第四章 断裂力学在疲劳裂纹扩展中的应用

交变应力的描述 应力范围 应力幅 应力比 平均应力
什么是疲劳？ 材料或构件在交变应力的作用下，在最大应力远低于屈服应力的情况下，经 若干应力循环而发生破坏的现象称为疲劳（Fatigue）。
疲劳极限: 在干燥空气中一种材料的试样在一定的应力幅下经1 0 7 循环仍不
破坏的最大应力幅值称为这种材料的疲劳极限。 什么是疲劳裂纹扩展？ 试样或构件在疲劳载荷的作用下，会因为局部滑移在高应力区、相界、晶界、
对于韧性材料：
; 若min <0 , 则取 min =0 对于某些脆性材料，裂纹在压应力下也能扩展，研究中。
2、安全寿命设计(safe-life design) 对于某些构件，承受大应力幅的应力循环，使用次数不多，且易检测和维修。可 以适当提高许用应力，把寿命设计在有限的安全寿命之内（最早由汽车设计师提出－ 板簧、齿轮及轴承等的设计）。常用Ｐ-Ｓ-Ｎ 曲线。 3、损伤容限设计(Damage-tolerant design) 由于损伤往往不可避免，带伤部件的运行是经常的。我们希望在破坏之前是安全 的，可以周期检测和维修，能够知道其残余寿命。从而产生了破坏安全设计的要求 （最早由航空设计师提出－飞机机身、机翼等的设计）。损伤容限设计（Damage tolerance design）就是新发展的一种疲劳设计方法。它是用断裂力学的方法，根据材 料的裂纹扩展速率da/dN与△K的关系曲线，确定已经有损伤构件的使用寿命。即根据 已知的初始裂纹尺寸a0 和允许扩展到的裂纹（临界）尺寸ac，设计构件的使用寿命Nf。 这种方法设计思想的一个突破，但在技术上要求很高，要求准确地确定a0，材料的断 裂韧度K1c及da/dN曲线等。在上述已知的条件下， a0，ac，Nf 三个量中，已知两个， 可根据要求确定第三个量。
公式推导：
·Paris公式：dadNA(K)m , △K一般写为:KY a ， 这里Y
是裂纹几何因子，一般取为常数。从而：
dadNA(Ya)m
积分上式，有：
af
N
a0
da
1
A()mAYm()m
af m
m a 2da 2a0
当m≠2时
N
1
AYm( )m
a a (1m2) 0
(1m2) f
m 2
m21
当m=2时
N AY2( 1)2lnaa0f
·Forman公式： 积分上式，有：
da CKm dN (1R)Kc K
N a f (1 R )K c K d a af (1 R )K cd a a f 1 d a
又 = max-smin = (75 - 10) MPa = 65 MPa
Nf

2

A
3/ 2 (
)3Y 3

1 ao
1
ac
Nf

1.3x1010

2 3/ 2 (65)3
(1.27)3

1 0.0015
1 0.0561
106000 cycles
106000 cycles 1 hr 1060 flight hrs 100 cycles
需要说明的是：严格说来，由于材料都有缺陷（先天或后天产生的）无缺陷的 材料几乎不存在。一般在交变应力下，材料在破坏前总会有裂纹扩展的阶段。
§ 4-1-2 疲劳裂纹扩展速率的描述
疲劳裂纹扩展速率da/dN的概念 在疲劳裂纹扩展中，若在同样的应力幅下，循环△N次，裂纹的扩展量为△a，则 一次应力循环的裂纹扩展量为△a/△N (m/cycle),称此为裂纹扩展率，在极限情况， 裂纹扩展率用的da/dN 表示。da/dN可以用于常幅疲劳，也可以用于非常幅的疲劳 情况。
§ 4-3 断裂力学在疲劳设计中的应用
利用应力强度因子概念建立的裂纹扩展速率da/dN与△K的关系提供了用断裂力学 方法估算疲劳裂纹扩展寿命的方法，也使疲劳损伤容限设计成为可能。
众说周知，工程上所用的构件，由于冶炼、锻造、加工、制备、运输、装配等环 节，往往构件中已经存在某种缺陷或裂纹。这种情况下受疲劳载荷的构件的使用寿命 是由疲劳裂纹扩展寿命决定的，只要知道了载荷大小及缺陷或裂纹的性质和几何，就 可以通过试样来确定裂纹扩展的规律，从而利用 Paris公式或其它公式估算构件的寿 命，也可以从已知初始缺陷（裂纹）的大小和所要求的寿命，估算临界裂纹尺寸或临 界应力，还可以在所控制的疲劳寿命与临界裂纹尺寸下设计所允许的初始的缺陷（裂 纹）的大小。
缺陷等处萌生（initiation）小裂纹；有些试样或构件先天就存在缺陷（如焊接裂纹， 铸造孔洞、加工刀痕等），这些萌生的小裂纹或者先天存在的缺陷在交变应力的作 用下，并不能使材料立即断裂，但由于局部的高应力，会使这些小裂纹慢慢长大， 一直长到临界裂纹长度才失稳断裂，这一过程称为亚临界裂纹扩展－疲劳裂纹扩展 （fatigue crack propagation, fatigue crack growth ）。
Forman 公式
当外加△K不变（即应力幅度不变）；改变循环应力比R值，（即改变平均应
力 值，dFra Baidu bibliotek/dN将会随 值的增大（即R值增大）而增大。Paris 公式没有考虑
m
m
平均应力的影响,也没有考虑当Kmax 趋近于 Kc时（第三阶段），Forman 提出
了考虑上述问题的修正da公d式N：(1CR()KKc)mK
该公式也得到较多的应用。残余应力对裂纹扩展的影响常常可视为平均应力的作用。
§ 4-2 疲劳设计方法
1、无限寿命设计(Infinite life design)
● 基于S-N曲线或P-Ｓ-Ｎ曲线的设计
无限寿命设计是将构件的疲劳寿命设计为：许用应力幅在疲劳极限应力幅之下（最
早由铁路设计师提出－车轴的设计）。注意此时的构件的《许用应力幅》是其材料的疲
parameters of A and m for Paris formula, estimate the number of flying hours
(100cycles/1hr. )to fracture
7075- alloy： Kc = 40 MPam；A = 1.3x10-10 m/cycle ; m = 3;
应用举例
例题1
A fatigue crack 1.5 mm long has been discovered in a main wing spar of a CC-
130 Hercules made of 7075 alloy. Given the crack geometry factor Y、 Kc and
第四章 断裂力学在疲劳裂纹扩展中的应用
§ 4-1 裂纹在交变载荷下的形成与扩展 § 4-1-1 基本概念 § 4-1-2 疲劳裂纹扩展速率的描述 § 4-2 疲劳设计方法 § 4-3 断裂力学在疲劳设计中的应用
§ 4-1 裂纹在交变载荷下的形成与扩展
§ 4-1-1 基本概念
什么是交变应力？
方向或大小变化的应力称为交变应力 ， (t) 。
疲劳裂纹扩展发生于裂纹尖端附近小范围区域内，故其扩展速率由局部的应 力应变场控制，该局部的应力场可以通过外加应力与裂纹扩展的长度决定，或者 说由相应的应力强度因子K1来确定(不是J ,why ?)。实际上影响裂纹扩展速率的因 素很多，但主要是应力幅△σ，裂纹长度a，即da/dN＝f(△σ,a )＝f(△K)，△K称为 应力强度因子范围， 它是相应于应力幅的最大应力和最小应力的应力强度因子之 差：即：
Y = 1.27 (assume constant)；Measured maximum stress is 75 MPa;
Measured minimum stress is 10 Mpa;
af
da
解：
Nf

ao A(Y
a)m
由 ao = 1.5 mm, 求 af
a c1 Y K m ca x 21 1 .2 7 4 0 (7 5 ) 2 0 .0 5 6 1 m (5 6 .1 m m )
a 0 C K m
a 0 C K m
a 0C K m 1
N C Y (m 1 ( R ))K m cm 2a a 0 fa m 2 d a C Y m 1 ( 1 )m 1m 1 2a a 0 fa 1 m 2 d a
当m≠2，3时，
Paris Region Stable Growth
da A(K)m dN
log(da/dN) Threshold Region Slow Growth Fast Fracture Region Rapid-unstable Growth
如右图：第一阶段接近门槛值区域，低于门槛值
m
裂纹不扩展,但一旦突破门槛值的小裂纹或短裂纹
对于韧性较低的 材料，应根据G1c 或 K1c确定临界裂纹长度，有时也通 过打压试验来确定 ，也就是P水 来确定 ；对于脆性材料，由于裂纹扩展占整个 疲劳寿命时间很短，裂纹扩展寿命不是主要的，计算裂纹扩展寿命没有意义。
对于一般延性材料Δ＝max－min；若 min <0; 则取min = 0; 认为压应力使裂 纹不扩展。但某些脆性材料除外。
扩展速率一度较快；第二阶段是稳定裂纹扩展阶
A
段，是裂纹扩展的主要部分，只有这一部分是
logK)
Paris 公式适用的区域 ；第三阶段是快速扩展区，裂纹扩展到这个区域，将以非常
高的速率扩展，裂尖的应力强度因子 Kmax 迅速接近于 Kc而失稳断裂。环境和微观
组织对第一、第二两部份影响较大，第三阶段规律和影响已不重要。
af
1 a12da
2a0
NC (Y 12 ( R )K )2 clna a0 f C Y( 1 )12(af a0)
当m=3时,
NC Y (1 3( R ))K 3c32a a0 fa 32daC Y2( 1)2
af
a 1da
a0
N C Y 2 (3 1 ( R ))3 K c32(a 0 12af 12)C Y2( 1)2
lnaf a 0
上述方法仅适用于恒幅疲劳，裂纹几何因子Y为常数的情况下。其中 a0 为 初始裂纹长度，一般由灵敏度高的探伤仪测定；af 为断裂时的临界裂纹尺寸,它 对于韧性比较好的材料（中低强度钢－如不锈钢、高温合金等）可以用净断面应
力达到材料的拉伸强度极限时的 c 决定：
c 8 sE ac ln(sec2 c s )
K k m a x k m i n Y (m a x m i n )a Y a
疲劳裂纹扩展的门槛值
所谓疲劳裂纹扩展的门槛值是指：含裂纹试样在低于某个应力强度因子范围，
裂纹扩展速率低于。此时的称为裂纹扩展的门槛值。
Paris Law
疲劳裂纹扩展曲线 裂纹扩展的da/dN试验曲线可以分为三阶段，
NCY(m 1(R))Kmc m2
2 2m[af
(1m2)
a0(1m2)]
1
CYm1( )m1
m1 2
2 3m[af
(3m2)
a0(3m2)]
当m=2时,
NC (Y 12 ( R)K )2 c
af
a1da
1
a0
C Y()
劳极限应力幅乘以若干修正系数，即许用
[1]



1
这里，
为尺寸系数( 1) ;
为应力集中系数 ( 1) ， 为表面质量系数，一般也小于1；这些具体数值可以
查阅相关手册。这主要用于 HCF。
● 基于裂纹扩展门槛值ΔKth 的设计(发展中） 若考虑构件含有可能的裂纹，其疲劳载荷设计在疲劳裂纹扩展的门槛值之下
疲劳裂纹扩展速率的经验公式
Paris 公式
P. C. Paris 等通过试验表明,裂纹扩展率与△K成幂指数关系，即：
dadNA(K)m 。 式中，A与m为材料常数（可通过试验确定）。 这个公式对
于许多材料，在多数情况下都可应用，得到了超寻常的使用,但要记住，该公式
只是一个经验公式，没有理论依据（推理性）。