指数函数及其性质(公开课)1精品PPT课件
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指数函数的图象及性质 完整课件PPT
(2)若0<a<1，则函数y=ax在区间［-1，2］上是递减的，
当x=-1时，f(x)取得最大值f(-1)=2a-1-4=10,∴a=1 .
7
综上所述，a的值为
7或
1 7
.
答案：
7或
1 7
【误区警示】
【防范措施】 1.加强分类讨论的意识 在解含字母的指数函数的有关问题时，(x)=ax在a＞1和0＜a ＜1两种情况下，最大值和最小值的取值情况是不同的. 2.重视指数函数单调性的应用 对一些常用的指数函数的性质要记准、记牢，的大小，确定 指数函数的单调性，就可以得到最大值、最小值，进而列方 程求解.
10 5 3 4 , 3, 1 , 3. 3 10 5
＞0且a≠1时，总有 f(2)=a2－2－3=a0－3=1－3=－2， 所以函数f(x)=ax－2－3必过定点(2，-2). 答案：(2，-2)
【互动探究】若题1中的“a＞1”改为“a＞0,且a≠1”， “y=(a－1)x2”改为“ y=x+a”，则图象可能是( )
22
2
【易错误区】指数函数中忽视分类讨论致误 【典例】(2013·淮安高一检测)函数f(x)=ax(a＞0,且a≠1)在 ［0,1］上的最大值与最小值的差为 1，则a=______.
2
【解析】(1)当a＞1时，函数f(x)=ax在［0,1］上是增函数.所以
当x=1时，函数f(x)取最大值；当x=0时，函数f(x)取最小值.
【解析】＞1时，函数y=ax的图象过点(0,1)，分布在第一、 二象限，且从左到右是上升的. 直线y=x+a过第一、二、三象 限，与y轴的交点为(0,a),在点(0,1)的上方. A，B，C，D四 项均不符合此要求.当0＜a＜1时，函数y=ax的图象过点 (0,1)，分布在第一、二象限，且从左到右是下降的. 直线 y=x+a过第一、二、三象限, 与y轴的交点为(0,a)，在点(0,1) 和点(0,0)项符合此要求.
指数函数及其性质(一)公开课解析PPT课件
2.1.2 指数函数及其性质
-
一、创设情境 问题1：一张白纸对折一次得两层，对折
两次得4层，对折3次得8层，问若对折x次所得 层数为ｙ，则y与x的函数关系是什么？
分析：把对折次数x与所得层数y列出表格
2 4 22 8 23
2x
N y 2 xx
-
一、创设情境 问题2：《庄子·逍遥游》中写道：一尺之
（3）
1 4
0.8
与
1 2
1.8
（4）33.1与23.1
2、函数ya2-3a+2ax是指数函数，则a的
取值范围是（ ）
A.a=1或a=2 B.a=2
C.a=1
-
D.a 0 ， + 且 a1 ， a2
四、强化训练
3、已知指数函数 fx = a xa ＞ 0 ， 且 a1 的
图象经过点（2,9），求fx 的解析式。
-
五、小结归纳 （1）说一说通过本节课的学习，你学到了哪
些知识？ （2）通过本节课的学习，你学习了哪些数学
思想方法？ （3）你能将指数函数的学习与实际生活联系
起来吗？
作业：课本作业2.1 A组 7. 8
-
x
3
-
1
1
1
27
9
3
1
1
1
2
4
8
1
1
1
3
9
27
三、探求新知
描点、连线
y
y
1 2
x
y
1 3
x
y 3x
y 2x
1
0
1
x
-
三、探求新知
0，
-
牛刀小试
-
一、创设情境 问题1：一张白纸对折一次得两层，对折
两次得4层，对折3次得8层，问若对折x次所得 层数为ｙ，则y与x的函数关系是什么？
分析：把对折次数x与所得层数y列出表格
2 4 22 8 23
2x
N y 2 xx
-
一、创设情境 问题2：《庄子·逍遥游》中写道：一尺之
（3）
1 4
0.8
与
1 2
1.8
（4）33.1与23.1
2、函数ya2-3a+2ax是指数函数，则a的
取值范围是（ ）
A.a=1或a=2 B.a=2
C.a=1
-
D.a 0 ， + 且 a1 ， a2
四、强化训练
3、已知指数函数 fx = a xa ＞ 0 ， 且 a1 的
图象经过点（2,9），求fx 的解析式。
-
五、小结归纳 （1）说一说通过本节课的学习，你学到了哪
些知识？ （2）通过本节课的学习，你学习了哪些数学
思想方法？ （3）你能将指数函数的学习与实际生活联系
起来吗？
作业：课本作业2.1 A组 7. 8
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三、探求新知
描点、连线
y
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y 3x
y 2x
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三、探求新知
0，
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牛刀小试
指数函数及其性质课件
指数函数及其性 质ppt课件
目录
• 指数函数简介 • 指数函数性质 • 指数函数与其他数学知识的结合 • 指数函数在实际问题中的应用 • 指数函数的扩展与深化理解
01
指数函数简介
定义与特性
定义
指数函数是一种数学函数，其形 式为 y = a^x，其中 a > 0 且 a ≠ 1，x 是自变量，y 是因变量。
3
应用
复合指数函数在数学、物理、工程等领域有广泛 应用，如计算复利、解决物理问题等。
自然指数函数与欧拉数
定义
自然指数函数是指数函数 (e^x) 的反函数，也称 为欧拉数。
性质
自然指数函数具有连续、可导、可微等性质，且 (e^x) 的导数等于自然指数函数。
应用
自然指数函数在数学、物理、工程等领域有广泛 应用，如计算复利、解决物理问题等。
指数函数的周期性
根据周期函数的定义，判断指数函 数的周期性，并举例说明。
周期性的应用
介绍周期性在数学、物理等领域的 应用，如三角函数的周期性等。
有界性
有界函数的定义
如果存在两个常数M和m，使得对于定义域内的每一个x，都有m≤f(x)≤M，则称 f(x)为有界函数。
指数函数的有界性
根据有界函数的定义，判断指数函数的有界性，并举例说明。
特性
指数函数具有非线性特性，随着 x 的增大或减小，y 的值会以指数 速度增长或减小。
历史背景与发展
历史背景
指数函数的概念可以追溯到古代数学 ，但直到17世纪科学革命时期，数 学家们才开始深入研究指数的性质和 应用。
发展
随着微积分和复数理论的发展，指数 函数的理论基础不断完善，应用领域 也得到了极大的拓展。
04
目录
• 指数函数简介 • 指数函数性质 • 指数函数与其他数学知识的结合 • 指数函数在实际问题中的应用 • 指数函数的扩展与深化理解
01
指数函数简介
定义与特性
定义
指数函数是一种数学函数，其形 式为 y = a^x，其中 a > 0 且 a ≠ 1，x 是自变量，y 是因变量。
3
应用
复合指数函数在数学、物理、工程等领域有广泛 应用，如计算复利、解决物理问题等。
自然指数函数与欧拉数
定义
自然指数函数是指数函数 (e^x) 的反函数，也称 为欧拉数。
性质
自然指数函数具有连续、可导、可微等性质，且 (e^x) 的导数等于自然指数函数。
应用
自然指数函数在数学、物理、工程等领域有广泛 应用，如计算复利、解决物理问题等。
指数函数的周期性
根据周期函数的定义，判断指数函 数的周期性，并举例说明。
周期性的应用
介绍周期性在数学、物理等领域的 应用，如三角函数的周期性等。
有界性
有界函数的定义
如果存在两个常数M和m，使得对于定义域内的每一个x，都有m≤f(x)≤M，则称 f(x)为有界函数。
指数函数的有界性
根据有界函数的定义，判断指数函数的有界性，并举例说明。
特性
指数函数具有非线性特性，随着 x 的增大或减小，y 的值会以指数 速度增长或减小。
历史背景与发展
历史背景
指数函数的概念可以追溯到古代数学 ，但直到17世纪科学革命时期，数 学家们才开始深入研究指数的性质和 应用。
发展
随着微积分和复数理论的发展，指数 函数的理论基础不断完善，应用领域 也得到了极大的拓展。
04
指数函数及其性质数学PPT课件
2.图象都通过（0，1）点，即当x=0时，恒有 = 0 =
1 0<≠1 .
3.当 > 1时，曲线以x轴负方向为渐近线，且当x增加时，
曲线是上升的，即y是R上的增函数。
4.当0 < < 1时，曲线以x轴正方向为渐近线，且当x增加
时，曲线是下降的，即y是R上的减函数.
5. = 2 与 = 12 两函数关于y轴对称.
指数函数及其性质
人教版必修一数学PPT课件
CONTENTS目录1Fra bibliotek教案设计
2
授课过程
3
探索新知
4
巩固提高
PART
01
教案设计
Lesson plan design
设计厘定教学目标
应达到的教学目标
了解指数函数模型的实际背景、初步体会指数函数是
一类重要的函数模型；会解简单的指数不等式， 会画
指数函数的大致图象。
适当的练习题
的理解，开发思维能力
概念理解
带有难度的内容，调动
学生积极性发挥其潜能
深对指数函数图象性质
培养能力
发挥潜能
着眼于最近发展区提供
强化学生识图能力，加
2
识图能力
重点培养学生应用指数
函数性质解决问题的能
力，着眼于实质性提升
4
教师总结课堂创新经验
问答
比较
分析
通过问答式帮助学生
通过进行比较，加深
引导学生独立思考概
函数值
的分布
当x<0时，y<1
当x=0时，y=1
当x>0时，y>1
当x<0时，y>1
当x=0时，y=1
当x>0时，y<1
1 0<≠1 .
3.当 > 1时，曲线以x轴负方向为渐近线，且当x增加时，
曲线是上升的，即y是R上的增函数。
4.当0 < < 1时，曲线以x轴正方向为渐近线，且当x增加
时，曲线是下降的，即y是R上的减函数.
5. = 2 与 = 12 两函数关于y轴对称.
指数函数及其性质
人教版必修一数学PPT课件
CONTENTS目录1Fra bibliotek教案设计
2
授课过程
3
探索新知
4
巩固提高
PART
01
教案设计
Lesson plan design
设计厘定教学目标
应达到的教学目标
了解指数函数模型的实际背景、初步体会指数函数是
一类重要的函数模型；会解简单的指数不等式， 会画
指数函数的大致图象。
适当的练习题
的理解，开发思维能力
概念理解
带有难度的内容，调动
学生积极性发挥其潜能
深对指数函数图象性质
培养能力
发挥潜能
着眼于最近发展区提供
强化学生识图能力，加
2
识图能力
重点培养学生应用指数
函数性质解决问题的能
力，着眼于实质性提升
4
教师总结课堂创新经验
问答
比较
分析
通过问答式帮助学生
通过进行比较，加深
引导学生独立思考概
函数值
的分布
当x<0时，y<1
当x=0时，y=1
当x>0时，y>1
当x<0时，y>1
当x=0时，y=1
当x>0时，y<1
指数函数及其性质ppt
指数函数的定义域和值域
定义域为实数集，值域为(0, +∞)。
指数函数的单调性
当a>1时，函数在定义域上单调递增；当0<a<1时，函数在定义域上单调递减。
应用案例展示
人口增长
人口增长可以用指数函数来描述，例如人口数量随时间的变 化。
复利计算
复利计算也可以用指数函数来表示，例如银行利息、投资回 报等。
学习目标
理解指数函数的定义和概念。 能够应用指数函数的性质解决实际问题。
熟悉指数函数的图像和性质。 了解指数函数与其他数学知识的联系。
02
指数函数的定义与性质
定义
01
02
03
定义
一般地，形如y=ax(a>0 且a≠1)的函数叫做指数 函数。
解释
指数函数以x的n次幂作为 被解释变量，系数a(a>0 且a≠1)为常数。
物理学
02
在物理学中，积分的应用可以解决各种问题，例如计算物体的
质量、能量、动量等。
工程学
03
在工程学中，积分的应用可以帮助我们解决各种实际问题，例
如计算电路中的电流、电压等。
05
指数函数的实际应用
经济领域中的应用
投资回报
指数函数常用于描述投资回报，如股票、债券等 金融产品的价格变化。
经济增长
在经济学中，指数函数也被用于描述经济增长， 如国内生产总值(GDP)的变化。
供需关系
在商品市场中，价格与需求量之间的关系往往可 以用指数函数来描述。
物理领域中的应用
放射性衰变
放射性衰变是一个典型的 指数函数过程，放射性物 质的数量随时间而减少。
电路中的电阻
在电路中，电流与电阻之 间的关系可以用指数函数 描述。
定义域为实数集，值域为(0, +∞)。
指数函数的单调性
当a>1时，函数在定义域上单调递增；当0<a<1时，函数在定义域上单调递减。
应用案例展示
人口增长
人口增长可以用指数函数来描述，例如人口数量随时间的变 化。
复利计算
复利计算也可以用指数函数来表示，例如银行利息、投资回 报等。
学习目标
理解指数函数的定义和概念。 能够应用指数函数的性质解决实际问题。
熟悉指数函数的图像和性质。 了解指数函数与其他数学知识的联系。
02
指数函数的定义与性质
定义
01
02
03
定义
一般地，形如y=ax(a>0 且a≠1)的函数叫做指数 函数。
解释
指数函数以x的n次幂作为 被解释变量，系数a(a>0 且a≠1)为常数。
物理学
02
在物理学中，积分的应用可以解决各种问题，例如计算物体的
质量、能量、动量等。
工程学
03
在工程学中，积分的应用可以帮助我们解决各种实际问题，例
如计算电路中的电流、电压等。
05
指数函数的实际应用
经济领域中的应用
投资回报
指数函数常用于描述投资回报，如股票、债券等 金融产品的价格变化。
经济增长
在经济学中，指数函数也被用于描述经济增长， 如国内生产总值(GDP)的变化。
供需关系
在商品市场中，价格与需求量之间的关系往往可 以用指数函数来描述。
物理领域中的应用
放射性衰变
放射性衰变是一个典型的 指数函数过程，放射性物 质的数量随时间而减少。
电路中的电阻
在电路中，电流与电阻之 间的关系可以用指数函数 描述。
指数函数的图像和性质【公开课教学PPT课件】
定义中为什么要规定a>0且a≠1？
①若a=0，则当x≤0时， ax无意义
②若a<0，对于x的某些数值，可能使 a x无意义
1
1
如：a 2、a 4等等
③若a=1，则对于任何x R，
a x =1，是一个常量，没有研究的必要性.
思考:下列函数是指数函数吗,为什么?
(1) y 2x2
(4) y x
4
(2) 已知 a 5 a 2 ,求实数a的取值范围.
例3 求指数函数y=ax在x[-1,2]上的值域.
知识拓展
课堂练习
1.已知指数函数f(x)=ax的图象经过点(2,4),求f(0)， f(1)，f(-3).
2.比较下列各题中两个值的大小：
(1)
(
1
)
2 3
和
(
1
)
1 3
2
5
(2) 1.7 0.3 和 0.93.1
指数函数、对数函数
和幂函数
李尚志
晨雾茫茫碍交通， 蘑菇核云蔽长空； 化石岁月巧推算， 文海索句快如风. 指数对数相辉映， 立方平方看对称； 解释大千无限事， 三族函数建奇功。
指数函数的图像与性质
重点：指数函数图像与性质及其简单应
用. 难点：指数函数中底数a的变化对函数值 的影响.
• 请同学们阅读课本第70-73页 （课前完成自主预习)
(2) y x2 (3) y (2)x (5) y 2x 4
答案：（4）是指数函数
指数函数图像
在同一坐系中，作出下列指数函数的图
像.
y 2x，y 3x，y (1)x，y (1)x
2
3
（分组作出以上函数的图像.）
高一数学必修一《指数函数及其性质》PPT课件
进行求解，也可以将对数方程转化为指数方程进行求解。
03
指数函数与对数函数在图像上的关系
指数函数的图像与对数函数的图像关于直线y=x对称。
02
指数函数运算规则
同底数指数运算法则
乘法法则
$a^m times a^n = a^{m+n}$，其中$a$是底数，$m$和$n$ 是指数。
除法法则
$a^m div a^n = a^{m-n}$，其中$a neq 0$。
分组让学生讨论指数函数的性质，如定义域、值域、 单调性、奇偶性等，并让他们尝试通过图像观察验证 这些性质。
问题导入
互动问答
通过具体案例，如“细菌繁殖”、“投资回报”等， 让学生应用指数函数的知识进行分析和计算，加深对
指数函数的理解。
案例分析
老师提出问题，学生抢答或点名回答，问题可以涉及 指数函数的计算、性质应用等，以检验学生的学习效 果。
放射性物质衰变模型
放射性物质衰变模型
01
N(t) = N0 * e^(-λt)，其中N(t)表示t时刻的放射性物质数量，
N0表示初始放射性物质数量，λ表示衰变常数。
指数函数在放射性物质衰变模型中的应用
02
通过指数函数可以描述放射性物质数量随时间减少的规律。
放射性物质衰变模型的意义
03
对于核能利用、环境保护等领域具有重要的指导意义。
单调性
当a>1时，指数函数在R上是增函数；当0<a<1时，指数函 数在R上是减函数。
指数函数与对数函数关系
01
指数函数与对数函数的互化关系
指数函数y=a^x（a>0且a≠1）与对数函数y=log_a x（a>0且a≠1）是
指数函数的图像及性质(公开课课件)ppt
2、对不同底数幂的大小的比较可以与中间值进 行比较.
3、对同指数幂不同底数的大小比较可用作商法.
练习：比较下列各组数的大小
解 (1)
•
• 解：（3） 提示：对于指数幂不同
底数的指数函数比大小，
可以使用作商法
小结：
1.指数函数的定义：函数 y a x (a 0且a 1)
叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是 R。
当x 0时，0 y 1
当x 0时，y 1
作业： 1、导学案练习5（本A） 2、金版学案P45—P46 ; 3、完成第三小节导学案
SUCCESS
THANK YOU
2020/1/3
数函数y∵=12..75x<3在R上是∴增1函.7数2.5.<1.73
(2)指数函数y=0.8x 在R上是减函数.
∵-0.1>-0.2 ∴0.8-0.1<0.8-0.2
(3)由利指用数函函数数的的性单质调知性比较大小
1.70.3>1.7 0=1 , 0.93.1<0.9 0=1 ,
∴1.7 0.3>0.9 3.1 搭桥法,与中间变量0,±1比较大 小
函数的定义域为 [1 ,) 2
2x 1 0,
0 0.25 2x1 1
函数的值域为 (0,1].
练习：P58
2.求下列函数的定义域和值域：
1
（1）y 3 x 2;
（2）y
1 2
x
解 (1)函数的定义域为{x|x ≥2},
x 2 0,
§2.1.2
指数函数及其性质(1)
高一：郑绵慧
复习
学习函数的一般模式（方法）：
3、对同指数幂不同底数的大小比较可用作商法.
练习：比较下列各组数的大小
解 (1)
•
• 解：（3） 提示：对于指数幂不同
底数的指数函数比大小，
可以使用作商法
小结：
1.指数函数的定义：函数 y a x (a 0且a 1)
叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是 R。
当x 0时，0 y 1
当x 0时，y 1
作业： 1、导学案练习5（本A） 2、金版学案P45—P46 ; 3、完成第三小节导学案
SUCCESS
THANK YOU
2020/1/3
数函数y∵=12..75x<3在R上是∴增1函.7数2.5.<1.73
(2)指数函数y=0.8x 在R上是减函数.
∵-0.1>-0.2 ∴0.8-0.1<0.8-0.2
(3)由利指用数函函数数的的性单质调知性比较大小
1.70.3>1.7 0=1 , 0.93.1<0.9 0=1 ,
∴1.7 0.3>0.9 3.1 搭桥法,与中间变量0,±1比较大 小
函数的定义域为 [1 ,) 2
2x 1 0,
0 0.25 2x1 1
函数的值域为 (0,1].
练习：P58
2.求下列函数的定义域和值域：
1
（1）y 3 x 2;
（2）y
1 2
x
解 (1)函数的定义域为{x|x ≥2},
x 2 0,
§2.1.2
指数函数及其性质(1)
高一：郑绵慧
复习
学习函数的一般模式（方法）：
指数函数及其性质ppt课件
[题后感悟] 如何求形如y＝b(ax)2＋c·ax＋d的 值域？ ①换元，令t＝ax； ②求t的范围，t∈D； ③求二次函数y＝bt＋ct＋d，t∈D的值域．
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
1．函数 f(x)＝ 1－2x的定义域是( )
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
与指数函数有关的定义域、值域问题 求下列函数的定义域与值域： (1)y＝3x－1 1；(2)y＝12x2－4x.
[解题过程] 作出 f(x)＝12x 的图象，
必修1 第二章 基本初等函数（I）
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
1．函数 f(x)＝ 1－2x的定义域是( )
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引
“雪亮工程"是以区（县）、乡（镇） 、村（ 社区） 三级综 治中心 为指挥 平台、 以综治 信息化 为支撑 、以网 格化管 理为基 础、以 公共安 全视频 监控联 网应用 为重点 的“群 众性治 安防控 工程” 。
与指数函数有关的定义域、值域问题 求下列函数的定义域与值域： (1)y＝3x－1 1；(2)y＝12x2－4x.
[解题过程] 作出 f(x)＝12x 的图象，
必修1 第二章 基本初等函数（I）
必修1 第二章 基本初等函数（I）
栏目导引
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高中数学人教A版必修1第一章指数函数及其性质公开课PPT全文课件
（1）有些看起来是指数函数，而实际上不是指 数函数；
如： y a x k(a 0 且 a 1 ,k N )
（2）有些看起来不是指数函数，而实际上是指 数函数.
如： yax(a0且 a1)
(1)x(a0且a1) a
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问题2：已知函数的解析式，得到函数 的图象一般用什么方法？
列表 描点 连线成图
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2.函数的图像
y = 2x x -1 0 1 2 y 0.5 1 2 4
指数函数及其性质
一、情景引入
引例1:某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2 个分裂成4个…… 1个这样的细胞分裂x次后， 得到的细胞个数与x的关系式是什么？
分裂
次数 1次 2次 3次 4次
x次
……
y 2x xN*
细胞
总数
21
22
23
24
2x
引例2: “一尺之锤，日取其半，万世不竭”出自《庄子》 长度为1的尺子第一次截去它的一半，第二次截 去剩余部分的一半，第三次截去第二次剩余部分 的一半，依次截下去，问截的次数与剩下的尺子 长度之间的关系.
随堂练习：下列函数中，哪些是指数函数？
(1) y 3x (2) y 3x
你答对了吗?
(3) y x 3 (4) y 3x1
我也不是
总结：指数函数严格限定 y a x (a 0, 且a1) 这一结构，稍微有点出入，就会导致非指数函数的出现。
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引例《2 庄子·逍遥游》记载：一尺之椎，日取其 半，万世不竭.意思是一尺长的木棒，一天截取一 半，很长时间也截取不完.这样的一个木棒截取x 次，剩余长度y与x的关系是 y （ 1 ）x .
2
y 2x
y （ 1 ）x 2
思考:这两个例子的式子有什么共同特征?
底数是常数,指数是变量
1. 指数函数的定义
y 2x
2.如何来研究指数函数的性质呢？
用描点法作出下列两组函数的图象，
然后写出其一些性质： (1)y 2 x
y
y 2x
1
0
1
x
y （ 1 ）x 2
y
y
1 2
x
1
0
1
x
(2)y 3 x
列表：
与 y ( 1 ) x 的图象.
3
x … -3
-2
-1
0
1
2
3…
y=3x … 0.03 0.11
(1)y 4x;
(2)y x4;
(3)y4x;
(4)y(4)x; (7)y xx;
(5)yx;
(6) y
1
x
(8)y(2a1)x(a1,a1) 2
答案：（1）（5）（6）（8）是指数函数
2：函 y(数 a23a3)ax是指数函 a2数
3：已知y=f(x)是指数函数，且f(2)=4,求函数
y=f(x)的解析式。
系数为1
y＝1 ·ax
自变量
常数
定义：一般地,函数 yax(a0,a1 ,x R )叫做指数函数
注意:
(1) 规定a0,a1
x 0 a x恒等于零
a 0x 0 无意义
a0 无意义
a 1 是一个常值函数，无研究必要
（2）形式的严格性：a0,a1;
指数是自变量x，且 xR;
整个式子的系数是1
1：指出下列函数哪些是指数函数：
例2：已知下列不等式 , 比较 m,n 的大小 :
（1） 2m2n
（2） 0.2m0.2n
（3）aman(a0且 a1)
课堂练习
• 1.求下列函数的定义域:
1
• (1) y 3 x
• •
(2) y
(3)函数
5
y
x 1
a2x3
3恒过点
(
3 2
,4)
小结归纳：
• 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ • 你又掌握了哪些数学思想方法？ • 你能将指数函数的学习与实际生活联系起
（1） 1.72.5 与 1.73; （2） 0.8-01与0.8-02
同底比较大小
不同底数幂比大小
（3）
与
，利（用4）指数函数与图像
与底的关系比较
不同底但可化同底
（5）(0.3) -0.3 与 (0.2) -0.3
利用中间量进 行比较 （6）1.70.3与0.93.1
不同底但同指数 底不同，指数也不同
指数函数及其性质
引例：1
某种细胞分裂时,第一次由1个 分裂成2个，第2次由2个分裂 成4个，如此下去，如果第x次 分裂得到y个细胞，那么细胞个 数y与分裂次数x的函数关系是 什么？
分裂
第
次数 x
一 次
一 个 细 胞
第
第
第
二
三
四
次
次
次
表达式
y=2x
第x次
…...
细胞
总数 y
2 1 2 3 4 …... 2x
0<a<1
图
y
y=ax
(a>1)
y=ax
y
(0<a<1)
(0,1)
y=1
象 y=1
(0,1)
当 x > 0 时，y > 01.
x
当 x < 0 时0，y > 1； x
定 义 域 : R 当 x < 0 时，. 0< y < 1
当 x > 0 时， 0< y < 1。
性
值 域: ( 0,+ ∞ )
恒 过 点： ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
质 在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数
→
思考设a,b,c,d都是不等于1的正数,函数: yax,ybx, ycx,ydx在同一直角坐标系中的图象如图所示.
则a,b,c,d的大小关系是 badc
y cx Y
y dx
b a
d c
O
y bx y ax
X
X=1
同底指数幂比大
• 例1： 比较下列各题中两值小 利的， 用大构 函造 数小指 单数 调函性数，
来吗？
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之处可根据本节内容进行提问
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0.3
1
3
9
7
3
27 …
Hale Waihona Puke y=3-x … 279
3
1
0.33 0.11 0.037 …
y
y
1 3
x
y 3x
1
0
1
关于y轴对称 x
y
y
1 3
x
y
1 2
x
y 3x
y 2x
关于y轴对称
1
0
1
x
y
yy
y
1 2
x
y
1 3
x
y
y 3x y 2x
y=ax (a>1)
1
0
11
x
00
11
y=ax (0<a<1)
1
0 xx
x
图象共同特征：
（1）图象可向左、右两方无限伸展 （2）图象都在x轴上方 （3）都经过坐标为（0，1）的点
y y ax
( a 1)
y a x (0a1)
y
1
0
x
图象自左至右逐渐上升
1
0
x
图象自左至右逐渐下降
指数函数 y a x 的图像及性质
a>1