数学思维--小学奥数趣题-计数综合三 (认识对应法)
【精选】奥数：计数之对应法.学生版
前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．模块一、图形中的对应关系【例 1】 在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L ”形（如图），一共有多少种不同的方法？【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】3星 【题型】解答【解析】 注意：数“不规则几何图形”的个数时，常用对应法．第1步：找对应图形 每一种取法，有一个点与之对应，这就是图中的A 点，它是棋盘上横线与竖线的交点，且不在棋盘边上． 第2步：明确对应关系 从下图可以看出，棋盘内的每一个点对应着4个不同的取法（“L ”形的“角”在2×2正方形的不同“角”上）．第3步：计算对应图形个数 由于在 8×8的棋盘上，内部有7×7=49（个）交叉点，第4步：按照对应关系，给出答案故不同的取法共有49×4=196（种）．评注:通过上面两个范例我们知道,当直接去求一个集合元素的个数较为困难的时候,可考虑采用相等的原则,把问题转化成求另一个集合的元素个数．【答案】196【例 2】 在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】3星 【题型】解答例题精讲教学目标7-6-3计数之对应法【解析】首先可以知道题中所讲的13⨯长方形中间的那个小主格为黑色，这是因为两个白格不相邻，所以不能在中间．显然，位于棋盘角上的黑色方格不可能被包含在这样的长方形中．下面分两种情况来分析：第一种情况，一个位于棋盘内部的黑色方格对应着两个这样的13⨯长方形(一横一竖)；第二种情况，位于边上的黑色方格只能对应一个13⨯长方形．由于在棋盘上的32个黑色方格中，位于棋盘内部的18个，位于边上的有12个，位于角上的有2个，所以共有1821248⨯+=个这样的长方形．本题也可以这样来考虑：事实上，每一行都有6个13⨯⨯=个．由于棋盘上⨯长方形，所以棋盘上横、竖共有13⨯长方形68296的染色具有对称性，因此包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形正好与包含两个黑色小方格与一个白色小方格的长方形具有一一对应关系，这说明它们各占一半，因此所求的长方形个数为96248÷=个．【答案】48【巩固】用一张如图所示的纸片盖住66⨯方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放置方法？【考点】计数之图形中的对应关系【难度】3星【题型】解答【解析】如图，将纸片中的一个特殊方格染为黑色，下面考虑此格在66⨯方格表中的位置．易见它不能位于四个角上；若黑格位于方格表中间如图浅色阴影所示的44⨯正方形内的某格时，纸片有4种不同的放法，共计44464⨯⨯=种；若黑格位于方格表边上如图深色阴影所示的方格中时，纸片的位置随之确定，即只有1种放法，此类放法有4416⨯=种．所以，纸片共有641680+=种不同的放置方法．【答案】80种【例3】图中可数出的三角形的个数为．【考点】计数之图形中的对应关系【难度】4星【题型】填空【解析】这个图不像我们以前数三角形那样规则，粗看似乎看不出其中的规律，不妨我们取出其中的一个三角形，发现它的三条边必然落在这个图形中的三条大线段上，而每三条大线段也正好能构成一个三角形，因此三角形的个数和三条大线段的取法是一一对应的关系，图中一共有8条大线段，因此有3856C =个三角形． 【答案】56个三角形【例 4】 如图所示，在直线AB 上有7个点，直线CD 上有9个点．以AB 上的点为一个端点、CD上的点为另一个端点的所有线段中，任意3条线段都不相交于同一个点，求所有这些线段在AB 与CD 之间的交点数．【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答C D BA【解析】 常规的思路是这样的：直线AB 上的7个点，每个点可以与直线CD 上的9个点连9根线段，然后再分析这些线段相交的情况．如右图所示，如果注意到下面这个事实：对于直线AB 上的任意两点M 、N 与直线CD 上的任意两点P 、Q 都可以构成一个四边形MNQP ，而这个四边形的两条对角线MQ 、NP 的交点恰好是我们要计数的点，同时，对于任意四点(AB 与CD 上任意两点)都可以产生一个这样的交点，所以图中两条线段的交点与四边形有一一对应的关系．这说明，为了计数出有多少个交点，我们只需要求出在直线AB 与CD 中有多少个满足条件的四边形MNQP 就可以了！从而把问题转化为：在直线AB 上有7个点，直线CD 上有9个点．四边形MNQP 有多少个？其中点M 、N 位于直线AB 上，点P 、Q 位于直线CD 上．这是一个常规的组合计数问题，可以用乘法原理进行计算：由于线段MN 有2721C =种选择方式，线段PQ 有2936C =种选择方式，根据乘法原理，共可产生2136756⨯=个四边形．因此在直线AB 与CD 之间共有756个交点．【答案】756个交点模块二、数字问题中的对应关系【例 5】 有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字大？【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答【解析】 由于四位数的四个数位上的数的大小关系已经非常明确，而对于从0～9中任意选取的4个数字，它们的大小关系也是明确的，那么由这4个数字只能组成1个符合条件的四位数(题目中要求千位比百位大，所以千位不能为0，本身已符合四位数的首位不能为0的要求，所以进行选择时可以把0包含在内)，也就是说满足条件的四位数的个数与从0～9中选取4个数字的选法是一一对应的关系，那么满足条件的四位数有410109872104321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯个．【答案】210个【巩固】 三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个？【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答【解析】 相当于在10个数字中选出3个数字，然后按从大到小排列.共有10×9×8÷（3×2×1）=120种．实际上，前铺中每一种划法都对应着一个数．【答案】120种【例 6】 数3可以用4种方法表示为一个或几个正整数的和，如3，12+，21+，111++．问：1999表示为一个或几个正整数的和的方法有多少种？【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答【解析】 我们将1999个1写成一行，它们之间留有1998个空隙，在这些空隙处，或者什么都不填，或者填上“＋”号．例如对于数3，上述4种和的表达方法对应：1 1 1，1+1 1，1 1+1，1+1+1．可见，将1999表示成和的形式与填写1998个空隙处的方式之间是一一对应的关系，而每一个空隙处都有填“＋”号和不填“＋”号2种可能，因此1999可以表示为正整数之和的不同方法有1998199822222⨯⨯⨯=个相乘种．【答案】19982种【例 7】 请问至少出现一个数码3，并且是3的倍数的五位数共有多少个？【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答【关键词】小学数学竞赛【解析】 五位数共有90000个，其中3的倍数有30000个．可以采用排除法，首先考虑有多少个五位数是3的倍数但不含有数码3.首位数码有8种选择，第二、三、四位数码都有9种选择．当前四位的数码确定后，如果它们的和除以余数为0，则第五位数码可以为0、6、9；如果余数为1，则第五位数码可以为2、5、8；如果余数为2，则第五位数码可以为1、4、7.可见只要前四位数码确定了，第五位数码都有3种选择，所以五位数中是3的倍数但不含有数码3的数共有8999317496⨯⨯⨯⨯=个．所以满足条件的五位数共有300001749612504-=个．【答案】12504个模块三、对应与阶梯型标数法【例 8】 游乐园的门票1元1张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱．问有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？【考点】计数之对应与阶梯型标数法 【难度】5星 【题型】解答【解析】 与类似题目找对应关系．要保证售票员总能找得开零钱，必须保证每一位拿2元钱的小朋友前面的若干小朋友中，拿1元的要比拿2元的人数多，先将拿1元钱的小朋友看成是相同的，将拿2元钱的小朋友看成是相同的，可以利用斜直角三角模型．在下图中，每条小横线段代表1元钱的小朋友，每条小竖线段代表2元钱的小朋友，因为从A 点沿格线走到B 点，每次只能向右或向上走，无论到途中哪一点，只要不超过斜线，那么经过的小横线段都不少于小竖线段，所以本题相当于求下图中从A 到B 有多少种不同走法．使用标数法，可求出从A 到B 有42种走法．A B 424228145141494553221111111但是由于10个小朋友互不相同，必须将他们排队，可以分成两步，第一步排拿2元的小朋友，5个人共有5120=！种排法；第二步排拿到1元的小朋友，也有120种排法，所以共有5514400⨯=！！种排队方法．这样，使售票员能找得开零钱的排队方法共有421440060480⨯=(种)． 【答案】604800种【例 9】 学学和思思一起洗5个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有 种不同的摞法．【考点】计数之对应与阶梯型标数法 【难度】5星 【题型】解答【关键词】学而思杯，5年级，第7题【解析】 方法一：如下所示，共有42种不同的摞法：54321----，45321----，35421----，53421----，34521----，54231----，45231----，25431----，52431----，24531----，52341----，25341----，23541----，23451----，54312----，45312----，53412----，35412----，34512----，54132----，45132----，15432----，51432----，14532----，51342----，15342----，13542----，13452----，54123----，45123----，15423----，51423----，14523----，12543----，51243----，15243----，12453----，12354----，12534----，15234----，51234----， 12345----。
一起学奥数--对应法解应用题(四年级)
（244-139）÷（5-2）=35元
得到足球的单价后，可以利用任何一组数据解得篮球的单价：
（244-5×35）÷3=23元
例5、有白、红、黑三种颜色的球，白球和红球共15个，红球和黑球 共18个，黑球和白球共9个。问：三种球各多少个？
两组对应关系（或者说两个的分配方案）总差值为20+10=30 本，而单位差值（每班分得的书）为 7-5=2本。所以，可以算出班级数
（20+10）÷（7-5）=15个
知道班级数后，通过任何一个对应关系，都能算出买来的新书数量：
15×5+10=85本 这是一个盈亏问题，在后面的学习中会有专门的介绍
例2、为了测量一口井的深度，同学们想用长绳吊一重物的方法，将 绳子3折时，绳子比井深还长出6米，当他们将绳子4折时，则绳子比 井深长出2米，你能算出井深和绳子的长度吗？
对应法解应用题
风子编辑
教育目标
能够区分已知条件中量的对应关系 熟练掌握对应关系的量的数值比较 能根据给定的量，列出算式
教育重点
找出量的对应关系，并能够利用单位差值与总差值解未知问题
教育难点
学会分析总差值与单位差值所对应的量
第一课 基础部分
对应法是解决数学问题的常用方法。往往给定的量所对应的数 量关系是变化的，为了使问题能够看得更加清楚，把已知条件按照
步行：80米/分钟 ------ 离学校还差400米 骑车：200米/分钟 ------ 超过学校1400米
两组数据总的行程不一致是由于单位时间不同造成的，所以造成总差值的总时间为：
（200 ×7+80×5）÷（200-80）=15分钟 很容易发现，这是一个追及问题。用对应法求解时需 要注意条件的转移。
小学奥数 几何计数(三) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块一、立体几何计数【例 1】 用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了__________块小正方体。
小学三年级奥数讲解及练习题：用对应法解题
小学三年级奥数讲解及练习题：用对应法解题小学三年级奥数讲解及练习题：用对应法解题专题简析：小朋友在解答应用题时，经常会碰到这样一类题，给定的数量和所对应的数量关系是在变化的。
为了使变化的数量看得更清楚，可以把已知条件按照它们之间的对应关系排列出来，进行观察和分析，从而找到答案。
这种解题的思维方法叫对应法。
在用对应法解题时，通常先把题目中的数量关系转化为等式，并把这些等式按顺序编号，然后认真观察，比较对应关系的变化，以便寻找解题的突破口。
例题1 奶奶去买水果，如果她买4千克梨和5千克荔枝，需花58元；如果她买6千克梨和5千克荔枝，那么需花62元。
问1千克梨和1千克荔枝各多少元？思路导航：我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较：4千克梨＋5千克荔枝=58元（1）6千克梨＋5千克荔枝=62元（2）比较（1）和（2）式，发现两式中荔枝的千克数相等，（2）式比（1）式多了6－4=2千克梨，也就是多了62－58=4元，说明1千克梨的价钱为4÷2=2元，那么1千克荔枝的价钱就是（58－2×4）÷5=10元。
练习一1，3筐苹果和5筐橘子共重270千克，3筐苹果和7筐橘子共重342千克。
一筐苹果和一筐橘子各重多少千克？2，张老师为图书室买书，如果他买6本童话书和7本故事书需要144元；如果买9本童话书和7本故事书，需要174元。
现在张老师买7本童话书和6本故事书，共需多少元？3，粮店运来一批粮食，4袋大米和5袋面粉共重600千克，2袋大米和3袋面粉共重340千克。
一袋大米和一袋面粉各重多少千克？例题2 学校买足球和排球，买3个足球和4个排球共需要190元，如果买6个足球和2个排球需要230元。
一个足球和一个排球各多少元？思路导航：我们可以把两次买的情况摘录下来进行比较：3个足球＋4个排球=190元（1）6个足球＋2个排球=230元（2）我们把（1）、（2）两式进行比较，发现两组条件相加还是相减，都不可能求出足球和排球的单价，因为这里没有一个相同的条件可减去。
高斯小学奥数六年级上册含答案第04讲 对应计数
练习4、一只青蛙沿着一条直线跳跃6次后回到起点．如果它每一次跳跃的长度都是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？
对应法是一种很巧的计数方法，但如何ห้องสมุดไป่ตู้立对应关系，是其中的难点．之前几道题，对应关系的建立相对比较直接，而有些问题，则需要通过大量的分析，才能找出隐藏的对应关系．
例题2. 答案：861
详解：本题相当于把40个苹果放入3个盘子里，每个盘子都允许为空．因此共有40个苹果和2块隔板．方法数等于 ．
例题3.答案：336个
详解：如右图所示，每个 的长方形内都包含了4个不同的“L”型．因此只要求出图中有几个 小长方形即可．利用几何计数（五年级上册第9讲）的知识不难得知， 的长方形（包括横的和竖的）共有 个，所以共有“L”型 个．
例5．常昊与古力两人进行围棋“棋圣”冠军争霸赛，谁先胜4局即获得比赛的胜利．请问：比赛过程一共有多少种不同的方式？
「分析」由对称性，只需求出常昊获胜的比赛过程有多少种．比赛最多进行7场，其中常昊一定胜4场．如果我们按比赛先后顺序给每场比赛编号，那么常昊胜的4场比赛编号，就决定了整个比赛流程．而常昊获胜的比赛可以是哪4场呢？
第四讲对应计数
有9个球排成一行：
我们往其中插入两块（相同的）木板，就能够把这9个球分成三堆，例如：
可以看到，插入两块木板把9个球分成三堆的方法很多，那么到底有多少种插入木板的方法呢？每相邻两个小球之间有一个空隙，一共有8个空隙．插入的两块木板要把小球分成三堆，说明两块木板要放在两个不同的空隙之中．8个空隙选两个，共有 种方法．
例6．海淀大街上一共有18盏路灯，区政府为了节约用电，打算熄灭其中的7盏．但为了行路安全，任意相邻的两盏灯不能同时被熄灭，请问：一共有多少种熄灯方案？
小学奥数教程-计数之对应法（含答案）
前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．模块一、图形中的对应关系【例 1】 在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L ”形（如图），一共有多少种不同的方法？ 【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】3星 【题型】解答【解析】 注意：数“不规则几何图形”的个数时，常用对应法．第1步：找对应图形 每一种取法，有一个点与之对应，这就是图中的A 点，它是棋盘上横线与竖线的交点，且不在棋盘边上．第2步：明确对应关系 从下图可以看出，棋盘内的每一个点对应着4个不同的取法（“L ”形的“角”在2×2正方形的不同“角”上）．第3步：计算对应图形个数 由于在 8×8的棋盘上，内部有7×7=49（个）交叉点， 第4步：按照对应关系，给出答案故不同的取法共有49×4=196（种）．评注:通过上面两个范例我们知道,当直接去求一个集合元素的个数较为困难的时候,可考虑采用相等的原则,把问题转化成求另一个集合的元素个数．【答案】196【例 2】 在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】3星 【题型】解答【解析】 首先可以知道题中所讲的13⨯长方形中间的那个小主格为黑色，这是因为两个白格不相邻，所以不能在中间．显然，位于棋盘角上的黑色方格不可能被包含在这样的长方形中．下面分两种情况来分析：第一种情况，一个位于棋盘内部的黑色方格对应着两个这样的13⨯长方形(一横一竖)；第二种情例题精讲教学目标7-6-3计数之对应法况，位于边上的黑色方格只能对应一个13⨯长方形．由于在棋盘上的32个黑色方格中，位于棋盘内部的18个，位于边上的有12个，位于角上的有2个，所以共有1821248⨯+=个这样的长方形．本题也可以这样来考虑：事实上，每一行都有6个13⨯长方形，所以棋盘上横、竖共有13⨯长方形68296⨯⨯=个．由于棋盘上的染色具有对称性，因此包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形正好与包含两个黑色小方格与一个白色小方格的长方形具有一一对应关系，这说明它们各占一半，因此所求的长方形个数为96248÷=个．【答案】48【巩固】 用一张如图所示的纸片盖住66⨯方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放置方法？ 【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】3星 【题型】解答方格表中的位置．易见它不能位于四个角上；若黑格位于方格表中间如图浅色阴影所示的44⨯正方形内的某格时，纸片有4种不同的放法，共计44464⨯⨯=种；若黑格位于方格表边上如图深色阴影所示的方格中时，纸片的位置随之确定，即只有1种放法，此类放法有4416⨯=种． 所以，纸片共有641680+=种不同的放置方法．【答案】80种【例 3】 图中可数出的三角形的个数为 ．【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】4星 【题型】填空【解析】 这个图不像我们以前数三角形那样规则，粗看似乎看不出其中的规律，不妨我们取出其中的一个三角形，发现它的三条边必然落在这个图形中的三条大线段上，而每三条大线段也正好能构成一个三角形，因此三角形的个数和三条大线段的取法是一一对应的关系，图中一共有8条大线段，因此有3856C =个三角形．【答案】56个三角形【例 4】 如图所示，在直线AB 上有7个点，直线CD 上有9个点．以AB 上的点为一个端点、CD 上的点为另一个端点的所有线段中，任意3条线段都不相交于同一个点，求所有这些线段在AB 与CD 之间的交点数．【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答CDBA【解析】 常规的思路是这样的：直线AB 上的7个点，每个点可以与直线CD 上的9个点连9根线段，然后再分析这些线段相交的情况．如右图所示，如果注意到下面这个事实：对于直线AB 上的任意两点M 、N 与直线CD 上的任意两点P 、Q 都可以构成一个四边形MNQP ，而这个四边形的两条对角线MQ 、NP 的交点恰好是我们要计数的点，同时，对于任意四点(AB 与CD 上任意两点)都可以产生一个这样的交点，所以图中两条线段的交点与四边形有一一对应的关系．这说明，为了计数出有多少个交点，我们只需要求出在直线AB 与CD 中有多少个满足条件的四边形MNQP 就可以了！从而把问题转化为：在直线AB 上有7个点，直线CD 上有9个点．四边形MNQP 有多少个？其中点M 、N 位于直线AB 上，点P 、Q 位于直线CD 上．这是一个常规的组合计数问题，可以用乘法原理进行计算：由于线段MN 有2721C =种选择方式，线段PQ 有2936C =种选择方式，根据乘法原理，共可产生2136756⨯=个四边形．因此在直线AB 与CD 之间共有756个交点．【答案】756个交点模块二、数字问题中的对应关系【例 5】 有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字大？ 【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 由于四位数的四个数位上的数的大小关系已经非常明确，而对于从0～9中任意选取的4个数字，它们的大小关系也是明确的，那么由这4个数字只能组成1个符合条件的四位数(题目中要求千位比百位大，所以千位不能为0，本身已符合四位数的首位不能为0的要求，所以进行选择时可以把0包含在内)，也就是说满足条件的四位数的个数与从0～9中选取4个数字的选法是一一对应的关系，那么满足条件的四位数有410109872104321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯个．【答案】210个【巩固】 三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个？ 【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 相当于在10个数字中选出3个数字，然后按从大到小排列.共有10×9×8÷（3×2×1）=120种．实际上，前铺中每一种划法都对应着一个数．【答案】120种【例 6】 数3可以用4种方法表示为一个或几个正整数的和，如3，12+，21+，111++．问：1999表示为一个或几个正整数的和的方法有多少种？【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 我们将1999个1写成一行，它们之间留有1998个空隙，在这些空隙处，或者什么都不填，或者填上“＋”号．例如对于数3，上述4种和的表达方法对应：1 1 1，1+1 1，1 1+1，1+1+1．可见，将1999表示成和的形式与填写1998个空隙处的方式之间是一一对应的关系，而每一个空隙处都有填“＋”号和不填“＋”号2种可能，因此1999可以表示为正整数之和的不同方法有1998199822222⨯⨯⨯=个相乘种．【答案】19982种【例 7】 请问至少出现一个数码3，并且是3的倍数的五位数共有多少个？ 【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】小学数学竞赛 【解析】 五位数共有90000个，其中3的倍数有30000个．可以采用排除法，首先考虑有多少个五位数是3的倍数但不含有数码3.首位数码有8种选择，第二、三、四位数码都有9种选择．当前四位的数码确定后，如果它们的和除以余数为0，则第五位数码可以为0、6、9；如果余数为1，则第五位数码可以为2、5、8；如果余数为2，则第五位数码可以为1、4、7.可见只要前四位数码确定了，第五位数码都有3种选择，所以五位数中是3的倍数但不含有数码3的数共有8999317496⨯⨯⨯⨯=个． 所以满足条件的五位数共有300001749612504-=个．【答案】12504个模块三、对应与阶梯型标数法【例 8】 游乐园的门票1元1张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱．问有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？【考点】计数之对应与阶梯型标数法 【难度】5星 【题型】解答【解析】 与类似题目找对应关系．要保证售票员总能找得开零钱，必须保证每一位拿2元钱的小朋友前面的若干小朋友中，拿1元的要比拿2元的人数多，先将拿1元钱的小朋友看成是相同的，将拿2元钱的小朋友看成是相同的，可以利用斜直角三角模型．在下图中，每条小横线段代表1元钱的小朋友，每条小竖线段代表2元钱的小朋友，因为从A 点沿格线走到B 点，每次只能向右或向上走，无论到途中哪一点，只要不超过斜线，那么经过的小横线段都不少于小竖线段，所以本题相当于求下图中从A 到B 有多少种不同走法．使用标数法，可求出从A 到B 有42种走法．AB424228145141494553221111111但是由于10个小朋友互不相同，必须将他们排队，可以分成两步，第一步排拿2元的小朋友，5个人共有5120=！种排法；第二步排拿到1元的小朋友，也有120种排法，所以共有5514400⨯=！！种排队方法．这样，使售票员能找得开零钱的排队方法共有4214400604800⨯=(种)．【答案】604800种【例 9】 学学和思思一起洗5个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有 种不同的摞法．【考点】计数之对应与阶梯型标数法 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】学而思杯，5年级，第7题 【解析】 方法一：如下所示，共有42种不同的摞法：54321----，45321----，35421----，53421----，34521----，54231----，45231----，25431----，52431----，24531----，52341----，25341----，23541----，23451----，54312----，45312----，53412----，35412----，34512----，54132----，45132----，15432----，51432----，14532----，51342----，15342----，13542----，13452----，54123----，45123----，15423----，51423----，14523----，12543----，51243----，15243----，12453----，12354----，12534----，15234----，51234----，12345----。
【机构秘籍思维导引】数学六年级第14讲计数综合三(教师版+学生版,含详细解析)全国通用
第14讲 计数综合三兴趣篇1. 一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶。
走完这10级台阶，一共可以有多少种不同的走法？ 【分析】 例如登上一级台阶有1种走法，登上第二级台阶有2种走法(一步走两级或者走两步每步走一级)；由此得出登上第三级台阶的走法数为123+=．又知道走上第四级台阶的走法总数也等于登上第三级和第二级台阶的走法总数之和，又可以算出登上235+=2. 小悦买了10块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃3块，直到吃完，共有多少种吃法？ 【分析】 递推法。
吃1块只有1种吃法，吃2块有11+和2两种吃法，吃3块有1+1+1,1+2，2+1,3共4种吃法，吃4块有：1+1+1+1；1+1+2；1+2+1；2+1+1；2+2；1+3；3+1共7种；吃5块有2+4+7=13种吃法，吃6块有4+7+13=24种吃法……事实上，吃n 块巧克力，吃最后一块前，吃掉的块数是在第1n -块或2n -块或n -3块上，所以吃n 块巧克力的吃法数相当于吃第1n -块和第2n -块以及第n -3块的总和。
依照这一规律，列表写出吃1到10块各块的吃法数。
最后递推得到吃第10块巧克力有274种吃法。
3. 用⨯12的小方格覆盖⨯27的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？【分析】 递推法．若用12⨯的小长方形去覆盖2n ⨯的方格网，设方法数为n A ，那么11A =，22A =．当3n ≥时，对于最左边的一列有两种覆盖的方法：⑴用1个12⨯的小长方形竖着覆盖，那么剩下的()21n ⨯-的方格网有1n A -种方法；⑵用2个12⨯的小长方形横着覆盖，那么剩下的()22n ⨯-的方格网有2n A -种方法，根据加法原理，可得12n n n A A A --=+．递推可得到3123A =+=，4235A =+=，5358A =+=，65813A =+=，781321A =+=，所以覆盖27⨯的方格网共有21种不同方法．4. 如果在一个平面上画出4条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画20条直线，最多可以分成几个部分？ 【分析】 一条直线时，分平面内为2个部分；增加一条直线，即2条时，显然它应该与原来那条直线相交才能把平面分的多，这是增加了2部分，总数2+2；再增加1条时，同理应该与前两条都相交，这时增加了3部分，总数2+2+3； 增加到4条时，分平面增加4部分，总数2+2+3+4；由此我们发现，每增加一条直线，多分平面部分逐个递增，即n 条直线最多分平面(1)223412n n n ++++++=+。
小学思维数学讲义：计数之归纳法-带详解
计数之归纳法前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系．【例 1】 如图所示，在2×2方格中，画一条直线最多穿过3个方格；在3×3方格中，画一条直线最多穿过5个方可知；那么在5×5方格中，画一条直线，最多穿过 个方格。
【考点】计数之归纳法 【难度】2星 【题型】填空【关键词】希望杯，四年级，复赛，第14题，6分 【解析】 边长每多1，穿过的方格多2，那么5×5的最多穿过3+2+2+2=9个方格 【答案】9【例 2】 一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直线最多分这个平面为多少部分?【考点】计数之归纳法 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一：我们可以在纸上试着画出1条直线，2条直线，3条直线，……时的情形，于是得到下表：由上表已知5条直线最多可将这个平面分成16个部分，并且不难知晓，当有n 条直线时，最多可将平面分成2+2+3+4+…+n =()12n n ++1个部分．方法二：如果已有k 条直线，再增加一条直线，这条直线与前k 条直线的交点至多k 个，因而至多被分成k +1段，每一段将原有的部分分成两个部分，所以至多增加k +1个部分．于是3条直线至多将平面分为4+3=7个部分，4条直线至多将平面分为7+4=11个部分，5条直线至多将平面分为11+5=16个部分．一般的有k 条直线最多将平面分成：1+1+2+…+k =()12k k ++1个部分，所以五条直线可以分平面为16个部分．例题精讲教学目标【答案】16【巩固】平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？ 【考点】计数之归纳法 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 假设用a k 表示k 条直线最多能把圆的内部分成的部分数，这里k ＝0，1，2，……a 0＝1a 1=a 0+1＝2 a 2=a 1＋2=4 a 3=a 2＋3=7 a 4=a 3+4＝11 ……故5条直线可以把圆分成16部分，100条直线可以把圆分成5051部分【答案】5051部分【例 3】 平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？ 【考点】计数之归纳法 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 先考虑最简单的情形．为了叙述方便，设平面上k 个圆最多能将平面分割成k a 个部分．141312111098765432187652134431221从图中可以看出，12a =，24221a ==+⨯，38422a ==+⨯，414823a ==+⨯，…… 可以发现k a 满足下列关系式：()121k k a a k -=+-．实际上，当平面上的(1k -)个圆把平面分成1k a -个区域时，如果再在平面上出现第k 个圆，为了保证划分平面的区域尽可能多，新添的第k 个圆不能通过平面上前()1k -个圆之间的交点．这样，第k 个圆与前面()1k -个圆共产生2(1)k ⨯-个交点，如下图：这2(1)k ⨯-个交点把第k 个圆分成了2(1)k ⨯-段圆弧，而这2(1)k ⨯-段圆弧中的每一段都将所在的区域一分为二，所以也就是整个平面的区域数增加了2(1)k ⨯-个部分．所以，()121k k a a k -=+-． 那么，10987292829272829a a a a =+⨯=+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯=12122...272829a =+⨯+⨯++⨯+⨯+⨯ ()2212...78992=+⨯+++++=．故10个圆最多能将平面分成92部分．【答案】92【例 4】 10个三角形最多将平面分成几个部分？【考点】计数之归纳法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 设n 个三角形最多将平面分成n a 个部分．1n =时，12a =；2n =时，第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点，三条边与第一个三角形最多有236⨯=（个）交点．这6个交点将第二个三角形的周边分成了6段，这6段中的每一段都将原来的每一个部分分成2个部分，从而平面也增加了6个部分，即2223a =+⨯．3n =时，第三个三角形与前面两个三角形最多有4312⨯=（个）交点，从而平面也增加了12个部分，即：322343a =+⨯+⨯． …… 一般地，第n 个三角形与前面()1n -个三角形最多有()213n -⨯个交点，从而平面也增加()213n -⨯个部分，故()()222343213224213332n a n n n n ⎡⎤=+⨯+⨯++-⨯=++++-⨯=-+⎣⎦； 特别地，当10n =时，2103103102272a =⨯+⨯+=，即10个三角形最多把平面分成272个部分．【答案】272【例 5】 一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？ 【考点】计数之归纳法 【难度】4星 【题型】解答【解析】 一个长方形把平面分成两部分．第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内部分成2部分，这样第一个长方形的内部至多被第二个长方形分成五部分．同理，第二个长方形的内部至少被第一个长方形分成五部分．这两个长方形有公共部分(如下图，标有数字9的部分)．还有一个区域位于两个长方形外面，所以两个长方形至多把平面分成10部分．第三个长方形的每一条边至多与前两个长方形中的每一个的两条边相交，故第一条边被隔成五条小线段，其中间的三条小线段中的每一条线段都把前两个长方形内部的某一部分一分为二，所以至多增加3×4=12个部分．而第三个长方形的4个顶点都在前两个长方形的外面，至多能增加4个部分． 所以三个长方形最多能将平面分成10+12+4=26．【小结】n 个图形最多可把平面分成部分数：直线：()112n n ⨯++；圆：()21n n +⨯-；三角形：()231n n +⨯⨯- ； 长方形：()241n n +⨯⨯-．【答案】26【例 6】 在平面上画5个圆和1条直线，最多可把平面分成多少部分? 【考点】计数之归纳法 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 先考虑圆．1个圆将平面分成2个部分．这时增加1个圆，这个圆与原有的1个圆最多有两个交点，成为2条弧，每条弧将平面的一部分一分为二，增加了2个部分，所以2个圆最多将平面分成4个部分．当有3个圆时，第3个圆与原有的2个产生4个交点而增加4个部分，所以3个圆最多将平面分成8个部分．同样的道理，5个圆最多将平面分成22个部分．再考虑直线．直线与每个圆最多有2个交点，这样与5个圆最多有10个交点．它们将直线分成11条线段或射线，而每条线段又将平面的一部分一分为二，2条射线增加了一部分，因此5个圆和1条直线最多可将平面分成32个部分．【答案】32【例7】在一个西瓜上切6刀，最多能将瓜皮切成多少片？【考点】计数之归纳法【难度】4星【题型】解答【解析】将西瓜看做一个球体，球体上任意一个切割面都是圆形，所以球面上的切割线是封闭的圆周，考虑每一次切割能增加多少瓜皮片．当切1刀时，瓜皮被切成两份，当切第2刀时，由于切割线相交，所以瓜皮被切成4分，……，切第n次时，新增加的切割线与原来的切割线最多有()n-个交点．这21些交点将第n条切割线分成()21n-，所以21n-段，也就是说新增加的切割线使瓜皮数量增加了()在西瓜上切6刀，最多能将瓜皮切成11212223242532++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=片．【答案】32【例8】在一大块面包上切6刀最多能将面包切成多少块．（注：面包是一个立体几何图形，切面可以是任何方向）【考点】计数之归纳法【难度】5星【题型】解答【解析】题目相当于6个平面能将空间划分为多少个部分．通过找规律来寻找递推关系，显然的1个平面能将空间划分成2块，2个平面能将空间划分成4块，3个平面能将空间划分成8个平面，当增加到第四个平面时，第四个平面这能将原来空间中的8个部分中的其中几个划分．如图：注意到第四个平面与其他三个平面相交形成3条直线，这三条直线将第四个平面分割成7个部分，而每一部分将原来三个平面划分的8个空间中的7个划分成两份，所以4个平面能将空间划分成+=个部分．8715同样的第五个平面与前四个平面分别相交成4条直线，这四条直线能将第5个平面分割成++++=个部分，每一部分都划分原空间中的某一区域，所以第五个平面能使空间中的区1123411域增加到151126+==个部分．当增加到6个平面时，第六个平面共被划分成11234516+++++=个部分，所以第6个平面能将空间中的区块数增加到261642+=个部分．所以6刀能将面包切成42块．【答案】42。
小学奥数对应法例题讲解
小学奥数对应法例题讲解一、引言小学奥数通常以数学竞赛为主要形式，旨在培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
其中，对应法是奥数中经常用到的一种解题方法。
本文将选取一些小学奥数中常见的对应法例题进行讲解，帮助学生更好地理解和掌握对应法的运用。
二、什么是对应法对应法是一种通过找出两组事物之间的对应关系来解决问题的方法。
在奥数中，对应关系通常用字母、符号或数字等表示。
通过对应关系的发现和运用，可以在给定条件下推导出未知量的值，从而解决问题。
三、对应法的基本应用1. 全比对应全比对应是对应法中最基本的应用之一。
在全比对应中，两组事物之间的对应关系可以用相同的比例关系表示。
例题1：小明骑车去图书馆，速度是每小时20公里。
小红骑车去同一个地方，速度是每小时16公里。
如果两人同时出发，小红到达目的地需要多长时间？解：设小红到达目的地所需的时间为x小时。
根据速度和时间的关系，可以得到下面的比例关系： $\\frac{20}{16}$ = $\\frac{x}{1}$ 通过等式两边的乘法和约简，我们可以求解得到 x = 1.25 小时。
2. 分差对应分差对应是对应法中另一种常见的应用。
在分差对应中，两组事物之间的对应关系可以表示为一个固定的差值。
例题2：甲、乙两人在一场游戏中比赛。
在比赛前，甲已经得到了90分，乙得到了120分。
比赛开始后，甲每得10分，乙就得到15分，最终甲比乙多得了250分。
求这场比赛共进行了多少轮？解：设比赛共进行了x轮。
根据分差对应的原理，我们可以得到下面的等式：$\\frac{x}{1}$ = $\\frac{250}{15-10}$ 通过等式两边的乘法和约简，我们可以求解得到 x = 50 轮。
四、对应法的进阶应用1. 分组对应当研究的事物可以被分成多个组时，可以借助分组对应来解决问题。
在分组对应中，不同组之间的对应关系可以表示为一个固定的倍数关系。
例题3：一辆汽车每分钟行驶的速度是50米，一辆摩托车每分钟行驶的速度是40米。
六年级奥数(1)第四讲--计数综合三
例题2-插空法
一场演讲比赛，一共7人参加，安排演讲顺序时 要求甲乙必须相邻，而丙和丁不能相邻，那么有 多少种不同的演讲顺序？
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练习2-插空法
有一天有8节不同的课，如果要求数学、语文和英语不能挨着，音乐、美术必须挨 着，那么这天课表有多少种不同的可能？
例题3-插板法
（1）20个苹果分给3个小朋友，每个小朋友在分 1个，共有多少种分法？ 如果可以有小朋友没有分到苹果，又有多少种分 法？
例题3-插板法
（2）把10个苹果放入三个不同的盘子里，第一 个盘子可以不放，第二个盘子里至少放2个，第 三个盘子里至少放3个，请问一共有多少种不同 的放法？
练习3-插板法
龟丞相把7个顶级乌龟壳分给4只小乌龟，如果每 只小乌龟至少分一个，共有多少种分法？ 如果可以有小乌龟没有分到乌龟壳，那么又有多 少种不同的分法呢？
如果一条街上有2009盏灯，为了节约用电，打算熄灭其中的1004盏，相邻两盏不能同 时熄灭，请问：一共有多少种不同的熄灯方案？
例题7-插板法的应用
一次自助餐，共有10种菜，每人都有4个盘子选菜，每个盘子只能装一种菜，但是可 以重复选菜，请问：一共有多少种选菜方案？
练习7-插板法的应用
8种灌装饮料，小明从中买了3瓶，如果每种饮料都可以买多瓶。请问：一共有多少种 购买方案？
例题4-插板法的应用
求方程 x1 x2 x3 ...... x5 10 所有自然数解的组数。
高思导引六年级第12讲 计数综合三完整版
第12讲计数综合三内容概述建立递推的思想，将问题的复杂情形与简单情形联系起来；学会现察和发现递推关系；利用树形图、列表等方法处理某些递推关系．另外，综合运用各种方法处理与数字相关的复杂计数问题．兴趣篇1．一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶．走完这10级台阶，一共可以有多少种不同的走法？答案：89种。
解析：将台阶数和走台阶的方法数列成一张表格，如下所示：走1、2级台阶的方法数可以枚举得到．走3级台方法数可以分两类得到：如果第一步走1级台阶，那么参考数表可得，剩下2级有2种走法；如果第一步走2级台阶，同样参考数表可得，剩下1级有1种走法；因此3级合阶的走法总数为1+2=3，如上表箭头所示．以此类推便可填满整张表格．2．卡莉娅买了10块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃3块，直到吃完，共有多少种吃法？答案：274种解析：将巧克力的数量与吃法数列成一张表格，如下所示：吃1、2、3块巧克力的方法数可以枚举得到，吃4块巧克力的方法数可以分三类得到：如果第一天吃1块，那么参考数表可得，剩下3块有4种吃法；如果第一天吃2块，同样参考数表可得，剩下2块有2种吃法；如果第一天吃3块，那么剩下1块还有1种吃法，因此4块巧克力的吃法总数为1+2+4=7，如上表箭头所示．以此类推便可填满整张表格．3．用1×2的小方格覆盖7×2的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？答案：21种解析：找到左上角的方格，按照该方格是横着覆盖还是竖着覆盖分两类讨论即可得递推规则，从而得到如下所示的一张表格．4．如果在一个平面上画出4条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画20条线，最多可以分成几个部分？答案：11个；211个解析：由于新增直线被分为几部分，区域数量自然也就增加几部分，所以可以将情况写为如下的一张数表：所以20条直线的时候最多把平面分成2+2+3+4+…+20=211个部分．5．甲、乙、丙三名同学练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个．先由甲发球，经过6次传球后球仍然回到了甲的手中，请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？答案：22种解析：采用“传球法”，甲拿球，所以最开始甲标1，乙、丙都标o，接着甲必须由乙、丙传球给他，所以他下方的数也必须由乙、两累加给他；其余两人同理——这就是传球规则决定累加规则，依据这一累加规则，我们不停地将数表向下累加，每传一次球就多累加一行，最后得到第“6”行．这一行的三个数分别为22、21和21.他们分别表示6次传球后，由甲、乙、丙拿球的传球方法数．由于题目要求最后球回到甲手中，因此答案为22种．6．如图12—1，用红、黄、蓝三种颜色给一个五边形的各个顶点染色，同一条边的两端点不能同色，且顶点A必须染红色，请问：有多少种不同的染色方式？图12—1答案：10种解析：采用“传球法”，A染红色，所以在红色的下方标1，黄色和蓝色下方标0．B 不能再染红色，所以红色下面的标O，黄色和蓝色下方标1．后面的C、D、E 按照传球规则进行累加，注意到E不能染红色，所以有5+5=10种染法．7．一个三位数，有相邻两个数字的和为16，那么这样的三位数共有多少个？答案：54个解析：首先要审清题，题目中说“有相邻两个数字的和为16”，并不是说所有相邻两个数字之和都是16.相邻两个数字之和为16有三种可能：79，97或88.(1)若百位和十位的数字之和为16，个位可以填O ～9，共3×10一30种填法．(2)若十位和个位的数字之和为16，百位可以填1～9，共3×9—27种填法，两种情况共计57种填法，考虑到797、979和888被算了两次，因此这样的三位数有57-3=54个．8．一个各位数字互不相等的五位数不含数字0，且数字和为18，这样的五位数共有多少个？答案：360个解析：满足条件的情况只有以下三种：1+2+4+5+6=18, l+2+3+4+8=18, 1+2+3+5+7=18，共计55A ×3=360个．9．一个十位数只含有数字1或2，且不含两个连续的数字1，一共有多少个这样的十位数？答案：144个解析：十位数中不含有1，有1种，十位数中含有一个1，有110C =10种．十位数中含有两个l ，有29C = 36种．十位数中含有三个l ，有38C = 56种．十位数中含有四个1，有47C =35种．十位数中含有五个1，有56C =6种．共计144种，10．一个六位数由1、2、3、4、5组成，而且任意相邻两个数位的数字之差都是1，这样的六位数有多少个？答案：72个解析：采用“传球法”，十万位可以填1、2、3、4、5，因此在下方分别填1．要求任意相邻两个数位之差都是1，因此万位1、2、3、4、5的下方分别填1、2、2、2、1．后面的数位同理，因此这咩的六位数共有9+18+18+18+9=72个，拓展篇1．老师给小高布置了12篇作文，规定他每天至少写1篇．如果小高每天最多能写3篇，那么共有多少种写完作文的方法？答案：927种解析：将作文数量与完成作文的方法数列成一张表格，如下所示：下面解释一下这张数表是如何累加得到的，写1、2、3篇作文的方法数可以枚举得到．写4篇作文的完成方法数可以分三类去数：如果第一天写1篇，那么参考数表可得，剩下3篇有4种完成方法；如果第一天写2篇，同样参考数表可得，剩下2篇有2种完成方法；如果第一天写3篇，那么剩下1篇还有1种完成方法，因此4篇作文的完成方法总数为1+2+4=7，如上表箭头所示．接着分析5篇作文的完成方法数，仍然分三类：第一天写1篇，那么参考数表可得，剩下4篇还有7种完成方法；第一天写2篇．那么剩下3篇还有4种完成方法：第一天写3篇，那么剩下2篇还有2种完成方法，因此5篇作文的完成方法数等于2+4+7=13……以此类推便可填满整张表格．2．用10个1×3的长方形纸片覆盖一个10×3的方格表．共有多少种覆盖方法？2.答案：28种解析：我们可以列出一个递推数表，将其表示如下：下面详细说明该问题的递推规律．覆盖1×3、2×3和3×3方格表的方法数可以枚举得到．接着分析覆盖4×3的表格有几种覆盖方法，如下匿所示，左上角的阴影方格在覆盖的时候有两种方法：竖着覆盖或横着覆盖．当竖着覆盖时，余下部分恰好是一个3×3的方格表，覆盖方法数为2；当横着覆盖时，其下方的方格只能被横放的纸片盖住，因此只剩下一个1×3的方格表需要覆盖，方法数为1．由此可得4×3的表格的覆盖方法数为2+1=3．用同样的方法分析5×3的方格表，可得其覆盖方法数等于4×3的方法数加上2×3的方法数，因此等于3+1=4．接着以此类推即可，余下部分恰好是一个3×3的方格表，覆盖方法数为2。
计数之对应法
7-6-3.计数之对应法教学目标前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．例题精讲模块三、对应法将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．一、图形中的对应关系【例1】在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有多少种不同的方法？【例2】在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？【巩固】用一张如图所示的纸片盖住66方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放置方法？【例3】图中可数出的三角形的个数为．【例4】如图所示，在直线AB上有7个点，直线CD上有9个点．以AB上的点为一个端点、CD上的点为另一个端点的所有线段中，任意3条线段都不相交于同一个点，求所有这些线段在AB与CD之间的交点数．C D二、数字问题中的对应关系【例5】有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字大？【巩固】三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个？【例6】数3可以用4种方法表示为一个或几个正整数的和，如3，12++．问：1999表示+，111+，21为一个或几个正整数的和的方法有多少种？【例7】请问至少出现一个数码3，并且是3的倍数的五位数共有多少个？三、对应与阶梯型标数法【例8】游乐园的门票1元1张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱．问有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？【例9】学学和思思一起洗5个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有种不同的摞法．【巩固】学学和思思一起洗4个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，问学学摞好的碗一共有种不同的摞法。
六年级数学专题思维训练—计数综合(含答案及解析)
六年级数学专题思维训练—计数综合1、若4个两两不同的自然数的倒数之和为1，则这样的自然数组（次序不同认为是同共有组，2、如下图所示，在纸上画有A、B、C三点，经过其中任意两点画一条直线，可以画3条直线，如果在纸上画有5个点，其中任意三个点都不在一条直线上，经过每两点画一条直线，可以画____条直线．3、在右下图中，以最短的路径从点P到点Q，请问共有种不同的走法．4、科学家“爱因斯坦”的英文名拼写为“Einstein”，如下图所示，按图中箭头所示方向有种不同的方法拼出英文单词“Einstein”．5、在下图中，用水平或者竖直的线段连接相邻的字母，当沿着这些线段行走时，正好拼出“APPLE”的路线共有多少条？6、甲队和乙队进行的一场足球赛的最终比分是4：2，已知甲队先进一球，而乙队在比赛过程中始终没有领先过，那么两队的入球次序共有种不同的可能．7、如下图所示，27个单位正方体拼成大正方体，沿着面上的格线，从A到B的最短路线共有条．8、国际象棋中“马”的走法如图a所示，位于O位置的“马”只能走到标有×的格中，类似于中国象棋中的“马走日”．如果“马”在8×8的国际象棋棋盘中位于第一行第二列（图b）中标有△的位置），要走到第八行第五列（图b）中标有★的位置），最短路线有条．9、小思从X市开车到y市，她必须遵照下图箭头所指示的方向行驶：请问小思由X市到y市共有多少种不同的路径？10、 A，B两人进行象棋比赛，没有和棋，先比对方多胜三局的一方赢得比赛，如果经过11局比赛A才以7胜4负获胜，那么这11局比赛的胜负排列共有种．（例如：“胜负胜负胜负胜负胜胜胜”是一种胜负排列）11、一个正在行进的8人队列，每人身高各不相同，按从低到高的次序排列．现在他们要变成2列纵队，每列仍然是按从低到高的次序排列，同时要求并排的每两人中左边的人比右边的人要矮，那么，2列纵队有种不同排法．12、有7个相同的小球放人4个不同的盒子中，每个盒子中至少放一个球，则共有种不同的放法．A. 15 B．18 C．20 D．2413、以下图的黑点作为顶点，请问可作出多少个三角形？14、正整数2009的数码和为11，请问在2010到2999之间有多少个自然数其数码和为11 ？15、学学和思思一起洗已摞好的5个互不相同的碗，思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放人碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有种不同的摞法。
高思导引六年级第12讲 计数综合三完整版
第12讲计数综合三内容概述建立递推的思想，将问题的复杂情形与简单情形联系起来；学会现察和发现递推关系；利用树形图、列表等方法处理某些递推关系．另外，综合运用各种方法处理与数字相关的复杂计数问题．兴趣篇1．一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈一级台阶或二级台阶．走完这10级台阶，一共可以有多少种不同的走法？答案：89种。
解析：将台阶数和走台阶的方法数列成一张表格，如下所示：走1、2级台阶的方法数可以枚举得到．走3级台方法数可以分两类得到：如果第一步走1级台阶，那么参考数表可得，剩下2级有2种走法；如果第一步走2级台阶，同样参考数表可得，剩下1级有1种走法；因此3级合阶的走法总数为1+2=3，如上表箭头所示．以此类推便可填满整张表格．2．卡莉娅买了10块巧克力，她每天最少吃一块，最多吃3块，直到吃完，共有多少种吃法？答案：274种解析：将巧克力的数量与吃法数列成一张表格，如下所示：吃1、2、3块巧克力的方法数可以枚举得到，吃4块巧克力的方法数可以分三类得到：如果第一天吃1块，那么参考数表可得，剩下3块有4种吃法；如果第一天吃2块，同样参考数表可得，剩下2块有2种吃法；如果第一天吃3块，那么剩下1块还有1种吃法，因此4块巧克力的吃法总数为1+2+4=7，如上表箭头所示．以此类推便可填满整张表格．3．用1×2的小方格覆盖7×2的长方形，共有多少种不同的覆盖方法？答案：21种解析：找到左上角的方格，按照该方格是横着覆盖还是竖着覆盖分两类讨论即可得递推规则，从而得到如下所示的一张表格．4．如果在一个平面上画出4条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画20条线，最多可以分成几个部分？答案：11个；211个解析：由于新增直线被分为几部分，区域数量自然也就增加几部分，所以可以将情况写为如下的一张数表：所以20条直线的时候最多把平面分成2+2+3+4+…+20=211个部分．5．甲、乙、丙三名同学练习传球，每人都可以把球传给另外两个人中的任意一个．先由甲发球，经过6次传球后球仍然回到了甲的手中，请问：整个传球过程共有多少种不同的可能？答案：22种解析：采用“传球法”，甲拿球，所以最开始甲标1，乙、丙都标o，接着甲必须由乙、丙传球给他，所以他下方的数也必须由乙、两累加给他；其余两人同理——这就是传球规则决定累加规则，依据这一累加规则，我们不停地将数表向下累加，每传一次球就多累加一行，最后得到第“6”行．这一行的三个数分别为22、21和21.他们分别表示6次传球后，由甲、乙、丙拿球的传球方法数．由于题目要求最后球回到甲手中，因此答案为22种．6．如图12—1，用红、黄、蓝三种颜色给一个五边形的各个顶点染色，同一条边的两端点不能同色，且顶点A必须染红色，请问：有多少种不同的染色方式？图12—1答案：10种解析：采用“传球法”，A染红色，所以在红色的下方标1，黄色和蓝色下方标0．B 不能再染红色，所以红色下面的标O，黄色和蓝色下方标1．后面的C、D、E 按照传球规则进行累加，注意到E不能染红色，所以有5+5=10种染法．7．一个三位数，有相邻两个数字的和为16，那么这样的三位数共有多少个？答案：54个解析：首先要审清题，题目中说“有相邻两个数字的和为16”，并不是说所有相邻两个数字之和都是16.相邻两个数字之和为16有三种可能：79，97或88.(1)若百位和十位的数字之和为16，个位可以填O ～9，共3×10一30种填法．(2)若十位和个位的数字之和为16，百位可以填1～9，共3×9—27种填法，两种情况共计57种填法，考虑到797、979和888被算了两次，因此这样的三位数有57-3=54个．8．一个各位数字互不相等的五位数不含数字0，且数字和为18，这样的五位数共有多少个？答案：360个解析：满足条件的情况只有以下三种：1+2+4+5+6=18, l+2+3+4+8=18, 1+2+3+5+7=18，共计55A ×3=360个．9．一个十位数只含有数字1或2，且不含两个连续的数字1，一共有多少个这样的十位数？答案：144个解析：十位数中不含有1，有1种，十位数中含有一个1，有110C =10种．十位数中含有两个l ，有29C = 36种．十位数中含有三个l ，有38C = 56种．十位数中含有四个1，有47C =35种．十位数中含有五个1，有56C =6种．共计144种，10．一个六位数由1、2、3、4、5组成，而且任意相邻两个数位的数字之差都是1，这样的六位数有多少个？答案：72个解析：采用“传球法”，十万位可以填1、2、3、4、5，因此在下方分别填1．要求任意相邻两个数位之差都是1，因此万位1、2、3、4、5的下方分别填1、2、2、2、1．后面的数位同理，因此这咩的六位数共有9+18+18+18+9=72个，拓展篇1．老师给小高布置了12篇作文，规定他每天至少写1篇．如果小高每天最多能写3篇，那么共有多少种写完作文的方法？答案：927种解析：将作文数量与完成作文的方法数列成一张表格，如下所示：下面解释一下这张数表是如何累加得到的，写1、2、3篇作文的方法数可以枚举得到．写4篇作文的完成方法数可以分三类去数：如果第一天写1篇，那么参考数表可得，剩下3篇有4种完成方法；如果第一天写2篇，同样参考数表可得，剩下2篇有2种完成方法；如果第一天写3篇，那么剩下1篇还有1种完成方法，因此4篇作文的完成方法总数为1+2+4=7，如上表箭头所示．接着分析5篇作文的完成方法数，仍然分三类：第一天写1篇，那么参考数表可得，剩下4篇还有7种完成方法；第一天写2篇．那么剩下3篇还有4种完成方法：第一天写3篇，那么剩下2篇还有2种完成方法，因此5篇作文的完成方法数等于2+4+7=13……以此类推便可填满整张表格．2．用10个1×3的长方形纸片覆盖一个10×3的方格表．共有多少种覆盖方法？2.答案：28种解析：我们可以列出一个递推数表，将其表示如下：下面详细说明该问题的递推规律．覆盖1×3、2×3和3×3方格表的方法数可以枚举得到．接着分析覆盖4×3的表格有几种覆盖方法，如下匿所示，左上角的阴影方格在覆盖的时候有两种方法：竖着覆盖或横着覆盖．当竖着覆盖时，余下部分恰好是一个3×3的方格表，覆盖方法数为2；当横着覆盖时，其下方的方格只能被横放的纸片盖住，因此只剩下一个1×3的方格表需要覆盖，方法数为1．由此可得4×3的表格的覆盖方法数为2+1=3．用同样的方法分析5×3的方格表，可得其覆盖方法数等于4×3的方法数加上2×3的方法数，因此等于3+1=4．接着以此类推即可，余下部分恰好是一个3×3的方格表，覆盖方法数为2。
3第三讲 几何计数 (奥数班)
【教学重难点】
掌握常见的数图形的方法：枚举法、对应法、容斥原理、和面积相关、利用图形对称性。
【课前预习】
根据辅导书相应地给孩子预习的内容。
【教学内容】
方法一：枚举法——按照大小和位置
【例1】（★★）
下图中可以数出多少个三角形？
【例2】（★★★★）
如图，木板上钉着20个钉子，形成4行5列的正方形钉阵。那么橡皮筋一共能套出个正方形。（注意正放和斜放）
方法五：和面积相关——熟悉公式利用图形对称性
【例6】（★★★★）
如图，用9枚钉子钉成水平和竖直间隔都为1的正方阵。用一根橡皮筋将3枚不共线的钉子连接起来就形成一个三角形。其中面积为1的三角形有多少个？
【例7】（★★★★★）
图中一共有多少个三角形？
小结：
枚举法——按照大小和位置
对应法——找到对应关系
圈猪法鼠标法
4.一块木板上有13枚钉子。用橡皮筋套住其中的几枚钉子，可以构成三角形，正方形，梯形等，如图。那么一共可以构成多少个不同的正方形？
计算巩固：
1、
2、（7.88+6.77+5.66）×（9.31+10.98+10）—（7.88+6.77+5.66+10）×（9.31+10.98）
容斥原理——不重不漏
和面积相关——熟悉公式
利用图形对称性
自我挑战Hale Waihona Puke 1.下图中共有多少个正方形？
2.下图中ABCD是平行四边形，图中的线段分别与AB，AD或BE平行。图中包含阴影三角形的平行四边形共有多少个？
3.如图，18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形.那么图中包含“＊”的各种大小的正三角形一共有多少个？
小学奥数 计数之对应法 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．模块一、图形中的对应关系【例 1】 在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L ”形（如图），一共有多少种不同的方法？ 【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】3星 【题型】解答【解析】 注意：数“不规则几何图形”的个数时，常用对应法．第1步：找对应图形 每一种取法，有一个点与之对应，这就是图中的A 点，它是棋盘上横线与竖线的交点，且不在棋盘边上．第2步：明确对应关系 从下图可以看出，棋盘内的每一个点对应着4个不同的取法（“L ”形的“角”在2×2正方形的不同“角”上）．第3步：计算对应图形个数 由于在 8×8的棋盘上，内部有7×7=49（个）交叉点， 第4步：按照对应关系，给出答案故不同的取法共有49×4=196（种）．评注:通过上面两个范例我们知道,当直接去求一个集合元素的个数较为困难的时候,可考虑采用相等的原则,把问题转化成求另一个集合的元素个数．【答案】196【例 2】 在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？ 【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】3星 【题型】解答例题精讲教学目标7-6-3计数之对应法【解析】首先可以知道题中所讲的13⨯长方形中间的那个小主格为黑色，这是因为两个白格不相邻，所以不能在中间．显然，位于棋盘角上的黑色方格不可能被包含在这样的长方形中．下面分两种情况来分析：第一种情况，一个位于棋盘内部的黑色方格对应着两个这样的13⨯长方形(一横一竖)；第二种情况，位于边上的黑色方格只能对应一个13⨯长方形．由于在棋盘上的32个黑色方格中，位于棋盘内部的18个，位于边上的有12个，位于角上的有2个，所以共有1821248⨯+=个这样的长方形．本题也可以这样来考虑：事实上，每一行都有6个13⨯长方形，所以棋盘上横、竖共有13⨯长方形68296⨯⨯=个．由于棋盘上的染色具有对称性，因此包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形正好与包含两个黑色小方格与一个白色小方格的长方形具有一一对应关系，这说明它们各占一半，因此所求的长方形个数为96248÷=个．【答案】48【巩固】用一张如图所示的纸片盖住66⨯方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放置方法？【考点】计数之图形中的对应关系【难度】3星【题型】解答【解析】如图，将纸片中的一个特殊方格染为黑色，下面考虑此格在66⨯方格表中的位置．易见它不能位于四个角上；若黑格位于方格表中间如图浅色阴影所示的44⨯正方形内的某格时，纸片有4种不同的放法，共计44464⨯⨯=种；若黑格位于方格表边上如图深色阴影所示的方格中时，纸片的位置随之确定，即只有1种放法，此类放法有4416⨯=种．所以，纸片共有641680+=种不同的放置方法．【答案】80种【例3】图中可数出的三角形的个数为．【考点】计数之图形中的对应关系【难度】4星【题型】填空【解析】这个图不像我们以前数三角形那样规则，粗看似乎看不出其中的规律，不妨我们取出其中的一个三角形，发现它的三条边必然落在这个图形中的三条大线段上，而每三条大线段也正好能构成一个三角形，因此三角形的个数和三条大线段的取法是一一对应的关系，图中一共有8条大线段，因此有3 856C=个三角形．【答案】56个三角形【例 4】 如图所示，在直线AB 上有7个点，直线CD 上有9个点．以AB 上的点为一个端点、CD 上的点为另一个端点的所有线段中，任意3条线段都不相交于同一个点，求所有这些线段在AB 与CD 之间的交点数． 【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答CD【解析】 常规的思路是这样的：直线AB 上的7个点，每个点可以与直线CD 上的9个点连9根线段，然后再分析这些线段相交的情况．如右图所示，如果注意到下面这个事实：对于直线AB 上的任意两点M 、N 与直线CD 上的任意两点P 、Q 都可以构成一个四边形MNQP ，而这个四边形的两条对角线MQ 、NP 的交点恰好是我们要计数的点，同时，对于任意四点(AB 与CD 上任意两点)都可以产生一个这样的交点，所以图中两条线段的交点与四边形有一一对应的关系．这说明，为了计数出有多少个交点，我们只需要求出在直线AB 与CD 中有多少个满足条件的四边形MNQP 就可以了！从而把问题转化为：在直线AB 上有7个点，直线CD 上有9个点．四边形MNQP 有多少个？其中点M 、N 位于直线AB 上，点P 、Q 位于直线CD 上．这是一个常规的组合计数问题，可以用乘法原理进行计算：由于线段MN 有2721C =种选择方式，线段PQ 有2936C =种选择方式，根据乘法原理，共可产生2136756⨯=个四边形．因此在直线AB 与CD 之间共有756个交点．【答案】756个交点模块二、数字问题中的对应关系【例 5】 有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字大？ 【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答【解析】 由于四位数的四个数位上的数的大小关系已经非常明确，而对于从0～9中任意选取的4个数字，它们的大小关系也是明确的，那么由这4个数字只能组成1个符合条件的四位数(题目中要求千位比百位大，所以千位不能为0，本身已符合四位数的首位不能为0的要求，所以进行选择时可以把0包含在内)，也就是说满足条件的四位数的个数与从0～9中选取4个数字的选法是一一对应的关系，那么满足条件的四位数有410109872104321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯个．【答案】210个【巩固】 三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个？ 【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答【解析】 相当于在10个数字中选出3个数字，然后按从大到小排列.共有10×9×8÷（3×2×1）=120种．实际上，前铺中每一种划法都对应着一个数．【答案】120种【例 6】 数3可以用4种方法表示为一个或几个正整数的和，如3，12+，21+，111++．问：1999表示为一个或几个正整数的和的方法有多少种？ 【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答【解析】 我们将1999个1写成一行，它们之间留有1998个空隙，在这些空隙处，或者什么都不填，或者填上“＋”号．例如对于数3，上述4种和的表达方法对应：1 1 1，1+1 1，1 1+1，1+1+1． 可见，将1999表示成和的形式与填写1998个空隙处的方式之间是一一对应的关系，而每一个空隙处都有填“＋”号和不填“＋”号2种可能，因此1999可以表示为正整数之和的不同方法有1998199822222⨯⨯⨯=个相乘种．【答案】19982种【例 7】 请问至少出现一个数码3，并且是3的倍数的五位数共有多少个？ 【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】小学数学竞赛【解析】 五位数共有90000个，其中3的倍数有30000个．可以采用排除法，首先考虑有多少个五位数是3的倍数但不含有数码3.首位数码有8种选择，第二、三、四位数码都有9种选择．当前四位的数码确定后，如果它们的和除以余数为0，则第五位数码可以为0、6、9；如果余数为1，则第五位数码可以为2、5、8；如果余数为2，则第五位数码可以为1、4、7.可见只要前四位数码确定了，第五位数码都有3种选择，所以五位数中是3的倍数但不含有数码3的数共有8999317496⨯⨯⨯⨯=个． 所以满足条件的五位数共有300001749612504-=个．【答案】12504个模块三、对应与阶梯型标数法【例 8】 游乐园的门票1元1张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱．问有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？ 【考点】计数之对应与阶梯型标数法 【难度】5星 【题型】解答【解析】 与类似题目找对应关系．要保证售票员总能找得开零钱，必须保证每一位拿2元钱的小朋友前面的若干小朋友中，拿1元的要比拿2元的人数多，先将拿1元钱的小朋友看成是相同的，将拿2元钱的小朋友看成是相同的，可以利用斜直角三角模型．在下图中，每条小横线段代表1元钱的小朋友，每条小竖线段代表2元钱的小朋友，因为从A 点沿格线走到B 点，每次只能向右或向上走，无论到途中哪一点，只要不超过斜线，那么经过的小横线段都不少于小竖线段，所以本题相当于求下图中从A 到B 有多少种不同走法．使用标数法，可求出从A 到B 有42种走法．AB424228145141494553221111111但是由于10个小朋友互不相同，必须将他们排队，可以分成两步，第一步排拿2元的小朋友，5个人共有5120=！种排法；第二步排拿到1元的小朋友，也有120种排法，所以共有5514400⨯=！！种排队方法．这样，使售票员能找得开零钱的排队方法共有4214400604800⨯=(种)．【答案】604800种【例 9】 学学和思思一起洗5个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有 种不同的摞法． 【考点】计数之对应与阶梯型标数法 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】学而思杯，5年级，第7题【解析】 方法一：如下所示，共有42种不同的摞法：54321----，45321----，35421----，53421----，34521----，54231----，45231----，25431----，52431----，24531----，52341----，25341----，23541----，23451----，54312----，45312----，53412----，35412----，34512----，54132----，45132----，15432----，51432----，14532----，51342----，15342----，13542----，13452----，54123----，45123----，15423----，51423----，14523----，12543----，51243----，15243----，12453----，12354----，12534----，15234----，51234----， 12345----。
五年级下册奥数小综合思维训练
五年级下册奥数小综合思维训练（1）（找规律、包含与排除）1：18÷11的商的小数点后面第2008位数字是几？2：有一列数字402140214021……问第31个数字是多少？前面30个数字的和是多少？3、17÷6的商的小数点后第123位和第124位上的数字的和是多少？4、5÷7的商的小数部分后面第100位上的数字是几？5、13.258小数部分第1000位上的数字是几？小数点后面前300个数字的和是多少？6、不用计算，直接写得数1÷7=0.142857142857…… 2÷7=0.285714285714…… 3÷7=0.428571428571……4÷7= 5÷7= 6÷7=7、23÷7的商的小数点后面2000个数字之和是多少？8、15÷52的商的小数点右边第200个数字是多少？小数点后面前200个数字的和是多少？9、9÷7的商的小数点后第2005位数字是几？10、18÷13的商的小数点后第2010位的数字是几？11：五年级有96名学生都订了刊物，有64人订了少年报，有48人订了小学生报，问两种刊物都订的有多少人？12：学校开展课外活动，共有250人参加，其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人，问250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？13、一个班的52人都在做语文和数学作业，有32人做完了语文作业，有35人做完了数学作业。
这个班语文，数学作业都做完的有多少人？14、某班有50名学生，在一次测验中有26人满分，在第二次测验中有21人满分。
如果两次测验都没有过满分的学生有17人，那么两次测验都获满分的有多少人？15、某班的在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优。
其中语，数双优的有12人，另外还有8人语，数均未获优。
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例题2
圆圈上有8个点，每两个点之间连一条线段，假设每3条线段在圆内没有公共交 点，问圆内一共有多少个交点？
练习2
圆圈上有9个点，每两个点之间连一条 线段，假设每3条线段在圆内没有公共 交点，问圆内一共有多少个交点？
例题3
如图，木板上钉着12枚钉子，排 成三行四列，那么用一个橡皮筋， 可以套出多少个三角形？
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六年级奥数（1）
计数综合三（对应法）
教师：巨人龙老师
课前热身
我们
知识预讲
对应法： 就是讲难以计数的数量与某种可以计量的事物联系起来，建立一对一的对应关 系，那么这两种量就在数量上是相同，从而达到计数的目的。
例题1
圆圈上有8个点，通过这8个点可以连出多少条线段？可以连出多少个不同的三 角形？
练习1
例题6
有一个圆环被分成8部分，四种颜色可选，相邻部分不能染同样的颜色，共有多少种染 色方式？（圆盘位置固定，不能旋转，因此某种染色方法能通过旋转重合，但仍算不 同的染色方法）
练习6
有一个圆环被分成6部分，有5种颜色可选，相邻部分不能染同样的颜色，共有多少种 染色方式？（圆盘位置固定，不能旋转，因此某种染色方法能通过旋转重合，但仍算 不同的染色方法）
练习5
在6 6的棋盘中可以数出多少个如图所示的图形？（允许将它旋转和翻转）
例题6
常昊和古力进行棋圣争霸比赛，谁先胜4局 就可以获得比赛的胜利（不存在平局），请 问：比赛过程一共有多少种不同的方式？
练习6
阿奇在PSP中玩格斗游戏，采取五局三胜制， 谁先胜3场就获得胜利，如果最后阿奇获胜， 问一共有多少种可能的比赛过程？（不考虑 平局）
练习3
如图，木板上钉着12枚钉子，排 成四行四列空心方阵，那么用橡 皮筋，可以套出多少个三角形？
例题4
4个不同的数字按照递增的顺序排列而成的四位数 共有多少个？
练习4
4个不同的数字按照递减的顺序排列而成的四位数 共有多少个？
例题5
在8 8的棋盘中可以数出多少个如图所示的图形？ （允许将它旋转和翻转）