线性代数第13讲

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例4.13 设二阶矩阵A, |A|<0, 证明: A必可 对角化. 证明 |A|=12<0. 因为复根必成对共轭出现, 故1与2不可 能是复的, 故1与2为实根, 由12<0, 知 12. 于是由推论4.6知: 二阶矩阵有二个 单根, 则必可对角化.
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例4.14 设A是n阶方阵. =2,4,,2n是A的 n个特征值. 求|A3E|. 解 EA=(3)E(A3E). 上式表明: 是A的特征值3是A3E 的特征值. 因为A的特征值是2,4,,2n, 故 A3E的特征值是1,1,3,,(2n3). 所以 |A3E|113(2n3).
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定理4.9 设12是对称阵A的两个特征值, a1,a2是分别对应于1,2的特征向量, 则 a1与a2正交.
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证明 已知 Aa1=1a1, Aa2=2a2. T T T T 1α1 (1α1 ) ( Aα1 ) α1 A. 在上面两端右乘a2: T T T 1α1 α2 α1 Aα2 2α1 α2 , 即
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定理4.5 方阵A的不同特征值所对应的特 征向量是线性无关的. 证明 设1,2,,m是A的m个不同的特征 值, a1,a2,,am依次是与之对应的特征向 量, 现要证明a1,a2,,am线性无关. 观察 x1a1+x2a2++xmam=0. 等式两边左乘A: A(x1a1+x2a2++xmam)=A0 即 1x1a1+2x2a2++mxmam=0.
tr(A)=tr(B)
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即有 | A | 4 x 2 | B | 2 y, (*) tr( A) 4 x tr( B) 3 y. 可解出 x=0, y=1. (注: 还可以由B知, 1是A的特征值, 故有 |1EA|=0, 从中解出x, 再代入(*)式中任一 式, 可解出y).
ann aii
i 1
1
n
(2) 在|EA|=(1)(2)(n)中, 令 =0代入, 得
| A | 1 2
n
2
例4.8 若A为可逆矩阵, 则
(1) A 的特征值不等于零. (2) 设 A 的特征值为, 则 A 有特征值 . (3) 设 A 的 特 征 值 为 , 则 A* 有 特 征 值 1 | A|.
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*(6) A 与 B 有相同的迹, 即
tr( A) aii tr( B ) bii .
i 1 n n i 1 n
(关于矩阵的迹 tr( H ) hii , 有性质
i 1
tr(HK)=tr(KH), 故 tr(B)=tr(U AU)=tr(AUU )=tr(A))
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(4) A与B有相同的特征多项式. (|EB|=|UUUAU|=|U(E A)U|=|U||EA||U|=|EA|.) (5) A与B有相同的特征值. (这是(4)的自然的结果) (注意, (1),(2),(3),(4),(5)均反之则不然. (4) 与(5)的一个反例: 1 0 1 1 0 1 与 0 1 它们有相同的特征值, 却不相似.
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例4.12 设1,2是矩阵A的两个不同的特 征值, 对应的特征向量记为a1与a2. 试证 明: a1+a2不是A的特征向量.
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证明 按题意. Aa1=1a1, Aa2=2a2. 故有 A(a1+a2)=1a1+2a2. 反证. 若a1+a2是A的特征向量, 即存在数 , 使 A(a1+a2)=(a1+a2). 于是 (a1+a2)=1a1+2a2, 即 (1)a1+(2)a2=0. 由定理4.5知, a1与a2线性无关, 故 1=0, 2=0 即1=2. 这与已知矛盾.
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即
Ax1=2x1,Ax2=2x2,Ax34x3,
例4.11 设 2 1 0 y 1 0 A 1 x 0 ,B 0 1 0 1 1 2 0 0 2 A与B相似, 求x,y. 解 因为A与B相似, 所以 |A|=|B|
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定义4.10 若能把方阵A相似变换到对角 阵D, 即存在可逆阵U, 使UAU=D, 则称 A可以对角化. 否则, 就称A不能对角化.
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设可逆矩阵 U=(a1, ,an), 即把 U 按列分块,
1 D , ,则 n 1 U AU D AU UD A(α1 , ( Aα1 , 1 , αn ) (α1 , , αn ) , Aαn ) (1α1 , , n αn ) , n. n
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(7) UAkU=Bk kZ+. (8) f(A)与f(B)也相似. 这里f(A), f(B)分别是 A,B的多项式. (Uf(A)U=U(a0E+a1A++amAm)U =Ua0EU+a1UAU++amUAmU =a0E+a1B++amBm=f(B).) 相似矩阵有这么多共同性质, 若这里B是对 角阵(最简单的矩阵), 即若能把方阵A相似 变换到对角阵, 这将会给我们研究矩阵A带 来很大方便.
α1s1 , α21 , , α2 s2 , , αm1 ,
, α2 s2 ,
, αmsm , , αmsm
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推论4.7的证明比较冗长, 这里不证, 仅以 它的一个简单情形为例加以证明. 设A有两个不同的特征值1,2, 对应于1 的线性无关的特征向量为a1,a2, 对应于2 的线性无关的特征向量为b1,b2,b3, 则向 量组a1,a2,b1,b2,b3仍是线性无关的.
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定理4.5及其两个推论, 可以让我们清楚 地了解: n阶矩阵A是否有n个线性无关的 特征向量. 从而可知它能否对角化. 在例 4.6中, 三阶方阵A只有两个线性无关的特 征向量(即x1与x2)所以它不能对角化. 而 在例4.7中的三阶方阵A, 有三个线性无关 的特征向量(即x1,x2,x3), 所以它可以对角 化, 即有 Ax1=2x1,Ax2=2x2,Ax34x3,
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x1a1+x2a2++xmam=0. 即 1x1a1+2x2a2++mxmam=0. 一次次地左乘A, 得 k k k 1 x1α1 2 x2α2 m xm αm 0,
k 1, 2,
1 1 1 2 , xmαm ) 1 m
,m 1

1

征值.
4
例4.9 设A2=A, 则A的特征值只能是0或1. 证明 设Ax=x. 是A的特征值. 则 A2x=Ax=2x. 又有 A2x=Ax=x, 故得x=2x, 即(2)x=0. 由于x是非零 向量, 故2=0, 即=0或=1.
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例4.10 设f(x)=a0+a1x++amxm为x的m次多 项式, 记f(A)=a0E+a1A++amAm为矩阵A的 多项式, 试证明: 若是A的特征值, 则f()是 f(A)的特征值.
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§4 对称矩阵必可对角化
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这里讲的对称矩阵, 都是指的实对称矩阵. 在上一节讨论中, 我们看到: 并不是任何 方阵都是可以对角化的. 但是, 有一类矩 阵却是一定可以对角化的. 这就是对称矩 阵. 定理4.8 对称矩阵的特征值必为实数 这个定理, 这里不证. 它反映了对称阵的 一个很重要的性质, 其它矩阵不一定具备 这个性质.
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推论4.6 若n阶方阵A有n个不同的特征值, 则A必可对角化.
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推论 4.7 设 n 阶方阵 A 的不同特征值为 1,2, ,m(mn). 对应于特征值1 的线性无关向量记为α11 ,
, α1s1 ,
对应于特征值2 的线性无关的向量记为α21 , 对应于特征值m 的线性无关的向量记为αm1 , (s1+s2+ +smn) 则上述这些向量α11 , 还是线性无关的.
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证明 观察 x1a1+x2a2+x3b1+x4b2+x5b3=0, 即有 x1a1+x2a2x3b1x4b2x5b3 设 g=x1a1+x2a2 若g0, 则表明g即是属于特征值1的向量, 又是属于特征值2的向量, 这是不可能的. 因此g=0. 即 x1a1+x2a2=0 x3b1+x4b2+x5b3=0 由已知a1,a2线性无关, b1,b2,b3线性无关, 故 x1=x2=x3=x4=x5=0 所以, 向量组a1,a2,b1,b2,b3线性无关
m 1 m
(0, 0,
, 0)
上式左端第二个矩阵的行列式是范德蒙行 列式, 由于i各不相同, 故此行列式不等于 零, 因而此矩阵可逆. 在此等式两边, 右乘 此矩阵的逆阵, 有 (x1a1,x2a2,,xmam)=(0,0,,0), 即 xjaj=0 j=1,,m. 由于aj0, 故xj=0 所以向量组a1,a2,,am线 性无关
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2 A(ξ1 , ξ 2 , ξ 3 ) (ξ1 , ξ 2 , ξ3 ) 2 4 由于x1,x2,x3线性无关, 故矩阵(x1,x2,x3)是 可逆矩阵, 则有 2 1 (ξ1 , ξ 2 , ξ3 ) A(ξ1 , ξ 2 , ξ3 ) 2 4
把上面m个等式合写成矩阵形式, 即
( x1α1 , x2α2 ,

(0, 0, m 1 m
m 1 1 m 1 2
, 0)
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( x1α1 , x2α2 ,
1 1 1 2 , xmαm ) 1 m
1m 1 m 1 2
证明 (1)
| E A | 又有 | E A |
必有n个根 按行列式定义

(a11 a22 ann )
n
n 1


( 1 )( 2 ) ( n )
比较上面两式的右边, 注意n1的系数, 可有
1 2
n a11 a22

1


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证明 (1) 因 为 | A | 1 2
n , 所 以 由 |A|0, 知
i0, i=1, ,n. (2) 设 Ax=x, 是 A 的特征值, 则
A Ax=A x, 即有 A x
1
1

1

x ,即 是
1

A 的特征值. (3) 因 A*=|A|A , 由(2)可知 | A |是 A*的特
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证明 设Aa=a, 则有Aka=ka(kZ+), 因 而 f(A)a=(a0E+a1A++amAm)a =a0Ea+a1Aa++amAma =a0a+a1a++amma =(a0+a1++amm)a =f()a. 即f()是f(A)的特征值.
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§3 相似矩阵
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定义4.9 设A,B皆为n阶方阵, 若存在n阶可 逆阵U, 使得 UAU=B, 则称矩阵A与B相似. 对A进行运算UAU, 称对A进行相似变 换. 由定义可知: 若矩阵A与B相似, 则A与B 等价.
AαFra Baidu bibliotek i αi , i 1,
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这里a1,,an是可逆阵U的n个列, 故它们 是线性无关的. 同时, 最后一个式子, 又是 特征值与特征向量的定义式. 故有 定理4.4 n阶方阵A可对角化的充分必要 条件是: A有n个线性无关的特征向量. 这里顺便强调一下: 若A能相似变换到D, 则D的对角线元素就是A的n个特征值. 接下来的问题就是如何判断矩阵A有没 有n个线性无关的特征向量?
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相似矩阵有诸多性质: 若UAU=B,则 (1) A与B有相同的行列式. (只要在等式两边取行列式, 便得证). (2) A与B有相同的可逆性, 当它们可逆时, 其逆阵也相似. (可逆时, 只要在等式两边取逆, 便得证) (3) A与B有相同的秩. (因A的两旁乘的是可逆阵, 可逆阵与矩阵 相乘时, 不改变那个矩阵的秩)