任意三角形的外接圆与内切圆半径
三角形外接圆与内切圆半径求法
三角形的外接圆与内切圆半径的求法之青柳念文创作一、求三角形的外接圆的半径1、直角三角形如果三角形是直角三角形，那末它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边.例1已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5 求△ABC 的外接圆的半径.解：∵AB＝13，BC ＝12，AC ＝5∴AB2＝BC2＋AC2， ∴∠C＝90°，∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径为6.5. 2、一般三角形①已知一角和它的对边例2如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C＝100°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径.分析：操纵直径构造含已知边AB . 解：作直径BD ，保持AD.则∠D＝180°－∠C＝80°，∠BAD＝90°∴BD＝D sin AB ＝︒80sin 10∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为︒80sin 5.注：已知双方和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以操纵本题的方法求出三角形的外接圆的半径.例3如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10＝50°求△ABC 外接圆⊙O 的半径. 分析：可转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，保持BD.则∠D＝∠C＝180°－∠CAB－∠BAC＝60°，∠DBA＝90°∴AD＝D sin AB ＝︒60sin 10＝3320∴△ABC 外接圆⊙O的半径为3310. ②已知双方夹一角例4如图，已知，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.分析：思索求出AB 解：作直径AD ，保持BD.作AE⊥BC，垂足为E.则∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°，CE ＝21AC ＝1，AE ＝3，BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7∴AD＝D sin AB ＝︒60sin 7＝2132∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为2131.③已知三边例5如图，已知，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15求△ABC 外接圆⊙O 的半径.分析：作出直径AD ，构造Rt△ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，操纵相似三角形便可以求出直径AD.解：作直径AD ，保持BD.作AE⊥BC，垂足为E. 则∠DBA＝∠CEA＝90°，∠D＝∠C∴△ADB∽△ACE ∴ABAEAD AC = 设CE ＝x,∵AC2-CE2＝AE2＝AB2-BE2∴132-x2＝152-(14-x)2x=5,即CE ＝5∴AE＝12 ∴1512AD 13= AD ＝465∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为865.二、求三角形的内切圆的半径1、直角三角形例6已知：在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝a ，AB ＝c求△ABC 外接圆⊙O 的半径.解：可证四边形ODCE 为正方形.设⊙O 的半径为r ， 则CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r ， ∴(a -r)+(b-r)=c, ∴r=2c b a -+,即△ABC 外接圆⊙O 的半径为2c b a -+.2、一般三角形①已知三边例7已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝Bb15求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.分析：思索先求出△ABC 的面积，再操纵“面积桥”，从而求出内切圆的半径.解：操纵例5的方法，或操纵海伦公式S△＝)c s )(b s )(a s (s ---(其中s=2cb a ++)可求出S△AB C ＝84，从而21AB •r+21BC •r+21AC •r=84, ∴r=4②已知双方夹一角例8已知：如图，在△ABC 中，cotB ＝34＝6求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.分析：思索先通过解三角形，求出△ABC 的面积及AC 的长，再操纵“面积桥”，从而求出内切圆的半径.解：作△ABC 的高AD.解直角三角形可得AD ＝3，CD ＝2，AC ＝13，因为21AB •r+21BC •r+21AC •r=21BC •AD, 可求得r=61311-③已知两角夹一边例9已知：如图，在△ABC 中，∠B＝60°，＝6求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.(切确到0.1) 分析：思路方法同上，读者可完成.总之，只要通过边、角能确定三角形，便可以鉴戒上面的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径.。
探求三角形的外接圆半径及内切圆半径的求解
探求三角形的外接圆半径及内切圆半径的求解部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑探求三角形的外接圆半径我们知道任意一个三角形都有外接圆，如何求三角形的外接圆的半径呢？其主要方法是构造直角三角形，利用相似三角形、勾股定理等知识求解。
一、特殊三角形 1.直角三角形例1．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，求△ABC 的外接圆的半径r.直径等于斜边。
解：∵AB＝13，BC ＝12，AC ＝5，∴AB2＝BC2＋AC2， ∴∠C＝90°，∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径r 为6.5. 2.等腰三角形例2．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC=10，BC ＝12，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：利用等腰三角形的对称性，相似三角形的相关知识解题. 解：作直径AD 交BC 于点E ，交圆于点D ，连接BD.∴∠ABD=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C， ∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D.∵∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB, ∴∠AEB=∠ABD=90°，∴BE=CE=6.∴AE=822=-BE AB .∵△ABE∽△ADB，∴AB AEAD AB =∴1881222===AE AB AD ,∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为9. 二、一般三角形 1.已知一角和它的对边 ⑴锐角三角形例3.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝10圆⊙O 的半径r.分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形. 解：作直径AD ，连结BD.∴∠D＝∠C＝＝60°，∠DBA＝90°.∴AD＝Dsin AB＝︒60sin 10＝3320∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为3310.⑵钝角三角形例4.在△ABC 中，AB ＝10，∠C＝100°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.<用三角函数表示） 分析：方法同例3.解：作直径BD ，连结AD.则∠D＝180°－∠C＝80°，∠BAD＝90°∴BD＝D sin AB＝︒80sin 10∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为︒80sin 5.注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径. 2.已知两边夹一角例5．已知：如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C＝60°，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：考虑求出AB ，然后转化为⑴的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.则∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°，CE ＝21AC ＝1，BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7∴AD＝Dsin AB＝︒60sin 7＝2132∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为2131.3.已知三边例6.已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.分析：作出直径AD ，构造Rt△ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，利用相似三角形就可以求出直径解：作直径AD ，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.则∠DBA＝∠CEA＝90°，∠D＝∠C ∴△ADB∽△ACE，∴ABAEAD AC =设CE ＝x,∵AC2-CE2＝AE2＝AB2-BE2，∴132-x2＝152-(14-x>2 ∴x=5,即CE ＝5，∴AE＝12 ∴151213=AD ，∴AD＝465∴△ABC 外接圆⊙O 的半径r 为865.4.已知两边及第三边上的高例7.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，AD⊥BC，且AD=5，求△ABC 外接圆⊙O 的半径r.p1EanqFDPw 分析：作出直径AE ，构造Rt△ABE，利用相似三角形就可以求出直径AE.解：连接AO 并延长交圆于点E ，连接BE ， 则∠ABE＝90°. ∵∠E＝∠C，∠ABE＝∠ADC＝90°， ∴Rt△ABE∽Rt△ADC， ∴AC AEAD AB =，∴657AE =， ∴AE=542.总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆的半径.另一种求法：AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径．求证AB·AC＝AE·AD．即：三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商．例1 如图1，已知等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，求它的外接圆的半径．解由题意知三角形底边上的高为解从A作AM⊥BC于M，则AD2－MD2＝AM2＝AC2－(MD＋CD>2．即 52－MD2＝72－(MD＋3>2．得R＝14，则△ABC外接圆面积S＝πR2＝196π．例3如图3，已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上，求①抛物线的顶点坐标；②抛物线与x轴的交点B、C的坐标；③△ABC的外接圆的面积．解①A(2，－9>；②B(－1，0>； C(5， 0>．③从A作AM⊥x轴交于M点，则BM＝MC＝3．AM ＝9．∴R＝5△ABC外接圆面积S＝πR2＝25π在锐角△ABC中，BC＝a、CA＝b、AB＝c，外接圆半径为R．因此，知道一个锐角和它的对边时，即可用此法求出三角形的外接圆半径，如：例4 如果正三角形的外接圆半径为6cm，那么这个正三角形的边长a＝______cm．解∵正三角形每一个内角为60°．例5 已知等腰三角形ABC的底边BC的长为120°，求它的外接圆的直径．(课本题>解由题意知：探求三角形的内切圆半径一、任意三角形外接圆半径设三角形各边边长分别为a,b,c外接圆半径为R，<如右图所示）则βαβαβαsin sin cos cos 2)cos(222-=-+=+ab c b a<余弦定理）而R bR b22cos ==α，R b R 4sin 22-=αR aR a22cos ==β，R a R 4sin 22-=β即有：=-+ab c b a 2222R a R R b R R a R b 44222222-⋅--⋅即有：222222222)4)(4(R a R b R ab ab c b a ---=-+所以：)4)(4()(222222222a Rb R abc b a R ab --=-+-即有：2222242222422222)(416)(4)(4)(b a R b a R ab c b a R c b a R ab ++-=-++-+-所以：])(4[222222ab c b a R c -+-=，即：])(4[2222222222c b a b a R c b a -+-= 所以：))()()((a c b b c a c b a c b a abcR -+-+-+++=而三角形面积：))()()((4a c b b c a c b a c b a S -+-+-+++=<海伦公式） 所以，有：S abcR 4=※ 另一求法，可用正弦定理，即：RA a2sin =，而bc a c b A 2cos 222-+=所以：22222222222)(4)2(12)(cos 12sin 2a c b c b abcbca cb aA aA a R -+-=-+-=-==二、任意三角形内切圆的半径 设三角形各边边长分别为a,b,c 内切圆半径为r ，<如右图所示）因为内切圆的圆心为各角的角平分线的交点， 所以，会有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+c z y b y x a z x ，解得2c b a x -+=显然：αtan x r =，而ααααα2cos 1)2(cos 12cos 12sin tan 2+-=+= 而由余弦定理有：ab c b a 22cos 222-+=α所以：))(()()(4)2(1tan 222222222222c b a c b a c b a ab c b a abc b a -+++-+-=-+-+-=α即有:r 即：r =申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
三角形的外接圆与内切圆半径的求法
三角形的外接圆与内切圆半径的求法一、求三角形的外接圆的半径 1、直角三角形如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边. 例1已知：在△ABC 中，AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5 求△ABC 的外接圆的半径. 解：∵AB ＝13，BC ＝12，AC ＝5，∴AB 2＝BC 2＋AC 2， ∴∠C ＝90°，∴AB 为△ABC 的外接圆的直径， ∴△ABC 的外接圆的半径为6.5. 2、一般三角形①已知一角和它的对边例2如图，在△ABC 中，AB ＝10，∠C ＝100°， 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.（用三角函数表示） 分析：利用直径构造含已知边AB 的直角三角形.解：作直径BD ，连结AD.则∠D ＝180°－∠C ＝80°，∠BAD ＝90°∴BD ＝D sin AB ＝︒80sin 10∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为︒80sin 5. 注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径.例3如图，已知，在△ABC 中，AB ＝10，∠A ＝70°，∠B ＝50°求△ABC 外接圆⊙O 的半径.分析：可转化为①的情形解题.解：作直径AD ，连结BD.则∠D ＝∠C ＝180°－∠CAB －∠BAC ＝60°，∠DBA ＝90°∴AD ＝D sin AB ＝︒60sin 10＝3320∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为3310. ②已知两边夹一角例4如图，已知，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，∠C ＝60° 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.分析：考虑求出AB ，然后转化为①的情形解题. 解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E.则∠DBA ＝90°，∠D ＝∠C ＝60°，CE ＝21AC ＝1，AE ＝3，BE ＝BC －CE ＝2，AB ＝22BE AE +＝7∴AD ＝D sin AB ＝︒60sin 7＝2132 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为2131. ③已知三边例5如图，已知，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.分析：作出直径AD ，构造Rt △ABD.只要求出△ABC 中BC 边上的高AE ，利用相似三角形就可以求出直径AD.解：作直径AD ，连结BD.作AE ⊥BC ，垂足为E. 则∠DBA ＝∠CEA ＝90°，∠D ＝∠C∴△ADB ∽△ACE ∴ABAEAD AC = 设CE ＝x, ∵AC 2-CE 2＝AE 2＝AB 2-BE 2∴132-x 2＝152-(14-x)2x=5,即CE ＝5 ∴AE ＝12 ∴1512AD 13= AD ＝465 ∴△ABC 外接圆⊙O 的半径为865.二、求三角形的内切圆的半径1、直角三角形例6已知：在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c 求△ABC 外接圆⊙O 的半径.解：可证四边形ODCE 为正方形.设⊙O 的半径为r ， 则CD=CE=r,BD=a-r,AE=b-r ， ∴(a -r)+(b-r)=c,∴r=2c b a -+,即△ABC 外接圆⊙O 的半径为2cb a -+. 2、一般三角形①已知三边例7已知：如图，在△ABC 中，AC ＝13，BC ＝14，AB ＝15 求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.分析：考虑先求出△ABC 的面积，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.解：利用例5的方法，或利用海伦公式S △＝)c s )(b s )(a s (s ---(其中s=2cb a ++)可求出S △ABC ＝84，从而21AB •r+21BC•r+21AC•r=84, ∴r=4 ②已知两边夹一角例8已知：如图，在△ABC 中，cotB ＝34,AB ＝5，BC ＝6 求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.分析：考虑先通过解三角形，求出△ABC 的面积及AC 的长，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.解：作△ABC 的高AD.解直角三角形可得AD ＝3，CD ＝2，AC ＝13， 因为21AB •r+21BC•r+21AC•r=21BC•AD, 可求得r=61311-B③已知两角夹一边例9已知：如图，在△ABC 中，∠B＝60°，∠C＝45°,BC＝6 求△ABC内切圆⊙O的半径r.(精确到0.1)分析：思路方法同上，读者可完成.总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径.。
三角形的外接圆与内切圆的性质
三角形的外接圆与内切圆的性质在数学几何学中，三角形是一个基本的几何形状。
而三角形的外接圆和内切圆是与三角形紧密相关的两个圆形。
本文将描述三角形的外接圆和内切圆的性质，并探讨它们的关系。
一、三角形的外接圆（Circumcircle）三角形的外接圆是能够完全通过三个顶点的圆。
这意味着三角形的每个顶点都位于圆上。
外接圆的圆心被称为三角形的外心（Circumcenter）。
在外接圆中，三角形的三条边都是圆的切线。
下面是三角形外接圆的性质：1. 外接圆的半径等于三角形任意一边的中线长。
2. 对于直角三角形，外接圆的直径等于斜边的长度。
3. 外接圆的周长等于三角形的周长。
二、三角形的内切圆（Incircle）三角形的内切圆是与三角形的三条边相切的圆。
内切圆的圆心被称为三角形的内心（Incenter）。
在内切圆中，三角形的每条边都是圆的切线。
下面是三角形内切圆的性质：1. 内切圆的半径等于三角形的内角平分线的长度，也等于三角形三个角的内切点到相应边的距离。
2. 内切圆的圆心到三边距离的和等于内切圆的半径。
3. 内切圆的半径与三角形的面积成正比。
面积越大，半径越大。
三、外接圆与内切圆的关系在任何三角形中，外接圆的圆心、内心以及重心（三条中线的交点）三点共线。
这条直线称为欧拉线（Euler Line）。
此外，外接圆和内切圆的半径之间存在着一个特殊的关系。
设R为外接圆的半径，r为内切圆的半径，s为三角形的半周长（即三边之和的一半），则有如下关系式：R = （abc）/（4∆）r = ∆/s其中，a、b、c为三角形的三边长度，∆为三角形的面积。
这两个关系式表明，外接圆的半径与三角形的边长成正比，而内切圆的半径与三角形的面积成正比。
总结：三角形的外接圆与内切圆是与三角形紧密相关的圆形。
外接圆通过三角形的三个顶点，内切圆与三角形的三条边相切。
外接圆和内切圆有着许多重要的性质，包括半径与三角形边长、面积的关系等。
同时，外接圆的圆心、内心和重心三点共线，并且外接圆和内切圆的半径之间存在着特殊的关系。
三角形的内切圆和外接圆
三角形的内切圆和外接圆三角形是几何学中最简单的形状之一，它由三条边和三个角组成。
在三角形的研究中，内切圆和外接圆是两个重要的概念。
一、内切圆内切圆是指能够与三角形的三条边都相切的圆。
对于任意三角形，都存在唯一的一条内切圆。
内切圆与三角形的关系可以通过以下性质来描述：1. 内切圆的圆心与三角形的三条角平分线的交点相同。
这是内切圆与三角形关系的一个重要性质。
换句话说，内切圆的圆心是三条角平分线的交点。
这一性质可以通过角平分线的定义和内切圆的定义进行证明。
2. 内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长。
内切圆的半径可以用三角形的面积除以半周长来表示。
其中半周长指的是三角形的三条边的长度之和除以2。
3. 内切圆的半径和面积有一定的关系。
内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长，这个关系可以通过计算得出。
这个关系可以用于解决一些与内切圆半径和三角形面积有关的问题。
二、外接圆外接圆是指能够与三角形的三个顶点都相切的圆。
对于任意三角形，都存在唯一的一条外接圆。
与内切圆类似，外接圆与三角形的关系也可以通过以下性质来描述：1. 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点。
外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点。
这可以通过垂直平分线的定义和外接圆的定义进行证明。
2. 外接圆的半径等于三角形的边长之积除以4倍三角形的面积。
外接圆的半径可以用三角形的边长之积除以4倍三角形的面积来表示。
这个关系可以用于计算外接圆的半径。
3. 外接圆的半径和面积有一定的关系。
外接圆的半径等于三角形的边长之积除以4倍三角形的面积，这个关系同样可以用于解决一些与外接圆半径和三角形面积有关的问题。
三、内切圆和外接圆的关系内切圆和外接圆有着密切的联系，在某些情况下，它们之间的关系可以相互推导。
1. 内切圆的半径和外接圆的半径之间存在一定的关系。
通过内切圆和外接圆的定义和性质，可以证明内切圆的半径等于外接圆半径的一半。
2. 三角形的三个角的角平分线交点是外接圆的圆心，而内切圆的圆心则是三个角的角平分线的交点，因此三角形的外接圆与内切圆有一个共同的圆心。
三角形外接圆与内切圆的关系
三角形外接圆与内切圆的关系在数学中，三角形是一种基础的几何形状，而外接圆和内切圆是与三角形紧密相关的几何概念。
本文将探讨三角形外接圆与内切圆的关系，并介绍它们的性质和特点。
一、外接圆外接圆是指可以完全包围三角形的圆，也就是通过三角形三个顶点的圆。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，连接三个顶点形成的边AB、BC、CA，外接圆的圆心为O，半径为R。
根据外接圆的性质可以得出以下结论：1. 外接圆的半径是三角形三边的中线之积的一半。
即 R = (AB × BC × CA) / (4×S)，其中S为三角形的面积。
2. 外接圆的圆心是三角形三个顶点的垂直平分线的交点。
3. 三角形的三条边与圆的切点构成的割线长度相等。
二、内切圆内切圆是指可以切刚好与三角形的三边相切的圆。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，连接三个顶点形成的边AB、BC、CA，内切圆的圆心为I，半径为r。
根据内切圆的性质可以得出以下结论：1. 内切圆的半径可以通过三角形的三条边之和与面积的比值计算得出。
即 r = 2×S / (AB + BC + CA)，其中S为三角形的面积。
2. 内切圆的圆心是三角形三个角的角平分线的交点。
3. 内切圆的切点是三角形三条边的垂直平分线的交点。
三、外接圆与内切圆的关系通过观察可以发现，三角形的外接圆和内切圆具有一定的关系。
根据欧拉定理，三角形的外接圆和内切圆的圆心，以及三角形的垂心、重心、外心四点共线，并且这条直线称为欧拉线。
具体而言，外接圆和内切圆的圆心与三角形的垂心、重心、外心四点共线。
垂心是指三角形三个顶点所形成的垂直平分线的交点，重心是指三角形三个顶点与它们所对边中点形成的线段的交点，外心是指三角形三个垂直平分线的交点。
此外，外接圆的半径大于内切圆的半径，且内切圆的圆心位于外接圆的圆心与三角形各顶点之间。
四、应用领域三角形外接圆和内切圆的关系在各个学科和领域中都有广泛的应用。
三角形的外接圆与内切圆的关系
三角形的外接圆与内切圆的关系三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个内角组成。
而在三角形中，外接圆和内切圆是两个与之密切相关的圆形。
外接圆，正如其名所示，是指可以完整地包围三角形的圆。
它的圆心位于三角形的外部，且圆心到三角形的每个顶点距离相等，这个距离叫做外接圆的半径。
那么，三角形的外接圆与内切圆之间存在着怎样的关系呢？内切圆是指可以刚好与三角形的三条边相切的圆形。
内切圆的圆心位于三角形的内部，且圆心到三角形的每条边的距离相等，这个距离叫做内切圆的半径。
根据三角形的性质，三角形的三条角平分线交于一个点，而这个点恰好是内切圆的圆心。
由此可见，三角形的内切圆与角平分线有紧密的关系。
除此之外，三角形的外接圆和内切圆还存在着一些相互关系。
首先，两个圆的圆心和三角形的顶点是共线的，也就是说它们在同一条直线上。
此外，三角形的任意一条边都是两个圆的切线，也可以说两个圆与三角形的每条边相切。
这一属性对于解决一些与圆有关的几何问题非常有用。
进一步地，我们还可以通过三角形的边长和角度来确定外接圆和内切圆的半径。
对于外接圆而言，其半径等于三角形的边长之积除以四倍三角形的面积。
而内切圆的半径则等于三角形的面积除以半周长（半周长等于三边之和的一半）。
利用外接圆和内切圆的性质，我们可以解决一些实际问题，比如计算三角形的面积、判断三角形的类型等。
在工程学、建筑学以及地理学等领域，对三角形的外接圆和内切圆的关系有着广泛的应用。
综上所述，三角形的外接圆与内切圆存在着紧密的关系。
两个圆的圆心和三角形的顶点共线，圆与三角形的顶点和边存在相切关系。
通过三角形的边长和角度，我们可以推导出外接圆和内切圆的半径。
这些性质不仅仅是几何学的基础知识，还在实际中有着重要的应用和意义。
三角形的外接圆与内切圆计算
三角形的外接圆与内切圆计算三角形是数学中的基本几何形状之一，而与三角形相关的外接圆与内切圆是其重要的特殊圆形。
本文将介绍外接圆与内切圆的定义以及它们的计算方法。
一、外接圆外接圆是指一个圆正好能够通过三角形的三个顶点，即三角形的顶点在这个圆上。
外接圆的圆心与三角形的三个顶点构成的直径相等。
对于一个已知三角形，我们可以根据其三个顶点在平面直角坐标系中的坐标来计算外接圆的圆心和半径。
假设三角形的顶点坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)，圆心的坐标计算公式为：圆心坐标的 x 坐标 = (x1 + x2 + x3) / 3圆心坐标的 y 坐标 = (y1 + y2 + y3) / 3半径的计算公式为：半径= √[(x1 - 圆心 x 坐标)² + (y1 - 圆心 y 坐标)²]二、内切圆内切圆是指一个圆正好与三角形的三条边相切，即三角形的每条边都与这个圆相切。
内切圆的圆心与三角形的三条边的交点构成的点相等。
对于一个已知三角形，我们可以根据三边的长度来计算内切圆的圆心和半径。
假设三角形的三边长度分别为a、b和c，半周长(semiperimeter)的计算公式为：半周长 = (a + b + c) / 2内切圆的半径的计算公式为：半径= √[(s - a) * (s - b) * (s - c) / s]其中，s 为半周长。
圆心的坐标计算公式比较复杂，默认三角形的三边长已知，可用海伦公式计算面积，进而计算出三角形的高。
内切圆的圆心坐标的 x 和 y 坐标可分别计算为：圆心坐标的 x 坐标 = (a * x1 + b * x2 + c * x3) / (a + b + c)圆心坐标的 y 坐标 = (a * y1 + b * y2 + c * y3) / (a + b + c)三、示例现在我们以一个具体的三角形来计算外接圆与内切圆的圆心坐标和半径。
假设三角形的三个顶点坐标分别为A(0, 0)、B(4, 0)和C(0, 3)。
三角形的内切圆和外接圆的性质
三角形的内切圆和外接圆的性质三角形是几何学中最基本的图形之一，有很多有趣的性质。
其中，内切圆和外接圆可以为我们提供一些重要的信息和应用。
本文将探讨三角形的内切圆和外接圆的性质，并讨论其与三角形形状和尺寸的关系。
一、内切圆的性质内切圆是指与三角形的三条边都相切的圆。
对于任意三角形ABC，我们可以找到一个唯一的内切圆，其圆心记作I，半径记作r。
1. 内切圆的圆心与三角形的角平分线相交于一点。
这意味着内切圆的圆心I与角A、B、C的平分线相交于D、E、F三点，如图1所示。
这个性质对于证明一些三角形的性质非常有用。
2. 内切圆的半径等于三角形三边的和的一半除以半周长，即r = (a +b + c) / 2s，其中a、b、c分别为边BC、AC、AB的长度，s为半周长（s = (a + b + c) / 2）。
这个公式可以用于计算内切圆的半径。
3. 内切圆的半径与三角形的面积之比等于定值2R / s，其中R为三角形的外接圆半径，s为半周长。
即r / S = 2R / s，其中S为三角形的面积。
这个性质称为“Euler公式”，对于证明一些三角形的性质也非常有用。
二、外接圆的性质外接圆是指可以通过三角形的三个顶点构造出来的圆。
对于任意三角形ABC，我们可以找到一个唯一的外接圆，其圆心记作O，半径记作R。
1. 外接圆的圆心位于三角形的三条中线的交点。
中线是指连接三角形的一个顶点与对应边中点的线段，如图2所示。
这个性质对于证明一些三角形的性质非常有用。
2. 外接圆的直径等于三角形的某条边的长度。
这意味着如果我们能够找到三角形的一条边的长度，就可以确定外接圆的直径，从而计算出外接圆的半径。
这个性质对于计算外接圆的尺寸非常有用。
3. 外接圆的半径与三角形的边长之比等于定值2r / R，其中r为三角形的内切圆半径，R为外接圆的半径。
即R / abc = 2r / R，其中a、b、c分别为三角形的边长。
这个性质也称为“Euler公式”，与内切圆的性质相对应。
三角形的外接圆与内切圆几何形中的圆与三角形关系
三角形的外接圆与内切圆几何形中的圆与三角形关系在几何形中，圆与三角形之间存在着密切的关系。
三角形的外接圆和内切圆是其中最常见的两种情况。
本文将详细阐述三角形与外接圆、内切圆之间的关系，并分析它们在几何学中的应用。
1. 外接圆与三角形的关系外接圆是指能够将三角形完全包围的圆，它的圆心位于三角形的外部并且与三个顶点连线的垂直平分线相交于一点。
三角形的外接圆相对于三个顶点有一些特殊的性质，如下所示：1.1 外接圆的圆心：外接圆的圆心是三角形三边中垂直平分线的交点，记为O。
这个交点可以通过绘制垂直平分线并求其交点来获得。
1.2 外接圆的半径：外接圆的半径等于三角形三边中任意一边的一半，记为R。
这可以通过连接外接圆圆心与三个顶点，然后测量圆心与其中一个顶点的距离来获得。
1.3 外接圆的切线：外接圆与三角形的三个边相切于各自的顶点。
这意味着切线与半径垂直，并且切线与半径之间的夹角等于切线与弦之间的夹角。
外接圆与三角形的关系不仅仅是理论上的，在实际应用中也有很多重要的应用。
例如，在计算三角形的周长和面积时，外接圆的半径和圆心坐标可以帮助我们更快速和准确地得出结果。
2. 内切圆与三角形的关系内切圆是能够与三角形的三条边相切的圆，它的圆心位于三角形的内部，并与三角形的三边相切于一个共同的点。
三角形与内切圆之间也有一些特殊的性质，如下所示：2.1 内切圆的圆心：内切圆的圆心是三角形三条边的角平分线的交点，记为I。
这个交点可以通过绘制角平分线并求其交点来获得。
2.2 内切圆的半径：内切圆的半径可以通过三角形的面积和半周长（即三角形周长的一半）来计算。
2.3 内切圆的切线：内切圆与三角形的三个边相切于各自的中点。
这意味着切线与半径垂直，并且切线与半径之间的夹角等于切线与弦之间的夹角。
与外接圆类似，内切圆与三角形的关系也在实际问题中具有重要的应用。
例如，在设计建筑物或计算机图形学中，我们经常需要计算三角形的内切圆半径和圆心坐标，以确定最佳的布局和形状。
三角形的内切圆与外接圆
三角形的内切圆与外接圆三角形是几何形状中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。
在三角形中有两个特殊的圆，分别是内切圆和外接圆。
本文将探讨三角形的内切圆与外接圆，包括它们的定义、性质以及应用。
一、内切圆内切圆指的是可以与三角形的三条边相切的圆。
对于任意一个三角形，都存在唯一的内切圆。
这个内切圆的圆心称为三角形的内心，内切圆的半径称为三角形的内切圆半径。
内切圆与三角形的关系有以下性质：1. 内切圆的圆心与三角形的三条角平分线的交点重合，即内切圆的圆心与三角形的内心重合。
2. 内切圆的半径与三角形的三条边的切点构成的线段相等，即内切圆的半径与三角形的三个切点之间的距离相等。
3. 内切圆的半径等于三角形的面积除以半周长。
内切圆在几何学中有广泛的应用，例如可以用来求解三角形的面积、周长等问题。
同时，内切圆也是许多三角形性质的基础，可以用来推导三角形的内角平分线、垂心、重心等重要概念。
二、外接圆外接圆指的是可以通过三角形的三个顶点构成的圆。
对于任意一个三角形，都存在唯一的外接圆。
这个外接圆的圆心称为三角形的外心，外接圆的半径称为三角形的外接圆半径。
外接圆与三角形的关系有以下性质：1. 外接圆的圆心与三角形的三个顶点共线，即外接圆的圆心与三角形的外心重合。
2. 外接圆的直径等于三角形的对边之和，即外接圆的直径等于三角形的周长。
3. 三角形的内心、重心、垂心和外心四点共线，这条直线称为欧拉线。
外接圆同样在几何学中有重要的应用，例如可以用来构造等边三角形、判断三角形是否为直角三角形等。
外接圆的性质还可以用来推导三角形的垂直平分线、角平分线等重要概念。
三、内切圆与外接圆的关系内切圆与外接圆之间存在一定的关系。
具体来说，内切圆的圆心、外接圆的圆心和三角形的顶点共线，这条直线称为欧拉线。
此外，内切圆的半径是外接圆半径的1/2。
这个欧拉线具有很多有趣的性质，可以用来推导三角形的一些特殊性质。
而内切圆和外接圆的关系也是几何学中的重要概念，深入理解它们的关系对于研究三角形的性质有着重要的意义。
8.5三角形外接圆半径和内切圆半径
3a 6
2
R 2r
做一做:
一三角形的三边长分别为3cm、4cm、 5cm，则其内切圆的 半径为——1cm——。
达标检测
一、判断。
1、三角形的外心到三角形各边的距离
相等。
（×）
2、直角三角形的外心是斜边的中点。 （ √）
二、填空：
1、直角三角形的两条直角边分别是 5cm和12cm，则它的外接圆
2
1
Or
s (abc)
2
r=
s ( s a )( s b )( s c )
B
(其中s
1
(a
b
a
c)）
s
s
2
b C
三角形的内切圆半径
求三角形内切圆的半径的公式
A
r= s
c
s( sa )( sb)( sc )
s
(其中s 1 (a b c)）
2
B
a
b
c
2 sin A 2sin B 2sin C R
三角形的内切圆
如图 圆O是 ABC 的内切圆的半径为r，则
= OBC+ OAC+ OAB
A
111
= ar br cr s( sa)(sb)( sc)
222
c
1
rr
= r(abc) s( sa)( sb)( sc)
三角形的外接圆的圆心是各边 垂直平分线的交点；其半径是交 点到顶点的距离。
三角形的内切圆的圆心是各内 角平分线的交点；其半径是交点 到一边的距离。
三角形的外接圆：
A
O
B
C
三角形的内切圆：
三角形的外接圆与内切圆
三角形的外接圆与内切圆外接圆与内切圆是与三角形密切相关的几何概念。
外接圆是指可以通过三角形的三个顶点构造出来的圆，而内切圆是指可以与三角形的三条边相切的圆。
这两个圆形在三角形的特性和性质中扮演着重要的角色。
外接圆是指通过三角形的三个顶点构造出来的圆。
可以通过三角形的三个顶点（A、B、C）构造出一个唯一确定的外接圆。
这个外接圆的圆心被称为三角形的外心（O），而外心到三个顶点的距离相等，也就是说，OA = OB = OC。
外接圆的半径被称为外接圆半径（R），它与三角形的边长有关，可以通过计算三角形的边长来确定。
内切圆是指可以与三角形的三条边相切的圆。
对于任意三角形，都可以构造出一个唯一确定的内切圆。
这个内切圆的圆心被称为三角形的内心（I），而内心到三条边的距离相等，也就是说，IA = IB = IC。
内切圆的半径被称为内切圆半径（r），它与三角形的面积有关，可以通过计算三角形的面积来确定。
外接圆和内切圆的性质有很多，它们对于研究和解决三角形相关问题非常有用。
首先，对于任意三角形，外接圆的直径等于对边的和。
也就是说，如果三角形的边长分别为a、b、c，那么外接圆的直径等于a + b + c。
其次，对于任意三角形，内切圆的半径与三角形的面积成正比。
也就是说，内切圆的半径r等于三角形的面积S除以半周长p的差值，即r = S / p，其中p = (a + b + c) / 2。
此外，外接圆和内切圆还有一些与角度和边长相关的性质。
例如，外接圆的直径等于内角的对边，即2R = a、2R = b、2R = c，以及内切圆半径与三角形的角度成正比，即r = a / 2sin(A/2) = b / 2sin(B/2) = c / 2sin(C/2)。
外接圆和内切圆在解决三角形相关问题时非常有用。
例如，如果我们知道一个三角形的外接圆半径和内切圆半径，我们就可以计算出这个三角形的面积和周长。
又或者，如果我们已知一个三角形的三个顶点坐标，我们也可以通过计算这个三角形的外接圆和内切圆的圆心坐标来进一步研究和解决相关问题。
三角形的外接圆和内切圆
三角形的外接圆和内切圆三角形是几何学中最基本的图形之一，具有许多独特的特性。
其中两个与三角形密切相关的圆形是外接圆和内切圆。
在本文中，我们将探讨这两个圆形在三角形中的性质和应用。
一、三角形的外接圆外接圆是经过三角形三个顶点的圆形。
具体来说，在一个三角形ABC中，如果存在一个圆，使得圆的圆心与三角形三个顶点A、B、C 共线，且圆的半径与三条边AB、BC、CA之间的距离相等，那么这个圆就是该三角形的外接圆。
外接圆具有以下性质：1. 外接圆的圆心位于三角形的三条垂直平分线的交点上，这个交点被称为三角形的外心。
2. 外接圆的半径等于三角形任意一边的垂直平分线到该边的距离。
3. 外接圆的直径等于三角形的最长边长度。
外接圆的性质使得它在几何学中具有广泛的应用。
例如，外接圆可以用来解决三角形的角平分线性质问题，或者作为一个重要的辅助工具来推导其他几何学问题的解。
二、三角形的内切圆内切圆是与三角形的三条边都相切的圆形。
具体来说，在一个三角形ABC中，如果存在一个圆，使得圆的圆心到三角形三条边上的点的距离都相等，那么这个圆就是该三角形的内切圆。
内切圆具有以下性质：1. 内切圆的圆心位于三角形三条角平分线的交点上，这个交点被称为三角形的内心。
2. 内切圆的半径等于三角形的三条边的长度之和除以三角形的周长的一半。
与外接圆类似，内切圆也在几何学中有广泛的应用。
例如，内切圆可以用来解决三角形的角平分线性质问题，或者作为一个重要的辅助工具来推导其他几何学问题的解。
三、外接圆和内切圆之间的关系在一个三角形中，外接圆和内切圆有一定的关系。
具体来说：1. 外接圆的圆心、内接圆的圆心和三角形的重心（三条中线交点）共线。
2. 外接圆的半径是内接圆半径的两倍。
这些关系使得外接圆和内切圆在解决几何学问题时相互配合，提供了更多的几何性质和可用的信息。
综上所述，三角形的外接圆和内切圆是与三角形密切相关的两个圆形。
它们具有特定的性质和应用，能够帮助我们解决各种几何学问题。
三角形的内切圆和外接圆的性质
三角形的内切圆和外接圆的性质三角形是初中数学学习中的重要内容之一，而三角形的内切圆和外接圆是三角形性质中的重要知识点。
了解和掌握内切圆和外接圆的性质，对于解决与三角形相关的问题具有重要的指导意义。
本文将从内切圆和外接圆的定义入手，分析其性质，并结合具体的例子进行说明，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识。
一、内切圆的性质内切圆是指与三角形的三条边都相切于一点的圆。
内切圆的性质有以下几点：1. 内切圆的圆心与三角形的三条角平分线交于一点，这个点称为内切圆心。
内切圆心与三角形的顶点连线垂直。
例如，考虑一个等边三角形ABC，其内切圆的圆心O与三个顶点的连线AO、BO、CO垂直，且交于一点O。
2. 内切圆的半径等于三角形三边的和的一半除以三角形的半周长。
例如，对于一个任意形状的三角形ABC，设其内切圆的半径为r，三角形的半周长为s，则有r = s / (a + b + c)。
3. 内切圆的半径与三角形的面积成正比。
例如，对于一个任意形状的三角形ABC，设其内切圆的半径为r，三角形的面积为S，则有S = r * (a + b + c) / 2。
二、外接圆的性质外接圆是指可以将三角形的三个顶点都放在圆上的圆。
外接圆的性质有以下几点：1. 外接圆的圆心是三角形三个顶点的垂直平分线的交点。
例如，对于一个任意形状的三角形ABC，其外接圆的圆心O是三个顶点A、B、C的垂直平分线的交点。
2. 外接圆的半径等于三角形三边的长度乘积的一半除以三角形的面积。
例如，对于一个任意形状的三角形ABC，设其外接圆的半径为R，三角形的面积为S，则有R = a * b * c / (4S)。
3. 外接圆的直径等于三角形的任意一条边与该边对应的角的正弦值的倒数的乘积。
例如，对于一个任意形状的三角形ABC，设其外接圆的直径为D，三角形的一条边为a，对应的角为A，则有D = a / sinA。
三、应用举例1. 已知一个等边三角形ABC，求其内切圆的半径和外接圆的半径。
三角形的内切圆与外接圆的性质比较
三角形的内切圆与外接圆的性质比较三角形是平面几何中最基本的图形之一，它的内切圆和外接圆是与三角形密切相关的重要概念。
本文将比较三角形的内切圆和外接圆的性质，从而更好地理解和应用这两个概念。
一、内切圆的性质内切圆指的是可以刚好与三角形的三条边相切的圆。
接下来我们将讨论内切圆的几个重要性质。
1. 内切圆的圆心在三角形的内部：对于任意一个三角形，它的内切圆的圆心必定在三角形的内部。
这是因为内切圆是与三角形的三条边相切的，而三角形的内角是锐角、直角或钝角，因此内切圆的圆心必然在三角形的内部。
2. 内切圆的圆心与三角形的各边的连线垂直：内切圆的圆心与三角形的各边的连线是垂直的。
这是由内切圆的定义和切线与半径垂直的性质所决定的。
3. 内切圆的半径为三角形三条边的连线的交点到相应边的距离：内切圆的半径可以看作是三角形三条边的连线的交点到相应边的距离。
这个距离等于半周长与面积的比值，即r = S / p，其中r表示内切圆的半径，S表示三角形的面积，p表示三角形的半周长。
二、外接圆的性质外接圆指的是可以刚好与三角形的三个顶点相切的圆。
下面我们将讨论外接圆的一些重要性质。
1. 外接圆的圆心在三角形的外部：对于任意一个三角形，它的外接圆的圆心必定在三角形的外部。
这是因为外接圆是与三角形的三个顶点相切的，而三角形的内角是锐角、直角或钝角，因此外接圆的圆心必然在三角形的外部。
2. 外接圆的圆心与三角形的三个顶点共线：外接圆的圆心与三角形的三个顶点共线，且在共线的直线上切割成两个互补的弧。
这个共线的直线被称为三角形的欧拉线。
3. 外接圆的直径等于三角形的对边：外接圆的直径等于三角形的对边。
即在外接圆上，连接三角形的两个顶点和对边的中点，这条线段的长度等于外接圆的直径。
三、内切圆与外接圆的联系与应用内切圆和外接圆有着密切的联系，在很多数学问题和几何证明中都会使用到这两个概念。
1. 内切圆与外接圆的圆心连线垂直：由于内切圆和外接圆的性质，它们的圆心与三角形的对边均垂直。
任意三角形外接圆半径内切圆半径的求法及通用公式
任意三角形外接圆半径内切圆半径的求法及通用公式1.外接圆半径的求法：三角形的外接圆是一个经过三个顶点的圆，因此可以通过三边的长度来计算外接圆的半径。
设三角形的三边分别为a，b，c，它们对应的顶点角分别为A，B，C。
根据三角形的外接圆性质，外接圆的半径与三角形的边长之间存在如下关系：R = a/(2sinA) = b/(2sinB) = c/(2sinC)其中，R表示外接圆的半径，A、B、C表示三角形的顶点角的度数。
2.内切圆半径的求法：三角形的内切圆是一个与三条边都切于一个点的圆，因此可以通过三边的长度来计算内切圆的半径。
设三角形的三边分别为a，b，c，它们对应的顶点角分别为A，B，C。
根据三角形的内切圆性质，内切圆的半径与三角形的半周长s之间存在如下关系：r=s/(a+b+c)其中，r表示内切圆的半径，s表示三角形的半周长，即s=(a+b+c)/2需要注意的是，在计算内切圆半径时，需要先计算出三角形的半周长。
综上所述，我们可以使用以上两个公式来计算任意三角形的外接圆半径和内切圆半径。
下面通过具体的例子来说明如何使用这些公式。
例1：已知三角形的三边长分别为a=3，b=4，c=5，求三角形的外接圆半径和内切圆半径。
根据外接圆半径的公式：R = a/(2sinA) = b/(2sinB) = c/(2sinC)其中A、B、C分别对应三角形的顶点角。
根据三角形的三角函数关系sinA=a/(2R)，sinB=b/(2R)，sinC=c/(2R)，可以得到：R = a/(2sinA) = b/(2sinB) = c/(2sinC) = 5/2因此，三角形的外接圆半径R为5/2根据内切圆半径的公式：r=s/(a+b+c)其中s表示三角形的半周长。
三角形的半周长s=(a+b+c)/2=(3+4+5)/2=6因此，三角形的内切圆半径r为6/(3+4+5)=6/12=1/2例2：已知三角形的三边长分别为a=6，b=8，c=10，求三角形的外接圆半径和内切圆半径。
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任意三角形的外接圆与内切圆半径的求法
圆与三角形有着密不可分的关系，对于任意一个三角形来说，三角形是圆的内接三角形或是外切三角形。
而对于圆来说，三角形必定有它的外接圆和内切圆。
那么三角形的各边数量关系与其对应的圆的半径有着怎样的一种关系呢？下面就上述问题作一探索。
一、特殊三角形―――直角三角形的外接圆和内切圆半径的求法。
例1、已知R t △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝13，AC ＝5，BC ＝12，求外接圆半径R 和内切圆半径r 值。
解：由题意得；2132==c R ；22
131252=-+=-+=c b a r 。
二、非特殊三角形的外接圆和内切圆半径的求法。
例2、已知△ABC 中，AB ＝13，AC ＝14，BC ＝15，求外接圆半径R 和内切圆半径r 值。
解：如图：作BC 边上的高线AD ；设BD ＝x ，则CD ＝15－x 。
由勾股定理得：AD 2＝AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2，
即：()2222151413x x --=-，得x=5
33； 再得：AD ＝5
56， 1、先求内切圆半径： 根据()r c b a s ABC ++=
∆21 得：()r 1514132
15561521++=⨯⨯ 得： r ＝4 ；
2、作△ABC 的外接圆⊙O ，连接AO 并延长交⊙O 于
E ，连接CE 。
则△ABD ∽△AEC ， 则AC AD AE AB = ，即14
556
213=R ，得R ＝865。
例3、已知△ABC 中，AB ＝13，AC ＝25，BC ＝17，求
外接圆半径R 和内切圆半径r 值。
解：如图：作BC 边上的高线AD ；设BD ＝x ，则
CD ＝17－x 。
由勾股定理得：AD 2＝AB 2－BD 2＝
AC 2－CD 2， 即：()()2222172
513x x --=-，得x=12； 再得：AD ＝5，
1、先求内切圆半径： 根据()r c b a s ABC ++=
∆21 得：()r 2517132151721++=⨯⨯ 得： r ＝2
26- ； 2、作△ABC 的外接圆⊙O ，连接AO 并延长交⊙O 于E ，连接CE 。
则△ABE ∽△ADC ， 则AC AE AD AB = ，即252513R = ，得R ＝2
213。
三、小结
例2和例3中，求三角形内切圆半径是通过()r c b a s ABC ++=
∆2
1公式，根据三角形的面积和周长来达到目的。
求三角形外接圆半径是通过三角形相似来计算的。
它们有一共同的特征就是要求出一条边上的高线。
例2和例3中的三角形分别是锐角三角形和钝角三角形，为了避免在计算中分类的问题，可统一为选择最长的一边为底边，再计算这条边上的高线即可,这时就不需考虑这个三角形是锐角还是钝角三角形的问题。
中考题
1.直角三角形的外接圆半径为5cm ，内切圆半径为1cm ，则此三角形的周长是( )
A 、24cm
B 、
22cm
C、15cm
D、25cm 基本思路：。