6菱形及性质

菱形概念及性质
强立新
教学目的：
1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．
2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．
4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．
二、重点、难点
重点：菱形的性质1、2．
难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用
三、考点分析：
在近几年的中考中，四边形与三角形占有很大的比重，常以中等难度的题型出现，题型也比较活。

而菱形这部分内容，更是四边形中重要的一环，主要考查菱形的判定和性质。

教学过程
一、复习创情导入
我们已经学习了矩形的性质：
性质有：定理1，矩形的四个角都是直角；
定理2，矩形的对角线相等；
推论，直角三角形斜边的中线是斜边的一半。

其中矩形的判定方法有：定义：有一个角是直角平行四边形
定理1：三个角是直角的四边形
定理2：对角线相等的平行四边形
二课堂引入
1．（复习）什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？
2．（引入）我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．
菱形也是特殊的平行四边形，当平行四边形的两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等时，平行四边形变成了菱形
知识点一：菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
知识点二：菱形的性质
要点诠释：菱形具有平行四边形一切性质，此外，它还具有如下特殊性质：
1.菱形的四条边相等。

2.菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。

平行四边形的面积法则适用于求菱形的面积。

菱形的面积=两条对角线的乘积的一半。

说明：要判定四边形是菱形的方法：
法一：先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等。

（这是定义证明）。

法二：先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直。

（这是判定定理3）法三：只需证出四边都相等。

（这是判定定理2）
4.菱形是轴对称图形也是中心对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴
典型例题
例3：已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E。

求证：∠AFD=∠CBE。

2）解题思路：欲证∠AFD 与∠CBE 相等，但找不到∠AFD 与∠CBE 所在的三角形全等，这时我们可以找一个角与∠AFD 与∠CBE 相等。

解答过程： ∵四边形ABCD 是菱形， ∴CB=CD ，CA 平分∠BCD 。

∴∠BCE=∠DCE 。

又CE=CE ， ∴△BCE ≌△DCE （SAS ）。

∴∠CBE=∠CDE 。

∵在菱形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴∠AFD=∠FDC （∠CDE ） ∴∠AFD=∠CBE 。

解题后的思考：此题为巩固菱形的性质而设置，同学们要熟练掌握菱形的性质。

例4：如图是菱形花坛ABCD ，它的边长为20m ，∠ABC =60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积。

A
D
C
O
B
思路分析： 1）题意分析：本题考查菱形的性质、菱形的面积及直角三角形的性质。

2）解题思路：因为菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半，所以应把此题转化为解直角三角形的问题从而求出AC 、BD 的长。

解答过程：∵在菱形ABCD 中， ∠ABC =60°，AB=20m
2
32002
1
320,20310,10302
1
m BD AC S m
BD m AC m BO m AO BD AC ABC ABD ABCD =⋅===∴==∴⊥︒=∠=
∠∴菱形
解题后的思考：这是一道合用菱形知识与直角三角形知识来求菱形面积的实际应用问题。

此题除可用以巩固菱形性质外，还可用不同的方法来计算菱形的面积，要学会熟练、灵活地运用知识。

例5：如图，四边形ABCD 是菱形。

对角线AC =8㎝，DB =6㎝，DH ⊥AB 于H 。

求DH 的长。

A
B
D
C
O H
思路分析： 1）题意分析：本题考查了菱形的面积及用等积法求高的知识。

解答过程：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC =8㎝，DB =6㎝。

∴菱形ABCD 的面积为24cm 2
BD BD DA CD BC AB ===
ABD ∆≌BCD ∆
ABD ∆面积等于菱形ABCD 面积的一半，为12cm 2
4=OA cm ，3=OD cm ，5=∴AD cm
5
241221=∴=⨯DH DH AB cm 解题后的思考：此题有一定的灵活性，同学们应在做题时积累经验，以能灵活正确地解题。

明白用等积法求高较为便捷。

针对训练；已知：菱形ABCD 中，对角线AC=16cm ，BD=12cm ，BE ⊥DC 于点E ，求菱形ABCD 的面积和BE 的长．
答案：解：菱形ABCD 的面积S=×16×12=96， ∵AC ⊥BD ，∴AB=10， ∴CD=AB=10， ∴ ×CD ×BE=48， ∴BE= cm ，
所以菱形ABCD 的面积为96cm 2
，BE 的长为 cm ．
解析:由菱形的性质知，菱形的面积等于它的两条对角线的乘积的一 扩展
1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为．
2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm ，求菱形的周长和面积．
3．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．4．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．
5．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为8cm，求菱形的高．
6如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求
（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积．。