最新(人教版)高中数学必修五教案全集名师优秀教案

(人教版)高中数学必修五教案全集通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦

定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜

三角形的两类基本问题。

让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊

到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运

算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三

角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间

的普遍联系与辩证统一。

重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：

abc，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关,,ABCsinsinsin

系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现

向量知识的简捷，新颖。

教学用具：直尺、投影仪、计算器

如图1．1-1，固定

ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点,，C转动。 A

思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？，

显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否，

3

用一个等式把这种关系精确地表示出来？ (图1．1-1)

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角

三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设,

aBC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，A,sincbc，又, A BC,sinsin1,,cc

abc则 b c,,,ABCsinsinsin

c

abc从而在直角三角形ABC中， C a ,,ABCsinsinsin

B

(图1．1-2)

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

（由学生讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当

ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据,

ab任意角三角函数的定义，有CD=,则， aBbAsinsin,,ABsinsin

C

cb同理可得， b ,CBsinsin

a

abc从而 A ,,ABCsinsinsin

c B

4

(图1．1-3)

思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而

可以考虑用向量来研究这个问题。

（证法二）：过点A作jAC,， C

由向量的加法可得 ABACCB,，

则 jABjACCB,,,，() A

B

?jABjACjCB,,,，,j

00 jABAjCBCcos900cos90,,，,，，，，

ac?,，即 cAaCsinsin,sinsinAC

bc同理，过点C作jBC,,，可得 sinsinBC

abc从而 ,,ABCsinsinsin

类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学,

生课后自己推导）

从上面的研探过程，可得以下定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，

即

abc,,ABCsinsinsin（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比

例系数为同一正数，即存在正数k使，，； akA,sinbkB,sinckC,sin

5

abcabcbac（2）等价于，， ,,,,,ABCABCBACsinsinsinsinsinsinsinsinsin 从而知正弦定理的基本作用为：

bAsin?已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如； a,sinB

?已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，

a如。 ABsinsin,b

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作

。

例1．在00中，已知，，cm，解三角形。 A,32.0B,81.8,ABCa,42.9

解：根据三角形内角和定理，

0CAB,,，180()

000 ,,，180(32.081.8)

0 ； ,66.2

根据正弦定理，

0aBsin42.9sin81.8； bcm,,,80.1()0sinAsin32.0

根据正弦定理，

0aCsin42.9sin66.2 ccm,,,74.1().0sinAsin32.0

评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

0例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角A,40,ABCa,20b,28

0度精确到，边长精确到1cm）。 1

6

解：根据正弦定理，

0bAsin28sin40 sin0.8999.B,,,a20

0000因为＜＜，所以，或 0180B,64B,116.B

0? 当时， B,64

00000 CAB,,，,,，,180()180(4064)76，

0aCsin20sin76 ccm,,,30().0sinAsin40

0? 当时， B,116

00000 CAB,,，,,，,180()180(40116)24，

0aCsin20sin24 ccm,,,13().0sinAsin40

评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两

解的情形。

第5页练习第1（1）、2（1）题。

例3．已知abc，，0,60a,3ABC中，A，,求 ,，ABC，，sinsinsin

abc分析：可通过设一参数k(k>0)使, k,,,ABCsinsinsin

abcabc，，证明出 ,,,ABCABC，，sinsinsinsinsinsin

abc解：设 kk,,,(>o)ABCsinsinsin

则有，， akA,sinbkB,sinckC,sin

abc，，kAkBkCsinsinsin，，从而== kABC，，sinsinsinABC，，sinsinsin 3aabc，，又，所以=2 ,,2k,0AABC，，sinsinsinsinsin60

评述：在ABC中，等式,abcabc，， ,,kk,,,0，，ABCABC，，sinsinsinsinsinsin

恒成立。

7

已知ABC中，，求 ,sin:sin:sin1:2:3ABC,abc::

（答案：1：2：3）

（由学生归纳总结）