〔高中数学〕三角函数PPT课件 (14)
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任意角和弧度制
1.对任意角概念的理解 (1)角的分类： 任意角可按旋转方向分为正角、负角和零角.
(2)象限角和终边相同的角 正确理解象限角、锐角、钝角、小于90°的角等概念，注意 各自特点，会根据其终边位置表示这些角. (3)理解弧度的概念，正确利用π rad=180°进行度与弧度的 互化.
怎样平移和伸缩变换得到的．
【审题指导】(1)五点法画函数图像的关键是 1 x 整 体取
26
0, ,π, ,23 π .
2
2
(2)平移变换要遵循“左加右减，上加下减”，伸缩变换要依
据周期变换和振幅变换确定.
【规范解答】(1)先列表，后描点并画图．
(2)方法一：把y=sinx的图像上所有的点向左平移 个单位长
2.弧长公式、扇形面积公式
记准弧度数计算公式 l 和扇形面积公式 s 1 l r ，
r
2
很容易推出弧长公式l=|α|r和扇形面积公式 s 1 r 2 .
2
在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混
用.
【例1】(1)把 1 1 表示成2kπ+θ(k∈Z)的形式，使|θ|最
4
小的θ值是( )
(A) 3
4
(B)
4
(C) (D) 3
4
4
(2)已知角α的终边与角-330°的终边关于原点对称，则其中
Fra Baidu bibliotek
绝对值最小的角α是_______.
【审题指导】(1)解答的关键是判断出θ与 1 终1 边相同.
4
(2)若角α，β的终边关于原点对称则其终边互为反向延长
线，因此α+180°与角β终边相同.
6
则
f
(
17) 6
tan(
1 17)
1 tan(3
)
6
6
1 tan
1 3
3.
63
三角函数的图像 对三角函数的图像的几点认识
本章在必修一学习基本初等函数图像画法的基础上,进一 步学习了三角函数图像的画法，完善了函数图像的画法理论， 主要包括以下内容.
(1)描点法.用列表、描点、连线的方式研究未知函数的图像 特征. (2)利用性质画简图,对于熟悉的函数可直接根据特殊点、线 画简图.如“五点法”“三点二线法”等. (3)图像变换法，利用已知函数与未知函数解析式之间的关系， 用平移、伸缩、对称变换画图.
图像的平移变换极易出错，解答时一方面要注意平移 方向，另一方面要根据自变量本身的变化量确定平移量.
【例5】已知函数 fxsin(1x)
26
(1)利用“五点法”画出函数y=f(x)在长度为一个周期的闭区
间的简图；(要求列出表格)
(2)说明函数y=f(x)的图像可由函数y=sinx(x∈R)的图像经过
中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合， 终边经过点P(x,y)且0≤θ≤π,若点P的坐标为( 1 , 3 ) ,求f(θ)
22
的值.
【审题指导】根据任意角的三角函数的定义,只要求出角θ终边
与单位圆交点的坐标,就可以求出sinθ,cosθ.
【规范解答】由点P的坐标和三角函数的定义可得
【规范解答】(1)选A.由已知得θ与 1终1 边相同
4
所以 2k(k1∈1Z)
4
当k=0时θ= 1 1 ；当k=1时θ= 3
4
4
当k=2时θ=5
4
∴使|θ|最小的θ值是 3
4
(2)∵角α的终边与角-330°的终边关于原点对称 且-330°+180°=-150° ∴角α的终边与角-150°的终边相同 ∴α=k×360°-150°,k∈Z 当k=0时α=-150°；当k=1时α=210° ∴绝对值最小的角α是-150° 答案：-150°
【例2】已知扇形的圆心角为 ，它所对的弦长等于2，求
3
扇形的弧长和扇形的面积.
【审题指导】解答本题的关键是根据平面图形的性质求出扇
形的半径长.
【规范解答】∵扇形的圆心角|θ|=
3
∴扇形半径和弦构成等边三角形
∴扇形的半径r=2∴扇形的弧长l= 2 2
3
3
∴扇形的面积 s1.22 2
23
6
度，得到 y sin(x的图)像，再把所得图像的横坐标伸长到
6
原来的2倍(纵坐标不变)，得到 ysin(1的x图像) .
26
方法二：把y=sinx的图像横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不
变)，得到 y sin的1 图x 像．再把所得图像上所有的点向左平
2
移 个单位长度，得到
3
ysin1，(x即)
3
任意角的三角函数的概念
1.对任意角的三角函数概念的理解 (1)任意角的正弦、余弦、正切函数由角的终边位置唯一确定. (2)了解三角函数线，从几何角度理解三角函数的定义. (3)根据三角函数的定义推出并熟记以下知识 三角函数值在各象限内的符号；三角函数的定义域；特殊角 的三角函数值.
【例3】(2011·福建高考改编)设函数 f3sincos,其
23
y的s图in(1x)
26
像．
三角函数的性质
1.求定义域的方法 求定义域往往要解三角不等式，解三角不等式的一般方法为 图像法和三角函数线法
2.求三角函数的单调区间
求 fxA sin( x )的单调区间时，首先要看A，ω是否为
【规范解答】f 2 sin 2 s in 2 c o s sin ( c o s )
2sin cos cos
2sin 2 sin
2sin cos cos 2sin 2 sin
2sin 2sin
1 cos 1sin
1 tan
若 1，7
诱导公式的应用过程中，往往会由于角终边位置的确 定错误而导致符号错误，要特别注意.
【例4】设 f 2 sin 2 s in 2 c o s sin ( c o s ) ，
若 17 ，求f(α)的值；
6
【审题指导】解答本题的关键是利用诱导公式和因式分解的
方法化简求值.
s i n
3 2
c
o
s
1 2
于是 f 3 sin co s . 3312
22
正弦、余弦、正切函数的诱导公式 对正弦、余弦、正切函数的诱导公式的理解
和应用 (1)理解方法：借助单位圆，根据角终边的对称性和三角函数 的定义理解. (2)记忆方法：奇变偶不变，符号看象限
(3)应用方法：用诱导公式一方面可化任意角为0°～90°的 角，另一方面可实现正弦与余弦之间的互化.因此在应用诱导 公式时，要根据题目的要求恰当选择公式.
1.对任意角概念的理解 (1)角的分类： 任意角可按旋转方向分为正角、负角和零角.
(2)象限角和终边相同的角 正确理解象限角、锐角、钝角、小于90°的角等概念，注意 各自特点，会根据其终边位置表示这些角. (3)理解弧度的概念，正确利用π rad=180°进行度与弧度的 互化.
怎样平移和伸缩变换得到的．
【审题指导】(1)五点法画函数图像的关键是 1 x 整 体取
26
0, ,π, ,23 π .
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2
(2)平移变换要遵循“左加右减，上加下减”，伸缩变换要依
据周期变换和振幅变换确定.
【规范解答】(1)先列表，后描点并画图．
(2)方法一：把y=sinx的图像上所有的点向左平移 个单位长
2.弧长公式、扇形面积公式
记准弧度数计算公式 l 和扇形面积公式 s 1 l r ，
r
2
很容易推出弧长公式l=|α|r和扇形面积公式 s 1 r 2 .
2
在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混
用.
【例1】(1)把 1 1 表示成2kπ+θ(k∈Z)的形式，使|θ|最
4
小的θ值是( )
(A) 3
4
(B)
4
(C) (D) 3
4
4
(2)已知角α的终边与角-330°的终边关于原点对称，则其中
Fra Baidu bibliotek
绝对值最小的角α是_______.
【审题指导】(1)解答的关键是判断出θ与 1 终1 边相同.
4
(2)若角α，β的终边关于原点对称则其终边互为反向延长
线，因此α+180°与角β终边相同.
6
则
f
(
17) 6
tan(
1 17)
1 tan(3
)
6
6
1 tan
1 3
3.
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三角函数的图像 对三角函数的图像的几点认识
本章在必修一学习基本初等函数图像画法的基础上,进一 步学习了三角函数图像的画法，完善了函数图像的画法理论， 主要包括以下内容.
(1)描点法.用列表、描点、连线的方式研究未知函数的图像 特征. (2)利用性质画简图,对于熟悉的函数可直接根据特殊点、线 画简图.如“五点法”“三点二线法”等. (3)图像变换法，利用已知函数与未知函数解析式之间的关系， 用平移、伸缩、对称变换画图.
图像的平移变换极易出错，解答时一方面要注意平移 方向，另一方面要根据自变量本身的变化量确定平移量.
【例5】已知函数 fxsin(1x)
26
(1)利用“五点法”画出函数y=f(x)在长度为一个周期的闭区
间的简图；(要求列出表格)
(2)说明函数y=f(x)的图像可由函数y=sinx(x∈R)的图像经过
中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合， 终边经过点P(x,y)且0≤θ≤π,若点P的坐标为( 1 , 3 ) ,求f(θ)
22
的值.
【审题指导】根据任意角的三角函数的定义,只要求出角θ终边
与单位圆交点的坐标,就可以求出sinθ,cosθ.
【规范解答】由点P的坐标和三角函数的定义可得
【规范解答】(1)选A.由已知得θ与 1终1 边相同
4
所以 2k(k1∈1Z)
4
当k=0时θ= 1 1 ；当k=1时θ= 3
4
4
当k=2时θ=5
4
∴使|θ|最小的θ值是 3
4
(2)∵角α的终边与角-330°的终边关于原点对称 且-330°+180°=-150° ∴角α的终边与角-150°的终边相同 ∴α=k×360°-150°,k∈Z 当k=0时α=-150°；当k=1时α=210° ∴绝对值最小的角α是-150° 答案：-150°
【例2】已知扇形的圆心角为 ，它所对的弦长等于2，求
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扇形的弧长和扇形的面积.
【审题指导】解答本题的关键是根据平面图形的性质求出扇
形的半径长.
【规范解答】∵扇形的圆心角|θ|=
3
∴扇形半径和弦构成等边三角形
∴扇形的半径r=2∴扇形的弧长l= 2 2
3
3
∴扇形的面积 s1.22 2
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度，得到 y sin(x的图)像，再把所得图像的横坐标伸长到
6
原来的2倍(纵坐标不变)，得到 ysin(1的x图像) .
26
方法二：把y=sinx的图像横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不
变)，得到 y sin的1 图x 像．再把所得图像上所有的点向左平
2
移 个单位长度，得到
3
ysin1，(x即)
3
任意角的三角函数的概念
1.对任意角的三角函数概念的理解 (1)任意角的正弦、余弦、正切函数由角的终边位置唯一确定. (2)了解三角函数线，从几何角度理解三角函数的定义. (3)根据三角函数的定义推出并熟记以下知识 三角函数值在各象限内的符号；三角函数的定义域；特殊角 的三角函数值.
【例3】(2011·福建高考改编)设函数 f3sincos,其
23
y的s图in(1x)
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像．
三角函数的性质
1.求定义域的方法 求定义域往往要解三角不等式，解三角不等式的一般方法为 图像法和三角函数线法
2.求三角函数的单调区间
求 fxA sin( x )的单调区间时，首先要看A，ω是否为
【规范解答】f 2 sin 2 s in 2 c o s sin ( c o s )
2sin cos cos
2sin 2 sin
2sin cos cos 2sin 2 sin
2sin 2sin
1 cos 1sin
1 tan
若 1，7
诱导公式的应用过程中，往往会由于角终边位置的确 定错误而导致符号错误，要特别注意.
【例4】设 f 2 sin 2 s in 2 c o s sin ( c o s ) ，
若 17 ，求f(α)的值；
6
【审题指导】解答本题的关键是利用诱导公式和因式分解的
方法化简求值.
s i n
3 2
c
o
s
1 2
于是 f 3 sin co s . 3312
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正弦、余弦、正切函数的诱导公式 对正弦、余弦、正切函数的诱导公式的理解
和应用 (1)理解方法：借助单位圆，根据角终边的对称性和三角函数 的定义理解. (2)记忆方法：奇变偶不变，符号看象限
(3)应用方法：用诱导公式一方面可化任意角为0°～90°的 角，另一方面可实现正弦与余弦之间的互化.因此在应用诱导 公式时，要根据题目的要求恰当选择公式.