函数列与函数项级数一致收敛性解析

第十三章函数列与函数项级数

§1 一致收敛性

(一) 教学目的：

掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．

(二) 教学内容：

函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．

基本要求：

1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．

(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．

2、教学基本要求：理解并掌握函数列与函数项级数的概念及一致收敛的概念和性质；掌

握函数项级数的几个重要判别法，并能利用它们去进行判别；掌握一致收敛函数列与函数项级数的极限与和函数的连续性，可积性，可微性，并能应用它们去解决问题。3、教学重点难点：重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛性的概念、判

别及应用。

(三) 教学建议：

(1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项

级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别

法．

(2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．

————————————————————一函数列及其一致收敛性

对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。

使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。

若函数列})({x f n 在数集E D ⊂上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值

)()(lim x f x f n n =∞

→

与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列})({x f n 的极限函数。

逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“N -ε”定义.

例1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列)(x f n =n

x , 用“N -ε”定义

验证其收敛域为] 1 , 1 (-, 且

∞→n lim )(x f n = ∞→n lim n

x =⎩

⎨⎧=<. 1 , 1 , 1 ||

, 0 x x

例2 )(x f n =

n

nx

sin . 用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内∞→n lim )(x f n =0.

函数列的一致收敛性：

设函数列 })({x f n 在E 上收敛于 )(x f ，若对任意的0>ε ，存在自然数

)(εN N =，当 N n >时，对E 中一切 x 都有

ε<-)()(x f x f n

则称函数列)}({x f n 在E 上一致收敛于)(x f 。

注意 这里的 N 只与ε有关，与x 无关，这一点是一致收敛与逐点收敛的本质区别。

一致收敛的几何意义

对任给的ε-带 }|)(|;),({ε<-x f y y x ，总存在一个N ，N n >时，)(x f n 的图形全部落入这个ε-带内。 一致收敛情况图示

对任意0>ε，n 充分大时，)(x f n 将全部落入ε－带以内。

)}({x f n 收敛但不一致收敛的几何意义：

对任意 D x ∈， )()(lim x f x f n n =∞

→，但存在一个00>ε，对任意的N ，都可找到一

个0n ，尽管 N n >0，但 )(0x f n 总有一部分落在0ε带以外。

例 证明函数列

证明 1）函数列在 ]1,0[ 上收敛。 显然 对任意的]1,0[∈x ， 0)(2

1→+=nx n

x f n

n 2）但 )(x f n 不一致收敛于0

先看一看函数列的图象（图中给出的是 n ＝8，20，50 的情况）

clf,x=0:1/100:1; y1=8*x./(1+64*x.^2); y2=20*x./(1+400*x.^2); y3=50*x./(1+2500*x.^2); plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2) hold on

plot([-0.1,1],[0,0],'b',[0,0],[-0.1,0.6],'b') axis([-0.1,1.2,-0.1,0.6])

legend('y1,n=8','y2,n=20','y3,n=50')

可以看出，对于 5.00<ε，无论 n 再大，)(x f n 的图象总有一部分落在0ε－带以外。

事实上存在 n x n 10=

， 000.

21|)()(|ε>=-x f x f n n ， 所以该函数列是不一致收敛的。

例 函数列 }{n

x 在]1,0[上不一致收敛，但在 1,],0[<αα 上一致收敛。

先看看该函数列的图象

clf,x=0:1/100:1;

y1=x.^4;y2=x.^10;y3=x.^50; plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2)

对于10<ε，不管n 再大，n

x 的图象总有一部分落在0ε－带以外。

事实上，我们容易看出