第03章线性离散系统的数学模型
线性离散系统数学模型和分析方法
线性离散系统数学模型和分析方法目录一、内容简述 (3)二、线性离散系统的数学模型 (3)2.1 离散系统的概念 (5)2.2 离散系统的描述方法 (6)2.2.1 差分方程 (7)2.2.2 马尔可夫过程 (8)2.2.3 状态空间表示 (10)2.3 线性离散系统的特性 (11)2.3.1 稳定性分析 (12)2.3.2 脉冲响应与收敛性 (13)2.3.3 系统性能评估 (14)三、分析方法 (16)3.1 拉普拉斯变换法 (17)3.1.1 基本概念 (19)3.1.2 应用分析 (20)3.1.3 收敛性与应用局限 (21)3.2 状态空间方法 (23)3.2.1 基本理论 (24)3.2.2 控制器设计 (25)3.2.3 参数估计 (26)3.3 Z变换法 (27)3.3.1 基本原理 (28)3.3.2 系统分析 (30)3.3.3 系统的性能评估 (31)3.4 时域分析方法 (33)3.4.1 序贯逼近法 (34)3.4.2 数值仿真 (34)3.4.3 基于数字模型的算法 (36)四、应用实例 (37)4.1 控制系统设计 (39)4.1.1 系统建模 (40)4.1.2 控制器设计与仿真 (42)4.2 信号处理 (43)4.2.1 离散信号处理 (45)4.2.2 滤波器设计 (46)4.3 通信系统 (47)4.3.1 调制与解调 (49)4.3.2 语音编码与加密 (51)五、结论与展望 (52)5.1 研究成果总结 (53)5.2 未来研究方向 (54)5.3 实际应用前景 (55)一、内容简述本文档旨在全面介绍线性离散系统数学模型的构建及其分析方法。
线性离散系统在现代科技、工程和经济学等领域具有广泛的应用，因此对其数学模型的理解和分析显得尤为重要。
我们将从线性离散系统的基本概念出发，详细阐述线性离散系统的定义、特点以及类型。
通过实例演示如何建立线性离散系统的数学模型，包括状态方程、传递函数等基本形式。
离散时间系统的数学模型—差分方程
一．用差分方程描述线性时不变离散系统
线性：均匀性、可加性均成立；
x (n) 1
离散时间系统
y (n) 1
x 2 ( n ) 离散时间系统
c x (n ) + c x (n )
x1n+ x2n
x2 n
乘法器：
x1n x1n+ x2n
x2 n
x1 n
x1n x2 n
x2 n
系统框图
乘法器
xn
延时器
axn
a
yn
1
yn 1
E
xn a axn
yn
yn 1
z 1
五．差分方程的特点
(1)输出序列的第n个值不仅决定同一瞬间的输入样值， 而且还与前面输出值有关，每个输出值必须依次保留。
11
22
离散时间系统
y2 (n )
c y (n ) + c y (n )
11
22
时不变性
xn yn，xn N yn N 整个序列右移 N位
x(n)
y(n)
1 1 0 1 2 3 n
1
系统
1 o 1 2 3 4 n
x(n N )
y(n N )
1
1
系统
1 0 1 2 3
yt ynT yn
f t f nT f n
yn yn 1 ayn+ f n
T
yn 1 yn 1+ T f n
1 aT
1 aT
当前输出 前一个输出 输入
离散系统的数学模型-浙江大学控制科学与工程学院
连续状态空间模型离散状
Ø
*(t)连续状态空间模型
⎧
x(k
例7-3-9 ，求其离散方程（含零阶保持）解：
1) 离散状态方程本质上是一阶差分方程组，故求其解也与求差分方程解一样有两种方法：递推法与
Ø
直接将初始条件
令Φ(
Øz z () X
解：1)用递推法代入不同的例7-3-10 x x ⎢⎣⎡
解：例7-3-10 x x ⎢⎣⎡
X
1)
Ø由差分方程
y
例：，求脉冲传递函数解：作
零初始条件
Ø
若已知控制器的脉冲传递函数须将
2) Ø
例7-3-11
⎤
u
(k
)
解：
Ø
Ø
现问题
Ø
分解）、
信号流图等工具也可以采用Ø
Ø能控标准型和能观标准型
G (z )==⎢⎢⎢⎡=A
Ø例7-3-12 解：1(21k y x x ⎢⎣⎡
Ø正则标准型（并联分解）：适用于脉冲传递函数为部分分式形式，
基本单元：
Ø例7-3-12 解：
(D z
Ø：适用于脉冲传递函数分子分母均为因式分解形式一阶环节基本单元
例7-3-12
解：
状态变量图
Ø例7-3-12
解：
状态变量图
例7-3-13
解：特征方程的根：
)(z D e
) (k
3) 差分方程和状态方程Ø
Ø
例7-3-14
4) •例
(G 12(((x x y k (e k。
7-4离散系统的数学模型全篇
2. 线性常系数差分方程及其解法
c(k
)
a1c(k b1r(k
11))ba22rc((kk22))bamnrc((kk
n) m)；
n
m
c(k) aic(k i) bjr(k j)；
i 1
j 1
后向差分方程：时间概念清楚，便于编制程序。
c(kn) a1c(kn 1) a2c(kn 2) anc(k) b1r(kn 1) b2r(kn 2) bmr(kn m)；
n
m
c(k n) aic(k n i) bjr(k n j)；
i 1
j 1
前向差分方程：便于讨论系统阶次、使用Z变换 法计算初始条件不为零的解。
上述几个差分方程在书写上都很烦琐，为书 写简便可采用时间移动算子。
0.1 0.4 16k 0.3 81k
c(nT
)
0.1 0.8 16k 0.1 1.6 16k
0.9 81k 2.7 81k
0.1 3.2 16k 8.1 81k
k 0, 1, 2, 3, 4, ；
n 4k
n 4k 1 ； n 4k 2
n 4k 3
3. 脉冲传递函数(定义、意义) 使用 脉冲传递函数，便于分析和校正线性离
c(k) 0.5c(k 1) 0.5c(k 2) r(k)； r(k) 1(k)； c(k) 0, k 0；
试用递推法计算输出序列c(k)，k= 0,1,2,…。
解例7采-16用-1递续推关系 c(k) = 1+0.5c(k-1)– 0.5c(k-2)；
c(0) 1； c(1) 1 0.5 1.5；
c(2) 1 0.51.5 0.5 1.25； c(3) 1 0.51.25 0.51.5 0.875；
线性离散系统的分析
§10-4 线性离散系统的分析前面讨论了线性离散系统的数学模型：一种是输入输出模型，一种是状态空间模型。
本节将要根据这些数学模型来分析线性离散系统的特性，例如稳定性、能控性和能观测性。
一、稳定性稳定性是动力学系统的一个十分重要的性质。
本节只讨论线性定常系统的稳定性，而时变系统的稳定性问题是比较复杂的。
有两大类的稳定性分析方法。
一类是分析离散系统极点在z 平面内的位置。
一个闭环系统是稳定的充分必要条件是其特征方程的全部根都必须分布在z 平面内以原点为圆心的单位圆内。
当然，我们可以用直接的方法求出特征方程，然后再求出其根（例如用贝尔斯特-牛顿叠代法）。
但是在工程上希望不经过解特征方程而找到一些间接的方法，例如代数判据法，基于频率特性分析的奈奎斯特法，或通过双线性变换把z 平面问题变成s 平面的问题，再用连续系统的稳定判据。
另一类研究稳定性的方法是李雅普诺夫第二方法，它规定了关于稳定性的严格定义和方法。
本节只介绍代数判据法。
Routh 、Schur 、Cohn 和Jury 都研究过相类似的稳定判据。
如果已知一个系统的特征多项式()n n na za z a z A +++=- 110 (10.87)Jury 把它的系数排列成如下的算表：11110a a a a a a a a a a nn n nn n =--α―――――――――――――――――――10111101211111110-------------=n n n n n n n n n n n n n a a aaaa a a α――――――――――――――――――――――――――――――――――――――10111110a a a a 10111a a =α―――――――――――――――――――0a 其中kk i k kik k k i k i a a a a a a 01=-=--α表中第一行和第二行分别是(10.87)中的系数按正序和倒序排列的。
第03章线性离散系统的数学模型
➢ 通解是齐次方程的解，为零输入解，代表系统在无外力 作用下的自由运动，反映了离散系统自身的特性。
➢ 特解是由非零输入产生的解，对应于非齐次方程的特解， 反映了系统在外作用下的强迫运动。
差分方程求解有两种方法：解析法与递推法。
解法一：递推法——从初始值递推求解
相似变换 初值定理 终值定理 实卷积定理 复卷积定理
L[ x(at )] 1 X ( s )
aa
lim x (t ) lim sX ( s )
t0
s
lim x (t ) lim sX ( s )
t
s0
L[ x1 (t ) x 2 (t )] X 1 ( s ) X 2 ( s )
L[ x1 (t ) x 2 (t )]
例 y(k2)2y(k1)5y(k)0,求通解。 解：特征方r程 2 2r50， 有一对共轭 1复 j2根 5ejarc2t， g 则通解为y(k)c1(1j2)k c2(1j2)k。
例y(k2)4y(k1)4y(k)0,求通解。 解：特征方 r2程 4r40，有二重 2，根 则通解为 y(k)c1(2)k c2k(2)k。
它的y ( 齐 k n ) a 1 次 y ( k n 1 方 ) a n 程 y ( k ) 0 为 它 的 特 rn a 1 征 rn 1 a 方 2 rn 2 程 a n 为 0 有n个特征根： （1）若解为 n个单根 r1 , r2 ,, rn ,则方程通解为：
y(k) c1r1k c2r2k cnrnk； （2）若解有m重根，则m重根的解的形式为
1 2
X1(s) X 2(s)
3.4.4 Z反变换
1、 长 除 法
离散系统的数学模型
2326.4 离散系统的数学模型为研究离散系统的性能，需要建立离散系统的数学模型。
线性离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种。
本节主要介绍差分方程及其解法，脉冲传递函数的定义，以及求开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的方法。
有关离散状态空表达式及其求解，将在第8章介绍。
6.4.1 线性常系数差分方程及其解法对于线性定常离散系统，k 时刻的输出)(k c ，不但与k 时刻的输入)(k r 有关，而且与k 时刻以前的输入 ),2(),1(--k r k r 有关，同时还与k 时刻以前的输出 ),2(),1(--k c k c 有关。
这种关系一般可以用n 阶后向差分方程来描述，即∑∑==-+--=mj jni i j k r bi k c a k c 01)()()( (6-34)式中，i a ，i =1，2，…，n 和j b ，j ＝0，1，…，m 为常系数，n m ≤。
式(6-34)称为n 阶线性常系数差分方程。
线性定常离散系统也可以用n 阶前向差分方程来描述,即∑∑==-++-+-=+mj jni i j m k r bi n k c a n k c 01)()()( (6-35)工程上求解常系数差分方程通常采用迭代法和z 变换法。
1. 迭代法若已知差分方程式(6-34)或式(6-35)，并且给定输出序列的初值，则可以利用递推关系，在计算机上通过迭代一步一步地算出输出序列。
例6-10 已知二阶差分方程)2(6)1(5)()(---+=k c k c k r k c输入序列1)(=k r ，初始条件为1)1(,0)0(==c c ，试用迭代法求输出序列)(k c ， ,5,4,3,2,1,0=k 。
解 根据初始条件及递推关系，得0)0(=c 1)1(=c6)0(6)1(5)2()2(=-+=c c r c 25)1(6)2(5)3()3(=-+=c c r c 90)2(6)3(5)4()4(=-+=c c r c301)3(6)4(5)5()5(=-+=c c r c2. z 变换法233设差分方程如式(6-34)所示，对差分方程两端取z 变换，并利用z 变换的实数位移定理，得到以z 为变量的代数方程，然后对代数方程的解)(z C 取z 反变换，可求得输出序列)(k c 。
《自动控制原理》离散系统的数学模型
K (t) L1[G(s)]
(7-55)
再将 K (t) 按采样周期离散化，得加权序列 K (nT ) ；最后将 K (nT ) 进
行 z 变换，按式(7-53)求出 G(z) 。这一过程比较复杂。其实，如果把 z 变
换表 7—2 中的时间函数 e(t) 看成 K (t) ，那么表中的 E(s) 就是 G(s) (见式 (７-55)，而 E(z) 则相当于 G(z) 。因此，根据 z 变换表 7—2，可以直接从 G(s) 得到 G(z) ，而不必逐步推导。
本章所研究的离散系统为线性定常离散系统。 注意 zx：离散系统有本质连续和本质离散两种情况
本质连续的离散系统：如液位 炉温采样控制系统中的被控对象 本质离散的离散系统：如计算机。系统直接进行离散计算 问题：如何建立离散系统的数学模型？ c(n) F[r(n)] F 的具体形式？ 分析：本质连续的离散系统的方框图， 能否 G(s)?G(z)=?
众所周知，利用传递函数研究线性连续系统的特性，有公认的方便 之处。对于线性连续系统，传递函数定义为在零初始条件下，输出量的 拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。对于线性离散系统，定义类似。
设开环离散系统如图 7-22 所示，如果系统的初始条件为零，输入信号
为 r(t) ，采样后 r*(t) 的 z 变换函数为 R(z) ，系统连续部分的输出为 c(t) ，
微分方程的经典解法类似，差分方程的经典解法[EX]*也要求出齐次方程 的通解和非齐次方程的一个特解，非常不便。这里仅介绍工程上常用的 后两种解法。
(1)迭代法 又称递推法 若已知差分方程(7-49)或(7-50)，并且给定输入序列和输出序列的初 值，则可以利用递推关系可以一步一步地算出输出序列。 例 7-14 已知差分方程
自动控制原理--离散系统的数学模型
6.4 离散系统的数学模型
6.4.3 开环系统脉冲传递函数
(1) 环节之间有开关时
G(z)
G1(z)G2 (z)
Z
K s
Z
s
1
1
Kz z
Kz 2
z 1 z eT (z 1)( z eT )
(2) 环节之间无开关时
G(z) ZG1(s) G2(s) G1G2(z)
K
z
z
6.4 离散系统的数学模型
6.4.1 线性常系数差分方程及其解法
(1) 差分定义 e(kT) 简记为 e(k)
前向差分
1阶前向差分 2阶前向差分
e(k) e(k 1) e(k) 2e(k) e(k 1) e(k)
e(k) de(t)
lim
T0 T
dt
e(k 2) 2e(k 1) e(k)
C(z) G1(z) [R(z) H2 (z) C(z)] 1 G1H1(z)
1
G1 ( z ) H 2 1 G1H1
( (
z z
) )
C
(
z
)
G1(z) R(z) 1 G1H1(z)
F(z) C(z)
G1 ( z )
R(z) 1 G1H1(z) G1(z)H2 (z)
1 3
2n 2
4n 6
(t
nT )
6.4 离散系统的数学模型
6.4.2 复域数学模型 —— 脉冲传递函数
1.定义：零初始条件下离散系统输 出z变换对输入z变换之比
G(z) C(z) R(z)
G(z )
C (z ) R(z )
Zg(k)
— 单位脉冲响应序列的z变换
6.4 离散系统的数学模型
线性离散系统的数学模型和分析方法
§10-2 线性离散系统的数学模型和分析方法大多数计算机控制系统可以用线性时不变离散系统的数学模型来描述。
对于单输入单输出线性离散系统，人们习惯用线性常系数差分方程或脉冲传递函数来表示。
离散系统的线性常系数差分方程和脉冲传递函数，分别和连续系统的线性常系数微分方程和传递函数在结构、性质和运算规则上相类似。
对于多变量、时变和非线性系统用状态空间方法处理比较方便。
一、线性离散系统的数学描述1. 差分方程对简单的单输入单输出线性离散系统，其输入)(kT u 和输出)(kT y 之间的关系可用下列线性常系数差分方程来表示)()()()()()(101nT kT u b T kT u b kT u b nT kT y a T kT y a kT y n n -++-+=-++-+ (10.17)(10.17)式也可以写成如下紧缩的形式∑∑==-=-+n i ni i i iT kT u b iT kT y a kT y 1)()()( (10.18)如果引入后移算子1-q ，即)()(1T kT y kT y q -=- (10.19)则(10.18)式可写成多项式的形式)()()()(11kT u q B kT y q A --= (10.20)式中n n q a q a q A ---+++= 1111)( n n q b q b b q B ---+++= 1101)(方程(10.17)、(10.18)和(10.20)中假设左右两端阶次相同，这并不失一般性，差分方程中最高和最低指数之差n 被称为差分方程的阶数。
如果(10.17)式中右端的系数项i b ，n i ,,1,0 =，不全为零，则此方程被称为非齐次方程。
方程右端又被称为驱动项。
方程的阶数和系数反映系统的结构特征。
用差分方程作为物理系统的数学模型时，方程中各变量代表一定的物理量，其系数有时具有明显的物理意义。
如果(10.17)式右端的系数全为零，则被称作齐次方程。
最新离散系统的数学模型
23
四、离散系统的数学模型 （20）
⑶ 有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数 设有零阶保持器的开环离散系统如下图 所示。 Y*(t) r*(t) TS 1 e r(t) G1(s) Y(t) s
由脉冲传递函数的定义有
1 eTS G( z) Z G1 ( s) s
C( z) G( z) R( z )
c(nT ) z
n 0 n 0
n
n r ( nT ) z
11
四、离散系统的数学模型 （10）
在零初始条件下，线性定常散系统的输出采样信号为 c * (t ) Z 1 C( z) Z G( z)R( z) 然而，对大多数实际系统来说，其输出往往是连续信 号 c(t ) ，而不是采样信号 c (t ) ，则在系统输出端虚设一 个理想采样开关，它与输入采样开关同步工作，虚设的采 样开关是不存在的，它只表明了脉冲传递函数所能描述的， 只是输出函数 c(t ) 在采样时刻上的离散值 。
8
四、离散系统的数学模型 （8） Z 3c(k 1) 3zC( z) 3zc(0) 3zC( z) Z 2c(k ) 2C( z )
得Z代数方程 ( z 2 3z 2)C( z) z
z z z C( z) 2 z 3z 2 z 1 z 2
r(t) r*( t )
y*( t ) y(t)
10 s ( s 10)
求脉冲传递函数。 解 由式（5-61）可知
G (z) = Z[G ( s )]
10 1 1 G( z) Z Z s ( s 10) s s 10
z z (1 e ) z 10T 10T z 1 z e ( z 1)( z e )
线性离散系统的数学模型
T
G1(s)
X * ( s)
G2(s)
C (s)
•采样开关使脉冲传递函数的零点发生变化。
5、闭环系统脉冲传递函数
r* (t ) R( z)
r (t )
e(t )
e* (t )
c* (t ) C ( z)
T
E( z)
G (s)
c(t )
H (s)
E (s) R(s) H (s)C (s)
G( z)
G1 ( z)
例7－20
X (s)
G2 ( z)
C * ( s)
R( s )
R* (s)
1 a z az 传递函数G1 ( s ) , G2 ( s ) G1 ( z ) , G2 ( z ) s sa z 1 z e aT az 2 G1 ( z )G2 ( z ) ( z 1)( z e aT ) az 3 C ( z ) G1 ( z )G2 ( z ) R ( z ) ( z 1) 2 ( z e aT ) a z (1 e aT ) G1G2 ( z ) Z 2 aT s ( s a ) ( z 1) ( z e ) z 2 (1 e aT ) C ( z ) G1G2 ( z ) R ( z ) ( z 1) 2 ( z e aT ) G1 ( z )G2 ( z ) G12 ( z )
c(nT ) ai c[(n i )T ] b j r[(n j )T ]
i 1 j 0 n m
z变换得：C ( z ) ai C ( z ) z b j R ( z ) z j
i i 1 j 0
离散系统的数学模型
z (1 e T ) Kz (1 e T ) Kz z K 2 T T T T z 1 z e ( z 1)(z e ) z (1 e ) z e
K 1 1 K Z s s 1 s( s 1)
Z 2c(k ) 2C( z )
2
Z 3c(k 1) 3zC( z) 3zc(0) 3zC( z)
Z c(k 2) z 2 C( z) z 2 c(0) zc(1) z 2 C( z) z
( z 3z 2)C( z) z
*
C( z)
e* (t ) (t 2) 7 (t 3) 35 (t 4)
差分方程解法II — z 变换法
k 1 k n Z e(t kT ) z E ( z ) e(nT ) z n 0
e(k 2) 6e(k 1) 8e(k ) 1(k ) 解．
0.632Kz 1 1 1.368z 1 0.368z 2
(2) 系统z平面零极点图 (3) 1 1.368z 1 0.368z 2 C ( z ) 0.632Kz 1 R( z )
c(k ) 1.368c(k 1) 0.368c(k 2) 0.632Kr (k 1)
注：加ZOH 不改变系统的阶数，不改变开环极点，只改变开环零点。
闭环系统脉冲传递函数F(z)
C(z) G( z ) F( z ) R( z ) 1 GH ( z )
例.
F( z )
C(z) G1 ( z ) R( z ) 1 G1 H1 ( z ) G1 ( z ) H 2 ( z )
离散系统数学模型
sin(c t ) h(t ) F [ H ( j )] t
1
理想低通滤波器脉冲响应 不符合物理可实现系统的因果关系 （即系统响应不可能发生在输入信号作用之前）， 因而该滤波器是物理不可实现的。
零阶保持器(ZOH)
时域方程
xk (t ) x ( kT ) kT t ( k 1)T
第3章 计算机控制系统的数学描述
1 2 3 4
信号的采样与恢复 离散系统的时域描述——差分方程 Z变换 脉冲传递函数
采样系统与离散系统概念
计算机控制系统的典型原理图如图所示。
可简化为下图所示结构。这种系统结构为采样系统。
整个系统输入输出均为采样信号，系统可以看为离散时 间系统。 系统中的变量有数字信号，称数字控制系统。
f (k 2) 2 f (k 1) f (k )
n 阶向前差分-- 一阶向后差分--二阶向后差分--n 阶向后差分---
n f (k ) n1 f (k 1) n1 f (k )
f (k ) f (k ) f (k 1)
2 f (k ) [f (k )] f (k ) 2 f (k 1) f (k 2)
m
s
2
n 1
F * ( j )
s
2
1/T
( s m )
s
m ( s m ) 0 (s m ) m
(b)
s
(s m )
(b) m >s /2时频谱响应产生混叠
3.1.2 采样定理 采样定理（香农定理）
一个连续时间信号x(t)，设其频带宽度是有限的，其最高频率 为ωmax(或fmax)，如果在等间隔点上对该信号x(t)进行连续采样， 为了使采样后的离散信号x*(t)能包含原信号x(t)的全部信息量。 则采样角频率只有满足下面的关系： ωs≥2ωmax 采样后的离散信号x*(t)才能够无失真地复现x(t)。 采样定理规定了需要的最小采样是s>2max ，但考 虑到实际闭环系统稳定性以及其他设计因素的要求， 所需要的采样频率比理论最小值要高得多。
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数 学 模
连续系统 微分方程 脉冲过渡函数
—— ——
离散系统 差分方程 脉冲响应
型 S传递函数
—— Z传递函数
状态空间表达式 —— 离散状态空间表达式
主要内容： ➢线性定常离散系统的四种数学模型及其互相转换； ➢线性定常离散系统的求解方法。
3.2 线性常系数差分方程(时域表达式)
——Difference Equation
3.2.1 差分方程表达式
➢第一种形式：表示 y(kT) 与本时刻及前 m 个时刻输入、前 n 个时刻的输出有关，称为 n 阶常系数差分方程，是在输入输 出的最高阶上统一。
y(k) a1 y(k 1) a2 y(k 2) an y(k n) b0u(k) b1u(k 1) bmu(k m)
z
(极限存在)
证明： Q F (z) f (0) f (1)z1 f (2)z2 L 当z 时，F (z) f (0)。
3、移位定理
(1)超前一步移位定理
Z[ f (k 1)] zF (z) zf (0) 证明：
Z[ f (k 1)] f (k 1)zk f (i)zi1
k 0
i 1
z[ f (i)zi f (0)] zF (z) zf (0)
i0
(2)超 前m步 移 位 定 理 Z[ f (k m)] z m F(z) z m f (0) z m1 f (1) zf (m 1)
(3)迟 后 一 步 移 位 定 理 Z[ f (k 1)] z 1F (z)
)
z
k
z1
k 0
k 0
f (0) f (k 1) f (k) f (0) f () f (0) f () k 0
5、离散卷积定理 若y(k) u(k)* g(k)
则Y (z) U (z)G(z)
6、其它性质
Z[tf (t)] Tz d [F (z)] dz
Z[e at f (t )] F (ze aT ) Z[e ak f (k)] F (ze a ) Z[a k f (k)] F (z / a) Z[kak f (k)] z d [F(z / a)]
3.2.2 差分方程解 =通解+特解
➢ 通解是齐次方程的解，为零输入解，代表系统在无外力 作用下的自由运动，反映了离散系统自身的特性。
➢ 特解是由非零输入产生的解，对应于非齐次方程的特解， 反映了系统在外作用下的强迫运动。
差分方程求解有两种方法：解析法与递推法。
解法一：递推法——从初始值递推求解
y(k) a1 y(k 1) an y(k n) b0u(k) b1u(k 1) bmu(k m)
y(k) b0u(k) b1u(k 1) bm u(k m)
[a1 y(k 1) an y(k n)]
m
n
bi u(k i) ai y(k i)
连续系统的齐次方程为 y (n) a1 y (n1) an y(t ) 0
它的特征方程为 x n a1 x n1 a2 x n2 an 0
有n个特征 根： （1） 若 解 为 n个 单 根 x1 , x2 , , xn ,则 方 程 通 解 为 ：
y(t ) c1e x1t c2e x2t cne ； xnt （2）若解有m重根，则m重根的 解的形式 为
例3-4-5 求F (s) a 的Z变换。 s(s a)
Z[ a ] s(s a)
Z[1 1 ] s sa
z
z 1
z
z eaT
3、留数计算法
已 知 连 续 函 数f (t )的L氏 变 换 及 全 部 极 点si， 则 可 用 留 数 计 算 式 求 得f (t )的Z变 换 ：
n
z
F (z) i1 res[F (si ) z e siT ]
k
t
z1
证明：由超前移位定理得
Z[ f (k 1)] Z[ f (k)] zF (z) zf (0) F (z) 则整理可得
lim(z 1)F (z) limzf (0) Z[ f (k 1)] Z[ f (k)]
z 1
z 1
lim zf (0)
f (k 1)zk
f
(k
引入新变量： z e sT
则F * (s) F (z) f (kT )z k k 0
在Z变 换 中 ， 因 为 只 考 虑 采样 点 上 的 值 ，
所 以f (t )与f * (t )的Z变 换 是 相 同 的 ， 记 为
Z[ f (t )] Z[ f * (t )] F (z) F * (s) f (kT )z k k 0
n i 1
1
(m
1)!
d m1 ds m1
(s
si )m F(s)
z
z e sT
s
si
式 中 ：m为 重 极 点si的 个 数 ；n为 彼 此 不 等 的 极 点 个 数。
例3-4-6
Z[ a s(s
] a)
[s
a s(s
a)
z
z esT
]s 0
[(s
a)
a s(s a)
z
第3章 线性离散系统数学描述
本章阐述线性定常离散系统的数学描述及其求解方法， 它们是分析和设计数字控制系统的基础。
3.1 引言
离散系统（ Discrete System ），又称离散时间系统 （Discrete-Time System ) 。本章研究线性定常离散系统的 数学描述及求解方法，这是分析和综合数控系统的基础。
证明：
Z[ f (k 1)] f (k 1)z k f (k 1)z k f (1)z0
k0
k 1
f (k 1)z k f (i)z i1
k 1
k0
z 1F (z)
(4)迟 后m步 移 位 定 理 Z[ f (k m)] zmF(z)
4、终值定理lim f (k) lim f (t) lim[(z 1)F(z)]
j0
m0
——反过程：已知离散系统的阶跃响应y(k)，可求得离散 系统的脉冲响应h(k)为
h(k) y(k) y(k 1)。
3.4 Z 变换
3.4.1 Z 变换定义
采样过程： L氏变换：
f * (t ) f (kT )d (t kT ) k 0
F * (s) f (kT )e kTs k 0
dz
回顾：拉氏变换的重要性质
线性叠加定理 实微分定理 实积分定理 复微分定理 复积分定理 实位移定理 复位移定理 周期函数
L[ax(t ) by(t )] aX (s) bY (s)
L[ d x(t )] sX (s) x(0) dt
L[
t
x( )d ]
X (s)
0
s
L[tx(t )] d X (s) ds
z e aT (等 比 级 数)
Z[sint] Z[ e jt e jt ]
2j
1z 2 j [ z e jT
z
z e jT
]
z sinT z 2 2z cosT 1
2、部分分式法 ——已知连续信号 f(t) 的 L 氏变换 F(s)，若可分解为部分分 式，则由 Z 变换表求 F(z)。
➢第二种形式：称为 (n，m) 阶差分方程，其中 m≤n，是在输入 输出的最低阶上统一。
y(k n) a1 y(k n 1) an y(k) b0u(k m) b1u(k m 1) bmu(k)
连续定常系统的 n 阶微分方程（m≤n）
dn
d n1
d
dm
d m1
d
dt n y(t) a1 dt n1 y(t) an1 dt y(t) an y(t) b0 dt m u(t) b1 dt m1 u(t) bm1 dt u(t) bmu(t)
h*(t) h*(t)
离散系统
t
t
根据线性系统叠加原理，已知h* (t)后，任意输入脉冲序列u* (t)， 可得系统输出为
y * (t) u(0)h* (t) u(1)h* (t T ) u(n)h* (t nT )
k
k
y(k) u( j)h(k j) h(m)u(k m) u(k)* h(k) — 卷积和
L[ x(t ) ]
X ( p)dp
t
s
L[ x(t T0 )] e T0s X (s)
L[e at x(t )] X (s a)
L[ x(t ) x(t T ) ] X (s) 1 e Ts
i0
i 1
例3 2 2 y(k 1) ay(k) bu(k),设y(0)、u(k)已 知 ， 用 递 推 法 求 解 解 ：k 0 y(1) ay(0) bu(0)
k 1 y(2) ay(1) bu(1) a 2 y(0) abu(0) bu(1)
k 1
y(k) a k y(0) a k1i bu(i) 通 解 特 解 i0
例 y(k 2) 2 y(k 1) 5 y(k) 0,求通解。 解 ： 特 征方 程 r 2 2r 5 0， 有 一 对 共 轭 复 根 1 j2 5e jarctg2， 则通解为 y(k) c1 (1 j2)k c2 (1 j2)k。
例 y(k 2) 4 y(k 1) 4 y(k) 0,求通解。 解：特征方程 r 2 4r 4 0，有二重根 2， 则通解为 y(k) c1 (2)k c2k(2)k。
j0
m0
例3-3-1 已知离散系统脉冲响应h(k),求在u *(t) 1*(t) 作用下系统的输出y *(t)。
1, k 0 u *(t) 1*(t) 0, k 0
解： 由卷积和公式：
k
y(k) u(k) * h(k) u( j)h(k j) j0