2019-2020年中考数学 抛物线-压轴题
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2019-2020年中考数学 抛物线-压轴题
1、在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A (-4,0),B (0,-4),C (1)求抛物线的解析式;
(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点,点M 的横坐标为m ,
△AMB 的面积为S .求S 关于m 的函数关系式,并求出S 的最大值. (3)若点P 是抛物线上的动点,点Q 是直线y =-x 上的动点,
判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 直接写出相应的点Q 的坐标.
2、已知抛物线y =-x 2
+bx +c 经过点A (0,4),且抛物线的对称轴为直 线x =2.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若该抛物线的顶点为B ,在抛物线上是否存在点C ,使得A 、B 、O 、C 点构成的四边形为梯形?若存在,请求出点C (3)试问在抛物线上是否存在着点P ,使得以3为半径的⊙P 既与x 又与对称轴相交?若存在,请求出点P 的坐标,并求出对称轴被⊙P 的弦EF 的长度;若不存在,请说明理由.
3、如图,已知抛物线y =ax 2
+bx +c (a ≠0)的顶点坐标为Q (2,-1),且与y 轴交于点C (0,3),与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的右侧),点P 是该抛物线上一动点,
从点C 沿抛物线向点A 运动(点P 与A 不重合),过点P 作PD ∥y 轴,
交AC 于点D . (1)求该抛物线的函数关系式;
(2)当△ADP 是直角三角形时,求点P 的坐标; (3)在题(2)的结论下,若点E 在x 轴上,点F 在抛物线上,问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形?若存在,求点F 的坐标;若
不存在,请说明理由.
.
4、如图,平面直角坐标系中,点A 、B 、C 在x 轴上,点D 、E 在y 轴上,OA =OD =2,OC =OE =4,DB ⊥DC ,直线AD 与经过B 、E 、C 三点的抛物线交于F 、G 两点,与其
对称轴交于M .点,P 为线段FG 上一个动点(与F 、G 不重合),PQ ∥y 轴与抛物线交于点Q .
(1)求经过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式;
(2)是否存在点P ,使得以P 、Q 、M 为顶点的三角形与△AOD 相似?
若存在,求出满足条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若抛物线的顶点为N ,连接QN ,探究四边形PMNQ 的形状:①能
否成为菱形;②能否成为等腰梯形?若能,请直接写出点P 的坐标;
若不能,请说明理由.
5、如图,把抛物线y=-x2(虚线部分)向右平移1个单位长度,
再向上平移1个单位长度,得到抛物线l1,抛物线l2与抛物线l1
关于y轴对称.点A、O、B分别是抛物线l1、l2与x轴的交点,D、
C分别是抛物线l1、l2的顶点,线段CD交y轴于点E.
(1)分别写出抛物线l1与l2的解析式;
(2)设P是抛物线l1上与D、O两点不重合的任意一点,Q点是P 点关于y轴的对称点,试判断以P、Q、C、D为顶点的四边
形是什么特殊的四边形?说明你的理由.
(3)在抛物线l1上是否存在点M,使得S△ABM =S四边形AOED ,如果存在,求出M点的坐标;如果不存在,请说明理由.
6、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(3,0),B(2,-
3),C(0,-3).
(1)求此函数的解析式及图象的对称轴;
(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动,点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动,其中一个动点到达端点时,另一个也随之停止运动.设运动时间为t秒.
①当t为何值时,四边形ABPQ为等腰梯形;
②设PQ与对称轴的交点为M,过M点作x轴的平行线交AB于点N,设四边形ANPQ的面积为S,求面积S关于时间t的函数解析式,并指出t的取值范围;当t为何值时,S有最大值或最小值.
说明理由.7、如图,二次函数y=-x2+ax+b的图象与x轴交于A(-
2
1
,0),B(2,0)两点,且与y轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式,并判断△ABC的形状;
(2)在x轴上方的抛物线上有一点D,且以A、C、D、B
四点为顶点的四边形是等腰梯形,请直接写出D点的坐标;
(3)在此抛物线上是否存在点P,使得以A、C、B、P四
点为顶点的四边形是直角梯形?若存在,求出P点的坐标;
若不存在,说明理由.
8、如图,Rt△ABC的顶点坐标分别为A(0,3),B(-
2
1
,
2
3
),C(1,0),
∠ABC=90°,BC与y轴的交点为D,D点坐标为(0,
3
3
),以点D为顶点、
y轴为对称轴的抛物线过点B.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B′,求证:四边形AOCB′是矩
形,并判断点B′是否在(1)的抛物线上;
(3)延长BA交抛物线于点E,在线段BE上取一点P,过P点作x轴的垂线,
交抛物线于点F,是否存在这样的点P,使四边形PADF是平行四边形?若存在,
求出点P的坐标,若不存在,说明理由.
9、如图,矩形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上,A (-3,0),过点C 的直线
y =-2x +4与x 轴交于点D ,二次函数y =-2
1x 2
+bx +c 的图象经过B 、C 两点.
(1)求B 、C 两点的坐标;
(2)求二次函数的解析式;
(3)若点P 是CD 的中点,求证:AP ⊥CD ;
(4)在二次函数的图象上是否存在这样的点M ,使以A 、P 、C 、
M 为顶点的四边形为矩形?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.
10、如图,在平面直角坐标系中,以点A (-3,0)为圆心、5为半径的圆与x 轴相交于点B 、C 两点(点B 在点C 的左边),与y 轴相交于D 、M 两点(点D 在点M 的下方).
(1)求以直线x =-3为对称轴、且经过D 、C 两点的抛物线的解析式;
(2)若点P 是这条抛物线对称轴上的一个动点,求PC +PD 的取值范围;
(3)若点E 为这条抛物线对称轴上的点,则在抛物线上是否存在这样的点F ,使得以点B 、C 、
E 、
F 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点F
11、如图,已知抛物线y =ax 2
-2ax -b (a >0)与x 轴的一个交点为B (-
1,0),与y 轴的负半轴交于点C ,顶点为D .
(1)直接写出抛物线的对称轴及抛物线与x 轴的另一个交点A 的坐标; (2)以AD 为直径的圆经过点C .
①求抛物线的解析式;
②点E 在抛物线的对称轴上,点F 在抛物线上,且以B ,A ,F ,E
四点为顶点的四边形为平行四边形,求点F 的坐标.
12、如图,已知抛物线与x 轴交于点A (-1,0)和点B (1,0),与y 轴交于点C (0,-2),直线x =m (m >1)与x 轴交于点D .
(1)求该抛物线的解析式;
(2)在直线x =m (m >1)上有一点P (点P 在第一象限),使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似,求点P 的坐标(用含m 的代数式表示);
(3)在(2)成立的条件下,在抛物线上是否存在点Q ,使得四边
形ABPQ 为平行四边形?若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,
请说明理由.