的两种位置关系．了解两个平面间的距离的概念．(重点)2．理解空间中面面平行的判定定理和性质定理，并能灵活应用．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 平面与平面之间的位置关系阅读教材P43中间部分，完成下列问题．平面与平面之间的位置关系位置关系平面α与平面β相交平面α与平面β平行公共点有一条公共直线没有公共点符号表示α∩β＝a α∥β图形表示在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列平面的位置关系是：图1－2－74(1)平面AB1与平面D1C________；(2)平面BD1与平面AC1________；(3)若E，F，G，H分别为DD1，CC1，AA1，B1B的中点，则平面ABFE与平面BC1________；(4)平面D1C1HG与平面ABFE________.【答案】(1)平行(2)相交(3)相交(4)平行教材整理2 平面与平面平行的判定阅读教材P43～P44例1部分内容，完成下列问题．如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，自然语言那么这两个平面平行符号语言a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥β⇒α∥β图形语言判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则α与β平行．(×)(2)若平面α内的两条不平行的直线分别与平面β平行，则α与β平行．(√)(3)平行于同一条直线的两个平面平行．(×)(4)若平面α内有一条直线平行于平面β，平面β内也有一条直线平行于α，则α与β平行．(×)(5)若平面α内的任何直线都与平面β平行，则α与β平行．(√)教材整理3 平面与平面平行的性质定理阅读教材P44例1以下部分内容，完成下列问题.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条自然语言交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则下列四种情况：①a⊥b；②a∥b；③a与b异面；④a与b相交．其中可能出现的情况有________种．【解析】只有a，b相交不可能．【答案】 3教材整理4 两个平行平面间的距离阅读教材P 45中间三自然段，完成下列问题． 公垂线与公垂线段(1)与两个平行平面都垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫做这两个平行平面的公垂线段．(2)两个平行平面的公垂线段都相等．公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离．在四棱锥P －ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别为PA ，PB ，PC ，PD 的中点，PA ⊥平面AC ，若PA ＝2，则平面EFGH 与平面ABCD 的距离为________．图1－2－75【解析】 ∵E ，F ，G ，H 为PA ，PB ，PC ，PD 的中点， ∴平面EFGH ∥平面ABCD ， ∵PA ⊥平面AC ， ∴PA ⊥平面EG ，∴AE 为平面AC 与平面EG 的公垂线段，EA ＝12PA ＝1.【答案】 1[小组合作型]面面平行判定定理的应用如图1－2－76，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，E ，F ，N 分别是A 1B 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1A 1的中点．图1－2－76求证：(1)E，F，B，D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.【精彩点拨】解答本题第(1)问，只需证BD∥EF即可．第(2)问，只需证MN∥平面EFDB，AM∥平面EFDB即可．【自主解答】(1)连结B1D1，∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，∴EF∥B1D1，而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E，F，B，D四点共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB，∴MN∥平面EFDB.连结DF，MF.∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.∴MF∥AD，MF＝AD.∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM⊄平面EFDB.DF⊂平面EFDB，∴AM∥平面EFDB.又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.证明两平面平行的主要方法是用判定定理，即将“面面平行”转化为“线面平行”再转化为“线线平行”，具体操作就是在其中一个面内寻找出两条相交直线，均平行于另一个平面，而寻找这两条相交直线时，应结合条件，常用到中位线定理、平行四边形的性质、比例线段等平面几何知识．[再练一题]1．已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD 上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.【导学号：41292036】图1－2－77【证明】∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP，∵BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，∴NQ∥平面PBC.又底面ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，∴MQ∥BC，∵BC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.面面平行性质定理的应用如图1－2－78所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α，β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在α，β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，OA∶OA′＝3∶2.求△A′B′C′的面积．图1－2－78【精彩点拨】 先利用面面平行的性质得线线平行．再利用平行线分线段成比例求△A ′B ′C ′的面积．【自主解答】 相交直线AA ′，BB ′所在平面和两平行平面α，β分别相交于AB ，A ′B ′.由面面平行的性质定理可得AB ∥A ′B ′.同理相交直线BB ′，CC ′确定的平面和平行平面α，β分别相交于BC ，B ′C ′，从而BC ∥B ′C ′.同理易证AC ∥A ′C ′.∴∠BAC 与∠B ′A ′C ′的两边对应平行且方向相反， ∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′. 同理∠ABC ＝∠A ′B ′C ′， ∠BCA ＝∠B ′C ′A ′.∴△ABC 与△A ′B ′C ′的三内角分别相等， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′， ∵AB ∥A ′B ′，AA ′∩BB ′＝O ， ∴在平面ABA ′B ′中， △AOB ∽△A ′OB ′. ∴A ′B ′AB ＝OA ′OA ＝23. 而S △ABC ＝12AB ·AC ＝12×2×1＝1.∴S △A ′B ′C ′S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A ′B ′AB 2， ∴S △A ′B ′C ′＝49S △ABC ＝49×1＝49.通过面面平行的性质定理将面面平行转化得到线线平行，这是直接利用面面平行的性质定理．利用面面平行的关键是要找到过已知的直线与已知的平行直线的平面．[再练一题]2.如图1－2－79所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1，D是BC的中点，D1是B1C1的中点，设平面A1D1B∩平面ABC＝l1，平面ADC1∩平面A1B1C1＝l2.求证：l1∥l2.图1－2－79【证明】连结D1D(图略)，∵D与D1分别是BC与B1C1的中点，∴DD1綊BB1，又BB1綊AA1，∴DD1綊AA1，∴A1D1∥AD，又平面A1B1C1∥平面ABC，且平面A1B1C1∩平面A1D1B＝A1D1，平面A1D1B∩平面ABC＝l1，∴A1D1∥l1.同理可证AD∥l2，又A1D1∥AD，即A1D1∥l2，∴l1∥l2.[探究共研型]面面平行关系的综合应用探究1 过平面外一条直线可以作几个与已知平面平行的平面？【提示】当直线与平面相交时，不能作出符合题意的平面；当直线与平面平行时，可作出唯一的一个符合题意的平面．探究2 平面α∥平面β，△ABC和△A′B′C′分别在平面α和平面β内，若对应顶点的连线共点，则这两个三角形有怎样的关系？【提示】这两个三角形相似，由于对应顶点的连线共点，则AB与A′B′共面，由面与面平行的性质知AB ∥A ′B ′， 同理AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′， 故两个三角形相似．如图1－2－80所示，AB ，CD 是夹在平行平面α，β之间的异面线段，且A ，C ∈α，B ，D ∈β，点E ，F 分别在线段AB ，CD 上，且AE EB ＝CFFD.求证：EF ∥平面β.图1－2－80【精彩点拨】 利用面面平行的性质，将证明线面平行转化为证明面面平行． 【自主解答】 如图所示，连结BC 并在BC 上取一点G ，使得AE EB ＝CGGB，则在△BAC 中，EG ∥AC ，而AC ⊂平面α，EG ⊄平面α，∴EG ∥α.又α∥β，∴EG ∥β.同理可得GF ∥BD ，而BD ⊂β，GF ⊄β，∴GF ∥β. 又EG ∩GF ＝G ，∴平面EGF ∥β. 又EF ⊂平面EGF ，∴EF ∥平面β.线面平行与面面平行性质定理着重体现了平行间的转化思想．转化是综合应用的关键．[再练一题]3．如图1－2－81所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 是AC 的中点，求证：AB 1∥平面BEC 1.图1－2－81【证明】如图，取A1C1的中点F，连结AF，B1F，∵E为AC的中点，∴AF∥C1E，∵AF⊄平面BEC1，C1E⊂平面BEC1，∴AF∥平面BEC1.连结EF，由E，F分别是AC，A1C1的中点，可知EF綊AA1綊BB1，∴BE∥B1F，又B1F⊄平面BEC1，BE⊂平面BEC1，∴B1F∥平面BEC1，∵B1F∩AF＝F，∴平面BEC1∥平面AB1F.∵AB1⊂平面AB1F，∴AB1∥平面BEC1.1．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面的位置关系是________．【解析】有无数条直线平行于另一个平面并不能保证平面内没有一条直线与另一个平面相交．【答案】平行或相交2．设直线l，m，平面α，β，下列条件能得出α∥β的是____________．①l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥β；②l⊂α，m⊂β，且l∥m；③l⊥α，m⊥β，且l∥m；④l∥α，m∥β，且l∥m.【解析】①不正确，α与β有可能相交，也有可能平行；②不正确，α与β有可能相交，也有可能平行；③正确，∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又m⊥β，∴α∥β；④不正确，α与β有可能相交，也有可能平行．【答案】③3．若不共线的三点到平面α的距离相等，则这三点确定的平面β与α之间的关系是________.【导学号：41292037】【解析】若三点在平面α的同侧，则α∥β；若三点在平面α的异侧，则α与β相交．【答案】平行或相交4．下列条件中，能使α∥β的条件是________．(填序号)①平面α内有无数条直线平行于平面β；②平面α与平面β同时平行于一条直线；③平面α内有两条直线平行于平面β；④平面α内有两条相交直线平行于平面β.【解析】由平面与平面平行的判定定理可知④正确，其余选项中平面α与平面β的关系可能平行也可能相交．【答案】④5．如图1－2－82所示，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN∥平面BCE.图1－2－82【证明】过点M作MG∥BC交AB于点G，连结GN，则AMMC＝AGGB.∵AM＝FN，AC＝BF，∴MC＝NB.∴FNNB＝AGGB，∴GN∥AF.又AF∥BE，∴GN∥BE.∵GN⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，∴GN∥平面BCE.∵MG∥BC，MG⊄平面BCE，BC⊂平面BCE，∴MG∥平面BCE.∵MG∩GN＝G，∴平面MNG∥平面BCE. ∵MN⊂平面MNG，∴MN∥平面BCE.。
高中数学 第一章《立体几何初步》1-2课时教学案 苏教版必修2
1。
1.1 第1课时棱柱、棱锥、棱台学习目标：1。
认识棱柱、棱锥和棱台的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2。
了解棱柱、棱锥和棱台的概念；3。
初步培养学生的空间想象能力和抽象括能力．学习重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出棱柱、棱锥和棱台的结构特征．学习难点：棱柱、棱锥和棱台的结构特征的概括．学习过程：一、课前准备：自学课本P4～71.基本概念:①棱柱：由的空间几何体叫做棱柱．叫做棱柱的底面,叫做棱柱的侧面．棱柱的特点：两个底面是，且 ,侧面都是．②棱锥:当时,得到的几何体叫做棱锥．棱锥的特点：底面是，侧面是．③棱台：用，另一个叫做棱台．即．棱台的特点:两个底面是，侧面是，侧棱．④多面体：由的几何体叫做多面体．2.由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是．3。
下列说法中，正确的有．①棱柱的侧面可以是三角形②正方体的各条棱都相等③棱柱的各条侧棱都相等④正方体和长方体都是特殊的四棱柱⑤用一个平面去截一个长方体，截面一定是长方形4。
已知一长方体，根据图中三种状态所显示的数字,可推出“？”处的数字是．5.有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是．①棱柱②棱锥③棱台④可能是棱台, 一定不是棱柱或棱锥6.构成多面体的面最少是个，该多面体称为或．二、合作探究：例1。
棱柱的特点是：⑴两个底面是全等的多边形，⑵多边形的对应边互相平行，⑶棱柱的侧面都是平行四边形．反过来，若一个几何体具备上述三点，能构成棱柱吗?或者说，上面三点能作为棱柱的定义吗?例2。
三棱柱有个面，个顶点，条棱，可以称为五面体;还有其他五面体吗? 试举一些六面体．例3.仿照教材讲解,画一个三棱柱、四棱台和五棱锥，并归纳作图方法、步骤．例4.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm,一只蚂蚁从A到C1点，沿着表面爬行的最短距离是多少？变式训练:四面体P—ABC中,PA=PB=PC=2,∠APB=∠BPC=∠APC=30°,一只蚂蚁从A点出发沿四面体的表面绕一周,再回到A点,蚂蚁经过的最短路程是多少？三、课堂练习:课本第8页练习第1、2、3题．四、回顾小结：1。
高中数学 第1章 立体几何初步章末复习课讲义 苏教版必修2-苏教版高一必修2数学教案
第1章立体几何初步空间中的平行关系【例1】如图，E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点．求证：(1)GE∥平面BDD1B1；(2)平面BDF∥平面B1D1H.思路探究：(1)取B1D1的中点O，证明四边形BEGO是平行四边形．(2)证B1D1∥平面BDF，HD1∥平面BDF.[证明](1)取B1D1的中点O，连结GO，OB，易证OG 12B1C1，BE12B1C1，∴OG BE，四边形BEGO为平行四边形，∴OB∥GE.∵OB平面BDD1B1，GE平面BDD1B1，∴GE∥平面BDD1B1.(2)由正方体性质得B1D1∥BD，∵B1D1平面BDF，BD平面BDF，∴B1D1∥平面BDF.连结HB，D1F，易证HBFD1是平行四边形，得HD1∥BF.∵HD1平面BDF，BF平面BDF，∴HD1∥平面BDF.∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.1．判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(aα，bα，a∥b⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，aα⇒a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，aβ，a∥α⇒a∥β)．2．证明面面平行的方法：(1)利用面面平行的定义；(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．1．如图，AB是圆O的直径，C是圆O上的点，P为平面ABC外一点．设Q为PA的中点，G为△AOC的重心．求证：QG∥平面PBC.[证明]如图，连接OG并延长，交AC于点M，连接QM，QO，OM.由G为△AOC的重心，得M为AC的中点．由Q为PA的中点，得QM∥PC.又O 为AB 的中点，所以OM ∥BC . 因为QM ∩MO ＝M ，QM平面QMO ，MO平面QMO ，BC ∩PC ＝C ，BC 平面PBC ，PC 平面PBC ，所以平面QMO ∥平面PBC .又QG平面QMO ，所以QG ∥平面PBC .空间中的垂直关系【例2】 如图所示，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD∥CE ，且CE ＝CA ＝2BD ，M 是EA 的中点．求证：(1)DE ＝DA ； (2)平面BDM ⊥平面ECA ； (3)平面DEA ⊥平面ECA .思路探究：取EC 中点F ，CA 中点N ，连结DF ，MN ，BN . (1)证△DFE ≌△ABD ，(2)证BN ⊥平面ECA ，(3)证DM ⊥平面ECA . [证明] (1)如图所示，取EC 的中点F ，连结DF ，易知DF ∥BC ，∵EC ⊥BC ，∴DF ⊥EC .在Rt △DEF 和Rt △DBA 中， ∵EF ＝12EC ＝BD ，FD ＝BC ＝AB ，∴Rt △DFE ≌Rt △ABD ，故DE ＝DA . (2)取CA 的中点N ，连结MN ，BN ，则MN 12EC ， ∴MN ∥BD ，即N 点在平面BDM 内． ∵EC ⊥平面ABC ，∴EC ⊥BN . 又CA ⊥BN ，∴BN ⊥平面ECA . ∵BN 在平面MNBD 内， ∴平面MNBD ⊥平面ECA ， 即平面BDM ⊥平面ECA .(3)∵DM ∥BN ，BN ⊥平面ECA ，∴DM ⊥平面ECA . 又DM平面DEA ，∴平面DEA ⊥平面ECA .空间垂直关系的判定方法(1)判定线线垂直的方法①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角)；②线面垂直的性质(若a⊥α，bα，则a⊥b)．(2)判定线面垂直的方法①线面垂直的定义(一般不易验证任意性)；②线面垂直的判定定理(a⊥m，a⊥n，mα，nα，m∩n＝A⇒a⊥α)；③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α)；④面面垂直的性质定理(α⊥β，α∩β＝l，aβ，a⊥l⇒a⊥α)；⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ)．(3)面面垂直的判定方法①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°)；②面面垂直的判定定理(a⊥β，aα⇒α⊥β)．2．如图，四棱锥PABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC的中点．(1)求证：AP∥平面MBD；(2)若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD.[证明](1)如图，连结AC交BD于点O，连结OM.因为底面ABCD是平行四边形，所以点O为AC的中点．又M为PC的中点，所以OM∥PA.因为OM平面MBD，AP平面MBD，所以AP∥平面MBD.(2)因为PD⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以PD⊥AD.因为AD⊥PB，PD∩PB＝P，PD平面PBD，PB平面PBD，所以AD⊥平面PBD.因为BD平面PBD，所以AD⊥BD.因为PD ⊥平面ABCD ，BD 平面ABCD ，所以PD ⊥BD .又因为BD ⊥AD ，AD ∩PD ＝D ，AD 平面PAD ，PD平面PAD ，所以BD ⊥平面PAD .空间几何体的体积及表面积【例3】 如图，四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明MN ∥平面PAB ； (2)求四面体N BCM 的体积．思路探究：(1)利用线面平行的判定定理进行证明，即通过线线平行证明线面平行；(2)先求出点N 到平面BCM 的距离及△BCM 的面积，然后代入锥体的体积公式求解．[解] (1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TNAM ，所以四边形AMNT 为平行四边形， 于是MN ∥AT . 因为AT平面PAB ，MN平面PAB ，所以MN ∥平面PAB .(2)因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点， 所以N 到平面ABCD 的距离为12PA .如图，取BC 的中点E ，连接AE . 由AB ＝AC ＝3得，AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5， 故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N BCM 的体积V N BCM ＝13×S △BCM ×PA 2＝453.几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用，注意分割与组合的合理应用；关注展开与折叠问题．3．如图，在四棱锥P ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.(1)证明：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)若PA ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积．[解] (1)证明：由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°， 得AB ⊥AP ，CD ⊥PD .由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，因为AP ∩PD ＝P ，AP 平面PAD ，PD平面PAD ，从而AB ⊥平面PAD . 又AB平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .(2)如图，在平面PAD 内作PE ⊥AD ，垂足为E . 由(1)知，AB ⊥平面PAD ，故AB ⊥PE ，AB ⊥AD ， 可得PE ⊥平面ABCD .设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝22x . 故四棱锥P ABCD 的体积V P ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝13x 3.由题设得13x 3＝83，故x ＝2.从而结合已知可得PA ＝PD ＝AB ＝DC ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2.可得四棱锥P ABCD 的侧面积为12PA ·PD ＋12PA ·AB ＋12PD ·DC ＋12BC 2sin 60°＝6＋2 3.平面图形的翻折问题【例4】 如图，在直角梯形ABCP 中，AP ∥BC ，AP ⊥AB ，AB ＝BC ＝12AP ，D 是AP 的中点，E ，F 分别为PD ，PC 的中点，将△PCD 沿CD 折起得到四棱锥P ABCD .(1)G 为线段BC 上任一点，求证：平面EFG ⊥平面PAD ； (2)当G 为BC 的中点时，求证：AP ∥平面EFG . 思路探究：(1)转化为证EF ⊥平面PAD ； (2)转化为证平面PAB ∥平面EFG . [证明] (1)在直角梯形ABCP 中， ∵BC ∥AP ，BC ＝12AP ，D 为AP 的中点．∴BCAD ，又AB ⊥AP ，AB ＝BC ，∴四边形ABCD 为正方形， ∴CD ⊥AP ，CD ⊥AD ，CD ⊥PD .在四棱锥P ABCD 中，∵E ，F 分别为PD ，PC 的中点， ∴EF ∥CD ，EF ⊥AD ，EF ⊥PD . 又PD ∩AD ＝D ，PD 平面PAD ，AD平面PAD .∴EF ⊥平面PAD . 又EF平面EFG ，∴平面EFG ⊥平面PAD .(2)法一：∵G ，F 分别为BC 和PC 的中点，∴GF ∥BP . ∵GF平面PAB ，BP平面PAB ，∴GF ∥平面PAB .由(1)知，EF ∥DC ，∵AB ∥DC ，∴EF ∥AB . ∵EF平面PAB ，AB平面PAB ，∴EF ∥平面PAB .∵EF ∩GF ＝F ，EF 平面EFG ，GF平面EFG .∴平面EFG ∥平面PAB .∵PA 平面PAB ，∴PA ∥平面EFG .法二：取AD 中点H (略)，连结GH ，HE .由(1)知四边形ABCD 为平行四边形． 又G ，H 分别为BC ，AD 的中点，∴GH ∥CD . 由(1)知，EF ∥CD ，∴EF ∥GH . ∴四点E ，F ，G ，H 共面．∵E ，H 分别为PD ，AD 的中点，∴EH ∥PA . ∵PA平面EFGH ，EH平面EFGH .∴PA ∥平面EFGH ，即PA ∥平面EFG .空间几何中的翻折问题是几何证明，求值问题中的重点和难点，在高考中经常考查． (1)解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形．4．如图(1)所示，在直角梯形ABEF 中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形DCEF 沿CD 折起，使平面DCEF ⊥平面ABCD ，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图(2)所示．(1) (2)(1)求证：BE ∥平面ADF ； (2)求三棱锥F BCE 的体积．[解] (1)证明：法一：取DF 的中点G ，连结AG ，EG ，∵CE ＝12DF ，∴EG CD .又∵AB CD ，∴EGAB ，∴四边形ABEG 为平行四边形， ∴BE ∥AG .∵BE 平面ADF ，AG 平面ADF ， ∴BE ∥平面ADF .法二：由图(1)可知BC ∥AD ，CE ∥DF ，折叠之后平行关系不变． ∵BC 平面ADF ，AD 平面ADF ， ∴BC ∥平面ADF . 同理CE ∥平面ADF .∵BC ∩CE ＝C ，BC ，CE 平面BCE ， ∴平面BCE ∥平面ADF .∵BE 平面BCE ，∴BE ∥平面ADF .(2)法一：∵V F BCE ＝V B CEF ，由图(1)可知BC ⊥CD .∵平面DCEF ⊥平面ABCD ，平面DCEF ∩平面ABCD ＝CD ，BC 平面ABCD ，∴BC ⊥平面DCEF . 由图(1)可知DC ＝CE ＝1，S △CEF ＝12CE ×DC ＝12，∴V F BCE ＝V B CEF ＝13×BC ×S △CEF ＝16.法二：由图(1)，可知CD ⊥BC ，CD ⊥CE ， ∵BC ∩CE ＝C ，∴CD ⊥平面BCE .∵DF ∥CE ，点F 到平面BCE 的距离等于点D 到平面BCE 的距离为1，由图(1)，可知BC ＝CE ＝1，S △BCE ＝12BC ×CE ＝12，∴V F BCE ＝13×CD ×S △BCE ＝16.法三：过E 作EH ⊥FC ，垂足为H ，如图所示，由图(1)，可知BC ⊥CD ，∵平面DCEF ⊥平面ABCD ，平面DCEF ∩平面ABCD ＝CD ，BC 平面ABCD ，∴BC ⊥平面DCEF .∵EH 平面DCEF ，∴BC ⊥EH ， ∴EH ⊥平面BCF .由BC ⊥FC ，FC ＝DC 2＋DF 2＝5， S △BCF ＝12BC ×CF ＝52，在△CEF 中，由等面积法可得EH ＝15，∴V F BCE ＝V E BCF ＝13×EH ×S △BCF ＝16.。
高中数学 第一章 立体几何初步章末复习课学案 苏教版必修2-苏教版高一必修2数学学案
第一章 立体几何初步学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练画出几何体的直观图，能熟练地计算空间几何体的表面积和体积，体会通过展开图、截面化空间为平面的方法.1.四个公理公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是__________________.公理3：经过________________________的三点，有且只有一个平面. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相________. 2.直线与直线的位置关系⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧， ，异面直线：不同在 一个平面内，没有公共点.3.平行的判定与性质 (1)线面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件结论a ∥αb ∥α a ∩α＝∅ a ∥b判定性质定义定理图形条件α∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥b a∥α(3)空间中的平行关系的内在联系4.垂直的判定与性质(1)线面垂直的判定与性质图形条件结论判定a⊥b，b⊂α(b为α内的____直线)a⊥αa⊥m，a⊥n，m、n⊂α，________a⊥αa∥b，______ b⊥α性质a⊥α，______a⊥ba⊥α，b⊥α(2)面面垂直的判定与性质文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条______，那么这两个平面互相垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相______，那么在一个平面内垂直于它们______的直线垂直于另一个平面⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βα∩β＝al⊂βl⊥a⇒l⊥α(3)空间中的垂直关系的内在联系5.空间角(1)异面直线所成的角①定义：设a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的______________叫做异面直线a，b所成的角.②范围：设两异面直线所成的角为θ，则0°<θ≤90°.(2)直线和平面所成的角①平面的一条斜线与它在这个________________所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角.②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角.(3)二面角的有关概念①二面角：一般地，一条直线和由这条直线出发的______________所组成的图形叫做二面角.②二面角的平面角：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作______________的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.6.几何体的侧面积和体积的有关计算柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式面积体积圆柱S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrl V＝13Sh＝13πr2h ＝13πr2l2－r2圆台S 侧＝π(r 1＋r 2)l V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h＝13π(r 21＋r 22＋r 1r 2)h 直棱柱 S 侧＝ch V ＝Sh 正棱锥S 侧＝12ch ′ V ＝13Sh 正棱台S 侧＝12(c ＋c ′)h ′V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h 球S 球面＝4πR 2V ＝43πR 3类型一 空间中的平行关系例1 如图，E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1的中点，求证：(1)GE ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .反思与感悟 (1)判断线面平行的两种常用方法 ①利用线面平行的判定定理.②利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面. (2)判断面面平行的常用方法 ①利用面面平行的判定定理.②面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ).③利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β).跟踪训练1 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.类型二空间中的垂直关系例2 如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC＝AA1.求证：(1)平面ACC1A1⊥平面B1C1CB；(2)BC1⊥AB1.反思与感悟空间垂直关系的判定方法(1)判定线线垂直的方法①计算所成的角为90°(包括平面角和异面直线所成的角).②线面垂直的性质(若a⊥α，b⊂α，则a⊥b).(2)判定线面垂直的方法①线面垂直定义(一般不易验证任意性).②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α).③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α).④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α).⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β).⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ).(3)面面垂直的判定方法①根据定义(作两平面构成二面角的平面角，计算其为90°).②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).跟踪训练2 如图，A，B，C，D为空间四点.在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等边△ADB 以AB为轴运动.(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论.类型三平行与垂直的综合应用例3 如图，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求证：DC⊥平面PAC；(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由.反思与感悟平行、垂直也可以相互转化，如图.跟踪训练3 在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点.求证：GH∥平面ABC.类型四空间几何体的表面积与体积例4 如图，从底面半径为2a，高为3a的圆柱中，挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2之比.反思与感悟空间几何体的体积与表面积的计算方法(1)等积变换法：三棱锥也称为四面体，它的每一个面都可作底面来处理，恰当地进行换底等积变换便于问题的求解.(2)割补法：像求平面图形的面积一样，割补法是求几何体体积的一个重要方法，“割”就是将几何体分割成几个熟悉的柱、锥、台体或它们的组合体；“补”就是通过补形，使它转化为熟悉的几何体.总之，割补法的核心思想是将不熟悉的几何体转化为熟悉的几何体来解决.(3)展开法：把简单几何体沿一条侧棱或母线展开成平面图形，这样便把空间问题转化为平面问题，可以有效地解决简单空间几何体的表面积问题或侧面上(球除外)两点间的距离问题. (4)构造法：当探究某些几何体性质较困难时，我们可以将它放置在我们熟悉的几何体中，如正方体等这些对称性比较好的几何体，以此来研究所求几何体的性质.跟踪训练4 如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求三棱锥A 1－AB 1D 1的高.1.如图，AE ⊥平面α，垂足为点E ，BF ⊥平面α，垂足为点F ，l ⊂α，C ，D ∈α，AC ⊥l ，则当BD 与l ________时，平面ACE ∥平面BFD .2.已知平面α∥β∥γ，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和D ，E ，F ，已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝________.3.设m ，n ，l 是三条不同的直线，α是一个平面，l ⊥m ，则下列说法正确的是________.(填序号)①若m ⊄α，l ⊥α，则m ∥α； ②若l ⊥n ，则m ⊥n ； ③若l ⊥n ，则m ∥n ； ④若m ∥n ，n ⊂α，则l ⊥α.4.已知圆锥的母线长为10 cm ，侧面积为60π cm 2，则此圆锥的体积为________cm 3.5.如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的圆O上，点E为线段PB的中点，点M在AB 上，且OM∥AC.求证：(1)平面MOE∥平面PAC；(2)平面PAC⊥平面PCB.1.空间中平行关系的转化2.空间中垂直关系的转化3.空间角的求法(1)找异面直线所成角的三种方法①利用图中已有的平行线平移.②利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移.③补形平移.(2)线面角：求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形.答案精析知识梳理1．两点 经过这个公共点的一条直线 不在同一条直线上 平行 2．平行 相交 任何3．(1)a ∩α＝∅ a ⊂α，b ⊄α，a ∥b a ∥α a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b(2)α∩β＝∅ a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b 4．(1)任意 m ∩n ＝O a ⊥α b ⊂α a ∥b (2)垂线 垂直 交线5．(1)①锐角(或直角) (2)①平面内的射影 (3)①两个半平面 ②垂直于棱 题型探究例1 证明 (1)如图，取B 1D 1的中点O ，连结GO ，OB ，易证OG 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，∴OG 綊BE ，∴四边形BEGO 为平行四边形， ∴OB ∥GE .又∵OB ⊂平面BDD 1B 1，GE ⊄平面BDD 1B 1，∴GE ∥平面BDD 1B 1.(2)由正方体性质得B 1D 1∥BD ， ∵B 1D 1⊄平面BDF ，BD ⊂平面BDF ， ∴B 1D 1∥平面BDF . 连结HB ，D 1F ，易证HBFD 1是平行四边形，∴HD 1∥BF .又∵HD 1⊄平面BDF ，BF ⊂平面BDF ，∴HD 1∥平面BDF .∵B 1D 1∩HD 1＝D 1，∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .跟踪训练1解 当点F 是PB 的中点时，平面AFC ∥平面PMD .证明如下：如图，连结BD ，和AC 交于点O ，连结FO .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴O 是BD 的中点．∴OF ∥PD .又OF ⊄平面PMD ，PD ⊂平面PMD ，∴OF ∥平面PMD .又MA 綊12PB ， ∴PF 綊MA .∴四边形AFPM 是平行四边形，∴AF ∥PM .又AF ⊄平面PMD ，PM ⊂平面PMD ，∴AF ∥平面PMD .又AF ∩OF ＝F ，AF ⊂平面AFC ，OF ⊂平面AFC ，∴平面AFC ∥平面PMD .例2 证明 (1)设BC 的中点为M ，连结B 1M .∵点B1在底面ABC上的射影恰好是点M，∴B1M⊥平面ABC.∵AC⊂平面ABC，∴B1M⊥AC.又∵BC⊥AC，B1M∩BC＝M，∴AC⊥平面B1C1CB.又∵AC⊂平面ACC1A1，∴平面ACC1A1⊥平面B1C1CB.(2)连结B1C.∵AC⊥平面B1C1CB，∴AC⊥BC1.在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∵BC＝AA1＝CC1.∴四边形B1C1CB是菱形，∴B1C⊥BC1.又∵B1C∩AC＝C，∴BC1⊥平面ACB1，∴BC1⊥AB1.跟踪训练2 解 (1)如图，取AB的中点E，连结DE，CE，因为△ADB是等边三角形，所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时，因为平面ADB∩平面ABC＝AB，所以DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.由已知可得DE＝3，EC＝1，在Rt△DEC中，CD＝DE2＋EC2＝2.(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下：①当D在平面ABC内时，因为AC＝BC，AD＝BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又因为AC＝BC，所以AB⊥CE.又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE，由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.例3 (1)证明∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，∴DC⊥平面PAC.(2)证明∵AB∥CD，CD⊥平面PAC，∴AB⊥平面PAC，AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAC.(3)解棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.证明如下：取PB的中点F，连结EF，CE，CF，∵E为AB的中点，∴EF为△PAB的中位线，∴EF∥PA.又PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，∴PA∥平面CEF.跟踪训练3 证明(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF，如图，连结DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.(2)设FC的中点为I，连结GI，HI.在△CEF 中，因为G 是CE 的中点，所以GI ∥EF .又EF ∥DB ，所以GI ∥DB .在△CFB 中，因为H 是FB 的中点，所以HI ∥BC .又HI ∩GI ＝I ，所以平面GHI ∥平面ABC ，因为GH ⊂平面GHI ，所以GH ∥平面ABC .例4 解 由题意知，S 1＝2π×2a ×3a ＋2π×(2a )2＝(43＋8)πa 2， S 2＝S 1＋πa3a 2＋a 2－πa 2 ＝(43＋9)πa 2，∴S 1∶S 2＝(43＋8)∶(43＋9)． 跟踪训练4 解 设三棱锥A 1－AB 1D 1的高为h ，则VA 1－AB 1D 1＝13h ×34×(2a )2 ＝3a 2h 6. 又VA 1－AB 1D 1＝VB 1－AA 1D 1＝13a ×12a 2＝a 36， 所以3a 2h 6＝a 36，所以h ＝33a . 所以三棱锥A 1－AB 1D 1的高为33a . 当堂训练1．垂直 2.15 3.① 4.96π5．证明 (1)因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点，所以OE ∥PA . 因为PA ⊂平面PAC ，OE ⊄平面PAC ，所以OE ∥平面PAC .因为OM∥AC，又AC⊂平面PAC，OM⊄平面PAC，所以OM∥平面PAC.因为OE⊂平面MOE，OM⊂平面MOE，OE∩OM＝O，所以平面MOE∥平面PAC.(2)因为点C在以AB为直径的圆O上，所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC.因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC. 因为AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.因为BC⊂平面PCB，所以平面PAC⊥平面PCB.。
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1.1.1 第1课时棱柱、棱锥、棱台
学习目标：1.认识棱柱、棱锥和棱台的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；
2.了解棱柱、棱锥和棱台的概念；
3.初步培养学生的空间想象能力和抽象括能力．
学习重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出棱柱、棱锥和棱台的结构特征．
学习难点：棱柱、棱锥和棱台的结构特征的概括．
学习过程：
一、课前准备：自学课本P4～7
1.基本概念：
①棱柱：由的空间几何体叫
做棱柱．叫做棱柱的底面，
叫做棱柱的侧面．
棱柱的特点：两个底面是，且，侧面都是．
②棱锥：当时，得到的几何体叫做棱锥．
棱锥的特点：底面是，侧面是．
③棱台：用，另
一个叫做棱台．即．
棱台的特点：两个底面是，侧面是，侧棱．
④多面体：由的几何体叫做多面体．
2.由平面六边形沿某一方向平移形成的空间几何体是．
3.下列说法中，正确的有．
①棱柱的侧面可以是三角形②正方体的各条棱都相等
③棱柱的各条侧棱都相等④正方体和长方体都是特殊的四棱柱
⑤用一个平面去截一个长方体, 截面一定是长方形
4.已知一长方体，根据图中三种状态所显示的数字，可推出“？”处的数字是．
5.有两个面互相平行, 其余各面都是梯形的多面体是．
①棱柱②棱锥③棱台④可能是棱台, 一定不是棱柱或棱锥
6.构成多面体的面最少是个，该多面体称为或．
二、合作探究：
例1.棱柱的特点是：⑴两个底面是全等的多边形，⑵多边形的对应边互相平行，⑶棱柱的侧面都是平行四边形．反过来，若一个几何体具备上述三点，能构成棱柱吗？或者说，上面三点能作为棱柱的定义吗？
例2.三棱柱有个面，个顶点，条棱，可以称为五面体；还有其他五面体吗？
试举一些六面体．
例3.仿照教材讲解，画一个三棱柱、四棱台和五棱锥，并归纳作图方法、步骤．
例4.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm，一只蚂蚁从A到C1点，沿着表面爬行的最短距离是多少？
变式训练：四面体P-ABC中，PA=PB=PC=2，∠APB=∠BPC=∠APC=30°，一只蚂蚁从A点出发沿四面体的表面绕一周，再回到A点，蚂蚁经过的最短路程是多少？
三、课堂练习：课本第8页练习第1、2、3题．
四、回顾小结：1.本节课学习了棱柱、棱锥和棱台的概念和画法；
2.棱柱、棱锥和棱台有怎样的关系？
3.空间图形中，实线和虚线分别表示什么？作辅助线时，要注意什么？
五、课外作业：课本P16习题1.1：第1题课课练
六、自我测试：
1.设计一个平面图形，使它能够折成一个侧面与底面都是正三角形的三棱锥(正四面体)．
2.下列命题正确吗？为什么？
①有两个面互相平行，其他各面都是梯形的多面体是棱台；
②棱锥的侧棱长与底面边长相等，则该棱锥可能是六棱锥；
③各个面都是三角形的几何体是三棱锥；
④用一个平面去截棱锥，得到一个棱锥和一个棱台．
§1.1.2 第2课时圆柱、圆锥、圆台和球
学习目标：1.初步理解圆柱、圆锥、圆台和球的概念，掌握它们的生成规律；
2.了解圆柱、圆锥、圆台和球中一些常用名称的含义；
3.了解一些复杂几何体的组成情况，初步学会用类比的思想分析和解决问题．学习重点：圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征．
学习难点：圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征的概括．
学习过程：
一、课前准备：自学课本P8～10
1.基本概念：
①圆柱：将，形成的几何体叫做圆柱．
圆柱的特点：两底面是，轴截面是，母线．
②圆锥：将，形成的几何体叫做圆柱．
圆锥的特点：底面是，轴截面是，母线．
③圆台：将，形成的几何体叫做圆柱．
圆台的特点：两底面是，轴截面是，母线．
④球面：形成的曲面叫做球面．
的几何体叫做球体(球)．
⑤旋转面：叫做旋转面．
旋转体：叫做旋转体．
⑥轴、底面、侧面、母线…
2.圆柱的侧面展开图是，圆锥的侧面展开图是，圆台的侧面展开图是．
3.将直角三角形绕它的一边旋转一周，形成的几何体一定是圆锥吗？直角梯形绕它的一
条腰旋转一周，形成的几何体一定是是圆台吗？为什么？
4.一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，下面的几个截面图中，必定错误的是
．
A． B． C． D．
二、合作探究：
例1.圆的定义为：；
请你把它改写为球面的定义：；
你能说出圆面、球体的定义吗？
例2.下列命题正确吗？为什么？
①圆柱两底面圆周上任意两点的连线是圆柱的母线；②圆台的任意两条母线必相交；
③圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形；④与圆锥的轴平行的截面是等腰三角形；
⑤圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线．
例3.边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面, 求从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离．
例4.用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1 : 4，截去的小圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长．
三、课堂练习：课本第10页练习第1～4题．
四、回顾小结：1.圆柱、圆锥和圆台有怎样的关系？
2.在解决圆台的问题时，常将圆台转化为圆锥的问题，即化台为锥；
3.从轴截面中，可以得到旋转体所有信息．
五、课外作业：课本P16习题1.1：第2题课课练
六、自我测试：
1.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是．
A．圆锥 B．圆柱 C．球体 D．以上都可能
2.图⑴是由哪个平面图形旋转得到的．
2，∠C=90°，以直线AC为轴将△ABC旋转3.在直角三角形ABC中，已知AC=2，BC=3
一周得到一个圆锥，求经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值.。