变化率和导数(三个课时教案)

第一章导数及其应用

第一课时：变化率问题

教学目标：

1．理解平均变化率的概念；

2．了解平均变化率的几何意义；

3．会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；

教学难点：平均变化率的概念．

教学过程：

一．创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;

二、求曲线的切线;

三、求已知函数的最大值与最小值;

四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．

二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?

⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33

4)(r r V π=

⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(π

V V r =

分析:

3

43)(π

V V r =，

⑴当V 从0增加到1时,气球半径增加了

)(62.0)0()1(dm r r ≈-

气球的平均膨胀率为

)/(62.00

1)

0()1(L dm r r ≈-- ⑵当V 从1增加到2时,气球半径增加了

)(16.0)1()2(dm r r ≈-

气球的平均膨胀率为)/(16.01

2)1()2(L dm r r ≈--

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?

1

212)

()(V V V r V r --

问题2 高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速

v 度粗略地描述其运动状态?

思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.40

5.0)0()5.0(s m h h v =--=；

在21≤≤t 这段时间里，)/(2.81

2)1()2(s m h h v -=--=

探究：计算运动员在49

650≤≤t 这段时间里的平均速度，并

思考以下问题：

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()49

65(h h =，

所以)/(0049

65)

0()49

65

(

m s h h v =--=， 虽然运动员在49

650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但

实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （二）平均变化率概念:

1．上述问题中的变化率可用式子

1

212)

()(x x x f x f --表示, 称

为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率 2．若设12x x x -=∆,

)()(12x f x f y -=∆

(这里x ∆看作是对于x 1

的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(2

1

x f x f y 代替可用+∆) 3． 则平均变化率为=

∆∆x

y x

x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)

()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=

∆∆x

f

直线AB 三．备选例题

44

.043.041.040.01.0,21)(12、、、、的值为（）

时，，则在、已知函数例D C B A y x x x x f y ∆=∆=+==例2、已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆x

y ．

解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，

∴x x

x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=

∆∆32

)1()1(2

四．课堂练习

1．质点运动规律为32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平

-x 1

均速度为 ． 五．回顾总结 1．平均变化率的概念

2．函数在某点处附近的平均变化率 六．布置作业

上的平均变化率

在区间，变式训练，求函数、金榜时平均变化率

值变化率，并求当上的平均的在区间，求，例、金榜]2,2[1222

1

,1],[12)(12120002x x y P x x x x x x x f y P ∆++==∆=∆++==