《数值计算方法》习题答案

《数值计算方法》

课后题答案详解

吉 林 大 学

第一章 习 题 答 案

1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。

解：由题意知：

()0120121200102021101201220212

1,1,2;2,1,1()()(1)(2)

()()6()()(1)(2)

()()2()()(1)(1)

()()3

(1)(2)(1)(2)()2162

n

j j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==

−−−−+−==

−−−−−+−=

=

−−−−+−==×+×−∴∑()2

(1)(1)1

31386

x x x x +−+×=

−+

2. 取节点0121

0,1,,2

x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。

解1

1

2

012012

10,1,;1,,2

x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：

020112012

01021012202110.5

10.520.51()()()()()()

()()()()()()()

2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1

x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−

−−−−−−−−−−=++−−

−−−−=−−+−

−−=+−+−−+2

2)Lagrange 根据余项定理，其误差为

(3)22101

22()1

|()||

()||(1)(0.5)|

3!6

1

max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()6

1()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.00802

6

x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−=

=≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值

3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求

的近似值，并估计其误差。

解：0120124, 6.25,9;2, 2.5,3y x x x y y y =======由题意 （1） 采用Lagrange 插值多项式2

20

()()j j j y L x l x y ==≈=∑

27

020112012

010*********()|()()()()()()

()()()()()()(7 6.25)(79)(74)(79)(74)(7 6.25)2 2.53

2.255 2.25 2.75 2.7552.6484848x y L x x x x x x x x x x x x x y y y x x x x x x x x x x x x ==≈−−−−−−=

++−−−−−−−−−−−−=×+×+××−××= 其误差为

(3)25(3)2

5(3)2[4,9]2()

(7)(74)(7 6.25)(79)3!

3

()83max |()|40.011728

1

|(7)|(4.5)(0.01172)0.00879

6

f R f x x f x R ξ−−

=

−−−==<∴<=又则

（2）采用Newton

插值多项式2()y N x =≈

224

(7)2(74)()(74)(7 6.25) 2.64848489495

N =+×−+−×−×−≈ 4. 设()()0,1,...,k f x x k n ==，试列出()f x 关于互异节点()0,1,...,i x i n =的Lagrange 插值多项式。

注意到：若1n +个节点()0,1,...,i x i n =互异，则对任意次数n ≤的多项式()f x ，它关于节点

()0,1,...,i x i n =满足条件(),0,1,...,i i P x y i n ==的插值多项式()P x 就是它本身。可见，当k n ≤时

幂函数()(0,1,...,)k

f x x k n ==关于1n +个节点()0,1,...,i x i n =的插值多项式就是它本身，故依

Lagrange 公式有

()0

0(),0,1,...,n

n n k k

k i j j j j j i j i

i j

x x x l x x x k n x x ===≠−=≡=−∑∑∏

特别地，当0k =时，有

()0

00

1n

n n i

j j j i j i

i j

x x l x x x ===≠−=≡−∑∑∏

而当1k =时有

()000n n

n

i j j j j j i j i i j x x x l x x x x x ===≠⎛⎞

−⎜⎟=≡⎜⎟−⎜⎟⎝⎠

∑∑∏ 5. 依据下列函数表分别建立次数不超过3的Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。