暨南大学数学分析2010--2020年考研初试真题
暨南大学2020年硕士研究生入学考试真题845抽象代数
1.( ) 4阶群在同构意义下只有一个。
2.( )整数加法群 的子群一定是某个 。
3.( )每一个环中都存在唯一的单位元。
4.( )整数环的自同构只有恒等自同构。
5.( )任何一个有限域所含元素的个数必为素数或素数的方幂。
(1)说明在通常的乘法运算下 是一个群；(5分)
(2)确定 的全部正规子群；(5分)
(3)说明 与 的一个子群同构。(5分)
四、证明题（共2小题，每小题15分，共30分）。
1．(15分)设 是群 的两个元素，满足 。 的阶为 ， 的阶为 ，且 。证明 的阶为 。
2．(15分)设 是两个正整数， 和 分别是它们的最大公约数和最小公倍数。
(1)证明 和 都是整数环的理想，并且 ， ；(10分)
(2) 是整数环的理想吗？请说明理由。(5分)
五、解答证明题（共2小题，第1小题15分，第2小题25分，共40分）。
1.(15分)设 是有理数域 上不可约多项式 的一个实根。
(1)证明 是 在 上的一组基；(5分)
(2)将 表示成 的 -线性组合。(10分)
3、解答题（共3小题，其中出群、环和域的定义，试说明它们的区别和联系。
2．(15分)设 是15阶循环群，
(1)求 中各个元素的阶；(5分)
(2)求 的所有生成元；(5分)
(3)求 的所有非平凡子群。(5分)
3．(15分)设 为3次对称群， ，其中 。
2020年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
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暨南大学601高等数学2010--2014,2017,2019--2020年考研真题试卷
3．若 y5 2 y x 3x7 0 ，则 dy |x0 __________________________.
4．
lim(
n
n
1 2
1
2 n2 2
...
n ______.
5．以函数 y C2 作为通解的微分方程是_______________________. x C1
____________
(A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要
4. 若级数 (an bn ) 收敛，那么说法正确的是___________
n1
(A) an 和 bn 中至少有一个收敛 (B) an 和 bn 有相同的敛散性
n1
n1
n1
n1
(C) an 和 bn 都收敛
D
6．求 4 ln(1 tan x)dx . 0
dx
7. 判断积分 0
(1 x)(1 x2 ) 的收敛，如果收敛，求其值.
8. 求一阶线性微分方程 dy 5y x 的通解. 并求满足初始条件 y(0) 0 的特解. dx
9．求在平面 x y z 1与柱面 x2 y2 1的交线上到 XOY 面的距离最远的点. 345
考试科目：高等数学B
共 4 页，第 3 页
4、证明题 （本题共2小题，每小题5分，共10分）
1. 设函数 f (x) 在 (,) 上可导,证明:若 f ' (x) f (x) 没有实数解，那么曲线
y f (x) 与 x 轴最多只能有一个交点.
df
1 ( dx
x)
|x3
___________
(A) 1 3
(B) 3
(C) 1
暨南大学820数字电子技术2010--2015,2017,2019-2020年考研专业课真题
1
2019年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
******************************************************************************************** 招生专业与代码：光学工程（080300）
研究方向：
考试科目名称：（820）数字电子技术 考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一、单项选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列几种A/D 转换器中，转换速度最快的是（ ）。
A 、并行A/D 转换器
B 、计数型A/D 转换器
C 、逐次渐进型A/
D 转换器 D 、双积分A/D 转换器
2．以下式子中不正确的是（ ）
A ．1•A ＝A
B ．A ＋A=A
C ．B A B A +=+
D ．1＋A ＝1
3．已知某触发器的特性表如下（A 、B 为触发器的输入）其输出信号的逻辑表达式为( )。
A
B Q n+1 说明 0
0 Q n 保持 0
1 0 置0 1
0 1 置1 1 1 Q n 翻转
A ． Q n+1 ＝A B. n n 1n Q A Q A Q +=+ C. n n 1n Q
B Q A Q +=+ D. Q n+1 ＝ B
4． 8线—3线优先编码器的输入为I 0—I 7 ，当有效输入优先级别最高为I 5时，其输出012Y Y Y ••的值是（ ）。
A ．111 B. 010 C. 000 D. 101
考试科目： 数字电子技术 共 4 页，第 1 页。
暨南大学810高等代数2010--2020年考研专业课真题
考试科目名称及代码：810高等代数（A卷）
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一、（10分）设 为给定正整数， 为给定常数，计算对角线上元素均为 、其它位置元素均为1的 阶矩阵 的行列式 .
2证明 在某基下的矩阵是
六（15分）1设 ，证明秩 =秩 =秩 。
2设 是实对称矩阵， ，证明 。
七（15分）已知矩阵 是数域 上的一个 级方阵，如果存在 上的一个 级可逆方阵 ，使得 为对角矩阵，那么称 在 上可对角化。分别判断 能否在实数域上和复数域上可对角化，并给出理由。
八（16分）用 表示实数域 上次数小于4的一元多项式组成的集合，它是一个欧几里得空间，内积为 。设 是由零次多项式及零多项式组成的子空间，求 以及它上的一个基。
研究方向：各专业研究方向
考试科目名称：810高等代数
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分
一、判断下列命题的正误（只需回答“正确”或“错误”并将你的答案写在答题纸上，不需说明理由，每题2分，共20分）：
1唯一解，并求其解；
2无穷多解，给出解的表达式；
3无解。
四（15分）设
1求 的全部特征值；
2对 的每个特征值 ，求 的属于特征值 的特征子空间的维数和一组基；
3求正交矩阵 ，使 是对角矩阵，并给出此对角矩阵。
五（15分）设 是数域 上的一个n维线性空间 ，若有线性变换 与向量 使得 ，但 。
1证明 线性无关；
2020年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
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暨南大学数学考研真题
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招生专业与代码：基础数学070101；计算数学070102；概率论与数理统计070103；应用数学070104；运筹学与控制论070105
4、给出线性空间 的两组基 和 ：
，
则基 到 的过渡矩阵为。若线性变换 在基 下的矩阵为 ，则 在基 下的矩阵为。
5、已知3级方阵 ，则 的初等因子为， 的Jordan标准形为。
考试科目：高等代数共3页，第1页
6、正交矩阵的实特征值只可能是。
7、对欧几里得空间 中的向量 ，有 ，而且等号成立当且仅当。
七、（15分）用 表示数域 上所有 级矩阵组成的集合，它对于矩阵的加法和数量乘法成为 上的线性空间。数域 上形如
的 级矩阵称为循环矩阵，它的行向量的每个元素都是前一个行向量各元素依次右移一个位置得到的结果。用 表示数域 上所有 级循环矩阵组成的集合。证明 是 的一个子空间，并求 的一个基和维数。
八、（20分）你认为高等代数课程中最重要的概念、最重要的结论是什么，你最感兴趣的内容是什么？高等代数有哪些重要的应用？谈谈你对高等代数的体会和感想。
考试科目名称及代码：高等代数810
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一、填空题（共40分，每空4分）
1、设 ， ，则 除 的商式和余式分别是_______和_________。
2、行列式 的值是________。
3、如果把实 级对称矩阵按照合同分类，即两个实 级对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，则共有________类。
考研真题：广东暨南大学2022年[高等数学]考试真题
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考研真题：暨南大学2022年[高等数学]考试真题一、填空题1. 若,则_____________________________.Q x x Q Px x =-+-+→11)8(lim 221=P =Q 2. 二次型为正定型，那么的取值范围3231212322213212245),,(x x x x x x ax x x x x x f --+++=a 是_________________3．若 ，则__________________________.03275=--+x x y y ==0|x dy 4． ______________________.=++++++∞→)...2211(lim 222nn n n n n 5．以函数作为通解的微分方程是_______________________.12C x C y +=6．二次积分___________________________.⎰⎰≤++=+1)(22222)(y x y x dxdy e y x 7．函数展开成正弦级数为_________________________.π<<=x x f 0,1)(8．曲面在点处的切平面方程为_______.532+=+++z y e z y x )2,2,1(-9．设在上可导，且,则)(x f ),(+∞-∞⎰≠=xx dt t f x x F 10)0()()(=)(''x F __________________.二、选择题1． 行列式_____________=v u d c yx b a 00000000(A)xyuv abcd -(B)bcuv adxv -(C)))((yu xv bc ad --(D) ))((uv xy cd ab --2. 四元线性方程组的基础解系是__________⎪⎩⎪⎨⎧=-==+00041241x x x x x (A)T )0,0,0,0((B)T )0,2,0,0((C)T )1,0,1(-(D) 和T )0,2,0,0(T)1,0,0,0(3. 设可导，,则是在处可导的)(x f |))1ln(|1)(()(x x f x F +-=0)0(=f )(x F 0=x ________________(A) 充要条件(B) 充分不必要条件(C) 必要不充分条件(D) 既不充分也不必要4. 若级数收敛，那么说法正确的是___________)(1n n n b a +∑∞=(A)和中至少有一个收敛 ∑∞=1n n a ∑∞=1n n b (B)和有相同的敛散性∑∞=1n n a ∑∞=1n n b (C)和都收敛 ∑∞=1n n a∑∞=1n n b (D) 收敛||1n n n b a +∑∞=5. 设是以为顶点的正方形，其方向为逆时针方向，那L )1,0(),0,1(),1,0(),0,1(--D C B A么___________⎰=-+Ly x d y x )()((A)0(B)2-(C)4-(D) 8-6. 设在上可导且其反函数也可导，已知则)(x f ),0(+∞,3)1(=f ,1)1('=f ,3)3('=f ___________==-31|)(x dxx df (A)1/3(B)3(C)1(D) 不能确定7. 设为正整数,那么 _______________.n m ,=→nx mx x sin sin lim π(A). n m nm --)1((B) nm (C) n m -(D) 不存在8. 将XOZ 坐标面上的抛物线绕Z 轴旋转一周得到的方程是__________.x z =2(A)222y x z +=(B)x y x =+22(C)y x z +±=2(D) xz y =+22三 、计算题1．,求.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6/10013/10212/1A n n A ∞→lim 2. 设向量组，，，。
暨南大学819材料力学2010--2013,2015--2020年考研真题试卷
2020年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题********************************************************************************************招生专业与代码：一般力学与力学基础、工程力学、固体力学、结构工程考试科目名称及代码：材料力学819考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一、填空题（共5小题，每小题2分，共10分）1-1．若将等截面实心圆直杆的直径增加一倍，其它条件不变，则其扭转刚度是原来的 倍。
1-2．两根承受轴向拉伸的杆件均在线弹性范围内，一为钢杆弹性模量E 1=210GPa ，另一为铸铁弹性模量E 2=100GPa 。
若两杆的正应力相等，则两杆的纵向线应变的比值为 ；若两杆的纵向应变相同，则两杆的正应力的比值为 。
1-3．如题1-3图所示，在板状试件表面贴两片应变片，在集中力P 作用下平行轴线的应变片6112010ε-=⨯，垂直轴线的应变片624010ε-=-⨯；那么试件泊松比为 。
1-4．如题1-4(a)图、题1-4(b)图单元体中，实线代表变形前，虚线代表变形后，题1-4(a) 图角应变为 ，题1-4(b) 图角应变为 。
(图中角度为弧度)1-5．矩形截面柱如题1-5图所示，F 1的作用线与柱的中心轴线重合，F 2作用在 y 轴上，F 2与柱z 轴线距离为e ；立柱的m-m 截面b h ⨯上最大压应力是 。
题1-5图考试科目：材料力学 共 4 页，第 1 页考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
二、单项选择题（共5小题，每小题2分，共10分）2-1．各向同性假设材料沿各个方向具有相同的 。
(A) 力学性质 (B) 外力 (C) 变形 (D) 位移2-2．空心圆截面直杆的外径为D 、内径为d ，在计算扭转最大剪应力时需要确定扭转截面系数W P ，其表达式以下正确的是 。
暨南大学810高等代数2010--2020年考研真题
0 1 0
使得 X 1AX
为对角矩阵，那么称
A 在 P 上可对角化。分别判断
A
0
0 1 能否在实数
2 3 1
域上和复数域上可对角化，并给出理由。
八（16 分）用 R[x]4 表示实数域 R 上次数小于 4 的一元多项式组成的集合，它是一个欧几里得
空间，内积为 ( f , g) 1 f (x)g(x)dx 。设W 是由零次多项式及零多项式组成的子空间，求W 0
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分
一、判断下列命题的正误（只需回答“正确”或“错误”并将你的答案写在答 题纸上，不需说明理由，每题 2 分，共 20 分）：
1、如果 f (x) 是有理数域 Q 上的多项式，则 f (x) 在有理数域 Q 上不可约的充分必
要条件是，多项式 g(x) f (x 11) 在有理数域 Q 上不可约。
二、 在每个题后给出的 3 个答案中选择一个正确的答案填空，将其前的字母 填写在答题纸上：（每小题 3 分，共 30 分）
3 求正交矩阵T ，使T ' AT 是对角矩阵，并给出此对角矩阵。 五（15 分）设V 是数域 P 上的一个 n 维线性空间 (n 1) ，若有线性变换 与向量 使得 n1 0 ，但 n 0 。
1 证明 , , , n1 线性无关；
0 0
1
0
2 证明 在某基下的矩阵是 A 0 1
四、（20 分）设线性方程组
3x1 2x2 x3 x4 1
x2
x2 2x3 2x4 1 ( 3)x3 2x4
x1 x2 x3 x4 0
讨论参量 , 取何值时，上述方程则有唯一解？无解？有无穷多解？有解时写出所
暨南大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题******************************************************************************************** 学科、专业名称：081001 通信与信息系统、081002 信号与信息处理、430109电子与通信工程研究方向：01光电子与光通信、02通信网络与信息系统、03微电子器件与集成电路设计、04多媒体技术与信息安全、05无线通信与传感技术；01机器人与测控系统、02量子信息与量子系统、03信息技术与智能仪器、04通信信号处理及SoC设计、05图像处理与应用系统； 01光通信与无线通信、02网络与多媒体技术、03微电子技术与集成电路设计、04测控系统与智能仪器、05信息系统与信息处理技术考试科目：823 电子技术基础共8 页，第 1 页考试科目：823 电子技术基础共8 页，第 2 页考试科目：823 电子技术基础共8 页，第 3 页T2和T3分别构成什么电路？考试科目：823 电子技术基础共8 页，第 4 页考试科目：823 电子技术基础共8 页，第 5 页、如图 求出和表达式，对电流反馈写出20.2sin()k 22sin(10a +∙∙=t v ππ考试科目：823 电子技术基础共8 页，第 6 页考试科目：823 电子技术基础共8 页，第7 页考试科目：823 电子技术基础共8 页，第8 页2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题********************************************************************************************学科、专业名称：光学工程研究方向：考试科目名称：820 数字电子技术 图2.2 00003210=Q Q Q Q ，则第2个CP 的上升沿到]。
图3四、（10分）用4选1数据选择器实现以下逻辑功能：Y=A⊙B⊙C（要求列出过程）五、（10分）试用ROM实现两个2位二进制数的加法运算（列出过程，用简化阵列图表示）。
暨南大学数学学科2010年硕士研究生入学考试
暨南大学数学学科2011年硕士研究生入学考试自命题科目《高等代数》考试大纲本《高等代数》考试大纲适用于暨南大学数学学科各专业（基础数学、概率论与数理统计、应用数学）硕士研究生入学考试。
高等代数是大学数学系本科学生的最基本课程之一，也是大多数理工科专业学生的必修基础课。
它的主要内容包括多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵理论、二次型理论、线性空间、线性变换、λ-矩阵、欧氏空间。
要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有较强的运算能力和综合分析解决问题能力。
一、考试的基本要求要求考生比较系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，掌握高等代数的基本思想和方法。
要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。
二、考试内容（一）多项式1．一元多项式的整除、最大公因式、带余除法公式、互素、不可约、因式分解、重因式、根及重根、多项式函数的概念及判别；2．复根存在定理（代数基本定理）；3．根与系数关系；4．一些重要定理的证明，如多项式的整除性质，Eisenstein判别法，不可约多项式的性质，整系数多项式的因式分解定理等；5．运用多项式理论证明有关命题，如与多项式的互素和不可约多项式的性质有关的问题的证明与应用；6．用多项式函数方法证明有关结论。
（二）行列式1．n-级排列、对换、n-级排列的逆序及逆序数和奇偶性；2．n-阶行列式的定义，基本性质及常用计算方法（如三角形法、加边法、降阶法、递推法、按一行或一列展开法、Laplace展开法、Vandermonde行列式法）；3．Vandermonde行列式；4．行列式的代数余子式。
（三）线性方程组1．向量组线性相（无）关的判别及相应齐次线性方程组有（无）非零解的相关向量判别法、行列式判别法；2．向量组的极大线性无关组的性质，向量组之间秩的大小关系定理及其三个推论，向量组的秩的概念及计算，矩阵的行秩、列秩、秩概念及其行列式判别法和计算；3．Cramer法则，线性方程组有（无）解的判别定理，齐次线性方程组有（无）非零解的矩阵秩判别法、基础解系的计算和性质、通解的求法；4．非齐次线性方程组的解法和解的结构定理；（四）矩阵理论1．矩阵基本运算、分块矩阵运算及常用分块方法并用于证明与矩阵相关的结论，如有关矩阵秩的不等式；2．初等矩阵、初等变换及其与初等矩阵的关系和应用；3．矩阵的逆和矩阵的等价标准形的概念及计算，矩阵可逆的条件及其与矩阵的秩和初等矩阵的关系，伴随矩阵概念及性质；4．行列式乘积定理；5．矩阵的转置及相关性质；6．一些特殊矩阵的常用性质，如，对角阵、三角阵、三对角阵、对称矩阵、反对称矩阵、幂等矩阵、幂零矩阵、正交矩阵等；7．矩阵的迹、方阵的多项式；8．矩阵的常用分解，如等价分解、满秩分解、实可逆矩阵的正交三角分解、约当分解；9．应用矩阵理论解决一些问题。
暨南大学830数据结构2010,2012--2020年考研专业课真题
2020年全国硕士研究生统一入学考试自命题试题B卷********************************************************************************************学科、专业名称：网络空间安全研究方向：网络空间安全083900考试科目名称及代码：数据结构830考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一、单项选择题(每题2分，共30分)1. 下述关于顺序存储结构优点的说法，哪个是正确的（）A. 插入运算方便B. 可方便地用于各种逻辑结构的存储表示C. 存储密度大D. 删除运算方便2. 假设根结点为第1层，深度为h层的二叉树至少有( ) 个结点(h>1)；A. 2hB. 2h-1C. 2h+1D. 2h-13. 用单向链表来实现容量为n的堆栈时，链表头指针指向堆栈顶部元素，链表尾指针指向堆栈底部元素，则以下说法错误的是( )A. 入栈操作的复杂度为O(1)B. 出栈操作的复杂度为O(1)C. 删除底部元素的复杂度为O(1)D. 插入一个新的堆栈底部元素复杂度为O(1)4. 以下关于递归算法的论述，不正确的是( )A. 递归算法的代码可读性好B. 递归算法可以提高程序运行效率C. 递归调用层次太深有可能造成堆栈溢出D. 递归调用层次太深会占用大量内存5. 设有字符集合{4,6,3,W,S}，将字符序列6W43S中的字符按顺序进入堆栈，出栈可发生在任何时刻。
则以下的出栈序列错误的是（）。
A. 64WS3B. 4W36SC. 6W34SD. WS4366. 在管理城市道路交通网络据时，最适合采用（）数据结构来对其进行存储。
A．有向图B．无向图C．树D．矩阵7. 具有k个顶点的完全有向图的边数为( )。
A. k(k-1)B. k(k-1)/2C. k2-1D. k2+18. 若线性表最常用的操作是增加或者删除某个元素, 则采用( )存储方式节省时间.A. 单链表B. 双链表C. 单循环链表D. 顺序表9. 由权为6,3,2,8的四个叶子结点构造一个哈夫曼树，该树的带权路径长度为（）。
暨南大学考研2010数电真题
2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题
******************************************************************************************** 学科、专业名称：光学工程
研究方向：
考试科目名称：820 数字电子技术 图2.2
00003210=Q Q Q Q ，则第2个CP 的上升沿到 ]。
图3
四、（10分）用4选1数据选择器实现以下逻辑功能：Y=A⊙B⊙C
（要求列出过程）
五、（10分）试用ROM实现两个2位二进制数的加法运算（列出过程，用简
化阵列图表示）。
六、（10分）逻辑电路和各输入信号波形如图
出Q和Z对应于CP的波形。
图7
八、（15分）用同步十六进制计数器
变进制的加计数器。
要求控制信号（输入信号）
A = 1时为十二进制。
74LS161
九、（15分）一位全加器FA和2线－4线译码器及与非门组成如图9
请分析该电路输出与输入的关系，写出F的逻辑表达式，最终结果以最小项之和的形式表示（要求列出分析过程）。
考试科目：数字电子技术共 4 页，第
图9
图10
十一、（15分）时序逻辑电路如图11所示。
1．写出各驱动方程和状态方程。
2．列出状态转换表，说明其功能。
图11
考试科目：数字电子技术共 4 页，第 4 页。
暨南大学2023考研真题810 高等代数
2023年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题********************************************************************************************招生专业与代码：070101基础数学、070102计算数学、070103概率论与数理统计、070104应用数学、070105运筹学与控制论考试科目名称及代码：810高等代数（A 卷）考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
科目：高等代数共页，第页一、（10分）计算行列式011212100,0.00n n n x x a x a xD a a a xa a x--=⋅⋅⋅≠其中二、（15分）已知1234ββββ，，，是线性方程0Ax =的一个基础解系，若112a γββ=+，223a γββ=+，334a γββ=+，441a γββ=+，讨论a 满足什么关系时，1234,,,γγγγ也是方程0Ax =的一个基础解系.三、（15分）已知矩阵12314315A k -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭的特征方程有一个二重根，求k 的值，并讨论A 能否对角化.四、（15分）设向量组123(,2,10),(2,1,5),(1,1,4),(1,,).T T T Ta b c αααβ==-=-=当,,a b c 满足什么条件时：(1)123βααα可由，，线性表示，且表示唯一.(2)123βααα不能由，，线性表示.(3)123βααα可由，，线性表示，但表示不唯一，并求出一般表达式.五、（20分）设二次型222(,,)222,(0),f x y z x y z xz αββ=+-+>已知二次型的矩阵A 特征值之和为1，特征值之积为12-,求:（1）,αβ的值；（2）利用正交变换把二次型化为标准型，并写出所使用的正交变换和对应的正交矩阵.六、（15分）若A 是一个n m ⨯的实矩阵且秩为n ，是否一定会有A A T 可逆？证明你的结论或给出反例.七、（15分）一个线性变换的最小多项式是否一定可以整除特征多项式？证明你的结论或给出反例.八、（20分）以下关于分块矩阵行列式的等式，在什么条件下是成立的？证明你的结论.BA B CA ⨯=九、（25分）若欧氏空间V 上的线性变换A 和其共轭变换可交换，M 为A 的不变子空间.试证明：M 的正交补N 也是A 的不变子空间.。
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的和函数.
2.
已知一元函数
f (h) 在 h0 点可导，设 g( x, y)
f (h0 x) f (h0 y) 为定义在 D 2 上的 x y
二元函数，其中 D 为 2 的第一象限. 试用 定义求 g 在 D 上当 (x, y) (0, 0) 时的极限.
3.
用含参量积分计算
2 0
2.ห้องสมุดไป่ตู้
（10 分）证明：第二型曲线积分
L
xdx ydy ( x2 y2 )3/2
在区域
D
:
x
0
上与路径无关.
3. （11 分）设函数 f ( x) 在 [0, 3] 上连续，在 (0, 3) 内可导，且满足 f (0) f (1) f (2) 3 ，
f (0) 1， f (3) 1 ，证明：存在 (0,3) ，使得 f ( ) 0 .
4. （12 分）证明：对 x 0,
函数 f ( x)
x 0
(t
t2
)
sin2n
tdt
有一个上界为
(2n
1 3)(2n
2)
.
5. （12 分）非极值点的稳定点称为鞍点. 证明：二元函数 f ( x, y) x y sin x 的全体鞍点组 成的集合与整数集 可建立一一映射.
********************************************************************************* 题目结束
(
x,
y)
(0,
0)
，其中
m
为正整数，
a
为实数.
设
f (x, y) 在
a, (x, y) (0,0)
(0, 0) 点处的方向导数的个数为 n ，试讨论 n 与 m 和 a 的关系.
四、证明题（共 5 小题，共 55 分）
1. （10 分）证明：函数项级数 x enx2 在 上连续. n1 n
!OŽK£ 6 K§z K9©§ 54©¤
∞
1. ¦˜?ê n(n + 1)xn Âñ•9Ú¼ê"
n=1
2. rf (x) = −1, x ∈ [−π, 0] Ðm¤Fp“?꧿?ØT?ê
1,
x ∈ (0, π)
¨
3. ¦
e
x−y x+y
dxdy§Ù¥D´dx
=
0,
y
= 0,
x+y
= 1¤Œ«•"
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
一、计算题（共 5 小题，每小题 9 分，共 45 分）
1.
求极限
lim
n
1 n3
12 22 n2
.
2. 求极限 lim 2020 x2020 x2019 2020 x2020 x2019 . x
3. 求极限 lim x
2020 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题（B 卷）
********************************************************************************************
招生专业：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论、统计学 研究方向：各方向 考试科目名称及代码：709 数学分析
考试科目： 709 数学分析
共 2 页，第 2 页
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*************************************************************************************** Ɖ! ;’¶¡µÄ:êÆ! OŽêÆ! VÇ؆ênÚO! A^êÆ! $ÊƆ››Ø! ÚOÆ ïÄ••µˆ•• •Á‰8¶¡µ709êÆ©Û
(b > a > 0).
0
x
ä¦
7:´Ä4
n!?Ø©ÛK£ 4 K§ 36©¤
1. £8©¤?ؼêf (x) = |x3|3x = 0?ˆ ê •35§¿¦dy|x=−1, d2y|x=1"
2. £8©¤
∞
ä?ê
(−1)n ln(n + 1) ´ýéÂñ!^‡Âñ„´uÑ
"
n+1
n=0
•Á‰8µ709êÆ©Û£Aò¤
•)5¿µ¤k‰Y7L 3‰K’£ò¤þ§ 3 ÁKþ˜Æ؉©" ˜!OŽK£ 3 K§z K8©§ 24©¤
1. ¦4•lim
arcsin 2x tan x2
√
.
x→0 (e3x − 1)( 1 + x2 − 1)
2.
¦4• lim x→0
ex
− ln(1 + sin2 x
x)
.
ˆ
3. ¦È© x arctan xdx.
x 0
(1
1)t t ln x
e
dt
.
4. 求积分
arctan x (1
xx)dx
.
5.
用三重积分求椭球体V
(x, y, z) 3
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
a,b, c
0
的体积.
二、计算题（共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分）
1.
求幂级数
x
n2
xn n(n 1)
D
4.
ˆ ¦È©
1
1 + sin x + x ln(2 + x4) dx.
−1
(1 + x2)2
Âñ5"
5. ¦d•§x2 + 2xy + 2y2 = 1¤(½ Û¼êy = f (x) 7:§¿
Š:§e•4Š:§`²´4Œ„´4 Š:§¿¦éA4Š"
6.
ˆ OŽÈ©
+∞
e−ax2
− e−bx2 dx
2 •§1 1 •
3.
ˆ £8©¤?؇~È©Φ(α) =
+∞
xα−1 dx
Âñ5"
0 1+x
4. £12©¤?ؼê
xy2
,
f (x, y) = x2 + y2
0,
x2 + y2 = 0, x2 + y2 = 0
3:(0, 0) \g4•!ëY5! ê9Œ‡5"
o!y²K£ 4 K§z K9©§ 36©¤
arctan(
1 2
tan
tan x
x)
dx
.
三、讨论分析题（共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分）
考试科目： 709 数学分析
共 2 页，第 1 页
1. 设 k ，试问 k 为何值时，方程 arctan x kx 0 无正实根.
2.
已知函数
f
(
x,
y)
2 x2
xm
y y2
,
1.
a1
= 0,
an+1
=
1 4
+ a2n,
n = 1, 2, · · ·"y²ê
{an}
4••3§¿¦ÙŠ"
2. y²¼ê‘?ê ∞ 2n sin x 3«m(0, +∞)þؘ—Âñ§ S4˜—Âñ" 3n
n=1
3. yLˆª(3x2 − yz)dx + (3y2 − xz)dy + (3z2 − xy)dz• ‡©§¿¦Ù ¼ê"