向量长度计算公式及中点公式讲解学习
点到直线向量距离公式
点到直线向量距离公式
点到线的距离公式向量：│AXo＋BYo＋C│/√（A²＋B²）。
公式中的直线方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0，y0)。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
理解点到直线距离公式的推导过程，并且会使用公式求出定点到定直线的距离；通过对点到直线距离公式的推导，提高学生对数形结合的认识，加深用“计算”来处理“图形”的意识；把两条平行直线的距离关系转化为点到直线距离。
向量点到直线的距离公式是：
设直线L的方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为（x0，y0），则点P到直线L的距离为：
同理可知，当P（x0，y0），直线L的解析式为y=kx+b时，则点P到直线L的距离为：
考虑点(x0，y0，z0)与空间直线x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n，有d=|(x1-x0，y1-y0，z1-z0)×(l，m，n)|/√(l²+m²+n²)。
证明方法
把平面的直线方程Ax+By+C=0，看成是一个xyz空间的方程，它是一个无z方程，也就是个直线柱面（即平面）的方程。
然后求点(x0，y0，0)到这个平面的距离（因为它就=(xy面中点(x0，y0)到Ax+By+C=0的距离，因为这相当于点到空中那个平面在xy的投影线的距离）。
而根据空间中点(x0，y0，z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式：d=|Ax0+By0+Cz0+D|/[√(A^2+B^2+C^2)]。
向量的长度和中点公式
向量的中点公式的应用
总结词
向量中点公式在几何、物理和工程等领域有广泛应用。
详细描述
向量中点公式在几何、物理和工程等领域有广泛的应用 。在几何学中，向量中点公式可以用于计算线段的中点 坐标，进而用于计算其他几何量，如线段的长度、角度 等。在物理学中，向量中点公式可以用于计算质点的速 度和加速度等物理量。在工程学中，向量中点公式可以 用于计算结构的中点位置，进而用于分析结构的稳定性 和受力情况。
向量的中点公式在解析几何中的应用
1 2
两点间距离公式
向量的中点公式可以用来计算两点间的距离，即 中点公式可以用来求取两点间的距离。
三角形面积公式
利用向量的中点公式可以推导出三角形的面积公 式，即通过三个顶点的坐标来计算三角形的面积。
3
多边形面积公式
利用向量的中点公式可以推导出多边形的面积公 式，即通过多边形的顶点坐标来计算多边形的面 积。
向量的模与向量的夹角
两个非零向量的夹角θ的正弦值等于这两个向量的数量积除 以这两个向量模的乘积，即sinθ = (a · b) / (|a| × |b|)。
向量长度在几何中的应用
距离公式
在二维平面或三维空间中，两点A(x1, y1)和B(x2, y2)之间 的距离公式为d = |AB| = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]。
02
向量的中点公式
02
向量的中点公式
向量的中点公式定义
总结词
向量中点公式是用于计算向量中点的坐标的公式。
详细描述
给定向量$overrightarrow{AB}$的两个端点A和B的坐标，中点M的坐标可以通过向 量中点公式计算得出，即$M(x,y) = (frac{x_1 + x_2}{2}, frac{y_1 + y_2}{2})$，其 中$(x_1, y_1)$是点A的坐标，$(x_2, y_2)$是点B的坐标。
空间向量中点到直线的距离公式
在空间向量中，我们经常需要计算一个点到一条直线的距离。
这个问题在数学和物理学中经常会遇到，因为它涉及到了空间中点和直线的关系，而空间向量的概念为我们提供了一种简单而有效的处理方法。
在本文中，我将探讨空间向量中点到直线的距离公式，并共享一些个人观点和理解。
让我们回顾一下空间向量的基本概念。
在三维空间中，我们可以用一个坐标系来描述点和直线的位置关系。
点可以表示为一个三维向量，而直线则可以表示为一个参数方程或者一般方程。
在这两种表示方法中，我们都可以利用向量的运算来计算点到直线的距离。
现在让我们来具体讨论空间向量中点到直线的距离公式。
假设直线上有一点P0(x0, y0, z0)，直线的方向向量为a=(a1, a2, a3)，另外空间中的一点P(x, y, z)。
我们的目标是计算点P到直线的距离。
根据向量的知识，我们可以得出点P到直线的距离公式为：d = |(P-P0) × a| / |a|这个公式其实是基于向量的投影运算得出的。
首先我们计算点P到直线上的点P0的向量PP0，然后计算PP0在直线方向向量a上的投影，最后求出投影向量的模。
这样就可以得到点P到直线的距离d。
在实际的应用中，这个距离公式非常有用。
不论是在物理学、工程学还是数学中，我们经常需要计算点到直线的距离，而这个公式提供了一个简单而有效的方法。
从个人角度来看，我认为空间向量中点到直线的距离公式是一种非常优雅的数学表达。
它通过向量的几何性质和运算方法，将一个看似复杂的问题简化为一组简单的计算步骤。
这个公式也蕴含着向量、几何和代数等多个数学概念，展现了数学的统一性和美感。
空间向量中点到直线的距离公式是一个非常有价值的工具，它为我们提供了一个简单而有效的方法来处理空间中点和直线的关系。
它也展现了数学的美感和统一性。
在今后的学习和工作中，我们可以更加灵活和深入地运用这个公式，来解决各种实际问题。
空间向量中点到直线的距离公式是一个非常有用的工具，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
几何线段的中点与向量运算
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向量表示：向量中点等于两个端点 向量的平均值
实例：利用向量运算求出三角形 ABC的重心坐标
中点定理的向量证明方法
定义：中点定理是指在一个线段上，中点处的向量等于两个端点处向量的 平均值。
证明方法：通过向量加法和减法，以及向量模长的性质，可以证明中点定 理的向量形式。
三角形中线定理：中线长度 等于基底的一半
梯形中位线定理：中位线长 度等于上下底之和的一半
中点四边形：任意四边形的 中点四边形是平行四边形
中点定理及其证明
定义：线段的中点是线段上的一点，它平分该线段的两个端点之间的距离。
定理：对于任意线段AB，存在一点M，使得AM=MB。
证明：取AB的中点M，连接AM和BM，由于AM+MB=AB，且AB为定长， 所以AM和MB的和为定值。 应用：中点定理在几何学中有着广泛的应用，例如在三角形中，任意一边 的中点与该边所对的顶点的连线平分该边所对的另一边。
03 向量运算基础
向量的定义与表示
Байду номын сангаас
向量是具有大小 和方向的量，表 示为有箭头的线 段
向量的模表示其 大小，计算公式 为：|a| = √(x^2 + y^2)
向量的表示方法 有多种，如坐标 表示法、有序实 数对表示法等
单位向量是指模 为1的向量，表示 为：i=(1,0)， j=(0,1)
向量的加法与数乘
即 |(a,b,c)|=(|a×b|·|c| )sinθ，其中θ是c与
a×b之间的夹角。
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向量的向量积与向量 的混合积在几何中的 应用：向量的向量积 可以用于描述旋转和 方向，而向量的混合 积可以用于描述体积
定比分点的向量公式及应用
定比分点的向量公式及应用向量是在数学中广泛应用的一种重要概念。
在向量中，可以定义加法、减法和数量乘法等运算，这些运算规则以及向量的模、方向等性质，使得向量在数学、物理和工程等领域的应用中具有重要的意义。
在计算机科学和计算机图形学中，向量被广泛用于表示三维空间中的点、方向和位移等概念。
这些向量通常表示为[x,y,z]，其中x、y和z分别表示在三个坐标轴上的分量。
定比分点的向量公式可以用于计算两个点之间的中点、分点以及线段的长度。
假设有两个点A和B，它们的坐标分别为A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，我们可以使用如下的公式来计算两个点之间的中点：M=(A+B)/2其中M是点A和点B之间的中点，"+"表示向量的加法运算，"/"表示向量与标量的除法运算。
通过这个公式，我们可以计算出两个点之间的中点的坐标。
在计算两个点之间的分点时，可以使用类似的方法。
假设有一个分点P，它位于点A和点B之间的t比例处，我们可以使用如下的公式来计算分点的坐标：P=A+t*(B-A)其中t是一个介于0和1之间的比例值。
当t等于0时，分点P的坐标就是点A的坐标；当t等于1时，分点P的坐标就是点B的坐标。
通过改变t的值，我们可以在点A和点B之间找到任意位置的分点。
除了计算中点和分点之外，向量的长度也是一个重要的概念。
在三维空间中，向量的长度可以通过计算其模来获得。
一个向量的模定义为其各个分量的平方和的平方根。
对于一个三维向量V=[x,y,z]，其模的计算公式如下：V， = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)通过计算向量的模，我们可以获得向量的长度信息。
定比分点的向量公式在计算机图形学中有许多应用。
例如，在三维建模中，我们经常需要计算物体的表面上的点的位置和属性。
通过定比分点的向量公式，我们可以在物体的两个顶点之间找到任意位置的点，从而进行物体的细分或者其他形变操作。
此外，向量的线性插值也是一个重要的应用。
中点向量公式
中点向量公式张量积（Tensorproduct）又称为维格索尔积（Vigesimalproduct），是一种拉格朗日式积（DeRham product），在计算机科学、数学和理论物理学中都有应用。
它是一种对多维数据进行操作的技术，能够计算出向量的内积（inner product）和外积（outer product），是一种多维数据的常用操作。
其中，中点向量公式便是一种重要的广义中点向量公式。
中点向量公式由矩阵运算引出，它是一种高维向量在空间上表达和计算的方法。
它是将高维空间中的向量表达为低维空间中的向量之间的关系，从而简化高维空间中复杂的向量运算。
简而言之，中点向量公式即是将高维向量表达为低维空间中的向量之间的关系，从而简化高维空间中复杂的向量运算，同时提高计算的效率。
中点向量公式的形式是：Vm=Cm*V1+Cm*V2 + +Cm*Vn其中，Vm是低维空间中的一个向量，Cm是中点向量公式系数，V1、V2…Vn则是高维空间中的一组向量。
在实际计算中，Cm可以被认为是由高维空间中的一组向量构成的矩阵的特征值，该特征值可以通过矩阵分解（Matrix decomposition）的方法求得，即通过把高维空间中的一组向量分解成若干组分解成低维空间中的一组向量，从而求得Cm的值。
由于中点向量公式可以将复杂的高维数据剖解成低维数据，因而在大数据分析、机器学习、人工智能等多个领域有着广泛的应用。
例如，在大数据分析中，中点向量公式可以用于将大规模数据中的信息表示成更加简洁的形式，以便于这些信息可以更加容易地分析和理解。
同样，在机器学习和人工智能领域，中点向量公式也有着重要的作用，可以用于优化神经网络中的层结构，使之能够更加有效地进行学习和分类。
此外，中点向量公式在物理学的数学模型方面也有着重要的应用，例如，它可以用来解决量子力学中的偏微分方程。
总之，中点向量公式是一种非常重要的数学工具，能够有效地帮助我们在多维数据分析、机器学习、人工智能和物理学模型方面实现各种复杂的数学任务，为各个领域的发展提供了非常重要的技术支持。
8.3.3向量的长度公式和中点公式
线段AB中点的坐标为
x
x1x2 2
，
y
y1 y2 2
所以
| a | | b | 42 (3)2 (6)2 82 5 10 15
| a b | (2)2 52 29
练习：已知 a (2,3) ，b (3，4) ，
求：| a b | ，| 2a b |
例8：已知两点A(－3，9)，B(2，4)，求A，B之间的距离。 解：因为
y
所以平面上AB两点间的距离公式为
| AB|= (x2 x1)2 ( y2 y1)2
记⊿x=x2－x1，⊿y=y2－y1，则有
| AB|= x2 y2
A
j Oi
B ⊿y
⊿x
x
例7：已知 a (4,3)，b (6，8)，求：| a | | b | ，| a b | 解：因为 a b (4,3) (6，8) (2,5) ，
AB (2,4) (3,9) (5,5)
| AB | 52 (5)2 5 2 所以，A，B之间的距离为5 2 。
练习：已知A，B两点的坐标，求 AB 和 | AB | 。
(1) A(6，－1)，B(－6，4)；(2) A(－3，2)，B(3，10)。
中点坐标公式
问题2：在问题1中，如果要在双方阵地连成
线段AB的中点处设一个我方的炮兵观察哨， 那么这个观察哨的坐标是多少？
分析：设AB中点为M，由线段中点的向量表达式 OM 1 (OA OB)
2
得：OM 1 [(1，1)+(2，3)] (1，1)
2
2
所以观察哨的坐标为 (1，1)
2
中点坐标公式
向量长度计算公式及中点公式
向量长度计算公式及中点公式一、向量长度计算公式在数学中，一个向量可以用箭头表示，箭头的长度就是向量的长度。
向量长度是向量的一个重要特征，它定义了向量在空间中的大小。
1.二维向量长度计算公式对于二维向量（也称作平面向量），我们可以使用勾股定理来计算其长度。
假设一个二维向量的坐标为（x，y），则它的长度可以用以下公式表示：V，=√(x²+y²)其中，V，表示向量的长度。
例如，假设有一个二维向量V(3，4)，其长度可以通过计算得到：V，=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5所以向量V的长度为52.三维向量长度计算公式对于三维向量（也称作空间向量），我们可以使用类似的方式来计算其长度。
假设一个三维向量的坐标为（x，y，z），则它的长度可以用以下公式表示：V，=√(x²+y²+z²)其中，V，表示向量的长度。
例如，假设有一个三维向量V(1，2，3)，其长度可以通过计算得到：V，=√(1²+2²+3²)=√(1+4+9)=√14所以向量V的长度为√14二、中点公式在数学中，我们常常需要求两个点的中点，也就是介于这两个点之间的一个点。
对于二维空间中的两个点，我们可以通过计算它们的坐标平均值来求得它们的中点。
假设两个点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则它们的中点坐标可以用以下公式表示：(x，y)=((x1+x2)/2，(y1+y2)/2)例如，假设有两个点A(1，2)和B(4，6)，它们的中点坐标可以通过计算得到：(x，y)=((1+/2，(2+6)/2)=(2.5所以点A和点B的中点坐标为(2.5，4)。
对于三维空间中的两个点，我们同样可以通过计算它们的坐标平均值来求得它们的中点。
假设两个点的坐标分别为（x1，y1，z1）和（x2，y2，z2），则它们的中点坐标可以用以下公式表示：(x，y，z)=((x1+x2)/2，(y1+y2)/2，(z1+z2)/2)例如，假设有两个点A(1，2，3)和B(4，6，9)，它们的中点坐标可以通过计算得到：(x，y，z)=((1+4)/2，(2+6)/2，(3+9)/2)=(2.5，4，6)所以点A和点B的中点坐标为(2.5，4，6)。
高中数学第六章平面向量初步两点间的距离中点坐标公式及向量平行课件新人教B版必修第二册
4．已知点A(2，－4)，B(2，3)，则|AB|＝(
A．1
B．7
C． 17
D． 15
)
答案：B
解析：因为点A(2，－4)，B(2，3)，所以AB＝(0，7)，所以|AB|＝ 02 + 72 ＝7.
课堂探究·素养提升
题型1 直角坐标系内两点间距离公式和中点坐标公式
例1 (1)求线段AB的中点坐标：
Ԧ
(2)x1y2－x2y1＝0.
这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数
“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、
程序化的特征．
x1 y 1
(3)当x2y2≠0时， ＝ ，即两向量的对应坐标成比例．通过这种形
x2
y2
式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．
为(5，6)．
所以y＝－9.
方法归纳
判断向量(或三点)共线的三个步骤
跟踪训练3 设向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(10，k)，求当
k为何值时，A，B，C三点共线．
方法一
方法二
由已知求AB，AC，利用AB＝λAC，求k.
AB与AC共线，则x1y2－x2y1＝0，求k.
题型4 向量共线的应用[经典例题]
①求|AB|的值；
②若点C满足AB＋3BC＝0，求点C坐标．
【解析】 ①因为AB＝(－5，12)，
所以|AB|＝ −5 2 + 122 ＝13；
②设点C的坐标为(x，y)，
则BC＝(x＋3，y－11)．
由AB＋3BC＝(3x＋4，3y－21)＝0，
4
3x + 4 = 0，
x=− ，
向量的基本概念公式e
向量的根本概念公式:1.向量的概念(1)向量的根本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝〔ｘ，ｙ〕. (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜. (4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔｜a ｜＝O . 单位向量：a O 为单位向量⇔｜a O ｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝〔ｘ2，ｙ2〕⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6) 相反向量：a =-b ⇔b =-a ⇔a +b =0 (7a ∥b .平行向量也称为共线向量. 运算类型 几何方法坐标方法 运算性质向量的 加法1212(,)a b x x y y +=++a b b a +=+()()a b c a b c ++=++AC BC AB =+向量的减法三角形法那么1212(,)a b x x y y -=--()a b a b -=+-AB BA =-,AB OA OB =-数 乘 向 量1.a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ=2.λ>0时, a a λ与同向; λ<0时, a a λ与异向;λ=0时, 0a λ=.(,)a x y λλλ=()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+//a b a b λ⇔=3两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,那么∠AOB=θ 〔001800≤≤θ〕叫做向量a 与b 的夹角。
4．两个向量的数量积：两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，那么a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ． 其中︱b ︱cos θ称为向量b 在a 方向上的投影． 5．向量的数量积的性质：假设a =〔11,y x 〕,b =〔22,y x 〕那么e ·a =a ·e =︱a ︱cos θ (e 为单位向量);a ⊥b ⇔a ·b =0⇔12120x x y y +=〔a ，b 为非零向量〕;︱a ︱=2211a a x y •=+;cos θ=a ba b ••=121222221122x x y y x y x y ++⋅+． 6 ．向量的数量积的运算律：a ·b =b ·a ;(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb );(a ＋b )·c =a ·c +b ·c ．7.重要定理、公式(1)平面向量根本定理e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数λ1， λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)两个向量平行的充要条件a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝O. (3)两个向量垂直的充要条件 a ⊥b ⇔a ·b ＝O ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝O. (4)线段的定比分点公式设点P 分有向线段21P P 所成的比为λ，即P P 1＝λ2PP ，那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.1,12121λλλλy y y x x x (线段定比分点的坐标公式)当λ＝1时，得中点公式：OP ＝21〔1OP ＋2OP 〕或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.2,22121y y y x x x。
向量的长度公式和中点公式
aM
x
OP a2 b2 OP
（Ax1，y1）
探究新知
若a=（a，b），则 a a2 b2
若给定某向量的横、纵坐标，则向量的 长度即横、纵坐标的平方和开算术平方根
试一试：
1、若b=（-6，8）， 则 b 10 2、若AB=（3，4），则 AB 5
探究新知
y
探究问题:
如何求出向量AB的 坐标呢
由线段的中点公式知
2 x0
7 5,
y0
2.
2
2
解得x0 8, y0 11.
对称点的问 题转化为中
点问题
所以点A的坐标是（8，- 1 3、学生板演，师批改 5、学生抢答完成
课堂小结
1、已知向量 a的坐标是（ a1, a2 ),向量a的长度公式为
2
2
布置作业
1、已知y轴上一点A，与点B（5，12） 间的距离为13，求A的坐标。（注意考 虑如何设点A的坐标） 2、求点A（-1,8）关于点M（2,3）的对 称点A´的坐标。（应用中点公式）
向量的减法：
0
AB = OB - OA
P（x，y） （x2，y2） B
x
A （x1，y1）
探究新知 终点坐标减始点坐标
解：∵ AB = OB - OA
坐
标 的
=（x2，y2）-（x1，y1）
运 算
∴ AB=(x2-x1,y2-y1)
向量的长度即两点间距离公式:
AB AB
(x
2x
)2
1
(
由中点公式可知
x x1 x2 1 5 2,
2
2
y y1 y2 3 (11) 4.
立体几何中点到直线的距离公式向量
立体几何中点到直线的距离公式向量
在立体几何中，点到直线的距离公式向量可以通过以下步骤计算：
1. 确定直线的参数方程。
假设直线的参数方程为 P + td，其中 P 是直线上
的一个点，d 是直线的方向向量，t 是参数。
2. 计算点到直线的向量。
设点为 A，点到直线的向量为 V = A - P。
3. 计算距离。
点到直线的距离可以通过计算点到直线向量 V 在直线方向向
量 d 上的投影长度来获得。
具体地，距离公式为d = (V · d) / d，其中“·” 表示向量的点乘运算，d 表示向量 d 的模长。
以上是计算点到直线距离的方法，仅供参考，建议查阅数学书籍或咨询数学
专业人士获取更多帮助。
数学公式知识：空间几何图形的解析几何计算法则
数学公式知识：空间几何图形的解析几何计算法则空间几何图形的解析几何计算法则解析几何是数学中的一门重要分支，它利用代数方法研究几何学问题。
空间几何图形就是其中的一个重要研究对象，它包括点、直线、平面、圆锥曲线等几何图形。
在解析几何中，对于空间几何图形的计算法则十分的重要，本篇文章将介绍空间几何中常见的解析几何计算法则。
1.点的坐标表示：在空间直角坐标系中，任意一点P的坐标表示为P(x,y,z)，其中x、y、z分别表示点P在x、y、z轴上的投影长度。
2.向量的坐标表示：在空间直角坐标系中，一个向量a的坐标表示为a(x,y,z)，其中x、y、z分别表示向量a在x、y、z轴上的投影长度。
设AB为一条线段，A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)，则线段AB的中点坐标为M(x,y,z)，其中x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2，z=(z1+z2)/2。
4.点到直线的距离公式：设直线L的方程为ax+by+cz+d=0，点P(x0,y0,z0)为直线外一点，则点P到直线L的距离为：d=|ax0+by0+cz0+d|/√(a²+b²+c²)5.点到平面的距离公式：设平面的方程为ax+by+cz+d=0，点P(x0,y0,z0)为平面外一点，则点P到平面的距离为：d=|ax0+by0+cz0+d|/√(a²+b²+c²)6.点到点的距离公式：设点A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)为两个点，则点A到点B的距离为：d=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²]设点P(x0,y0,z0)在平面Ax+By+Cz+D=0上的投影点为P'(x,y,z)，则有：x=(B²+C²)x0-ABy0-ACz0-A D(B²+C²)y=(A²+C²)y0-BCx0-ACz0-B D(A²+C²)z=(A²+B²)z0-BCx0-ABy0-C D(A²+B²)8.直线的距离公式：设直线L1的方程为a1x+b1y+c1z+d1=0，直线L2的方程为a2x+b2y+c2z+d2=0，则直线L1和L2的距离为：d=|D|/√(a²+b²+c²)，其中D=d2-d19.直线和平面的夹角公式：设直线L的方向向量为(a1,b1,c1)，平面P的法向量为(a2,b2,c2)，则直线L和平面P的夹角θ的余弦为：cosθ=(a1a2+b1b2+c1c2)/√[(a1²+b1²+c1²)(a2²+b2²+c2²)]10.点与直线的位置关系：设点P(x0,y0,z0)到直线L的距离为d，则有：（1）d=0时，点P在直线L上；（2）d≠0时，点P在直线L的一侧，具体位置关系取决于点P到直线L所在平面的位置。
8.3.3 向量的长度公式与中点公式
8.3.3 向量的长度公式和中点公式
【教学目标】
知识目标：
掌握两点间的距离公式与中点坐标公式；
能力目标：
用“数形结合”的方法，介绍两个公式．培养学生解决问题的能力与计算能力．
【教学重点】
两点间的距离公式与线段中点的坐标公式的运用
【教学难点】
两点间的距离公式的理解
【教学设计】
两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何的基本公式，教材采用“知识回顾”的方式给出这两个公式．讲授时可结合刚学过的向量的坐标和向量的模的定义讲解，但讲解的重点应放在公式的应用上．
例1是巩固性练习题．题目中，两个点的坐标既有正数，又有负数．讲授时，要强调两点间的距离公式的特点特别是坐标为负数的情况．
例2是中点公式的知识巩固题目．通过连续使用公式（8.2），强化学生对公式的理解与运用．例3是本节两个公式的综合性题目，是知识的简单综合应用．要突出“解析法”，进行数学思维培养．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
第1题图
、N、P、Q、R各点的坐标．在平面直角坐标系内，描出下列各点：(1,1)
A、(3,4)
B ．并计算每两点之间的距离．
图8－2
【教师教学后记】。
中点坐标向量公式
中点坐标向量公式在数学的世界里，有各种各样神奇的公式，其中中点坐标向量公式就像是一位默默耕耘的小能手，发挥着独特的作用。
咱们先来说说这个中点坐标向量公式到底是啥。
简单来讲，如果有两个点 A(x₁, y₁)和 B(x₂, y₂)，那么它们连线的中点 M 的坐标就是（(x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2）。
这看起来好像挺简单的，可别小瞧它，用处大着呢！就说我前几天辅导我小侄子做作业的时候，就碰到了这么一道题。
题目是：已知点 A(3, 5)和点 B(7, 9)，求它们连线的中点坐标。
小侄子一脸懵，完全不知道从哪儿下手。
我就告诉他，别着急，咱们有中点坐标向量公式呀。
按照公式，先把两个点的横坐标相加 3 + 7 = 10，再除以 2 得到 5；纵坐标相加 5 + 9 = 14，再除以 2 得到 7。
所以中点坐标就是(5, 7)。
小侄子恍然大悟，直夸这个公式神奇。
那这个公式在实际生活中有没有用呢？当然有啦！比如说，咱们规划一条路线，已知起点和终点的坐标，想找中间一个合适的休息点，就可以用这个公式来帮忙。
又或者在建筑设计中，要确定两个建筑物之间的中心点位置，以便合理布局周边设施，这时候中点坐标向量公式就能派上用场。
再深入想想，这个公式其实体现了一种平衡和对称的美。
它把两个点的信息综合起来，找到了一个“公平”的中间点，就好像是在调解两个争吵的小伙伴，让它们各让一步，找到一个都能接受的中间立场。
在学习这个公式的时候，大家可别死记硬背，要多做几道题来练练手，真正理解它的含义和用法。
比如说，可以自己随便想两个点，然后算算它们的中点坐标，或者反过来，已知中点坐标和其中一个点，求另一个点的坐标。
总之，中点坐标向量公式虽然看起来不起眼，但却是数学这个大宝藏中的一颗璀璨明珠。
希望大家都能掌握它，让它成为我们解决问题的得力小助手！。
平面向量中点坐标公式的证明
平面向量中点坐标公式的证明大家好，今天我们来聊一聊平面向量中的“中点坐标公式”这个话题。
别看它名字听起来挺高大上的，其实它和我们的生活没啥太大的距离。
你可以把它想象成两点之间的一条“平衡线”，站在这条线的中间，左右看去，都是一样远的。
怎么来得出这条平衡线的坐标呢？哈哈，说白了，就是通过简单的加法和除法，一步一步推导出来的。
我们来看看这两个点。
假设这两个点分别是A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，你可以把它们想象成地图上的两个不同的地点。
比如，你从A点出发，想走到B点。
如果你是一个“懒得走远路”的人，想不走直线，偏偏还要走个“弯路”让自己不累，那你肯定就想找一条中间的路径。
所以，你在两点之间找一个“合适的位置”，这个位置就是你站在这条弯路上，不偏不倚的地方，也就是中点啦。
中点在哪儿呢？我们就得拿点数学手段出来凑合一下。
中点的坐标其实很简单，记住一句话：“就是坐标相加，然后平分。
”你瞧，就是这么简单！你想要找两个点中间的那点坐标，首先把这两个点的x坐标加起来，得个总数；然后，把这个总数除以2，结果就是中点在x轴上的坐标。
同样，y坐标也一样，先把两个点的y坐标加在一起，再除以2，这样就得到了中点在y轴上的坐标。
是不是简单得让你觉得有点“老天爷，原来这么轻松”？对啦，没错！数学就是这么一回事，别看它长得像个复杂的怪物，实际上它里面也有很多让人松一口气的小窍门。
就像你去看一个大大的美味披萨，外面看着很大很复杂，但其实每一片都是用最简单的配料做出来的。
举个例子，假设点A的坐标是(2, 3)，点B的坐标是(4, 7)。
我们想找它们的中点。
先把x坐标加起来：2+4=6，再把6除以2，结果是3。
我们把y坐标加起来：3+7=10，除以2，结果是5。
好了，我们找到了！这两个点的中点坐标就是(3, 5)。
这个公式为什么这么简单呢？你想，假如你真的是从A点走到B点，在途中找个中间点站着休息一下，你的位置应该是既不偏左，也不偏右；既不偏上，也不偏下。
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课 题：6.3平面向量的坐标运算--向量长度的计算公式和线段中点的坐标公式
教学目的：（1）理解平面向量长度的计算公式；
（2）掌握线段中点的坐标公式；
教学重点：线段中点的坐标公式
教学难点：公式的理解及应用.
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教学过程：
一、复习引入：
平面向量的坐标运算:若),(11y x a =ϖ，),(22y x b =ρ
，则 b a ϖρ+),(2121y y x x ++=，b a ρρ-),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=ρ 若),(11y x A ，),(22y x B ，则2121(,)AB x x y y =--u u u r .
二、讲解新课：
1.平面向量长度的计算公式的推导：
如图,已知12(,)a xe ye x y =+=r r
v ，则 11xe x e x =⋅=r r , 1212ye y e y =⋅=r r ,
由勾股定理得,22
22a x y x y =
+=+v ,
上式即为根据向量a v 的坐标,求向量a 的长度的计算公式,简称向量长度的计算公式. 如果已知11(,)A x y ,),(22y x B ,则有向量22112121(,)(,)(,)AB OB OA x y x y x x y y =-=-=--u u u r u u u r u u u r
所以,222121()()AB x x y y =-+-u u u r .
上式即为根据向量AB u u u r 的坐标,求向量AB u u u r 的长度的计算公式,也称为向量长度的计算
公式,又称为两点间的距离公式.
2.线段中点的坐标公式的推导：
方法一:设线段AB 的两个端点),(11y x A ,),(22y x B ,线段AB 的中点(,)C x y ,则
精品文档 1111(,)(,)(,)AC OC OA x y x y x x y y =-=-=--u u u r u u u r u u u r ,
2222(,)(,)(,)CB OB OC x y x y x x y y =-=-=--u u u r u u u r u u u r ,
又C 为线段AB 的中点,因此AC CB =u u u r u u u r ,于是1212x x x x y y y y
-=-⎧⎨-=-⎩,得1212,.22x x y y x y ++== 这就是线段AB 的中点C 的坐标计算公式,简称中点公式.
方法二:如图,C 为线段AB 的中点,所以1()2
OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r , 换用坐标表示为121211221(,)=[(,)+(,)]=(,)222
x x y y x y x y x y ++, 即 1212,.22
x x y y x y ++== 三、讲解范例：
例1已知两点(3,5)A -，(1,7)B --，求向量AB u u u r 的长度.
解: (方法一)
AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r Q =(1,7)--(3,5)--=(4,2)--,22(4)(2)2 5.AB ∴=-+-=u u u r (方法二)直接由公式得,22222121()()(13)[7(5)]25AB x x y y =-+-=--+---=u u u r .
例2试证点A(x,y)与B(-x,-y)关于平面直角坐标系Oxy 的原点O 中心对称.
证明:设线段AB 的中点坐标为00(,)x y ,根据中点公式有 00()()0,0.22
x x y y x y +-+-==== 即线段AB 的中点坐标为(0,0),这表明线段AB 的中点是平面直角坐标系Oxy 的原点O,所以点A(x,y)与B(-x,-y)关于平面直角坐标系Oxy 的原点O 中心对称.
例3已知平行四边形ABCD 的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(3,1),求顶点D 的坐标.
解: (方法一) OD OA AD OA BC OA OC OB =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q =(-1,-2)+(3,1)-(3,-1)=(-1,0),
∴D(-1,0).
(方法二) 设D(x,y),则AD u u u r =(x,y)- (-1,-2)=(x+1,y+2), BC uuu r =(3,1)-(3,-1)=(0,2),
∵在平行四边形ABCD 中,AD u u u r =BC uuu r , ∴(x+1,y+2)=(0,2), ∴x+1=0,y+2=2, ∴
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x=-1,y=0.
∴D(-1,0). (方法三) 设D(x,y),则AC u u u r 的中点为1321(,)22-+-+,BD u u u r 的中点为31(,)22x y +-+, 133211,2222
x y -++-+-+∴==,∴x=-1,y=0. ∴D(-1,0). 四、课堂练习:
1.已知平行四边形ABCD 的顶点A(-3,0),B(2,-2),C(5,2),求顶点D 的坐标.
2.已知A(-1,1)、B(0,-2)、C(3,0)、D(2,3),求证:四边形ABCD 是平行四边形.
3.求下列各点关于坐标原点的对称点:
A(2,3),B(-3,5),C(-2,-4),D(3,-5).
五、小结:本节课的主要内容是:
1.平面向量长度的计算公式：
若(,)a x y =v ，则a =v
若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB =u u u r 2.线段中点的坐标公式：
若),(11y x A ,),(22y x B ,则线段AB 的中点(,)C x y 的坐标公式为：
1212,.22
x x y y x y ++== 六、课后作业:P155练习6-3 T9-10.
七、板书设计:
八、课后记:。