《数值计算方法》习题答案
数值计算方法答案
L1 ( x)
x 2 .2 x 2 .0 0.6931 0.7885 3.465( x 2.2) 3.9425( x 2.0) 2 .0 2 .2 2 .2 2 .0
ln(2.1) L1 (2.1) 3.465(2.1 2.2) 3.9425(2.1 2.0) 0.7408
1.11600 1.18600 0.28000
f [ xi 3 , xi 2 , xi 1 , xi ]
f xi 4 , xi 3 , xi 2 , xi 1 , xi
0.19730
0.03146
0.69675 1.27573 0.88811 1.38410 1.02652 1.25382 1.51533
( x x0 ) 0.7891 . h t (t 1) 2 由前插公式 N 2 ( x ) y0 ty0 y0 得 2 0.7891 (0.7891 1) N 2 (0.57891) 0.47943 0.7891 0.08521 (0.00563) 0.54714 2
1.已知 ln2.0=0.6931，ln2.2=0.7885，ln2.3=0.8329，试用线性插值和抛物插值计算 ln2.1 的值 并估计误差. 解：1)线性插值 由公式 L1 ( x )
x x0 x x1 y0 y1 ，取点 x0 2.0 ， x1 2.2 ，代入上式得 x0 x1 x1 x0
3 2
3 10
3.分别求满足习题 1 和习题 2 中插值条件的 Newton 插值. 解：1)构造差商表如下：
xi
2.0 2.2 2.3
f [ xi ]
0.6931 0.7885 0.8329
数值计算方法习题答案（第二版）（绪论）
数值计算⽅法习题答案（第⼆版）（绪论）数值分析（p11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的⽜顿迭代公式112(),0,1,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成⽴下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......k k k x k x x k x k +-=-=≥=证明：（1）(21122k k k k k k x a x x x x +-??-=+==? ??（2）取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+-= +=+2121216 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤-110218，⽽()k k k k k x x x x x 288821821-=-???? ??+=-+ nn k k x x 2122110215.22104185.28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解：此题的相对误差限通常有两种解法.①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表⽰为m n a a a x 10......021*?±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11 **1021--?≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第⼀个⾮零数）则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=??≤--x e x ②第⼆种⽅法直接根据相对误差限的定义式求解对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种⽅法均可得出相对误差限，但第⼀种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成⽴的正确结论，故他对误差限的估计偏⼤，但计算略简单些；⽽第⼆种⽅法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。
数值计算方法习题答案(习题3_习题6)
习题三 2 解：()()2112230.2()10.210.80.80.20.80.20.80.61440.4613n n n n n y y y x y y y y +=+--=+⨯-==+⨯--⨯==同理，7. 解：()()()22212111,0.1(2)11,0.1(2)112pn n n n n nc n n n n p n n p c y y hf x y y y x y y hf x y y y x y y y +++⎧=+=+⨯-⎪+⎪⎪=+=+⨯-⎨+⎪⎪=+⎪⎩111230.1,0.097,0.09850.1913,0.2737p c y y y y y =====同理，11. 解：()112341213243123412340.2226833830.223830.228330.21, 1.4, 1.58, 1.05,(0.2) 2.30041.0986,0.7692,0.8681,0.5780,(0.4)2.4654n n nn n n y y k k k k k y k y k k y k k y k k k k k y k k k k y +⎧=+⨯+++⎪⎪=-⎪⎪⎪=--⨯⨯⎨⎪⎪=--⨯⨯⎪⎪=--⨯⨯⎪⎩==========同理，13. 解：()()[]()[]()110.220.22321,00,(0.2)0.181(0.4)(0.2)3(0.2)10.1810.1310.18110.3267(0.6)(0.4)3(0.4)(0.2)0.32670.1310.3267(10.181)0.4468n n nn hy y y y y y y y y y y y y y y +-''=+-'=-=='=+-=+⨯⨯--=⎡⎤⎣⎦''=+-=+⨯⨯---=⎡⎤⎣⎦(0.8)0.5454,(1)0.6265y y ==同理，习题四),(,121)('sin 21)('cos 21)(.2∞-∞∈<≤-==x x xx x x ϕϕϕ证明：迭代函数所以在均收敛。
(完整版)数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
数值计算方法试题和答案解析
数值计算方法试题和答案解析(总22页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x x k k n k k ( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
数值计算方法课后习题答案
习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得 （1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x x δδδ≈===4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈ 解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ= =0.5%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121x y x x -=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x >>，（A）y =，（B）y =（3）已知1x <<，（A ）22sin x y x=，（B ）1cos 2xy x -=；（4）（A）9y =（B）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。
（1）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。
故（B ）算得准确些。
（2）（B ）中两个相近数相减，而（A ）中避免了这种情况。
故（A ）算得准确些。
（3）（A ）中2sin x 使得误差增大，而（B ）中避免了这种情况发生。
故（B ）算得准确些。
（4）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。
数值计算方法第三版课后习题答案
习题一解答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈- 相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，223.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。
数值计算方法习题答案
数值分析（p11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的牛顿迭代公式 112(),0,1,2,......ka k kx x x k +=+=恒成立下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......kk kx k x x k x k +-=-=≥=证明： （1）(2211222k k k k k k k kx a x ax x x x x +⎫⎛-+=+-==⎪ ⎝⎭（2） 取初值0>x ，显然有0>kx，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2121216 证明：若kx 有n 位有效数字，则n kx-⨯≤-110218，而()k k k kk x x x x x 288821821-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+nnk k x x 2122110215.22104185.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥Θ1k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解：此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表示为mna a a x 10 (02)1*⨯±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11**1021--⨯≤-l a xx x ，其中1a 为*x 中第一个非零数） 则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.010221111=⨯⨯≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.010221122=⨯⨯≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.010221333=⨯⨯≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x，有 003063.071.20083.022≈<-x e x对于718.23=x，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。
数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)
数值分析（p11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的牛顿迭代公式112(),0,1,2,......k ak k x x x k +=+= 恒成立下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......kk k x k x x k x k +-=-=≥=证明：（1）(21122k k k k k kx a x x x x +-⎫⎛-=+==⎪ ⎝⎭（2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2121216 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -⨯≤-110218， 而()k k k k k x x x x x 288821821-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+ nnk k x x 2122110215.22104185.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解：此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表示为m n a a a x 10......021*⨯±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11**1021--⨯≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数）则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=⨯⨯≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=⨯⨯≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=⨯⨯≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。
数值计算方法答案
1数值计算方法(李有法)习题一1．设x>0相对误差为2%，4x的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈得（1）()f x=11()()*2%1%22x xδδδ≈===；（2）4()f x x=时444()()'()4()4*2%8%xx x x xxδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P关于1212.m nx a a a bb b=±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl≈⨯+⨯= 21(0.3197100.259110)fl⨯+⨯=0.3456210⨯2易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？解：设该正方形的边长为x，面积为2()f x x=，由(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈解得(())()()'()f x f xxxf xδδ≈=2(())(())22f x x f xx xδδ==0.5%5．下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x<<，（A）11121xyx x-=-++，（B）22(12)(1)xyx x=++；（2）已知1x>>，（A）y=，（B）y=；（3）已知1x<<，（A）22sin xyx=，（B）1cos2xyx-=；（4）（A）9y=（B）y=解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一一、填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k nk k ( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=104)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
数值计算方法课后习题答案
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值计算方法试题及答案资料,推荐文档
b
n1
函数，
a
f
(x)w(x)dx
k 1
Ak
f
(xk
)
为高斯型求积公式，证明：
n1
（1）
（1） 当 0 k, j n, k j 时，
Ai k(xi ) j(xi ) 0
i1
b
（2） a lk (x)l j (x)w(x)dx 0
(k j)
n1 b 2
b
（3） k 1 a lk (x)w(x)dx a w(x)dx
代公式，并证明其收敛性。
(2) (2) (12 分)以 100,121,144 为插值节点，用插值法计算 115 的 近似值，并利用余项估计误差。
不同的等价形式（1） x 3 x 1 对应迭代格式xn1 3 xn 1 ；(n1
11
xn ；（3） x x3 1对应迭代格式
x x3 1
x 1.5
n1 n 。判断迭代格式在 0 的收敛性，选一种收敛格式计算
x 1.5 附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立
Steffensen 迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速 效果。
2、（8 分）已知方程组 AX
f ，其中
A
4 3
34
1
f 2340
1 4 ， 24 （1）（1） 列出 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形
式。
（2）（2） 求出 Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出 SOR 迭代法。
（
）
8、对矩阵 A 作如下的 Doolittle 分解：
2 2 3 1 0 02 2 3
A 4 7 7 2 1 0 0 b 1
数值计算方法课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值计算方法》习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)
数值分析（p11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的牛顿迭代公式112(),0,1,2,......k ak k x x x k +=+= 恒成立下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......kk k x k x x k x k +-=-=≥=证明：（1）(21122k k k k k kx a x x x x +-⎫⎛-=+==⎪ ⎝⎭（2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2121216 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -⨯≤-110218， 而()k k k k k x x x x x 288821821-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+ nnk k x x 2122110215.22104185.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解：此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表示为m n a a a x 10......021*⨯±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11**1021--⨯≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数）则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=⨯⨯≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=⨯⨯≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=⨯⨯≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。
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《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
解：0120124, 6.25,9;2, 2.5,3y x x x y y y =======由题意 （1） 采用Lagrange 插值多项式220()()j j j y L x l x y ==≈=∑27020112012010*********()|()()()()()()()()()()()()(7 6.25)(79)(74)(79)(74)(7 6.25)2 2.532.255 2.25 2.75 2.7552.6484848x y L x x x x x x x x x x x x x y y y x x x x x x x x x x x x ==≈−−−−−−=++−−−−−−−−−−−−=×+×+××−××= 其误差为(3)25(3)25(3)2[4,9]2()(7)(74)(7 6.25)(79)3!3()83max |()|40.0117281|(7)|(4.5)(0.01172)0.008796f R f x x f x R ξ−−=−−−==<∴<=又则（2）采用Newton插值多项式2()y N x =≈224(7)2(74)()(74)(7 6.25) 2.64848489495N =+×−+−×−×−≈ 4. 设()()0,1,...,k f x x k n ==，试列出()f x 关于互异节点()0,1,...,i x i n =的Lagrange 插值多项式。
注意到：若1n +个节点()0,1,...,i x i n =互异，则对任意次数n ≤的多项式()f x ，它关于节点()0,1,...,i x i n =满足条件(),0,1,...,i i P x y i n ==的插值多项式()P x 就是它本身。
可见，当k n ≤时幂函数()(0,1,...,)kf x x k n ==关于1n +个节点()0,1,...,i x i n =的插值多项式就是它本身，故依Lagrange 公式有()00(),0,1,...,nn n k kk i j j j j j i j ii jx x x l x x x k n x x ===≠−=≡=−∑∑∏特别地，当0k =时，有()0001nn n ij j j i j ii jx x l x x x ===≠−=≡−∑∑∏而当1k =时有()000n nni j j j j j i j i i j x x x l x x x x x ===≠⎛⎞−⎜⎟=≡⎜⎟−⎜⎟⎝⎠∑∑∏ 5. 依据下列函数表分别建立次数不超过3的Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。
解：（1） Lagrange 插值多项式330()()j j j L x l x y ==∑ 30,()j iii j i jx x l x x x =≠−=−∏3120010203124()010204x x x x x x x x x l x x x x x x x −−−−−−=••=••−−−−−−=3271488x x x −+−−0321101213024()101214x x x x x x x x x l x x x x x x x −−−−−−=••=••−−−−−−=32683x x x−+0312202123014()202124x x x x x x x x x l x x x x x x x −−−−−−=••=••−−−−−−=32544x x x−+−0123303132012()404142x x x x x x x x x l x x x x x x x −−−−−−=••=••−−−−−−=323224x x x−+()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()32222321240241901020410121401401223320212440414212313243685432848114511442x x x x x x L x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x −−−−−−=×+×+−−−−−−−−−−−−×+×−−−−−−=−−+−+−+−−++−+=−+−+（2） Newton 插值多项式kk x ()k f x一阶差商二阶差商三阶差商0 0 1 1 1 9 8 2 2 23 14 3 3 4 3 -10 -8-11/43001001201()()(,)()(,,)()()N x f x f x x x x f x x x x x x x =+−+−−0123012(,,,)()()()f x x x x x x x x x x +−−−1118(0)3(0)(1)(0)(1)(2)4x x x x x x =+−+−−−−−−32114511442x x x =−+−+由求解结果可知：33()()L x N x =说明插值问题的解存在且唯一。
6. 已知由数据1(0,0),(0.5,),(1,3)(2,2)y 和构造出的Lagrange 插值多项式()3L x 的最高次项系数是6，试确定1y 。
解：31200102030.512()00.50102x x x x x x x x x l x x x x x x x −−−−−−=××=××−−−−−−=3277122x x x −+−+0321101213012()0.500.510.52x x x x x x x x x l x x x x x x x −−−−−−=××=××−−−−−− =328(32)3x x x −+x 0 1 2 4 ()f x1 9 23 30312********.52()1010.512x x x x x x x x x l x x x x x x x −−−−−−=××=××−−−−−−=32252x x x −+−012330313200.51()2020.521x x x x x x x x x l x x x x x x x −−−−−−=××=××−−−−−−=32111326x x x −+3()L x 中最高次项系数为：1810(1)(2)32633y ×−++−×+×=⇒1174y =7. 设()4f x x =，试利用Lagrange 余项定理给出()f x 以1,0,1,2−为节点的插值多项式()3L x 。
解：由Lagrange 余项定理(1)1()()()()()(1)!n n n n f R x f x L x x n ξ++=−=+ [,]a b ξ∈可知：当3n =时，(1)(4)()()4!n x f f x ξξ+===301234!()()()()()()(31)!L x f x x x x x x x x x =−−−−−+4(1)(0)(1)(2)x x x x x =−+−−− 3222x x x =+−8. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==，求证21max ()()max ()8a xb a x b f x b a f x ≤≤≤≤′′≤−证明：以,a b 为节点进行线性插值，得()()()x b x aL x f a f b a b b a−−=+−−1由于()()0f a f b ==,故1()0L x =。
于是由''1()()()()(),2!f f x L x x a x b ξ−=−− a b ξ<<有''()()()()2f f x x a x b ξ=−−，令()()() [,]t x x a x b x a b =−−∈()2()0()2t x x a b a bx t x ′=−+=+=∴时有极大值21max ()=max ()max ()()21max ()()()2221=()max ()8a xb a x ba xb a x b a x b f x f x x a x b a b a b f x a b b a f x ≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤′′•−−++′′=•−−′′−∴9. 求作()1n f x x +=关于节点()0,1,,i x i n =L 的Lagrange 插值多项式，并利用插值余项定理证明()()1001nnnn i ii i i xl x +===−∑∏式中()i l x 为关于节点()0,1,,i x i n =L 的Lagrange 插值基函数。