文科《解三角形》高考常考题型专题训练
完整版)高考解三角形大题(30道)
完整版)高考解三角形大题(30道)1.在三角形ABC中，已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且有以下等式：frac{\cos A - 2\cos C}{2c-a} = \frac{\cos B b}{\sin C}$$求该等式右侧的值，以及：2）若$\cos B=\frac{1}{4}$，$b=2$，求三角形ABC的面积S。
2.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\sin C+\cos C=1$，求：1）$\sin C$的值；2）若$a+b=4a-8$，求边c的值。
3.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。
1）若$\sin(A+\frac{2}{3}\pi)=2\cos A$，求角A的值；2）若$\cos A=\frac{3}{c}$，求$\sin C$的值。
4.在三角形ABC中，D为边BC上的一点，且$BD=\frac{3}{3}$，$\sin B=\frac{5}{3}$，$\cos\angleADC=\frac{\sqrt{3}}{5}$，求AD。
5.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$a=1$，$b=2$，$\cos C=-\frac{1}{4}$，求：1）三角形ABC的周长；2）$\cos(A-C)$的值。
6.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\sin A+\sin C=\frac{1}{2}\sin B$，且$ac=\frac{1}{2}b$。
1）求a,c的值；2）若角B为锐角，求p的取值范围，其中$p=\frac{1}{5}$，$b=1$。
7.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且$2a\sin A=(2b+c)\sin B+(2c+b)\sin C$。
1）求角A的值；2）求$\sin B+\sin C$的最大值。
8.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知$\cos 2C=-\frac{1}{4}$。
高三文科专题训练解三角形
《解三角形》训练一、选择题：1．在△ABC 中，若AB ＝3－1，BC ＝3＋1，AC ＝6，则B 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°2．在△ABC 中，A ＝45°，AC ＝4，AB ＝2，那么cos B ＝( )A.31010 B ．－31010 C.55 D ．－553．等腰△ABC 底角B 的正弦与余弦的和为62，则它的顶角是( ) A ．30°或150° B ．15°或75° C ．30° D ．15°4．在△ABC 中，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725 C ．±725 D.24255．在△ABC 中，a ＝2，c ＝1，则角C 的取值范围是( )A ．(0，π2)B ．(π6，π3)C ．(π6，π2)D ．(0，π6] 6．已知钝角三角形的三边长分别为2,3，x ，则x 的取值范围是( )A ．1<x <5 B.5<x <13 C ．1<x <5或13<x <5 D ．1<x < 57．关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B －cos 2C 2＝0有一个根为1，则此三角形为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形8．在△ABC 中，C ＝90°，A ＝75°，CD ⊥AB ，垂足D ，则CD AB＝( ) A.12 B.13 C.14 D.329．△ABC 三边长分别是3,4,6，则它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是( )A ．1:1B ．1:2C ．1:4D ．4:310．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A ．20(2＋6)海里/小时B ．20(6－2)海里/小时C ．20(3＋6)海里/小时D ．20(6－3)海里/小时二、填空题：11．在△ABC 中，a ＝23，b ＝22，B ＝45°，则A 等于__________．12．三角形一边长14，它对的角为60°，另两边之比为85，则此三角形面积为__________．13．在△ABC 中，a ＝50，B ＝30°，C ＝120°，那么BC 边上的高的长度是__________．14．在锐角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值范围是__________．15．等腰△ABC 顶角的余弦为13，则底角的正弦值为________．三、解答题：16．在△ABC 中，已知a ＝6，A ＝60°，b －c ＝3－1，求b ，c 和B ，C .17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．18．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 2B ＋C 2－cos2A ＝72.(1)求A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 与c 的值．19．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝3，BC ＝7，求(1)AC 的长．(2)△ABC 的面积．20．在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c 且cos C cos B ＝3a －cb ，(1)求sin B .(2)若b ＝42，a ＝c ，求△ABC 的面积．详解答案1[答案] C[解析] cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝12，∴B ＝60°. 2[答案] D[解析] BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A＝16＋2－82cos45°＝10，∴BC ＝10，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝－55. 3[答案] C[解析] ∵a sin A ＝b sin B ，∴23sin A ＝22sin45°，∴sin A ＝32，∴A ＝60°或120°.∵a sin B <b <a ，故有两解．4[答案] A[解析] 由题意：sin B ＋cos B ＝62.两边平方得sin2B ＝12，设顶角为A ，则A ＝180°－2B . ∴sin A ＝sin(180°－2B )＝sin2B ＝12， ∴A ＝30°或150°.5[答案] B[解析] 仰角和俯角都是水平线与视线的夹角，故α＝β.6[答案] A[解析] 由b sin B ＝c sin C 及8b ＝5c ，c ＝2B 得，5c sin2B ＝8c sin B ，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725. 7[答案] D[解析] ∵a －c <b <a ＋c ，∴1<b <3，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴1＝4＋b 2－4b cos C ，∴cos C ＝b 2＋34b ＝14(b ＋3b)， ∵14(b ＋3b)在(1，3]上单调递减，在[3，3)上单调递增， ∴cos C ≥14(3＋33)＝32，∴0<C ≤π6. [点评]平时解题后多反思一下，才有助于思维过程的优化，思维能力的提高．本题中，注意到△ABC 只知道两边长a ＝2，c ＝1，△ABC 是变动的，利用图形在其变动过程中考察角C 的变化情况会更简捷．如图作边BC ＝a ＝2，以B 为圆心，1为半径作⊙B ，则C 可为⊙B 上(除去直线BC 与⊙B 的交点)的任意一点，显然c >0，且当CA 与⊙B 相切时，角C 最大，∴0<C ≤π6. 8[答案] C [解析] 当x 为最大边时⎩⎨⎧3<x <5x 2>32＋22，∴13<x <5； 当3为最大边时{ 1<x <332>x 2＋22，∴1<x < 5.∴x 的取值范围是：1<x <5或13<x <5.[点评] ∵此三角形为钝角三角形，三角形最多可有一个钝角，故当x 为最大边时，必有x >3，当3为最大边时，必有x <3，这与三角形为锐角三角形的讨论是有区别的．9[答案] A[解析] 由题设，1－cos A cos B －cos 2C 2＝0. ∴sin 2C 2＝cos A cos B ，∴1－cos C 2＝cos A cos B . ∴1＋cos(A ＋B )＝2cos A cos B ，∴cos(A －B )＝1，∵A ，B 是三角形内角，∴A －B ＝0即A ＝B .10[答案] C[解析] 如图，∵C ＝90°，A ＝75°，∴B ＝15°，cot75°＝AD CD ，cot15°＝BD CD， ∴cot75°＋cot15°＝AD CD ＋BD CD ＝AB CD， ∵cot75°＋cot15°＝tan15°＋tan75°＝tan(45°－30°)＋tan(45°＋30°) ＝1－331＋33＋1＋331－33＝(2－3)＋(2＋3)＝4， ∴CD AB ＝14. [点评] 因为△ABC 是直角三角形，又CD ⊥AB ，因此应充分利用直角三角形的边角关系以简化运算．在Rt △ACD 中，sin75°＝CD AC，∴CD ＝AC ·sin75°， 在Rt △ABC 中，cos75°＝AC AB ，∴AB ＝AC cos75°， ∴CD AB ＝AC ·sin75°AC cos75°＝sin75°cos75° ＝12sin150°＝12sin30°＝14. 11[答案] B[解析] 不妨设a ，b ，c 长分别为3,4,6，∴较大锐角为AC 边对的角B .由平几知识知，BD 分对边AC 的比CD AD ＝BC AB ＝36＝12. ∴S △BCD S △ABD ＝12BC ·BD ·sin ∠DBC 12AB ·BD ·sin ∠ABD ＝BC AB ＝CD AD ＝12. [点评] 审题时要注意细节．本题改为求“它的较大角的平分线分三角形成两部分的面积比”，则答案为D. 12[答案] B[解析] 由题意可知∠SMN ＝15°＋30°＝45°，MS ＝20，∠MNS ＝45°＋(90°－30°)＝105°，设货轮每小时航行x 海里，则MN ＝12x ， ∴∠MSN ＝180°－105°－45°＝30°，由正弦定理得12x sin30°＝20sin105°， ∵sin105°＝sin(60°＋45°) ＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝6＋24， ∴x ＝20(6－2)，故选B.13[答案] 40 3[解析] 设另两边长为8x 和5x ，则 cos60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2，∴x ＝2， ∴另两边长为16和10，此三角形面积S ＝12×16×10·sin60°＝40 3. 14[答案] 25 3 [解析] ∵A ＝30°，50sin30°＝AB sin120°，∴AB ＝50 3. ∴BC 边上的高AD ＝12AB ＝25 3.15[答案] (2，5) [解析] ∵c 是锐角△ABC 的最大边， ∴{ b <c a ＋b >c a 2＋b 2>c 2 ∴{ c >2c <3c 2<5，∴2<c < 5.16[答案] 63 [解析] 设顶角为α，底角为β，则cos α＝13，β＝π－α2＝π2－α2， ∴sin β＝sin(π2－α2)＝cos α2＝1＋cos α2＝63. 17[解析] 由余弦定理得，6＝b 2＋c 2－2bc cos60°， ∴b 2＋c 2－bc ＝6 ①由b －c ＝3－1平方得：b 2＋c 2－2bc ＝4－23 ②①、②两式相减得bc ＝2＋2 3.由{ b －c ＝3－1bc ＝2＋23，解得{b ＝3＋1c ＝2 ， 由正弦定理sin B ＝b sin A a ＝(3＋1)sin60°6＝6＋24. ∵6<3＋1，∴B ＝75°或105°.∵a 2＋c 2>b 2，∴B 为锐角，∴B ＝75°，C ＝45°.[点评] 求角B 时，若先求得sin C ＝c sin A a ＝22，∵a >c ，∴C ＝45°，从而得B ＝75°. 若用余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝6－24，∴B ＝75°. 18[解析] (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝b sin B，得sin B ＝3cos B ， 所以tan B ＝3，所以B ＝π3. (2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝c sin C，得 c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac .所以a ＝3，c ＝2 3.[点评] 本题主要考查正、余弦定理及三角运算等基础知识，同时考查运算求解能力． 19[解析] 设三角形的三边长为a ＝n －1，b ＝n ，c ＝n ＋1，n ∈N *且n >1，∵C 是钝角，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝n －42(n －1)<0， ∴1<n <4，∵n ∈N *，∴n ＝2或3，当n ＝2时，a ＝1，b ＝2，c ＝3，不能构成三角形；当n ＝3时，a ＝2，b ＝3，c ＝4，能构成三角形；把该木杆截下长度分别为2,3,4的三段，然后三段首尾顺次连接即可．20[解析] (1)由条件得2[1－cos(B ＋C )]－2cos 2A ＋1＝72.∴4(1＋cos A )－4cos 2A ＝5，∴(2cos A －1)2＝0， ∴cos A ＝12，∵0°<A <180°，∴A ＝60°.(2)由余弦定理得，b 2＋c 2－a 22bc ＝12，化简并整理得(b ＋c )2－a 2＝3bc ，将a ＝3，b ＋c ＝3代入上式，得bc ＝2.联立b ＋c ＝3与bc ＝2，解得b ＝1，c ＝2或b ＝2，c ＝1. 21[解析] (1)由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ， ∴49＝9＋AC 2＋3AC ，解之得AC ＝5(AC ＝－8舍去)．(2)△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×3×5×sin120°＝1534.22[解析] (1)在△ABC 中，由正弦定理可得a b ＝sin A sin B ，c b ＝sin Csin B ，又∵cos C cos B ＝3a －c b ，∴cos C cos B ＝3sin A －sinCsin B ，即sin B cos C ＝3sin A cos B －sin C cos B ，∴sin(B ＋C )＝3sin A cos B ，又B ＋C ＝π－A ，∴sin(B ＋C )＝sin A ，∴sin A ＝3sin A cos B ，∵sin A ≠0，∴cos B ＝13，又0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝223.(2)在△ABC 中，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 将b ＝42，cos B ＝13代入得，a 2＋c 2－23ac ＝32，又a ＝c ，故43a 2＝32，故a 2＝24，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(42)22×42×26＝33，∴△ABC 的高h ＝c ·sin A ＝4，∴△ABC 的面积为S ＝12·b ·h ＝8 2.。
高考文科解三角形大题(40道)汇编
高考文科解三角形大题(40道)1. 在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知bac B C A -=-2cos cos 2cos . （1）求ACsin sin 的值； （2）若2,41cos ==b B ，求ABC ∆的面积S .2.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知2sin 1cos sin C C C -=+. （1）求C sin 的值；（2）若8)(422-+=+b a b a ，求边c 的值.3.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,. （1）若A A cos 2)6sin(=+π，求A 的值；（2）若c b A 3,31cos ==，求C sin 的值.4.ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，53cos ,135sin ,33=∠==ADC B BD ，求AD .5.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知41cos ,2,1===C b a . （1）求ABC ∆的周长； （2）求)cos(C A -的值.6.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.已知)(sin sin sin R p B p C A ∈=+，且241b ac =. （1）当1,45==b p 时，求c a ,的值； （2）若角B 为锐角，求p 的取值范围.7.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=. （1）求A 的值；（2）求C B sin sin +的最大值.8.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知412cos -=C . （1）求C sin 的值；（2）当C A a sin sin 2,2==时，求c b ,的长.ABC ∆b c C a =+21cos 9.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足3,5522cos =⋅=AC AB A . （1）求ABC ∆的面积；（2）若6=+c b ，求a 的值.10.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，22)4cos()4cos(=-++ππC C . （1）求角C 的大小；（2）若32=c ，B A sin 2sin =，求b a ,.11.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且. （1）求角A 的大小；（2）若1=a ，求ABC ∆的周长l 的取值范围.12.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足0cos cos )2(=--C a A c b . （1）求角A 的大小；（2）若3=a ，433=∆ABC S ，试判断的形状，并说明理由.13.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且.3)(2222ab c b a =-+（1）求2sin2BA +； （2）若2=c ，求ABC ∆面积的最大值.14.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足2222cos 2cos 4c b a B ac B a -+=-. （1）求角B 的大小；（2）设)1,3(),2cos ,2(sin -=-=n C A m ，求n m ⋅的取值范围.15.已知)0)(cos ,(cos ),cos ,(sin >==ωωωωωx x n x x m ，若函数21)(-⋅=n m x f 的最小正周期为π4.（1）求函数)(x f y =取最值时x 的取值集合；（2）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足C b B c a cos cos )2(=-，求)(A f 的取值范围.16.如图，ABC ∆中，2,332sin ==∠AB ABC ，点D 在线段AC 上，且334,2==BD DC AD . (1)求BC 的长； (2)求DBC ∆的面积.ABDC17.已知向量552),sin ,(cos ),sin ,(cos =-==b a b a ββαα. （1）求)cos(βα-的值； （2）若02,20<<-<<βππα，135sin -=β，求αsin .18.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知12cos sin 2sin 2sin 2=+⋅+C C C C ，且5=+b a ，7=c .（1）求角C 的大小； （2）求ABC ∆的面积.19.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足21)cos sin 3(cos =-⋅A A A . （1）求角A 的大小；（2）若32,22==∆ABC S a ，求c b ,的长.20.已知函数)(,cos 21sin 23)(R x x x x f ∈+=ππ，当]1,1[-∈x 时，其图象与x 轴交于N M ,两点，最高点为P .（1）求PN PM ,夹角的余弦值；（2）将函数)(x f 的图象向右平移1个单位，再将所得图像上每点的横坐标扩大为原来的2倍，而得到函数)(x g y =的图象，试画出函数)(x g y =在]38,32[上的图象.3,53sin ,3===b A B π21.已知函数a x x x a x f -+=cos sin 2sin 2)(2（a 为常数）在83π=x 处取得最大值. （1）求a 的值；（2）求)(x f 在],0[π上的增区间.22.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且bc a c b =-+222. （1）求角A 的大小；（2）若函数2cos 2cos 2sin )(2x x x x f +=，当212)(+=B f 时，若3=a ，求b 的值.23.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知. （1）求C sin 的值； （2）求ABC ∆的面积.24.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且B c a C b cos )3(cos -=. （1）求B sin 的值；（2）若2=b ，且c a =，求ABC ∆的面积.25.已知函数212cos 2cos 2sin3)(2++=x x x x f .(1)求)(x f 的单调区间；（2）在锐角三角形ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足A c C a b cos cos )2(⋅=-，求)(A f 的取值范围.26.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，a A b B A a 2cos sin sin 2=+.（1）求ab ； （2）若2223a b c +=，求角B .27.港口A 北偏东︒30方向的C 处有一检查站，港口正东方向的B 处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B 处沿正西方向航行20海里后到达D 处观测站，已知观测站与检查站距离为21海里，问此时轮船离港口A 还有多远？28.某巡逻艇在A 处发现在北偏东︒45距A 处8海里的B 处有一走私船，正沿东偏南︒15的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以312海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇航行方向.29.在海岛A 上有一座海拔1km 的山峰，山顶设有一个观察站P.有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11:00时，测得此船在岛北偏东︒15、俯角为︒30的B 处，到11:10时，又测得该船在岛北偏西︒45、俯角为︒60的C 处.（1）求船航行速度；（2）求船从B 到C 行驶过程中与观察站P 的最短距离. 30.31.如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东︒45的方向做匀速直线航行，速度为215海里/小时，在甲船从A 到出发的同时，乙船从A 岛正南40海里处的B 岛出发，朝北偏东θ（21tan =θ）的方向做匀速直线航行，速度为m 海里/小时. （1）（2）求4小时后甲船到B 岛的距离为多少海里； （3）（4）若两船能相遇，求m.。
解三角形(文科)解答题30题--高考数学复习提分复习资料 教师版
专题2解三角形（文科）解答题30题1．（广西邕衡金卷2023届高三第二次适应性考试数学（文）试题）记ABC 的面积为S ，其内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1c =，)2214a b S +-=．(1)求C ；(2)求ABC 面积的最大值．2．（内蒙古自治区赤峰市2022届高三模拟考试数学（文科）4月20日试题）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)求tan B 的值；(2)设3a =，1c =，求b 和△ABC 的面积．3．（山西省运城市2022届高三5月考前适应性测试数学（文）试题（A 卷））在ABC中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos sin cos sin )a C A A c A =-.(1)求A ；(2)a =，ABC 的外接圆圆心为点P ，求PBC 的周长.4．（贵州省贵阳市白云区2023届高三上学期阶段性质量监测数学（文）试题）在ABC中，内角、、A B C 的对边分别为a 、b 、c ，在条件：①sin cos a C A ；()sin 0B C A ++=；③222sin sin sin sin sin B C B C A +-=，从上述三个条件中任选一个作为题目的补充条件，你的选择是______，并解答下面问题：(1)求角A 的大小；(2)若b c a +=ABC 的面积.5．（江西省宜春市丰城中学2022届高三高考模拟数学（文）试题）在ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，sin sin 2B Cb a B +⋅=，(1)求角A ；(2)若2AB AC ⋅=，求a 的最小值.6．（山西省太原市2022届高三下学期三模文科数学试题）已知锐角ABC中，()()sin sinA B A B+=-=.(1)求tan tanAB；(2)若7AB=，求ABC的面积S.7．（陕西省西安市莲湖区2022届高三下学期高考模拟考试文科数学试题）在①()cos 2cos A B C =+，②sin cos a C A =这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，______．(1)求角A ；(2)若2b =，4c =，求ABC 的BC 边上的中线AD 的长．8．（陕西省西安地区八校2022届高三下学期5月联考文科数学试题）如图，在平面四边形ABCD 中，E 为AD 2AB =，3BC AE ==，5CD DE ==.(1)若2BE =，求()tan ABE BEA ∠+∠的值；(2)若120BCD ∠=︒，求BE 的长.（2）连接BD .在BCD △中，3BC =，CD 2235235cos1203430BD =+-⨯⨯⨯︒=-由余弦定理，得22232cos 23BE AEB BE +-∠=⨯⨯余弦定理，得22257cos BE BED +-==∠9．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b bc -=.(1)求证：2A B =；(2)若3cos 4B =，点D 为边AB 上的一点，CD 平分ACB ∠，1CD =，求边长b .中，由正弦定理可得：在ACD10．（2022·贵州贵阳·贵阳一中校考模拟预测）在①10ac =，②a =③()sin sin 6sin b A C B +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值及三角形ABC 的面积；若问题中的三角形不存在，请说明理由.问题：是否存在,ABC 它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos2,3,sin Bb bc C==___________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.11．（广东省潮州市2022届高三下学期二模数学试题）已知在ABC 中，A ，B ，C 为三个内角，a ，b ，c 为三边，2cos c b B =，2π3C =．(1)求角B 的大小；(2)在下列两个条件中选择一个作为已知，求出BC 边上的中线的长度．①ABC 的面积为4；②ABC 的周长为4+的三个12．（贵州省铜仁市2023届高三上学期期末质量监测数学（文）试题）设ABC的面积为S．且有关系式：内角A，B，C所对的边长为a，b，c，ABC2+=+．cos2cos22cos2sin sinA B C A B(1)求C；(2)求2cS的最小值．13．（广西四市2022届高三4月教学质量检测数学（文）试题）设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos 2sin c b A b A -=．(1)证明：()sin 2sin sin A B B A -=；(2)若3A B =，求B 的值．14．（广西南宁市第十九中学2023届高三数学（文）信息卷（三）试题）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ､b ､c ，已知2222cos cos b c a ac C c A +-=+.(1)求角A 的大小；(2)若5a =，2c =，求ABC 的面积.15．（江西省南昌市2022届高三第二次模拟测试数学（文）试题）如图，锐角OAB 中，OA OB =，延长BA 到C ，使得3AC =，4AOC π∠=，sin 3OAC =∠.(1)求OC ；(2)求sin BOC ∠.16．（江西省重点中学盟校2022届高三第二次联考数学（文）试题）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，从条件①：sin sin 2B C b a B +=，条件②：1cos 2b a Cc =+，条件③：tan (2)tan b A c b B =-这三个条件中选择一个作为已知条件．(1)求角A ；(2)若3AB AC ⋅=，求a 的最小值．17．（江西省景德镇市2023届高三上学期第二次质检数学（文）试题）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin tan cos 2cos C B C A =-且角A 为锐角.(1)求角B ；(2)若ABC b 的最小值.18．（宁夏银川一中2022届高三二模数学（文）试题）ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC 的面积tan S B =⋅.(1)求B ；(2)若a 、b 、c 成等差数列，ABC ∆的面积为32，求2b .19．（宁夏平罗中学2022届高三下学期第三次模拟数学（文）试题）已知函数()f x m n =⋅，向量()sin cos n x x x =+ ，()cos sin ,2sin m x x x =-，在锐角ABC 中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(1)若()1f A =，求角A 的大小；(2)在（1）的条件下，a =c b +的最大值.20．（内蒙古包头市2022届高三第一次模拟考试文科数学试题（A 卷））如图所示，经过村庄B 有两条夹角为60︒的公路BA 和BC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂F ，分别在两条公路边上建两个仓库D 和E （异于村庄B ），设计要求3FD FE DE ===（单位：千米）.(1)若30BDE ∠=︒，求BF 的值（保留根号）；(2)若设BDE θ∠=，当θ为何值时，工厂产生的噪音对村庄B 的居民影响最小（即工厂F 与村庄B 的距离最远），并求其最远距离.（精确到0.1 1.732≈）21．（内蒙古赤峰市2022届高三下学期5月模拟考试数学（文科）试题）ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且()()()sin sin sin b c C B c a A +-=-(1)求B ；(2)若2a =，b =ABC 的面积．22．（山西省晋中市2022届高三下学期5月模拟数学（文）试题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .在①23coscos cos 24A C A C --=；②()22sin sin sin 3sin sin A C B A C +=+；③2cos 2b C c a +=这三个条件中任选一个作为已知条件.(1)求角B 的大小；(2)若a c +=ABC 周长的最小值.23．（陕西省宝鸡中学2022届高三下学期高考模拟文科数学试题）已知())cos ,cos ,,cos a x x b x x ==-，()f x a b =⋅ ，(1)求()f x 的单调递增区间；(2)设ABC 的内角,,A B C所对的边分别为,,a b c ，若()12f A =，且a 22b c +的取值范围.24．（广西桂林市第十八中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段性考试数学（文）试题）已知ABC 的三个内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若角A B C ，，成等差数列，且2b =，（1）求ABC 的外接圆直径；（2）求a c +的取值范围.25．（甘肃省天水市田家炳中学2022-2023学年高三下学期开学考试数学（文科）试题）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．已知()()sin sin a B C b c B +=+，D 为边BC 的中点．(1)证明：2A B =；(2)若π3A =，AD ABC 的周长l ．26．（河南省平顶山市汝州市2022届高三3月联考文科数学试题）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积S AB AC →→=⋅.(2)延长AC 至点D ，使得CD ＝AC ，且BD ＝2BC ，若c ＝6，求△ABC 的周长.27．（甘肃省酒泉市2022届高三5月联考文科数学试题）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos cos 26A C b C ππ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(2)若a b =，P 为ABC 内一点，2PA =，4PC =，则从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①BP CP ⊥；②PB =；③150∠= BPA ．28．（青海省海东市第一中学2022届高考模拟（一）数学（文）试题）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，221cos 2a b bc ac B -+=．(1)求角A ；(2)若sin b A B =，求ABC 面积的最大值．29．（河南省2022-2023年度高三模拟考试数学（文科）试题）已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且(sin sin )sin sin a A C c C b B -+=.(1)求角B ；(2)若5b =，求ABC 周长的最大值.30．（河南省郑州市2023届高三第一次质量预测文科数学试题）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos sin b c a B B +=+．(1)求角A 的大小；(2)若D 是BC 边上一点，且2CD DB =，若2AD =，求△ABC 面积的最大值．因为2CD DB=，23 AD AB=由222133AD AB AC⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以。
文科数学解三角形专题(高考题)练习【附答案】
解三角形专题练习1、在b 、c ，向量(2sin ,m B =，2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且//m n 。
（I ）求锐角B 的大小；（II ）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值。
2、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值；（II ）若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值.3、在ABC ∆中，cos 5A =，cos 10B =. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）设AB =，求ABC ∆的面积.4、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =，(sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++=满足（I ）求A 的大小；（II ）求)sin(6π+B 的值.5、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当13,4==c a ，求△ABC 的面积。
6、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知11tan ,tan 23A B ==，且最长边的边长为l.求：（I ）角C 的大小； （II ）△ABC 最短边的长.7、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且c o s c o s B C ba c=-+2. （I ）求角B 的大小；（II ）若b a c =+=134，，求△ABC 的面积.8、（2009全国卷Ⅱ文）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，23cos )cos(=+-B C A ,ac b =2，求B.9、（2009天津卷文）在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5=== （Ⅰ）求AB 的值。
2024年高考数学复习大题全题型专练：专题07 解三角形(解析版)
专题7解三角形一、解答题1．（2022·全国·高考真题（理））记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A ．(1)证明：2222a b c ；(2)若255,cos 31a A ，求ABC 的周长．【答案】(1)见解析(2)14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc ，从而可求得b c ，即可得解.(1)证明：因为 sin sin sin sin C A B B C A ，所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C ，所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab，即22222222222a c b a b c b c a ，所以2222a b c ；(2)解：因为255,cos 31a A，由（1）得2250b c ，由余弦定理可得2222cos a b c bc A ，则50502531bc ，所以312bc，故 2222503181b c b c bc ，所以9b c ，所以ABC 的周长为14a b c .2．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos 2A B A B．(1)若23C ，求B ；(2)求222a b c 的最小值．【答案】(1)π6；(2)5．【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos 2A B A B 化成 cos sin A B B ，再结合π02B ，即可求出；（2）由（1）知，π2C B ，π22A B ，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c 化成2224cos 5cos B B ，然后利用基本不等式即可解出．(1)因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B B A B B B ，即 1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC ，而π02B ，所以π6B ；(2)由（1）知，sin cos 0BC ，所以πππ,022C B ，而πsin cos sin 2B C C，所以π2C B ，即有π22A B ．所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B B c C B2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B B B BB ．当且仅当22cos 2B 时取等号，所以222a b c的最小值为5．3．（2022·浙江·高考真题）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c．已知34,cos 5a C ．(1)求sin A 的值；(2)若11b ，求ABC 的面积．【答案】(2)22．【解析】【分析】（1）先由平方关系求出sin C ，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab以及4a 可解出a ，即可由三角形面积公式in 12s S ab C 求出面积．(1)由于3cos 5C ，0πC ，则4sin 5C．因为4a ，由正弦定理知4sin A C，则sin 45A C ．(2)因为4a ，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a a abc C ab a a ，即26550a a ，解得5a ，而4sin 5C ，11b ，所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ．4．（2022·北京·高考真题）在ABC 中，sin 2C C．(1)求C ；(2)若6b ，且ABC 的面积为ABC 的周长．【答案】(1)6 (2)6+【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长.(1)解：因为 0,C ，则sin 0C2sin cos C C C ，可得cos 2C ，因此，6C .(2)解：由三角形的面积公式可得13sin 22ABC S ab C a，解得a .由余弦定理可得2222cos 48362612c a b ab C ，c所以，ABC 的周长为6a b c .5．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知12313S S S B．(1)求ABC 的面积；(2)若sin sin A C，求b ．【答案】(2)12【解析】【分析】（1）先表示出123,,S S S ，再由123S S S2222a c b ，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b ac B A C，即可求解.(1)由题意得22221231,,2S a S S，则222123S S S a b c 即2222a c b ，由余弦定理得222cos 2a c b B ac ，整理得cos 1ac B ，则cos 0B ，又1sin 3B ，则22cos 3B ，1cos 4ac B ，则12sin 28ABC S ac B ；(2)由正弦定理得：sin sin sin b a c B A C，则229sin sin sin sin sin 423b a c ac B A C A C ，则3sin 2b B ，31sin 22b B .6．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知 sin sin sin sin C A B B C A ．(1)若2A B ，求C ；(2)证明：2222a b c 【答案】(1)5π8；(2)证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意可得， sin sin C C A ，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得 sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A ，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．(1)由2A B ， sin sin sin sin C A B B C A 可得， sin sin sin sin C B B C A ，而π02B ，所以 sin 0,1B ，即有 sin sin 0C C A ，而0π,0πC C A ，显然C C A ，所以，πC C A ，而2A B ，πA B C ，所以5π8C．(2)由 sin sin sin sin C A B B C A 可得，sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A ，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C ，然后根据余弦定理可知，22222222222211112222a cb bc a b c a a b c ，化简得：2222a b c ，故原等式成立．7．（2022·上海·高考真题）如图，矩形ABCD 区域内，D 处有一棵古树，为保护古树，以D 为圆心，DA 为半径划定圆D 作为保护区域，已知30AB m ，15AD m ，点E 为AB 上的动点，点F 为CD 上的动点，满足EF 与圆D 相切.(1)若∠ADE 20 ，求EF 的长；(2)当点E 在AB 的什么位置时，梯形FEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？（长度精确到0.1m ，面积精确到0.01m²）【答案】(1)23.3m(2)当8.7AE 时，梯形FEBC 的面积有最大值,最大值为255.14【解析】【分析】（1）设EF 与圆D 相切于对点H ，连接DH ，则DH EF ，15DH AD ，在直角HED △和直角FHD △中分别求出,EH HF ,从而得出答案.（2）先求出梯形AEFD 的面积的最小值，从而得出梯形FEBC 的面积的最大值.(1)设EF 与圆D 相切于对点H ，连接DH ，则DH EF ，15DH AD 则AE EH ，所以直角ADE 与直角HED △全等所以20ADE HDE在直角HED △中，tan 2015tan 20EH DH90250HDF ADE在直角FHD △中，tan 5015tan 50HF ADsin 20sin 5015tan 20tan 5015cos 20cos50EF EH HFsin 2050sin 20cos50cos 20sin 501515cos 20cos50cos 20cos50sin 70151523.3cos 20cos50cos50(2)设ADE ,902HDF ，则15tan AE ，15tan 902FH 115151515tan 15tan 90215tan 222tan 2EFD S EF DHV 11515tan 22ADE S AD AE V 所以梯形AEFD 的面积为215152251tan 30tan 2tan 2tan 222tan ADE DEF S S S22512253tan 4tan 42当且当13tan tan ，即tan 时取得等号，此时15tan 158.73AE即当tan 3 时，梯形AEFD 的面积取得最小值2则此时梯形FEBC 的面积有最大值1530255.142所以当8.7AE 时，梯形FEBC 的面积有最大值,最大值为255.148．（2022·全国·模拟预测）在 ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S ，且 sin sin sin 6b a b c A B C S .(1)求角B 的大小；(2)若1a b ，2c b ，求cos A ，cos C 的值.【答案】(1)3(2)17，1114【解析】【分析】（1）由三角形的面积公式结合正弦余弦定理化简即可得到答案;（2）由余弦定理计算即可.(1)由in 12s S ab C ，又 sin sin sin 3sin b a b c A B C ab C ，由0b ，则 sin sin sin 3sin a b c A B C a C .由正弦定理得 3a b c a b c ac ，所以222a c b ac .由余弦定理得2221cos 222a cb ac B ac ac ，因为0B ，所以3B .(2)因为222a c b ac ，1a b ，2c b ，所以 2221212b b b b b ，解得7b ，所以8a ，5c .所以2222227581cos 2707b c a A bc ，22222287511cos 211214a b c C ab .9．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，角A B C ，，的对边长分别为a b c ，，，ABC 的面积为S ，且24cos cos tan S a B ab A B．(1)求角B 的大小；(2)若322AB BC ，，点D 在边AC 上，______，求BD 的长．请在①AD DC ；②DBC DBA ；③BD AC 这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)π3B (2)答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）根据面积公式可得2cos cos cos c B a B b A ，利用正弦定理以及和角关系可得1cos 2B ，进而可求.（2）根据余弦定理可求出AC ，然后在ABD △和在DBC △中分别用余弦定理即可求①.根据面积公式即可求解②③.(1)因为24cos cos tan S a B ab A B ，所以214sin 2cos cos sin cos ac B a B ab A B B，所以22cos cos cos ac B a B ab A ，即2cos cos cos c B a B b A ．由正弦定理，得2sin cos sin cos sin cos C B A B B A ，所以 2sin cos sin sin C B A B C ．因为 0,πC ，所以sin 0C ，所以1cos 2B．又 0,πB ，所以π3B．(2)若选①．法一：在ABC 中，由余弦定理，得2222233π132cos 222cos 2234AC AB BC AB BC B ，所以ACAD DC 在ABD △中，由余弦定理，得2222cos AB BD DA BD DA ADB ，即2134cos 16BD BD ADB ．在DBC △中，由余弦定理，得2222cos BC BD DC BD DC CDB ，即2913cos 416BD CDB ．又πADB CDB ，所以cos cos 0ADB CDB ．所以29134248BD ，所以374BD ．法二：因为AD DC ，所以D 为AC 的中点，所以 12BD BA BC ，所以222124BD BA BC BA BC 19337422cos6044216．所以BD BD 若选②．在ABC 中，ABC ABD CBD S S S ，即1π1π1πsin sin sin 232626BA BC BA BD BD BC ，即1311131222222222BD BD ，解得BD 若选③．在ABC 中，由余弦定理，得2222cos AC AB BC AB BC B2233π13222cos 2234 ，所以AC ．因为1sin 2ABC S BA BC B △12ABC S BD AC △，BD 10．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos 2cos tan sin C A B C ，a b ．(1)求角B ；(2)若3a ，7b ，D 为AC 边的中点，求BCD △的面积．【答案】(1)23B (2)1538【解析】【分析】（1）根据同角三角函数的关系，结合两角和差的正余弦公式化简即可（2）由余弦定理可得5c ，再根据BCD △的面积为ABC 面积的一半，结合三角形的面积公式求解即可(1)由cos 2cos tan sin C A B C，有tan sin cos 2cos B C C A ，两边同乘cos B 得sin sin cos cos 2cos cos B C B C A B ，故 cos 2cos cos B C A B ，即cos 2cos cos A A B ．因为a b ，所以A 为锐角，cos 0A ，所以1cos 2B ．又因为 0,B ，所以23B ．(2)在ABC 中，由余弦定理2221cos 22a c b B ac ，即2949162c c ，故23400c c ，解得5c 或8c 舍）．故11235sin 223BCD ABC S S △△11．（2022·福建·三明一中模拟预测）已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22cos c b a C ．(1)求角A ；(2)若M 为BC 的中点，AM ABC 面积的最大值．【答案】(1)π3A 【解析】【分析】（1）解法一：根据正弦定理边化角求解即可；解法二：利用余弦定理将cos C 用边表示再化简即可；（2）解法一：根据基底向量的方法得1()2AM AB AC ，两边平方化简后可得2212b c bc ，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可；解法二：设BM MC m ，再分别在ABM ，ACM △和ABC 中用余弦定理，结合cos cos 0AMB AMC 可得2212b c bc ，再结合基本不等式与面积公式求面积最大值即可(1)解法一：因为22cos c b a C ，由正弦定理得：sin 2sin 2sin cos C B A C ，所以sin 2sin()2sin cos C A C A C 2sin cos 2cos sin 2sin cos 2cos sin A C A C A C A C ，因为sin 0C ，所以12cos 1,cos 2A A，为0πA ，所以π3A ．解法二：因为22cos c b a C ，由余弦定理得：222222a b c c b a ab，整理得222bc b c a ，即222a b c bc ，又由余弦定理得2222cos a b c bc A所以12cos 1,cos 2A A，因为0πA ，所以π3A ．(2)解法一：因为M 为BC 的中点，所以1()2AM AB AC ，所以222124AM AB AB AC AC ，即22132cos 43c b bc ，即2212b c bc ，而222b c bc ，所以122bc bc 即4bc ，当且仅当2b c 时等号成立所以ABC 的面积为113sin 4222ABC S bc A △即ABC 解法二：设BM MC m ，在ABM 中，由余弦定理得2232cos c m AMB ，①在ACM △中，由余弦定理得2232cos b m AMC ，②因为πAMB AMC ，所以cos cos 0AMB AMC 所以①+②式得22262b c m ．③在ABC 中，由余弦定理得22242cos m b c bc A ，而π3A ，所以2224m b c bc ，④联立③④得：22222212b c b c bc ，即2212b c bc ，而222b c bc ，所以122bc bc ，即4bc ，当且仅当2b c 时等号成立．所以ABC 的面积为11sin 4222ABC S bc A △ABC 12．（2022·北京市第十二中学三模）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos sin a B A .(1)求角B 的大小；(2)从以下4个条件中选择2个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求ABC 的面积.条件①：3a ；条件②：b ；条件③：2cos 3C ；条件④：2c .【答案】(1)6B(2)答案不唯一，见解析【解析】【分析】（1）由正弦定理化简可得出tan B 的值，结合角B 的取值范围可求得角B 的值；（2）选①②，利用余弦定理可判断ABC 不唯一；选①③或②③或③④，利用三角形的内角和定理可判断ABC 唯一，利用正弦定理结合三角形的面积可判断ABC 的面积；选①④，直接判断ABC 唯一，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积；选②④，利用余弦定理可判断ABC 唯一，再利用三角形的面积公式可求得ABC 的面积.(1)解：由cos sin a B A 及正弦定理可得sin cos sin A B A B ，A ∵、 0,B ，则sin 0A ，cos 0 B B ，tanB 6B .(2)解：若选①②，由余弦定理可得2222cos b a c ac B ，即210c ，解得 c ，此时，ABC 不唯一；若选①③，已知3a ，6B，21cos 32C ，且 0,C ，则25,36C ，所以，5,6B C，则ABC 唯一，sin C， sin sin sin cos cos sin 66A C B C C由正弦定理sin sin b a B A 可得 92sin sin 11a B b A，所以， 9211sin 32211ABC S ab C △；若选①④，已知3a ，6B，2c ，此时ABC 唯一，1322sin ABC S ac B；若选②③，已知b 6B ，21cos 32C，且 0,C ，则25,36C ，所以，5,6B C，则ABC 唯一，sin C， sin sin sin cos cos sin 66A CBC C 由正弦定理sin sin b c B C 可得sin 410sin 3b C c B ，所以，120385sin 29ABC S bc A △；若选②④，已知b 6B，2c ，由余弦定理可得2222cos b a c ac B ，可得240a ，0a ∵，解得a ABC 唯一，1sin2ABC S ac B △若选③④，已知6B ，2c ，231cos 322C，且 0,C ，则25,36C ，所以，5,6B C，则ABC 唯一，5sin 3C， 152sin sin sin cos cos sin 666A CBC C ，由正弦定理sin sin b c B C 可得sin sin 5c B b C ，1sin 210ABC S bc A △.13．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且sin cos (cos )sin .232B BC C (1)当π3B，求sin sin C A 的值(2)求B 的最大值.【答案】(1)sin C +sin A =1(2)2π3【解析】【分析】（1）代入π3B ，解得313sin cos 223C C ，对sin sin C A 变形得到1sin sin sin cos 12C A C C ，求出答案；（2）对题干条件两边同乘以2cos2B ，变形得到sin sin sin C A B ，利用正弦定理得到a c ，利用余弦定理和基本不等式求出B 的最大值.(1)由题意得：ππsin coscos )sin 66C C ，1cos 2C C则π31sin sin sin sin sin cos sin cos 1322C A C C C C C C(2)sin cos cos )sin 22B B C C ，两边同乘以2cos 2B 得：22sin cos cos )2sin cos 222B B B C C ，即 sin 1cos cos )sin C B C B ，整理得：sin sin sin C A B ，由正弦定理得：3a cb ，由余弦定理得： 2222222cos 1226ac b ac a c b b B ac ac ac，因为 22143a c acb ，当且仅当ac 时等号成立，此时21cos 162b B ac ，由于 0,πB ，而cos y x 在 0,π上单调递减，故B 的最大值为2π314．（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222ab a b c ．(1)求角C ；(2)若△ABC 的面积534S ，且c △ABC 的周长．【答案】(1)π3(2)6【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得cos C 的值，进而求得角C 的值；（2）依据题给条件得到关于a b ，的方程组，求得+a b 的值，进而求得△ABC 的周长．(1)因为222ab a b c ，由余弦定理，得到2221cos 22a b c C ab ，又0πC ，所以π3C ；(2)因为△ABC 的面积4S ，且c π3C所以有221sin 212S ab C ab a b ，联立22526ab a b ，则6a b ，所以△ABC 的周长为6a b c 15．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan tan tan 0B C B C ．(1)求角A 的大小；(2)若2B D D C ，2AD ，且AD 平分BAC ，求ABC 的面积．【答案】(1)60A (2)332【解析】【分析】（1）由两角和的正切公式化简后求解（2）由AD 是角平分线得到2c b ，再利用面积公式求解(1)tan tantan tan tan tan 0tan()1tan tan B C B C B C B C B C故tan A 60A ；(2)设BC 边的高为h ，所以11sin 22ABD S AB AD BAD BD h ，11sin 22ABC S AC AD DAC CD h 又AD 是角平分线，所以BAD DAC所以AB BD AC DC，即2c b ，又ABC ABD ACD S S S ，则111sin 602sin 302sin 30222bc c b ，解得b c ，133sin 6022ABC S bc △．16．（2022·全国·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，3a ，2b ，sin A m ．(1)若ABC 唯一确定，求m 的值；(2)设I 是ABC 的内切圆圆心，r 是ABC 内切圆半径，证明：当21c r 时，IC IA IB ．【答案】(1)1(2)证明见解析【解析】【分析】（1）若01m ，根据sin A m ，b a ，可知A 可以为锐角，也可以为钝角，ABC 有两种情况，若1m ，则三角形为直角三角形，ABC 有唯一解.（2）由21c r 可推导出ABC 为直角三角形，故可计算出,,IC IA IB 的值，即得证.(1)设AB 边上的高为c h ，则sin 20c h b A m ．当1m 时，由勾股定理，若A 为锐角，则c A 为钝角，则c ABC 存在两种情况，不能被唯一确定．当1m 时，ABC 为直角三角形，其中A 为直角顶点，c 可以唯一确定，即ABC 唯一确定，故m 的值为1．(2)当21c r 时，由余弦定理，22223cos 23a b c r r C ab ，故由同角三角函数的关系可得sin C所以ABC 的面积1sin 2S ab C另一方面， 132S a b c r r r3r r ，两边平方可得 213r r r r ，解得r ，21c r ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形．因此有222112922IC，IC22211322IA 2IA ；22211322IB ，IB 所以有IC IA IB 成立．17．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知在三角形ABC 中，2a b ，三角形的面积12S ．(1)若4b ，求 tan A B ；(2)若3sin 5C ，求sin sin A B ，．【答案】(1)(2)25sin 5A ，sin B 或6205sin 205A ，sin B 【解析】【分析】（1）根据面积公式及4b ，得到3sin 4C ，分C 为锐角和C 为钝角时，求出cos C ，进而求出tan C ，求出 tan A B ；（2）由面积公式求出b a ，分C 为锐角和C 为钝角，由余弦定理和正弦定理求出答案.(1)∵2113sin 2sin 16sin 12sin 224S ab C b C C C 而sin tan()tan(π)tan cos CA B C C C分情况讨论，当C 为锐角时，cos 0cos C C∴tan()A B当C 为钝角时，cos 0cos C Ctan()A B (2)22113sin 2sin 12225S ab C b C b ,因为0b ，所以b a分情况讨论，当C 为锐角时，4cos 0cos 5C C由余弦定理，222cos 366c a b ab C c由正弦定理，10sin sin sin sin sin sin 5a b c A A B C A B ，sin 5B当C 为钝角时，4cos 0cos 5C C ，由余弦定理，222cos 164c a b ab C c由正弦定理，sin sin sin sin a b c A A B C，sin B 18．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c，已知cos sin B b C ．(1)求C 的大小；(2)若ABC为锐角三角形且c 22a b 的取值范围．【答案】(1)3C(2)(5,6]【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，再分析求解即可；（2）22224sin 4sin 3a b A A，再利用三角函数求值域即可.(1)cos sin B b C及正弦定理可得sin sin sin )B C B C A B Ccos sin B C B C ，所以sin sin cos B C B C ，因为B 、(0,)C ，则sin 0Bsin 0C C，则tan C 3C．(2)依题意，ABC为锐角三角形且c2sin sin sin a b c A B C ，所以2sin a A ，2sin 2sin()2sin 3b B A C A，所以222221cos 21cos 234sin 4sin 44322A A a b A A142cos 2222cos 222c 2cos 2222os 23A A A A A2c 42co os 242sin 246s 2cos 2sin 2A A A A A A，由于23A B ，所以022032A A，解得62A ，所以23A ，52666A ，所以푠� 2�∈12,1，所以2sin 2(1,2]6A ，所以2sin 24(5,6]6A．所以22a b 的取值范围是(5,6]．19．（2022·辽宁实验中学模拟预测）在① sin sin sin sin A C a b c B C ，② 2222cos 2a b c a c B a，③ sin cos 6a B C B b这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且__________．(1)求B(2)若b ABC 的平分线交AC 于点D ，且5BD，求ABC 的面积．【答案】(1)=3B【解析】【分析】（1）若选条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；若选条件②，先用余弦定理将边转化为角的关系，再利用正弦定理即可；若选条件③，先用三角形的内角之和为 ，再利用正弦定理即可；（2）利用角平分线的性质得到ABC ABD BCD S S S △△△，结合余弦定理和三角形的面积公式即可(1)选择条件①：根据正弦定理，可得：a c abc b c 可得：222a c b ac 根据余弦定理，可得：2221cos 22a cb B ac 0,,=3B B 选择条件②：根据余弦定理，可得：2cos (2)cos =cos 2abC a c B b C a根据正弦定理，可得：(2sin sin )cos sin cos A C B B C整理可得：2sin cos sin()sin A B B C A可得：1cos 2B 0,,=3B B选择条件③：易知：A B C可得：sin cos()6a A B b根据正弦定理，可得：sin sin cos(sin 6A A B B可得：1sin cos()sin 62B B B B整理可得：tan B 0,,=3B B(2)根据题意，可得：ABC ABD BCDS S S △△△可得：1143143sin sin sin 23256256ac a 整理可得：54a c ac 根据余弦定理，可得：2222cosb ac ac ABC可得：2213=a c ac ，即2()313a c ac 可得：225()482080ac ac 解得：4ac 或5225ac （舍）故1=sin 23ABC S ac △20．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且5sin sin 35cos cos cos 2B C B C A ．(1)求角A 的大小；(2)若a 2bc 的最大值．【答案】(1)3A (2)【解析】【分析】（1）利用两角和的余弦公式、二倍角的余弦公式可得出关于cos A 的方程，结合1cos 1A 可求得cos A 的值，再结合角A 的取值范围可求得角A 的值；（2）由正弦定理结合三角恒等变换化简得出 2b c B ，结合正弦型函数的有界性可求得2b c 的最大值.(1)解：由已知可得 cos 25cos cos sin sin cos 25cos A B C B C A B C 2cos 25cos 2cos 5cos 13A A A A ，即22cos 5cos 20A A ，0A ∵，则1cos 1A ，解得1cos 2A ，因此，3A .(2)解：由正弦定理可得2sin sin sin b c aBC A，所以， 24sin 2sin 4sin 2sin 4sin 2sin 3b c B C B B A B B 4sin sin 5sin B B B B B B，其中 为锐角，且tan，因为3A ，则203B ，23B ，所以，当2B 时，即当2B 时，2b c 取得最大值。
高考数学-解三角形-专题复习100题(含答案详解)
2018年高考数学解三角形专题复习100题1.如图在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，，BC=2BD.（1）求的值；（2）求sinC的值.2.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知 .求sinA和c的值.3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2,b=2．（1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD AC,求△ABD的面积．4.在中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，．（1）若，求c的值；（2）若，求的面积．5.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．（1）求c；（2）设为边上一点，且，求的面积．6.在△ABC中，=60°，c= a.（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若a=7，求△ABC的面积.7.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A= a.(1)求；2228.△ABC的内角A,B,C的对边分别为、、，且.（1）若，求的值；（2）若，求的值.9.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，其中，且，延长线段到点，使得.（Ⅰ）求证：是直角；（Ⅱ）求的值.10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角A的值；(2)若的面积为，△ABC的周长为，求边长a.11.为绘制海底地貌图，测量海底两点C,D间的距离，海底探测仪沿水平方向在A,B两点进行测量，A,B,C,D在同一个铅垂平面内. 海底探测仪测得同时测得海里。
（1）求AD的长度;（2）求C，D之间的距离.12.在中，角A,B,C对边分别为a,b,c，角，且.（1）证明：；（2）若面积为1，求边c的长.（Ⅰ）求B0的值；（Ⅱ）当B=B0,a=1,c=3,D为AC的中点时，求BD的长．14.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．15.在中，角，，的对边分别是，，，已知，．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ) 若角为锐角，求的值及的面积．16.在△ABC中，已知.（1）求的长；（2）求的值.17.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，向量与平行.(I)求A；(II)若,求△ABC的面积.18.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知的面积为．（1）求；（2）若，，求的周长．19.在△ABC中，角的对边分别为，且满足.（1）求角的值；20.在△ABC中，角的对边分别为a，b，c, ，c=，又△ABC的面积为，求：(1)角的大小；(2)的值．21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2﹣sinB•sinC=．（1）求A；（2）若a=4，求△ABC面积的最大值．22.在△ABC中，已知角A,B,C的对边分别是a,b,c,且.（I）求角C的大小；（II）如果，，求实数m的取值范围.23.已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=•﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，内角A．B、C的对边分别为a，b，c，tanB=，对任意满足条件的A，求fA．的取值范围．24.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为，且．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求C．25.在△ABC中，a、b、c分别为内角A．B、C的对边，且2sinAcosC=2sinB﹣sinC．（1）求∠A的大小；（2）在锐角△ABC中，a=，求c+b的取值范围．26.在ABC中，（I）求的大小（II）求的最大值27.设函数，其中向量，，.（Ⅰ）求的最小正周期与单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A．B、C的对边，已知fA．=2，b=1，△ABC的面积为，求的值.28.△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2csinC．（Ⅰ）求C的大小；（Ⅱ）若，求△ABC周长的最大值．29.已知A ．B 、C 是△ABC 的三内角，向量m=(－1，3)，n=(cosA ，sinA)，且m ·n=1.(1)求角A ；(2)若3)4tan(-=+B π，求tanC.30.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且C=，a=6．（Ⅰ）若c=14，求sinA 的值；（Ⅱ）若△ABC 的面积为3，求c 的值．31.在△ABC 中，a,b,c 分别为内角A,B,C 的对边，且（Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）求的最大值.32.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cosC （acosB+bcosA ）=c ．（Ⅰ）求C ； （Ⅱ）若c=，△ABC 的面积为，求△ABC 的周长．33.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且。
高考文科解三角形大题汇编
高考文科解三角形大题1. 在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知ba c B C A -=-2cos cos 2cos . （1）求AC sin sin 的值； （2）若2,41cos ==b B ，求ABC ∆的面积S .2.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知2sin1cos sin C C C -=+. （1）求C sin 的值；（2）若8)(422-+=+b a b a ，求边c 的值.3.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.（1）若A A cos 2)6sin(=+π，求A 的值；（2）若c b A 3,31cos ==，求C sin 的值.4.ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，53cos ,135sin ,33=∠==ADC B BD ，求AD .5.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知41cos ,2,1===C b a . （1）求ABC ∆的周长；（2）求)cos(C A -的值.6在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,.且C b c B c b A a sin )2(sin )2(sin 2+++=.（1）求A 的值；（2）求C B sin sin +的最大值.7在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知412cos -=C . （1）求C sin 的值；（2）当C A a sin sin 2,2==时，求c b ,的长.8在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足3,5522cos=⋅=AC AB A . （1）求ABC ∆的面积；（2）若6=+c b ，求a 的值.9在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，22)4cos()4cos(=-++ππC C . （1）求角C 的大小；（2）若32=c ，B A sin 2sin =，求b a ,.b c C a =+21cos10在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且. （1）求角A 的大小；（2）若1=a ，求ABC ∆的周长l 的取值范围.11在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且.3)(2222ab c b a =-+ （1）求2sin 2B A +； （2）若2=c ，求ABC ∆面积的最大值.12在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知12cos sin 2sin 2sin 2=+⋅+C C C C ，且5=+b a ，7=c .（1）求角C 的大小；（2）求ABC ∆的面积.13在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足21)cos sin 3(cos =-⋅A A A . （1）求角A 的大小；（2）若32,22==∆ABC S a ，求c b ,的长.14在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且B c a C b cos )3(cos -=.（1）求B sin 的值；（2）若2=b ，且c a =，求ABC ∆的面积.15在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，a A b B A a 2cos sin sin 2=+. （1）（2）求a b ； （3）（4）若2223a b c +=，求角B .。
高二文科数学解三角形试题及答案
解三角形复习题（一）一、基础巩固1、在ABC △中，已知4,6a b ==，60B =，则sin A 的值为 ( ) A、3 B、2 C、3、22、一个三角形的三边之比为6:7:9，那么这三角形是( ) A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、三内角之比为6:7:93、在△ABC 中，60o A =，5b =，ABC S ∆=a =___________ 4、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 （ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°二、典型例题例1、（2005北京文）在△ABC 中，b=3，∠A=45°，∠C=75°，求∠B 和边a,c 。
3sin sin sin sin ()120a b b ca c A B B CB A B π︒∴=⇒==⇒==-+=解：由变式训练一：在△ABC 中,已知3=a ,b =2,B =45°,求A 、C 及c .例2、在△ABC中，2,1,a b c ===，求角A,B,C2sin ,(1)(2)5,.ABC A B C a b c a b A a c b ===变式训练二：设锐角的内角、、的对边分别为、、且 求B 的大小； 若求四、课后练习1、在ABC △中，sin :sin :sin 4:3:2A B C =，那么cos C 的值为（ ）A 、14 B 、14- C 、78 D 、11162．已知ABC ∆的面积为23，且2=b ，c =A 为( )（A ）︒30 （B ）︒60 （C ）︒30或︒150 （D ）︒60或︒120 3、在ABC ∆中，若B A B A cos cos sin sin ⋅=⋅，则这个三角形为( ) （A ）直角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）等腰三角形 4、已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( )A ．9B ．18C ．93D ．1835、若ABC △的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos cos a A b B =，则（ ）A ．ABC △为等腰三角形B ．ABC △为直角三角形C ．ABC △为等腰直角三角形D ．ABC △为等腰三角形或直角三角形 6、△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且S △＝，则角C ＝ 。
高考文科解三角形大题
高考文科解三角形大题1. 在ABC 中，内角A, B,C 的对边分别为a, b, c ，已知c os A 2 cosC 2ccos B ba.（1）求s insin CA的值；1（2）若cos B ,b 2 ，求ABC 的面积S .42.在ABC 中，角A, B,C 的对边分别是a, b, c ，已知sin （1）求sin C 的值；CC cos C 1 sin .22 b2 a b（2）若a4( ) 8，求边c的值.3.在ABC 中，角A, B,C 的对边分别是a, b, c .（1）若sin( A ) 2 cos A，求A的值；61（2）若cos A , b 3c ，求sin C 的值.3- 1 -4.ABC 中，D 为边BC 上的一点，5 3BD 33, sin B , cos ADC ，求AD .13 55.在ABC 中，角A, B,C 的对边分别是a, b, c ，已知（1）求ABC 的周长；1 a 1,b 2,cos C.4（2）求cos( A C) 的值.6 在ABC 中，角A, B,C 的对边分别是a, b, c .且2a sin A (2b c) sin B (2c b) sin C .（1）求A的值；（2）求sin B sin C 的最大值.- 2 -7 在ABC 中，角A, B,C 的对边分别是a, b, c ，已知（1）求sin C 的值；1 cos 2C .4（2）当a 2,2 sin A sin C 时，求b, c的长.A 2 58 在ABC 中，角A, B,C 的对边分别是a, b, c ，且满足cos , AB AC 32 5. （1）求ABC 的面积；（2）若b c 6，求a的值.9 在ABC 中，角A, B,C 的对边分别是a, b, c ，2 cos(C ) cos(C ) .4 4 2（1）求角C的大小；（2）若c 2 3 ，sin A 2 s in B ，求a,b .10 在ABC 中，角A, B,C 的对边分别是a, b, c，且. a cos C 12c b（1）求角A的大小；（2）若a 1，求ABC 的周长l 的取值范围.2 b2 c2 ab 11 在ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a,b, c ，且2(a )3 .（1）求sin 2 A B 2；（2）若c 2 ，求ABC 面积的最大值.12 在ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a, b,c ，已知sin 2 sin 2 sin cos 2 1 2 C C C C ，且a b 5，c 7 .（1）求角C 的大小；（2）求ABC 的面积.13 在ABC 中，角A, B,C 的对边分别是a,b,c，且满足（1）求角A的大小；1 cos A ( 3 sin A cos A) .2（2）若a 2 2,S ABC 2 3，求b,c的长.14 在ABC 中，角A, B,C 的对边分别是a,b,c，且b cosC (3a c) cos B. （1）求sin B 的值；（2）若b 2 ，且a c ，求ABC 的面积.215 在ABC 中，角A, B,C 的对边分别是a,b,c，a sin A s in B b cos A 2a .b（1）求；a（2）若 2 b 3a2 2c ，求角B .。
文科高考数学解三角形填空压轴
文科高考数学解三角形填空专题一．填空题（共40小题）1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，＝，则b+2c的最大值等于．2．在△ABC中，A，B，C所对的三边分别为a，b，c，且c2＝a2+b2+ab，则的取值范围是．3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝4，A＝30°．若b＝4，则△ABC的面积为；若△ABC有两解，则b的取值范围是．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝3，sin B＝sin2A．①的值为；②若a＞c，则b的取值范围是．6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值是．7．在△ABC中，a、b、c所对的角为A、B、C，满足条件：cos A•（b﹣2c）＝a•（2cos C﹣sin B），c＝2b且|+2|＝6，则边长a的值为．8．若一个锐角三角形的三个内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m，则实数m的取值范围是9．锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝1，则△ABC面积的取值范围为．10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，3sin B＝2sin A，2≤ac+c2≤32，设△ABC的面积为S，，则t的最小值为．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a cos B﹣b cos A＝，则的最小值为12．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．D为AB上一点且．则4b+a的最小值为．13．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b sin C+c sin B＝4a sin B sin C，则tan A tan B tan C的最小值为．14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3a2＝c2﹣b2，则tan A tan B的取值范围是．15．△ABC满足a sin A＝b sin B，a2+2b2+3c2＝4，则△ABC面积的最大值为．16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若C＝，a＝6，1≤b≤4，则sin A的取值范围为．17．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，tan A＝，则的取值范围是．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且c＝2，则△ABC的周长取值范围为．19．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，则△ABC周长的最大值为．20．在△ABC中，∠B＝60°，，若c﹣2a≤m恒成立，则m的最小值为．21．已知△ABC的三边分别为a，b，c所对的角分别为A，B，C，且三边满足＝1，已知△ABC的外接圆的面积为3π，设f（x）＝cos2x+4（a+c）sin x+1．则a+c的取值范围为，函数f（x）的最大值的取值范围为．22．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若c cos B+b cos C＝2a cos A，＝+，且AM＝1，则b+2c的最大值是23．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若c cos B+b cos C＝2a cos A，M为BC 的中点，且AM＝1，则b+c的最大值是．24．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝1，且（bc﹣2）cos A+ac cos B ＝1﹣b2，则△ABC面积的最大值为．25．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为，则当得最大值时，角A的值为．26．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3a cos A＝b cos C+c cos B，b+c＝3，则a的最小值为．27．△ABC的内角A，B，C的对边分别为ab，c，且a2＝b2+c2﹣bc，△AbC的面积为S，a＝3，则S+6cos B cos C的最大值为28．若△ABC的三边长a，b，c满足b+2c≤3a，c+2a≤3b，则的取值范围为．29．在△ABC中，已知c＝2，若sin2A+sin2B﹣sin A sin B＝sin2C，则a+b的取值范围．30．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若sin B sin A﹣sin A cos B＝0，且cos2B+2sin A sin C＝1，则＝31．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若2sin A、sin C、2sin B成等比数列且角C为锐角，则的取值范围为．32．在△ABC中，∠ABC＝150°，D是线段AC上的点，∠DBC＝30°，若△ABC的面积为，当BD取到最大值时，AC＝．33．在△ABC中，AC＝2，，△ABC的面积为，点P在△ABC内，且，则△PBC的面积的最大值为．34．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满sin C+sin B＝4sin A．若a＝2，则当cos A取得最小值时，△ABC的外接圆的半径为．35．在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，且a＝1，A＝，若当b、c变化时，g（b，c）＝b+λc存在最大值，则正数λ的取值范围是．36．在锐角△ABC中，∠A＝2∠B，∠B，∠C的对边长分别是b，c，则的取值范围是．37．已知△ABC的三边长a，b，c成等差数列，且a2+b2+c2＝63，则实数b的取值范围是．38．如图，在△ABC中，，点D在线段AC上，且AD＝2DC，，则△ABC的面积的最大值为．39．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，若3a2＝2b2+c2，则的最大值为．40．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，点D满足，且线段AD＝3，则2a+c的最大值为．。
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文科《解三角形》高考常考题型专题训练1．已知在ABC ∆的三个内角分别为A 、B 、C ，2sin sin B A A =，1cos 3B =.（1）求A 的大小； （2）若2AC =，求AB 长.1．【解析】（1）由题得sin 3B =， 所以22sin 3cos A A =，所以()221cos 3cos A A -=， 解得1cos 2A =，(0,)A π∈，∴3A π=.（2）sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+11323=+⋅=由正弦定理sin sin AB AC C B =得sin 1sin AC AB C B =⋅=+. 2．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3a c +=，cos 2cos C a cB b-=． （1）求b 的最小值；（2）若a b <，2b =，求cos 6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 2．【解析】（1）在ABC 中，满足cos 2cos C a cB b-=，即()cos 2cos b C a c B =-， 由正弦定理可得()sin cos 2sin sin cos B C A C B =-，整理得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B +=，即()sin 2sin cos B C A B +=， 因为()()sin sin sin B C A A π+=-=， 又因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以1cos 2B =， 因为0B π<<，所以3B π=．又由()2222293939324a c b a c ac a c ac ac +⎛⎫=+-=+-=-≥-=⎪⎝⎭．当且仅当32a c ==时，等号成立，故b 的最小值为32．（2）由（1）可得2sin b R B ==sin sin sin a b c A B C ===，所以a A =，c C =， 因为3a c +=，可得2sin sin 333A A π⎡⎤⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 整理可得3sin 64A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭．又a b <，3B π=，所以3A π<，故662A πππ<+<，所以cos 6A π⎛⎫+== ⎪⎝⎭． 3．在ABC ∆中，角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且)()2cos cos b A C π--=.(Ⅰ)求A 的值； (Ⅱ)若角,6B BC π=边上的中线AM =ABC ∆的面积.3．【解析】 (Ⅰ))()2cos cos b A C π--=，∴由正弦定理得：)()2sin cos cos C B A C -⋅-=，即()2sin cos B A A C B =+=，又∵()0,B π∈，∴sin 0B ≠，∴cos A =又()0,A π∈,所以，6A π=.(Ⅱ)由66，B A ππ==，知a b =，在ACM ∆中，由余弦定理得2227214cos 32b b b π+-==-，解得2b =，∴1222ABC S ∆=⨯⨯=4．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin sin cos cos cos A B CA B C+=+ （1）若ABC 还同时满足下列四个条件中的三个：①7a =，②10b =，③8c =，④ABC 的面积S = （2）若3a =，求ABC 周长L 的取值范围． 4．【解析】因为sin sin sin cos cos cos A B CA B C+=+所以sin cos sin cos cos sin cos sin A B A C A B A C +=+ 即sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B C A C A -=- 所以()()sin sin A B C A -=- 因为A ，B ，()0,C π∈，所以A B C A -=-，即2A B C =+，所以3A π=（1）ABC 还同时满足条件①③④ 理由如下：若ABC 同时满足条件①②则由正弦定理得sin sin 1b B a A ==>，这不可能 所以ABC 不能同时满足条件①②， 所以ABC 同时满足条件③④所以ABC 的面积11822sin 2A b S bc ==⨯⨯=⨯所以5b =与②矛盾所以ABC 还同时满足条件①③④（2）在ABC 中，由正弦定理得：sin sin sin b c aB C A===因为23C B π=-，所以b B =，23c B π⎛⎫=-⎪⎝⎭所以2s sin 3in 3a b B L c B π⎤⎛⎫=++=+-+⎪⎥⎝⎭⎦co 132s 62B B ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭6sin 36B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ 所以ABC 周长L 的取值范围为(]6,9.5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别等于a ，b ，c ，列举如下五个条件:①sin sin2B Ca Bb +=；sin A A +=cos A +cos2A =0；④a =4；⑤△ABC 的面积等于（1）请在五个条件中选择一个(只需选择一个)能够确定角A 大小的条件来求角A ；（2）在（1）的结论的基础上，再在所给条件中选择一个(只需选择一个)，求△ABC 周长的取值范围 5．【解析】（1）选择①sin sin2B C a B b +=作为依据，由正弦定理得πsin sin sin sin 22A A B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由sin 0B ≠，得sin cos 2A A=，所以π2sin cos cos 022222A A A A ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，因为sin 02A ≠所以1πsin 02222A A ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，所以π26A =，即π3A =. 选择②或③均可确定π3A =，并且难度更低；④与⑤都涉及边长，不能唯一确定角A .（2）选择添加条件⑤ABC 的面积等于则1sin 2△=⋅==ABC S bc A 16bc =.由余弦定理和基本不等式：ABC 周长()=++=+L a b c b c12=， 当且仅当4b c ==时取等号， 所以ABC 的周长L 的最小值等于12.π3A =，16bc =，可以让16+0b c b →∞=→，，此时周长+L →∞.ABC 的周长L 的取值范围是[12+)∞，.若选择添加“④4a =”作为条件，用余弦定理和基本不等式，22222221162cos ()3()3=()24≥+⎛⎫==+-⋅=+-+-⋅+ ⎪⎝⎭b c a b c bc A b c bc b c b c ，则8b c +≤，4b c ==时取等号. 又4b c a +>=，则812a b c <++≤.所以ABC 的周长L 的取值范围是(812]，.（与选择⑤结果不同） 6．如图，在ABC 中，sin sin ABC DBC ∠=∠，且D 为AC 上靠近A 的三等分点.（1）求BDAB的值； （2）若3BC =，9AC =，ACB ∠的角平分线CE 交BD 于E ，求cos DCB ∠及CED 的面积. 6．【解析】（1）∵D 为AC 上靠近A 的三等分点，∴32ABC BCD S S =△△. ∵1sin 2ABC S AB BC ABC =⋅⋅∠△，1sin 2BCD S BD BC DBC =⋅⋅∠△， ∴131sin sin 222AB BC ABC BD BC DBC ⋅⋅∠=⋅⋅⋅∠， 又∵sin sin ABC DBC ∠=∠，∴23BD AB =. （2）设2BD x =，则3AB x =，∵在ABC 中，22222819910cos 22936AC BC AB x x ACB AC BC +-+--∠===⋅⨯⨯； 在BCD 中，222223694454cos 226336DC BC BD x x DCB DC BC +-+--∠===⋅⨯⨯， ∴2210454636x x --=，∴2152x =，∴5cos 12DCB ∠=. ∵ACB ∠的角平分线为CE ，∴E 到DC ，BC 的距离相等，则12BCE DCE S BC S DC ==△△， ∴23DCE BCD S S =△△， ∴21153119sin 3612212BCDS BC DC DCB ⎛⎫=⋅⋅∠=⨯⨯-= ⎪⎝⎭△， ∴231191193CED S ==△. 7．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量2sin2cos 22,⎛⎫=- ⎪⎝⎭A A m ，3cos cos 22,⎛⎫= ⎪⎭A A n ，m n ⊥．（1）求角A ；（2）若a =ABC 周长的最大值．7．【解析】（1）因为m n ⊥，所以0m n ⋅=．所以2π23sincos 2cos cos 12sin 102226A A A A A m n A ⎛⎫=⋅-=--=-= ⎝⋅-⎪⎭． 所以π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为0πA <<，所以ππ5π666A -<-<， 所以ππ66A -=，所以π3A =．（2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即()()()22222233324b c b c b c bc b c bc b c ++⎛⎫=+-=+-≥+-⨯=⎪⎝⎭，当且仅当b c =时，等号成立.所以()212b c +≤，即b c +≤，a b c ++≤所以△ABC 的周长的最大值为此时b c ==8．已知ABC 的内角A ，B ，C 满足()()()sin sin sin sin sin sin sin A B A B C B C +-=-，ABC 的面积为（1）求sin 2A ；（2）sin sin B C +=ABC 的周长. 8．【解析】（1）设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∵()()()sin sin sin sin sin sin sin A B A B C B C +-=- 可得()()()a b a b c b c +-=-， 化简可得，222b c bc a +-=，由余弦定理可得，2221cos 22b c a A bc +-==，∵0A π<<，∴3A π=，∴sin 2A =（2）因为sin sin B C +=所以1327b c R a +==.由1sin 2bc A =，∴40bc =，. 因为222b c bc a +-=，∴()223b c bc a +-=，∴22131207a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴7a =，所以ABC 的周长为71320+=.9．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22cos cos B C -=2sin sin A A B .（1）求角C ；（2）若6A π∠=，ABC 的面积为M 为AB 的中点，求CM 的长.9．【解析】（1）由正弦定理，222sin sin sin sin C B A A B -=可化为22222222c b a a b R R R R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，整理得到222c b a -=，即222c a b =+.又由余弦定理，得222cos 2a b c C ab +-==. 因为0C π<< ，所以6C π=.（2）因为6A C π==，所以ABC 为等腰三角形，且顶角23B π=.故221sin 24△===ABC S a B ，所以4a =. 在MBC △中，由余弦定理，得2222cos CM MB BC MB BC B =+-⨯21416224282CM =++⨯⨯⨯=，解得CM =. 10．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且222(2)()2cos b c b a c abc C --+=.（1）求角A 的大小.（2）若3B π=，D 为ABC 外一点，2BD =，1CD =，四边形ABDC 2+，求a .10．【解析】（1）因为()()22222cos b c b a cabc C --+=，所以()()2222cos 2b c b c a a C bc-+-=，由余弦定理可得()2cos cos b c A a C -=，由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos B A C A A C -=， 因为A B C π++=，所以()2sin cos sin cos cos sin sin sin B A C A C A C A B =+=+=， 因为sin 0B ≠，所以1cos 2A = 因为()0,A π∈，所以3A π=.（2）如图，结合题意绘出图像：在BCD 中，2BD =，1CD =，由余弦定理得：22212212cos 54cos BC D D =+-⨯⨯=-， 因为3A B π==，所以3C π=，ABC 为等边三角形，所以2153sin 3234ABC S BC D △π=⨯⨯=， 因为1sin sin 2BDC S =BD DC D D ∆⨯⨯⨯=， 所以5353sin 32sin 4453324ABDC S D D D 四边形π⎛⎫=+=+-= ⎪⎭+⎝， 所以sin()13D π-=，因为(0,)D π∈，所以56D π=， 故2554cos 54cos 36BC D π=-=-=523BC =+ 即523a =+11．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22cos a c b C -=．（1）求sin B 的值； （2）若3b =，求c a +的取值范围．11．【解析】（1）在ABC 中，因为22cos a c b C -=，可得2sin sin 2sin cos A C B C -=，则()2sin sin 2sin cos B C C B C +-=，整理得sin 2cos sin C B C =， 因为(0,)C π∈，则sin 0C >，所以1cos 2B =， 又因为0B π<<，所以3sin 2B =． （2）由（1）知3sin B =，由正弦定理知2sin b B =，所以2sin a A =，2sin c C = 所以22sin 2sin 2sin 2sin 3cos 3sin 23sin 36c a C A A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+=-+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又由1cos 2B =，因为0B π<<，所以3B π=，则23AC π+=，所以203A π<<，可得5666A πππ<+<，所以1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，可得323sin 236A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以c a +的范围为3,23．12．【福建省2020届高三数学（文）考前冲刺适应性模拟卷（二）试题】已知函数()sin 2cos (0)f x m x x m =+>的最大值为2。