第03章线性离散系统的数学模型

h*(t) h*(t)
离散系统
t
t
根据线性系统叠加原理，已知h* (t)后，任意输入脉冲序列u* (t)， 可得系统输出为
y * (t) u(0)h* (t) u(1)h* (t T ) u(n)h* (t nT )
k
k
y(k) u( j)h(k j) h(m)u(k m) u(k)* h(k) — 卷积和
y(k ) c1r1k c2r2k cnrnk； （2） 若 解 有m重 根 ， 则m重 根 的 解 的 形 式 为
r k , kr k , k 2r k， ，k m-1r k的 线 性 组 合 ，
通
解
中
的
系
数c
由
n
系
统
Hale Waihona Puke Baidu
的
初
始
条
件
确
定。
➢特解求法——试探法，略
对照：连续系统微分方程解析法求通解
连续系统的齐次方程为 y (n) a1 y (n1) an y(t ) 0
它的特征方程为 x n a1 x n1 a2 x n2 an 0
有n个特征 根： （1） 若 解 为 n个 单 根 x1 , x2 , , xn ,则 方 程 通 解 为 ：
y(t ) c1e x1t c2e x2t cne ； xnt （2）若解有m重根，则m重根的 解的形式 为
z e aT (等 比 级 数)
Z[sint] Z[ e jt e jt ]
2j
1z 2 j [ z e jT
z
z e jT
]
z sinT z 2 2z cosT 1
2、部分分式法 ——已知连续信号 f(t) 的 L 氏变换 F(s)，若可分解为部分分 式，则由 Z 变换表求 F(z)。
j0
m0
——反过程：已知离散系统的阶跃响应y(k)，可求得离散 系统的脉冲响应h(k)为
h(k) y(k) y(k 1)。
3.4 Z 变换
3.4.1 Z 变换定义
采样过程： L氏变换：
f * (t ) f (kT )d (t kT ) k 0
F * (s) f (kT )e kTs k 0
n i 1
1
(m
1)!
d m1 ds m1
(s
si )m F(s)
z
z e sT
s
si
式 中 ：m为 重 极 点si的 个 数 ；n为 彼 此 不 等 的 极 点 个 数。
例3-4-6
Z[ a s(s
] a)
[s
a s(s
a)
z
z esT
]s 0
[(s
a)
a s(s a)
z
数 学 模
连续系统 微分方程 脉冲过渡函数
—— ——
离散系统 差分方程 脉冲响应
型 S传递函数
—— Z传递函数
状态空间表达式 —— 离散状态空间表达式
主要内容： ➢线性定常离散系统的四种数学模型及其互相转换； ➢线性定常离散系统的求解方法。
3.2 线性常系数差分方程(时域表达式)
——Difference Equation
证明：
Z[ f (k 1)] f (k 1)z k f (k 1)z k f (1)z0
k0
k 1
f (k 1)z k f (i)z i1
k 1
k0
z 1F (z)
(4)迟 后m步 移 位 定 理 Z[ f (k m)] zmF(z)
4、终值定理lim f (k) lim f (t) lim[(z 1)F(z)]
i 1
z[ f (i)zi f (0)] zF (z) zf (0)
i0
(2)超 前m步 移 位 定 理 Z[ f (k m)] z m F(z) z m f (0) z m1 f (1) zf (m 1)
(3)迟 后 一 步 移 位 定 理 Z[ f (k 1)] z 1F (z)
y(k) a1 y(k 1) an y(k n) b0u(k) b1u(k 1) bmu(k m)
y(k) b0u(k) b1u(k 1) bm u(k m)
[a1 y(k 1) an y(k n)]
m
n
bi u(k i) ai y(k i)
i0
i 1
例3 2 2 y(k 1) ay(k) bu(k),设y(0)、u(k)已 知 ， 用 递 推 法 求 解 解 ：k 0 y(1) ay(0) bu(0)
k 1 y(2) ay(1) bu(1) a 2 y(0) abu(0) bu(1)
k 1
y(k) a k y(0) a k1i bu(i) 通 解 特 解 i0
例 y(k 2) 2 y(k 1) 5 y(k) 0,求通解。 解 ： 特 征方 程 r 2 2r 5 0， 有 一 对 共 轭 复 根 1 j2 5e jarctg2， 则通解为 y(k) c1 (1 j2)k c2 (1 j2)k。
例 y(k 2) 4 y(k 1) 4 y(k) 0,求通解。 解：特征方程 r 2 4r 4 0，有二重根 2， 则通解为 y(k) c1 (2)k c2k(2)k。
例3-4-5 求F (s) a 的Z变换。 s(s a)
Z[ a ] s(s a)
Z[1 1 ] s sa
z
z 1
z
z eaT
3、留数计算法
已 知 连 续 函 数f (t )的L氏 变 换 及 全 部 极 点si， 则 可 用 留 数 计 算 式 求 得f (t )的Z变 换 ：
n
z
F (z) i1 res[F (si ) z e siT ]
解法二：解析法——差分方程通解求法
y(k n) a1 y(k n 1) an y(k) b0u(k m) b1u(k m 1) bm u(k)
它的齐次方程为 y(k n) a1 y(k n 1) an y(k) 0
它的特征方程为 r n a1r n1 a2r n2 an 0 有n个 特 征 根 ： （1） 若 解 为 n个 单 根 r1 , r2 , , rn ,则 方 程通 解 为 ：
e xt , te xt , t 2e xt， ，t m1e xt的 线 性 组 合 ， 通 解 中 的 系 数cn由 系 统 的 初 始 条 件 确 定。
例 已知y(k 2) 3 y(k 1) 2 y(k) 0, 初始条件y(0) 0，y(1) 1，求解。 解：特征方程 r 2 3r 2 0，有两实根 1， 2， 则通解为 y(k) c1 (1)k c2 (2)k。 代入初始条件可得c1 1, c2 1， 则解为 y(k) (1)k (2)k。
3.2.1 差分方程表达式
➢第一种形式：表示 y(kT) 与本时刻及前 m 个时刻输入、前 n 个时刻的输出有关，称为 n 阶常系数差分方程，是在输入输 出的最高阶上统一。
y(k) a1 y(k 1) a2 y(k 2) an y(k n) b0u(k) b1u(k 1) bmu(k m)
dz
回顾：拉氏变换的重要性质
线性叠加定理 实微分定理 实积分定理 复微分定理 复积分定理 实位移定理 复位移定理 周期函数
L[ax(t ) by(t )] aX (s) bY (s)
L[ d x(t )] sX (s) x(0) dt
L[
t
x( )d ]
X (s)
0
s
L[tx(t )] d X (s) ds
k
t
z1
证明：由超前移位定理得
Z[ f (k 1)] Z[ f (k)] zF (z) zf (0) F (z) 则整理可得
lim(z 1)F (z) limzf (0) Z[ f (k 1)] Z[ f (k)]
z 1
z 1
lim zf (0)
f (k 1)zk
f
(k
3.2.2 差分方程解 =通解+特解
➢ 通解是齐次方程的解，为零输入解，代表系统在无外力 作用下的自由运动，反映了离散系统自身的特性。
➢ 特解是由非零输入产生的解，对应于非齐次方程的特解， 反映了系统在外作用下的强迫运动。
差分方程求解有两种方法：解析法与递推法。
解法一：递推法——从初始值递推求解
j0
m0
例3-3-1 已知离散系统脉冲响应h(k),求在u *(t) 1*(t) 作用下系统的输出y *(t)。
1, k 0 u *(t) 1*(t) 0, k 0
解： 由卷积和公式：
k
y(k) u(k) * h(k) u( j)h(k j) j0
k
k
h(k j) h(m)
z
(极限存在)
证明： Q F (z) f (0) f (1)z1 f (2)z2 L 当z 时，F (z) f (0)。
3、移位定理
(1)超前一步移位定理
Z[ f (k 1)] zF (z) zf (0) 证明：
Z[ f (k 1)] f (k 1)zk f (i)zi1
k 0
引入新变量： z e sT
则F * (s) F (z) f (kT )z k k 0
在Z变 换 中 ， 因 为 只 考 虑 采样 点 上 的 值 ，
所 以f (t )与f * (t )的Z变 换 是 相 同 的 ， 记 为
Z[ f (t )] Z[ f * (t )] F (z) F * (s) f (kT )z k k 0
)
z
k
z1
k 0
k 0
f (0) f (k 1) f (k) f (0) f () f (0) f () k 0
5、离散卷积定理 若y(k) u(k)* g(k)
则Y (z) U (z)G(z)
6、其它性质
Z[tf (t)] Tz d [F (z)] dz
Z[e at f (t )] F (ze aT ) Z[e ak f (k)] F (ze a ) Z[a k f (k)] F (z / a) Z[kak f (k)] z d [F(z / a)]
➢第二种形式：称为 (n，m) 阶差分方程，其中 m≤n，是在输入 输出的最低阶上统一。
y(k n) a1 y(k n 1) an y(k) b0u(k m) b1u(k m 1) bmu(k)
连续定常系统的 n 阶微分方程（m≤n）
dn
d n1
d
dm
d m1
d
dt n y(t) a1 dt n1 y(t) an1 dt y(t) an y(t) b0 dt m u(t) b1 dt m1 u(t) bm1 dt u(t) bmu(t)
3.3 脉冲响应与卷积和
Impulse Response —— Convolution Summation
设系统输入为单位脉冲序列
d
*
(t)
1, k 0, k
0 0
其输出脉冲序列 h * (t )称为系统的脉冲响应，也称权序列
（ weighting sequence ）。
δ*(t) δ*(t)
z esT
]s a
z
z 1
z
z eaT
Z[ 1 ] s2
1 d [s2 (2 1)! ds
1 s2
z z e sT ]s0
Tz (z 1)2
3.4.3 Z 变换性质
1、迭加原理 Z[ f1(t) f2 (t)] F1(z) F2 (z)
2、初值定理 f (0) lim F (z)
第3章 线性离散系统数学描述
本章阐述线性定常离散系统的数学描述及其求解方法， 它们是分析和设计数字控制系统的基础。
3.1 引言
离散系统（ Discrete System ），又称离散时间系统 （Discrete-Time System ) 。本章研究线性定常离散系统的 数学描述及求解方法，这是分析和综合数控系统的基础。
L[ x(t ) ]
X ( p)dp
t
s
L[ x(t T0 )] e T0s X (s)
L[e at x(t )] X (s a)
L[ x(t ) x(t T ) ] X (s) 1 e Ts
注：若两个信号具有相同的采样点，则其Z变换相同。 Z 变换存在必须满足收敛性，即上式极限存在。
3.4.2 求 Z 变换
1、级数求和法——根据 Z 变换定义
例：Z[1(t )] 1(kT )z k 1 z 1 z 2
z
k0
z 1
z 1
Z[e at ] e akT z k
1
z
k0
1 e aT z 1 z e aT