文科《解三角形》高考常考题型专题训练
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文科《解三角形》高考常考题型专题训练
1．已知在ABC ∆的三个内角分别为A 、B 、C ，2sin sin B A A =
，1
cos 3
B =.
（1）求A 的大小； （2）若2AC =，求AB 长.
1．【解析】（1）由题得sin 3
B =
， 所以22sin 3cos A A =，所以(
)
2
21cos 3cos A A -=， 解得1cos 2
A =
，(0,)A π∈，∴3
A π
=
.
（2）sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+11323=
+⋅=
由正弦定理
sin sin AB AC C B =得sin 1sin AC AB C B =⋅=+. 2．已知ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3a c +=，
cos 2cos C a c
B b
-=． （1）求b 的最小值；
（2）若a b <，2b =，求cos 6A π⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
的值． 2．【解析】（1）在ABC 中，满足
cos 2cos C a c
B b
-=，即()cos 2cos b C a c B =-， 由正弦定理可得()sin cos 2sin sin cos B C A C B =-，
整理得sin cos cos sin 2sin cos B C B C A B +=，即()sin 2sin cos B C A B +=， 因为()()sin sin sin B C A A π+=-=， 又因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以1
cos 2
B =， 因为0B π<<，所以3
B π
=
．
又由()2
2
22293939324a c b a c ac a c ac ac +⎛⎫=+-=+-=-≥-=
⎪⎝⎭
．
当且仅当32
a c ==
时，等号成立，故b 的最小值为3
2．
（2）由（1
）可得2sin b R B =
=
sin sin sin a b c A B C ===
，
所以a A =
，c C =， 因为3a c +=
，可得
2sin sin 333A A π⎡⎤
⎛⎫+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
， 整理可得3sin 64A π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭．
又a b <，3
B π
=
，所以3
A π
<
，故
6
6
2
A π
π
π
<+
<
，
所以cos 6A π⎛⎫+== ⎪⎝⎭． 3．在ABC ∆中，角、、A B C 的对边分别为a b c 、、
，且
)
(
)2cos cos b A C π--=.
(Ⅰ)求A 的值； (Ⅱ)若角,6
B B
C π
=
边上的中线AM =ABC ∆的面积.
3．【解析】 (Ⅰ
)
)
(
)2cos cos b A C π--=，∴
由正弦定理得：
)
(
)2sin cos cos C B A C -⋅-=
，即(
)2sin cos B A A C B =+=，
又∵()0,B π∈，∴sin 0B ≠，
∴cos A =
又()0,A π∈,所以，6A π=.
(Ⅱ)由66
，B A ππ==，知a b =，在ACM ∆中，由余弦定理得2
2
2
7
214cos 32b b b π+-==-，解得2b =，
∴1
222ABC S ∆=⨯⨯=4．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
sin sin sin cos cos cos A B C
A B C
+=+ （1）若ABC 还同时满足下列四个条件中的三个：①7a =，②10b =，③8c =，④ABC 的面
积S = （2）若3a =，求ABC 周长L 的取值范围． 4．【解析】因为
sin sin sin cos cos cos A B C
A B C
+=+
所以sin cos sin cos cos sin cos sin A B A C A B A C +=+ 即sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B C A C A -=- 所以()()sin sin A B C A -=- 因为A ，B ，()0,C π∈，
所以A B C A -=-，即2A B C =+，所以3
A π
=
（1）ABC 还同时满足条件①③④ 理由如下：
若ABC 同时满足条件①②
则由正弦定理得sin sin 1b B a A =
=>，这不可能 所以ABC 不能同时满足条件①②， 所以ABC 同时满足条件③④
所以ABC 的面积11822sin 2
A b S bc ==⨯⨯=⨯所以5b =与②矛盾
所以ABC 还同时满足条件①③④
（2）在ABC 中，由正弦定理得：
sin sin sin b c a
B C A
===
因为23C B π=-，所以b B =，23c B π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
所以2s sin 3in 3a b B L c B π⎤
⎛⎫=++=+-+
⎪⎥⎝⎭⎦
co 1
32s 62B B ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭
6sin 36B π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭
因为20,
3
B π⎛⎫
∈ ⎪
⎝
⎭，所以5,666B πππ⎛⎫
+∈ ⎪
⎝⎭
，1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ 所以ABC 周长L 的取值范围为(]6,9.