机电工程基础 Matlab设计作业

Matlab程序设计
上交作业要求：
1）电子文档：设计分析报告一份（包括系统建模、系统分析、系统设计思路、程序及其执行结果）。

2）Matlab程序：可执行程序一份（运行程序可显示、输出执行结果）
按班级统一上交。

题目一：
考虑如图所示的倒立摆系统。

图中，倒立摆安装在一个小车上。

这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。

倒立摆系统的参数包括：摆杆的质量（摆杆的质量在摆杆中心）、摆杆的长度、小车的质量、摆杆惯量等。

图倒立摆系统
设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量 %≤10%，调节时间ts ≤4s ，使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置(x=0)。

要求：1、建立倒立摆系统的数学模型
2、分析系统的性能指标——能控性、能观性、稳定性
3、设计状态反馈阵，使闭环极点能够达到期望的极点，这里所说的期望的极点确定
是把系统设计成具有两个主导极点，两个非主导极点，这样就可以用二阶系统的
分析方法进行参数的确定
4、用MATLAB 进行程序设计，得到设计后系统的脉冲响应、阶跃响应，绘出相应状
态变量的时间响应图。

题目二：
根据自身的课题情况，任意选择一个被控对象，按照上题所示步骤进行分析和设计，并给出仿真程序及其执行结果。

选择的被控对象在第四周上报，通过与教师协商确认，以避免选题不当与选题重复。

解：
一、
第一部分单阶倒立摆系统建模
由于此问题为”单一刚性铰链、两自由度动力学问题”，因此，依据经典力学的牛顿定律即可满足要求。

如图1.1所示，设小车的质量为M，倒立摆均匀杆的质量为m，摆长为2l，
O为摆摆的偏角为 ，小车的位移为x，作用在小车上的水平方向上的力为F，
1
杆的质心。

根据刚体绕定轴转动的动力学微分方程，转动惯量与角加速度乘积等于作用于刚体主动力对该轴力矩的代数和，则
1）摆杆绕其重心的转动方程为
Jθ=F y lsinθ−F x lcosθ（1-1）2）摆杆重心的水平运动可描述为
(x+lsinθ)（1-2）
F x=m d2
dt
3）摆杆重心在垂直方向上的运动可描述为
(lcosθ)（1-3）
F y−mg=m d2
dt
4）小车水平方向运动可描述为
F−F x=M d2x
（1-4）
dt
由式（1-2）和式（1-4）得
(M+m)ẍ+ml(cosθ∙θ−sinθ∙θ2)=F（1-5）由式（1-1）、式（1-2）和式（1-3）得
(J+ml2)+mlcosθ∙ẍ=mlgsinθ（1-6）整理式（1-5）和式（1-6），得
{
ẍ=
(J+ml 2)F+LM(J+ml 2)sinθ∙θ2−m 2l 2gsinθcosθ
(J+ml 2)(M+m )−m 2l 2cos 2θ
θ=
mlcosθ∙F+m 2l 2sinθcosθ∙θ2−(M+m)mlgsinθ
m 2l 2cos 2θ−(M+m)(J+ml 2)
（1-7）
因为摆杆是匀质细杆，所以可求其对于质心的转动惯量。

因此设细杆摆长为
2l ，单位长度的质量为l ρ，取杆上一个微段dx ，其质量为l m dx ρ=，则此杆对于
质心的转动惯量有 :
J =∫(ρl dx)x 2l
−l
=2ρl 3/3
杆的质量为: m =2ρl l 所以此杆对于质心的转动惯量有: J
=
ml 2
3
由式（1-7）可见，一阶直线倒立摆系统的动力学模型为非线性微分方程组。

为了便于应用经典控制理论对该控制系统进行设计，必须将其简化为线性定常的系统模型。

若只考虑θ在其工作点00θ=附近（1010θ︒︒-<<）的细微变化，则可近似认
为 {θ2≈0sinθ≈θcosθ≈1
在这一简化思想下，系统精确模型式（1-7）可简化为
{
ẍ=
(J +ml 2)F −m 2l 2gθJ (M +m )+Mml 2
θ=(M +m )mlgθ−mlF J (M +m )+Mml 2
若给定一阶直线倒立摆系统的参数为：小车的质量m 0=2kg 摆杆的质量m=1kg ；倒摆长度20.6l m =；重力加速度取210/g m s =，则可得到进一步的简化模型为 0.44 3.330.412x F F θθθ
=-⎧⎨
=-+⎩ (1-8) 上式为系统的”微分方程模型”，对其进行拉普拉斯变换可得系统的传递函数模型为
{
G 1(s )=
θ(s)F (s)
=
−0.4s 2−12
G 1(s )=
X (s)F (s)
=
0.44s 2−3.98s 4−12s 2
（1-9）
下面进行系统状态空间方程的求解：
以摆角θ、角速度θ’、小车位移x 、加速度x ’为系统状态变量，Y 为输出，F 为输入
即 X =[x 1x 2x 3x 4]=[θθX X ] Y =[θX ]=[x 1x 3]
由线性化后运动方程组得
x 1=θ=x 2 x 2=θ=0.4F +12x 1 x 3=X =x 4 x 4=X =0.44F −3.33x 1
故空间状态方程如下：
X =[x 1x 2x 3x 4]=[0100
120000001−3.33000][x 1x 2x 3
x 4]+[
0−0.400.44
] Y =[x 1x 3
]=[
10
000010][x 1
x 2
x 3
x 4
]+0F 写成线性定常系统状态空间表达式一般式为
⎭
⎬
⎫⎩⎨⎧+=+=DF CX Y BF AX X
其中:
A=[0 1 0 0;12 0 0 0;0 0 0 1;-3.33 0 0 0];
B=[0;-0.4;0;0.44];
C=[1 0 0 0；0 0 1 0]; D=0
第二部分 分析系统的性能指标——能控性、能观测性、稳定性
能控性
首先来分析系统的能控性：
我们令系统的状态能控性矩阵为Qc.
由MATLAB程序Qc=ctrb(A,B)有：
Qc =
0 -0.4 0 -4.8
-0.4 0 -4.8 0
0 0.44 0 1.332
0.44 0 1.332 0
接下来，计算Qc的秩
由MATLAB有：rank(Qc)=4；
由于满秩，所以我们这里可以知道系统是状态完全能控的。

能观性分析：
我们令系统的状态能观性矩阵为Qb。

由MATLAB程序Qb=obsv(A,C)有：
Qb =
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
12 0 0 0
-3.33 0 0 0
0 12 0 0
0 -3.33 0 0
再输入rank(Qb)
ans =4
于是系统是能观测的。

稳定性
在MATLAB中，输入eig（A）
求得的结果是ans = 0
3.4641
-3.4641
因为结果不全是负实部，故而该系统不稳定。

第三部分状态反馈系统的极点配置以及求状态反馈阵
状态反馈阵极点配置
因为我们知道，该系统的能控性矩阵满秩，所以该系统是能控的。

可以通过状态反馈来任意配置极点。

希望的极点为s1=-4，s2=-4.5,s3=-5,s4=-5.5。

3.2 求状态反馈阵
在MATLAB中输入命令
P=[-4,-4.5,-5,-5.5];
K=place(A,B,P)
得到计算结果为:
K = -504.7929 -165.2875 -125.3799 -107.0795
第四部分 MATLAB程序设计
利用MATLAB/Simulink构造单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型，如下图（a），（b）所示，图（a）为幅值为1的阶跃响应，图（b）为脉冲响应。

图（a)MATLAB/Simulink构造单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型
图（b）MATLAB/Simulink构造单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型
在图（a）（b）中的state-space模块填入倒立摆状态系统方程的系数矩阵，然后用一个demux输出X 、x’、θ、θ’四个量，之后用Gain，Gain1，Gain2，Gain3（分别代表了状态反馈的增益K）构成状态反馈，在阶跃信号（step）和脉冲信号（pluse）作用下得到系统响应，最后示波器输出仿真结果。

通过对上述模型进行仿真得到结果如下图（c）（d）所示，其中红、黄、粉、绿颜色县分别
代表 x’、θ、θ’、X四个变量。

图（c）simulink构造单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型曲线这里我们可以看到，系统的节约相应是稳定的。

在大约0.6秒的时候达到峰值，最大超调量大约为2.1%。

图（d）simulink构造单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型曲线
这里我们看到系统的脉冲响应是稳定的。

并且在大约1.2秒的时候达到峰值，最大峰值为0.015。

从仿真结果可以看出，状态反馈可以使处于任意初始位置的系统稳定在平衡状态即θ=0°。