河北省五个一名校联盟2019-2020学年高一上学期联考数学试题含答案
河北省“五个一”名校联盟2019-2020学年高三上学期一轮复习收官考试数学(文)试题(解析版)
河北省“五个一”名校联盟2020届高三一轮复习收官考试数学(文)试卷一、选择题1.()()8811i i +--=( ) A. 0 B. 32i C. -32 D. 32【答案】A 【解析】 【分析】先求()()221,1i i +-，即可求解.【详解】()()8811i i +--=()()224444(1)(1)(2)(2)0i i i i +--=--=. 故选:A【点睛】本题考查复数的指数幂运算，属于基础题.2.已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|60B x x x =--<，则A ∩B =( )A. {}0x x ≤ B. {}23x x -<<C. {}|20x x -<≤D. {}03x x ≤<【答案】C 【解析】 【分析】化简集合,A B ，再由交集定义即可求解.【详解】{}11|02xA x x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≥=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}{}2|60|23B x x x x x =--<=-<<，{}|20A B x x ∴=-<≤I .故选:C【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.3.某学校组织高三年级的300名学生参加期中考试，计划从这些考生中用系统抽样的方法选取10名学生进行考场状态追踪．现将所有学生随机编号后安排在各个考场，其中001～030号在第一考场，031～060号在第二考场，…，271～300号在第十考场．若在第五考场抽取的学生编号为133，则在第一考场抽到的学生编号为( ) A. 003 B. 013C. 023D. 017【答案】B 【解析】 【分析】根据系统抽样原则，每相邻两组号码相隔30，即可求得结果. 【详解】设第一考场抽到的学生编号为x ， 则120133x +=，13x ∴=. 故选:B【点睛】本题考查系统抽样的抽取方法，属于基础题.4.设变量x ，y 满足不等式组1010,5,x y y -≤+≤⎧⎨≤⎩则23x y +的最大值等于( )A. 15B. 20C. 25D. 30【答案】C 【解析】 【分析】作出可行域，即可求出目标函数的最大值. 【详解】作出不等式所表示的可行域，如下图示： 令23z x y =+，当目标函数过A 点是，取得最大值，由105x y y +=⎧⎨=⎩，得55x y =⎧⎨=⎩，即A 点坐标为(5,5)，23z x y ∴=+的最大值为25.故选:C【点睛】本题考查二元一次不等式组所表示的平面区域，求线性目标函数的最值，属于基础题. 5.如图所示程序框图的功能为计算数列{2n -1}前6项的和，则判断框内应填( )A. 5i ≤?B. 5i >？C. 6i ≥?D. 6i >?【答案】D 【解析】 【分析】根据满足条件退出循环体，即可求解.【详解】程序框图的功能为计算数列{2n -1}前6项的和， 故7n =时,退出循环体. 故选:D【点睛】本题考查程序框图中的条件语句，认真审题是解题的关键，属于基础题. 6.函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间是( )A. ()25,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ B. ()2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ C. ()22,233k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D. ()5,22233k k k Z ππππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦+ 【答案】D 【解析】 【分析】将函数化为()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，求sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调减区间，即可求解.【详解】()sin sin 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 的递增区间需满足322,()262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得2522,()33k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 故选:D【点睛】本题考查三角函数的单调区间，注意“x ”的系数为负数，要先化为正数，然后再求单调区间，属于易错题.7.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>渐近线与圆22430x y x +-+=相切，则双曲线的离心率为( )A.3B. C. 2 D.3【答案】A 【解析】【分析】利用渐近线与圆22430x y x +-+=相切，求出渐近线的斜率，再由渐近线的斜率与离心率关系，即可求解. 【详解】2222430,(2)1x y x x y +-+=-+=圆心为(2,0)，半径为1，故渐近线的斜率为3，即2241()3b b e a a ==+=，3e =故选:A【点睛】本题考查直线圆的位置关系，双曲线的渐近线与离心率的关系，属于基础题, 8.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且23b c a b +=+，56a c ab +=+，则此三角形最大内角的余弦值为( )A. B. 12-C. 2-D. 0【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件把,a b 用c 表示，判断最大边，用余弦定理求出最大边所对的角余弦，即可求解. 【详解】211,33b c c a c a a b a b a b +--=+=∴=-+++，3()a b c a ∴+=-- ① 56,()65a c ab ac a b +=∴+=++Q② 由①②可得75,33a cbc ==，所以a 边最大，故最大内角为A ，22222549199cos 5223c c c A c +-==-⨯.故选:B【点睛】本题考题考查余弦定理解三角形，判断边关系是解题的关系，属于中档题.9.已知tan cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=( )A. 0或1B. 0或-1C. 0D. 1【答案】A 【解析】 【分析】tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭cos2sin(2)2παα==-，化切为弦以及二倍角公式，求出sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭或cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭，再利用sin 2cos 22παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭结合二倍角公式，即可求解.【详解】tan cos 24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得，2sin sin(2)cos 2sin()cos 42444πππππααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，21sin()0()442ππαα∴-=-=或cos ，22sin 2cos 212sin ()2cos ()1244πππαααα⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭，sin 210α∴=或.故选:A【点睛】本题考查条件等式求三角函数值，化简是解题的关键，灵活应用诱导公式和二倍角公式化同角尤为重要，属于中档题.10.已知0x y z >>>，设cos y a x =，cos y z b x z -=-，cos y z c x z+=+，则下列不等关系中正确的是( ) A. a b c >> B. c b a >> C. c a b >> D. b a c >>【答案】D 【解析】 【分析】 先比较出,,y z y y zx z x x z-+-+大小关系，再利用余弦函数单调性，即可得结论.【详解】(),0()()y y z xy yz xy xz z x y x y z x x z x x z x x z ---+--==>>>---Q ， y z y x z x -<-，同理y y z x x z +<+，01y z y y z x z x x z-+∴<<<<-+， cos y x =在区间(0,)2π上是单调递减，coscos cos y z y y zx z x x z-+∴>>-+，即b a c >>. 故选:D【点睛】本题考查作差法与函数的单调性比较大小，属于中档题. 11.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积为( )A. 28+B. 30+C. 30+D. 60+【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图作出直观图，即可求解.【详解】由三视图得出三棱锥的直观图，如下图所示: 其中DE ⊥平面ABC ，BC ⊥平面ACD ， 可求得10ABC BCD ACD S S S ∆∆∆===，在ABD ∆中，AB BD AD ===，可求AD 边上的高为6，所以ABD S ∆=. 故选:B【点睛】本题考查三视图求三棱锥的表面积，将三视图还原为直观图是解题的关键，属于中档题 12.在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，∠BCD =30°，2246AB BD +=，若将△ABD 沿BD 折成直二面角A -BD -C ，则三棱锥A -BDC 外接球的表面积是( ) A. 4π B. 5πC. 6πD. 8π【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件折叠后，平面ABD ⊥平面BCD ，转化为线面垂直关系，再结合球的的性质，确定球心位置，求出半径，即可求解.【详解】取,AD BD 中点,E F ，设BCD ∆的外心为M ，连,,MB MF EF ， 则01,30,22MF BD BMF DMB BCD BM BF BD ⊥∠=∠=∠=∴== 分别过,E M 作,MF EF 的平行线，交于O 点， 即//,//OE MF OM EF ，,BD AB E ⊥∴Q 为ABD ∆的外心，平面ABD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，//,EF AB EF ∴⊥平面BCD ，OM ∴⊥平面BCD ，同理OE ⊥平面ABD ，,E M 分别为ABD ∆，BCD ∆外心，O ∴为三棱锥的外接球的球心，OB 为其半径,22222221342OB BM OM BD EF BD AB =+=+=+=， 246S OB ππ=⨯=球.故选:C【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，应用球的性质确定外接球的球心，是解题的关键，属于中档题.二、填空题13.已知函数()3f x x =在点P 处的切线与直线31y x =-平行，则点P 坐标为________．【答案】()1,1-- ()1,1 【解析】 【分析】设00(,)P x y ，利用()03f x '=，结合P 在曲线上，即可求解. 【详解】设00(,)P x y ，()()220003,33,1f x x f x x x ''=∴===±，当01x =时，01y =；当01x =-时，01y =-； 故点P 坐标为()1,1-- ()1,1. 故答案为:()1,1-- ()1,1.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.14.桌子上有5个除颜色外完全相同的球，其中3个红球，2个白球，随机拿起两个球放入一个盒子中，则放入的球均是红球的概率为________． 【答案】310【解析】 【分析】对5个球编号，列出所有随机拿起两个球取法，再求出两球都是红球取法个数，根据古典概型概率求法，即可求解.【详解】3个红球记为,,a b c ，2个白球记为1,2， 随机拿起两个球放入一个盒子所有情况，{,},{,},{,1},{,2},{,},{,1},{,2},{,1}a b a c a a b c b b c ， {,1},{1,2}c 共有10种取法，其中都是红球有3种，放入的球均是红球的概率为310. 故答案为:310【点睛】本题考查古典概型的概率求法，属于基础题.15.若,a b r r 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b -r r在向量b r 方向上的投影为________．【答案】-1 【解析】 【分析】根据数量的积的几何意义，即可求解.【详解】向量a b -r r 在向量b r 方向上的投影为2()1||a b b a b b b -⋅=⋅-=-r r rr r r r . 故答案为:-1【点睛】本题考查向量的投影，转化为向量的数量积和模长来计算是解决问题的关键，属于基础题. 16.已知F 为双曲线22:1916x y C -=的左焦点，M ，N 为C 上的点，点D (5，0)满足()0MD DN λλ=>u u u u r u u u r ，向量MN u u u u r 的的模等于实轴长的2倍，则△MNF 的周长为________． 【答案】36 【解析】 【分析】D (5，0)为双曲线的右焦点，()0MD DN λλ=>u u u u r u u u r，直线MN 过右焦点且与右支交于两点，利用双曲线的定义，即可求出结论.【详解】M ，N 为C 上的点，点D (5，0)满足()0MD DN λλ=>u u u u r u u u r，所以直线MN 过右焦点且与右支交于两点，||2||6||,||2||6||MF a MD MD NF a ND ND =+=+=+=+， ||||12||121224MF NF MN ∴+=+=+=， MNF ∴∆周长为36.故答案为:36【点睛】本题考查双曲线定义在解题的中应用，属于中档题.三、解答题17.下表列出了10名5至8岁儿童的体重x (单位kg )(这是容易测得的)和体积y (单位dm 3)(这是难以测得的)，绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系：(1)求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+$$$(系数精确到0.01)； (2)某5岁儿童的体重为13.00kg ，估测此儿童的体积．附注：参考数据：101140.00i i x ==∑，101137.00i i y ==∑，1011982.90i i i x y ==∑，10212026.08i i x ==∑，()102166.08i i x x=-=∑，()102164.00i i y y=-=∑，137×14=1918.00．参考公式：回归方程y bx a =+$$$中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()1122211nnii i ii i nniii i xx y yx y nxybxnxxx====---==--∑∑∑∑$，a y bx =-$$．【答案】（1）0.980.05y x =-$；（2）312.69()dm . 【解析】 【分析】（1）根据题中提供的公式以及数据，即可求解； （2）将5x =代入（1）中回归方程，即可得出结论. 【详解】（1）由参考公式和参考数据可得：101102221101982.90101413.7064.900.9822026.08101466.0810i ii i i x yxybx x==--⨯⨯====≈-⨯-∑∑$，13.700.982140.0480.05a y bx =-=-⨯=-≈-$$，所以，y 关于x 的线性回归方程0.980.05y x =-$；（2）将某5岁儿童的体重13.00x =代入回归方程得：30.9813.000.0512.69()y dm =⨯-=$，所以预测此儿童的体积是312.69()dm .【点睛】本题考查线性回归方程，以及应用回归方程进行预测，考查计算能力，属于基础题.18.已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和122n n S λ-=-g ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()22log 1n n nb a a =+g ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】（1）2nn a =；（2）12(21)2n n T n +=+-⋅.的【解析】 【分析】（1）根据前n 项和与通项关系，即可求解；（2）求出{}n b 的通项公式，用错位相减法或裂项相消法求其和. 【详解】（1）当1n =时，12a λ=-，当2n ≥时，212n n n n a S S λ--=-=⋅，因为数列{}n a 是等比数列，1212,22n n a a a a λλ+∴=∴==-， 解得214,2,422n n n a a λ-==∴=⨯=； （2）(21)2nn b n =+⋅，则123252(21)2nn T n =⨯+⨯+++⋅L ，2n T = 2132(21)2(21)2n n n n +⨯++-⨯++⋅L ，2162222(21)2n n n T n +-=+⨯++⨯-+⋅L=1118(12)6(21)22(12)212n n n n n -++-+-+⋅=-+-⋅-，12(21)2n n T n +∴=+-⋅.【点睛】本题考查前n 项和与通项的关系以及等比数列的通项公式，考查错位相减法求前n 项和，考查计算能力，属于中档题.19.如图所示，已知在四棱锥P -ABCD 中，CD ∥AB ，AD ⊥AB ，BC ⊥PC ，且112AD DC PA AB ====．(1)求证：平面PBC ⊥平面P AC ；(2)若点M 是线段PB 的中点，且P A ⊥AB ，求四面体MP AC 的体积． 【答案】（1）证明见详解；（2）16. 【解析】 【分析】（1）由已知可证AC BC ⊥，结合BC PC ⊥，可证BC ⊥平面PAC ，即可证结论；（2）点M 是线段PB 的中点，四面体MP AC 的体积等于四面体BCPA 体积的一半，利用（1）中的结论，求出PAC ∆面积，即可求出结果.【详解】（1）在平面ABCD 内，过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ， 由已知，在四边形ABCD 中，,//,,AD AB CD AB AD DC ⊥=所以四边形是正方形，所以1,CE AC BC ===，2222,,AB AC BC AB AC BC =∴+=∴⊥，又,,BC PC AC PC C AC PC ⊥=⊂Q I ，平面PAC ，BC ∴⊥平面PAC ，BC ⊂Q 平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAC ；（2）由题意知，M 为PB 中点， 所以M 到平面PAC 的距离等于12BC ， 12M PAC B PAC V V --∴=，由（1）得BC ⊥平面PAC ，BC PA ∴⊥，又,,PA AB AB BC B AB BC ⊥=⊂I 、平面ABCD ，PA ∴⊥平面,ABCD PA AC ∴⊥，112PAC S ∆=⨯=11111223626M PAC B PAC PAC V V BC S --∆==⋅⋅⋅=⨯=.【点睛】本题考查面面垂直的证明，要注意平面图形中垂直的隐含条件的挖掘，考查四面体的体积，要充分利用等体积转化，属于中档题.20.已知平面内一个动点M 到定点F (3，0)的距离和它到定直线l ：x =6的距离之比是常数2． (1)求动点M 的轨迹T 的方程；(2)若直线l ：x +y -3=0与轨迹T 交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线与T 交于C ，D 两点，试问A ，B ，C ，D 是否在同一个圆上?若是，求出该圆的方程；若不是，说明理由．【答案】（1）221189x y +=；（2）,,,A B C D 四点共圆，圆方程为2221104()()339x y -++=. 【解析】 【分析】（1）按求轨迹方法，把条件用数学关系式表示，化简，即可求解；（2）先求出直线AB 与椭圆交点坐标，再求出直线AB 垂直平分线方程，若四点共圆，此圆以CD 为直径，故只需证明CD 中点与,A B 的距离是否等于1||2CD . 【详解】（1）设d 是点M 到直线l 的距离，M 的坐标为(,)x y ，由题意，所求的轨迹集合是||{|MF P M d ==，2=，化简得T ：221189x y +=； （2）将直线AB 方程与椭圆方程联立，由22118930x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，得(0,3),(4,1)A B -，AB ∴中点(2,1),1CD N k =，AB 的垂直平分线方程为:10CD x y --=， 由22118910x y x y ⎧+=⎪⎨⎪--=⎩消去y 得234160,0x x --=∆>， 设1122(,),(,)C x y D x y ，则1212416,33x x x x +==-，||CD ∴===， 设线段CD 的中点为E ，则1||||||2EC ED CD ==， 1221,1233E E E x x x y x +===-=-Q ，所以21(,)33E -，1||||||2EA CD EB ∴====，所以,,,A B C D 四点在以E为半径的圆上， 此圆方程为2221104()()339x y -++=. 【点睛】本题考查用直译法求轨迹方程，考查直线与椭圆的相交关系，考查四点是否共圆，注意韦达定理、圆的性质的合理运用，属于中档题.21.已知函数()()()1ln 211f x m x m x =+-++． (1)讨论f (x )的单调性；(2)若()()xF x e f x =-恰有两个极值点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）当1m =-时，()f x 为常数函数，无单调性；当1m >-时，()f x 单调增区间是1(0,)2，单调减区间是1(,)2+∞；当1m <-时，()f x 单调增区间是1(,)2+∞，单调减区间是1(0,)2；（2）(,1)e -∞--. 【解析】 【分析】（1）先求导，对m 分类讨论，即可求解；（2）函数有两个极值点，转化为导函数在定义域内有两个不同的零点，通过分离参数，构造新函数，把两个零点转为新函数的图像与直线有两个交点，利用求导作出新函数的图像，即可求解. 【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，121()2(1)(1)m x f x m m x x+-'=-+=-+⋅， 当1m =-时，()f x 常数函数，无单调性；当1m >-时，令11()0,0,()0,22f x x f x x ''><<<>； 当1m <-时，令11()0,,()0,022f x x f x x ''>><<<；综上所述，当1m =-时，()f x 为常数函数，无单调性；当1m >-时，()f x 单调增区间是1(0,)2，单调减区间是1(,)2+∞； 当1m <-时，()f x 单调增区间是1(,)2+∞，单调减区间是1(0,)2； （2）由题意，()F x 的定义域为(0,)+∞，且1()(1)(2)xF x e m x'=-+-，若()F x 在(0,)+∞上有两个极值点， 则()0F x '=在(0,)+∞上有两个不相等的实数根， 即1(1)(2)0xe m x-+-= ①有两个不相等的正的实数根，当12x =时，1211()0,22F e x '=≠∴=不是()0F x '=的实数根，当12x ≠时，由①式可得112xxe m x+=-，令()12xxe g x x=-，2(1)(21)()(12)x e x x g x x --+'=-，1(0,),()0,()2x g x g x '∈>单调递增，又(0)0,()0g g x =∴>；1(,1),()0,()2x g x g x '∈>单调递增，且()0<g x ；(1,),()0,()x g x g x '∈+∞<单调递减，且()0<g x ；因为()12xe g x x=-； 所以12x →左侧，120,()xe g x x -→∴→+∞； 12x →右侧，120,(),(1)x e g x g e x-→→→-∞=-；x →+∞，122,,()x e g x x-→-→+∞∴→-∞；所以函数的图像如图所示：要使112xxe m x+=-在(0,)+∞上有两个不相等的实数根，则1(1),1m g e m e +<=-∴<-- 所以实数m 的取值范围是(,1)e -∞--.【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，涉及到函数的单调性、函数的图像、函数的零点，分离参数构造函数是解题的关键，考查分类讨论、等价转化等数学方法，考查数形结合思想，是一道较难的综合题.22.在平面直角坐标系中，曲线12cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)经过伸缩变换2x xy y =⎧'='⎪⎨⎪⎩得到曲线C 2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 2的普通方程；(2)设曲线C 3的极坐标方程为2sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且曲线C 3与曲线C 2相交于M ，N 两点，点P (1，0)，求11||||PM PN +的值． 【答案】（1）2214x y +=；（2. 【解析】 【分析】（1）先将1C 方程消去参数α化为普通方程，根据坐标伸缩关系，即可求得结论；（2）将C 3的极坐标方程化为直角坐标方程，点P 在曲线C 3上，再将C 3化为过定P (1，0)的直线参数方程，代入曲线C 2的方程，利用参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）由2212cos :42sin x C x y y αα=⎧⇒+=⎨=⎩ ,22x xx x y y y y =⎧=⎧⎪∴⎨⎨==⎩⎪'''⎩'Q ，代入224x y +=，得2214x y ''+= 2C ∴的普通方程是2214x y +=；（2）由2sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得3C0y -=，点(1,0)P 在曲线3C 上，且此直线的倾斜角为060，所以3C的参数方程为112(2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），将3C 的参数方程代入曲线2C 得2134120t t +-=，12124120,,,1313t t t t ∆>+=-=-，12121212||1111||||||||||||3t t PM PN t t t t -+=+===. 【点睛】本题考查参数方程普通方程互化，伸缩变换后的曲线方程，极坐标方程与直角坐标方程互化，考查应用直线参数的几何意义求解线段长度问题，属于中档题.23.设不等式|1||2|3x x -++≤的解集与关于x 的不等式20x ax b +-≤的解集相同． (1)求a ，b 的值；(2)求函数y = 【答案】（1）1,2a b ==;（2. 【解析】 【分析】（1）分类讨论去绝对值，求出|1||2|3x x -++≤的解，利用一元二次不等式的解与二次函数的关系，即可求出,a b 值；（2）利用柯西不等式即可求解.【详解】（1）当2x <-时，不等式|1||2|3x x -++≤ 可化为213,2,x x x --≤∴≥-∴∈∅； 当21x -≤≤时，不等式|1||2|3x x -++≤ 可化为33,21x ≤∴-≤≤；当1x >时，不等式|1||2|3x x -++≤ 可化为213,1,x x x +≤∴≤∴∈∅； 综上所述，原不等式的解集为[2,1]-； 所以20x ax b +-≤的解集为[2,1]-，22(2)(1)2,1,2x ax b x x x x a b ∴+-=+-=+-∴==.（2）由（1）知y =[1,2]，且0y ≥，y ∴即32x . 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解与二次函数的关系，考查利用柯西不等式求最值，所以中档题.。
河北“五个一名校联盟”2019届高三第一次诊断考 理科数学
河北“五个一名校联盟”2019届高三第一次诊断考理科数学一、选择题：1.是虚数单位，则( )A. 2B.C. 4D.【详解】由题意得，∴．故选B．【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的模，解题的关键是正确进行复数的运算，属于简单题．2.集合，，则 ( )A. B. C. D.【详解】由题意得，，∴．故选C．【点睛】解答本题的关键是正确得到不等式的解集，需要注意的是在解对数不等式时要注意定义域的限制，这是容易出现错误的地方，属于基础题．3.已知向量，，，则与的夹角为( )A. B. C. D.【详解】∵，∴．设与的夹角为θ，则，又，∴，即与的夹角为．【点睛】向量的数量积为求解夹角问题、垂直问题及长度问题提供了工具，在求夹角时首先要求出两向量的数量积，进而得到夹角的余弦值，容易忽视的问题是忘记夹角的范围，属于基础题．4.如图所示的图形是弧三角形，又叫莱洛三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧得到的封闭图形.在此图形内随机取一点，则此点取自等边三角形内的概率是 ( )A. B. C. D.【解】设等边三角形的边长为，则每个扇形的面积为，，所以封闭图形的面积为，由几何概型概率公式可得所求概率为．故选C．【点睛】本题考查面积型的几何概型的求法，解题的关键是得到封闭图形的面积和三角形的面积，求解时注意转化思想方法的运用，考查理解、转化和计算能力，属于基础题．5.已知圆与抛物线交于两点，与抛物线的准线交于两点，若四边形是矩形，则等于 ( )A. B. C. D.【解】由题意可得，抛物线的准线方程为．画出图形如图所示．在中，当时，则有．①由得，代入消去整理得．②结合题意可得点的纵坐标相等，故①②中的相等，由①②两式消去得，整理得，解得或（舍去），∴．故选C．【点睛】解答本题的关键是画出图形并根据图形得到与x轴平行，进而得到两点的纵坐标相等．另外，将几何问题转化代数问题求解也是解答本题的另一个关键．考查圆锥曲线知识的综合和分析问题解决问题的能力，属于中档题．6.函数的图象大致为 ( )A. B. C. D.【解】由且，可得或，∴函数的定义域为．令，则．①当时，单调递减，∴，∴单调递增，且．②当时，单调递增，∴，∴单调递减，且．综上可得选项A中的图象符合题意．故选A．【点睛】根据函数的解析式判断函数图象的大体形状时，一般先求出函数的定义域，然后再根据函数的单调性、奇偶性（对称性）、周期性、最值或函数值的变化趋势进行分析、排除，有时还需要通过特殊值进行判断排除，此类问题考查识图能力和分析判断能力．7.若，，则下列不等式正确的是 ( )A. B. C. D.【解】对于选项A，由可得，又，所以，故A不正确；对于选项B，由于，所以等价于，可得，不合题意，故B不正确；对于选项C，由于函数在上为减函数，且，所以，故C不正确；对于选项D，结合对数函数的图象可得当，时，，故D正确．故选D．【点睛】根据条件判断不等式是否成立时，常用的方法有两种：一是根据不等式的性质直接进行判断；二是通过构造适合题意的函数，利用函数的单调性、图象进行分析判断，解题的关键是根据题意选择适当的方法进行求解，考查运用知识解决问题的能力和分析判断能力，属于中档题．8.已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为( )A. B. C. D.【解】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体截去三棱锥和三棱锥后的剩余部分．其表面为六个腰长为1的等腰直角三角形和两个边长为的等边三角形，所以其表面积为．故选B．【点睛】在由三视图还原空间几何体时，一般以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑．热悉常见几何体的三视图，能由三视图得到几何体的直观图是解题关键．求解几何体的表面积或体积时要结合题中的数据及几何体的形状进行求解，解题时注意分割等方法的运用，转化为规则的几何体的表面积或体积求解．9.函数的定义域为，且，当时，；当时，，则( )A. 671B. 673C. 1343D. 1345【解】∵，∴，∴函数是周期为3的周期函数．又当时，；当时，，∴，∴．故选D．【点睛】本题考查函数值的求法，解题的关键是根据题意得到函数的周期性，然后将问题转化为求给定区间上的函数值的问题求解，考查分析判断和计算能力，属于基础题．10.如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A. B. C. D.【解】如图，设三棱柱为，且，高．所以底面为斜边是的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆，圆与边切于点，则圆的半径为．设球心为，则由球的几何知识得为直角三角形，且，所以，即球的半径为，所以球的体积为．故选A．【点睛】本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：（1）构造以球半径、球心到小圆圆心的距离和小圆半径为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法．（2）若直角三角形的两直角边为，斜边为，则该直角三角形内切圆的半径，合理利用中间结论可提高解题的效率．11.函数与函数的图像关于点对称，且，则的最小值等于 ( )A. 1B. 2C. 3D. 4【解】由题意得，∵函数的图象与函数的图象关于点对称，∴，又，∴，即，∴，结合与的特征可得，∴．又，∴当时，取得最小值4．故选D．【点睛】本题考查三角函数图象的对称性和三角变换的应用，解题时根据三角函数值相等得到角间的关系，并进而得到间的关系是关键，考查变换能力和应用知识解决问题的能力，属于中档题．12.已知函数，若关于的方程有且仅有两个不同的整数解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【解】方程等价于或或，即或或，所以．∵，∴，∴当时，单调递减；当时，单调递增．∴当时，取得最小值，且．画出函数的图象，如下图所示．于是可得，当时，恒成立．由图象可得，要使方程有且仅有两个不同的整数解，只需，即，解得，∴实数的取值范围是．故选A．【点睛】本题难度较大，综合考查导数的应用及绝对值的问题，解题的关键是将绝对值符号去掉，将方程转化为函数的问题，然后再结合函数的图象求解，解题时注意数形结合思想方法的灵活运用．二、填空题。
河北省五个一名校联盟2019-2020学年高一上学期联考化学试题含答案
符合题意）
1．下列关于实验安全的说法正确的是 A．开始蒸馏时，应该先加热再通冷凝水；蒸馏完毕，应该先关冷凝水再撤酒精灯
A．作还原剂 C．发生还原反应
B．被还原 D．是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ原产物
B. 蒸馏时加碎瓷片的目的是防止暴沸
7．下列各组物质混合后，有气体生成，最终无沉淀生成的是
C．不慎把浓硫酸洒到皮肤上要立即用氢氧化钠溶液冲洗
A. ①②
B．②④
C．③④
D．①③④
8．将饱和 FeCl3 溶液加入沸水中能制得 Fe(OH)3 胶体，下列有关说法正确的是
A．溶液和胶体的本质区别是能否产生丁达尔效应
B．含 0.1 mol FeCl3 溶质的溶液形成胶体后，胶体粒子为 0.1NA
C．分散系中分散质粒子的直径：Fe(OH)3 悬浊液>Fe(OH)3 胶体>FeCl3 溶液
B．Na＋、H＋、SO23－、Cl－ D．Na＋、Ca2＋、Cl－、CO23－
9. 生物炼铜实际上是微生物帮助我们从矿石中提取铜。这些“吃岩石的细菌”能利用空气中的氧气将
不溶性的硫化铜转化成可溶性铜的化合物，该化合物是
A． 碳酸铜
B．硝酸铜
C．硫酸铜
10．下列离子方程式书写正确的是
①三氯化铁溶液中加入铁粉：Fe3＋＋Fe===2Fe2＋
A. CaO＋H2O＝Ca(OH)2
B. Cl2+H2O =HCl+HClO
C. 2Na＋2H2O＝2NaOH＋H2↑
D. C＋H2O＝CO＋H2
15. 下图配制 450 mL 1.00 mol·L－1 NaOH 溶液的示意图,下列说法正确的是
A. 图①中应称得 NaOH 18.0g
B．未进行④和⑤的操作,所配溶液浓度将偏大
2020届河北省“五个一”名校联盟高三上学期一轮复习收官考试数学(理)试题(解析版)
2020届河北省“五个一”名校联盟高三上学期一轮复习收官考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}1|21x A x -=≥，{}3|log ,B y y x x A ==∈，则B A =ð（ ） A ．()0,1B ．[)0,1C ．(]0,1D ．[]0,1【答案】B 【解析】先化简集合A,B,再求B A ð得解.【详解】由题得{}10|22{|1}x A x x x -=≥=≥，{}|0B y y =≥. 所以{|01}B A x x =≤<ð.故选：B【点睛】本题主要考查集合的化简和补集运算，考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．已知复数z 满足121i i z -=+，则z =( )A B ．2 C D【答案】C【解析】将121i i z -=+化为121i z i-=+后,两边取模即可求得答案. 【详解】 因为121i i z -=+, 所以121i z i-=+,所以12|12|||||1|1|2i i z i i --=====++. 故选:C【点睛】 本题考查了复数的模的运算,化为12i z -=后,两边取模,根据模的运算性质求解,不需要进行复数的除法运算,这样可以减少运算,本题属于基础题.3．已知函数()2x f x =，若()()()0.222,,lo 52g a f b f c f ===，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．a ＜c ＜b 【答案】A【解析】由于()2x f x =为增函数,故只需判断()f x 中自变量的大小关系即可.【详解】由题,()2x f x =为增函数,且0.21222<=,222log 4log 5=<,故0.2222log 5<<,所以()()()0.2222lo 5g f f f <<,故a b c <<.故选：A.【点睛】本题主要考查指数函数的单调性,当()f x 为增函数时,自变量越大则函数值越大. 4．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解析】根据提示三分法，考虑将硬币分为3组，然后将有问题的一组再分为3组，再将其中有问题的一组分为3，此时每组仅为1枚硬币，即可分析出哪一个是假币.【详解】第一步将27枚硬币分为三组，每组9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的9枚金币再分成三组，每组3枚，任取2组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组，若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组，每组1枚，取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡，则假币是剩下的一个；若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用3次天平.故选：B.【点睛】息，由此入手会方便很多.5．如图，直线l 的解析式为y =-x +4，它与x 轴和y 轴分别相交于A ，B 两点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与x 轴和y 轴分别相交于C ，D 两点，运动时间为t 秒(0≤t ≤4)，以CD 为斜边作等腰直角三角形CDE (E ，O 两点分别在CD 两侧)．若△CDE 和△OAB 的重合部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】分别计算出02t ≤≤和24t <≤时, S 与t 之间的函数关系,再结合四个选项即可判断出答案.【详解】当02t ≤≤时,212S t =, 当24t <≤时,222113(24)88222S t t t t =--=-+-, 分析四个选项可知,选C.故选:C【点睛】本题考查了求分段函数的解析式,考查了函数的图象的识别,属于基础题.6．如图所给的程序运行结果为41S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．7k ≥？B ．6k ≥？C ．5k ≥？D ．6k >？【答案】B 【解析】程序运行结果为41S =,执行程序,当6k =时,判断条件成立,当5k =时,判断条件不成立,输出41S =,即可选出答案.【详解】根据程序框图,运行如下:初始10,1k S ==,判断条件成立,得到11011S =+=,1019k =-=;判断条件成立,得到11920S =+=,918k =-=;判断条件成立,得到20828S =+=,817k =-=;判断条件成立,得到28735S =+=,716k =-=;判断条件成立,得到35641S =+=,615k =-=;判断条件不成立,输出41S =,退出循环,即6k ≥符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了程序框图的识别与判断,弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.7．下列判断正确的是（ ）A ．“2x <-”是“ln(3)0x +<”的充分不必要条件B ．函数22()99f x x x =++的最小值为2C ．当,R αβ∈时，命题“若sin sin αβ≠，则αβ≠”为真命题D ．命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃≤，020*******x +≤”【答案】C函数的最小值，利用原命题与逆否命题的关系可判断C 选项是否正确，否定全称命题即可确定选项D 是否正确.【详解】逐一考查所给命题的真假：对于选项A ：由ln(3)0x +<可得031x <+<，即32x -<<-，故“2x <-”是“ln(3)0x +<”的必要不充分条件，则题中的命题为假命题；对于选项B：令)3t t =≥，由对勾函数的性质可知函数()()13f t t t t=+≥单调递增，其最小值为()1033f =，则题中的命题为假命题； 对于选项C ：考查其逆否命题：“若αβ=，则sin sin αβ=”，很明显该命题为真命题，则题中的命题为真命题；对于选项D ：命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃>，020*******x +≤”，则题中的命题为假命题；故选：C.【点睛】当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.否则，可利用以下结论进行判断：①一个命题的否定与原命题肯定一真一假;②原命题与其逆否命题同真假.8．若两个非零向量a r ，b r 满足2a b a b a +=-=r r v v v ，则向量a b +r v 与a b-r v 的夹角是（ ）A ．6πB ．2πC ．23πD ．56π 【答案】C【解析】先将条件平方，进而得2203a b b a⎧⋅=⎪⎨=⎪⎩r r r r ，利用夹角公式求解即可. 【详解】 将2a b a b a +=-=r r v v v 平方得：22222224a a b b a a b b a +⋅+=-⋅+=v v v r v r v r r ，解得：2203a b b a⎧⋅=⎪⎨=⎪⎩r r r r .222()()1cos ,42||||a b a b a b a b a b a a b a b +⋅--<+->===-+-r r v v v r r v v r r v v v r . 所以向量a b +r v 与a b -r v 的夹角是23π. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，利用向量的数量积求向量的夹角，本题的解题关键是将条件平方得向量的长度关系及数量积的值，属于基础题.9．如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院.该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上.甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作.若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是（ ）A ．34B ．712C ．12D ．512【答案】B【解析】依题意，基本事件的总数为44A =24，设事件A 表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，则事件A 包含133A ⨯+2222A ⨯⨯=14个基本事件，故P （A ）可求．【详解】依题意，基本事件的总数为44A =24，设事件A 表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，①若甲模仿“扶”，则A 包含133A ⨯=6个基本事件；②若甲模仿“捡”或“顶”则A 包含2222A ⨯⨯=8个基本事件，综上A 包含6+8＝14个基本事件，所以P （A ）147==，故选B ．【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，分类讨论的思想，属于基础题．10．设2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过2F 的直线交双曲线的右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若223MF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．2CD ．2【答案】D 【解析】设双曲线的左焦点为F 1，则MF 2PF 1为平行四边形，根据双曲线定义可得12,3MF a MF a ==，在△MF 1F 2中利用余弦定理得出a ，c 的关系即可求出离心率． 【详解】 设双曲线的左焦点为F 1，由双曲线的对称性可知四边形MF 2PF 1为平行四边形． ∴121,//MF PF MF PN =． 设2PF m =，则2||3MF m =， ∴2122a MF MF m =-=，即12,3MF a MF a ==．∵21260,60MF N F MF ︒︒∠=∴∠=， 又122F F c =，在△MF 1F 2中，由余弦定理可得：2224923cos60c a a a a ︒=+-⋅⋅⋅， 即2222747,4c c a a =∴=，∴双曲线的离心率e c a ==． 故选D ．【点睛】本题考查了双曲线的性质，离心率计算，利用双曲线的对称性是解题的关键，属于中档题．11．设函数()2sin x f x e a x =-，()0,x π∈有且仅有一个零点，则实数a 的值为（ ）A ．42e πB ．422πC ．222e πD 22e π【答案】B 【解析】先由题意得到方程2sin =x e a x 在()0,x π∈上仅有一个实根；令()sin =xe g x x，得到函数()sin =xe g x x与直线2y a =在()0,x π∈上仅有一个交点；用导数的方法判断()sin =xe g x x单调性，求出最值，结合图像，即可得出结果. 【详解】因为函数()2sin xf x e a x =-，()0,x π∈有且仅有一个零点； 所以方程2sin 0-=x e a x 在()0,x π∈上仅有一个实根； 即方程2sin =x e a x 在()0,x π∈上仅有一个实根；令()sin =xe g x x， 则函数()sin =xe g x x与直线2y a =在()0,x π∈上仅有一个交点； 因为()22sin cos ()sin cos sin sin -'==-x x xe e x e g x x x x， 由()0g x '>得sin cos 0->x ，因为()0,x π∈，所以4ππ<<x ；由()0g x '<得sin cos 0-<x ，因为()0,x π∈，所以04x π<<；所以，函数()sin =x e g x x 在04π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增； 因此44min ()24sin 4ππππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭e g x g e 作出函数()sin =xe g x x的大致图像如下：因为函数()sin =xe g x x与直线2y a =在()0,x π∈上仅有一个交点， 所以4min2()2π==a g x e ，记得422π=a e . 故选B【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点，通常将函数零点问题，转化为两函数图像交点的问题，结合图像求解即可，属于常考题型.12．在三棱锥A BCD -中，60BAC BDC ∠=∠=︒，二面角A BC D --的余弦值为13-，当三棱锥A BCD -的体积的最大值为64） A ．5πB ．6πC ．7πD ．8π【答案】B【解析】根据两个射影，结合球的图形，可知二面角A BC D --的平面角为AMD ∠；根据题意可知当AB AC =，BD CD =时，三棱锥A BCD -的体积最大。
河北省石家庄市“五个一联盟”2019-2020学年高一上学期联考试题 数学 Word版含答案
河北省“五个一名校联盟”2019级高一年级联考试题数学试卷(满分：150分，测试时间：120分钟)第I 卷(选择题，共60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知U ＝{x|0≤x ≤5，x ∈Z}，M ＝{1，4，5}，N ＝{0，3，5}，则N∩(U ðM)＝A.{5}B.{0，3}C.{0，2，3，5}D.{0，1，3，4，5}2.下列四组函数，表示同一函数的是A.f(x)＝1，g(x)＝x 0B.21()1,()1x f x x g x x -=+=- C.f(x)＝2lgx ，g(x)＝lgx 2 D.f(x)＝log 22x ，g(x)33x 3.若55cos()12πα-=sin()12πα+= 5 B.23- C.2354.函数12019log (32)y x =-A.[1，3/2)B.(－∞，1]C.[2/3，1]D.(2/3，1]5.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；③若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同；④若cosθ<0，则θ是第二或第三象限的角。
其中正确的命题个数是A.1B.2C.3D.4 6.若121ln ,2a b e -==，c 满足e －c ＝lnc ，则a ，b ，c 的大小关系为 A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.b>a>c7.若2a ＝3b ＝6c ，则111a b c++= A.0 B.1 C.2 D.38.函数y ＝f(x)的图象如图所示，则f(x)可能是A.xsinxB.xcosxC.sin x x D.cos x x 9.已知θ∈(0，4π)，则2sinθ12sin()cos πθθ-- A.sinθ＋cosθ B.sinθ－cosθ C.3sinθ－cosθ D.3sinθ＋cosθ10.已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的最小正周期为π，且对任意的x ∈R ，恒有f(x)≥－f(6π)成立，则f(x)图象的一条对称轴是 A.x ＝2π B.x ＝3π C.x ＝4π D.x ＝23π 11.已知函数f(x)＝4x －a·2x ＋a ，在x ∈(0，＋∞)的图像恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是A.a ≤3B.a>2C.0<a<4D.a<412.已知函数2log ,03()sin(),3156x x f x x x π⎧<<⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数a ，使得f(x)＝a 有四个零点x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则3421(1)(1)x x x x --⋅的取值范围是 A.(28，55) B.(27，54) C.(21，45) D.(27，45)第II 卷(非选择题，共90分)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省石家庄市第二中学、唐山市第一中学等“五个一名校联盟”2019-2020学年高一上学期联考数学试题 Word
河北省“五个一名校联盟”2019级高一年级联考试题数学试卷（满分：150分，测试时间：120分钟）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{|05,}U x x x =≤≤∈Z ，{1,4,5}M =，{0,3,5}N =，则()U N M ⋂=（ ）A. {5}B. {0,3}C. {0,2,3,5}D.{0,1,3,4,5}【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集补集运算，即可求解. 【详解】由题意{}0,1,2,3,4,5U ={}0,2,3UM =(){}0,3U N M ∴⋂=故选：B【点睛】本题考查集合交集补集运算，属于基础题. 2.下列四组函数，表示同一函数的是（ ） A. 0()1,()f x g x x ==B. ()1f x x =+，21()1x g x x -=-C.()2lg f x x =，2()lg g x x =D. 2()log 2xf x =，()g x =【答案】D 【解析】 【分析】根据相等函数概念，逐一分析定义域和对应法则，即可求解.【详解】A 中，()1f x =定义域R ，0()g x x =定义域为{}0x x ≠，则不是同一函数；B 中，()1f x x =+定义域R ，21()11x g x x x -==+-定义域为{}1x x ≠，则不是同一函数； C 中，()2lg f x x =定义域()0,∞+，2()l 2g g l g x x x ==定义域为{}0x x ≠，则不是同一函数；D 中，2()log 2xx f x ==定义域R ，()g x x ==定义域R ，则是同一函数；故选：D【点睛】本题考查相等函数的概念，属于基础题.3.若5cos 123πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.B. 23-C.23D.【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可知512122πππαα⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，运用诱导公式，即可求解.【详解】5cos 123πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 5sin sin 12212πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎭⎣∴⎝⎦5cos 12πα⎛⎫=- ⎪⎝⎭= 故选：A【点睛】本题考查三角函数组合角的诱导公式，属于基础题.4.函数y = ）A. 31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. (,1]-∞C. 2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 2,13⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】根据根式和对数式的限定条件，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，则有12019log (32)0320x x -≥⎧⎪⎨⎪->⎩即321320x x -≤⎧⎨->⎩，解得213x <≤则定义域为2,13⎛⎤ ⎥⎝⎦故选：D【点睛】本题考查定义域求法，属于基础题.5.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；③若sin sin αβ=，则α与β的终边相同；④若cos 0θ<，θ是第二或第三象限的角.其中正确的命题个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，对题目中的命题进行分析，判断正误即可.【详解】对于①，根据任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，①错误； 对于②，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关，②正确；对于③，若sin sin αβ=，则α与β的终边相同，或关于y 轴对称，③错误； 对于④，若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角，或终边在x 负半轴上，④错误； 综上，其中正确命题是②，只有1个. 故选：A【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数概念，属于基础题. 6.若1ln2a =，12b e -=，c 满足ln c e c -=，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. c b a >> D. b a c >>【答案】C【分析】根据题意，构造函数xy e -=与ln y x =的图象交点问题，c 为交点纵坐标，可得1c >，再将,a b 与0,1比较，即可求解.【详解】由题意，构造函数xy e -=与ln y x =交点，由图象知1c >1lnln102a =<=，则0a <， 10201b ee -<=<=，则01b <<，则c b a >> 故选：C【点睛】本题考查指数式，对数式比较大小，考查数形结合，属于中等题. 7.若236a b c==，则111a b c+-=（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】A 【解析】 【分析】根据题意令236a b c k ===，导出2lg log lg 2k a k ==，3lg log lg3k b k ==，6lg log lg 6kc k ==，代入即可求解.【详解】由题意，令236a b c k === 则有2lg log lg 2k a k ==，3lg log lg3k b k ==，6lg log lg 6kc k ==则111lg 2lg3lg 6lg 2lg3lg 60lg lg lg lg a b c k k k k+-+-=+-==【点睛】本题考查对数换底公式及运算，属于基础题. 8.函数()y f x =的图象如图所示，则()f x 可能是（ ）A. sin x xB.cos x xC.sin xxD.cos xx【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象确定函数的定义域，奇偶性进行判断即可.【详解】由图象知函数的定义域为{}0x x ≠，故排除,A B ，函数的图象关于原点对称，即函数为奇函数，sin xf x x 是偶函数，不满足条件， cos xf xx是奇函数，满足条件. 故选：D【点睛】本题考查函数图象判断奇偶性和定义域，考查数形结合思想，属于中等题型. 9.已知0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2sin 12sin()cos θπθθ--=（ ） A. sin cos θθ+ B. sin cos θθ-C. 3sin cos θθ-D.3sin cos θθ+【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可判断cos sin θθ>，再根据诱导公式和同角三角函数关系可化简. 【详解】由题意，2sin 12sin()cos θπθθ--2sin θ=2sin cos sin θθθ=+-sin cos θθ=+故选：A【点睛】本题考查诱导公式化简三角函数，属于基础题. 10.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+0,0,||2A πωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且对任意的x ∈R ，恒有()6f x f π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭成立，则()f x 图象的一条对称轴是（ ）A. 2x π=B. 3x π=C. 4x π=D. 23x π=【答案】D 【解析】 【分析】根据题意对任意的x ∈R ，()6f x f π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭恒成立，则可知6f π⎛⎫⎪⎝⎭为函数最大值，再根据周期性可求对称轴.【详解】由题意，对任意的x ∈R ，()6f x f π⎛⎫≥-⎪⎝⎭恒成立， 又()min f x A =-，则6f A π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故6x π=为最大值点，6x π∴=为函数对称轴，且已知周期为π，则函数()f x 的对称轴方程为()62k x k ππ=+∈Z ， 则当1k =时，对称轴方程为23x π=. 故选：D【点睛】本题考查三角函数的对称性和最值，属于中等题型.11.已知函数()42x x f x a a =-⋅+，在(0,)x ∈+∞的图像恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是（ ） A. 3a ≤ B. 2a > C. 04a << D. 4a <【答案】D 【解析】 【分析】根据题意令2x t =，由(0,)x ∈+∞则()1,t ∈+∞，则函数2y t at a =-+，则问题转化成20t at a -+>在()1,t ∈+∞上恒成立，化简不等式()211111t a t t t t <=++⋅>--恒成立，根据基本不等式可求21t t -的范围，再根据恒成立思想，可求参数取值范围.【详解】令2x t =，(0,)x ∈+∞则()1,t ∈+∞， 函数化成2y t at a =-+则函数()42xxf x a a =-⋅+，在(0,)x ∈+∞图象恒在x 轴上方，可转化成20t at a -+>在()1,t ∈+∞恒成立，故21t a t <-在()1,t ∈+∞恒成立，则有2211111121111t t t t t t t t t t -+-+==++=-++----且10t ->则22241t t ≥+=-，又21t a t <-在()1,t ∈+∞恒成立， 则2min41t a t ⎛⎫<= ⎪-⎝⎭故a 的范围4a < 故选：D【点睛】本题考查换元法转化函数恒成立问题，考查计算能力，有一定难度.12.已知函数3log,03 ()sin,3156x xf xx xπ⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤⎪⎪⎝⎭⎩，若存在实数a，使得()f x a=有四个零点1234,,,x x x x，且1234x x x x<<<，则()()341211x xx x-⋅-⋅的取值范围是（）A. (28,55)B. (27,54)C. (21,45)D. (27,45)【答案】A【解析】【分析】根据题意作出函数图象，确定121=x x，3418x x+=，34315x x<<<由此可得()()341211x xx x-⋅-⋅的取值范围.【详解】函数3log,03()sin,3156x xf xx xπ⎧<<⎪=⎨⎛⎫≤≤⎪⎪⎝⎭⎩的图象如图所示函数()y f x=与y a=交于4个交点，则01a<<()()12f x f x=，3132log logx x∴-=312log0x x∴=，121x x∴=()()34f x f x a==则3436,1215x x<<<<3418x x∴+=()()()343434341211117x xx x x x x xx x--∴=-++=-3436,1215x x<<<<，且3418x x+=()23433331818x x x x x x∴=-=-+()3445,72x x ∴∈ ()()()34121128,55x x x x --∴∈故选：A【点睛】本题考查分段函数的零点问题，考查数形结合，考查计算能力，有一定难度.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在答题卡上.13.31log 211lg 1003⎛⎫+-= ⎪⎝⎭________________.【答案】2- 【解析】 【分析】根据指数运算法则，化简为同底指数幂的运算，再根据对数运算法则及对数恒等式，即可求解.【详解】由题意，31log 211lg1003⎛⎫- ⎪⎝⎭3141log 236222lg103--=⋅+-()1222=+--2=-故答案为：2-【点睛】本题考查指数运算和对数运算，属于基础题.14.已知3cos sin 13cos sin 5x x x x -=+，则22sin 3sin cos 2cos x x x x --=__________.【答案】45-【解析】 【分析】 根据商数关系，sin tan cos xx x=求解tan x 值，再根据平方关系22sin cos 1x x +=，化简三角函数值，【详解】由题意3cos sin 3tan 13cos sin 3tan 5x x x x x x --==++解得tan 2x =则22sin 3sin cos 2cos x x x x --2222sin 3sin cos 2cos sin cos x x x xx x--=+ 22tan 3tan 2tan 1x x x --=+45=- 故答案为：45-【点睛】本题考查齐次式运算，属于基础题.15.已知函数21log (3),3()111,23a x x f x x ax x ⎧>⎪⎪=⎨⎪-+-≤⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 的取值范围是______.【答案】420,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】根据分段函数单调性，则13x >时对数函数单调递增，13x ≤时二次函数单调递增， 当13x =时，二次函数取值小于等于对数函数值，即可求解. 【详解】由题意，函数2log (3)()112a x f x x ax ⎧⎪=⎨-+-⎪⎩1313x x >≤，在R 上增函数，则有2111224311111log 303233a a a a a ⎧>⎪⎪⎪=≥⎨⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-≤⨯=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩解得42033a ≤≤ 则实数a 的取值范围420,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：420,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查复合函数单调性问题，考查计算能力，属于中等题型. 16.下列四个命题：①函数tan y x =是奇函数且在定义域上是单调递增函数；②函数||13x y m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有两个零点，则01m <≤；③函数()||f x x x =⋅，则(23)(6)0f x f x -+->的解集为{|3}x x >；④函数2log sin y x =的单调递减区间为32,2()22k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z . 其中正确命题的序号为__________. 【答案】③ 【解析】 【分析】根据正切函数性质，判断①错误；根据指数函数翻折变换画图，根据图像即可求解参数取值范围，知②错；根据函数解析式判断函数单调性及奇偶性，即可求解集，知③正确；根据复合函数单调性法则，求解单调区间，知④错误.【详解】对于①，正切函数tan y x =是奇函数，定义域为2,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，单调区间为2,2()22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈⎪⎝⎭，在每一个区间内单调递增，但不是在其定义域内单调递增，故①错误；对于②，函数||13x y m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有两个零点，转化成||13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与直线y m =有两个交点，作两个函数图象，如下图所示：根据图像，可知01m <<，故②错误； 对于③，函数()||f x x x =⋅，()||()f x x x x x f x -=-⋅-=-⋅=-是奇函数，22()=x f x x x x ⎧=⋅⎨-⎩ 0x x ≥<，则函数()f x 在R 上单调递增，由(23)(6)0f x f x -+->，则(23)(6)(6)f x f x f x ->--=-236x x ∴->-，解得3x >则解集为{}3x x >，故③正确； 对于④，函数2log sin y x=是复合函数，令sin 0t x =>是内层函数，2log y t =是外层函数，根据复合函数单调性同增异减，2log y t =在0t >是增函数，则sin t x =为减函数，又sin 0x >，则减区间为2,2()2k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，故④错误； 故答案为：③【点睛】本题考查真假命题的判断，考查函数单调性及零点问题，综合性较强，属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分.请将解答过程书写在答题卡上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数cos cos()2()3sin tan()2x x f x x x πππ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭=⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭. （1）若角x 的终边经过点(3,4)-，求()f x 的值； （2）若1()28f x f x π⎛⎫⋅+=- ⎪⎝⎭.且角x 为第三象限角，求()2f x f x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）35（2）【解析】 【分析】（1）根据诱导公式化简解析式，再根据三角函数定义求解3cos 5x =，即可求解.（2）由（1）可化简1()cos sin 28f x f x x x π⎛⎫⋅+=-⋅=- ⎪⎝⎭和()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭，根据同角三角函数关系式，即可求解.【详解】解：（1）cos cos()2()cos 3sin tan()2x x f x x x x πππ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭==-⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭； ∵角x 的终边经过点(3,4)-，3cos 5x ∴==；3()5f x ∴=-.（2）由1()cos sin 28f x f x x x π⎛⎫⋅+=-⋅=- ⎪⎝⎭，1sin cos 8x x ∴⋅= ()cos sin 2f x f x x x π⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭.∴由22215(cos sin )cos sin 2cos sin 144x x x x x x +=++⋅=+= 又∵角x 为第三象限角，cos sin 0x x ∴+<cos sin 2x x ∴+=-【点睛】本题考查（1）诱导公式（2）sin cos x x⋅与cos sin x x +关系的常用公式；考查计算能力，属于基础题.18.设集合(){22|log 23A x y x x ==-+++，集合{|223}B x a x a =-<<-.（1）若3a =，求AB ；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|12}A B x x =<≤（2）5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】（1）根据对数式中真数大于零和根号下被开方数大于等于零，求解函数定义域从而表达集合A ，代入3a =，求集合B ，再求交集.（2）根据题意，A B A ⋃=推出B A ⊆，讨论空集情况，根据子集关系即可求解参数取值范围.【详解】解：（1）由223020x x x ⎧-++>⎨-≥⎩，得132x x -<<⎧⎨≤⎩，{|12}A x x ∴=-<≤当3a =时，{|13}B x x =<<，{|12}A B x x ∴⋂=<≤. （2）若A B A ⋃=，则B A ⊆.①若B =∅，即223a a -≥-，1a ≤时，满足条件；②若B ≠∅，需满足：121232a a a >⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，解得，512a <≤；综上①②可知，满足条件的实数a 的取值范围是5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查（1）具体函数定义域求法和集合交集运算（2）根据子集关系求解参数范围，考查分类讨论思想，属于基础题.19.已知定义在R 上的函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，02πϕ<<）的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，且图象上一个最低点的坐标为,23π⎛⎫-- ⎪⎝⎭. （1）求函数()y f x =的解析式，并求其单调递增区间； （2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2()1g x a f x a =⋅-+的最大值为4，求实数a 的值.【答案】（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；单调递增区间是,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z （2）当0a >时，1a =；当0a <时，1a =- 【解析】 【分析】（1）根据题意，相邻两条对称轴之间的距离为半个周期，确定参数ω，再根据最低点坐标可确定A 和ϕ，即可求解函数解析式，（2）根据题意写出()g x 解析式，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦确定1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再讨论a 的正负情况，列出最大值，求解参数.【详解】解：（1）由题意，相邻两条对称轴之间的距离为2π，则1=22T π，T π∴=，2ω∴=又一个最低点的坐标为,23π⎛⎫-- ⎪⎝⎭，2A ∴=， 22()32k k Z ππϕπ⎛⎫∴⋅-+=-+∈ ⎪⎝⎭，则2()6k k Z πϕπ=+∈，又02πϕ<<，6πϕ∴=故函数解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 由222262k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得，36k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，∴函数()y f x =的单调递增区间是,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z .（2）()2()14sin 216g x a f x a a x a π⎛⎫=⋅-+=⋅+-+ ⎪⎝⎭， 由已知0a ≠；1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.当0a >时，max ()414g x a a =-+=，解得1a =； 当0a <时，max ()214g x a a =--+=，解得1a =-.【点睛】本题考查（1）利用函数性质求三角函数解析式（2）sin()y A x ωϕ=+型函数值域问题，考查分类讨论思想，属于中等题型20.某银行推出一款短期理财产品，约定如下： （1）购买金额固定；（2）购买天数可自由选择，但最短3天，最长不超过10天； （3）购买天数()*x x ∈N 与利息y 的关系，可选择下述三种方案中的一种：方案一：314y x =+；方案二：214y x =；方案三：x y =.请你根据以上材料，研究下面两个问题：（1）结合所学的数学知识和方法，用其它方式刻画上述三种方案的函数特征； （2）依据你的分析，给出一个最佳理财方案. 【答案】（1）详见解析（2）答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，运用函数模型解决实际问题，由自变量是天数取正整数，用列表法或者图像法（散点图）刻画三种函数的函数特征.（2）根据题意，按照天数的不同取值范围，选出利息最高的方案.【详解】（1）方法一：列表，得出三种方案所有天数的利息，可以精确得出任意一天三种方案对应利息的大小关系，为选择最佳方案提供数据支持.方法二：列表，得出三种方案部分天数利息（或所有天数利息）；作出函数图象（散点图），并用虚线连接，对比三个函数图象可以更直观看到三种方案的利息随天数变化趋势的特征，以及三个图像相互间的位置关系，从而为选择最佳方案提供图像支持.（注：①列表得出部分天数利息，描点做函数图象时，至少要标出第3天、第4天、第8天对应的三个点，以及第4—8天和9—10天中的任意一天对应的点，即描出5个点；如果描点不全，酌情扣掉2-3分；②方案一和方案二之间比较，也可通过作差构造函数，依据函数零点和单调性等知识得出结论.） 附：参考列表和图象：（2）当购买天数为3天时，选择方案一最佳；当购买天数为4天时，选择方案一或方案二或方案三最佳； 当购买天数为5-7天时，选择方案二最佳： 当购买天数8天时，选择方案二或方案三最佳；当购买天数为9-10天时，选择方案三最佳；【点睛】本题属于开放性探究试题，重点考查利用函数模型解决实际问题的能力，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中等题型.21.已知定义在R 上的函数()x x f x a e e -=⋅-为奇函数. （1）求a 的值；（2）用定义证明函数()y f x =的单调性，并解不等式1(1)f x e e+-； （3）设()()2()xf xg x e f x =-+，当(2]x ∈-∞时，2()2xmg x e >-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1a =（2）证明见解析，不等式的解集为{|2}x x ≤-（3）(0,2] 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义，由(0)0f =，即可求解；（2）根据函数单调性定义，设12,x x 是R 上任意两个实数，且12x x <，比较()()12f x f x ，的大小关系，即可证明函数单调性，再由1(1)(1)(1)f x e f x f e+≥-⇔+≥-，利用单调性解不等式.（3）由（1）中()f x 解析式，写出()g x 解析式，运用换元法，设2x t e =，则2()2xmg x e >-恒成立，可转化成121t m t t -⋅>-+，(0,2]t ∈恒成立，根据恒成立思想，转化不等式，即可求解.【详解】解：（1）由()xx f x a ee -=⋅-为定义域为R 的奇函数，(0)0f ∴=，得1a =；经检验适合题意（2）由（1）知，()xx f x ee -=-.设12,x x 是R 上任意两个实数，且12x x <，则()()()()112221121211x x x x x x x x f x f x e e e e e e e e---=---=-+- ()()2112212112121x x x x x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e-+⋅=+-=-⋅⋅⋅ 由xy e =是定义在R 上增函数，又12x x <，210xxe e ∴->；由指数函数性质可知，0x e >，210x xe e ∴⋅>，2110x x e e +⋅>；于是()()120f x f x ->，即()()12f x f x >. 所以，函数()xx f x ee -=-是定义在R 上的减函数.1(1)(1)(1)f x e f x f e+≥-⇔+≥-；()f x 是定义在R 上的减函数，∴上式等价于11x +≤-，即2x -≤；∴不等式的解集为{|2}x x ≤-.（3）22()1()(2()1x x x xx x x f x e e e g x x e f x e e e ----=-==∈-∞+++. 设2x te =，则(0,2]t ∈，2()2xmg x e >-恒成立，即121t m t t -⋅>-+，(0,2]t ∈恒成立， 整理得，2(1)20t m t m -++-<，(0,2]t ∈恒成立. 设2()(1)20h t t m t m =-++-<，(0,2]t ∈，则，若满足题意需(0)20(2)0h m h m =-≤⎧⎨=-<⎩，即02m <≤；所以，实数m 的取值范围是(0,2].【点睛】本题考查（1）函数奇偶性（2）定义法证明单调性（3）不等式恒成立问题；考查转化与化归思想，考查计算能力，综合性较强，有一定难度.22.已知奇函数()y f x =和偶函数()y g x =满足2()()2log (1)f x g x x +=-. （1）求函数()y f x =和函数()y g x =的解析式；（2）设函数()()()(1)22f x g x F x x m =+⋅-⋅，若()y F x =在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内有且只有一个零点，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）21()log 1x f x x ，()22()log 1g x x =-.（2）2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性，令x x =-代入，可列关于()()f x g x ，的方程组，运用加减消元法可解方程组；（2）根据题意，写出解析式2()1(11)F x mx x m x =-+--<<，讨论m 是否等于零，，运用零点存在性定理，判断()y F x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且只有一个零点，即可求解. 【详解】解：（1）由已知，2()()2log (1)f x g x x +=-① 得：2()()2log (1)f x g x x -+-=+， 又()y f x =奇函数，()y g x =偶函数；即2()()2log (1)f x g x x -+=+② 由①②联立，解得：21()log 1x f x x，()22()log 1g x x =-. （2）()2221log log 1()()1()(1)22(1)22x x f x g x xF x x m x m --+=+⋅-⋅=+⋅-⋅21(11)mx x m x =-+--<<①当0m =时，()10F x x =-+=，得，1x =，不符合题意； ②当0m ≠时，由(1)0F =得： 若满足题意，需1(0)02F F ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭，即31(1)042m m ⎛⎫-⋅-+< ⎪⎝⎭，解得213m <<. 综上，满足题意的实数m 的取值范围是2,13⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查（1）函数奇偶性（2）零点存在性定理，考查函数与方程思想，考查分类讨论思想，属于中等题型.。
2020届河北省“五个一”名校联盟高三上学期一轮复习收官考试数学(理)试题(解析版)
2020届河北省“五个一”名校联盟高三上学期一轮复习收官考试数学（理）试题一、单选题1．设集合{}1|21x A x -=≥，{}3|log ,B y y x x A ==∈，则B A =ð（ ） A ．()0,1B ．[)0,1C ．(]0,1D ．[]0,1【答案】B 【解析】先化简集合A,B,再求B A ð得解.【详解】由题得{}10|22{|1}x A x x x -=≥=≥，{}|0B y y =≥. 所以{|01}B A x x =≤<ð.故选：B【点睛】本题主要考查集合的化简和补集运算，考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．已知复数z 满足121i i z -=+，则z =( )A B ．2 C D【答案】C【解析】将121i i z -=+化为121i z i-=+后,两边取模即可求得答案. 【详解】 因为121i i z -=+, 所以121i z i-=+,所以12|12|||||1|1|2i i z i i --=====++. 故选:C【点睛】 本题考查了复数的模的运算,化为12i z -=后,两边取模,根据模的运算性质求解,不需要进行复数的除法运算,这样可以减少运算,本题属于基础题.3．已知函数()2x f x =，若()()()0.222,,lo 52g a f b f c f ===，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．a ＜c ＜b 【答案】A【解析】由于()2x f x =为增函数,故只需判断()f x 中自变量的大小关系即可.【详解】由题,()2x f x =为增函数,且0.21222<=,222log 4log 5=<,故0.2222log 5<<,所以()()()0.2222lo 5g f f f <<,故a b c <<.故选：A.【点睛】本题主要考查指数函数的单调性,当()f x 为增函数时,自变量越大则函数值越大. 4．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B【解析】根据提示三分法，考虑将硬币分为3组，然后将有问题的一组再分为3组，再将其中有问题的一组分为3，此时每组仅为1枚硬币，即可分析出哪一个是假币.【详解】第一步将27枚硬币分为三组，每组9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组中；若天平不平衡，假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的9枚金币再分成三组，每组3枚，任取2组，分别放于天平左右两侧测量，若天平平衡，则假币在第三组，若天平不平衡则假币在较轻的一组；第三步再将假币所在的一组分成三组，每组1枚，取其中两组放于天平左右两侧测量若天平平衡，则假币是剩下的一个；若天平不平衡，则较轻的盘中所放的为假币.因此，一定能找到假币最少需使用3次天平.故选：B.【点睛】息，由此入手会方便很多.5．如图，直线l 的解析式为y =-x +4，它与x 轴和y 轴分别相交于A ，B 两点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动．它与x 轴和y 轴分别相交于C ，D 两点，运动时间为t 秒(0≤t ≤4)，以CD 为斜边作等腰直角三角形CDE (E ，O 两点分别在CD 两侧)．若△CDE 和△OAB 的重合部分的面积为S ，则S 与t 之间的函数关系的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】分别计算出02t ≤≤和24t <≤时, S 与t 之间的函数关系,再结合四个选项即可判断出答案.【详解】当02t ≤≤时,212S t =, 当24t <≤时,222113(24)88222S t t t t =--=-+-, 分析四个选项可知,选C.故选:C【点睛】本题考查了求分段函数的解析式,考查了函数的图象的识别,属于基础题.6．如图所给的程序运行结果为41S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．7k ≥？B ．6k ≥？C ．5k ≥？D ．6k >？【答案】B 【解析】程序运行结果为41S =,执行程序,当6k =时,判断条件成立,当5k =时,判断条件不成立,输出41S =,即可选出答案.【详解】根据程序框图,运行如下:初始10,1k S ==,判断条件成立,得到11011S =+=,1019k =-=;判断条件成立,得到11920S =+=,918k =-=;判断条件成立,得到20828S =+=,817k =-=;判断条件成立,得到28735S =+=,716k =-=;判断条件成立,得到35641S =+=,615k =-=;判断条件不成立,输出41S =,退出循环,即6k ≥符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了程序框图的识别与判断,弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题.7．下列判断正确的是（ ）A ．“2x <-”是“ln(3)0x +<”的充分不必要条件B ．函数22()99f x x x =++的最小值为2C ．当,R αβ∈时，命题“若sin sin αβ≠，则αβ≠”为真命题D ．命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃≤，020*******x +≤”【答案】C函数的最小值，利用原命题与逆否命题的关系可判断C 选项是否正确，否定全称命题即可确定选项D 是否正确.【详解】逐一考查所给命题的真假：对于选项A ：由ln(3)0x +<可得031x <+<，即32x -<<-，故“2x <-”是“ln(3)0x +<”的必要不充分条件，则题中的命题为假命题；对于选项B：令)3t t =≥，由对勾函数的性质可知函数()()13f t t t t =+≥单调递增，其最小值为()1033f =，则题中的命题为假命题； 对于选项C ：考查其逆否命题：“若αβ=，则sin sin αβ=”，很明显该命题为真命题，则题中的命题为真命题；对于选项D ：命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃>，020*******x +≤”，则题中的命题为假命题；故选：C.【点睛】当命题真假容易判断时，直接判断命题的真假即可.否则，可利用以下结论进行判断：①一个命题的否定与原命题肯定一真一假;②原命题与其逆否命题同真假.8．若两个非零向量a r ，b r 满足2a b a b a +=-=r r v v v ，则向量a b +r v 与a b-r v 的夹角是（ ）A ．6πB ．2πC ．23πD ．56π 【答案】C【解析】先将条件平方，进而得2203a b b a⎧⋅=⎪⎨=⎪⎩r r r r ，利用夹角公式求解即可. 【详解】 将2a b a b a +=-=r r v v v 平方得：22222224a a b b a a b b a +⋅+=-⋅+=v v v r v r v r r ，解得：2203a b b a⎧⋅=⎪⎨=⎪⎩r r r r .222()()1cos ,42||||a b a b a b a b a b a a b a b +⋅--<+->===-+-r r v v v r r v v r r v v v r . 所以向量a b +r v 与a b -r v 的夹角是23π. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，利用向量的数量积求向量的夹角，本题的解题关键是将条件平方得向量的长度关系及数量积的值，属于基础题.9．如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院.该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上.甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作.若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是（ ）A ．34B ．712C ．12D ．512【答案】B【解析】依题意，基本事件的总数为44A =24，设事件A 表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，则事件A 包含133A ⨯+2222A ⨯⨯=14个基本事件，故P （A ）可求．【详解】依题意，基本事件的总数为44A =24，设事件A 表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，①若甲模仿“扶”，则A 包含133A ⨯=6个基本事件；②若甲模仿“捡”或“顶”则A 包含2222A ⨯⨯=8个基本事件，综上A 包含6+8＝14个基本事件，所以P （A ）147==，故选B ．【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，分类讨论的思想，属于基础题．10．设2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过2F 的直线交双曲线的右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若223MF PF =，且260MF N ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．3B ．2CD ．2【答案】D 【解析】设双曲线的左焦点为F 1，则MF 2PF 1为平行四边形，根据双曲线定义可得12,3MF a MF a ==，在△MF 1F 2中利用余弦定理得出a ，c 的关系即可求出离心率． 【详解】 设双曲线的左焦点为F 1，由双曲线的对称性可知四边形MF 2PF 1为平行四边形． ∴121,//MF PF MF PN =． 设2PF m =，则2||3MF m =， ∴2122a MF MF m =-=，即12,3MF a MF a ==．∵21260,60MF N F MF ︒︒∠=∴∠=， 又122F F c =，在△MF 1F 2中，由余弦定理可得：2224923cos60c a a a a ︒=+-⋅⋅⋅， 即2222747,4c c a a =∴=，∴双曲线的离心率e c a ==． 故选D ．【点睛】本题考查了双曲线的性质，离心率计算，利用双曲线的对称性是解题的关键，属于中档题．11．设函数()2sin x f x e a x =-，()0,x π∈有且仅有一个零点，则实数a 的值为（ ）A ．42e πB ．422πC ．222e πD 22e π【答案】B 【解析】先由题意得到方程2sin =x e a x 在()0,x π∈上仅有一个实根；令()sin =xe g x x，得到函数()sin =xe g x x与直线2y a =在()0,x π∈上仅有一个交点；用导数的方法判断()sin =xe g x x单调性，求出最值，结合图像，即可得出结果. 【详解】因为函数()2sin xf x e a x =-，()0,x π∈有且仅有一个零点； 所以方程2sin 0-=x e a x 在()0,x π∈上仅有一个实根； 即方程2sin =x e a x 在()0,x π∈上仅有一个实根；令()sin =xe g x x， 则函数()sin =xe g x x与直线2y a =在()0,x π∈上仅有一个交点； 因为()22sin cos ()sin cos sin sin -'==-x x xe e x e g x x x x， 由()0g x '>得sin cos 0->x ，因为()0,x π∈，所以4ππ<<x ；由()0g x '<得sin cos 0-<x ，因为()0,x π∈，所以04x π<<；所以，函数()sin =x e g x x 在04π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增； 因此44min ()24sin 4ππππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭e g x g e 作出函数()sin =xe g x x的大致图像如下：因为函数()sin =xe g x x与直线2y a =在()0,x π∈上仅有一个交点， 所以4min2()2π==a g x e ，记得422π=a . 故选B【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点，通常将函数零点问题，转化为两函数图像交点的问题，结合图像求解即可，属于常考题型.12．在三棱锥A BCD -中，60BAC BDC ∠=∠=︒，二面角A BC D --的余弦值为13-，当三棱锥A BCD -6 ） A ．5πB ．6πC ．7πD ．8π【答案】B【解析】根据两个射影，结合球的图形，可知二面角A BC D --的平面角为AMD ∠；根据题意可知当AB AC =，BD CD =时，三棱锥A BCD -的体积最大。
河北省石家庄市第二中学、唐山市第一中学等“五个一联盟”2019-2020学年高一上学期联考数学试题答案
∴ 不等式的解集为{x | x 2} ．（6 分）
（Ⅲ）
g
x
f x 2ex f x
ex ex
ex e x
e 2x e 2x
1 1
x ，ln
2 ．
设 t e2x ，则 t 0，2 ， mg x e2x 2 恒成立， 即 m t 1 t 2 ， t 0，2 恒成立，
kπ
π 3
，kπ
π 6
k
Z
．（6
分）
（Ⅱ）
g x
2a
f
xa
1
4a sin
2x
π 6
a
1
，（7
分）
由已知
a
0
；
sin 2xπ 6
1 2
，1
．（8
分）
当 a 0 时， 4a a 1 4 ，得， a 1；（10 分） 当 a 0 时， 2a a 1 4 ，得， a 1．（12 分）
a
的取值范围是
，5 2
．（12
分）
19．解：（Ⅰ）
f
x
2
sin
2
x
π 6
．（4
分）
由 2k 2x 2k , k Z ，得， k x k , k Z ，
2
6
2
3
6
∴
函数 y
f
x
的单调递增区间是
2020届河北省“五个一”名校联盟高三上学期一轮复习模拟考试数学(理)试卷及解析
2020届河北省“五个一”名校联盟高三上学期一轮复习模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★第Ⅰ卷(选择题)一、选择题1.设集合{}1|21x A x -=≥,{}3|log ,B y y x x A ==∈,则B A =ð（）A. ()0,1B. [)0,1C. (]0,1D. []0,1 【答案】B【解析】【分析】先化简集合A,B,再求B A ð得解.【详解】由题得{}10|22{|1}x A x x x -=≥=≥,{}|0B y y =≥.所以{|01}B A x x =≤<ð.故选B2.已知复数z 满足121ii z -=+,则z =( )B. 2 【答案】C【解析】【分析】 将121i i z -=+化为121iz i -=+后,两边取模即可求得答案. 【详解】因为121ii z -=+, 所以121iz i -=+,所以12|12|||||1|1|2ii z i i --=====++故选:C【点睛】本题考查了复数的模的运算,化为121i z i-=+后,两边取模,根据模的运算性质求解,不需要进行复数的除法运算,这样可以减少运算,本题属于基础题.3.已知函数()2x f x =,若()()()0.222,,lo 52g a f b f c f ===,则（ ）A. a ＜b ＜cB. c ＜b ＜aC. b ＜a ＜cD. a ＜c ＜b【答案】A【解析】【分析】由于()2x f x =为增函数,故只需判断()f x 中自变量的大小关系即可.【详解】由题,()2x f x =为增函数,且0.21222<=,222log 4log 5=<,故0.2222log 5<<,所以()()()0.2222lo 5g f f f <<,故a b c <<. 故选A.4.我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解,在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币,其中有一假币（质量较轻）,把两枚硬币放在天平的两端,若天平平衡,则剩余一枚为假币,若天平不平衡,较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币,其中有一枚是假币（质量较轻）,如果只有一台天平,则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】B【解析】【分析】根据提示三分法,考虑将硬币分为3组,然后将有问题的一组再分为3组,再将其中有问题的一组分为3,此时每组仅为1枚硬币,即可分析出哪一个是假币.【详解】第一步将27枚硬币分为三组,每组9枚,取两组分别放于天平左右两侧测量,若天平平衡,则假币在第三组中；若天平不平衡,假币在较轻的那一组中；第二步把较轻的9枚金币再分成三组,每组3枚,任取2组,分别放于天平左右两。
河北省“五个一名校联盟”2019届高三第一次诊断考试—文数参考答案
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【精准解析】河北省石家庄市第二中学“五个一名校联盟”2019-2020学年高一上学期联考数学试题
0,
4
，则
2
sin
1 2 sin( ) cos （
）
A. sin cos
3sin cos
B. sin cos
C. 3 sin cos
综上，其中正确命题是②，只有1个.
故选： A
【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数概念，属于基础题.
6.若
a
ln
1 2
，b
1
e2
，
c
满足
ec
ln
c
，则
a,b, c
的大小关系为（
A. a b c
B. a c b
C. c b a
） D.
bac
-3-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，构造函数 y ex 与 y ln x 的图象交点问题， c 为交点纵坐标，可得 c 1， 再将 a, b 与 0,1 比较，即可求解. 【详解】由题意，构造函数 y ex 与 y ln x 交点，
【详解】由图象知函数的定义域为 x x 0 ，故排除 A, B ，函数的图象关于原点对称，即函
数为奇函数，
f (x)=
sin x
是偶函数，不满足条件，
x
\
f (x)=
cos x
是奇函数，满足条件.
x
故选： D
【点睛】本题考查函数图象判断奇偶性和定义域，考查数形结合思想，属于中等题型.
9.已知
B. (,1]
C.
2 3
,1
【答案】D 【解析】
【分析】
D.
2 3
,1
-2-
根据根式和对数式的限定条件，列出不等式，即可求解.
log 1 (3x 2) 0 【详解】由题意，则有 2019
河北省2019-2020学年高一上学期检测考试数学试卷含答案
数学试卷考试时间为120分钟 总分：150分一、选择题（每题5分，共60分）1.已知集合{}(){}22|40,|log 12A x N x x B x N x =∈-≥=∈+≥，则A B =I （ ） A.{}2,3 B.{}3,4 C. {}4,5 D.{}5,6 2.函数()ln 2f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,)+∞3. 函数29x y -=的定义域( )A ．(1,3)-B ．(1,3]-C ．(1,0)(0,3)-UD ．(1,0)(0,3]-U4. 已知23log ,(0)()3,(0)8,(0x x x f x x x x >⎧⎪=-=⎨⎪+<⎩）,则1=4f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A ．-1B ．0C ．1D ．25.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递减，则满足1(31)()3f x f ->-的x 取值范围是（ ）A ．2(,+)9∞B ． 24(,)99 C. 4)9∞（-, D ．11(,)33-6．已知函数log (1)3a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则2sin sin 2αα-的值等于（ ） A ．313 B ．513 C ．313- D ．513- 7．将函数cos 2y x =的图象经过怎样的平移，可以得到函数sin(2)3y x π=+的图象（ ）A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移12π个单位 C ．向右平移12π个单位 D ．向右平移6π个单位8．)(x f 是定义在R 上的奇函数，满足)()2(x f x f =+，当)1,0(∈x 时，12)(-=xx f ，则)6(log 21f 的值等于（ ）A ．21-B ．－6C ．65-D ．－49.设12,e e是两个互相垂直的单位向量，且1214OA=+u u u re e，1212OB=+u u u re e则OAuuu r在OBuuu r上的投影为( )A.410B.35C.3510D.32210．函数1()ln()f x xx=-图象是（）11.已知函数()23sin()3f x xπω=+()0ω>在平面直角坐标系中的部分图象如图所示，若90ABC∠=o，则=ω（）A．4πB．8πC．6πD．12π12.已知函数()[)2g(1),1,3()4,3,1lo x xf xxx⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩,则函数()()1g x f f x=-⎡⎤⎣⎦的零点个数为（）A．1 B．3 C．4 D．6二、填空题（每题5分，共20分）13．已知0.6log0.5a=，ln0.5b=，0.50.6c=．则则,,a b c的大小关系．14.1+tan20171tanαα=-，则1tan2cos2αα+= .15. 已知幂函数()223p py x p N--*=∈的图象关于y轴对称，且在()0,+∞上是减函数，实数a 满足()()233133p p a a -<+，则a 的取值范围是_________.16. 如图，已知在四边形ABCD 中，,AD AB CB CD ==，对角线AC ，BD 交于点O ， 若33AO OC ==u u u r u u u r，2CE ED =u u u r u u u r ，则AE AC =u u u r u u u r g ________三、解答题 17．（本题满分10分）已知全集R U =，集合{}15A x x =≤<，{}28B x x =<<，{}3C x a x a =-<≤+. （1）求A B U ,(C U A)∩B ；（2）若C ∩A=C,求a 的取值范围.18. （本题满分12分）如图，三个同样大小的正方形并排成一行.（1）求OA uu u r 与OB uuu r夹角的余弦值；（2）求BOD COD ∠+∠. 19．（本题满分12分）已知定义域为()2,2-的函数122()2x x b f x a+-+=+是奇函数．（1）求b a ,的值；（2）若2()(2)f x f x <-，求x 的取值范围． 20．（本题满分12分） 已知函数∈-+=x xx xx f ,1)2cos 2sin 3(2cos 2)(R ． （1）求)(x f 的最小正周期；（2）设6,0,,()2,(),25f f αβαβπ⎛⎫∈== ⎪⎝⎭求)(βα+f 的值．21. （本题满分12分）今年入冬以来，我市多有雾霾天气，空气污染较为严重。
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数学试卷 第 4页 （共 5 页）
21．（本题满分 12 分）已知定义在 R 上的函数 f x a ex ex 为奇函数．
B x a 2 x 2a 3 ．
（Ⅰ）若 a 3 ，求 A I B ； （Ⅱ）若 A U B A ，求实数 a 的取值范围．
19．（本题满分 12 分）已知定义在 R 上的函数 f x Asin x
（其中 A 0， 0，0 π ）的图象相邻两条对称轴之间的距离为 π ，且图象上一
河北省“五个一名校联盟” 2019 级高一年级联考试题
数学试卷
命题单位：石家庄市第一中学
（满分：150 分，测试时间：120 分钟）
第 I 卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.
1．已知U x 0 x 5, x Z, M 1, 4,5, N 0,3,5, 则 N (ðU M )
3. 若 cos( 5 ) 12
5 3
,
则
sin(
12
)
A. 5 3
B. 2 3
2
C.
3
4. 函数 y log 1 (3x 2) 的定义域为
2019
A.[1, 3) 2
B. (,1]
C. [2 ,1] 3
D. 5 5
D. (2 ,1] 3
5.给出下列命题： ①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们
,恒有
f
(x)
f
(
) 成立,则
f
(x)
图象的一条对称轴是
6
A. x 2
B. x 3
C. x 4
D. x 2 3
11. 已知函数 f (x) 4x a 2x a ，在 x (0, ) 的图像恒在 x 轴上方,则实数 a
的取值范围是
A. a 3
B. a 2
C. 0 a 4
数学试卷 第 3页 （共 5 页）
17．（本题满分 10 分）已知函数 f x
cos
x
π 2
cos
x
．
sin
3π 2
x
tan
π
x
（Ⅰ）若角 x 的终边经过点 3， 4 ，求 f x 的值；
（Ⅱ）若
f
x
f
x
π 2
1 8
，且角
x
为第三象限角，求
f
x
π 2
f
x
的值．
18 ．（ 本 题 满 分 12 分 ） 设 集 合 A x y log2 x2 2x 3 2 x ， 集 合
3cos x sin x
1 , 则 sin2 5
x 3sin x cos x 2 cos2
x
.
15.已知函数
f
(x)logຫໍສະໝຸດ (3x),x1 3
x2
1 2
ax
1,
x
1 3
是定义在
R
上的增函数，则实数
a
的取值范
围是
.
16.下列四个命题：
①函数 y tan x 是奇函数且在定义域上是单调递增函数； ②函数 y (1) x m 有两个零点，则 0 m 1;
3
③函数 f (x) x x , 则 f (2x 3) f (x 6) 0 的解集为x x 3;
④函数
y
log2
sin
x
的单调递减区间为
(2k
2
,
2k
3 2
)(k
Z) .
其中正确命题的序号为
.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．请将解答过程书写在答题卡上，并写出文字说
明、证明过程或演算步骤．
D. a 4
数学试卷 第 2页 （共 5 页）
12.
已知函数
f
x
log3 x ,
sin( 6 x),
0 x3 ，若存在实数 a ，使得 f (x) a 有四
3 x 15
个零点
x1,
x2 ,
x3 ,
x4
，且
x1
x2
x3
x4
，则
(x3
1) (x4 x1 x2
1)
的取值范围是
A. (28,55)
（3）购买天数 x x N 与利息 y 的关系，可选择下述三种方案中的一种：
方案一： y 3 x 1 ；方案二： y 1 x2 ；方案三： y
x
2．
4
4
请你根据以上材料，研究下面两个问题：
（Ⅰ）结合所学的数学知识和方法，用其它方式刻画上述三种方案的函数特征；
（Ⅱ）依据你的分析，给出一个最佳理财方案．
2
2
个最低点的坐标为
π 3
，
2
．
（Ⅰ）求函数 y f x 的解析式，并求其单调递增区间；
（Ⅱ）若
x
0，π2
时，
g
x
2a
f
x
a
1的最大值为 4
，求实数 a
的值．
20．（本题满分 12 分）某银行推出一款短期理财产品，约定如下： （1）购买金额固定；
（2）购买天数可自由选择，但最短 3 天，最长不超过10 天；
A.5
B. 0,3
C. 0, 2,3,5
D. 0,1,3, 4,5
2．下列四组函数，表示同一函数的是
A. f (x) 1, g(x) x0
B. f (x) x 1, g(x) x2 1 x 1
C. f (x) 2lg x, g(x) lg x2
D. f (x) log2 2x , g(x) 3 x3
B. (27,54)
C. (21, 45)
D. (27, 45)
第 II 卷（非选择题，共 90 分）
二、选择题： 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把正确答案填在答题卡上．
13. 化简 3 2 6 16 lg
1
(
1
)
log3
1 2
.
100 3
14.
3cos x sin x
已知
与扇形的半径的大小无关；③若 sin sin , 则 与 的终边相同；④若 cos 0,
数学试卷 第 1页 （共 5 页）
则 是第二或第三象限的角.其中正确的命题个数是
A.1
B. 2
C. 3
D. 4
6.
若a
ln
1
,
b
1
e2
,
c
满足
ec
ln c, 则 a,b, c 的大小关系为
2
A. a b c
9. 已知 (0, ) ，则 2sin 1 2sin( ) cos 4
A. sin cos B. sin cos C. 3sin cos D. 3sin cos 10. 已知函数 f (x) Asin( x )( A 0, 0, ) 的最小正周期为 ,且对
2
任意的
xR
B. a c b
7. 若 2a 3b 6c , 则 1 1 1 abc
A. 0
B. 1
C. c b a C. 2
D. b a c D. 3
8. 函数 y f (x) 的图象如图所示,则 f (x) 可能是
A. x sin x
B. x cos x
sin x
C.
x
cos x
D.
x