最新重庆中考数学第18题专题训练(含答案)
2020重庆中考数学18题专题及答案word.doc
中考数学18题专题及答案1．含有同种果蔬但浓度不同的A、B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重60千克现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是__ 24____千克设A种饮料的浓度为a，B种饮料的浓度为b，各自倒出和倒入的果蔬质量相同可设为x千克，由于混合后的浓度相同，由题意可得：()() 40604060x a xb x b xa-+-+=去分母()()604060406040x a xb x b xa-+=-+，去括号得：2400606024004040a xa xb b bx xa-+=-+移项得：6060404024002400xa xb bx xa b a-++-=-合并得：()()1002400b a x b a-=-所以：24x=2. 从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是 6 千克。
设切下的一块重量是x千克，设10千克和15千克的合金的含铜的百分比为a，b，= ，整理得（b-a）x=6（b-a），x=63.设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤．从这两块合金上切下重量相等的一块，并把所切下的每块与另一种剩余的合金加在一起，熔炼后两者的含铜百分率相等，则切下的合金重（24公斤）设含铜量甲为a乙为b，切下重量为x．根据设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤，熔炼后两者的含铜百分率相等，列方程求解．解：设含铜量甲为a，乙为b，切下重量为x．由题意，有=，解得x=24．切下的合金重24公斤．1、四川省安岳县，是我国的柠檬生产基地。
超市里有一种柠檬水，由水和柠檬汁混合配制。
购买1吨柠檬汁的钱可以购买20吨的水。
2024届重庆市十八中学中考数学模试卷含解析
2024届重庆市十八中学中考数学模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（,1），下列结论：①ac＜1；②a+b=1；③4ac ﹣b2=4a；④a+b+c＜1．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43．下列命题正确的是( )A．内错角相等B．－1是无理数C．1的立方根是±1 D．两角及一边对应相等的两个三角形全等4．方程()21k1x1kx+=04--有两个实数根，则k的取值范围是（）．A．k≥1B．k≤1C．k>1 D．k<15．反比例函数是y=2x的图象在（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限6．如图1，点O为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处，柱柱同学操控机器人以每秒1个单位长度的速度在图1中给出线段路径上运行，柱柱同学将机器人运行时间设为t秒，机器人到点A的距离设为y，得到函数图象如图2，通过观察函数图象，可以得到下列推断：①该正六边形的边长为1；②当t＝3时，机器人一定位于点O；③机器人一定经过点D；④机器人一定经过点E；其中正确的有（）A．①④B．①③C．①②③D．②③④7．如图，已知△ABC中，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．90°B．135°C．270°D．315°8．14的绝对值是（）A．﹣4 B．14C．4 D．0.49．估计26的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间10．某种圆形合金板材的成本y（元）与它的面积（cm2）成正比，设半径为xcm，当x＝3时，y＝18，那么当半径为6cm时，成本为（）A．18元B．36元C．54元D．72元二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP度数是_____度．12．如图，在平行四边形ABCD中，过对角线AC与BD的交点O作AC的垂线交于点E，连接CE，若AB=4，BC=6，则△CDE的周长是______．13．每年农历五月初五为端午节，中国民间历来有端午节吃粽子、赛龙舟的习俗．某班同学为了更好地了解某社区居民对鲜肉粽（A）豆沙粽（B）小枣粽（C）蛋黄粽（D）的喜爱情况，对该社区居民进行了随机抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅统计图（尚不完整）．分析图中信息，本次抽样调查中喜爱小枣粽的人数为________；若该社区有10000人，估计爱吃鲜肉粽的人数约为________．14．在平面直角坐标系中，点A（2，3）绕原点O逆时针旋转90°的对应点的坐标为_____．15．如图所示，某办公大楼正前力有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶点A测得族杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底端C的距离DC是20米，梯坎坡长BC是13米，梯坎坡度i=1：2.4，则大楼AB的高度的为_____米．16．若反比例函数2kyx-=的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是__.17．如图，直线a∥b，正方形ABCD的顶点A、B分别在直线a、b上．若∠2＝73°，则∠1＝．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO．（1）求证：BC是∠ABE的平分线；（2）若DC=8，⊙O 的半径OA=6，求CE 的长．19．（5分）每年4月23日是世界读书日，某校为了解学生课外阅读情况，随机抽取20名学生，对每人每周用于课外阅读的平均时间（单位：min ）进行调查，过程如下： 收集数据： 30 60 81 50 40 110 130 146 90 100 60811201407081102010081整理数据： 课外阅读平均时间x（min ） 0≤x ＜4040≤x ＜8080≤x ＜120120≤x ＜160等级 D C B A 人数 3a8b分析数据： 平均数 中位数 众数 80mn请根据以上提供的信息，解答下列问题：（1）填空：a ＝ ，b ＝ ；m ＝ ，n ＝ ；（2）已知该校学生500人，若每人每周用于课外阅读的平均时间不少于80min 为达标，请估计达标的学生数； （3）设阅读一本课外书的平均时间为260min ，请选择适当的统计量，估计该校学生每人一年（按52周计）平均阅读多少本课外书？20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=kx+3与轴、y 轴分别相交于点A 、B ，并与抛物线21742y x bx =-++的对称轴交于点()2,2C ，抛物线的顶点是点D ．（1）求k 和b 的值；（2）点G 是y 轴上一点，且以点B 、C 、G 为顶点的三角形与△BCD 相似，求点G 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点E ：它关于直线AB 的对称点F 恰好在y 轴上．如果存在，直接写出点E 的坐标，如果不存在，试说明理由．21．（10分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB，于点E求证：△ACD≌△AED；若∠B=30°，CD=1，求BD的长．22．（10分）在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示的正整数后，背面向上，洗匀放好．（1）我们知道，满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，嘉嘉从中随机抽取一张，求抽到的卡片上的数是勾股数的概率P1；（2）琪琪从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张（卡片用A，B，C，D表示）．请用列表或画树形图的方法求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率P2，并指出她与嘉嘉抽到勾股数的可能性一样吗？23．（12分）如图，A（4，3）是反比例函数y=kx在第一象限图象上一点，连接OA，过A作AB∥x轴，截取AB=OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y=kx的图象于点P．求反比例函数y=kx的表达式；求点B的坐标；求△OAP的面积．24．（14分）某工厂计划在规定时间内生产24000个零件，若每天比原计划多生产30个零件，则在规定时间内可以多生产300个零件．求原计划每天生产的零件个数和规定的天数．为了提前完成生产任务，工厂在安排原有工人按原计划正常生产的同时，引进5组机器人生产流水线共同参与零件生产，已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比20个工人原计划每天生产的零件总数还多20%，按此测算，恰好提前两天完成24000个零件的生产任务，求原计划安排的工人人数．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、B【解题分析】解：第一个图是轴对称图形，又是中心对称图形；第二个图是轴对称图形，不是中心对称图形；第三个图是轴对称图形，又是中心对称图形；第四个图是轴对称图形，不是中心对称图形；既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个．故选B．2、C【解题分析】①根据图象知道：a＜1，c＞1，∴ac＜1，故①正确；②∵顶点坐标为(1/2 ，1)，∴x="-b/2a" ="1/2" ，∴a+b=1，故②正确；③根据图象知道：x=1时，y=a++b+c＞1，故③错误；④∵顶点坐标为(1/2 ，1)，∴=1，∴4ac-b2=4a，故④正确．其中正确的是①②④．故选C3、D【解题分析】解：A．两直线平行，内错角相等，故A错误；B．－1是有理数，故B错误；C．1的立方根是1，故C错误；D．两角及一边对应相等的两个三角形全等，正确．故选D ． 4、D 【解题分析】当k=1时，原方程不成立，故k≠1，当k≠1时，方程()21k 1x =04-为一元二次方程． ∵此方程有两个实数根，∴221b 4ac 4k 11k k 122k 04-=-⨯-⨯=---=-≥（（）（），解得：k≤1． 综上k 的取值范围是k ＜1．故选D ． 5、B 【解题分析】解：∵反比例函数是y=2x中，k=2＞0， ∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限． 故选B ． 6、C 【解题分析】根据图象起始位置猜想点B 或F 为起点，则可以判断①正确，④错误．结合图象判断3≤t≤4图象的对称性可以判断②正确．结合图象易得③正确． 【题目详解】解：由图象可知，机器人距离点A1个单位长度，可能在F 或B 点，则正六边形边长为1．故①正确； 观察图象t 在3－4之间时，图象具有对称性则可知，机器人在OB 或OF 上，则当t ＝3时，机器人距离点A 距离为1个单位长度，机器人一定位于点O ，故②正确； 所有点中，只有点D 到A 距离为2个单位，故③正确；因为机器人可能在F 点或B 点出发，当从B 出发时，不经过点E ，故④错误． 故选：C ． 【题目点拨】本题为动点问题的函数图象探究题，解答时要注意动点到达临界前后时图象的变化趋势． 7、C 【解题分析】根据四边形的内角和与直角三角形中两个锐角关系即可求解.【题目详解】解：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°，∴∠1+∠2=360°﹣（∠A+∠B）=360°﹣90°=270°．故选：C．【题目点拨】此题主要考查角度的求解，解题的关键是熟知四边形的内角和为360°.8、B【解题分析】分析：根据绝对值的性质，一个负数的绝对值等于其相反数，可有相反数的意义求解.详解：因为-14的相反数为14所以-14的绝对值为14.故选：B点睛：此题主要考查了求一个数的绝对值，关键是明确绝对值的性质，一个正数的绝对值等于本身，0的绝对值是0，一个负数的绝对值为其相反数.9、D【解题分析】寻找小于26的最大平方数和大于26的最小平方数即可.【题目详解】解：小于26的最大平方数为25，大于26的最小平方数为3656，故选择D.【题目点拨】本题考查了二次根式的相关定义.10、D【解题分析】设y与x之间的函数关系式为y＝kπx2，由待定系数法就可以求出解析式，再求出x＝6时y的值即可得．【题目详解】解：根据题意设y＝kπx2，∵当x＝3时，y＝18，∴18＝kπ•9，则k＝2π，∴y＝kπx2＝2π•π•x2＝2x2，当x＝6时，y＝2×36＝72，故选：D．【题目点拨】本题考查了二次函数的应用，解答时求出函数的解析式是关键．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、22.5【解题分析】∵ABCD是正方形，∴∠DBC=∠BCA=45°，∵BP=BC，∴∠BCP=∠BPC=12（180°-45°）=67.5°，∴∠ACP度数是67.5°-45°=22.5°12、1【解题分析】由平行四边形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=CE，又由平行四边形ABCD的AB+BC=AD+CD=1，继而可得结论．【题目详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB=CD，AD=BC．∵AB=4，BC=6，∴AD+CD=1．∵OE⊥AC，∴AE=CE，∴△CDE的周长为：CD+CE+DE=CD+CE+AE=AD+CD=1．故答案为1．【题目点拨】本题考查了平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．13、120人，3000人【解题分析】根据B的人数除以占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去A、B、D的人数得到本次抽样调查中喜爱小枣粽的人数；利用该社区的总人数×爱吃鲜肉粽的人数所占的百分比得出结果．【题目详解】调查的总人数为：60÷10%=600（人），本次抽样调查中喜爱小枣粽的人数为：600﹣180﹣60﹣240=120（人）；若该社区有10000人，估计爱吃鲜肉粽的人数约为：10000180600⨯=3000（人）．故答案为120人；3000人．【题目点拨】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．14、（﹣3，2）【解题分析】作出图形，然后写出点A′的坐标即可．【题目详解】解答：如图，点A′的坐标为（-3，2）．故答案为（-3，2）．【题目点拨】本题考查的知识点是坐标与图象变化-旋转，解题关键是注意利用数形结合的思想求解．15、42【解题分析】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，则GH=DE=15米，EG=DH，设BH=x米，则CH=2.4x米，在Rt△BCH中，BC=13米，由勾股定理得出方程，解方程求出BH=5米，CH=12米，得出BG、EG的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=12+20=32（米），即可得出大楼AB的高度．【题目详解】延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，如图所示：则GH=DE=15米，EG=DH，∵梯坎坡度i=1：2.4，∴BH：CH=1：2.4，设BH=x米，则CH=2.4x米，在Rt△BCH中，BC=13米，由勾股定理得：x2+（2.4x）2=132，解得：x=5，∴BH=5米，CH=12米，∴BG=GH-BH=15-5=10（米），EG=DH=CH+CD=12+20=32（米），∵∠α=45°，∴∠EAG=90°-45°=45°，∴△AEG是等腰直角三角形，∴AG=EG=32（米），∴AB=AG+BG=32+10=42（米）；故答案为42【题目点拨】本题考查了解直角三角形的应用-坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH，得出EG是解决问题的关键．16、k>1【解题分析】根据图象在第二、四象限，利用反比例函数的性质可以确定1-k的符号，即可解答．【题目详解】∵反比例函数y＝2kx的图象在第二、四象限，∴1-k＜0，∴k＞1．故答案为：k＞1．【题目点拨】此题主要考查了反比例函数的性质，熟练记忆当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限是解决问题的关键．17、107°【解题分析】过C作d∥a, 得到a∥b∥d，构造内错角，根据两直线平行，内错角相等，及平角的定义，即可得到∠1的度数．【题目详解】过C作d∥a, ∴a∥b, ∴a∥b∥d,∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=90°, ∵∠2=73°，∴∠6=90°-∠2=17°,∵b∥d, ∴∠3=∠6=17°, ∴∠4=90°-∠3=73°, ∴∠5=180°-∠4=107°,∵a∥d, ∴∠1=∠5=107°,故答案为107°.【题目点拨】本题考查了平行线的性质以及正方形性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是作辅助线构造内错角．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）证明见解析；（2）4.1．【解题分析】试题分析：（1）由BE∥CO，推出∠OCB=∠CBE，由OC=OB，推出∠OCB=∠OBC，可得∠CBE=∠CBO；（2）在Rt△CDO中，求出OD，由OC∥BE，可得，由此即可解决问题；试题解析：（1）证明：∵DE是切线，∴OC⊥DE，∵BE∥CO，∴∠OCB=∠CBE，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠CBE=∠CBO，∴BC平分∠ABE．（2）在Rt△CDO中，∵DC=1，OC=0A=6，∴OD==10，∵OC∥BE，∴，∴，∴EC=4.1．考点：切线的性质．19、（1）a＝5，b＝4；m＝81，n＝81；（2）300人；（3）16本【解题分析】（1）根据统计表收集数据可求a，b，再根据中位数、众数的定义可求m，n；（2）达标的学生人数＝总人数×达标率，依此即可求解；（3）本题需先求出阅读课外书的总时间，再除以平均阅读一本课外书的时间即可得出结果． 【题目详解】解：（1）由统计表收集数据可知a ＝5，b ＝4，m ＝81，n ＝81； （2）8450030020+⨯=（人）． 答：估计达标的学生有300人； （3）80×52÷260＝16（本）．答：估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读16本课外书． 【题目点拨】本题主要考查统计表以及中位数，众数，估计达标人数等，能够从统计表中获取有效信息是解题的关键. 20、 (1)k=-12,b=1;(1) (0,1)和1(0,)2【解题分析】分析：（1） 由直线3y kx =+经过点()22C ，，可得12k =-．由抛物线21742y x bx =-++的对称轴是直线2x =，可得1b =，进而得到A 、B 、D 的坐标，然后分两种情况讨论即可； （3）设E （a ，21742a a -++），E 关于直线AB 的对称点E ′为（0，b ），EE ′与AB 的交点为P ．则EE ′⊥AB ，P 为EE ′的中点，列方程组，求解即可得到a 的值，进而得到答案．详解：（1） 由直线3y kx =+经过点()22C ，，可得12k =-． 由抛物线21742y x bx =-++的对称轴是直线2x =，可得1b =． ∵直线132y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ， ∴点A 的坐标是()60，，点B 的坐标是()03，． ∵抛物线的顶点是点D ，∴点D 的坐标是922⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ∵点G 是y 轴上一点，∴设点G 的坐标是()0m ，． ∵△BCG 与△BCD 相似，又由题意知，GBC BCD ∠=∠， ∴△BCG 与△BCD 相似有两种可能情况：①如果BG BC CB CD＝52，解得1m ＝，∴点G 的坐标是()01，．②如果BG BC CD CB＝，那么35552m -＝，解得12m ＝，∴点G 的坐标是102⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 综上所述：符合要求的点G 有两个，其坐标分别是()01，和102⎛⎫ ⎪⎝⎭， ．（3）设E （a ，21742a a -++），E 关于直线AB 的对称点E ′为（0，b ），EE ′与AB 的交点为P ，则EE ′⊥AB ，P 为EE ′的中点，∴22174221710423222a a b aa a ba ⎧-++-⎪=⎪⎪⎨⎪-++++⎪=-⨯+⎪⎩ ，整理得：220a a --=，∴(a -1)(a +1)=0，解得：a =－1或a =1．当a =－1时，21742a a -++=94；当a =1时，21742a a -++=92； ∴点E 的坐标是914⎛⎫- ⎪⎝⎭，或922⎛⎫ ⎪⎝⎭，．点睛：本题是二次函数的综合题．考查了二次函数的性质、解析式的求法以及相似三角形的性质．解答（1）问的关键是要分类讨论，解答（3）的关键是利用两直线垂直则k 的乘积为－1和P 是EE ′的中点． 21、（1）见解析（2）BD=2 【解题分析】解：（1）证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°．∵在Rt△ACD和Rt△AED中，AD AD {CD DE==，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．（2）∵Rt△ACD≌Rt△AED ，CD=1，∴DC=DE=1．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°．∵∠B=30°，∴BD=2DE=2．（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可．（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．22、（1）34；（2）淇淇与嘉嘉抽到勾股数的可能性不一样．【解题分析】试题分析：（1）根据等可能事件的概率的定义，分别确定总的可能性和是勾股数的情况的个数；（2）用列表法列举出所有的情况和两张卡片上的数都是勾股数的情况即可.试题解析：（1）嘉嘉随机抽取一张卡片共出现4种等可能结果，其中抽到的卡片上的数是勾股数的结果有3种，所以嘉嘉抽取一张卡片上的数是勾股数的概率P1=34；（2）列表法：由列表可知，两次抽取卡片的所有可能出现的结果有12种，其中抽到的两张卡片上的数都是勾股数的有6种，∴P2=61 122=，∵P1=34，P2=12，P1≠P2∴淇淇与嘉嘉抽到勾股数的可能性不一样．23、（1）反比例函数解析式为y=12x；（2）点B的坐标为（9，3）；（3）△OAP的面积=1．【解题分析】（1）将点A的坐标代入解析式求解可得；（2）利用勾股定理求得AB=OA=1，由AB∥x轴即可得点B的坐标；（3）先根据点B坐标得出OB所在直线解析式，从而求得直线与双曲线交点P的坐标，再利用割补法求解可得．【题目详解】（1）将点A（4，3）代入y=kx，得：k=12，则反比例函数解析式为y=12x；（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，则OC=4、AC=3，∴2243+，∵AB∥x轴，且AB=OA=1，∴点B的坐标为（9，3）；（3）∵点B坐标为（9，3），∴OB所在直线解析式为y=13 x，由1312y xyx⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可得点P坐标为（6，2），（负值舍去），过点P作PD⊥x轴，延长DP交AB于点E，则点E坐标为（6，3），∴AE=2、PE=1、PD=2，则△OAP 的面积=12×（2+6）×3﹣12×6×2﹣12×2×1=1． 【题目点拨】本题考查了反比例函数与几何图形综合，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、正确添加辅助线是解题的关键. 24、（1）2400个， 10天；（2）1人． 【解题分析】（1）设原计划每天生产零件x 个，根据相等关系“原计划生产24000个零件所用时间=实际生产（24000+300）个零件所用的时间”可列方程240002400030030x x +=+，解出x 即为原计划每天生产的零件个数，再代入24000x 即可求得规定天数；（2）设原计划安排的工人人数为y 人，根据“（5组机器人生产流水线每天生产的零件个数+原计划每天生产的零件个数）×（规定天数-2）=零件总数24000个”可列方程[5×20×（1+20%）×2400y+2400] ×（10-2）=24000，解得y 的值即为原计划安排的工人人数． 【题目详解】解：（1）解：设原计划每天生产零件x 个，由题意得，240002400030030x x +=+， 解得x=2400，经检验，x=2400是原方程的根，且符合题意． ∴规定的天数为24000÷2400=10（天）．答：原计划每天生产零件2400个，规定的天数是10天． （2）设原计划安排的工人人数为y 人，由题意得， [5×20×（1+20%）×2400y+2400] ×（10-2）=24000, 解得，y=1．经检验，y=1是原方程的根，且符合题意． 答：原计划安排的工人人数为1人． 【题目点拨】本题考查分式方程的应用，找准等量关系是本题的解题关键，注意分式方程结果要检验．。
重庆中考数学第18题专题1(几何部分)汇编
重庆中考数学第18题专题1（几何部分）1. 如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中，点G在AD上，连接AC，BF交于点H，连接DH，若BC=4，DG=1，那么DH的长是.2．如图，在正方形ABCD中, E为AD中点，AH⊥BE于点H，连接CH并延长交AD于点F, CP ⊥CF交AD的延长线于点P,若EF=1，则DP的长为_________.3、如图，以RtABC△的斜边AB为一边在△ABC同侧作正方形ABEF．点O为AE与BF的交点，连接CO，若CA = 2，CO=22，那么CB的长为______________．4．如图，正方形ABCD的边长为3，延长CB至点M,使BM=1，连接AM,过点B 作BN⊥AM,垂足为N，O是对角线AC、BD的交点，连接ON,则ON的长为.5.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠BAC的平分线交BD于点E，交BC于点F，点G是AD的中点，连接CG 交BD于点H，连接FO并延长FO交CG于点P，则PG:PC的值为_____________.6、如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为AB、BC、CD边上的点，EB=3cm，GC=4cm，连接EF、FG、GE恰好构成一个等边三角形，则正方形的边长为cm。
7．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，EF⊥AD于点F，AD＝4，EF＝5，则梯形ABCD的面积是.8、如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为.9、如图，Rt△ABC中，C= 90o，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=62，则另一直角边BC的长为．10、.如图，等腰Rt△ABC中，O为斜边AC的中点，∠CAB的平分线分别交BO，BC于点E，F，BP⊥AF于H，PC⊥BC，AE=1，PG= .11、如图，正方形ABCD中，P在对角线BD上，E在CB的延长线上，且PE=PC，过点P作PF⊥AE于点F，若BE=1，AB=3，则PF的长为。
华东师大版八年级数学下册第十八章平行四边形中考真题训练含答案
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB.
由折叠可知:∠DAC=∠ACG,AE=CE,
∴∠ACB=∠ACG,∠EAC=∠ECA.
∵AB∥CD,∴∠ACD=∠CAE.
∴∠ACE=∠ACD,∴∠ECB=∠FCG.
(2)由折叠可知AD=CG.
∵DE=DA,AD⊥CD,∴∠E=45°,
∴∠E+∠C=180°,∴AE∥BC.
又∵AB∥CD,∴四边形ABCE是平行四边形,∴AE=BC.
(2)∵四边形ABCE是=2,
∴四边形ABCE的面积=3×2=6.
12.解:(1)如图所示CE为所作.
(2)∵四边形ABCD为平行四边形,
A.102°B.112°C.122°D.92°
图4图5
6.[2019·河池]如图5,在△ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,点F在DE的延长线上,添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形,则这个条件是()
A.∠B=∠FB.∠B=∠BCFC.AC=CFD.AD=CF
二、填空题
7.[2018·常州]如图6,在平行四边形ABCD中,∠A=70°,DC=DB,则∠CDB=°.
三、解答题
10.[2019·遂宁]如图9,在四边形ABCD中,AD∥BC,延长BC到点E,使CE=BC,连结AE交CD于点F,F是CD的中点.
求证:(1)△ADF≌△ECF;
(2)四边形ABCD是平行四边形.
图9
11.[2019·本溪]如图10,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD⊥CD,∠B=45°,延长CD到点E,使DE=DA,连结AE.
图6图7
8.[2018·泰州]如图7,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O.若AD=6,AC+BD=16,则△BOC的周长为.
(完整版)重庆中考数学第18题专题训练(含答案),推荐文档
重庆中考18题专题训练1．含有同种果蔬但浓度不同的A 、B 两种饮料，A 种饮料重40千克，B 种饮料重60千克现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是_____________千克【分析】典型的浓度配比问题：溶液的浓度＝溶质的质量/全部溶液质量．在本题中两种果蔬的浓度不知道，但是因为倒出的和倒入果蔬质量相同，所以原A 种饮料混合的总质量仍然是后40千克，原B 种饮料混合的总质量仍然是后60千克．可设A 种饮料的浓度为a ，B 种饮料的浓度为b ，各自倒出和倒入的果蔬质量相同可设为x 千克，由于混合后的浓度相同，由题意可得：()()40604060x a xb x b xa-+-+=去分母，()()604060406040x a xb x b xa -+=-+去括号得：2400606024004040a xa xb b bx xa-+=-+移项得：6060404024002400xa xb bx xa b a-++-=-合并得：()()1002400b a x b a -=-所以：24x =2. 从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是 。
解：设切下的一块重量是x 千克，设10千克和15千克的合金的含铜的百分比为a ，b ，= ，整理得（b-a ）x=6（b-a ），x=63.设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤．从这两块合金上切下重量相等的一块，并把所切下的每块与另一种剩余的合金加在一起，熔炼后两者的含铜百分率相等，则切下的合金重（ ）A ．12公斤B ．15公斤C ．18公斤D ．24公斤考点：一元一次方程的应用．分析：设含铜量甲为a 乙为b ，切下重量为x ．根据设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤，熔炼后两者的含铜百分率相等，列方程求解．解：设含铜量甲为a ，乙为b ，切下重量为x ．由题意，有=，解得x=24．切下的合金重24公斤．故选D ．4. 一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用，已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车每次运货物的吨数之比为1：3；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了120吨，若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了180吨．则这批货物共 吨．解：设货物总吨数为x 吨．甲每次运a 吨，乙每次运3a 吨，丙每次运b 吨．， =， 解得x=240．故答案为：240．，由①得，则有：，两式相除得：，商品的销售利润率变成了 ．（2）某商品现在的进价便宜20％ ，而售价未变，则其利润比原来增加了30个百分点，那么原来的利润率为 。
2021中考数学真题分类专题18 多边形与平行四边形(共33题含解析)
专题17多边形与平行四边形（共33题）一、单选题1．（2021·湖南岳阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）A ．五边形的内角和是720︒B ．三角形的任意两边之和大于第三边C ．内错角相等D ．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点 2．（2021·四川眉山市·中考真题）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）A ．1：3B ．1：2C ．2：1D ．3：13．（2021·湖南衡阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）．A ．正六边形的外角和大于正五边形的外角和B ．正六边形的每一个内角为120︒C ．有一个角是60︒的三角形是等边三角形D ．对角线相等的四边形是矩形4．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，AC 是正五边形ABCDE 的对角线，ACD ∠的度数是（ ）A ．72°B ．36°C ．74°D ．88°5．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，连接AB 、BC 、CD 、DE 、EA ，若100BCD ∠=︒，则A B D E ∠+∠+∠+∠=（ ）A ．220︒B ．240︒C ．260︒D ．280︒6．（2021·四川资阳市·中考真题）下列命题正确的是（ ）A ．每个内角都相等的多边形是正多边形B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．过线段中点的直线是线段的垂直平分线D ．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分7．（2021·安徽中考真题）在ABC 中，90ACB ∠=︒，分别过点B ，C 作BAC ∠平分线的垂线，垂足分别为点D ，E ，BC 的中点是M ，连接CD ，MD ，ME ．则下列结论错误的是（ ）A ．2CD ME =B ．//ME ABC ．BD CD = D ．ME MD =8．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在∶ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若∶ADE 的面积是3cm 2，则四边形BDEC 的面积为（ ）A ．12cm 2B ．9cm 2C ．6cm 2D ．3cm 29．（2021·天津中考真题）如图，ABCD 的顶点A ，B ，C 的坐标分别是()()()2,0,1,2,2,2---，则顶点D 的坐标是（ ）A ．()4,1-B ．()4,2-C ．()4,1D ．()2,110．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分∶BAD 且交BC 于点E ，∶D =58°，则∶AEC 的大小是（ ）A ．61°B ．109°C ．119°D ．122°11．（2021·四川南充市·中考真题）如图，点O 是ABCD 对角线的交点，EF 过点O 分別交AD ，BC 于点E ，F ．下列结论成立的是（ ）A ．OE OF =B ．AE BF =C ．DOC OCD ∠=∠ D ．CFE DEF ∠=∠12．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图是一个由5张纸片拼成的ABCD ，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为1S ，另两张直角三角形纸片的面积都为2S ，中间一张矩形纸片EFGH 的面积为3S ，FH 与GE 相交于点O ．当,,,AEO BFO CGO DHO 的面积相等时，下列结论一定成立的是（ ）A ．12S SB ．13S S =C ．AB AD = D ．EH GH =二、填空题13．（2021·浙江丽水市·中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720︒，则原多边形的边数是__________．14．（2021·湖北黄冈市·中考真题）正五边形的一个内角是_____度．15．（2021·陕西中考真题）正九边形一个内角的度数为______．16．（2021·湖南中考真题）一个多边形的每个外角的度数都是60°，则这个多边形的内角和为______． 17．（2021·四川广安市·中考真题）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 18．（2021·浙江中考真题）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（,,,,A B C D E 是正五边形的五个顶点），则图中A ∠的度数是_______度．19．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在ABCD 中，点E 在AD 上，且EC 平分BED ∠，若30EBC ∠=︒，10BE =，则ABCD 的面积为________．20．（2021·云南中考真题）如图，在ABC 中，点D ，E 分别是,BC AC 的中点，AD 与BE 相交于点F ，若6BF =，则BE 的长是______．21．（2021·重庆中考真题）如图，ABC 中，点D 为边BC 的中点，连接AD ，将ADC 沿直线AD 翻折至ABC 所在平面内，得ADC '，连接CC '，分别与边AB 交于点E ，与AD 交于点O ．若AE BE =，2BC '=，则AD 的长为__________．22．（2021·湖南邵阳市·中考真题）如图，点D 、E 、F 分别是∶ABC 各边的中点，连接DE 、EF 、DF ，若∶ABC 的周长为10，则∶DEF 的周长为_______________．23．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ,AB AC ⊥，AH BD ⊥于点H ，若AB =2，23BC =，则AH 的长为__________________．24．（2021·山东临沂市·中考真题）在平面直角坐标系中，ABCD 的对称中心是坐标原点，顶点A 、B 的坐标分别是(1,1)-、(2,1)，将ABCD 沿x 轴向右平移3个单位长度，则顶点C 的对应点1C 的坐标是___．25．（2021·浙江丽水市·中考真题）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中2FM EM =，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即,AB CD 之间的距离是__________．26．（2021·浙江金华市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形∶的边BC 及四边形∶的边CD 都在x 轴上，“猫”耳尖E 在y 轴上．若“猫”尾巴尖A 的横坐标是1，则“猫”爪尖F 的坐标是___________．三、解答题27．（2021·四川广安市·中考真题）下图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段AB 的端点都在格点上.要求以AB 为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上.请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形．28．（2021·重庆中考真题）如图，四边形ABCD 为平行四边形，连接AC ，且2AC AB =．请用尺规完成基本作图：作出BAC ∠的角平分线与BC 交于点E ．连接BD 交AE 于点F ，交AC 于点O ，猜想线段BF 和线段DF 的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）29．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，在55⨯的方格纸中，线段AB 的端点均在格点上，请按要求画图．（1）如图1，画出一条线段AC ，使,AC AB C =在格点上；（2）如图2，画出一条线段EF ，使,EF AB 互相平分，,E F 均在格点上；（3）如图3，以,A B 为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上．30．（2021·重庆中考真题）如图，在ABCD 中，AB >AD ．（1）用尺规完成以下基本作图：在AB 上截取AE ，使得AE =AD ；作∶BCD 的平分线交AB 于点F ．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，连接DE 交CF 于点P ，猜想∶CDP 按角分类的类型，并证明你的结论． 31．（2021·四川成都市·中考真题）在Rt ABC 中，90,5,3ACB AB BC ∠=︒==，将ABC 绕点B 顺时针旋转得到A BC ''△，其中点A ，C 的对应点分别为点A '，C '．（1）如图1，当点A '落在AC 的延长线上时，求AA '的长；（2）如图2，当点C '落在AB 的延长线上时，连接CC '，交A B '于点M ，求BM 的长；（3）如图3，连接,AA CC ''，直线CC '交AA '于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ．在旋转过程中，DE 是否存在最小值？若存在，求出DE 的最小值；若不存在，请说明理由．32．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 的直线EF 与BA 、DC 的延长线分别交于点E 、F ．（1）求证：AE ＝CF ；（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE 是菱形，并说明理由．33．（2021·浙江绍兴市·中考真题）问题：如图，在ABCD 中，8AB =，5AD =，DAB ∠，ABC ∠的平分线AE ，BF 分别与直线CD 交于点E ，F ，求EF 的长．答案：2EF =．探究：（1）把“问题”中的条件“8AB =”去掉，其余条件不变．∶当点E 与点F 重合时，求AB 的长；∶当点E 与点C 重合时，求EF 的长．（2）把“问题”中的条件“8AB =，5AD =”去掉，其余条件不变，当点C ，D ，E ，F 相邻两点间的距离相等时，求AD AB的值．2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】专题17多边形与平行四边形（共33题）一、单选题1．（2021·湖南岳阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（）A．五边形的内角和是720︒B．三角形的任意两边之和大于第三边C．内错角相等D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点【答案】B【分析】根据相关概念逐项分析即可．【详解】A、五边形的内角和是540︒，故原命题为假命题，不符合题意；B、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意；C、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意；D、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查命题判断，涉及多边形的内角和，三角形的三边关系，平行线的性质，以及三角形的重心等，熟记基本性质和定理是解题关键．2．（2021·四川眉山市·中考真题）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（）A．1：3B．1：2C．2：1D．3：1【答案】D【分析】根据正八边形的外角和等于360°，求出每个外角的度数，再求出每个内角的度数，进而即可求解．【详解】解：正八边形中，每个外角=360°÷8=45°，每个内角=180°-45°=135°，∶每个内角与每个外角的度数之比=135°：45°=3：1，故选D．【点睛】本题主要考查正多边形的内角和外角，熟练掌握正多边形的外角和等于360°，是解题的关键． 3．（2021·湖南衡阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）．A ．正六边形的外角和大于正五边形的外角和B ．正六边形的每一个内角为120︒C ．有一个角是60︒的三角形是等边三角形D ．对角线相等的四边形是矩形【答案】B【分析】根据多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】正六边形的外角和，和正五边形的外角和相等，均为360︒∶选项A 不符合题意；正六边形的内角和为：()62180720-⨯︒=︒∶每一个内角为7201206︒=︒，即选项B 正确； 三个角均为60︒的三角形是等边三角形∶选项C 不符合题意；对角线相等的平行四边形是矩形∶选项D 不正确；故选：B ．【点睛】本题考查了多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质，从而完成求解．4．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，AC 是正五边形ABCDE 的对角线，ACD ∠的度数是（ ）A ．72°B ．36°C ．74°D ．88°【答案】A【分析】 根据正五边形的性质可得108B BCD ∠=∠=︒，AB BC =，根据等腰三角形的性质可得36BCA BAC ∠=∠=︒，利用角的和差即可求解．【详解】解：∶ABCDE 是正五边形，∶108B BCD ∠=∠=︒，AB BC =，∶36BCA BAC ∠=∠=︒,∶1083672ACD ∠=︒-︒=︒，故选：A ．【点睛】本题考查正五边形的性质，求出正五边形内角的度数是解题的关键．5．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，连接AB 、BC 、CD 、DE 、EA ，若100BCD ∠=︒，则A B D E ∠+∠+∠+∠=（ ）A ．220︒B ．240︒C ．260︒D ．280︒【答案】D【分析】 连接BD ，根据三角形内角和求出∶CBD +∶CDB ，再利用四边形内角和减去∶CBD 和∶CDB 的和，即可得到结果．【详解】解：连接BD ，∶∶BCD =100°，∶∶CBD +∶CDB =180°-100°=80°，∶∶A +∶ABC +∶E +∶CDE =360°-∶CBD -∶CDB =360°-80°=280°，故选D ．【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形．6．（2021·四川资阳市·中考真题）下列命题正确的是（ ）A ．每个内角都相等的多边形是正多边形B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形C ．过线段中点的直线是线段的垂直平分线D ．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分【答案】B【分析】分别根据正多边形的判定、平行四边形的判定、线段垂直平分线的判定以及三角形中线的性质逐项进行判断即可得到结论．【详解】解：A .每个内角都相等，各边都相等的多边形是正多边形，故选项A 的说法错误，不符合题意；B . 对角线互相平分的四边形是平行四边形,说法正确，故选项B 符合题意；C . 过线段中点且垂直这条线段的直线是线段的垂直平分线，故选项C 的说法错误，不符合题意；D . 三角形的中位线将三角形的面积分成1∶3两部分，故选项D 的说法错误，不符合题意．故选：B ．【点睛】此题主要考查了对正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断以及三角形中线性质的认识，熟练掌握正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断是解答此题的关键．7．（2021·安徽中考真题）在ABC 中，90ACB ∠=︒，分别过点B ，C 作BAC ∠平分线的垂线，垂足分别为点D ，E ，BC 的中点是M ，连接CD ，MD ，ME ．则下列结论错误的是（ ）A ．2CD ME =B ．//ME ABC ．BD CD = D ．ME MD =【答案】A【分析】设AD 、BC 交于点H ，作HF AB ⊥于点F ，连接EF ．延长AC 与BD 并交于点G ．由题意易证()CAE FAE SAS ≅，从而证明ME 为CBF 中位线，即//ME AB ，故判断B 正确；又易证()AGD ABD ASA ≅，从而证明D 为BG 中点．即利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求出CD BD =，故判断C 正确；由90HDM DHM ∠+∠=︒、90HCE CHE ∠+∠=︒和DHM CHE ∠=∠可证明HDM HCE ∠=∠．再由90HEM EHF ∠+∠=︒、EHC EHF ∠=∠和90EHC HCE ∠+∠=︒可推出 HCE HEM ∠=∠，即推出HDM HEM ∠=∠，即MD ME =，故判断D 正确；假设2CD ME =，可推出2CD MD =，即可推出30DCM ∠=︒．由于无法确定DCM ∠的大小，故2CD ME =不一定成立，故可判断A 错误．【详解】如图，设AD 、BC 交于点H ，作HF AB ⊥于点F ，连接EF ．延长AC 与BD 并交于点G ．∶AD 是BAC ∠的平分线，HFAB ⊥，HC AC ⊥，∶HC =HF ，∶AF =AC ． ∶在CAE 和FAE 中，AF AC CAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∶()CAE FAE SAS ≅，∶CE FE =，∶AEC =∶AEF =90°，∶C 、E 、F 三点共线，∶点E 为CF 中点．∶M 为BC 中点，∶ME 为CBF 中位线，∶//ME AB ，故B 正确，不符合题意；∶在AGD △和ABD △中，90GAD BAD AD AD ADG ADB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∶()AGD ABD ASA ≅， ∶12GD BD BG ==，即D 为BG 中点． ∶在BCG 中，90BCG ∠=︒， ∶12CD BG =， ∶CD BD =，故C 正确，不符合题意；∶90HDM DHM ∠+∠=︒，90HCE CHE ∠+∠=︒，DHM CHE ∠=∠，∶HDM HCE ∠=∠．∶HF AB ⊥，//ME AB ，∶HF ME ⊥，∶90HEM EHF ∠+∠=︒．∶AD 是BAC ∠的平分线，∶EHC EHF ∠=∠．∶90EHC HCE ∠+∠=︒，∶HCE HEM ∠=∠，∶HDM HEM ∠=∠，∶MD ME =，故D 正确，不符合题意；∶假设2CD ME =，∶2CD MD =，∶在Rt CDM 中，30DCM ∠=︒．∶无法确定DCM ∠的大小，故原假设不一定成立，故A 错误，符合题意．故选A ．【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线的判定和性质以及含30角的直角三角形的性质等知识，较难．正确的作出辅助线是解答本题的关键．8．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在∶ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若∶ADE 的面积是3cm 2，则四边形BDEC 的面积为（ ）A ．12cm 2B ．9cm 2C ．6cm 2D ．3cm 2【答案】B【分析】 由三角形的中位线定理可得DE =12BC ，DE ∶BC ，可证∶ADE ∶∶ABC ，利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】 解：∶点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，∶DE =12BC ，DE ∶BC ， ∶∶ADE ∶∶ABC ， ∶21()4ADE ABC S DE S BC ∆∆==， ∶S ∶ADE =3，∶S ∶ABC =12，∶四边形BDEC 的面积=12-3=9(cm 2)，故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 9．（2021·天津中考真题）如图，ABCD 的顶点A ，B ，C 的坐标分别是()()()2,0,1,2,2,2---，则顶点D 的坐标是（ ）A ．()4,1-B ．()4,2-C ．()4,1D ．()2,1【答案】C【分析】 根据平行四边形性质以及点的平移性质计算即可．【详解】解：∶四边形ABCD 是平行四边形，点B 的坐标为(-2，-2)，点C 的坐标为(2，-2)，∶点B 到点C 为水平向右移动4个单位长度，∶A 到D 也应向右移动4个单位长度，∶点A 的坐标为(0，1)，则点D 的坐标为(4，1)，故选:C ．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及平移的相关知识点，熟知点的平移特点是解决本题的关键．10．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分∶BAD 且交BC 于点E ，∶D =58°，则∶AEC 的大小是（ ）A ．61°B ．109°C ．119°D ．122°【答案】C【分析】根据四边形ABCD 是平行四边形，得到对边平行，再利用平行的性质求出180122BAD D ∠=︒-∠=︒，根据角平分线的性质得：AE 平分∶BAD 求DAE ∠，再根据平行线的性质得AEC ∠，即可得到答案．【详解】解：∶四边形ABCD 是平行四边形∶//AB CD ，//AD BC∶180********BAD D ∠=︒-∠=︒-︒=︒∶AE 平分∶BAD ∶111226122DAE BAD ∠=∠=⨯︒=︒ ∶//AD BC∶180********AEC DAE ∠=︒-∠=︒-︒=︒故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，能利用平行四边形的性质找到角与角的关系，是解答此题的关键．11．（2021·四川南充市·中考真题）如图，点O 是ABCD 对角线的交点，EF 过点O 分別交AD ，BC 于点E ，F ．下列结论成立的是（ ）A ．OE OF =B ．AE BF =C ．DOC OCD ∠=∠D ．CFE DEF ∠=∠【答案】A【分析】 首先可根据平行四边形的性质推出∶AEO ∶∶CFO ，从而进行分析即可．【详解】∶点O 是ABCD 对角线的交点，∶OA =OC ，∶EAO =∶CFO ，∶∶AOE =∶COF ，∶∶AEO ∶∶CFO （ASA ），∶OE =OF ，A 选项成立；∶AE =CF ，但不一定得出BF =CF ，则AE 不一定等于BF ，B 选项不一定成立；若DOC OCD ∠=∠，则DO =DC ，由题意无法明确推出此结论，C 选项不一定成立；由∶AEO ∶∶CFO 得∶CFE =∶AEF ，但不一定得出∶AEF =∶DEF ，则∶CFE 不一定等于∶DEF ，D 选项不一定成立；故选：A ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，理解基本性质，利用全等三角形的判定与性质是解题关键．12．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图是一个由5张纸片拼成的ABCD ，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为1S ，另两张直角三角形纸片的面积都为2S ，中间一张矩形纸片EFGH 的面积为3S ，FH 与GE 相交于点O ．当,,,AEO BFO CGO DHO 的面积相等时，下列结论一定成立的是（ ）A ．12S SB ．13S S =C ．AB AD = D ．EH GH =【答案】A【分析】根据∶AED 和∶BCG 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是平行四边形，四边形HEFG 是矩形可得出AE =DE =BG =CG =a ， HE =GF ，GH =EF ，点O 是矩形HEFG 的中心，设AE =DE =BG =CG =a ， HE =GF = b ，GH =EF = c ，过点O 作OP ∶EF 于点P ，OQ ∶GF 于点Q ，可得出OP ，OQ 分别是∶FHE 和∶EGF 的中位线，从而可表示OP ，OQ 的长，再分别计算出1S ，2S ，3S 进行判断即可【详解】解：由题意得，∶AED 和∶BCG 是等腰直角三角形，∶45ADE DAE BCG GBC ∠=∠=∠=∠=︒∶四边形ABCD 是平行四边形，∶AD =BC ，CD =AB ，∶ADC =∶ABC ，∶BAD =∶DCB∶∶HDC =∶FBA ，∶DCH =∶BAF ，∶∶AED ∶∶CGB ，∶CDH ∶ABF∶AE =DE =BG =CG∶四边形HEFG 是矩形∶GH =EF ，HE =GF设AE =DE =BG =CG =a ， HE =GF = b ，GH =EF = c过点O 作OP ∶EF 于点P ，OQ ∶GF 于点Q ，∶OP //HE ，OQ //EF∶点O 是矩形HEFG 的对角线交点，即HF 和E G 的中点，∶OP ，OQ 分别是∶FHE 和∶EGF 的中位线， ∶1122OP HE b ==，1122OQ EF c == ∶1111()()2224BOF S BF OQ a b c a b c ∆==-⨯=- 11112224AOE S AE OP a b ab ∆==⨯= ∶BOF AOE S S ∆∆=∶11()44a b c ab -=，即ac bc ab -= 而211122AED S S AE DE a ∆===，222211111()()()()22222AFB S S AF BF a c a b a ab ac bc a ab ab a ∆===+-=-+-=-+= 所以，12S S ，故选项A 符合题意，2223=()()S HE EF a b a c a bc ab ac a ab ab a =-+=--+=+-=∶13S S ≠，故选项B 不符合题意，而AB AD =于EH GH =都不一定成立，故,C D 都不符合题意，故选：A【点睛】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S 1，S 2，S 3之间的关系．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．（2021·浙江丽水市·中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720︒，则原多边形的边数是__________．【答案】6或7【分析】求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．【详解】解：由多边形内角和，可得（n -2）×180°=720°，∶n =6，∶新的多边形为6边形，∶过顶点剪去一个角，∶原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，故答案为6或7．【点睛】本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题的关键． 14．（2021·湖北黄冈市·中考真题）正五边形的一个内角是_____度．【答案】108【分析】根据正多边形的定义、多边形的内角和公式即可得．【详解】解：正五边形的一个内角度数为180(52)1085︒⨯-=︒，故答案为：108．【点睛】本题考查了正多边形的内角，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．15．（2021·陕西中考真题）正九边形一个内角的度数为______．【答案】140°【分析】正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，而每个内角等于180︒减去一个外角，求出外角即可求解．【详解】正多边形的每个外角360=n︒（n为边数），所以正九边形的一个外角360==409︒︒∴正九边形一个内角的度数为18040140︒-︒=︒故答案为：140°．【点睛】本题考查的是多边形的内角和，多边形的外角和为360︒，正多边形的每个内角相等，通过计算1个外角的度数来求得1个内角度数是解题关键．16．（2021·湖南中考真题）一个多边形的每个外角的度数都是60°，则这个多边形的内角和为______．【答案】720°【分析】多边形的外角和计算公式为：边数×外角的度数=360°，根据公式即可得出多边形的边数，然后再根据多边形的内角和公式求出它的内角和，n边形内角和等于(n-2) ×180°．【详解】解：∶任何多边形的外角和是360°，此正多边形每一个外角都为60°，边数×外角的度数=360°，∶n=360°÷60°=6，∶此正多边形的边数为6，则这个多边形的内角和为(n -2) ×180°，(6-2)×180°=720°，故答案为720°．【点睛】本题主要考查了多边形内角和及外角和定理，熟知“任何多边形的外角和是360°，n 边形内角和等于(n -2) ×180°”是解题的关键．17．（2021·四川广安市·中考真题）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．【答案】8【详解】解：设边数为n ，由题意得，180（n -2）=360⨯3解得n=8.所以这个多边形的边数是8.18．（2021·浙江中考真题）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（,,,,A B C D E 是正五边形的五个顶点），则图中A ∠的度数是_______度．【答案】36【分析】根据题意，得五边形（,,,,F G H J K 是正五边形的五个顶点）为正五边形，且AF AK =；根据多边形内角和性质，得正五边形FGHJK 内角和，从而得4∠；再根据补角、等腰三角形、三角形内角和性质计算，即可得到答案．【详解】∶正五角星（,,,,A B C D E 是正五边形的五个顶点）∶五边形（,,,,F G H J K 是正五边形的五个顶点）为正五边形，且AF AK =∶正五边形FGHJK 内角和为：()52180540-⨯︒=︒ ∶54041085︒∠==︒ ∶3180472∠=︒-∠=︒∶AF AK =∶2372∠=∠=︒∶11802336∠=︒-∠-∠=︒故答案为：36．【点睛】本题考查了正多边形、多边形内角和、补角、等腰三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形、多边形内角和、等腰三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．19．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在ABCD 中，点E 在AD 上，且EC 平分BED ∠，若30EBC ∠=︒，10BE =，则ABCD 的面积为________．【答案】50【分析】过点E 作EF ∶BC ，垂足为F ，利用直角三角形的性质求出EF ，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∶BCE=∶BEC，可得BE=BC=10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．【详解】解：过点E作EF∶BC，垂足为F，∶∶EBC=30°，BE=10，∶EF=12BE=5，∶四边形ABCD是平行四边形，∶AD∶BC，∶∶DEC=∶BCE，又EC平分∶BED，即∶BEC=∶DEC，∶∶BCE=∶BEC，∶BE=BC=10，∶四边形ABCD的面积=BC EF⨯=105⨯=50，故答案为：50．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，30度的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，知识点较多，但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出EF的长是解题的关键．20．（2021·云南中考真题）如图，在ABC中，点D，E分别是,BC AC的中点，AD与BE相交于点F，若6BF=，则BE的长是______．【答案】9【分析】根据中位线定理得到DE =12AB ，DE ∶AB ，从而证明∶DEF ∶∶ABF ，得到12DE EF AB BF ==，求出EF ，可得BE ．【详解】解：∶点D ，E 分别为BC 和AC 中点，∶DE =12AB ，DE ∶AB ， ∶∶DEF ∶∶ABF ，∶12DE EF AB BF ==， ∶BF =6，∶EF =3，∶BE =6+3=9，故答案为：9．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据中位线的性质证明∶DEF ∶∶ABF ．21．（2021·重庆中考真题）如图，ABC 中，点D 为边BC 的中点，连接AD ，将ADC 沿直线AD 翻折至ABC 所在平面内，得ADC '，连接CC '，分别与边AB 交于点E ，与AD 交于点O ．若AE BE =，2BC '=，则AD 的长为__________．【答案】3【分析】利用翻折的性质可得,OC OC '=推出OD 是CC B '的中位线，得出1OD =，再利用OD BC '//得出AO 的长度，即可求出AD 的长度．【详解】由翻折可知,OC OC '=∶O 是CC '的中点，∶点D 为边BC 的中点，O 是CC '的中点，∶OD 是CC B '的中位线， ∶11,2OD BC OD BC ''==// ， ∶AO AE BC BE ='， ∶AE BE =，∶1AE BE=， ∶1AO BC ='， ∶2AO BC '==，∶213AD AO OD =+=+=．故答案为：3．【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质，掌握三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质是解题的关键．22．（2021·湖南邵阳市·中考真题）如图，点D 、E 、F 分别是∶ABC 各边的中点，连接DE 、EF 、DF ，若∶ABC 的周长为10，则∶DEF 的周长为_______________．【答案】5【详解】解：根据三角形的中位线定理可得DE=12AC ，EF=12AB ，DF=12BC 所以∶DEF 的周长为∶ABC 的周长的一半，即∶DEF 的周长为5故答案为：5．【点睛】本题考查三角形的中位线定理．23．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ,AB AC ⊥，AH BD⊥于点H ，若AB =2，23BC =，则AH 的长为__________________．23 【分析】根据勾股定理求得AC 的长，结合平行四边形的性质求得AO 的长，然后利用相似三角形的判定和性质求解．【详解】 解：∶AB AC ⊥，23BC =AB =2∶在Rt ∶ABC 中，AC 2222BC AB -=∶在ABCD 中，AO =122AC = 在Rt ∶ABO 中，BO 226AO AB +=∶AB AC ⊥，AH BD ⊥∶90AHB OAB ∠=∠=︒又∶ABO HBA ∠=∠∶ABO HBA △∽△∶AH AB AO BO=26= 解得：AH 23． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定和性质以及勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．24．（2021·山东临沂市·中考真题）在平面直角坐标系中，ABCD 的对称中心是坐标原点，顶点A 、B 的坐标分别是(1,1)-、(2,1)，将ABCD 沿x 轴向右平移3个单位长度，则顶点C 的对应点1C 的坐标是___．【答案】（4，-1）【分析】根据平行四边形的性质得到点C 坐标，再根据平移的性质得到C 1坐标．【详解】解：在平行四边形ABCD 中，∶对称中心是坐标原点，A （-1，1），B （2，1），∶C （1，-1），将平行四边形ABCD 沿x 轴向右平移3个单位长度，∶C 1（4，-1），故答案为：（4，-1）．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．25．（2021·浙江丽水市·中考真题）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中2FM EM =，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即,AB CD 之间的距离是__________．【答案】133【分析】先根据图1求EQ 与CD 之间的距离，再求出BQ ，即可得到,AB CD之间的距离= EQ 与CD 之间的距离+BQ ．【详解】解：过点E 作EQ ∶BM ，则//EQ CD根据图1图形EQ 与CD 之间的距离=1114+4=3222⨯⨯⨯ 由勾股定理得：2224EF =，解得：22EF =221242AM ⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得：22AM =∶2FM EM =∶11==33EM FM AM∶EQ ∶BM ，90B ∠=︒∶//EQ AB∶2242=333BQ BM ==⨯ ∶,AB CD 之间的距离= EQ 与CD 之间的距离+BQ 413=3+=33故答案为133． 【点睛】本题考查了平行线间的距离、勾股定理、平行线所分得线段对应成比例相关知识点，能利用数形结合法找到需要的数据是解答此题的关键．26．（2021·浙江金华市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形∶的边BC 及四边形∶的边CD 都在x 轴上，“猫”耳尖E 在y 轴上．若“猫”尾巴尖A 的横坐标是1，则“猫”爪尖F 的坐标是___________．【答案】1222,44⎛+- ⎝⎭【分析】设大正方形的边长为2a 2a ，中等腰直角三角形的腰长为a ，小等腰直角三角形的腰长为2a 2，小正方形的边长为2a 2，平行四边形的长边为a ，短边为2a 2，用含有a 的代数式表示点A 的横坐标，表示点F 的坐标，确定a 值即可.【详解】设大正方形的边长为2a 2a ，中等腰直角三角形的腰长为a ，小等腰直角三角形的腰长为2a 2，小正方形的边长为2a 2，平行四边形的长边为a ，短边为2a 2，如图，过点F 作FG ∶x 轴，垂足为G , 点F 作FH ∶y 轴，垂足为H , 过点A 作AQ ∶x 轴，垂足为Q ,延长大等腰直角三角形的。
2021-2022学年重庆市十八中学中考数学押题试卷含解析
2021-2022中考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．已知二次函数（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，则关于x 的一元二次方程2x 3x m 0-+=的两实数根是A ．x 1＝1，x 2＝－1B ．x 1＝1，x 2＝2C ．x 1＝1，x 2＝0D ．x 1＝1，x 2＝3 3．若分式方程1x a a x -=+无解，则a 的值为（ ） A ．0 B ．-1 C ．0或-1 D ．1或-14．如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．5．下列运算正确的是（ ）A ．（a ﹣3）2=a 2﹣9B ．（12）﹣1=2C ．x+y=xyD ．x 6÷x 2=x 36．我国作家莫言获得诺贝尔文学奖之后，他的代表作品《蛙》的销售量就比获奖之前增长了180倍，达到2100000册．把2100000用科学记数法表示为（）A．0.21×108B．21×106C．2.1×107D．2.1×1067．某种计算器标价240元，若以8折优惠销售，仍可获利20%，那么这种计算器的进价为（）A．152元B．156元C．160元D．190元8．下列说法不正确的是（）A．选举中，人们通常最关心的数据是众数B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得奇数的可能性比较大C．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩相同，方差分别为S甲2=0.4，S乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定D．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是49．如果关于x 的分式方程1311a xx x--=++有负数解，且关于y 的不等式组2()43412a y yyy---⎧⎪⎨+<+⎪⎩无解，则符合条件的所有整数a的和为（）A．﹣2 B．0 C．1 D．310．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB 的长为42，则a的值是（）A．4 B．3＋2C．32D．33+11．一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x双，列出方程（）A．10%x＝330 B．（1﹣10%）x＝330C．（1﹣10%）2x＝330 D．（1+10%）x＝33012．方程(2)0x x+=的根是（）A．x=2 B．x=0 C．x1=0，x2=-2 D．x1=0，x2=2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，四边形是矩形，四边形是正方形，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点在上，点在反比例函数（为常数，）的图像上，正方形的面积为4，且，则值为________.14．如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E，F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为__________．15．有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下：则，y2=_____，第n次的运算结果y n=_____．（用含字母x和n的代数式表示）．16．如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC＝5，CD＝8，则AE＝______．17．如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为________．18．如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为（3，0），点P（1，2）在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P的坐标为____________________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，如图，A，B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶，已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．开通隧道前，汽车从A地到B地要走多少千米？开通隧道后，汽车从A地到B地可以少走多少千米？(结果保留根号)20．（6分）某汽车制造公司计划生产A、B两种新型汽车共40辆投放到市场销售．已知A型汽车每辆成本34万元，售价39万元；B型汽车每辆成本42万元，售价50万元．若该公司对此项计划的投资不低于1536万元，不高于1552万元．请解答下列问题：（1）该公司有哪几种生产方案？（2）该公司按照哪种方案生产汽车，才能在这批汽车全部售出后，所获利润最大，最大利润是多少？（3）在（2）的情况下，公司决定拿出利润的2.5％全部用于生产甲乙两种钢板（两种都生产），甲钢板每吨5000元，乙钢板每吨6000元，共有多少种生产方案？（直接写出答案）21．（6分）如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC．如图1，求C点坐标；如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，求证：PA＝CQ；在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标．22．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +3）x +m 2+2＝1．（1）若方程有实数根，求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22＝31+|x 1x 2|，求实数m 的值．23．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象与y 轴交于点()B 0,1，与反比例函数m y x= 的图象交于点()A 3,2-． ()1求反比例函数的表达式和一次函数表达式；()2若点C 是y 轴上一点，且BC BA =，直接写出点C 的坐标．24．（10分）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣32与x 轴交于点A （1，0）和点B （﹣3，0）．绕点A 旋转的直线l ：y ＝kx +b 1交抛物线于另一点D ，交y 轴于点C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当点D 在第二象限且满足CD ＝5AC 时，求直线l 的解析式； （3）在（2）的条件下，点E 为直线l 下方抛物线上的一点，直接写出△ACE 面积的最大值；（4）如图2，在抛物线的对称轴上有一点P ，其纵坐标为4，点Q 在抛物线上，当直线l 与y 轴的交点C 位于y 轴负半轴时，是否存在以点A ，D ，P ，Q 为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．25．（10分）如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：6≈2.449，结果保留整数）26．（12分）已知△ABC中，D为AB边上任意一点，DF∥AC交BC于F，AE∥BC，∠CDE=∠ABC＝∠ACB＝α，(1)如图1所示，当α=60°时，求证：△DCE是等边三角形；(2)如图2所示，当α=45°时，求证：CDDE=2；(3)如图3所示，当α为任意锐角时，请直接写出线段CE与DE的数量关系：CEDE＝_____.27．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC．求证：四边形ABCD是菱形；过点D 作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、D根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.【详解】解：A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；D. 既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．故选D.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键. 2、B【解析】试题分析：∵二次函数2y x 3x m -+＝（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，∴213m 0m 2-+=⇒=．∴2212x 3x m 0x 3x 20x 1x 2-+=⇒-+=⇒==，．故选B ． 3、D【解析】试题分析：在方程两边同乘(x ＋1)得：x －a ＝a (x ＋1)，整理得：x (1－a )＝2a ，当1－a ＝0时，即a ＝1，整式方程无解，当x ＋1＝0，即x ＝－1时，分式方程无解，把x ＝－1代入x (1－a )＝2a 得：－(1－a )＝2a ，解得：a ＝－1，故选D ．点睛：本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是熟记分式方程无解的条件．4、A【解析】分析：根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．详解：从上面看第一列是两个小正方形，第二列是一个小正方形，第三列是一个小正方形，点睛：本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．5、B【解析】分析：根据完全平方公式、负整数指数幂，合并同类项以及同底数幂的除法的运算法则进行计算即可判断出结果. 详解：A. （a ﹣3）2=a 2﹣6a+9,故该选项错误；B. （12）﹣1=2，故该选项正确； C.x 与y 不是同类项，不能合并，故该选项错误；D. x 6÷x 2=x 6-2=x4，故该选项错误.故选B.点睛：可不是主要考查了完全平方公式、负整数指数幂，合并同类项以及同度数幂的除法的运算，熟记它们的运算法则是解题的关键.6、D【解析】2100000=2.1×106.点睛:对于一个绝对值较大的数，用科学记数法写成10n a ⨯ 的形式，其中110a ≤<，n 是比原整数位数少1的数. 7、C【解析】【分析】设进价为x 元，依题意得240×0.8-x=20x℅,解方程可得. 【详解】设进价为x 元，依题意得240×0.8-x=20x℅解得x=160所以，进价为160元.故选C【点睛】本题考核知识点：列方程解应用题. 解题关键点：找出相等关系.8、D【解析】试题分析：A 、选举中，人们通常最关心的数据为出现次数最多的数，所以A 选项的说法正确；B 、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，由于奇数由3个，而偶数有2个，则取得奇数的可能性比较大，所以B 选项的说法正确；C、甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩相同，方差分别为S甲2=0.4，S乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定，所以C选项的说法正确；D、数据3，5，4，1，﹣2由小到大排列为﹣2，1，3，4，5，所以中位数是3，所以D选项的说法错误．故选D．考点：随机事件发生的可能性（概率）的计算方法9、B【解析】解关于y的不等式组2()43412a y yyy---⎧⎪⎨+<+⎪⎩，结合解集无解，确定a的范围，再由分式方程1311a xx x--=++有负数解，且a为整数，即可确定符合条件的所有整数a的值，最后求所有符合条件的值之和即可．【详解】由关于y的不等式组2()43412a y yyy---⎧⎪⎨+<+⎪⎩，可整理得242y ay+⎧⎨<-⎩∵该不等式组解集无解，∴2a+4≥﹣2即a≥﹣3又∵1311a xx x--=++得x＝42a-而关于x的分式方程1311a xx x--=++有负数解∴a﹣4＜1∴a＜4于是﹣3≤a＜4，且a为整数∴a＝﹣3、﹣2、﹣1、1、1、2、3则符合条件的所有整数a的和为1．故选B．【点睛】本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．10、B【解析】试题解析：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC=3，PC=a，把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为（3，3），∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE=BE=12AB=12×22在Rt△PBE中，PB=3，∴223-22=1（），∴22，∴2．故选B．考点：1．垂径定理；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．勾股定理．11、D【解析】解：设上个月卖出x双，根据题意得：（1+10%）x=1．故选D．12、C【解析】试题解析：x（x+1）=0，⇒x=0或x+1=0，解得x1=0，x1=-1．故选C．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、-1【解析】试题分析：∵正方形ADEF的面积为4，∴正方形ADEF的边长为2，∴BF=2AF=4，AB=AF+BF=2+4=1．设B点坐标为（t，1），则E点坐标（t-2，2），∵点B、E在反比例函数y=的图象上，∴k=1t=2（t-2），解得t=-1，k=-1．考点：反比例函数系数k的几何意义．142【解析】分析：延长AE交DF于G，再根据全等三角形的判定得出△AGD与△ABE全等，得出AG=BE=4，由AE=3，得出EG=1，同理得出GF=1，再根据勾股定理得出EF的长．详解：延长AE交DF于G，如图，∵AB=5，AE=3，BE=4，∴△ABE是直角三角形，同理可得△DFC是直角三角形，可得△AGD是直角三角形，∴∠ABE+∠BAE=∠DAE+∠BAE，∴∠GAD=∠EBA，同理可得：∠ADG=∠BAE．在△AGD和△BAE中，∵EAB GDAAD ABABE DAG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AGD≌△BAE（ASA），∴AG=BE=4，DG=AE=3，∴EG=4﹣3=1，同理可得：GF=1，∴EF22112+=2点睛：本题考查了正方形的性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出EG =FG =1，再利用勾股定理计算．15、431x x + 2(21)1n n x x -+ 【解析】根据题目中的程序可以分别计算出y 2和y n ，从而可以解答本题．【详解】∵y 1=21x x +，∴y 2=1121y y +=221211x x x x ⨯+++=431x x +，y 3=871x x +，…… y n =2211n n x x -+（）． 故答案为：4231211n n x x x x +-+，（）． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，用代数式表示出相应的y 2和y n ．16、2【解析】试题解析：∵AB 为圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E.1 4.2CE CD ∴== 在直角△OCE 中, 222254 3.OE OC CE =-=-=则AE =OA −OE =5−3=2.故答案为2.17、2【解析】试题分析：因为OC=OA ，所以∠ACO=22.5A ∠=︒，所以∠AOC=45°，又直径AB 垂直于弦CD ，4OC =，所以CE=CD=2CE=考点：1．解直角三角形、2．垂径定理．18、（6053，2）．【解析】根据前四次的坐标变化总结规律，从而得解.【详解】第一次P 1（5，2），第二次P 2（8，1），第三次P 3（10，1），第四次P 4（13，1），第五次P 5（17，2），…发现点P 的位置4次一个循环，∵2017÷4=504余1，P 2017的纵坐标与P 1相同为2，横坐标为5+3×2016=6053，∴P 2017（6053，2），故答案为（6053，2）．考点：坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、 (1)开通隧道前，汽车从A 地到B 地要走)千米；(2)汽车从A 地到B 地比原来少走的路程为千米．【解析】（1）过点C 作AB 的垂线CD ，垂足为D ，在直角△ACD 中，解直角三角形求出CD ，进而解答即可；（2）在直角△CBD 中，解直角三角形求出BD ，再求出AD ，进而求出汽车从A 地到B 地比原来少走多少路程．【详解】(1)过点C 作AB 的垂线CD ，垂足为D ，∵AB ⊥CD ，sin30°＝CD BC，BC ＝80千米， ∴CD ＝BC •sin30°＝80×12＝40(千米)，AC ＝CD sin 45︒=(千米)， AC +BC ＝80+1-8(千米)， 答：开通隧道前，汽车从A 地到B 地要走(80+1-8)千米；(2)∵cos30°＝BD BC ，BC ＝80(千米)， ∴BD ＝BC •cos30°＝80×3=4032(千米)， ∵tan45°＝CD AD，CD ＝40(千米)， ∴AD ＝CD 40tan 45︒=(千米)， ∴AB ＝AD +BD ＝40+403(千米)，∴汽车从A 地到B 地比原来少走多少路程为：AC +BC ﹣AB ＝80+1-8﹣40﹣403＝40+40(23)-(千米)． 答：汽车从A 地到B 地比原来少走的路程为 [40+40(23)-]千米．【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．20、（1）共有三种方案，分别为①A 型号16辆时， B 型号24辆；②A 型号17辆时，B 型号23辆；③A 型号18辆时，B 型号22辆；（2）当16x =时，272W =最大万元；（3）A 型号4辆，B 型号8辆; A 型号10辆，B 型号 3辆两种方案【解析】（1）设A 型号的轿车为x 辆，可根据题意列出不等式组，根据问题的实际意义推出整数值；（2）根据“利润=售价-成本”列出一次函数的解析式解答；（3）根据（2）中方案设计计算.【详解】（1）设生产A 型号x 辆,则B 型号（40-x ）辆1536≤34x+42(40-x)≤1552解得1618x ≤≤，x 可以取值16，17，18共有三种方案，分别为A 型号16辆时，B 型号24辆A 型号17辆时，B 型号23辆A 型号18辆时，B 型号22辆（2）设总利润W 万元则W=()5840x x +-=3320x -+30k =-<∴w 随x 的增大而减小当16x =时，272W =最大万元（3）A 型号4辆，B 型号8辆; A 型号10辆，B 型号 3辆两种方案【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，以及一元一次不等式组的应用，此题是典型的数学建模问题，要先将实际问题转化为不等式组解应用题.21、（1）C （1，-4）．（2）证明见解析；（3）∠APB=135°，P （1，0）．【解析】（1）作CH ⊥y 轴于H ，证明△ABO ≌△BCH ，根据全等三角形的性质得到BH=OA=3，CH=OB=1，求出OH ，得到C 点坐标；（2）证明△PBA ≌△QBC ，根据全等三角形的性质得到PA=CQ ；（3）根据C 、P ，Q 三点共线，得到∠BQC=135°，根据全等三角形的性质得到∠BPA=∠BQC=135°，根据等腰三角形的性质求出OP ，得到P 点坐标．【详解】（1）作CH ⊥y 轴于H ，则∠BCH+∠CBH=90°，∵AB ⊥BC ，∴∠A BO+∠CBH=90°，∴∠ABO=∠BCH ，在△ABO 和△BCH 中，ABO BCH AOB BHC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABO ≌△BCH ，∴BH=OA=3，CH=OB=1，∴OH=OB+BH=4，∴C 点坐标为（1，﹣4）；（2）∵∠PBQ=∠ABC=90°，∴∠PBQ ﹣∠ABQ=∠ABC ﹣∠ABQ ，即∠PBA=∠QBC ，在△PBA 和△QBC 中，BP BQ PBA QBC BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBA ≌△QBC ，∴PA=CQ ；（3）∵△BPQ 是等腰直角三角形，∴∠BQP=45°，当C 、P ，Q 三点共线时，∠BQC=135°，由（2）可知，△PBA ≌△QBC ，∴∠BPA=∠BQC=135°，∴∠OPB=45°，∴OP=OB=1，∴P 点坐标为（1，0）．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．22、（1）m ≥﹣112；（2）m ＝2． 【解析】（1）利用判别式的意义得到（2m +3）2﹣4（m 2+2）≥1，然后解不等式即可；（2）根据题意x 1+x 2＝2m +3，x 1x 2＝m 2+2，由条件得x 12+x 22＝31+x 1x 2，再利用完全平方公式得（x 1+x 2）2﹣3x 1x 2﹣31＝1，所以2m +3）2﹣3（m 2+2）﹣31＝1，然后解关于m 的方程，最后利用m 的范围确定满足条件的m 的值．【详解】（1）根据题意得（2m +3）2﹣4（m 2+2）≥1，解得m ≥﹣112； （2）根据题意x 1+x 2＝2m +3，x 1x 2＝m 2+2，因为x 1x 2＝m 2+2＞1，所以x 12+x 22＝31+x 1x 2，即（x 1+x 2）2﹣3x 1x 2﹣31＝1，所以（2m +3）2﹣3（m 2+2）﹣31＝1，整理得m 2+12m ﹣28＝1，解得m 1＝﹣14，m 2＝2，而m ≥﹣112； 所以m ＝2．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c ＝1（a ≠1）的两根时，1212,b c x x x x a a +=-=．灵活应用整体代入的方法计算．23、（1）y=6x -，y=-x+1;（2）C(0，+1 )或C(0，). 【解析】（1）依据一次函数y kx b =+的图象与y 轴交于点(0,1)B ，与反比例函数m y x=的图象交于点(3,2)A -，即可得到反比例函数的表达式和一次函数表达式；（2）由(3,2)A -，(0,1)B 可得：AB ==，即可得到BC =，再根据1BO =，可得1CO =+或1，即可得出点C 的坐标．【详解】（1）∵双曲线m y x =过(3,2)A -，将(3,2)A -代入m y x=，解得：6m =-． ∴所求反比例函数表达式为：6y x =-． ∵点(3,2)A -，点(0,1)B 在直线y kx b =+上，∴23k b -=+，1b =，∴1k =-，∴所求一次函数表达式为1y x =-+．（2）由(3,2)A -，(0,1)B 可得：AB ==，∴BC =．又∵1BO =，∴321CO =+或321-，∴(0C ，321+)或(0C ，132)．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式和反比例函数与一次函数的交点问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．24、（1）y ＝12x 2+x ﹣32；（2）y ＝﹣x +1；（3）当x ＝﹣2时，最大值为94；（4）存在，点D 的横坐标为﹣3或7或﹣7．【解析】（1）设二次函数的表达式为：y ＝a （x +3）（x ﹣1）＝ax 2+2ax ﹣3a ，即可求解；（2）OC ∥DF ，则1,5AC AO CD OF == 即可求解； （3）由S △ACE =S △AME ﹣S △CME 即可求解；（4）分当AP 为平行四边形的一条边、对角线两种情况，分别求解即可．【详解】（1）设二次函数的表达式为：y ＝a （x +3）（x ﹣1）＝ax 2+2ax ﹣3a ，即：332a -=-，解得：12a =， 故函数的表达式为： 21322y x x =+-①； （2）过点D 作DF ⊥x 轴交于点F ，过点E 作y 轴的平行线交直线AD 于点M ，∵OC ∥DF ，∴1,5AC AO CD OF ==OF ＝5OA ＝5， 故点D 的坐标为（﹣5，6），将点A 、D 的坐标代入一次函数表达式：y ＝mx +n 得：650m n m n =-+⎧⎨=+⎩，解得：11.m n =-⎧⎨=⎩ 即直线AD 的表达式为：y ＝﹣x +1， （3）设点E 坐标为213,22x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭， 则点M 坐标为(),1x x -+，则221315122222EM x x x x x =-+--+=--+， ()211912244ACE AME CME S S S EM x ，=-=⨯⨯=-++ ∵104a =-<，故S △ACE 有最大值， 当x ＝﹣2时，最大值为94； （4）存在，理由：①当AP 为平行四边形的一条边时，如下图，设点D 的坐标为213,22t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭， 将点A 向左平移2个单位、向上平移4个单位到达点P 的位置，同样把点D 左平移2个单位、向上平移4个单位到达点Q 的位置，则点Q 的坐标为215222t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，， 将点Q 的坐标代入①式并解得：3t ；=- ②当AP 为平行四边形的对角线时，如下图，设点Q 坐标为213,22t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，点D 的坐标为（m ，n ）， AP 中点的坐标为（0，2），该点也是DQ 的中点，则：20213222,2m t n t t +⎧=⎪⎪⎨++-⎪=⎪⎩ 即： 2111,22m t n t t =-⎧⎪⎨=--+⎪⎩将点D 坐标代入①式并解得：7m =±．故点D 的横坐标为：3-或7或7-．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图形平移、平行四边形的性质等，关键是（4）中，用图形平移的方法求解点的坐标，本题难度大．25、此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是98海里．【解析】【分析】过点P 作PC ⊥AB ，则在Rt △APC 中易得PC 的长，再在直角△BPC 中求出PB 的长即可．【详解】作PC ⊥AB 于C 点，∴∠APC=30°，∠BPC=45° ，AP=80（海里），在Rt △APC 中，cos ∠APC=PC PA， ∴PC=PA•cos ∠3，在Rt △PCB 中，cos ∠BPC=PC PB， ∴PB=403cos PC BPC =∠6≈98（海里）， 答：此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是98海里．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用举例，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.26、1【解析】试题分析：（1）证明△CFD≌△DAE即可解决问题．（2）如图2中，作FG⊥AC于G．只要证明△CFD∽△DAE，推出DCDE=CFAD，再证明CF=2AD即可．（3）证明EC=ED即可解决问题．试题解析：（1）证明：如图1中，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC=BA．∵DF∥AC，∴∠BFD=∠BCA=60°，∠BDF=∠BAC=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BF=BD，∴CF=AD，∠CFD=120°．∵AE∥BC，∴∠B+∠DAE=180°，∴∠DAE=∠CFD=120°．∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE．∵∠CDE=∠B=60°，∴∠FCD=∠ADE，∴△CFD≌△DAE，∴DC=DE．∵∠CDE=60°，∴△CDE是等边三角形．（2）证明：如图2中，作FG⊥AC于G．∵∠B=∠ACB=45°，∴∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形．∵DF∥AC，∴∠BDF=∠BAC=90°，∴∠BFD=45°，∠DFC=135°．∵AE∥BC，∴∠BAE+∠B=180°，∴∠DFC=∠DAE=135°．∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE．∵∠CDE=∠B=45°，∴∠FCD=∠ADE，∴△CFD∽△DAE，∴DCDE=CFAD．∵四边形ADFG是矩形，FC=2FG，∴FG=AD，CF=2AD，∴CDDE=2．（3）解：如图3中，设AC与DE交于点O．∵AE∥BC，∴∠EAO=∠ACB．∵∠CDE=∠ACB，∴∠CDO=∠OAE．∵∠COD=∠EOA，∴△COD∽△EOA，∴COEO=ODOA，∴COOD=EOOA．∵∠COE=∠DOA，∴△COE∽△DOA，∴∠CEO=∠DAO．∵∠CED+∠CDE+∠DCE=180°，∠BAC+∠B+∠ACB=180°．∵∠CDE=∠B=∠ACB，∴∠EDC=∠ECD，∴EC=ED，∴CEDE=1．点睛：本题考查了相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．27、（1）详见解析；（2）1.【解析】（1）根据平行线的性质得到∠ADB＝∠CBD，根据角平分线定义得到∠ABD＝∠CBD，等量代换得到∠ADB＝∠ABD，根据等腰三角形的判定定理得到AD＝AB，根据菱形的判定即可得到结论；（2）由垂直的定义得到∠BDE＝90°，等量代换得到∠CDE＝∠E，根据等腰三角形的判定得到CD＝CE＝BC，根据勾股定理得到DE＝22BE BD＝6，于是得到结论．【详解】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∵BA＝BC，∴AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵BA＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵DE⊥BD，∴∠BDE＝90°，∴∠DBC+∠E＝∠BDC+∠CDE＝90°，∵CB＝CD，∴∠DBC＝∠BDC，∴∠CDE＝∠E，∴CD＝CE＝BC，∴BE＝2BC＝10，∵BD＝8，∴DE6，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝BC＝5，∴四边形ABED的周长＝AD+AB+BE+DE＝1．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．。
2020重庆中考复习数学第18题专题训练八(含答案)
2020重庆中考复习数学第18题专题训练（含答案）例1、如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，6），B（2，0），C（6，0），D为线段BC上的动点，以AD为边向右侧作正方形ADEF，连接CF交DE于点P，则CP的最大值．练习：在平面直角坐标系中，已知A（0，4）、B（1，0）、C（4，0），D为线段BC上的动点，以AD为边向右侧作正方形ADEF，连CF交DE于P，则CP的最大值为．例2、如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC≠90°，AC＝4，BC＝3，∠BCA＝45°，点D在线段BC 一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，则线段CP长的最大值为．练习：如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC≠90°，AC＝2，BC＝3，∠BCA＝45°，点D在线段BC一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，则线段CP长的最大值为．例3、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点B是y轴上一个动点，以AB为边在AB 的下方作等边△ABC，则线段OC的最小值为．练习：1、如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上．以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，则OP的最小值为．2、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连结OC，则OC的最小值为．参考答案解析例1、（2019秋•赣榆区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，6），B（2，0），C（6，0），D为线段BC上的动点，以AD为边向右侧作正方形ADEF，连接CF交DE于点P，则CP的最大值．解：如图，作FQ⊥y轴于点Q，∴∠FQA＝∠AOD＝90°，∴∠F AQ+∠AFQ＝90°，∵四边形ADEF是正方形，∴F A＝AD，∠F AD＝90°，∴∠F AQ+∠DAO＝90°，∴∠AFQ＝∠DAO，在△AFQ和△DAO中，，∴△AFQ≌△DAO（AAS），∴FQ＝OA＝OC＝6，又FQ∥OC，且∠FQO＝90°，∴四边形OCFQ是矩形，∴∠PCD＝∠AOD＝90°，∵∠ADE＝90°，∴∠ADO+∠CDP＝90°，且∠OAD+∠ADO＝90°，∴∠OAD＝∠CDP，且∠PCD＝∠AOD＝90°，∴△AOD∽△DCP，∴，设OD＝x，则CD＝6﹣x（2≤x≤6），∴，∴PC＝﹣（x﹣3）2+，∴CP的最大值为，练习：（2016春•武汉校级月考）在平面直角坐标系中，已知A（0，4）、B（1，0）、C（4，0），D为线段BC上的动点，以AD为边向右侧作正方形ADEF，连CF交DE于P，则CP的最大值为1．解：如图，作FQ⊥y轴于点Q，∴∠FQA＝∠AOD＝90°，∴∠F AQ+∠AFQ＝90°，∵四边形ADEF是正方形，∴F A＝AD，∠F AD＝90°，∴∠F AQ+∠DAO＝90°，∴∠AFQ＝∠DAO，在△AFQ和△DAO中，，∴△AFQ≌△DAO（AAS），∴FQ＝OA＝OC＝4，又FQ∥OC，且∠FQO＝90°，∴四边形OCFQ是矩形，∴∠PCD＝∠AOD＝90°，∵∠ADE＝90°，∴△AOD∽△DCP，∴＝，设OD＝x，则CD＝4﹣x（1≤x≤4），则＝，即PC＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+1，∴当x＝2时，PC最大＝1，例2、（2017•越秀区校级二模）如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC≠90°，AC＝4，BC＝3，∠BCA ＝45°，点D在线段BC一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．正方形ADEF 的边DE与线段CF相交于点P，则线段CP长的最大值为．解：如图，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，则∠GAC＝90°，∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，∴∠ACB＝∠AGC＝45°，∴AC＝AG，在△GAD与△CAF中，，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF＝∠AGC＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即CF⊥BC．∵DE与CF交于点P时，此时点D位于线段CQ上，∵∠BCA＝45°，AC＝4，∴由勾股定理得AQ＝CQ＝4．设CD＝x，∴DQ＝4﹣x，∵∠ADB+∠ADE+∠PDC＝180°且∠ADE＝90°，∴∠ADQ+∠PDC＝90°，又∵在Rt△PCD中，∠PDC+∠DPC＝90°，∴∠ADQ＝∠DPC，∵∠AQD＝∠DCP＝90°，∴△AQD∽△DCP，∴，∴．∴CP＝﹣x2+x＝﹣（x﹣2）2+1．∴当x＝2时，CP有最大值1．练习：如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC≠90°，AC＝2，BC＝3，∠BCA＝45°，点D在线段BC一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，则线段CP长的最大值为．解：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC＝AG，可证△GAD≌△CAF，∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q，∵DE与CF交于点P时，此时点D位于线段CQ上，∵∠BCA＝45°，AC＝2，∴由勾股定理可求得AQ＝CQ＝2．设CD＝x，∴DQ＝2﹣x，∵∠ADB+∠ADE+∠PDC＝180°且∠ADE＝90°，∴∠ADQ+∠PDC＝90°，又∵在直角△PCD中，∠PDC+∠DPC＝90°，∴∠ADQ＝∠DPC，∵∠AQD＝∠DCP＝90°，∴△AQD∽△DCP，∴＝，∴＝．∴CP＝﹣x2+x＝﹣（x﹣1）2+．∴当x＝1时，CP有最大值．例3、如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，0），点B是y轴上一个动点，以AB为边在AB 的下方作等边△ABC，则线段OC的最小值为．解：如图，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EC，并延长EC交x轴于点F．在△AEC与△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS），∴∠AEC＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF＝OA＝4，∴点P在直线EF上运动，当OC⊥EF时，OC最小，∴OC＝OF＝2，则OC的最小值为2．练习：如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上．以AB 为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，则OP的最小值为．解：以OA为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．可得△AEP≌△ADB，∴∠AEP＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF＝OA＝3，∴点P在直线EF上运动，当OP⊥EF时，OP最小，∴OP＝OF＝，则OP的最小值为．2、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一个动点，连接AB，以AB为一边向下作等边△ABC，连结OC，则OC的最小值为2．解：如图，以OA为对称轴作等边△ADE，连接EC，并延长EC交x轴于点F．在△AEC与△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS），∴∠AEC＝∠ADB＝120°，∴∠OEF＝60°，∴OF＝OA＝4，∴点C在直线EF上运动，当OC⊥EF时，OC最小，∴OC＝OF＝2，则OC的最小值为2．。
重庆中考数学第18题专题训练(含答案)
重庆中考18题专题训练 1．含有同种果蔬但浓度不同的A 、B 两种饮料，A 种饮料重40千克，B 种饮料重60千克现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是_____________千克【分析】典型的浓度配比问题：溶液的浓度＝溶质的质量/全部溶液质量．在本题中两种果蔬的浓度不知道，但是因为倒出的和倒入果蔬质量相同，所以原A 种饮料混合的总质量仍然是后40千克，原B 种饮料混合的总质量仍然是后60千克．可设A 种饮料的浓度为a ，B 种饮料的浓度为b ，各自倒出和倒入的果蔬质量相同可设为x 千克，由于混合后的浓度相同，由题意可得：()()40604060x a xb x b xa -+-+= 去分母()()604060406040x a xb x b xa -+=-+，去括号得：2400606024004040a xa xb b bx xa -+=-+移项得：6060404024002400xa xb bx xa b a -++-=-合并得：()()1002400b a x b a -=-所以：24x =2. 从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是 。
解：设切下的一块重量是x 千克，设10千克和15千克的合金的含铜的百分比为a ，b ，= ，整理得（b-a ）x=6（b-a ），x=63.设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤．从这两块合金上切下重量相等的一块，并把所切下的每块与另一种剩余的合金加在一起，熔炼后两者的含铜百分率相等，则切下的合金重（ ）A ．12公斤B ．15公斤C ．18公斤D ．24公斤考点：一元一次方程的应用．分析：设含铜量甲为a 乙为b ，切下重量为x ．根据设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤，熔炼后两者的含铜百分率相等，列方程求解．解：设含铜量甲为a ，乙为b ，切下重量为x ．由题意，有=，解得x=24．切下的合金重24公斤．故选D ．4. 一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用，已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车每次运货物的吨数之比为1：3；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了120吨，若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了180吨．则这批货物共 吨．解：设货物总吨数为x 吨．甲每次运a 吨，乙每次运3a 吨，丙每次运b 吨． ， =， 解得x=240．故答案为：240．5.某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了朵．解：设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆．由题意，有，由①得，3x+2y+2z=580③，由②得，x+z=150④，把④代入③，得x+2y=280，∴2y=280-x⑤，由④得z=150-x⑥．∴4x+2y+3z=4x+（280-x）+3（150-x）=730，∴黄花一共用了：24x+12y+18z=6（4x+2y+3z）=6×730=4380．故黄花一共用了4380朵．5.一个水池装一个进水管和三个同样的出水管，先打开进水管，等水池存一些水后再打开出水管（进水管不关闭）．若同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，则5分钟后水池空．那么出水管比进水管晚开分钟．考点：三元一次方程组的应用．解：设出水管比进水管晚开x分钟，进水管的速度为y，出水管的速度为z，则有：，两式相除得：，解得：x=40，即出水管比进水管晚开40分钟．故答案为：40．6.（1）一种商品原来的销售利润率是47%．现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了．（2）某商品现在的进价便宜20％，而售价未变，则其利润比原来增加了30个百分点，那么原来的利润率为。
重庆中考数学第18题专题训练含答案
重庆中考18题专题训练1．含有同种果蔬但浓度不同的A 、B 两种饮料，A 种饮料重40千克，B 种饮料重60千克现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是_____________千克【分析】典型的浓度配比问题：溶液的浓度＝溶质的质量/全部溶液质量．在本题中两种果蔬的浓度不知道，但是因为倒出的和倒入果蔬质量相同，所以原A 种饮料混合的总质量仍然是后40千克，原B 种饮料混合的总质量仍然是后60千克．可设A 种饮料的浓度为a ，B 种饮料的浓度为b ，各自倒出和倒入的果蔬质量相同可设为x 千克，由于混合后的浓度相同，由题意可得：()()40604060x a xb x b xa -+-+= 去分母()()604060406040x a xb x b xa -+=-+，去括号得：2400606024004040a xa xb b bx xa -+=-+移项得：6060404024002400xa xb bx xa b a -++-=-合并得：()()1002400b a x b a -=-所以：24x =2. 从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是 。
解：设切下的一块重量是x 千克，设10千克和15千克的合金的含铜的百分比为a ，b ，= ，整理得（b-a ）x=6（b-a ），x=63.设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤．从这两块合金上切下重量相等的一块，并把所切下的每块与另一种剩余的合金加在一起，熔炼后两者的含铜百分率相等，则切下的合金重（ ）A ．12公斤B ．15公斤C ．18公斤D ．24公斤 考点：一元一次方程的应用．分析：设含铜量甲为a 乙为b ，切下重量为x ．根据设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤，熔炼后两者的含铜百分率相等，列方程求解．解：设含铜量甲为a ，乙为b ，切下重量为x ．由题意，有=，解得x=24．切下的合金重24公斤．故选D ．4. 一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用，已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车每次运货物的吨数之比为1：3；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了120吨，若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了180吨．则这批货物共 吨．解：设货物总吨数为x 吨．甲每次运a 吨，乙每次运3a 吨，丙每次运b 吨．， =， 解得x=240．故答案为：240．5.某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了朵．解：设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆．由题意，有，由①得，3x+2y+2z=580③，由②得，x+z=150④，把④代入③，得x+2y=280，∴2y=280-x⑤，由④得z=150-x⑥．∴4x+2y+3z=4x+（280-x）+3（150-x）=730，∴黄花一共用了：24x+12y+18z=6（4x+2y+3z）=6×730=4380．故黄花一共用了4380朵．5.一个水池装一个进水管和三个同样的出水管，先打开进水管，等水池存一些水后再打开出水管（进水管不关闭）．若同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，则5分钟后水池空．那么出水管比进水管晚开分钟．考点：三元一次方程组的应用．解：设出水管比进水管晚开x分钟，进水管的速度为y，出水管的速度为z，则有：，两式相除得：，解得：x=40，即出水管比进水管晚开40分钟．故答案为：40．6.（1）一种商品原来的销售利润率是47%．现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了．（2）某商品现在的进价便宜20％，而售价未变，则其利润比原来增加了30个百分点，那么原来的利润率为。
重庆十八中学2022年中考联考数学试题含解析
2021-2022中考数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，BD为⊙O的直径，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADB的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°2．某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于，否则就有危险，那么梯子的长至少为（）A．8米B．米C．米D．米3．下列运算正确的是（）A．a12÷a4=a3B．a4•a2=a8C．（﹣a2）3=a6D．a•（a3）2=a74．为丰富学生课外活动，某校积极开展社团活动，开设的体育社团有：A：篮球，B：排球，C：足球，D：羽毛球，E：乒乓球．学生可根据自己的爱好选择一项，李老师对八年级同学选择体育社团情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图），则以下结论不正确的是（）A．选科目E的有5人B．选科目A的扇形圆心角是120°C．选科目D的人数占体育社团人数的1 5D．据此估计全校1000名八年级同学，选择科目B的有140人5．如图，等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上，若a∥b，∠1=30°，则∠2的度数为（）A．30°B．15°C．10°D．20°6．下列代数运算正确的是（）A．（x+1）2=x2+1 B．（x3）2=x5C．（2x）2=2x2D．x3•x2=x57．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了32分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，则AF的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8 9．若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为()A ．4B ．5C ．6D ．710．如图，将Rt ABC △绕直角顶点C 顺时针旋转90，得到A B C ''，连接'A A ，若120︒∠=，则B 的度数是（ ）A ．70︒B ．65︒C ．60︒D ．55︒二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．函数y=231x x +-中自变量x 的取值范围是_____． 12．不等式组的解是________．13．某风扇在网上累计销量约1570000台，请将1570000用科学记数法表示为_____．14．已知关于x 的方程有解，则k 的取值范围是_____．15．若关于x 的不等式组><2x a x ⎧⎨⎩恰有3个整数解，则字母a 的取值范围是_____． 16．如图，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，AB 的中点与原点O 重合，AB=2， AD=1，点E 的坐标为（0，2）．点F （x ，0）在边AB 上运动，若过点E 、F 的直线将矩形ABCD 的周长分成2：1两部分，则x 的值为__．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图，已知：△ABC 中，AB=AC ，M 是BC 的中点，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，且BD=CE ．求证：MD=ME ．18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点()0,3C -，A 点的坐标为()1,0-．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P 是抛物线在第四象限上的一个动点，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标，并求出四边形ABPC 的最大面积；（3）若Q 为抛物线对称轴上一动点，直接写出使QBC ∆为直角三角形的点Q 的坐标．19．（8分）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x/(元/千克)50 60 70 销售量y/千克 100 80 60(1)求y 与x 之间的函数表达式；设商品每天的总利润为W(元)，求W 与x 之间的函数表达式(利润＝收入－成本)；试说明(2)中总利润W 随售价x 的变化而变化的情况，并指出售价为多少时获得最大利润，最大利润是多少？20．（8分）（5分）计算：．21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数(0)k y x x=>的图像与边长是6的正方形OABC 的两边AB ，BC 分别相交于M ,N 两点.若点M 是AB 边的中点，求反比例函数k y x=的解析式和点N 的坐标；若2AM =，求直线MN 的解析式及OMN △的面积22．（10分）已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=BC ，DC ⊥BC ，且AD=1，DC=3，点P 为边AB 上一动点，以P 为圆心，BP 为半径的圆交边BC 于点Q ．(1)求AB 的长；(2)当BQ 的长为409时，请通过计算说明圆P 与直线DC 的位置关系．23．（12分）解不等式组21324x x x x ≥⎧⎨≥⎩－①－（－）② 请结合题意填空，完成本题的解答（1）解不等式①，得_______.（2）解不等式②，得_______.（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（4）原不等式组的解集为_______________.24．解方程（1）2430x x --=；（2）()22(1)210x x ---=参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、A【解析】解：∵四边形ABCO是平行四边形，且OA=OC，∴四边形ABCO是菱形，∴AB=OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵BD是⊙O的直径，∴点B、D、O在同一直线上，∴∠ADB=12∠AOB=30°故选A．2、C【解析】此题考查的是解直角三角形如图：AC=4，AC⊥BC，∵梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能＞60°．∴∠ABC≤60°，最大角为60°．即梯子的长至少为米，故选C.3、D【解析】分别根据同底数幂的除法、乘法和幂的乘方的运算法则逐一计算即可得．【详解】解：A、a12÷a4=a8，此选项错误；B、a4•a2=a6，此选项错误；C、（-a2）3=-a6，此选项错误；D、a•（a3）2=a•a6=a7，此选项正确；故选D．【点睛】本题主要考查幂的运算，解题的关键是掌握同底数幂的除法、乘法和幂的乘方的运算法则．4、B【解析】A选项先求出调查的学生人数，再求选科目E的人数来判定，B选项先求出A科目人数，再利用A科目人数总人数×360°判定即可，C选项中由D的人数及总人数即可判定，D选项利用总人数乘以样本中B人数所占比例即可判定．【详解】解：调查的学生人数为：12÷24%=50（人），选科目E的人数为：50×10%=5（人），故A选项正确，选科目A的人数为50﹣（7+12+10+5）=16人，选科目A的扇形圆心角是1650×360°=115.2°，故B选项错误，选科目D的人数为10，总人数为50人，所以选科目D的人数占体育社团人数的15，故C选项正确，估计全校1000名八年级同学，选择科目B的有1000×75=140人，故D选项正确；故选B．【点睛】本题主要考查了条形统计图及扇形统计图，解题的关键是读懂统计图，从统计图中找到准确信息．5、B【解析】分析：由等腰直角三角形的性质和平行线的性质求出∠ACD=60°，即可得出∠2的度数．详解：如图所示：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=90°，∠ACB=45°，∴∠1+∠BAC=30°+90°=120°，∵a∥b，∴∠ACD=180°-120°=60°，∴∠2=∠ACD-∠ACB=60°-45°=15°；故选B．点睛：本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，由平行线的性质求出∠ACD的度数是解决问题的关键．6、D【解析】分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式进行逐一计算即可．【详解】解：A. （x+1）2=x2+2x+1,故A错误；B. （x3）2=x6，故B错误；C. （2x）2=4x2，故C错误.D. x3•x2=x5,故D正确.故本题选D.【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式，熟练掌握他们的定义是解题的关键.7、A【解析】【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】由图可得，甲步行的速度为：240÷4=60米/分，故①正确，乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）=30（分钟），故②错误，乙追上甲用的时间为：16﹣4=12（分钟），故③错误，乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60=360米，故④错误，故选A．【点睛】本题考查了函数图象，弄清题意，读懂图象，从中找到必要的信息是解题的关键.8、B【解析】试题分析：连接CD，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴AB=2BC=1．∵作法可知BC=CD=4，CE是线段BD的垂直平分线，∴CD是斜边AB的中线，∴BD=AD=4，∴BF=DF=2，∴AF=AD+DF=4+2=2．故选B．考点：作图—基本作图；含30度角的直角三角形．9、C【解析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到(n﹣2)×180°=720°，然后解方程即可．【详解】设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和是720°，根据多边形的内角和定理得（n－2）180°=720°．解得n=6.故选C.【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解答本题的关键.10、B【解析】根据旋转的性质可得AC＝A′C，然后判断出△ACA′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CAA′＝45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠A′B′C，最后根据旋转的性质可得∠B＝∠A′B′C．【详解】解：∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，∴AC＝A′C，∴△ACA′是等腰直角三角形，∴∠CAA′＝45°，∴∠A′B′C＝∠1＋∠CAA′＝20°＋45°＝65°，∴∠B＝∠A′B′C＝65°．故选B．【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、x≥﹣32且x≠1．【解析】根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列式计算．【详解】由题意得，2x+3≥0，x-1≠0，解得，x≥-32且x≠1，故答案为：x≥-32且x≠1．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．12、x＞4【解析】分别解出不等式组中的每一个不等式，然后根据同大取大得出不等式组的解集.【详解】由①得:x＞2;由②得:x＞4;∴此不等式组的解集为x＞4;故答案为x＞4.【点睛】考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.13、1.57×1【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将1570000用科学记数法表示为1.57×1．故答案为1.57×1．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．14、k ≠1【解析】 试题分析：因为，所以1-x+2（x-2）=-k ，所以1-x+2x-4=-k ，所以x=3-k ，所以，因为原方程有解，所以，解得．考点：分式方程．15、﹣2≤a ＜﹣1．【解析】 先确定不等式组的整数解，再求出a 的范围即可．【详解】∵关于x 的不等式组><2x a x ⎧⎨⎩恰有3个整数解， ∴整数解为1，0，﹣1，∴﹣2≤a ＜﹣1，故答案为：﹣2≤a ＜﹣1．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解的应用，能根据已知不等式组的解集和整数解确定a 的取值范围是解此题的关键．16、23或﹣23． 【解析】试题分析：当点F 在OB 上时，设EF 交CD 于点P ，可求点P 的坐标为（2x ，1）． 则AF+AD+DP=3+32x ， CP+BC+BF=3﹣32x ， 由题意可得：3+32x=2（3﹣32x ）， 解得：x=23．由对称性可求当点F 在OA 上时，x=﹣23， 故满足题意的x 的值为23或﹣23． 故答案是23或﹣23． 【点睛】考点：动点问题．三、解答题（共8题，共72分）17、证明见解析.【解析】 试题分析：根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM ，可证△BDM ≌△CEM ，可得MD=ME ，即可解题． 试题解析：证明：△ABC 中，∵AB=AC ，∴∠DBM=∠ECM.∵M 是BC 的中点，∴BM=CM.在△BDM 和△CEM 中，∵{BD CEDBM ECM BM CM=∠=∠=，∴△BDM ≌△CEM （SAS ）.∴MD=ME ．考点：1.等腰三角形的性质；2.全等三角形的判定与性质.18、（1）223y x x =--；（2）P 点坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭， 758；（3）Q⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭或()1,2或()1,4-． 【解析】（1）根据待定系数法把A 、C 两点坐标代入2y x bx c =++可求得二次函数的解析式；（2）由抛物线解析式可求得B 点坐标，由B 、C 坐标可求得直线BC 解析式，可设出P 点坐标，用P 点坐标表示出四边形ABPC 的面积，根据二次函数的性质可求得其面积的最大值及P 点坐标；（3）首先设出Q 点的坐标，则可表示出QB 2、QC 2和BC 2，然后分∠BQC=90°、∠CBQ=90°和∠BCQ=90°三种情况，求解即可.【详解】解：（1）∵A(-1,0)，()0,3C -在2y x bx c =++上，103b c c -+=⎧∴⎨=-⎩，解得23b c =-⎧⎨=-⎩， ∴二次函数的解析式为223y x x =--；（2）在223y x x =--中，令0y =可得2023x x -=-，解得3x =或1x =-，()3,0B ∴，且()0,3C -，∴经过B 、C 两点的直线为3y x =-，设点P 的坐标为()223x x x --，，如图，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，与直线BC 交于点E ，则(),3E x x -，ABC BCP ABPC S S S ∆∆=+四边形()211433322x x =⨯⨯+-⨯239622x x =-++23375228x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ∴当32x =时，四边形ABPC 的面积最大，此时P 点坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴四边形ABPC 的最大面积为758； （3）()222314y x x x =--=--，∴对称轴为1x =，∴可设Q 点坐标为()1,t ，()3,0B ，()0,3C -，()2222134BQ t t ∴=-+=+，()222213610CQ t t t =++=++，218BC =，QBC ∆为直角三角形，∴有90BQC ∠=︒、90CBQ ∠=︒和90BCQ ∠=︒三种情况，①当90BQC ∠=︒时，则有222BQ CQ BC +=，即22461018t t t ++++=，解得317t -+=或317t --=，此时Q 点坐标为3171,2⎛-+ ⎝⎭或3171,2⎛- ⎝⎭； ②当90CBQ ∠=︒时，则有222BC BQ CQ +=，即22418610t t t ++=++，解得2t =，此时Q 点坐标为()1,2；③当90BCQ ∠=︒时，则有222BC CQ BQ +=，即22186104t t t +++=+，解得4t =-，此时Q 点坐标为()1,4-；综上可知Q 点的坐标为3171,2⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭或3171,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或()1,2或()1,4-． 【点睛】本题考查了待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识，注意分类讨论思想的应用.19、 (1)y ＝－2x ＋200(4080)x ≤≤ (2)W ＝－2x 2＋280x －8 000(3)售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1 800元．【解析】（1）用待定系数法求一次函数的表达式；（2）利用利润的定义，求与之间的函数表达式；（3）利用二次函数的性质求极值.【详解】解：(1)设y kx b =+，由题意，得501006080k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2200k b =-⎧⎨=⎩，∴所求函数表达式为2200y x =-+. (2)2(40)(2200)22808000W x x x x =--+=-+-.(3)22228080002(70)1800W x x x =-+-=--+，其中4080x ≤≤，∵20-<，∴当时，随的增大而增大，当7080x <≤时，随的增大而减小，当售价为70元时，获得最大利润，这时最大利润为1800元.考点： 二次函数的实际应用.20、．【解析】试题分析：利用负整数指数幂，零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值的定义解答．试题解析：原式==． 考点：1．实数的运算；2．零指数幂；3．负整数指数幂；4．特殊角的三角函数值．21、（1）18y x=，N(3，6)；（2）y ＝－x ＋2，S △OMN ＝3. 【解析】（1）求出点M 坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，把N 点的纵坐标代入解析式即可求得横坐标；（2）根据M 点的坐标与反比例函数的解析式，求得N 点的坐标，利用待定系数法求得直线MN 的解析式，根据△OMN ＝S 正方形OABC －S △OAM －S △OCN －S △BMN 即可得到答案．【详解】解：(1)∵点M 是AB 边的中点，∴M(6，3)．∵反比例函数y ＝k x 经过点M ，∴3＝6k ．∴k ＝1． ∴反比例函数的解析式为y ＝18x ． 当y ＝6时，x ＝3，∴N(3，6)．(2)由题意，知M(6，2)，N(2，6)．设直线MN 的解析式为y ＝ax ＋b ，则6226a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得18a b =-⎧⎨=⎩， ∴直线MN 的解析式为y ＝－x ＋2．∴S △OMN ＝S 正方形OABC －S △OAM －S △OCN －S △BMN ＝36－6－6－2＝3．【点睛】本题考查了反比例函数的系数k 的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数的解析式，正方形的性质，求得M 、N 点的坐标是解题的关键．22、（1）AB 长为5;（2）圆P 与直线DC 相切，理由详见解析.【解析】（1）过A 作AE ⊥BC 于E ，根据矩形的性质得到CE=AD=1，AE=CD=3，根据勾股定理即可得到结论；（2）过P 作PF ⊥BQ 于F ，根据相似三角形的性质得到PB=259，得到PA=AB-PB=209，过P 作PG ⊥CD 于G 交AE 于M ，根据相似三角形的性质得到PM=169，根据切线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）过A 作AE ⊥BC 于E ，则四边形AECD 是矩形，∴CE=AD=1，AE=CD=3，∵AB=BC ，∴BE=AB-1，在Rt △ABE 中，∵AB 2=AE 2+BE 2，∴AB2=32+（AB-1）2，解得：AB=5；（2）过P作PF⊥BQ于F，∴BF=12BQ=209，∴△PBF∽△ABE，∴PB BF AB BE=，∴20954 PB=，∴PB=259，∴PA=AB-PB=209，过P作PG⊥CD于G交AE于M，∴GM=AD=1，∵DC⊥BC∴PG∥BC∴△APM∽△ABE，∴AP PM AB BE=，∴20954PM=，∴PM=169，∴PG=PM+MG=259=PB，∴圆P与直线DC相切．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．23、（1）x≥-1；（2）x≤1；（3）见解析；（4）－1≤x≤1．【解析】分别解两个不等式，然后根据公共部分确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集.【详解】解：（1）x≥-1；（2）x≤1；（3）；（4）原不等式组的解集为－1≤x≤1．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．24、（1）127x =，227x =；（2）11x =，23x =-．【解析】（1）利用公式法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【详解】（1）解：∵1a =，4b =-，3c =-，∴224(4)41(3)280b ac ∆=-=--⨯⨯-=>， ∴24(4)2842727b b ac x -±---±±====± ∴127x =227x =；（2）解：原方程化为：2(1)2(1)(1)0x x x --+-=，因式分解得：[](1)(1)2(1)0x x x ---+=，整理得：(1)(3)0x x ---=，∴10x -=或30x --=，∴11x =，23x =-．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．。
重庆市开州区初中六校2022年中考数学第一次学调试题(含答案与解析)
又如：∵1496＝34×44，3比4小1，4＋4≠10，∴1496不是“双十数”．
（1）判断357，836是否是“双十数”，并说明理由；
（2）自然数N＝A×B为“双十数”，将两位数A放在两位数B的左边，构成一个新的四位数M．例如：4819＝61×79，M＝6179，若A与B的十位数字之和能被5整除，且M能被7整除，求所有满足条件的自然数N．
（1）求平台上点B到山体底部地面AE的距离；
（2）求D到山体平台BF的距离CD的长．（精确到1米，参考数据：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3）
20.已知：如图，在平行四边形 中， ．
（1）用尺规完成以下基本作图：作 的角平分线AE，交BC于点E，在AD上截取 ，连接CF；（保留作图痕迹，不写作法和结论）
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是90°和同弧或等弧所对的圆周角相等，解决本题的关键是牢记相关概念与推论．
6.估计 的值应在（）．
A.3和4之间B.4和5之间C.5和6之间D.6和7之间
【6题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的运算方法，以及估算无理数的大小的方法解答即可．
初二的测试成绩在C组中的数据为：80，86，88．
初三的测试成绩：76，83，100，88，81，100，82，71，95，90，100，93，89，86，86．
年级
平均数
中位数
最高分
众数
初二
88
a
98
98
初三
88
88
100
b
（1）a＝，b＝；
2020重庆中考复习数学第18题专题训练一(含答案解析)
2020重庆中考复习数学第18题专题训练一（含答案解析）一、线段最小值问题例1、（2016•内乡县二模）如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是练习：如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转45°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是．例2、如图，边长为8的正方形ABCD中，动点P在CD边上，以AP为直角边向上作等腰Rt△APE，边PE与BC交于点F，连接BE.则线段BE在运动过程的最小值为.练习：如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是边AB、CD上的动点，且AE＝CF，连接EF，将线段EF 绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，连接DG，则线段DG长的最小值为 ．例3、（2019春•鄞州区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E是矩形ABCD的边AD上的一动点，以CE为边，在CE的右侧构造正方形CEFG，连结AF，则AF的最小值为 ．练习：（2019春•梁溪区期末）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D、F在CE所在直线的同侧），H为CD中点，连接FH．点E在运动过程中，HF的最小值为．G例4、（2019•惠山区一模）如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF，OF．则线段OF长的最小值练习：（2019•南充模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，O是BC边的中点，P是正方形内一动点，且OP ＝2，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90°到DQ，连接AP，CQ，PQ，则线段PQ的最小值为．例5、（2019•宿迁）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．练习：1、（2019秋•东台市期中）如图，正方形ABCD中边长为6，E为BC上一点，且BE＝1.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．2、如图，长方形 ABCD 中，AB=6，BC=8，E 为 BC 上一点，且 BE＝2，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转 45˚到 EG 的位置，连接 FG 和 CG，则 CG的最小值为．例6、（2019•锡山区一模）在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、P（1，0），B为y轴上的动点，以AB 为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°．M为BC的中点，则PM的最小值为 ．练习：在平面直角坐标系中，已知A（4，8）、P（2，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C 在x轴上，∠BAC＝90°．M为BC的中点，则PM的最小值为 ．例7、（2017秋•上虞区期末）如图，矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，点E是边AD上一点，以CE 为直角边在与点D的同侧作等腰直角△CEG，连结BG，当点E在边AD上运动时，线段BG长度的最小值是练习：（2017•龙华区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，OA＝4，OC＝3，点D为BC边上一点，以AD为一边在与点B的同侧作正方形ADEF，连接OE．当点D在边BC上运动时，OE的长度的最小值是 ．例8、如图，线段AB＝8，D为AB的中点，点E是平面内一动点，且满足DE＝2，连接BE，将BE绕点E逆时针旋转90°得到EC，连接AC、BC，则线段AC长度的最大值为 ．二、线段和最小值问题例1、如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是BC边的中点，F是CD边上的一点，且DF＝2，若M、N 分别是线段AD、AE上的动点，则MN+MF的最小值为 ．练习：如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF＝2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH+CH的最小值为9.例2、（2016春•青山区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E和点F分别是AC和BC上的动点，在点E和点F运动的过程中，BE+EF的最小值为练习：，∠D＝60°，点P、Q分别是AC 1、（2017春•东西湖区期中）如图，在▱ABCD中，AB＝2，AB AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值2、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，则CM+MN的最小值为．例3、（2019春•新吴区期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB 上的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为.练习：如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，AD＝2，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将线段MN绕点M逆时针旋转90至MN′，连接N′B，N′C，则N′B+N′C的最小值是 ．例4、（2015•石家庄模拟）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点M，E在AD上，点F在边AB上，并且DM＝1，现将△AEF沿着直线EF折叠，使点A落在边CD上的点P处，则当PB+PM最小时，ME的长度为例5、（2019春•张家港市期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，P，Q分别是直线AB，AD上的两个动点，点E在边CD上，DE＝2，将△DEQ沿EQ翻折得到△FEQ，连接PF，PC，则PF+PC的最小值为练习：（2019春•邗江区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P，Q分别是BC，AB上的两个动点，AE＝1，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是 ．例6、（2018•朝阳区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点，连结EF，过点E作EG⊥EF交BC于点G．则AF+EF+CG的最小值为 2．练习：如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点，连结EF，过点E 作EG⊥EF交BC于点G．则AF+EF+CG的最小值为 ．例7、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），点C是y轴上的动点，线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，CA＝CB，连接BO、BA，则BO+BA的最小值是 ．例8、如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值是 ．例1、（2018秋•成都期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．在MN上存在一动点P．连接A'P、CP，则△A'PC周长的最小值是 ．例2、（2019春•雨花区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得△A'PB．当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF沿PF折叠，得到△A'PF，连接BA'，则△BA'F周长的最小值为．练习：如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝12，∠A＝60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得△A'PB．当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF 沿PF折叠，得到△A'PF，连接BA'，则△BA'F周长的最小值为．例1、如图，已知，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，点E，F是边CD上的动点（点F在点E右侧），且EF＝1，则四边形ABFE周长的最小值为 ．练习：1、（2018秋•金牛区校级月考）在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，G为AD边的中点．如图，若E、F为边AB上的两个动点，且EF＝4，当四边形CGEF的周长最小时，则求AF的长为 ．G例2、（2019•长丰县二模）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E，F，G，H分别在矩形各边上，点F，H为不动点，点E，G为动点，若要使得AF＝CH，BE＝DG，则四边形EFGH周长的最小值为练习：（2018•保定一模）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为五、三角形面积最小值问题例1、（2018•无锡）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为边AD 上一个动点，连结BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连结CF ，则△CEF 面积的最小值是例2、（2016•江东区一模）如图，点E 为正方形ABCD 中AD 边上的动点，AB ＝2，以BE 为边画正方形BEFG ，连结CF 和CE ，则△CEF 面积的最小值为 ．例3、（八中定时练习六18题2019•无锡）如图,在△ABC 中，5,AB AC BC ===，D 为边AB 上一动点(B 点除外),以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE ∆面积的最大值为 .例4、（2019秋•青山区期中）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝6，D 为边AB 上一动点（不与B 点重合），连接CD ，将线段CD 绕着点D 逆时针旋转90°得到DE ，连接BE ，则△BDE 的面积的最大值为 ．例5、（2018秋•西安期末）如图，△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝3+，点D是边AB上任意一点，以CD为边在AD的右侧作等边△DCE，连接BE，则△BDE面积的最大值为．例6、（2013春•建湖县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为射线BC上一动点，以AD为边作正方形ADEF，连接CF．当点D在线段BC上时，若BC＝2，CF交DE于点P，连接AP，则△ACP的面积的最大值为．六、四边形面积最小值问题例1、如图，已知在菱形ABCD中，AB＝1，且∠A＝30°，E、F、G、H分别时AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设AE＝x（0≤x≤1）．则四边形EFGH的面积的最小值为练习：如图，已知在菱形ABCD中，AB＝4，且∠A＝30°，E、F、G、H分别时AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设AE＝x（0≤x≤1）．则四边形EFGH的面积的最小值为例2、如图．矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AB边上一点，且AE＝4，点F是EC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，当四边形AGCD的面积有最小值时，BF 的长度为．练习：1、（2019•龙泉驿区模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为 ．2、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，当四边形AGCD的面积最小时，BF的长度为．2020重庆中考复习数学第18题专题训练一（含答案解析）一、线段最小值问题例1、（2016•内乡县二模）如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．∵△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，∴CD＝CG＝AB＝3，∠ACD＝60°，∵∠ECF＝60°，∴∠FCD＝∠ECG．在△FCD和△ECG中，，∴△FCD≌△ECG（SAS），∴DF＝GE．当EG∥BC时，EG最小，∵点G为AC的中点，∴此时EG＝DF＝CD＝．练习：如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是直线AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转45°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是2﹣．解：如图，在AC上取一点G，使CG＝CD，连接EG，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°∴∠ACB＝45°，∴CD＝2•cos45°＝2，∵旋转角为45°，∴∠ECD+∠DCF＝45°，又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝45°，∴∠DCF＝∠GCE，∵AD是等腰直角△ABC的对称轴，∴CD＝BC，∵CD＝CG，又∵CE旋转到CF，∴CE＝CF，在△DCF和△GCE中，，∴△DCF≌△GCE（SAS），∴DF＝EG，根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，∵∠CAD＝×90°＝45°，AG＝AC﹣CG＝2﹣2，∴EG＝AG•sin45°＝（2﹣2）×＝2﹣，∴DF＝2﹣．例2、如图，边长为8的正方形ABCD中，动点P在CD边上，以AP为直角边向上作等腰Rt△APE，边PE与BC交于点F，连接BE.则线段BE在运动过程的最小值为.MN解：如图，过点E作EM⊥CD于M，过点E作EN⊥CB于N．∴=== 设CP＝x，则EN＝MC=8﹣x，NB＝x，BEx=时，BE的值最小，最小值为4．∴当4练习：如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是边AB、CD上的动点，且AE＝CF，连接EF，将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，连接DG，则线段DG长的最小值为 ．解：如图，过点F作FM⊥AB于M，过点G作GH⊥AD于H，GN⊥AB于N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝2，∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，且FM⊥AB，GH⊥AD，GN⊥AB，∴四边形BCFM，四边形AHGN是矩形，∴BM＝CF，NG＝AH，AN＝GH，MF＝BC＝2，∵将线段EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，∴EG＝EF，∠GEF＝90°，∴∠NEG+∠FEM＝90°，且∠NGE+∠NEG＝90°，∴∠FEM＝∠NGE，且∠N＝∠FME＝90°，EF＝EG，∴△EGN≌△EFM（AAS）∴NE＝MF＝2，EM＝NG，设AE＝CF＝a，∴EM＝2﹣2a＝NG＝AH，AN＝2﹣a＝GH，∴HD＝AD﹣AH＝2﹣（2﹣2a）＝2a， ∵GD ＝＝∴当a ＝时，GD 有最小值为，例3、（2019春•鄞州区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E是矩形ABCD的边AD上的一动点，以CE为边，在CE的右侧构造正方形CEFG，连结AF，则AF 的最小值为3．解：过F作FH⊥ED，∵正方形CEFG，∴EF＝EC，∠FEC＝∠FED+∠DEC＝90°，∵FH⊥ED，∴∠FED+∠EFH＝90°，∴∠DEC＝∠EFH，且EF＝EC，∠FHE＝∠EDC＝90°，∴△EFH≌△EDC（AAS），∴EH＝DC＝2，FH＝ED， ∴AF＝＝＝∴当AE＝1时，AF的最小值为3练习：（2019春•梁溪区期末）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D、F在CE所在直线的同侧），H为CD中点，连接FH．点E在运动过程中，HF的最小值为．G图1解：如图1，连接DF，过点F作FM⊥AD，交AD延长线于点M，过点F作FN⊥CD的延长线于点N， ∵△EFM≌△CED，∴CD＝EM，DE＝FM，∴CD＝AD＝EM，∴AE＝DM，设AE＝x＝DM，则DE＝4﹣x＝FM，∵FN⊥CD，FM⊥AD，ND⊥AD，∴四边形FNDM是矩形，∴FN＝DM＝x，FM＝DN＝4﹣x∴NH＝4﹣x+2＝6﹣x，在Rt△NFH中，HF＝＝＝∴当x＝3时，HF有最小值＝＝3.例4、（2019•惠山区一模）如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF，OF．则线段OF长的最小值解法一：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，∵DE＝DF，DO＝DM，∴△EDO≌△FDM（SAS）， ∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，∴OC＝，∴OD＝， ∴OM＝，∵OF+MF≥OM，∴OF≥．故选：D．解法二：如图，由于OE＝2，所以E点可以看作是以O为圆心，2为半径的半圆上运动，延长BA到P 点，使得AP＝OC，连接PE，∵AE＝CF，∠P AE＝∠OCF，∴△P AE≌△OCF，∴PE＝OF，当O、E、P三点共线时，PE最小，OP＝＝＝5，∴PE＝OF＝OP﹣OE＝5﹣2，∴OF的最小值是5﹣2．练习：（2019•南充模拟）如图，正方形ABCD的边长为2，O是BC边的中点，P是正方形内一动点，且OP ＝2，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90°到DQ，连接AP，CQ，PQ，则线段PQ的最小值为．解：连接OD，如图所示：∵DQ＝DP，∠PDQ＝90°，∴PQ＝DP，OD＝＝＝5，∵OP+DP≥OD，∴DP≥OD﹣OP＝5﹣2＝3，∴PQ≥3，∴线段PQ的最小值为3．例5、（2019•宿迁）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动 将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝，CG的最小值为．练习：1、（2019秋•东台市期中）如图，正方形ABCD中边长为6，E为BC上一点，且BE＝1.5，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为 ．解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动 将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+EC＝＝，故CG的最小值为：．2、如图，长方形 ABCD 中，AB=6，BC=8，E 为 BC 上一点，且 BE＝2，F 为 AB 边上的一个动点，连接 EF，将 EF 绕着点 E 顺时针旋转 45˚到 EG 的位置，连接 FG 和 CG，则 CG的最小值为．解析：例6、（2019•锡山区一模）在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、P（1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°．M为BC的中点，则PM的最小值为 ．解：如图，作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E．则四边形CEHO是矩形，OH＝CE＝4，∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，∴∠ABH＝∠EAC，∴△AHB∽△CEA，∴＝，∴＝，∴AE＝2BH，设BH＝x则AE＝2x，∴OC＝HE＝2+2x，OB＝4﹣x，∴B（0，4﹣x），C（2+2x，0）∵BM＝CM，∴M（1+x，），∵P（1，0），∴PM＝＝，∴当x＝时，PM有最小值，最小值为．练习：在平面直角坐标系中，已知A （4，8）、P （2，0），B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造△ABC ，使点C 在x 轴上，∠BAC ＝90°．M 为BC 的中点，则PM 的最小值为 ．解：如图，作AH ⊥y 轴于H ，CE ⊥AH 于E ．则四边形CEHO 是矩形，OH ＝CE ＝8， ∵∠BAC ＝∠AHB ＝∠AEC ＝90°，∴∠ABH +∠HAB ＝90°，∠HAB +∠EAC ＝90°， ∴∠ABH ＝∠EAC ，∴△AHB ∽△CEA ，∴＝，∴4=8BH AE，∴AE ＝2BH ，设BH ＝x 则AE ＝2x ，∴OC ＝HE ＝4+2x ，OB ＝8﹣x ， ∴B （0，8﹣x ），C （4+2x ，0）∵BM ＝CM ，∴M （2+x ，82x-），∵P （2，0），∴PM ===∴当85x =时，PM 例7、（2017秋•上虞区期末）如图，矩形ABCD 中，已知AB ＝6，BC ＝8，点E 是边AD 上一点，以CE 为直角边在与点D 的同侧作等腰直角△CEG ，连结BG ，当点E 在边AD 上运动时，线段BG 长度的最小值是解：如图作GH ⊥BA 交BA 的延长线于H ，EM ⊥HG 于M ，交BC 于N ．则MN ⊥BC ．设AE ＝m ． ∵∠EMG ＝∠ENC ＝∠CEG ＝90°，∴∠MEG +∠CEN ＝90°，∠CEN +∠ECN ＝90°，∴∠MEG ＝∠ECN ，∵EG ＝EC ，∴△MEG ≌△NCE （AAS ），∴EM ＝CN ＝AH ＝8﹣m ，MG ＝EN ＝6， 在Rt △BHG 中，BG ＝＝＝，∴当m ＝4时，BG 有最大值，最大值为10．练习：（2017•龙华区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，OA＝4，OC＝3，点D为BC边上一点，以AD为一边在与点B的同侧作正方形ADEF，连接OE．当点D在边BC上运动时，OE的长度的最小值是 5．解：如图所示：过点D作DG⊥OA，过点E作HE⊥DG．∵DG⊥OA，HE⊥DG，∴∠EHD＝∠DGA＝90°．∴∠GDA+∠DAG＝90°．∵四边形ADEF为正方形，∴DE＝AD，∠HDE+∠GDA＝90°．∴∠HDE＝∠GAD．在△HED和△GDA中，∴△HED≌△GDA．∴HE＝DG＝3，HD＝AG．设D（a，3），则DC＝a，DH＝AG＝4﹣a．∴E（a+3，7﹣a）．∴OE＝＝．当a＝2时，OE有最小值，最小值为5．例8、如图，线段AB＝8，D为AB的中点，点E是平面内一动点，且满足DE＝2，连接BE，将BE绕点E逆时针旋转90°得到EC，连接AC、BC，则线段AC长度的最大值为 6．解：以BD为直角边在BD上方作等腰直角三角形BOD，如图，连接CO、AO．则，又∠CBO＝∠EBD，∴△EBD∽△CBO．∴．∵E点运动轨迹是以E为圆心，DE＝2为半径的圆，∴C点运动的轨迹是以O为圆心，OC＝2为半径的圆．∵AC≤AO+OC，AO＝4，OC＝2．∴AC最大值为4+2＝6．二、线段和最小值问题例1、如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E是BC边的中点，F是CD边上的一点，且DF＝2，若M、N分别是线段AD、AE上的动点，则MN+MF的最小值为 ．解：作点F关于AD的对称点G，过G作GN⊥AE与N，交AD于M，则GN的长度等于MN+MF的最小值，∵△DGM≌△DGF，∴∠DMF＝∠GMD，∵∠GMD＝∠AMN，∠AMN+∠MAN＝∠MAN+∠BAE＝90°，∴∠FMD＝∠BAE＝∠AMN，∴△ABE∽△DMF∽△AMN，∴，∵AB＝6，∴BE＝3，∵DF＝2，∴DM＝4，∴AM＝2，∵，∴MN＝，∵GM＝2，∴GN＝GM+MN＝MN+MF＝+2＝．∴MN+MF的最小值为．练习：如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别是AB，BC边上的两动点，且EF＝2，点G为EF的中点，点H为AD边上一动点，连接CH，GH，则GH+CH的最小值为9.解：由已知，点G在以B圆心，1为半径的圆在与长方形重合的弧上运动．作C关于AD的对称点C′，连接C′B，交AD于H，交以D为圆心，以1为半径的圆于G由两点之间线段最短，此时C′B的值最小为，则GH+CH的最小值C′G＝10﹣1＝9．例2、（2016春•青山区期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E和点F分别是AC和BC上的动点，在点E和点F运动的过程中，BE+EF的最小值为解：如图，作点B关于AC的对称点B′，过点B′作B′F⊥BC于F，交AC于E，连接CB′交AD 于P，连接BE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BCA＝∠P AC，∵点B关于AC的对称点是B′，∴∠PCA＝∠BCA，∴∠P AC＝∠PCA，∴P A＝PC．令P A＝x，则PC＝x，PD＝4﹣x．在Rt△CDP中，∵PC2＝PD2+CD2，∴x2＝（4﹣x）2+22，∴x＝2.5，∵cos∠B′CF＝cos∠CPD，∴CF：B′C＝DP：CP，∴CF：4＝1.5：2.5，∴CF ＝，∴B′F ＝＝，∴BE+EF 的最小值为＝．练习：1、（2017春•东西湖区期中）如图，在▱ABCD中，AB＝2，AB AC⊥，∠D＝60°，点P、Q分别是AC 和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值B解：作点B关于AC的对称点F，连接CF，作FQ BC⊥交AC于点P，则FQ的长即为PB+PQ的最小值（垂线段最短），易知△BCF是等边三角形，∴BP+PQ的最小值为2．2、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，则CM+MN的最小值为．解：如图，作出点C关于BD的对称点E，过点E作EN⊥BC于N，交BD于M，连接CM，此时CM+MN ＝EN最小；∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝3，根据勾股定理得，BD＝5，∵CE⊥BC，∴BD×CF＝BC×CD，∴CF＝＝，由对称得，CE＝2CF＝，在Rt△BCF中，cos∠BCF＝＝，∴sin∠BCF＝，在Rt△CEN中，EN＝CE sin∠BCE＝＝；即：CM+MN的最小值为；例3、（2019春•新吴区期末）如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边AB 上的一个动点将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为.解：如图，取AB的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CD交CD的延长线于H．∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝BD，∵AE＝ED，AN＝NB，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN是等边三角形，∴∠AEN＝∠FEG＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∵∠ANE＝60°，∴∠GNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴点G的运动轨迹是射线NG，易知B，E关于射线NG对称， ∴GB＝GE，∴GB+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△DEH中，∵∠H＝90°，DE＝2，∠EDH＝60°， ∴DH＝DE＝1，EH＝，在Rt△ECH中，EC＝＝2，∴GB+GC≥2，∴GB+GC的最小值为2．练习：如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，AD＝2，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将线段MN绕点M逆时针旋转90至MN′，连接N′B，N′C，则N′B+N′C的最小值是 2．解：如图，作ME⊥AD交AB于E，连接EN′、AC、作CF⊥AB于F．∵∠MAE＝45°，∴△MAE是等腰直角三角形，∴MA＝ME，∵∠AME＝∠NMN′＝90°，∴∠AMN＝∠EMN′，∵MN＝MN′，∴△AMN≌△EMN′，∴∠MAN＝∠MEN′＝45°，∴∠AEN′＝90°，∴EN′⊥AB，∵AM＝DM＝，AB＝4，∴AE＝2，EB＝2，∴AE＝EB，∴N′B＝N′A，∴N′B+N′C＝N′A+N′C，∴当A、N′、C共线时，N′B+N′C的值最小，最小值＝AC，在Rt△BCF中，∵BC＝AD＝2，∠CBF＝∠DAB＝45°，∴CF＝BF＝2，在Rt△ACF中，AC＝＝2例4、（2015•石家庄模拟）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点M，E在AD上，点F在边AB上，并且DM＝1，现将△AEF沿着直线EF折叠，使点A落在边CD上的点P处，则当PB+PM最小时，ME的长度为解：延长AD到M′，使得DM′＝DM＝1，连接PM′，如图．当PB+PM的和最小时，M′、P、B 三点共线．∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝2，∴DC＝AB＝4，AD＝BC＝2，AD∥BC，∴△DPM′∽△CPB，∴＝＝，∴DP＝PC，∴DP＝DC＝．设AE＝x，则PE＝x，DE＝2﹣x，在Rt△PDE中，∵DE2+DP2＝PE2，∴（2﹣x）2+（）2＝x2，解得：x＝，∴ME＝AE﹣AM＝﹣1＝．故选：B．例5、（2019春•张家港市期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，P，Q分别是直线AB，AD上的两个动点，点E在边CD上，DE＝2，将△DEQ沿EQ翻折得到△FEQ，连接PF，PC，则PF+PC的最小值为解：作点C关于AB的对称点H，连接PH，EH，如图所示：∵矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，DE＝2，∴CE＝CD﹣DE＝AB﹣DE＝6，CH＝2BC＝8，∴EH＝＝＝10，∵点C与点P关于AB对称，∴CP＝PH，∴PF+PC＝PF+PH，∵EF＝DE＝2是定值，∴当E、F、P、H四点共线时，PF+PH值最小，最小值＝10﹣2＝8，∴PF+PC的最小值为8．练习：（2019春•邗江区校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P，Q分别是BC，AB上的两个动点，AE＝1，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是 4．解：如图作点D关于BC的对称点D′，连接PD′，ED′．在Rt△EDD′中，∵DE＝3，DD′＝4，∴ED′＝，∵DP＝PD′，∴PD+PF＝PD′+PF，∵EF＝EA＝1是定值，∴当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值＝5﹣1＝4，∴PF+PD的最小值为4，例6、（2018•朝阳区二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点，连结EF，过点E作EG⊥EF交BC于点G．则AF+EF+CG的最小值为 2．解：如图，过点E作EH⊥BC于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥BC，∠A＝90°．∴AB＝EH，∠A＝∠EHG＝∠AEH＝90°．∴∠FEH+∠AEF＝90°．∵EG⊥EF，∴∠FEH+∠HEG＝90°．∴∠AEF＝∠HEG．∵AD＝2AB，AD＝2AE，∴AE＝AB．∴AE＝HE且∠AEF＝∠HEG，∠A＝∠EHG ∴△AEF≌△HEG．∴EF＝GE．∵AB＝1，AD＝2，∴AE＝DE＝1∵∠D＝∠C＝90°，EH⊥BC∴DCHE是矩形∴DE＝CH＝1∵△AEF≌△EHG∴AF＝HG，EF＝EG，EH＝AE＝1∴AF+EF+CG＝HG+CG+EG＝CH+EG＝1+EG由两平行线之间垂线段最短，当EG⊥BC时，AF+EF+CG的值最小，即EG＝1时，AF+EF+CG的最小值为2练习：如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，E是边AD的中点，F是边AB上的一个动点，连结EF，过点E 作EG⊥EF交BC于点G．则AF+EF+CG的最小值为 ．例7、如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），点C是y轴上的动点，线段CA绕着点C按逆时针方向旋转90°至线段CB，CA＝CB，连接BO、BA，则BO+BA的最小值是 ．如图作BH⊥OH于H．设点C的坐标为（0，m），由（1）知：OC＝HB＝m，OA＝HC＝1，则点B（m，1+m），则BO+BA＝+，BO+BA的值，相当于求点P（m，m）到点M（1，﹣1）和点N（0，﹣1）的最小值，相当于在直线y＝x上寻找一点P（m，m），使得点P到M（0，﹣1），到N（1，﹣1）的距离和最小， 作M关于直线y＝x的对称点M′（﹣1，0），易知PM+PN＝PM′+PN≥NM′，M′N＝＝，故：BO+BA的最小值为．例8、如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值是 ．解法一：如图，作点D关于BC的对称点G，连接BG，在BG上截取BH，使得BH＝AD，连接AH．作HM⊥AB交AB的延长线于M．∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DBC，∵DC＝CG，BC⊥DG，∴BD＝BG，∴∠DBC＝∠CBG，∴∠ADF＝∠HBE，∵DA＝BH，DF＝BE，∴△ADF≌△HBE（SAS），∴AF＝EH，∴AE+AF＝AE+EH≥AH，在Rt△BCD中，BD＝＝5，由△BHM∽△DBC，可得＝＝，∴＝＝，∴BM＝，MH＝，∴AM＝3+＝，在Rt△AMH中，AH＝＝，∴AE+AF≥，∴AE+AF的最小值为．解法二：如图，作FG⊥AD于G．∵BE＝DF，∴设BE＝DF＝x，∵矩形ABCD，AB＝3，AD＝4，∴∠BAD＝∠ABC＝90°根据勾股定理得，BD＝，∵FG⊥AD，∴∠FGD＝90°，∴∠BAD＝∠FGD＝90° ∵∠ADB＝∠GDF，∴△BAD∽△FGD，∴ 即∴GF＝x，GD＝x，AG＝4﹣x在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，根据勾股定理得AE＝在Rt△AGF中，∠AGF＝90°，根据勾股定理得AF＝＝，AE+AF＝+可以看成是在平面直角坐标系里点（x，0）和点（0，3）的距离与点（x，0）和点（，﹣）的距离之和.，当点（0，3）、（x，0）、（，﹣）三点共线时，AE+AF值最小，就是点（0，3）、（，﹣）之间的距离，为＝．三、三角形周长最小值问题例1、（2018秋•成都期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．在MN上存在一动点P．连接A'P、CP，则△A'PC周长的最小值是 ﹣+3．解：分两步：①连接AP，则AP＝AP′，∴△A'PC周长＝A′P+PC+A′C＝AP+PC+A′C，∵A′P+PC≥AC，当A、P、C三点共线时，A′P+PC有最小值，是AC的长，∴AC与MN的交点就是点P，由勾股定理得：AC＝＝3，②连接CM，∵A′C≥CM﹣A′M，∴当M、A′、C三点共线时，A′C有最小值，此时，∵M是AD的中点，∴AM＝DM＝1.5，∴MC＝＝，由折叠得：AM＝A′M＝1.5，∴A′C＝MC﹣A′M＝﹣1.5，∴△A'PC周长的最小值是：﹣+3，例2、（2019春•雨花区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得△A'PB．当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF沿PF折叠，得到△A'PF，连接BA'，则△BA'F周长的最小值为．解：如图，作BH⊥AD于H，连接BP．∵P A＝8，AH＝5，∴PH＝8﹣5＝3，∵BH＝5，∴PB＝＝＝2，由翻折可知：P A＝P A′＝8，F A＝F A′，∴△BF A′的周长＝F A′+BF+BA′＝AF+BF+BA′＝AB+BA′＝10+BA′，∴当BA′的周长最小时，△BF A′的周长最小，∵BA′≥PB﹣P A′，∴BA′≥2﹣8，∴BA′的最小值为2﹣8，∴△BF A′的周长的最小值为10+2﹣8＝2+2．练习：如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝12，∠A＝60°，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将△APB折叠，得△A'PB．当点P为AD中点时，点F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF 沿PF折叠，得到△A'PF，连接BA'，则△BA'F周长的最小值为．解：如图，作BH⊥AD于H，连接BP．∵P A＝6，AH＝4，∴PH＝6﹣4＝2，∵BH＝5，PB∴===，由翻折可知：P A＝P A′＝6，F A＝F A′，∴△BF A′的周长＝F A′+BF+BA′＝AF+BF+BA′＝AB+BA′＝8+BA′，∴当BA′的最小时，△BF A ′的周长最小，∵BA′≥PB﹣P A′，∴BA′≥﹣6，∴BA′的最小值为﹣6，∴△BF A′的周长的最小值为8+6＝．四、四边形周长最小值问题例1、如图，已知，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，点E，F是边CD上的动点（点F在点E右侧），且EF＝1，则四边形ABFE周长的最小值为 10．解：在AB上截取AM＝EF，作点M关于直线DC的对称点N，连接BN交CD于F，此时四边形AEFB 的周长最小．四边形AEFB的周长的最小值＝AB+EF+AE+BF＝AB+EF+MF+BF＝AB+EF+NF+BF＝AB+EF+NB＝＝10，练习：1、（2018秋•金牛区校级月考）在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，G为AD边的中点．如图，若E、F为边AB上的两个动点，且EF＝4，当四边形CGEF的周长最小时，则求AF的长为 ．G解：∵E为AB上的一个动点，∴如图，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH＝4，然后连接HM交AB于E，接着在EB上截取EF＝4，那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小． ∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝10，G为边AD的中点，∴AG＝AM＝5，MD＝15，而CH＝4，∴DH＝4，而AE∥CD，∴△AEM∽△DHM，∴AE：HD＝MA：MD，∴AE＝＝＝，∴AF＝4+＝．例2、（2019•长丰县二模）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10，点E，F，G，H分别在矩形各边上，点F，H为不动点，点E，G为动点，若要使得AF＝CH，BE＝DG，则四边形EFGH周长的最小值为解：作点F关于CD的对称点F′，连接F′H交CD于点G，此时四边形EFGH周长取最小值，过点H 作HH′⊥AD于点H′，如图所示．∵AF＝CH，DF＝DF′，∴H′F′＝AD＝10，∵HH′＝AB＝5，∴F′H＝＝5，∴C四边形EFGH＝2F′H＝10．练习：（2018•保定一模）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E，F，G，H分别在矩形ABCD各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH周长的最小值为解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，EF＝E'F，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示．∵AE＝CG，BE＝BE′，∴E′G′＝AB＝8，∵GG′＝AD＝6，∴E′G＝＝10， ∴C四边形EFGH＝2（GF+EF）＝2E′G＝20．五、三角形面积最小值问题例1、（2018•无锡）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为边AD上一个动点，连结BE，取BE的中点G，点G绕点E逆时针旋转90°得到点F，连结CF，则△CEF面积的最小值是解：过点F作AD的垂线交AD的延长线于点H，∵∠A＝∠H＝90°，∠FEB＝90°，∴∠FEH＝90°﹣∠BEA＝∠EBA，∴△FEH∽△EBA，∴，设AE＝x，∵AB＝4，AD＝2，∴HF＝x，EH＝2，DH＝x，∴△CEF面积＝＝， ∴当x＝1时，△CEF面积的最小值是．例2、（2016•江东区一模）如图，点E为正方形ABCD中AD边上的动点，AB＝2，以BE为边画正方形BEFG，连结CF和CE，则△CEF面积的最小值为 ．解：（方法一）过点F作FM⊥AD延长线于点M，令EF与CD的交点为N点，如图所示．则S△CEF＝CN•ME．∵四边形ABCD为正方形，四边形BEFG为正方形，∴∠A＝90°，∠BEF＝90°，BE＝EF，∴∠AEB+∠ABE＝90°，∠MEF+∠MFE＝90°，∠AEB+∠BEF+∠MEF＝180°，∴∠AEB＝∠MFE，∠ABE＝∠MEF．在△ABE 和△MEF 中，，∴△ABE ≌△MEF （ASA ）．∴MF ＝AE ，ME ＝AB ．∵CD ⊥AD ，FM ⊥AD ，∴ND ∥FM ，∴△EDN ∽△EMF ，∴．设AE ＝x ，则ED ＝AD ﹣AE ＝2﹣x ，EM ＝AB ＝2，MF ＝AE ＝x ，∴DN ＝＝﹣x 2+x ＝﹣（x ﹣1）2+≤．∴CN ＝CD ﹣DN ≥2﹣≥．∴△CEF 面积的最小值为CN •ME ＝××2＝． （方法二）连接CG ，如图所示． 在△ABE 和△CBG 中，，∴△ABE ≌△CBG （SAS ）．设AE ＝x ，则BE 2＝AB 2+AE 2＝4+x 2，∴S 正方形BEFG ＝BE 2＝4+x 2．∴S △CEF +S BCG ＝S 正方形BEFG ＝2+x 2，∴S △CEF ＝S 正方形BEFG ﹣S BCG ＝2+x 2﹣S △ABE ＝2+x 2﹣x ＝（x ﹣1）2+， 当x ＝1时，△CEF 面积最小，最小值为．例3、（八中定时练习六18题2019•无锡）如图,在△ABC 中，5,AB AC BC ===，D 为边AB 上一动点(B 点除外),以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE ∆面积的最大值为 .解：过点C 作CG ⊥BA 于点G ，作EH ⊥AB 于点H ，作AM ⊥BC 于点M ． ∵AB ＝AC ＝5，BC ＝4，∴BM ＝CM ＝2，易证△AMB ∽△CGB ，∴，∴，∴GB ＝8，设BD ＝x ，则DG ＝8﹣x ，易证△EDH ≌△DCG （AAS ），∴EH ＝DG ＝8﹣x ，∴S △BDE ＝＝＝，当x ＝4时，△BDE 面积的最大值为8．例4、（2019秋•青山区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，D为边AB上一动点（不与B点重合），连接CD，将线段CD绕着点D逆时针旋转90°得到DE，连接BE，则△BDE的面积的最大值为 ．解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，∴∠EDN+∠DEN＝90°，∵∠EDC＝90°，∴∠EDN+∠CDM＝90°，∴∠DEN＝∠CDM，在△EDN和△DCM中∴△EDN≌△DCM（AAS），∴EN＝DM，∵∠BAC＝120°，∴∠MAC＝60°，∴∠ACM＝30°，∴AM＝AC＝6＝3，∴BM＝AB+AM＝6+3＝9，设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，∴S△BDE＝＝（9﹣x）＝﹣（x﹣4.5）2+，∴当BD＝4，5时，S△BDE有最大值为.例5、（2018秋•西安期末）如图，△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝3+，点D是边AB上任意一点，以CD为边在AD的右侧作等边△DCE，连接BE，则△BDE面积的最大值为．解：作CM⊥AB于M，作EN⊥AB于N，如图所示：∵∠A＝45°，∠ABC＝60°，∴△ACM是等腰直角三角形，∠BCM＝30°，∴AM＝CM，CM＝BM，设BM＝x，则AM＝CM＝x，∴AB＝x+x＝3+，解得：x＝，∴BM＝，CM＝AM＝3， 设AD＝y，则DM＝3﹣y，BD＝3+﹣y，∵△CDE是等边三角形，∴∠DCE＝60°CD＝CE，∴∠DCM+∠BCE＝30°＝∠BCM，在MB上截取MH＝MD＝3﹣y，连接CH，则CD＝CH＝CE，∵CM⊥DH，∴∠DCM＝∠HCM，∴∠BCH＝∠BCE，。
2020重庆中考复习数学第18题专题训练二(含答案解析)
2020重庆中考复习数学第18题专题训练二（含答案解析）例1、如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将纸片折叠，点A、D分别落在A′、D′处，且A′D′经过B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为 ．练习：如图，边长为2的菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将纸片折叠，点A、D分别落在A'、D'处，且A'D'经过点B，EF为折痕，当D'F⊥CD时，CF的值为例2、如图,正方形ABCD的边长为2,点M、P、N分别在CD为直径的半圆上、边BC、边AB上运动,并且保持PM⊥PN，PM：PN=2：3则线段PM长的最小值为练习：如图,正方形ABCD的边长为4,点M、P、N分别在CD为直径的半圆上、边BC、边AB上运动,并且保持PM⊥PN，PM：PN=2：3则线段PM长的最小值为例3、（2018•杭州）折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB＝AD+2，EH＝1，则AD＝ ．练习：1、（2019•济南）如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE的长等于 ．2、（2016•新县校级模拟）如图，将矩形纸片ABCD沿直线AE折叠，点B恰好落在线段CD的中点F上，点G是线段AF上一动点（不与A，F重合），点G过GH⊥AB，垂足为H，将矩形沿直线GH翻折，点A恰好落在线段BH上点A′处．若AB长为8，则当△A′GE为直角三角形时，AH的长．为例4、（2014•锦江区校级自主招生）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，BC＝2+2，D 是BC边上异于B、C的一动点，将三角形ABD沿AB翻折得到△ABD1，将△ACD沿AC翻折得到△ACD2，连接D1D2，则四边形D1BCD2的面积的最大值是 ．练习：（2018秋•锦江区校级期末）如图，在△ABC，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，BC＝4+4，D是BC边上异于点B，C的一动点，将三角形ABD沿AB翻折得到△ABD1，将△ACD沿AC翻折得到△ACD2，连接D1D2，则四边形D1BCD2的面积的最大值是 ．例5、（2019秋•宿迁期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝6．点P是AD的中点，点E在BC 上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上，若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝ ．练习：1、（2019•常州）如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝ ．2、在矩形ABCD中，AD＝3CD＝6，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则PN＝ ．例6、如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝3，E为对角线BD上一点，且DE＝2BE，过E作FG⊥BD，分别交AB、CD于F、G．将四边形BCGF绕点B旋转180°，在此过程中，设直线GF分别与直线CD、BD交于点M、N，当△DMN是以∠MDN为底角的等腰三角形时，则DN的长是 ．练习：如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E为对角线AC上一动点（不与点A、C重合），过点E作直线MN∥BC，分别交AB、CD于点M、N，将矩形ADNM沿MN折叠，使得点A、D的对应点P、Q分别落在AB、CD所在的直线上，若△ACP为等腰三角形，则BM的长为 ．2020重庆中考复习数学第18题专题训练二（含答案解析）例1、如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将纸片折叠，点A、D分别落在A′、D′处，且A′D′经过B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为 ．解：延长DC与A′D′，交于点M，∵在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，∴∠DCB＝∠A＝60°，AB∥CD，∴∠D＝180°﹣∠A＝120°，根据折叠的性质，可得∠A′D′F＝∠D＝120°，∴∠FD′M＝180°﹣∠A′D′F＝60°，∵D′F⊥CD，∴∠D′FM＝90°，∠M＝90°﹣∠FD′M＝30°，∵∠BCM＝180°﹣∠BCD＝120°，∴∠CBM＝180°﹣∠BCM﹣∠M＝30°，∴∠CBM＝∠M，∴BC＝CM，设CF＝x，D′F＝DF＝y，则BC＝CM＝CD＝CF+DF＝x+y，∴FM＝CM+CF＝2x+y，在Rt△D′FM中，tan∠M＝tan30°＝＝＝，∴x＝y，∴＝＝．故答案为：．练习：如图，边长为2的菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将纸片折叠，点A、D分别落在A'、D'处，且A'D'经过点B，EF为折痕，当D'F⊥CD时，CF的值为（ ）A．4﹣2 B．2﹣2 C．﹣1 D．解：延长FC 、A ′D ′交于M ，设CF ＝x ，FD ＝2﹣x ，∵四边形ABCD 为菱形，∠A ＝60°，∴AB ∥CD ，∠DCB ＝∠A ＝60°，∴∠A +∠D ＝180°， ∴∠D ＝120°，由折叠得：∠BD ′F ＝∠D ＝120°，∴∠FD ′M ＝180°﹣120°＝60°， ∵D ′F ⊥CD ，∴∠D ′FC ＝90°，∴∠M ＝90°﹣60°＝30°，在Rt △FOC 中，∠DCB ＝60°，∵∠DCB ＝∠CBM +∠M ，∴∠CBM ＝60°﹣30°＝30°， ∵∠BCD ＝∠CBM +∠M ＝60°，∴∠CBM ＝∠M ＝30°，∴CB ＝CM ＝2，由折叠得：D ′F ＝DF ＝2﹣x ，tan M ＝tan30°＝＝＝，∴x ＝4﹣2，∴CF ＝4﹣2，故选：A ．例2、如图,正方形ABCD 的边长为2,点M 、P 、N 分别在CD 为直径的半圆上、边BC 、边AB 上运动,并且保持PM ⊥PN ，PM ：PN=2：3则线段PM 长的最小值为K解：取CD 中点O ，NP 中点K ，连接BK 、BO 、MO 、KM 。
2023年中考数学复习难点突破专题18 二次函数与实际问题：拱桥问题(含答案)
专题18 二次函数与实际问题：拱桥问题一、单选题1．某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为214y x =-，当涵洞水面宽AB 为16m 时，涵洞顶点O 至水面的距离为( )A ．6m -B ．12mC ．16mD ．24m2．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ．若水面再下降1.5m ，水面宽度为（ ）m ．A ．4.5B ．C ．D ．3．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为（ ）A．B ．C ．6 D ．4．我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P ）以及点A ，点B 落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF ）与第2根栏杆未涂色部分（PQ ）长度相等，则EF 的长度是（ ）A ．13米B ．12米C ．25米D ．35米 5．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m 加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m ，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（ ）A ．0.8mB ．1.6mC ．2mD ．2.2m6．有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m ，跨度为40m ，现把它的示意图（如图）放在坐标系中，则抛物线的解析式为（ ）A ．215252y x x =+B ．18255x y x x =-+C ．251825y x x =--D ．21816255y x x =-++ 7．图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m ，水面宽为4m ．如果水面宽度为6m ，则水面下降 ( )A ．3.5 mB ．3mC ．2.5mD ．2 m8．图2是图1中拱形大桥的示意图，拱桥与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，拱桥可以近似看成抛物线y =－1? 400?（x-80）2 + 16，拱桥与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，有AC ⊥x 轴．若OA = 10米，则桥面离水面的高度AC 为（ ）A ．16 9? 40?米B ．1?7? 4?米C ．16 7? 40?米D ．1?5? 4?米 二、解答题9．如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA 为12m ，宽OB 为4m ，隧道顶端D 到路面的距离为10m ，建立如图所示的直角坐标系．（1）求该抛物线的解析式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m ，宽为4m ，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？10．某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽AB为4m，顶部C距离地面的高度为4.4m，现有一辆货车，其装货宽度为2.4m，高度2.8米，请通过计算说明该货车能否通过此大门？11．如图，①为抛物线形拱桥，在正常水位下测得主拱宽24m，最高点离水面8m，以水平线AB为x 轴，AB的中点为原点建立直角坐标系（如图②）．（1）求抛物线的解析式；（2）桥边有一浮在水面部分高4m，最宽处为18m的何鱼餐船，试探索此船在正常水位时能否开到桥下，并说明理由．12．如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20m，水位上升4m就达到警戒线CD，这时水面宽度为12m．（1）建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（2）若洪水到来时水位以0.1m/h的速度上升，从正常水位开始，再过几小时就能到达桥面？13．如图1，单孔拱桥的形状近似抛物线形，如图2建立所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度AB为12,m拱桥的最高点C到水面AB的距离为6m．（1）求抛物线的解析式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为10m，求水面上涨的高度﹒14．某公园草坪的防护栏形状是抛物线形，为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的A B的长度．支柱，防护栏最高点距离底部0.5m（如图），求其中防护支柱1115．有一个抛物线形的单向道路隧道，隧道离地面的最大高度为4m，跨度为10m，把它放在图示平面直角坐标系中．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）通过计算说明，现有一辆宽4m，高3.2m的厢式货车能否安全通过此隧道?16．图中是抛物线形拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4 m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P的坐标为（3，32）.(1)点P与水面的距离是________m；(2)求这条抛物线的表达式；(3)当水面上升1 m后，水面的宽变为多少？17．如图所示的是一座拱桥，桥洞的拱形是抛物线的形状，当水面宽AB为12米时，桥洞顶部离水面4米，若水面上涨1米，求此时水面的宽．18．河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽6m时，水面离桥孔顶部3m.因降暴雨水位上升lm.（1）如图①，若以桥孔的最高点为原点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式;（2）一艘装满物资的小船，露出水面的高为0.5m、宽为4m(横断面如图②).暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗?请说明理由.19．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形.小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式.你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式.20．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥面离水面的距离为5.6米，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．（2）如图，在对称轴右边1m处，桥洞离桥面的高是多少？21．如图是美国开发西部的标志性建筑如果把拱门看作—条抛物线，其拱高和底宽都是192米，请建立适当的平面直角坐标系，并求出该抛物线的解析式．三、填空题22．如图，平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y＝﹣13x2，桥下的水面宽AB为6m，当水位上涨2m时，水面宽CD为_____m（结果保留根号）．23．如图，有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m．把它的截面边缘的图形放在如图所示的直角坐标系中，在对称轴右边1m处，桥洞离水面的高是______米．24．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为211020y x =-+，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB 高为8米的点E ，F 处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF 是__________米．25．图1是苍南县中心湖公园里的一座彩虹桥两条抛物线型钢梁在桥面上的跨度分别为50AB =米和40CD =米（如图2所示），x 轴表示桥面，10BC =米．若两抛物线交y 轴于同一点，且它们的形状相同，则OB OC的值为__________．26．如图，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD 3D 1和其上方的抛物线D 1OD 3组成．若建立如图所示的直角坐标系，跨度AB =44米，∠A =45°，AC 1=4米，点D 2的坐标为（-14，-1.96），则桥架的拱高OH =________米．27．如图是抛物线拱桥,当拱顶离水面2米时，水面宽度4米，水面宽度增加2米时，水位下降_________米28．单行隧道的截面是抛物线形，且抛物线的解析式为21 3.258y x =-+，一辆车高3米，宽4米，该车________（填“能”或“不能”）通过该隧道． 29．如图，是一座拱形桥的竖直截面图，水面与截面交于AB 两点，拱顶C 到AB 的距离为4m ，AB=12m ，DE 为拱桥底部的两点，且DE ∥AB ，点E 到AB 的距离为5cm ，则DE 的长度为______________ m ．30．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系为2116y x =-，当水面的宽度AB 为16米时，水面离桥拱顶的高度OC 为________m ．31．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是2y x =-，当水位线在AB 位置时，水面宽为12米，这时水面离桥顶的高度h 是________米．32．如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m 时，拱高为2m ，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超过______m.专题18 二次函数与实际问题：拱桥问题一、单选题1．某涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为214y x =-，当涵洞水面宽AB 为16m 时，涵洞顶点O 至水面的距离为( )A ．6m -B ．12mC ．16mD ．24m【答案】C【分析】根据抛物线的对称性及解析式求解．【详解】解：依题意，设A 点坐标为(8,)y -， 代入抛物线方程得：164164y =-⨯=-，即水面到桥拱顶点O 的距离为16米．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式、图象与性质是解题关键．2．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ．若水面再下降1.5m ，水面宽度为（）m ．A．4.5B．C．D．【答案】D【分析】以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得二次函数的解析式，然后由题意得关于x的一元二次方程，解得x的值，用较大的x值减去较小的x值即可得出答案．【详解】解：如图，以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则由题意可知A（-2，0），B（2，0），C（0，2），设该抛物线的解析式为y=ax2+2，将B（2，0）代入得：0=a×4+2，解得：a=-12．∴抛物线的解析式为y=-12x2+2，∴若水面再下降1.5m，则有-1.5=-12x2+2，解得：x=±7．-（，∴水面宽度为m．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的性质是解题的关键．3．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为（）A．B．C．6D．【答案】A【分析】y=-代入解析式结合已知条件先建立适当的坐标系，然后设出解析式，利用点的坐标求得解析式，再将3求得相应的x的值，进而求得答案．【详解】解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图：∴设抛物线解析式为：2y ax =∵观察图形可知抛物线经过点()2,2B -∴222a -=⋅ ∴12a =- ∴抛物线解析式为：212y x =- ∴当水位下降1米后，即当213y =--=-时，有2132x -=-∴1x =，2x =∴水面的宽度为：．故选：A【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据已知条件建立坐标系从而求得二次函数解析式是解决问题的关键． 4．我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P ）以及点A ，点B 落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF ）与第2根栏杆未涂色部分（PQ ）长度相等，则EF 的长度是（ ）A ．13米B ．12米C ．25米D ．35米 【答案】C【分析】根据抛物线形状建立二次函数模型，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，通过已知线段长度求出A(1，0)B(-1,O)，由二次函数的性质确定y ＝ax 2－a ，利用PQ ＝EF 建立等式，求出二次函数中的参数a ，即可得出EF 的值．【详解】解：如图，令P 下方的点为H ，以AB 中点为原点，建立坐标系xOy ，则A(1，0)B(-1,O)，设抛物线的方程为y=ax 2+bx+c∴抛物线的对称轴为x=0，则2b a＝0，即b ＝0． ∴y ＝ax 2 +c ．将A(1，0)代入得a+c ＝0,则c ＝－a ．∴y＝ax2－a．∵OH＝2×15×12＝0.2，则点H的坐标为（-0.2，0）同理可得：点F的坐标为（-0.6，0）．∴PH＝a×(-0.2)2-a＝－0.96aEF＝a×(-0.6)2-a＝－0.64a．又∵PQ＝EF＝1－（－0.96a）＝－0.64a ∴1＋0.96a＝－0.64a．解得a＝58 -．∴y＝58-x2＋58．∴EF＝（58-）×（-0.6）２＋58＝25．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能在几何图形中建立适当的坐标系并结合图形的特点建立等式求出二次函数表达式．5．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（）A．0.8m B．1.6m C．2m D．2.2m【答案】B【分析】根据题意建立平面直角坐标系，得出B 、C 的坐标，然后根据待定系数法求出抛物线解析式，然后求出当当0.2x =和0.6x =时y 的值，然后即可求解．【详解】如图，由题意得()0,0.5B ，()1,0C ．设抛物线的解析式为2y ax c =+， 代入得12a =-，12c =， ∴抛物线的解析式为21122y x =-+． 当0.2x =时，0.48y =，当0.6x =时，0.32y =．∴()1122334420.480.32 1.6BC B C B C B C m +++=⨯+=，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的拱桥问题，关键是要根据题意作出平面直角坐标系，并根据所建立的平面直角坐标系求出函数解析式．6．有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m ，跨度为40m ，现把它的示意图（如图）放在坐标系中，则抛物线的解析式为（ ）A ．215252y x x =+B ．18255x y x x =-+ C ．251825y x x =-- D ．21816255y x x =-++ 【答案】B【分析】根据题意设出顶点式，将原点代入即可解题．【详解】由图可知该抛物线开口向下，对称轴为x ＝20，最高点坐标为（20，16），且经过原点，由此可设该抛物线解析式为()22016y a x =-+，将原点坐标代入可得400160a +=，解得：a ＝125-， 故该抛物线解析式为y ＝()21201625x --+ ＝218255x x -+ 故选：B ．【点睛】 本题主要考查二次函数图像性质的实际应用、二次函数顶点式等．难度不大，找到顶点坐标设出顶点式是解题关键．7．图(1)是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在L 时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m ，水面宽为4m ．如果水面宽度为6m ，则水面下降 ( )A ．3.5 mB ．3mC ．2.5mD ．2 m【答案】C【分析】由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，可设此函数解析式为：2y ax =，利用待定系数法求出解析式，再根据水面宽度为6m 时，求出当x=3时，对应y 值即可解答．【详解】解：设此函数解析式为：2y ax =，0a ≠；那么(2,2)-应在此函数解析式上．则24a -= 即得12a =-， 那么212y x =-．当x=3时，25132 4.y =--⨯=∴水面下降(-2)-(-4.5)=2.5（米）故选：C.根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点． 8．图2是图1中拱形大桥的示意图，拱桥与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，拱桥可以近似看成抛物线y =－1? 400?（x-80）2 + 16，拱桥与桥墩AC 的交点C 恰好在水面，有AC ⊥x 轴．若OA = 10米，则桥面离水面的高度AC 为（ ）A ．16 9? 40?米B ．1?7? 4?米C ．16 7? 40?米D ．1?5? 4?米 【答案】B【分析】先确定C 点的横坐标，然后根据抛物线上点的坐标特征求出C 点的坐标，从而可得到AC 的长；【详解】∠AC x ⊥轴，OA=10米，∠点C 的横坐标为10-，当10x =-时， ∠()218016400y x =--+()21171080164004=---+=-， ∠1710,4C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴桥面离水面的高度AC 为174米．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，准确计算是解题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、解答题9．如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA 为12m ，宽OB 为4m ，隧道顶端D 到路面的距离为10m ，建立如图所示的直角坐标系．（1）求该抛物线的解析式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m ，宽为4m ，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？【答案】（1）21(6)106y x =-+﹣；（2）能安全通过 【分析】（1）先求出抛物线顶点坐标，再按顶点式设出抛物线解析式，代入解析式；（2）令x ＝10，求出y 与6作比较．（1）根据题意，该抛物线的顶点坐标为（6，10），设抛物线解析式为：2(6)10y a x=+﹣， 将点B （0，4）代入，得：36104a +＝， 解得：16a =-， 故该抛物线解析式为21(6)106y x =-+﹣； （2）根据题意，当x ＝6+4＝10时，y 16=-⨯16+10223=＞6， ∴这辆货车能安全通过．【点评】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．10．某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽AB 为4m ，顶部C 距离地面的高度为4.4m ，现有一辆货车，其装货宽度为2.4m ，高度2.8米，请通过计算说明该货车能否通过此大门？【答案】能，理由见解析【分析】 首先建立适当的平面直角坐标系，并利用图象中的数据确定二次函数的解析式，进而得到装货后的最大高度，即可求解．【详解】解：以C为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，建立如下图所示的平面直角坐标系，根据题意知，A（﹣2，﹣4.4），B（2，﹣4.4），设这个函数解析式为y＝kx2．将A的坐标代入，得y＝﹣1.1x2，∵货车装货的宽度为2.4m，∴E、F两点的横坐标就应该是﹣1.2和1.2，∴当x＝1.2时y＝﹣1.584，∴GH＝CH﹣CG＝4.4﹣1.584＝2.816（m），因此这辆汽车装货后的最大高度为2.816m，∵2.8＜2.816，所以该货车能够通过此大门．【点睛】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用关键是建立数学模型，借助二次函数解决实际问题，注意根据线段长度得出各点的坐标，难度一般．11．如图，①为抛物线形拱桥，在正常水位下测得主拱宽24m ，最高点离水面8m ，以水平线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系（如图②）．（1）求抛物线的解析式；（2）桥边有一浮在水面部分高4m ，最宽处为18m 的何鱼餐船，试探索此船在正常水位时能否开到桥下，并说明理由．【答案】（1）21818y x =-+；（2）不能开到桥下 【分析】 （1）设抛物线解析式为()()88y a x x =+-，代入（0,8）即可求解；（2）求出当x=9时，y 的值，判断其是否大于4即可．【详解】（1）∵AB=24，OC=8∴A （-12,0），B （12,0），C （0,8）设抛物线解析式为()()1212y a x x =+-代入C 点坐标，得()()8012012a =+-，解得118a =- ∴抛物线解析式为21818y x =-+；（2）当x=9时，得2198 3.518y =-⨯+= ∵3.5<4∴不能开到桥下．【点睛】 本题考查了二次函数的拱桥问题，重点是根据题目所给的坐标系求出函数解析式．12．如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB 时宽20m ，水位上升4m 就达到警戒线CD ，这时水面宽度为12m ．（1）建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；（2）若洪水到来时水位以0.1m/h 的速度上升，从正常水位开始，再过几小时就能到达桥面？【答案】（1）如图所示，2116y x =-；（2）1252小时 【分析】（1）设所求抛物线的解析式为y=ax 2．把D （6，b ），则B （10，b －4）代入解方程组即可；（2）由（1）可求得点B 坐标，进而可得拱桥顶O 到正常水位AB 的距离，进而求出时间．【详解】（1）如图所示：设所求抛物线的解析式为y=ax 2，设D （6，b ），则B （10，b －4），把D 、B 的坐标分别代入y=ax 2得：364100b a b a =⎧⎨-=⎩， 解得：11694a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴抛物线的解析式为2116y x =-； （2）∵94b =-， ∴b －4= 944--= 254- ∴拱桥顶O 到正常水位AB 的距离为254m ∴2540.1 2510=41⨯ 125=2小时． 所以再持续1252小时到达拱桥顶． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数，学会利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．13．如图1，单孔拱桥的形状近似抛物线形，如图2建立所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度AB 为12,m 拱桥的最高点C 到水面AB 的距离为6m ．（1）求抛物线的解析式；（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为10m ，求水面上涨的高度﹒【答案】（1）2166y x =-+；（2）116m 【分析】（1）根据题意，C 点是抛物线的顶点且位于y 轴上，A 、B 点是抛物线与c 轴交点，所以抛物线的对称轴为y 轴，得A （-6,0）、B （6,0）、C （0，6）然后设二次函数解析式为2y ax k =+，，将点B 、C 带入解析式解出即可.（2）根据题意得，水面宽度的横坐标为5-和5，将其代入解析式求得y 值即可.【详解】解：（1）设二次函数解析式为2y ax k =+ 由题意得，()),6,006,BC （ 26y ax ∴=+2066a ∴=⋅+16a ∴=-∴解析式为2166y x =-+ （2）由题意得，水面宽度的横坐标为5-和5．212511566666y ∴=-⨯+=-+= ∴水面上涨的高度为116m ． 【点睛】本题主要考查二次函数解析式的实际应用问题，运用数形结合的思想，正确理解图像上各点的含义是解题的关键14．某公园草坪的防护栏形状是抛物线形，为了牢固起见，每段防护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏最高点距离底部0.5m （如图），求其中防护支柱11A B 的长度．【答案】防护栏支柱11A B 的长度为0.32m ．【分析】设抛物线的解析式为：y=ax 2，由待定系数法求得解析式，再将点A 1的横坐标代入解析式，即可得出点B 1的纵坐标，则可得出答案．【详解】解： 如图所示，点C 坐标为（1，-0.5）设抛物线的解析式为：2y ax =，将点C 坐标代入得： 0.5a =-，∴抛物线的解析式为：20.5y x =-，由题意可得点1A 的横坐标为0.6-，∴点1B 的纵坐标为：20.5(0.6)0.18y =-⨯-=-，0.5-0.18=0.32，∴防护栏支柱11A B 的长度为0.32m ．【点睛】本题考查了待定系数法在实际问题中的应用，数形结合、正确建立平面直角坐标系以及由待定系数法求得函数解析式是解题的关键．15．有一个抛物线形的单向道路隧道，隧道离地面的最大高度为4m ，跨度为10m ，把它放在图示平面直角坐标系中．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）通过计算说明，现有一辆宽4m ，高3.2m 的厢式货车能否安全通过此隧道?【答案】（1）y=425-（x-5）2+4；（2）货船能从桥下通过，理由见解析．【分析】（1）先确定抛物线的顶点坐标以及x轴的的交点坐标，然后运用待定系数法解答即可；（2）根据货车宽度求出抛物线解析式中的x值，再求出对应的y的值，再与货车高度比较即可解答．【详解】解：（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为（5，4），与x轴的两个交点坐标为（0，0）设抛物线解析式为y=a（x-5）2+4，把（0，0）代入，得：0= a（0-5）2+4，解得a=4 25 -所以抛物线解析式为：y=425-（x-5）2+4；（2）货船能从桥下通过，理由如下：∵货船宽为2米，高为3米，∴当x=6时，y=425-（6-5）2+4=3.84>3．∴货船能从桥下通过．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解决本题的关键在于熟练运用二次函数解决实际问题．16．图中是抛物线形拱桥，点P处有一照明灯，水面OA宽4 m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知点P 的坐标为（3，32）. (1)点P 与水面的距离是________m ；(2)求这条抛物线的表达式；(3)当水面上升1 m 后，水面的宽变为多少？【答案】（1）32（2）y ＝－12x 2＋2x.（3）【分析】∠1）根据点P 的横纵坐标的实际意义即可得；∠2）利用待定系数法求解可得；∠3）在所求函数解析式中求出y=1时x 的值即可得．【详解】(1)由点P 的坐标为3(3,)2,知点P 与水面的距离为3m 2， 故答案为32； (2)设抛物线的解析式为2y ax bx =+，将点A (4,0)∠P 3(3,)2代入，得： 16403932a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：122a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以抛物线的解析式为2122y x x =-+； (3)当y =1时,2121,2x x -+=即2420x x -+=，解得：2x =则水面的宽为2(2+=【点睛】考查二次函数的应用，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.17．如图所示的是一座拱桥，桥洞的拱形是抛物线的形状，当水面宽AB 为12米时，桥洞顶部离水面4米，若水面上涨1米，求此时水面的宽．【答案】【分析】由题意建立适当的平面直角坐标系，用待定系数法可求抛物线的函数解析式，然后把y 3=-代入解析式即可求解．【详解】解：如图，以抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系．由题意可知抛物线过点（6，-4）设抛物线的函数表达式为：2y a x = 把（6，-4）代入2y a x =，可得1a 9=- 则抛物线的函数表达式为：21y 9x =- 当水面上涨1米，水面所在的位置为直线y 3=-令y 3=-，则2139x -=-，解得：x =±∴此时水面的宽为：【点睛】此题主要考查二次函数的实际应用，建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的函数解析式是解题关键． 18．河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽6m 时，水面离桥孔顶部3m.因降暴雨水位上升lm. （1）如图①，若以桥孔的最高点为原点，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式;（2）一艘装满物资的小船，露出水面的高为0.5m 、宽为4m(横断面如图②).暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过吗?请说明理由.【答案】（1）y=-213x （2）能【分析】∠1）根据点A的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；∠2）代入x=2求出y值，用其减去-2求出可通过船的最高高度，将其与0.5比较后即可得出结论.【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2∠a≠0∠∠将A∠3∠-3）代入y=ax2∠-3=9a，解得：a=-1 3∠∴抛物线的解析式为y=-13x2∠∠2）当x=2时，y=-13×22=-43∠∠-43-∠-2∠=23∠0.5∠∴暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过.【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的应用、二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点A的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）根据二次函数图象上点的坐标特征结合水高求出可通过船的最高高度（宽度固定）．19．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形.小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式.你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式.【答案】正确. 22003x y =或236200y x =-+ 【分析】根据桥拱的对称性和已知数据，以对称轴为纵轴、水面为横轴建立坐标系，使拱顶在坐标原点最简单．【详解】抛物线依坐标系所建不同而各异，如下图.(仅举两例)①如图1建立坐标系，∵顶点在原点，∴设函数解析式为y=ax 2，∵图像过（20，6），∴6=a ×202，解得：a=-3200， ∴抛物线的表达式为y=-3200x 2. ②如图2建立坐标系，∵图像相当于图1的图像向上平移6，∴抛物线的表达式为y=-3200x 2+6.故正确，抛物线表达式为y=-3200x 2或y=-3200x 2+6. 【点睛】建立适当的坐标系是数学建模的关键，需认真分析图形特征．20．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥面离水面的距离为5.6米，桥洞离水面的最大高度为4m ，跨度为10m ，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式．（2）如图，在对称轴右边1m 处，桥洞离桥面的高是多少？【答案】（1）二次函数解析式为24(5)425y x =--+；（2）桥洞离桥面的高是1.76米． 【分析】 （1）由题意可知抛物线的顶点坐标，设函数关系式为y=a （x-5）2+4，将已知坐标代入关系式求出a 的值．（2）对称轴右边1米处即x=6，代入解析式求出y=值．【详解】解：（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为()5,4，所以设此桥洞所对应的二次函数关系式为2(5)4y a x =-+， 由图象知该函数过原点，将(0,0)O 代入上式，得：20(05)4a =-+，。
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重庆中考18题专题训练1．含有同种果蔬但浓度不同的A 、B 两种饮料，A 种饮料重40千克，B 种饮料重60千克现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合．如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是_____________千克【分析】典型的浓度配比问题：溶液的浓度＝溶质的质量/全部溶液质量．在本题中两种果蔬的浓度不知道，但是因为倒出的和倒入果蔬质量相同，所以原A 种饮料混合的总质量仍然是后40千克，原B 种饮料混合的总质量仍然是后60千克．可设A 种饮料的浓度为a ，B 种饮料的浓度为b ，各自倒出和倒入的果蔬质量相同可设为x 千克，由于混合后的浓度相同，由题意可得：()()40604060x a xb x b xa -+-+= 去分母()()604060406040x a xb x b xa -+=-+，去括号得：2400606024004040a xa xb b bx xa -+=-+移项得：6060404024002400xa xb bx xa b a -++-=-合并得：()()1002400b a x b a -=-所以：24x =2. 从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是 。
解：设切下的一块重量是x 千克，设10千克和15千克的合金的含铜的百分比为a ，b ，= ，整理得（b-a ）x=6（b-a ），x=63.设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤．从这两块合金上切下重量相等的一块，并把所切下的每块与另一种剩余的合金加在一起，熔炼后两者的含铜百分率相等，则切下的合金重（ ）A ．12公斤B ．15公斤C ．18公斤D ．24公斤考点：一元一次方程的应用．分析：设含铜量甲为a 乙为b ，切下重量为x ．根据设有含铜百分率不同的两块合金，甲重40公斤，乙重60公斤，熔炼后两者的含铜百分率相等，列方程求解．解：设含铜量甲为a ，乙为b ，切下重量为x ．由题意，有=，解得x=24．切下的合金重24公斤．故选D ．4. 一批货物准备运往某地，有甲、乙、丙三辆卡车可雇用，已知甲、乙、丙三辆车每次运货量不变，且甲、乙两车每次运货物的吨数之比为1：3；若甲、丙两车合运相同次数运完这批货物时，甲车共运了120吨，若乙、丙两车合运相同次数运完这批货物时，乙车共运了180吨．则这批货物共 吨．解：设货物总吨数为x 吨．甲每次运a 吨，乙每次运3a 吨，丙每次运b 吨． ，=， 解得x=240．故答案为：240．5.某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了朵．解：设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆．由题意，有，由①得，3x+2y+2z=580③，由②得，x+z=150④，把④代入③，得x+2y=280，∴2y=280-x⑤，由④得z=150-x⑥．∴4x+2y+3z=4x+（280-x）+3（150-x）=730，∴黄花一共用了：24x+12y+18z=6（4x+2y+3z）=6×730=4380．故黄花一共用了4380朵．5.一个水池装一个进水管和三个同样的出水管，先打开进水管，等水池存一些水后再打开出水管（进水管不关闭）．若同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，则5分钟后水池空．那么出水管比进水管晚开分钟．考点：三元一次方程组的应用．解：设出水管比进水管晚开x分钟，进水管的速度为y，出水管的速度为z，则有：，两式相除得：，解得：x=40，即出水管比进水管晚开40分钟．故答案为：40．6.（1）一种商品原来的销售利润率是47%．现在由于进价提高了5%，而售价没变，所以该商品的销售利润率变成了．（2）某商品现在的进价便宜20％，而售价未变，则其利润比原来增加了30个百分点，那么原来的利润率为。
7.某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为40％，每件乙种商品的利润率为60％，当售出的乙种商品的件数比甲种商品的件数多50％时，这个商人得到的总利润率是50％；当售出的乙种商品的件数比甲种商品的件数少50％时，这个商人得到的总利润率是。
考点：二元一次方程的应用．专题：应用题；方程思想．：解：设甲进价为a元，则售出价为1.4a元；乙的进价为b元，则售出价为1.6b元；若售出甲x件，则售出乙1.5x件．=0.5，解得a=1.5b，∴售出的乙种商品的件数比甲种商品的件数少50%时，甲种商品的件数为y时，乙种商品的件数为0.5y．这个商人的总利润率为===45%．故答案为：45%．8. 某商场销售一批电视机，一月份每台毛利润是售出价的20%（毛利润=售出价-买入价），二月份该商场将每台售出价调低10%（买入价不变），结果销售台数比一月份增加120%，那么二月份的毛利润总额与一月份毛利润总额的比是。
解：设一月份的售出价为x，销售量为y，则有买入价为x×（1-20%）=80%x一月毛利润总额为x×20%×y= 二月的售出价为x（1-10%）=90%x每台毛利为90%x-80%x=10%二月的销售台数为y×（1+120%）=220%y所以二月毛利润总额为10%x×220%y=22%xy二月份的毛利润总额与一月份的毛利润总额之比是22%：=11：109.某公司生产一种饮料是由A，B两种原料液按一定比例配制而成，其中A原料液的成本价为15元/千克，B原料液的成本价为10元/千克，按现行价格销售每千克获得70%的利润率．由于市场竞争，物价上涨，A原料液上涨20%，B原料液上涨10%，配制后的总成本增加了12%，公司为了拓展市场，打算再投入现总成本的25%做广告宣传，如果要保证每千克利润不变，则此时这种饮料的利润率是分析：根据题意计算出涨价后，原A价格为18元，B上涨10%，变为11元，得出总成本上涨12%，即可得出涨价前每100千克成本以及涨价后每100千克成本，进而得出x的值即可得出答案．解答：解：原料液A的成本价为15元/千克，原料液B的成本价为10元/千克，涨价后，原A价格上涨20%，变为18元；B上涨10%，变为11元，总成本上涨12%，设每100千克成品中，二原料比例A占x千克，B占（100-x）千克，则涨价前每100千克成本为15x+10（100-x），涨价后每100千克成本为18x+11（100-x），18x+11（100-x）=[15x+10（100-x）]•（1+12%），解得：x= 100/7千克，100-x= 600/7千克，即二者的比例是：A：B=1：6，则涨价前每千克的成本为 15/7+ 60/7= 75/7元，销售价为 127.57元，利润为7.5元，原料涨价后，每千克成本变为12元，成本的25%=3元，保证利润为7.5元，则利润率为：7.5÷（12+3）=50%．10．“节能减排，低碳经济”是我国未来发展的方向，某汽车生产商生产有大、中、小三种排量的轿车，正常情况下的小排量的轿车占生产总量的30%，为了积极响应国家的号召，满足大众的消费需求准备将小排量轿车的生产量提高，受其产量结构调整的影响，大中排量汽车生产量只有正常情况下的90%，但生产总量比原来提高了7.5%，则小排量轿车生产量应比正常情况增加 %。
分析：要求小排量轿车生产量应比正常情况增加的百分数，就要先设出未知数x，再通过阅读，理解题意．本题的等量关系是调整后的三种排量的轿车生产总量不变．为了方便做题，我们可以设调整前的总量为a．解：设小排量轿车生产量应比正常情况增加的百分数为x，汽车原总量为a．则可得方程：30%a（1+x）+70%a×90%=（1+7.5%）a，解得x≈48.3%．故填48.3．11.某公司销售A、B、C三种产品，在去年的销售中，高新产品C的销售金额占总销售金额的40%．由于受国际金融危机的影响，今年A、B两种产品的销售金额都将比去年减少20%，因而高新产品C是今年销售的重点．若要使今年的总销售金额与去年持平，那么今年高新产品C的销售金额应比去年增加 %．一元一次方程的应用．专题：增长率问题．解：设今年高新产品C的销售金额应比去年增加x，根据题意得：0.4（1+x）+（1-40%）（1-20%）=1，解得x=30%，故填30．12．烧杯甲中盛有浓度为a% 的盐水m升，烧杯乙中盛有浓度为 b%的盐水m升（a>b），现将甲中盐水的1/4 倒入乙中，混合均匀后再由乙倒回甲，估甲中的盐水恢复为m升，则互掺后甲、乙两烧杯中含有纯盐量的差与互掺前甲、乙两烧杯中含有纯盐量的差之比为______．根据烧杯甲中盛有浓度为a%的盐水m升，烧杯乙中盛有浓度为b%的盐水m升（a＞b），得出两烧杯的纯盐量的差，再表示出甲中盐水的倒入乙中，混合均匀后再由乙倒回甲后，两烧杯的纯盐量，进而得出答案．解答：解：∵烧杯甲中盛有浓度为a%的盐水m升，烧杯乙中盛有浓度为b%的盐水m升（a ＞b），∴两烧杯的纯盐量的差为：ma%-mb%=m（a%-b%），∵将甲中盐水的倒入乙中，混合均匀后再由乙倒回甲，∴盐水倒入乙中后，烧杯乙浓度为：=，再根据混合均匀后再由乙倒回甲，∴倒回甲后，甲的含盐量为：ma%+×m=ma%+b%，乙的含盐量为：m，∴互掺后甲、乙两烧杯中含有纯盐量的差为：m（a%-b%），∴互掺后甲、乙两烧杯中含有纯盐量的差与互掺前甲、乙两烧杯中含有纯盐量的差之比为：，故答案为：．13．市场上一种茶饮料由茶原液与纯净水按一定比例配制而成，其中购买一吨茶原液的钱可以买20吨纯净水。
由于今年以来茶产地云南地区连续大旱，茶原液收购价上涨50%，纯净水价也上涨了8%，导致配制的这种茶饮料成本上涨20%，问这种茶饮料中茶原液与纯净水的配制比例为。
分析：设这种茶饮料中茶原液与纯净水的配制比例为a：b，购买一吨纯净水的价格是x，那么购买茶原液的价格就是20x，根据茶原液收购价上涨50%，纯净水价也上涨了8%，导致配制的这种茶饮料成本上涨20%，可列出方程求得比例．解：设这种茶饮料中茶原液与纯净水的配制比例为a：b，购买一吨纯净水的价格是x，=，=．故答案为：2：15．14.重庆长安汽车公司经销豪华级、中高级、中级、紧凑级四种档次的轿车，在去年的销售中，紧凑级轿车的销售金额占总销售金额的60%，由于受到国际金融危机的影响，今年豪华、中高、中级轿车的销售金额都将比去年减少30%，因而紧凑级轿车是今年销售的重点，若要使今年的总销售额与去年持平，那么今年紧凑级轿车的销售金额应比去年增加 %分析：设去年四种档次的轿车销售额共a元，其中紧凑级轿车销售额是60%a元，则豪华、中高、中级轿车销售额共（1-60%）a元；设今年紧凑级轿车的销售金额应比去年增加的百分数为x，则今年紧凑级轿车销售额是60%（1+x）a元，豪华、中高、中级轿车销售额共（1-60%）（1-30%）a元，根据今年的总销售额与去年持平，列方程求解．解答：解：设今年紧凑级轿车的销售金额应比去年增加的百分数为x，依题意得：60%（1+x）a+（1-60%）（1-30%）a=a，解得：x=0.2=20%．答：今年紧凑级轿车的销售金额应比去年增加20%．15.某果蔬饮料由果汁、疏菜汁和纯净水按一定质量比配制而成，纯净水、果汁、蔬菜汁的价格比为1：2：2，因市场原因，果汁、蔬菜汁的价格涨了15%，而纯净水的价格降了20%，但并没有影响该饮料的成本（只考虑购买费用），那么该种饮料中果汁与蔬菜汁的质量和与纯净水的质量之比为分析：设纯净水、果汁、蔬菜汁的价格为a，2a，2a，设纯净水、果汁、疏菜汁按一定质量比为x：y；z，根据因市场原因，果汁、蔬菜汁的价格涨了15%，而纯净水的价格降了20%，但并没有影响该饮料的成本（只考虑购买费用），可列出方程求解．解；设纯净水、果汁、蔬菜汁的价格为a，2a，2a，设纯净水、果汁、疏菜汁按一定质量比为x：y：z， ax+2ay+2az=ax（1-80%）+2ay（1+15%）+2az（1+15%），0.2x=0.3（y+z），（y+z）：x=2：3．故答案为：2：3．16.(2010巴蜀)超市出售某种蔗糖每袋可获利20%，由于近来西南地区蔗糖产地连续干旱，导致这种蔗糖进价增长了25%，超市将这种蔗糖的售价提高，以保证每袋获利金额不变，则提价后的利润率为16%．分析：由题意，y-x（1+25%）=x•20%，可到y值，有利润率=( 售价-进价)/进价从而得到答案．解：设原来每袋蔗糖的进价是x，进价增长后为y，则由题意得：利润率=(1+25%)x+20%x-x(1+25%)/x(1+25%)=16%．17.（巴蜀2010—2011下期二次模）商场购进一种商品若干件，每件按进价加价30元作为标价，可售出全部商品的65%，然后将标价下降10%，这样每件仍可以获利18元，又售出全部商品的25%，为了确保这批商品总的利润不低于25%，则剩余商品的售价最低应为元/件.75。