中考数学 知识点聚焦 第三章 整式的加减

专题二 代数式第三章 整式的加减知能图谱代数式的概念 列代数式⎩⎨⎧列代数式的方法及注意问题代数式表示的实际背景或几何意义求代数式值的方法⎩⎨⎧直接代入求值整体代入求值实际应用求值步骤：先代入，再计算代数式的读法⎩⎨⎧按运算顺序读按运算结果读 描述代数式的语言⎩⎨⎧文字语言符号语言 单项式⎩⎨⎧定义：单项式是数或字母的积，单独的一个数或一千字母也是单项式系数：单项式中的数字因数次数：一个单项式中．所有字母的指数的和定义：几个单项式的和 项：多项式中的每个单顶式 求代数式的值 代数式的意义 代数式多项式整式的加减次数：多项式中次数最高项的次数多项式各项的排列⎩⎪⎨⎪⎧降幂排列：把多项式按某一字母的指数从大到小的顺序排列起来升幂排列：把多项式按某一字母的指数从小到大的顺序排列起来合并同类项⎩⎨⎧所含字母相同．并且相同字母的指数也相同的项叫同类项合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变括号前面是“＋”号⎩⎨⎧把括号和它前面的“＋”号去掉，括号内各项的符号都不改变 括号前面是“－”号⎩⎨⎧把括号和它前面的“—”号去掉，括号内各项的符号都要改变 整式的加减⎩⎨⎧步骤：去括号，合并同类项化简求值：一般先化简，再代入求值第5讲 代数式的基础知识知识能力解读知能解读 (一)用字母表示数，列式表示数量关系用字母表示数，可以简明地表达一些一般的数量和数量关系，即把问题中与数量有关的语句，用含数、字母和运算符号的式子表示出来，(二)代数式的概念用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，叫作代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．注意：代数式中不含“＝”“＞”“＜”“≠”等符号．(三)列代数式(1)把问题中与数量有关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式．(2)书写代数式的注意事项：①代数式中在表示数字与字母相乘或字母与字母相乘时，乘号通常省略不写或简写为“·”，且数字在前，字母在后，如2乘a 写作2a 或2a ⋅，a 乘b 写作ab 或a b ⋅．若数字是带分数，要化成假分数，如142乘a ，应写作92a 或92a ⋅． ②除法运算写成分式的形式，如2x ÷写作2x ，()x ab ÷-写作x a b-． 整式运算法则去括号法则③在同一个问题中，不同的数量必须用不同的字母来表示．④在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位，若代数式是积或商的形式，则单位直接写在代数式的后面，如3a m ；若代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位写在代数式后面，如12a b m ⎛⎫+⎪⎝⎭等． (3)列代数式的步骤：①读懂题意，弄清其中的数量关系，抓住题目中表示运算关系的关键词，如和、差、积、商、比、倍、分、大、小、增加了、增加到、减少、几分之几等．②分清运算顺序，注意关键性的断句及括号的恰当使用．(四)解释简单代数式表示的实际背景或几何意义实际问题中的数量关系可以用代数式表示，另一方面，同一个代数式可以揭示多种不同的实际意义．注意在说代数式表示的实际意义时，数与字母的含义必须与实际相符．(五)求代数式的值(1)概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中指定的运算顺序计算得出结果，叫作求代数式的值．(2)步骤：按照定义求代数式的值有“代入”和“计算”两个步骤：第一步：“代入”，指用数值代替代数式里的字母；第二步：“计算”，指按代数式指明的运算，计算得出结果．(3)方法：常见的基本方法有直接代入和整体代入以及化简后代入．注意：(1)代数式与代数式的值是两个不同的概念，代数式表述的是问题的一般规律，而代数式的值是这个规律下的特殊情形；(2)代数式中字母的取值，必须使要求值的代数式有意义；(3)用代数式表示实际问题的数量关系时，字母的取值要保证具有实际意义；(4)代数式中的字母每取一个确定的数时，能相应地求出代数式的一个确定值．(六)列代数式与求代数式的值的区别列代数式是把数量关系用含有数、表示数的字母和运算符号的式子表示出来，是由特殊到一般的思维方式；求代数式的值，是用数值代替代数式里的字母，按照运算关系计算得出结果，是由一般到特殊的思维方式．方法技巧归纳方法技巧 (一)列代数式的方法技巧列代数式的关键是正确理解数量关系，弄清运算顺序和括号的作用．掌握文字语言“和、差、积、商、倍、分、大、小、多、少”等在数学语言中的含义，此外，还要掌握下述数量关系：行程问题：路程＝速度×时间；工作问题：工作量＝工作效率×工作时间；数字问题：三位数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字；利润问题：利润率＝利润成本×100％． (二)求代数式值的方法(三)用代数式表示数的规律易混易错辨析易混易错知识1．列代数式时，对一些语句理解不透容易出错．如“a ，b 两数的平方和”与“a ，b两数和的平方”容易混淆．2．忽略题目中的单位和括号．题目中有单位时，用字母表示的式子应带单位．如果列出的式子是单项式，单位可直接写在式子的后面；如果列出的式子是多项式，应先用括号把式子括起来，再在式子后面写上单位．易混易错 (一)代数式的书写格式不规范(二)列有关实际问题的代数式时，不能正确理解题意导致列错式中考试题研究中考命题规律本讲的考点主要是列代数式，它是中考的基础内容，单独命题考查基本知识的运用，题型以填空题、选择题为主，求代数式的值以及利用代数式表示规律是近几年中考的热点． 中考试题 (一)列代数式表示生活中的数量关系(二)观察、归纳、推理型问题(三)求代数式的值(四)探究图形中的变化规律第6讲 整式的加减知识能力解读知能解读 (一)单项式、多项式、整式的定义及它们的联系与区别(1)单项式：像100t ，0.8p ，mn ，2a h ，n -这些式子都是数或字母的积，这样的式子叫作单项式．特别地，单独的一个数或—个字母也是单项式．(2)多项式：几个单项式的和叫作多项式．如2x +，331y y -+等． (3)整式：单项式与多项式统称整式．它们的关系可以用图表示．注意：分母中含有字母的代数式不是单项式，如1x ，b a 都不是单项式；而1π是单项式，因为π是表示圆周率的常数．(二)单项式的系数、次数 单项式的系数是指单项式中的数字因数，单项式的次数是指单项式中所有字母的指数的和．注意：(1)单项式的系数包括符号．(2)当一个单项式的系数是1或1-时，“1”通常省略不写，如2a ，mn -；单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如2112x y 写成232x ． (3)单项式的次数是指所有字母的指数的和，不包括系数的指数，如322a b 的次数是3，而不是6．单独一个非零的数是零次单项式．(4)单项式的系数有数字系数和字母系数之分，这是因为系数都是相对于某些字母而言的．例如，6abx 对于所有字母a ，b ，x 来讲，系数是6；而只对于字母x 来讲，系数是6ab ．(三)多项式的项、次数在多项式中，每个单项式叫作多项式的项．其中，不含字母的项叫作常数项．多项式中次数最高项的次数叫作这个多项式的次数．一个多项式中有几个单项式，它就是几项式．如多项式43325y y y -+-有四项，为43y ，32y -，y ，5-，其中5-是常数项，43y 这一项次数最高，所以这个多项式是四次四项式．注意：(1)多项式的每一项都包括它前面的符号．(2)多项式43325y y y -+-的各项名称分别为：43y 叫作四次项，32y -叫作三次项，y 叫作一次项，5-叫作常数项．(四)升幂排列与降幂排列为便于多项式的运算，可以用加法的交换律将多项式中各项按某个字母的指数的大小顺序重新排列．若按某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫作这个多项式按这个字母降幂排列．若按某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫作这个多项式按这个字母升幂排列． 如多项式332212312a b ab a b b a a b -+-++-，按字母a 升幂排列为232311322b a b a ab a b a b -++--++． 注意：(1)将各项重新排列后还是多项式的形式，各项的位置发生变化，其他都不变．(2)各项移动时要连同它前面的符号一起移动．(3)某项前的符号是“＋”，它在第一项位置时，“＋”可省略，在其他位置时不能省略．(五)同类项的概念所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项．几个常数项也是同类项．例如：2m n -与23m n 是同类项；2312x y -与32y x 是同类项． 注意：判断同类项的标准是“两相同”，即所合字母相同，相同字母的指数也相同，二者缺一不可；而同类项与系数无关，与字母的排列顺序也无关．(六)合并同类项(1)定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项．(2)合并同类项的法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变，口诀为“同类项，需判断；两相同，是条件；合并时，需计算；系数加，两不变”．根据合并同类项的法则；在合并同类项时可以按以下步骤完成：第一步：准确找出同类项；第二步：利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；第三步：写出合并后的结果．注意：如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0；合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的不能合并；不能合并的项，在每步运算时不能漏掉．(七)去括号去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．如：()a b c a b c ++-=+-，()a b c a b c -+-=--+．注意：(1)去括号时，要连同括号前面的符号一起去掉．(2)去括号时，首先要弄清楚括号前是“＋”还是“－”．(3)易犯的错误是：括号前面是“－”，去括号时，只改变括号里第一项的符号，而其余各项的符号均忘记改变．(八)整式的加减一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．去括号要依据去括号法则进行，若括号不止一种，通常要按照去小括号、中括号、大括号(或大括号、中括号、小括号)的顺序来运算，直到结果中没有括号为止．求整式的和或差时，应先用括号将每一个整式括起来，再用加减运算符号连接，具体运算时，先去括号，再合并同类项．根据题目的表现形式不同，我们可把整式的加减分为两大类：(1)直接的整式加减问题，即算式直接给出，直接运用上述方法求解即可．(2)间接的整式加减问题，与类型(1)不同，其求解步骤是：①根据题意列出代数式；②用加减号连接成整式的加减的算式；③去括号，合并同类项．注意：整式加减的最后结果要求：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数．(九)化简求值问题对于代数式求值问题，我们一般不直接把字母的取值代入代数式中计算，而是先化简(却去括号、合并同类项)，再代入求值，使计算简捷明了．方法技巧归纳方法技巧 (一)对单项式概念的理解及应用(二)对多项式概念的理解与应用(三)多项式的重新排列(四)同类项的识别方法同类项有两个条件：一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，二者缺一不可；而与系数和字母的排列顺序无关．(五)合并同类项的方法合并同类项时，一般按以下步骤进行：①标：用不同的符号标出同类项；②移：利用加法交换律把同类项移到一起；③合：合并同类项．(六)去括号法则的运用(七)整式的加减运算整式的加减是求几个整式的和、差的运算，其实质就是去括号、合并同类项，运算结果仍是整式．一般步骤为：(1)如果有括号，先去括号；(2)合并同类项．(八)代数式求值代数式求值一般是先将代数式化简，然后再代入求值．有时我们还需根据题目的特点，选择特殊的方法求代数式的值，如整体代入法等．易混易错辨析易混易错知识1．确定单项式的系数和次数．如222a b c-的系数是12-，而不是2或2-；次数是5，即2215++=，防止漏掉c的指数1．2．同类项概念理解有误，导致在合并同类项过程中出现错误．如22246x x x+=这个计算过程是错误的．合并同类项的前提是要合并的项是同类项，2x与24x不是同类项，故不能能合并．3．去括号时，易出现符号错误，漏乘某些项．去括号时，括号前是“－”，往往只改变了第一项的符号，而其余各项的符号忘了改变．当括号前有数字因数时，易发生只将此数字因数与括号内的第一项相乘，而漏乘其他项的错误．4．多项式的次数与单项式的次数混淆．如2a b+的次数是2，而不是3．因为多项式的次数是组成多项式的单项式中的最高次项的次数．注意与单项式次数定义的区别．易混易错(一)括号前是“－”时，去括号时容易弄错符号或漏乘某些项(二)整式相加减时忽略括号的作用中考试题研究中考命题规律本讲的考点主要是单项式的系数、次数，多项式的项数、次数，单项式的有关规律探究，同类项的概念与合并同类项，整式的加减运算，题型以填空题、选择题为主，还常与其他知识综合命题．(一)单项式的规律探究(二)单项式的系数、次数与多项式的项数、次数(三)对同类项概念的理解(四)合并同类项(五)整式的化简求值。