线性子空间
线性子空间
证 证 明与 命题5类 似,略 .
例3 令 A ∈ F n×n , A2 = A. 求证 F n = R( A) ⊕ N ( A).
证 (1) F n = R( A) + N ( A) :
α ∈ F ⇒ α = Aα + (α − Aα );
(证 明 略)
例1 令V1 = span[e1 , e 2 ], V2 = span[e 2 , e 3 ] ≤ R 3 , 则 V1 ∩ V2 = {ke 2 | k ∈ R}, V1 + V2 = R 3 .
注意 : dimV1 + dimV2 = 2 + 2 = 4 ≠ dim(V1 + V2 ) = 3.
(2) 同样可以定义V1 ⊕ L ⊕ Vm .
命题4
令V1 , V2 ≤ V , 则下列各项等价 :
(1) V1 ∩ V2 = {0}. (2) V1 ⊕ V2 . (3) 若 α 1 , ⋅ ⋅⋅, α m 和 β 1 , ⋅ ⋅⋅, β n 分别为V1和 V2的基, 则 α 1 , ⋅ ⋅⋅, α m , β 1 L , β n 为 V1 + V2 的基 ⋅ (4) dim(V1 + V2 ) = dimV1 + dimV2 . 通过(1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1)完成证明.
span[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xm ] ≡ {k1 x1 + ⋅ ⋅ ⋅ + km xm | k1 , ⋅ ⋅⋅, kn∈ F } 为子空间, 称 x1 , ⋅ ⋅⋅, xm 的生成子空间.
span[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xm ]也用 L[ x1 , ⋅ ⋅⋅, xm ] 表示.
2. 第二讲 线性子空间
由定理, 子空间 L( x1 , x2 , 由归纳假设,L( x1 , x2 ,
因 n-(m+1)=(n-m)-1=(k+1)-1=k,
, xm +1 )的基 x1 , x2 , , x m , x m +1
可以扩充为整个空间Vn 的一组基.由归纳原理得证.
矩阵的值域 m×n 设 A ∈ C 的n个列向量为 a1 , a2 ,
+ kn xn } ki ∈ K , i = 1, 2, , xn ) = {k1 x1 + + kn xn }
,n
L ( x1 , x2 ,
, xn 生成(或张成)的子空间,记为
如果 x1 , x2 , 则 x1 , x2 ,
, xm
m < n 是线性无关组,
, xm
是生成的子空间的基
零子空间就是零元素生成的子空间
( γ s1 , γ s 2 ,
, γ ss ,0,0,
,1)
这个解向量组就是方程组的解空间的基
判断Rn的下列子集合哪些是子空间:
V1 = {( x1 , x2 , V2 = {( x1 , x2 , V3 = {( x1 , x2 , , xn ) x1 + x2 + , xn ) x1 + x2 + + xn = 0, xi ∈ R} + xn = 1, xi ∈ R} , n 1}
= L( x1 , x2 ,
4,维数公式 (定理1.6)
设 V1 ,V2为线性空间V的两个子空间,则
dimV1 + dimV2 = dim(V1 + V2 ) + dim(V1 ∩ V2 )
线性空间子空间
线性空间子空间概念在线性代数中，线性空间是指具有加法和标量乘法运算的集合，它满足以下四个条件：1.加法封闭性：对于任意的两个向量u和v，它们的和u+v也属于线性空间中。
2.标量乘法封闭性：对于任意的标量k和向量u，它们的乘积ku也属于线性空间中。
3.加法结合律：对于任意的三个向量u、v和w，满足(u+v)+w = u+(v+w)。
4.零向量存在性：存在一个零向量0，满足对于任意的向量u，都有u+0 = u。
线性空间中的子空间是指线性空间的一个子集，且在该子集上定义的加法和标量乘法运算仍然满足线性空间的四个条件。
换句话说，如果一个集合是某个线性空间的子空间，那么它也是一个线性空间。
性质线性空间子空间具有以下性质：1.子空间包含零向量：任意线性空间的子空间都必然包含零向量0。
2.子空间封闭性：对于任意子空间中的两个向量，它们的和仍然属于该子空间。
3.子空间封闭于标量乘法：对于任意子空间中的一个向量和一个标量，它们的乘积仍然属于该子空间。
例子考虑一个实数域上的线性空间R^3，其中的向量可以表示为(x, y, z)的形式。
假设我们要研究关于平面x = 0的子空间。
这个子空间可以表示为{(0, y, z) | y, z∈R}。
验证这个集合是线性空间的子空间需满足以下条件：1.加法封闭性：对于任意两个向量(0, y₁, z₁)和(0, y₂,z₂)，它们的和(0, y₁+y₂, z₁+z₂)仍然属于这个集合。
2.标量乘法封闭性：对于任意向量(0, y, z)和标量k，它们的乘积(k⋅0, k⋅y, k⋅z)仍然属于这个集合。
3.加法结合律：满足(u+v)+w = u+(v+w)对于这个集合中任意的向量u、v和w。
4.零向量存在性：这个集合中存在一个零向量(0, 0, 0)，满足任意向量(0, y, z)加上零向量仍然得到(0, y, z)。
由于满足这四个条件，我们可以得出结论，这个集合是我们所考虑的线性空间R^3的子空间。
线性子空间——精选推荐
§6-5 线性子空间一、定义设V 是数域P 上的线性空间，W 是V 的非空子集，如果W 对于V 的两种运算也构成数域P 上的线性空间，则称W 是V 的一个线性子空间，简称子空间。
例如：三维几何空间中，考虑一个过原点的平面，其上所有向量对于向量的加法和数乘构成一个二维子空间。
从定义上看判断一个非空子集是否子空间，需要逐一验证线性空间的8条运算法则，工作量太大，下面给出判断非空子集是否子空间的判断定理。
二、判断定理定理2：如果线性空间V 的非空子集W 对于V 的两种运算是封闭的，则W 是V 的一个线性子空间。
分析：所谓封闭是指，当P k W ∈∈,,βα时，一定有W ∈+βα，及W k ∈α 证明：对于线性空间的8条运算法则逐一验证。
①②因为V 是线性空间，一定满足αββα+=+，且()()γβαγβα++=++，而W 是V 的子集，其中元一定是V 的元，于是也满足③因为对数乘封闭，所以当0=k 时，W k ∈=0α④因为对数乘封闭，所以当1-=k 时，W ∈-=-αα1⑤--⑧同①②的证法。
对于子空间同样可引人维数、基及坐标的概念，由于V W ⊂，所以W 中不可能有比V 中更多的线性无关的向量，故：W 的维数≤V 的维数。
三、几种特殊的子空间1、 零子空间：因为V ∈θ ，可证明单独一个零元组成一个子空间，叫做零子空间。
2、 平凡子空间：由于V 本身也是V 的子空间，所以称零子空间和V 本身叫做V 的平凡子空间（或假子空间）。
其它的子空间都叫做非平凡子空间（或真子空间）。
例1：普通三维几何空间中，过原点而在一个平面上的所有向量构成一个二维子空间，过原点而在一条直线上的所有向量构成一个一维子空间。
例2：nP 中，使第一个分量01=a 的向量()n a a ,,,02 构成一个子空间，是1-n 维的。
例3：[]n x P 是n P 的一个子空间。
例4：在n P 中，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00111111n mn m n n x a x a x a x a （*）的全部解向量构成一个子空间，称为（*）的解空间。
矩阵理论第二讲线性子空间
矩阵理论第⼆讲线性⼦空间第⼆讲线性⼦空间⼀、线性⼦空间的定义及其性质1. 定义：设V1是数域K上的线性空间V的⼀个⾮空⼦集合，且对V已有的线性运算满⾜以下条件1. 如果x、yV1，则x＋yV1；2. 如果xV1，kK，则kxV1，则称V1是V的⼀个线性⼦空间或⼦空间。
2. 性质：（1）线性⼦空间V1与线性空间V享有共同的零元素；（2）V1中元素的负元素仍在V1中。
[证明]（1）0V中的零元素也在V1中，V1与V享有共同的零元素。
（2）（－1）x=(－x) 封闭性V1中元素的负元素仍在V1中1. 分类：⼦空间可分为平凡⼦空间和⾮平凡⼦空间平凡⼦空间：{0}和V本⾝⾮平凡⼦空间：除以上两类⼦空间4. ⽣成⼦空间：设x1、x2、···、x m为V中的元素，它们的所有线性组合的集合也是V的线性⼦空间，称为由x1、x2、···、x m⽣（张）成的⼦空间，记为L(x1、x2、···、x m)或者Span(x1、x2、···、x m)。
若x1、x2、···、x m线性⽆关，则dim{L(x1、x2、···、x m)}=m5. 基扩定理：设V1是数域K上的线性空间V n的⼀个m维⼦空间，x1、x2、···、x m是V1的⼀个基，则这m个基向量必可扩充为V n的⼀个基；换⾔之，在V n中必可找到n-m个元素x m+1、x m+2、···、x n，使得x1、x2、···、x n成为V n的⼀个基。
这n-m个元素必不在V1中。
⼆、⼦空间的交与和1.定义：设V1、V2是线性空间V的两个⼦空间，则分别称为V1和V2的交与和。
2.定理：若V1和V2是线性空间V的两个⼦空间，则，V1＋V2均为V的⼦空间[证明]（1）是V的⼀个线性⼦空间。
线性空间的子空间分析
线性空间的子空间分析对于线性代数领域来说，线性空间的子空间是一个重要的概念。
在本文中，我们将深入讨论线性空间的子空间，并分析它的特性以及与原始空间的关系。
一、子空间的定义与性质子空间是指在给定的线性空间中，满足线性组合封闭性质的一个非空集合。
具体而言，对于一个线性空间V，若W是V的一个子集，同时W也是一个线性空间，那么称W为V的子空间。
子空间的定义要求满足以下条件：1. 子空间必须包含零向量。
2. 子空间中的任意两个向量的线性组合仍然属于该子空间。
3. 子空间在对应线性空间中，也是线性无关的。
子空间的这些性质可以让我们更加深入地研究和理解线性空间的结构。
二、子空间与原始空间的关系子空间与原始空间之间存在着一种包含关系。
换句话说，子空间是原始空间的一个子集。
这是因为子空间满足了线性空间的所有特性，同时也满足了原始空间的条件。
我们可以通过一个例子来说明子空间与原始空间的关系。
假设有一个二维平面上的线性空间V，其中所有的二维向量都属于V。
如果我们选取平面上的一条直线L，那么L上的所有向量组成的集合就是V的一个子空间。
这个子空间与原始空间V之间存在着一一对应的关系。
三、子空间的维数和基底的选择与线性空间类似，子空间也可以有维数的概念。
子空间的维数是指子空间的一个最大线性无关向量组中所包含的向量个数。
维数的选择对于描述子空间的特性非常重要。
为了找到子空间的维数，我们可以选择一个合适的基底。
基底是指子空间中的一个最大线性无关向量组，通过基底的选择，我们可以得到子空间的维数。
而子空间的维数等于基底的向量个数。
在选择基底的时候，我们需要确保选择的向量组是线性无关的，并且能够张成整个子空间。
通过选择合适的基底，我们可以更好地描述子空间的几何结构。
四、子空间的应用与意义子空间的概念在数学和工程学科中都有广泛的应用。
在线性代数中，子空间是理解和分析线性空间结构的重要工具。
它可以帮助我们解决线性方程组、矩阵运算等问题。
高等代数§6.5 线性子空间
其次， , W 3 , k P ,
设 ( x 1 , x 2 , , x n 1 , 0 ), ( y 1 , y 2 , , y n 1 , 0 ) 则有 ( x 1 y 1 , x 2 y 2 , , x n 1 y n 1 , 0 ) W 3
的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数 量乘法构成的线性空间是 n维向量空间Pn 的一个子 空间，称W为方程组(＊)的解空间．
注 ① (＊)的解空间W的维数＝n－秩(A)，A
( a ij ) s n
；
② (＊)的一个基础解系就是解空间W的一组基.
例5
判断Pn的下列子集合哪些是子空间：
n 1 (1, 0 , , 0 , 1) 就是W1 的一组基.
而在 W2中任取两个向量 , ，设
( x 1 , x 2 , , x n ), ( y 1 , y 2 , , y n )
则 ( x 1 y 1 , x 2 y 2 , , x n y n )
设 l1 1 l 2 2 l r r l r 1 j 0 , 即
l1 ( 1 , 2 , , r , j ) 0, lr l r 1
l1 则有 ( 1 , 2 , , n ) B j l 0 r l r 1
则对 i , i 1, 2 , , r , 有 i L ( 1 , 2 , , s )， 从而 i 可被 1 , 2 , , s 线性表出；
同理每一个 i 也可被 1 , 2 , , r 线性表出.
第4节 线性子空间
都线性相关，从而
k11 k2 2 kr r , l11 l2 2 lr r ,
于是对任意的数x, y, 有
x y ( xk1 yl1 )1 ( xkr yl r ) r ,
它是V 注释1 （1）线性空间V是它自身的子空间， 的子空间中最大的。 它是V的子空间中最小的， （2）{0}也是V的子空间， 称为V的零子空间。 二、线性子空间的性质 命题4.1 线性空间V的有限个子空间的交仍是V的 子空间。
注释2 线性空间V的两个子空间的并是子空间吗？
两个子空间的并不一定是子空间， 例如
V1 {(a ,0,0) a R}; V2 {(0, b,0) b R}
它们的并集 都是R3的子空间，
V1 V2 {(a ,0,0),(0, b,0) a , b R} {(a , b,0) a , b R 且a 0或b 0}
不是R3的子空间. 因它对R3的加法运算不封闭。 事实上，
问 例4.2 设 1 , 2 , 3 是立体空间上 R3 的向量，
L(1 , 2 , 3 ) l11 l2 2 l3 3 : l1 , l2 , l3 R
有可能表示空间的什么图形？
解 如果 1 2 3 0, 则 L(1 , 2 , 3 ) (0,0,0) , 此时 L(1 , 2 , 3 ) 就是立体空间的坐标原点。 如果 1 , 2 , 3 不全为0并且三个向量共线，则
从而 x y W . 即 1 , 2 , , r , x y 线性相关，
（2） 不能构成子空间， 因为加法一般不封闭。
例如， 在向量空间 K 4 中取向量
线性子空间
α1 ,α 2 ,⋯ ,α t ( t ≤ r ) 为它的一个极大无关组． 为它的一个极大无关组．
因为 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r 与 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α t 等价， 所以, 等价， 所以,
L(α1 ,α 2 ,⋯ ,α r ) = L(α1 ,α 2 ,⋯ ,α t ).
第六章 线性空间 §5 线性子空间
例5
判断P 的下列子集合哪些是子空间： 判断 n的下列子集合哪些是子空间：
W1 = {( x1 , x2 ,⋯ , xn ) x1 + x2 + ⋯ + xn = 0, xi ∈ P } W2 = {( x1 , x2 ,⋯ , xn ) x1 + x2 + ⋯ + xn = 1, xi ∈ P } W3 = {( x1 , x2 ,⋯ , xn−1 ,0) xi ∈ P , i = 1,2,⋯ , n − 1}
的一个子空间． 则R[x]为V的一个子空间． 为 的一个子空间 例3 P[x]n是P[x]的的线性子空间． 的的线性子空间． 的的线性子空间
线性子空间
第六章 线性空间 §5
ห้องสมุดไป่ตู้
例4
n元齐次线性方程组 元齐次线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = 0 a21 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2 n xn = 0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a x + a x +⋯ + a x = 0 s2 2 sn n s1 1
∀α ∈ L(α1 ,α 2 ,⋯ ,α r ) ， 可被 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α r 线性表出， α 线性表出，
矩阵论线性子空间
2、线性子空间的判定 定理：设V为数域P上的线性空间，集合 WV
(W)，若W对于V中两种运算封闭，即
, W ,有 W ; W , k P ,有 k W
则W是V的一个子空间．
推论：V为数域P上的线性空间,W V (W ),则
W是V的子空间 , W , a , b P , a b W .
量乘法构成的线性空间是 n维向量空间Pn的一个子
空间，称W为方维数＝n－秩(A)，A(aij)sn ；
② (＊)的一个基础解系就是解空间W的一组基.
例5 判断Pn的下列子集合哪些是子空间：
W 1 { ( x 1 , x 2 ,, x n ) x 1 x 2 x n 0 , x i P } W 2 { ( x 1 , x 2 ,, x n ) x 1 x 2 x n 1 , x i P }
证明：要证明W也为数域P上的线性空间，
即证W中的向量满足线性空间定义中的八条规则． 由于 WV，规则1）、2）、5）、6）、7）、8）
是显然成立的．下证3）、4）成立．
∵ W，∴ W. 且对 W ，由数乘运算
封闭，有 ( 1) W ，即W中元素的负元素就是
它在V中的负元素，4）成立．
由加法封闭，有 0( ) W ,即W中的零元
就是V中的零元， 3）成立．
例1 设V为数域P上的线性空间，只含零向量的
子集合 W {0}是V的一个线性子空间，称之为V的
零子空间．线性空间V本身也是V的一个子空间. 这两个子空间有时称为平凡子空间，而其它的
子空间称为非平凡子空间．
例2 设V为所有实函数所成集合构成的线性空间,
W 2, 故W2不是Pn的子空间.
线性子空间
(2) 对任意αW,kP, 必有 kαW; 则W是V的一个子空间.
证 只需证明W满足线性空间定义中 的运算律(3)与(4)，即要证W中有零元素0， 以及W中每个元素 α有负元素-α在W中. 由 于V是线性空间，故V中有零元素0，任取 αW,0P，由条件(2)必有 0αW,但0α=0， 即得0W .再取αW,-1P,必有(-1)αW , 而(-1)α=-α,故-αW,证毕.
的解空间，则 V1∩V2是这两个方程组的公 共解，即
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0,
ba1s11xx11
as2 x2 b12 x2
asn xn b1n xn
0, 0,
bt1 x1
bt 2 x2
btn xn
0.
的解空间. 例7.3.7 设 α1,α2,…,αs与β1,β2,…,βt是
dimV1 dimV2 dimV1 V2 dimV1 V2
证 设 V1,V2的维数分别是n1,n2, V1∩V2
的维数是m,需要证明
dimV1 V2 n1 n2 m
取V1∩V2的一组基
1, 2 ,, m
由于V1∩V2是V1的子空间，由定理7.3.3，可 把它扩充成 V1的一组基
1, 2 ,, m , m1,, n
是V的一组基.
证 由定理7.3.2的(2)，
W=L(α1,α2,…,αm) . 若V中所有元素均可由 α1,α2,…,αm线性表出，则 V=L(α1,α2,…,αm)=W，此时α1,α2,…,αm就是 V的一组基. 若V中存在αm+1不能由 α1,α2,…,αm线性表出，则把αm+1加入 α1,α2,…,αm后得到的元素组α1,α2,…,αm, αm+1线性无关，由定理7.3.2的(4)，它是
线性子空间
§5 线性子空间一、线性子空间的概念定义7 数域P 上的线性空间V 的一个非空子集合W 称为V 的一个线性子空间（或简称子空间），如果W 对于V 的两种运算也构成数域P 上的线性空间.定理2 如果线性空间V 的一个非空集合W 对于V 两种运算是封闭的，也就是满足上面的条件1，2，那么W 就是一个子空间.既然线性子空间本身也是一个线性空间，上面引入的概念，如维数、基、坐标等，当然也可以应用到线性子空间上.因为要线性子空间中不可能比在整个子空间中有更多数目线性无关的向量.所以，任何一个线性子空间的维数不能超过整个空间的维数.例 1 在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间.例2 线性空间V 本身也是V 的一个子空间.在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两个子空间有时叫做V 的平凡子空间，而其它的线性子空间叫做非平凡子空间.例3 在全体实函数组成的空间中，所有的实系数多项式组成一个子空间. 例4 n x P ][是线性空间][x P 的子空间.例5 在线性空间n P 中，齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组的解空间.解空间的基就是方程组的基础解系，它的维数等于r n -，其中r 为系数矩阵的秩.二、生成子空间设r ααα,,,21 是线性空间V 中一组向量，这组向量所有可能的线性组合r r k k k ααα+++ 2211所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因而是V 的一个子空间，这个子空间叫做由r ααα,,,21 生成的子空间，记为),,,(21r L ααα .由子空间的定义可知，如果V 的一个子空间包含向量r ααα,,,21 ，那么就一定包含它们所有的线性组合，也就是说，一定包含),,,(21r L ααα 作为子空间.在有限维线性空间中，任何一个子空间都可以这样得到.事实上，设W 是V 的一个子空间，W 当然也是有限维的.设r ααα,,,21 是W 的一组基，就有),,,(21r L W ααα =.定理3 1)两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组等价.2）),,,(21r L ααα 的维数等于向量组r ααα,,,21 的秩.定理4 设W 是数域P 上n 维线性空间V 的一个m 维子空间，m ααα,,,21 是W 的一组基，那么这组向量必可扩充为整个空间的基.也就是说，在V 中必定可以找到m n -个向量n m m ααα,,,21 ++使得n ααα,,,21 是V 的一组基. 结论 数域P 上线性空间V 的一个非空子集W 是V 的一个子空间W b a W F b a ∈+∈∈∀⇔βαβα都有,,,,.。
线性代数上18线性子空间
(3, 5, 1)T 为 W1∩W2 的一组基, 所以 dim(W1∩W2) = 1,
dim(W1+W2) = 3, α1,α2 , β1 为 W1+W2 的一组基.
8
二、子空间的直和
定义5 设 W1 和 W2 是 V 的子空间, 如果 W1∩W2 = {0}, 则 称 W1+W2 为W1 与 W2 的直和, 记为 W1 ⊕W2.
例7 设 W1 是 V 的一个子空间, 存在一个子空间 W2 使得 W1∩W2 = {0}, 且 W1+W2 = V, W2 称为W1 的补空间.
例8 设 α1, α2 为两个线性无关的空间向量, 它们生成的过
原点的平面记为 W1 = L(α1, α2), 设 α3∉W1, 则 W2 = L(α3)
W1 = R(A), W2 = R(B), 求 W1+W2 和 W1∩W2 的维数与基.
⎡1 1 1⎤
⎡ 2 1 −1⎤
解 记 ⎢⎢2
1
3⎥⎥
=
(α1,α2
,α3
)
,
⎢ ⎢
3
2 −1⎥⎥ = ( β1, β2, β3 ) ,
⎢⎣1 −1 3⎥⎦
⎢⎣−1 2 3 ⎥⎦
⎡1 1 1⎤ ⎡1 1 1⎤ ⎡1 1 1 ⎤
∀α , β ∈W1 ∩W2，有α + β ∈W1 ∩W2. ∀k ∈ F，有 kα ∈W1 ∩W2.
所以 W1∩W2 是 V 的一个子空间.
3
定义2 设 W1, W2 是线性空间 V 的两个子空间, 则 W1+W2 = {α⏐α = α1+ α2, α1∈W1, α2∈W2} 称为 W1 与 W2 的和.
第五节线性子空间
2 生成子空间的性质
定理 3 1）两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组等价； 2） L(1, 2 ,, r ) 的维数等于向量组1,2 ,, r 的秩；
定理 4 设W 是 n 维线性空间V 的 m 维子空间，1, 2 ,, m 是W 的一组 基，那么这组基必定可扩充为整个空间的基，即在V 中必定可以找到 n m 个 向量 m1, m2 ,, n ，使得1, 2 ,, m ， m1, m2 ,, n 是V 的一组基。
例 7 设W {A | A P nn ,且 | A | 0} ，问W 是否是 Pnn 的子空间？
二、子空间的构造 1 生成子空间
r
L(1, 2 ,, r ) { ki i | ki P, i 1,2,, r} i 1
例 8 在 P[x] 中，由1, x, x2 ,, xn1 生成的子空间为 L(1, x, x 2 ,, x n1 ) P[x]n 。
n
例 4 设W {(a1, a2 ,, an ) | ai 0, ai P} ，问W 是否是 Pn 的子空 i 1
间？ 例 5 设 A Pmn ， X (x1, x2 ,, xn ) ，令W {X | AX 0}，问W 是
否是 Pn 的子空间？
例 6 设W {A | A P nn ,且A A} ，问W 是否是 Pnn 的子空间？
3）当
A
0
0
2 0
0
时，求
C(
A)
的维数和一组基。
第五节线性子空间
16
… , s )中的向量都可以被 1 , 2 , … , s 线性表出; 同样每个向量 j ( j = 1 , 2, … , s ) 作为 L (1 , 2 , … , r ) 中的向量也都可以被 1 , 2 , … , r 线性表
例 2 线性空间 V 本身也是 V 的一个子空间. 在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两 个子空间称为平凡子空间， 而其他的线性子空间 (如果有的话) 叫做非平凡子空间.
6
例 3 在全体实函数组成的空间中，所有的实 系数多项式组成一个子空间.
例 4 P[ x ]n 是线性空间 P[ x ] 的子空间. 例 5 在线性空间 P n 中，齐次线性方程组
所以 e2 , e3 , …, en 即为 W 的一个基，W 的维数 是n - 1 .
13
三、向量组生成的子空间
定义2 设 1 , 2 , … , r 是线性空间 V 中一
组向量，这组向量所有可能的线性组合
k11 + k22 + … + krr
所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因
而是 V 的一个子空间，这个子空间叫做由1 , 2 , … , r 生成的子空间，记为
出，因而这两个向量组等价.
充分性 如果这两个向量组等价，那么凡是可
以被 1 , 2 , … , r 线性表出的向量都可以被 1 , 2 , … , s 线性表出，反过来也一样，因而
L (1 , 2 , … , r ) = L (1 , 2 , … , s ) .
线性子空间知识点
线性子空间知识点线性代数是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，包括数学、物理、计算机科学等等。
其中，线性子空间是线性代数中的一个重要概念，本文将逐步介绍线性子空间的相关知识点。
1.什么是线性子空间？在了解线性子空间之前，我们首先要明白什么是向量空间。
向量空间是一个满足一系列特定条件的集合，其中包含了一些特殊的向量，可以进行向量的加法和标量乘法运算。
而线性子空间就是向量空间中的一个子集，满足向量加法和标量乘法运算的封闭性。
2.线性子空间的特点线性子空间具有以下几个特点：•包含零向量：线性子空间必须包含零向量，即加法单位元素。
•封闭性：线性子空间对于向量的加法和标量乘法运算都是封闭的，即对于任意属于线性子空间的向量，进行这两种运算后得到的向量仍然属于该线性子空间。
•相对于向量空间的操作：线性子空间是向量空间的一个子集，因此线性子空间遵循向量空间的所有运算规则和性质。
3.线性子空间的例子现在我们通过几个具体的例子来更好地理解线性子空间的概念。
例子1：考虑三维空间中的一个平面P，该平面上的所有向量构成了一个线性子空间。
这个线性子空间满足加法和标量乘法运算的封闭性，包含零向量，并且相对于三维空间的操作遵循向量加法和标量乘法的规则。
例子2：在n维空间中，所有分量为零的向量构成了一个线性子空间，也就是零子空间。
这个线性子空间是向量空间的一个子集，满足线性子空间的所有特点。
4.线性子空间的基与维数对于一个线性子空间来说，它可以由一个或多个向量张成。
我们将这些向量称为线性子空间的基。
一个线性子空间的基向量要满足以下两个条件：•线性无关：基向量之间不能通过线性组合得到零向量。
•极大线性无关组：如果再添加任意一个向量进来，就会导致线性相关。
而线性子空间的维数则是由基向量的个数决定的。
维数是线性子空间的一个重要概念，可以用来描述线性子空间的大小和维度。
5.线性子空间的运算线性子空间之间可以进行加法和标量乘法运算。
线性子空间
它的一组基生成.
类似地，还有
P[ x]n L(1, x, x2,L , xn1)
a0 a1 x L an1xn1 a0 ,a1,L ,an1 P
第六章 线性空间 §5 线性子空间
有关结论 1、设W为n维线性空间V的任一子空间，1,2 ,L ,r 是W的一组基，则有 W L(1,2 ,L ,r ) 2、（定理3）
第六章 线性空间 §5 线性子空间
由于W V，规则1）、2）、5）、6）、7）、8） 是显然成立的．下证3）、4）成立．
∵W ，∴ W . 且对 W，由数乘运算 封闭，有 (1) W，即W中元素的负元素就是
它在V中的负元素，4）成立．
由加法封闭，有 0 ( )W ,即W中的零元
就是V中的零元， 3）成立．
第六章 线性空间 §5 线性子空间
例7 在Pn 中，
i
(0,L
, 0,1, 0L i
, 0),
i 1,2,L ,n
为Pn的一组基， (a1,a2,L ,an ) Pn
有 a11 a2 2 L an n
故有 Pn L(1,2,L ,n )
事实上，任一有限 维线性空间都可由
即Pn 由它的一组基生成.
第六章 线性空间 §5 线性子空间
2、线性子空间的判定 定理：设V为数域P上的线性空间，集合 W V
(W )，若W对于V中两种运算封闭，即
, W , 有 W ; W ,k P, 有 k W
则W是V的一个子空间． 证明：要证明W也为数域P上的线性空间，即证
W中的向量满足线性空间定义中的八条规则．
若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.
解：W1 、W3是Pn元齐次线性方程组
x1 x2 L xn 0
线性空间和子空间
线性空间和子空间线性空间是线性代数中的重要概念，它是指一个集合，在这个集合中定义了向量的相加和数乘两种运算，并且满足了一系列的性质。
而子空间是线性空间的一个重要概念，它是指线性空间中的一个子集，同时也是一个线性空间。
一、线性空间的定义和性质线性空间是指一个空间，其中的元素可以进行向量的相加和数与向量的乘法运算。
它的定义如下：定义：设V是一个非空集合，如果在V中定义了两种运算：向量的相加和数与向量的乘法，使得V满足以下性质：1. 向量加法运算：对于任意的u、v∈V，有u+v也属于V，并且满足交换律，即u+v=v+u。
2. 数与向量的乘法：对于任意的k∈R（实数域）和v∈V，有kv 也属于V，并且满足分配律，即k(u+v)=ku+kv。
3. 存在零向量：存在一个元素0∈V，使得对于任意的v∈V，有v+0=v。
4. 对于任意的v∈V，存在一个元素w∈V，使得v+w=0。
根据以上的定义，线性空间V满足了一系列的性质，如交换律、结合律、分配律等。
在实际应用中，线性空间可以是多维的，例如欧几里得空间、函数空间、向量空间等。
二、子空间的定义和判定子空间是线性空间的一个重要概念，它是指线性空间V的一个子集U，同时也是一个线性空间。
子空间的定义如下：定义：设V是一个线性空间，U是V的一个子集。
如果U本身也是一个线性空间，那么U称为V的子空间。
判定一个集合是否是线性空间的子空间，可以通过以下三个步骤进行：1. 非空性：子空间U必须是非空的，即U中必须至少有一个元素。
2. 加法封闭性：对于任意的u、v∈U，必须有u+v∈U，即子空间U在向量的相加运算下封闭。
3. 数乘封闭性：对于任意的k∈R（实数域）和u∈U，必须有ku∈U，即子空间U在数与向量的乘法运算下封闭。
通过以上的判定方法，可以得出一个集合是否是线性空间的子空间。
三、子空间的例子1. 平面空间：设V是三维向量空间，平面P是其中一个过原点的平面。
则平面P是V的一个子空间。
§3.5线性子空间
定义设V 是数域F 上的一个线性空间，W 是V 的一个非空子集，如果W 对于V 中所定义的加法和数乘两种运算也构成数域F 上的一个线性空间，则称W 为V 的线性子空间，简称子空间。
定理线性空间V 的非空子集V 构成子空间的充分必要条件是：W 对于V 中的线性运算封闭，即W ∈∀βα,W ∈+βαW ∈∀αF k ∈∀W k ∈α（1）对，均有；（2）对，，均有。
{}0),,( 32133211=++∈=x x x R x x x V 问和是否构成的子空间？1V 2V 3R 例令例设V 是线性空间，则V 一定包含零向量。
同时，V 本身及都是V 的子空间，称它们为V 的平凡子空间。
V 的其它子空间，如果还有的话，均称为V 的非平凡子空间。
θ{}θ{}1),,( 32133212=++∈=x x x R x x x V例设，则齐次线性方程组的全部解向量的集合构成向量空间F n 子空间，称之为齐次方程组的解空间，也可称之为矩阵A的零空间，记为。
显然，。
n m F A ×∈0=AX 0=AX )(A N n F A N ⊆)(例设，秩，则是的子空间。
任取齐次线性方程组的一个基础解系，容易看出它们就是的一个基，因此n m FA ×∈)1( )(n r r A <≤=)(A N n F 0=AX r n X X X −,...,,21)(A N 维[]=。
)(A N r n −例求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−+=−++−−=++++=++++02420332034202543543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的解空间的一个基和维数。
解已知该方程组有基础解系），，，，（），，，，（），，，，（10102 ,01102 ,00012321−=−=−=X X X 因此，其解空间的一个基为，且其维数是3。
)(A N 321,,X X X ▌解(1) 不构成子空间。
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阵来求向量组 1, 2, , s 的一个极大无关组，从而 求出生成子空间 L(1, 2 , , s ) 的维数与一组基.
例6 求L(1,2 ,3 ,4 ,5 ) 的维数与一组基，并把
它扩充为P4的一组基，其中
1 (1, 1,2,4), 2 (0, 3,1, 2), 3 (3,0,7,14), 4 (1, 1, 2,0), 5 (2,1,5,6)
lr lr 1
0
l1
从而有
Bj
lr lr1
0
③
而秩(Bj)＝r，∴ ③ 有非零解，故有不全为零的数
l1, l2 , , lr , lr1, 使
l11 l22 lr r lr1 j 0,
1, 2, , r , j 线性相关.
故 1, 2 , , r 为 1, 2 , , s 的极大无关组，
所以 L(1, 2 , , s ) 的维数＝r＝秩(A).
注：
由证明过程可知，若1,2 , ,n 为V的一组基，
(1, 2 , , s ) (1,2 , ,n ) A 则向量组 1, 2 , , s与矩阵A的列向量组具有相同
4、设 1,2 , ,n 为P上n维线性空间V的一组基，
A为P上一个 n s 矩阵，若
(1 , 2 , 则 L(1, 2 ,
, s ) (1,2 , ,n ) A
线性无关
, s )的维数＝秩(A).
应用方向：
向量组1, 2 , , s 与矩阵A的列向量组具有相同
§6.5 线性子空间
一、线性子空间
1.子空间的定义 2.子空间的判定定理 3.子空间举例
二、生成子空间
1.生成子空间的定义 2.生成子空间的性质 3.生成子空间求基，维数举例
§6.5 线性子空间
一、线性子空间
1.子空间的定义 2.子空间的判定定理 3.子空间举例
线性子空间的定义
设V是数域P上的线性空间，集合 W V (W ) 若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间, 则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间．
线性子空间的判定定理（课本254页定理2）
设V为数域P上的线性空间，集合 W V (W )，若W对于V中两种运算封闭，即
, W , 有 W ; W ,k P, 有 k W
则W是V的一个子空间．V
"+""数乘k "封闭
证明：证明W是线性子空间，只需证明W对V中 的加法和数乘运算构成线性空间即可。
量乘法构成的线性空间是 n 维向量空间 Pn 的一个子
空间，称W为方程组(＊)的解空间．
分析：
例1 判断Pn的下列子集合哪些是子空间： W1 {( x1, x2 , , xn ) x1 x2 xn 0, xi P} 若为Pn的子空间，求出3、（课本256页定理4）
扩基定理
设W为 n 维线性空间 V 的一个 m 维子空间，
1,2 , ,m 为W的一组基，则这组向量必定可扩充
为 V 的一组基．即在 V 中必定可找到 n－m 个向量
m1,m2 , ,n ，使 1,2 , ,n为 V 的一组基．
V
，
m+1
，n
补充一个有用结论
证明续：由于W对于V中两种运算封闭，因此只需证 W中的向量满足线性空间定义的八大定律． 由于W V，规则1）、2）、5）、6）、7）、8） 是显然成立的．下证3）、4）成立．
∵ W ，∴ W . 且对 W，由数乘运算 封闭，有 (1) W，即W中元素的负元素就是
-1
就是W1 的一组基，维数为n-1.
例2 判断Pn的下列子集合哪些是子空间：
W2 {( x1, x2 , , xn ) x1 x2 xn 1, xi P}
若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.
解：W1是n元非齐次方程组
x1 x2 xn =1
的全体解向量的集合，
01 0
第j列
0 第i行 , i 1, 2, , m） j 1,2, ,n)
0
生成子空间的有关结论
2、（课本256页定理3）
1）1,2 , ,r；1, 2 , , s 为线性空间V中的
两组向量，则 L(1,2 , ,r ) L(1, 2 , , s )
1 (1,0， ,0，0,)， 2 (0,1， ,0，0,)，
n-1 (0,0， ,1，0,)，
就是W3的一组基.
二、生成子空间
1.生成子空间的定义 2.生成子空间的性质 3.生成子空间求基，维数举例
生成子空间的定义
V为数域P上的线性空间，1,2 , ,r V，则子空间
k (kx1, kx2 , , kxn1,0) W3
故，W3为V的一个子空间，且维W3 ＝n－1 ，
例3 判断Pn的下列子集合哪些是子空间：
W3 {( x1, x2, , xn1,0) xi P, i 1,2, , n 1}
若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.
续解：
故，W3为V的一个子空间，且维W3 ＝n－1 ，
W {k11 k22 krr ki P,i 1,2, ,r}
称为V的由 1,2 , ,r 生成的子空间，
记作 L(1,2 , ,r ) ．
V
L(1,2 , ,r )
1,2, ,r
即组合所1成,集2 , 合.,的r 一切线性
称 1,2 , ,r 为 L(1,2 , ,r )的一组 生成元.
,
n
)
A1
kr
0
1,2 , ,n 是V的一组基，
k1
A1
kr
0
②
又秩(A1)＝r，∴方程组②只有零解，即
k1 k2 kr 0, 1, 2, , r 线性无关.
任取 j ( j 1,2, , s),
将A的第 j列添在A1的右边构成的矩阵记为Bj ，则
它在V中的负元素，4）成立．
由加法封闭，有 0 ( )W ,即W中的零元
就是V中的零元， 3）成立．
线性子空间的判定定理（课本254页定理2）
设V为数域P上的线性空间，集合 W V (W )，若W对于V中两种运算封闭，即
, W , 有 W ; W ,k P, 有 k W
(1, 2 , r , j ) (1,2, ,n )Bj
设 l11 l22 lr r lr1 j 0,
l1
即
(1 , 2 ,
,
r
,
j
)
lr lr1
0,
则有 (1,2 ,
l1
,n
)B
j
1,2 , ,r 与 1, 2 , , s 等价．
2）生成子空间 L(1,2 , ,r ) 的维数
＝向量组 1,2 , ,r 的秩．
推论：L(1,2 , ,s ) L(i1 ,i2 , ,ir )
生成元1，
，
2
，
的极大无关组
s
生成子空间的有关结论
R[x]n
常见空间的线性子空间举例
n维向量空间pn
5. n元齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2
a21
x1
a22 x2
as1 x1 as2 x2
a1n xn 0
a2n xn 0 (＊)
asn xn 0
的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数
我们知道，非齐次解+非齐次解不一定是非齐次解， 比如，取解向量
1
0
1
1
0 0
，2
1 0
，但是1
+2
1 0
不是非齐次的解向量。
故W2不是Pn的子空间.
例3 判断Pn的下列子集合哪些是子空间：
W3 {( x1, x2, , xn1,0) xi P, i 1,2, , n 1}
秩(A1)＝秩(A)＝r， (1, 2 , , r ) (1,2 , ,n ) A1
下证 1, 2, , r 线性无关.
设 k11 k22 kr r 0, 即
k1
(1 , 2 ,
,
r
)
kr
0,
k1
从而 (1,2 ,
2.线性空间V本身也是V的一个子空间.
这两个子空间有时称为平凡子空间，而其它的子空间称为 非平凡子空间．
3. 设V为所有实函数所成集合构成的线性空间,则 R[x]为V的一个子空间．
4. R[x]n是R[x]的的线性子空间．函数加法：f (x) g(x)
V
函数数乘：kf ( x)
全体实函数
实数域上全体一元多项式R[x]
例4 在Pn 中， 标准基
1 (1,0, ,0),2 (0,1, ,0), ,n (0, ,0,1)
则有 Pn L(1,2, ,n )。
1 (1,1, ,1),2 (0,1, ,1), ,n (0, ,0,1)
也是Pn的一组基，因此 Pn L(1,2 , ,n )。
生成子空间的有关结论
1、设W为n维线性空间V的任一子空间，1,2 , ,r
是W的一组基，则有 W L(1,2 , ,r ) n维空间V