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拓扑学教案6

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§2-5 连续映射与同胚

一、连续映射

（我们这里先给出映射在点x 处的连续定义）

定义 1 设X 和Y 都是拓扑空间，:f X Y →是一个映射。若x X ∈，且()f x 在Y 中的任意邻域V 的原象1()f V -为x 在X 中的邻域，则称f 为在点x 处连续的映射。 该定义的E 空间上分析见下图，左图是连续情况，右图是间断情况。

★在上述定义中，将“邻域”换成“开集”，意义不变。于是，f 为在点x 处连续的定义可以描述为：

对于包含()f x 的每个开集V ，必存在包含x 的开集U ，使得()f U V ⊂。

这正是本章开始给出的连续性几种定义中的“邻域语言”表述。 它是连续映射的等价定义。

定义 2 若映射:f X Y →在任一点x X ∈都连续，则称f 为X 上的连续映射。 注：映射在某点处连续具有“局部性”，而连续映射具有“整体性”。 定理 1 设映射:f X Y →，下列各条件相互等价 （1）f 是连续映射。

（2）Y 的任一开集在f 下的原象是X 的开集。（此条可做连续映射的定义） （3）Y 的任一闭集在f 下的原象是X 的闭集。

证明：(1)⇒(2)

设f 连续，V 是Y 的开集，设V 的原象1()f V U -=。（下面证U 是开集，即x U ∀∈是内点）

由于x U ∀∈，设V 是()f x 的邻域，根据f 在点x 处连续的定义，则1()f V U -=是x 的邻域（即存在开集x V ，x x V U ∈⊂），则x 是U 的内点。

又由x 的任意性，则int U U =，即U 是开集(即U 全部是由内点组成)。

(2)⇒(3)

f

设F 是Y 的闭集，则C F 是开集。因此，由上述结论（2），有1()C f F -是X 的开集，于是

11()(())C C f F f F --= （由数学分析性质()[()]C C f A f A =） 是闭集。

（注：这里用到分析数学中性质 11()[()]C C f B f B --=） (3)⇒(1)

设V 是()f x 的邻域，且1()U f V -=，而(int )C V 是闭集，由（3），其原象1[(int )]C f V -是闭集。则

11[(int )](int )C C f V f V --= 是开集，且

1(int )x f V U -∈⊂ (注：11(int )()f V f V U --⊂=) 所以，U 是x 的邻域。由定义知，f 在x 处连续。 证毕。

说明：在许多教材中，连续映射的定义都是

“:f X Y →，若Y 的任一开集V 的原象1()U f V -=都是X 的开集。” ●另外，教材中还给出了连续映射的其他等价条件，如

（4）Y 的拓扑的某一子基ϕ的任一成员S 的原象1()f S -都是X 的开集。 （子集ϕ改成基B ，结论也成立）

（5）对于X 的任一子集A ，A 的闭包的象包含于A 的象的闭包，即 ()()f A f A ⊂. 此处不做证明了。

二、连续映射的性质

性质：设X ,Y ,Z 为拓扑空间，如果:f X Y →在x 处连续，:g Y Z →在()f x 处连续，则复合映射:g f X Z →o 在x 处连续。

证明： 对()()(())g f x g f x =o 的任一邻域W ，由于g 在()f x 处连续，则1()g W -是()f x 的邻域；

又由于111(()()()f g W g f W ---=o 是x 的邻域，故性质得证。

三、同胚映射

定义 3 设X ,Y 为拓扑空间，如果:f X Y →为在上的一一映射（单满），并且f 和1f -都是连续的，则称f 是一个同胚映射，或同胚。（与度量空间上的定义是一致的）

当存在X 到Y 的同胚映射，就称X 与Y 同胚。

注：同胚映射中条件“1f -连续”不能忽视，它不能从“一一的满射和连续”推出来。

例 1S 表示复平面上的单位圆周，设

12:[0,1);()i t f S f t e π→=

（提示：cos sin i e i θθθ=+）

则f 是[0,1)到1S 上的一一映射，并且f 连续，但是1f -不连续。

比如，记[0,12)A =，知A 是[0,1)的开集。记1f F -=，则 111()()()()F A f A f A ---==

而()f A 是上半圆且包含点1，1不是内点，则不是开集。

注：0是[0,12)的内点，但(0)f 不是1S 上()([0,12))f A f =的内点，即A 是[0,1)的开集，()f A 不是开的。

性质： 全体拓扑空间集合内的同胚关系是一个等价关系。 证明是容易而简单的，这里仅作一些解释：

① 恒同映射:x I X X →是同胚映射，则X 与X 同胚。

② 若f 是同胚，则1f -也是同胚映射，即X 与Y 同胚，则Y 与X 同胚。

③ 两个同胚映射的复合也是同胚映射，即X 与Y 同胚， Y 与Z 同胚，则X 与Z 同胚。

●下面介绍几个同胚映射的例子。

例 1 开区间（作为1E 的子空间）同胚于1E 。 如：(,)22ππ

-

到1E 的同胚映射:(,)(,)22

f ππ

-→-∞∞ (),

(,)22

f x tgx x ππ

=∀∈-

例 2 3E 中的单位球面

2222{(,,)1}S x y z x y z =++= 去掉一点后与2E 同胚。

其同胚映射取球极投射，即去掉北极点的球面映射到赤道平面的一个同胚映射（如右图所示），它的解析表达式为

(,,)(,)11x y

f x y z z z

=--

即，球面点(,,)x y z 到平面2E 上点(,)X Y 的映射。

定义 4 拓扑空间在同胚映射下保持不变的概念称为拓扑概念； 在同胚映射下保持不变的性质称为拓扑性质。 ★ 例如，若:f X Y →是同胚映射，则

X 的开集U 的象()f U 是Y 的开集；

Y 的开集V 的原象1()f V -是X 的开集；

所以，“开集”的概念在拓扑映射下是保持不变的，则“开集”是拓扑概念。

点P 在上半平面上，点q 在下半平面上，f (p)在球外平面上，f (q)在球内平面上。