离散数学(73图的矩阵表示)资料
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第六章-图的矩阵表示
e4 e2
v2 e3 v3
v5
v4
v1 M (G) v2
v3 v4 v5
e1 e2
1 1
1
0
0 1
0
0
0 0
e3 e4
0 1
1
0
1 0
0
1
0 0
实例1
例1 求下图的完全关联矩阵。
e1 e2 e3 e4 e5 e6 v1 1 1 0 0 1 1 v2 1 1 1 0 0 0 v3 0 0 1 1 0 1 v4 0 0 0 1 1 0 v5 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0
0
0
1
0
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4
0 0 0 0 0 1 1
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1
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() ()
1 1 0 0 0 0 0
0 1 1 0 0 1 0
6
0
0
1
1
1
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1
(4) (5)
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→
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1 1
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0
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0
0
0
v2 e2
v3
e1
e5
e3
e2 e5
7-3 图的矩阵表示
图的矩阵表示
中国海洋大学 计算机系
主要内容
邻接矩阵 有向图的可达矩阵 无向图的关联矩阵 有向图的关联矩阵 图的运算 学习要点与基本要求 实例分析
邻接矩阵
定义7-3.1 设G=<V,E>是一个简单图，它有 个结点 是一个简单图， 定义 是一个简单图 它有n个结点 V={v1, v2, …, vn}, 则n阶方阵 阶方阵A(G)=(aij)称为 的邻 称为G的邻 阶方阵 称为 接矩阵。其中 接矩阵。
1 从v i 到v j 至少存在一条路 pij = 0 从v i 到v j不存在路
称矩阵P是图 的可达性矩阵。 称矩阵 是图G的可达性矩阵。 是图
关于可达矩阵的说明
可达性矩阵描述任意两结点是否可达， 可达性矩阵描述任意两结点是否可达，以及对于任 意结点是否有通过它的回路。 意结点是否有通过它的回路。 由邻接矩阵A可直接得到可达性矩阵 ，方法如下： 由邻接矩阵 可直接得到可达性矩阵P，方法如下： 可直接得到可达性矩阵 方法1： 方法 ： Bn=A+A2+…An， 再把B 中的非零元均改为1， 再把 n中的非零元均改为 ，零元保持不 变，得到可达性矩阵P。 得到可达性矩阵 。 方法2： 中的非零元改为1， 方法 ：把Ai(i=1,2, …,n)中的非零元改为 ，零元保 中的非零元改为 持不变，得到布尔矩阵 持不变，得到布尔矩阵A(i)(i=1,2, …,n)， ， P= A(1) ∨ A(2) ∨… ∨ A(n)
0 1 0 0 0 2 0 0 0 2 0 1 0 0 + 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 7 3 0 0 6 7 0 0 7 3 0 0 0 0 2 3 0 0 3 2
2 0 0 0 2 0 2 0 0 0 2 0 0 0 + 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
中国海洋大学 计算机系
主要内容
邻接矩阵 有向图的可达矩阵 无向图的关联矩阵 有向图的关联矩阵 图的运算 学习要点与基本要求 实例分析
邻接矩阵
定义7-3.1 设G=<V,E>是一个简单图，它有 个结点 是一个简单图， 定义 是一个简单图 它有n个结点 V={v1, v2, …, vn}, 则n阶方阵 阶方阵A(G)=(aij)称为 的邻 称为G的邻 阶方阵 称为 接矩阵。其中 接矩阵。
1 从v i 到v j 至少存在一条路 pij = 0 从v i 到v j不存在路
称矩阵P是图 的可达性矩阵。 称矩阵 是图G的可达性矩阵。 是图
关于可达矩阵的说明
可达性矩阵描述任意两结点是否可达， 可达性矩阵描述任意两结点是否可达，以及对于任 意结点是否有通过它的回路。 意结点是否有通过它的回路。 由邻接矩阵A可直接得到可达性矩阵 ，方法如下： 由邻接矩阵 可直接得到可达性矩阵P，方法如下： 可直接得到可达性矩阵 方法1： 方法 ： Bn=A+A2+…An， 再把B 中的非零元均改为1， 再把 n中的非零元均改为 ，零元保持不 变，得到可达性矩阵P。 得到可达性矩阵 。 方法2： 中的非零元改为1， 方法 ：把Ai(i=1,2, …,n)中的非零元改为 ，零元保 中的非零元改为 持不变，得到布尔矩阵 持不变，得到布尔矩阵A(i)(i=1,2, …,n)， ， P= A(1) ∨ A(2) ∨… ∨ A(n)
0 1 0 0 0 2 0 0 0 2 0 1 0 0 + 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 7 3 0 0 6 7 0 0 7 3 0 0 0 0 2 3 0 0 3 2
2 0 0 0 2 0 2 0 0 0 2 0 0 0 + 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
武汉大学《离散数学》课件-第5章
(1) 若i(1il), vi1, vi是ei的端点(对于有向图, 要求vi1是始点,
vi是终点), 则称为通路, v0是通路的起点, vl是通路的终点, l为通路的长度. 又若v0=vl，则称为回路.
(2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异，则称为 初级通路(初级回路).初级通路又称作路径, 初级回路又称 作圈.
32
通路与回路(续)
定理 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的通路. 推论 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的初级通路.
定理 在一个n阶图G中，若存在v到自身的回路，则 一定存在v到自身长度小于等于n的回路. 推论 在一个n阶图G中，若存在v到自身的简单回 路，则存在v到自身长度小于等于n的初级回路.
D
D[{e1,e3}]
D[{v1,v2}]
26
补图
定义 设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集, 所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集 的图，称为G的补图，记作 G . 若G G , 则称G是自补图.
例 对K4的所有非同构子图, 指出互为补图的每一对 子图, 并指出哪些是自补图.
图论
1
图论部分
第5章 图的基本概念 第6章 特殊的图 第7章 树
2
第5章 图的基本概念
5.1 无向图及有向图 5.2 通路, 回路和图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径, 关键路径和着色
3
5.1 无向图及有向图
▪ 无向图与有向图 ▪ 顶点的度数 ▪ 握手定理 ▪ 简单图 ▪ 完全图 ▪ 子图 ▪ 补图
27
5.2 通路、回路、图的连通性
vi是终点), 则称为通路, v0是通路的起点, vl是通路的终点, l为通路的长度. 又若v0=vl，则称为回路.
(2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异，则称为 初级通路(初级回路).初级通路又称作路径, 初级回路又称 作圈.
32
通路与回路(续)
定理 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的通路. 推论 在n阶图G中，若从顶点u到v（uv）存在通 路，则从u到v存在长度小于等于n1的初级通路.
定理 在一个n阶图G中，若存在v到自身的回路，则 一定存在v到自身长度小于等于n的回路. 推论 在一个n阶图G中，若存在v到自身的简单回 路，则存在v到自身长度小于等于n的初级回路.
D
D[{e1,e3}]
D[{v1,v2}]
26
补图
定义 设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集, 所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集 的图，称为G的补图，记作 G . 若G G , 则称G是自补图.
例 对K4的所有非同构子图, 指出互为补图的每一对 子图, 并指出哪些是自补图.
图论
1
图论部分
第5章 图的基本概念 第6章 特殊的图 第7章 树
2
第5章 图的基本概念
5.1 无向图及有向图 5.2 通路, 回路和图的连通性 5.3 图的矩阵表示 5.4 最短路径, 关键路径和着色
3
5.1 无向图及有向图
▪ 无向图与有向图 ▪ 顶点的度数 ▪ 握手定理 ▪ 简单图 ▪ 完全图 ▪ 子图 ▪ 补图
27
5.2 通路、回路、图的连通性
离散数学-图的矩阵表示
设有向图G的结点集合 ，它的邻接矩阵 为 ，现在我们想计算从结点 到 结点 的 长度为2的路的数目
分析：从 到 长度为2的路，中间必须经过 如果图G 中有路 存在，则肯定有 ，反之如果 图G中不存在路 ，那么 或者 ，即 于是从结点 到 的长度为2的路的数目就 等于：
按照矩阵的乘法规则，上式恰好等于矩阵 的元素，即 表示从 到 ； 的长度为2的路的数目
中第i行，第j列
考虑从vi到v j的长度为3的路的数目，可以看作是由vi到vk的长度为1的路，再 联结vk 到v j的长度为2的路，则类似可知从vi到v j的长度为3的路的数目为： a
( 3) ij ( 2) aik akj ，即为( A(G )) 3的第i行，第j列元素。 k 1 n
行相加运算： 有向图：对应分量普通加法运算； 无向图：对应分量模2加法运算。 行相加相当于G中对应结点的合并。 air a jr 1 ，说明v 和v 中只有一个结点是边e 的端点，合并 i j r 后仍是er的端点。
air a jr 0 ，有两种情况：
a、vi，vj都不是er的端点； b、vi，vj都是er的端点，合并后删去自回路。 若合并后完全关联矩阵中出现元素全为0的列，表明对应的 边消失。 有了这种运算，就可以运用这种运算求关联矩阵的秩
1 0 1 0
0 1 0 0
0 1 ，求G的可达性矩阵。 1 0
Байду номын сангаас
0 2 A2 1 0
0 1 1 1
1 0 1 0
1 1 1 0
2 1 A3 2 0
4 5 7 2 2 4 4 1
1 2 2 0
3 6 7 2
0 1 1 1
由前面的定理7-2.1的推论可知，如果在vi到vj之间存在路，必定存在 一条长度不超过n的通路，所以l只需计算到n就可以了。
分析：从 到 长度为2的路，中间必须经过 如果图G 中有路 存在，则肯定有 ，反之如果 图G中不存在路 ，那么 或者 ，即 于是从结点 到 的长度为2的路的数目就 等于：
按照矩阵的乘法规则，上式恰好等于矩阵 的元素，即 表示从 到 ； 的长度为2的路的数目
中第i行，第j列
考虑从vi到v j的长度为3的路的数目，可以看作是由vi到vk的长度为1的路，再 联结vk 到v j的长度为2的路，则类似可知从vi到v j的长度为3的路的数目为： a
( 3) ij ( 2) aik akj ，即为( A(G )) 3的第i行，第j列元素。 k 1 n
行相加运算： 有向图：对应分量普通加法运算； 无向图：对应分量模2加法运算。 行相加相当于G中对应结点的合并。 air a jr 1 ，说明v 和v 中只有一个结点是边e 的端点，合并 i j r 后仍是er的端点。
air a jr 0 ，有两种情况：
a、vi，vj都不是er的端点； b、vi，vj都是er的端点，合并后删去自回路。 若合并后完全关联矩阵中出现元素全为0的列，表明对应的 边消失。 有了这种运算，就可以运用这种运算求关联矩阵的秩
1 0 1 0
0 1 0 0
0 1 ，求G的可达性矩阵。 1 0
Байду номын сангаас
0 2 A2 1 0
0 1 1 1
1 0 1 0
1 1 1 0
2 1 A3 2 0
4 5 7 2 2 4 4 1
1 2 2 0
3 6 7 2
0 1 1 1
由前面的定理7-2.1的推论可知，如果在vi到vj之间存在路，必定存在 一条长度不超过n的通路，所以l只需计算到n就可以了。
离散数学的基础知识点总结
离散数学的基础知识点总结离散数学是研究离散结构和离散对象的数学分支。
它以集合论、图论和逻辑等为基础，涉及了许多重要的基础知识点。
下面是对离散数学的基础知识点进行的总结。
1. 集合论（Set theory）：集合论是离散数学的基础，涉及了集合的概念、运算和恒等关系，以及集合的分类、子集、幂集和笛卡尔积等基本概念和性质。
2. 逻辑（Logic）：逻辑是离散数学的重要组成部分，涉及了命题逻辑和谓词逻辑的基本概念和推理规则，包括命题的真值表、谓词的量化、逻辑等价和逻辑蕴含等概念。
3. 函数（Functions）：函数是离散数学中的核心概念之一，涉及了函数的定义、域和值域、函数的性质、特殊的函数（如恒等函数、常值函数、单射函数和满射函数等）以及函数的复合和逆函数等。
4. 关系（Relations）：关系是离散数学中的另一个核心概念，涉及了关系的定义、关系的特性（如自反性、对称性、传递性和等价关系等）、关系的闭包和自反闭包、关系的图示表示和矩阵表示、等价关系和偏序关系等。
5. 图论（Graph theory）：图论是离散数学的重要分支，涉及了图的基本概念（如顶点、边、路径和圈等）、图的表示方法（如邻接矩阵和邻接表等）、图的遍历算法（如深度优先和广度优先等）、图的连通性和可达性、最小生成树和最短路径等基础知识。
7. 代数结构（Algebraic structures）：代数结构是离散数学的一个重要方向，涉及了群、环、域和格等基本代数结构的定义、性质和分类，以及同态映射和同构等概念。
8. 数论（Number theory）：数论是离散数学的一个重要分支，涉及了自然数的性质和结构，包括质数和素数、最大公因数和最小公倍数、同余和模运算、欧几里得算法和扩展欧几里得算法、费马小定理和欧拉函数等。
9. 排序和选择（Sorting and selection）：排序和选择是离散数学中的一类重要问题，涉及了各种排序算法（如冒泡排序、插入排序、快速排序和归并排序等）和选择算法（如选择排序和堆排序等），以及它们的复杂度分析和应用。
离散数学_第7章 图论 -3-4图的矩阵表示、欧拉图与汉密尔顿图
2 0 2 0 0 0 4 0 0 0
0 1 A(G ) 1 0
0 0 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
第9章 图论
考察A(G)和A′(G)发现，先将A(G)的第一行与第二行对 调，再将第一列与第二列对调可得到A′(G)。称A′(G)与A(G) 是置换等价的。 一般地说，把n阶方阵A的某些行对调，再把相应的列 做同样的对调，得到一个新的n阶方阵A′，则称A′与A是置 换等价的。可以证明置换等价是n阶布尔方阵集合上的等价 关系。 虽然，对于同一个图，由于结点的标定次序不同，而 得到不同的邻接矩阵，但是这些邻接矩阵是置换等价的。 今后略去结点标定次序的任意性，取任意一个邻接矩阵表 示该图。 ④对有向简单图来说，其邻接矩阵A(G)的第i行1的个 数是vi的出度， 第j列1的个数是vj的入度。 ⑤零图的邻接矩阵的元素全为零，叫做零矩阵。反过 来，如果一个图的邻接矩阵是零矩阵，则此图一定是零图。
vi 到v j 有边 1 aij 其中： 0 vi 到v j 无边或i j
i , j=1,…,n 例如，右边无向简 单图的邻接矩阵为： 0 1 A(G ) 0 1
a11 a 即：A(G) = 21 an1
a12 a22 an 2
0 0 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
第9章 图论
简单图的邻接矩阵具有以下性质：
①简单图的邻接矩阵中元素全是0或1。这样的矩阵叫布 尔矩阵。简单图的邻接矩阵是布尔矩阵。 ②无向简单图的邻接矩阵是对称阵，有向简单图的邻接 矩ห้องสมุดไป่ตู้不一定是对称阵。 ③简单图邻接矩阵与结点在图中标定次序有关。例如上 页图 (a)的邻接矩阵是A(G)，若将图 (a)中的接点v1和v2的标 定次序调换，得到图 (b)，图 (b)的邻接矩阵是A′(G)。
离散数学第九章 图的基本概念及其矩阵表示
证明：设 V1 {v v 为奇点} ， V2 {v v 为偶点} ，则 d (v) d (v) d (v) 2m 因为
奇数，因此
vV1
d (v) 是偶数，所以 d (v) 也是偶数，
V1 为偶数。
vV2
而 V1 中每个点 v 的度 d (v) 均为
vV1
vV2
图9.11 1至3阶完全有向图
显然，完全无向图的任意两个不同结点都邻接，完全有向图的任意两个不同结点之间都有 一对方向相反的有向边相连接。
9.1 图的基本概念
定理9.3 n个节点的无向完全图 证明：因为在无向完全图
k n 的边数为 Cn2 。
k n 中，任意两个节点之间都有边相连，所以 n
2 2 个节点中任取两个点的组合数为 Cn ，故无向完全图 的边数为 Cn 。
如果在
k n 中，对每条边任意确定一个方向，就称该图为 n 个节点的
2 有向完全图。显然，有向完全图的边数也是 Cn 。
主要内容
PART 01
PART 02
图的基本概念 子图和图的运算 路径、回路和连通性
图的矩阵表示
PART 03
PART 04
9.2 子图和图的运算
子图和补图
定义9.10 设 G V , E , 和 G ' V '（1）如果 V ' V , E ' E , ' ，则称 G ' 是 G 的子图，记作 G ' G， 并称 G 是 G ' 的母图。 （2）如果 V ' V , E ' E , ' ，则称 G ' 是 G 的真子图，记作
9.1 图的基本概念
奇数，因此
vV1
d (v) 是偶数，所以 d (v) 也是偶数，
V1 为偶数。
vV2
而 V1 中每个点 v 的度 d (v) 均为
vV1
vV2
图9.11 1至3阶完全有向图
显然，完全无向图的任意两个不同结点都邻接，完全有向图的任意两个不同结点之间都有 一对方向相反的有向边相连接。
9.1 图的基本概念
定理9.3 n个节点的无向完全图 证明：因为在无向完全图
k n 的边数为 Cn2 。
k n 中，任意两个节点之间都有边相连，所以 n
2 2 个节点中任取两个点的组合数为 Cn ，故无向完全图 的边数为 Cn 。
如果在
k n 中，对每条边任意确定一个方向，就称该图为 n 个节点的
2 有向完全图。显然，有向完全图的边数也是 Cn 。
主要内容
PART 01
PART 02
图的基本概念 子图和图的运算 路径、回路和连通性
图的矩阵表示
PART 03
PART 04
9.2 子图和图的运算
子图和补图
定义9.10 设 G V , E , 和 G ' V '（1）如果 V ' V , E ' E , ' ，则称 G ' 是 G 的子图，记作 G ' G， 并称 G 是 G ' 的母图。 （2）如果 V ' V , E ' E , ' ，则称 G ' 是 G 的真子图，记作
9.1 图的基本概念
《离散数学》课件-第七章 图的基本概念
• 〔u，v〕∈E1〔f(u)，f(v)〕∈E2 • (或<u，v>∈E1 <f(u)，f(v)>∈E2) • 且重数相同，则称G1同构于G2，记为
• G1 G2。
• 显然，两图的同构是相互的，即G1同构 于G2，G2同构于G1。
• 由同构的定义可知，不仅结点之间要具 有一一对应关系，而且要求这种对应关 系保持结点间的邻接关系。对于有向图 的同构还要求保持边的方向。
V={a,b,c,d},E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}
e1=(a,b), e2=(a,c), e3=(b,d), e4=(b,c), e5=(d,c), e6=(a,d).
它的图形如下图(a)或(b)所示:
a
a
b
d
b
d
c
c
(a)
(b)
如果有些边是有向边，另一些边是无向边， 图G称为混合图。
第七章 图的基本概念
– 7.1 无向图及有向图 – 7.2 通路、回路、图的连通性 – 7.3 图的矩阵表示 – 7.4 最短路径及关健路径
7.1 无向图和有向图
• 什么是图?可用一句话概括，即：图是用 点和线来刻划离散事物集合中的每对事 物间以某种方式相联系的数学模型。
Konigsberg(哥尼斯堡)七桥问题
为偶数.
定理7.2 在任何有向图中,所有结点的入度之 和必等于它们的出度之和.
证明:因为有向图中的每一条有向边都恰好对应 一个出度和一个入度.故所有结点的出度之 和恰好等于有向边的总数.同样地, 所有结 点的入度之和恰好也等于有向边的总数.因 此它们相等.
设V={v1,…,vn}为G的顶点集，则称{d(v1),…d(vn)} 为G的度数序列。
• 如果G2无孤立结点，且由E2所唯一确定，即 以E2为边集，以E2中边关联的结点全体为顶 点集，则称G2是边集E2的导出子图。
• G1 G2。
• 显然，两图的同构是相互的，即G1同构 于G2，G2同构于G1。
• 由同构的定义可知，不仅结点之间要具 有一一对应关系，而且要求这种对应关 系保持结点间的邻接关系。对于有向图 的同构还要求保持边的方向。
V={a,b,c,d},E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}
e1=(a,b), e2=(a,c), e3=(b,d), e4=(b,c), e5=(d,c), e6=(a,d).
它的图形如下图(a)或(b)所示:
a
a
b
d
b
d
c
c
(a)
(b)
如果有些边是有向边，另一些边是无向边， 图G称为混合图。
第七章 图的基本概念
– 7.1 无向图及有向图 – 7.2 通路、回路、图的连通性 – 7.3 图的矩阵表示 – 7.4 最短路径及关健路径
7.1 无向图和有向图
• 什么是图?可用一句话概括，即：图是用 点和线来刻划离散事物集合中的每对事 物间以某种方式相联系的数学模型。
Konigsberg(哥尼斯堡)七桥问题
为偶数.
定理7.2 在任何有向图中,所有结点的入度之 和必等于它们的出度之和.
证明:因为有向图中的每一条有向边都恰好对应 一个出度和一个入度.故所有结点的出度之 和恰好等于有向边的总数.同样地, 所有结 点的入度之和恰好也等于有向边的总数.因 此它们相等.
设V={v1,…,vn}为G的顶点集，则称{d(v1),…d(vn)} 为G的度数序列。
• 如果G2无孤立结点，且由E2所唯一确定，即 以E2为边集，以E2中边关联的结点全体为顶 点集，则称G2是边集E2的导出子图。
离散数学(7.3图的矩阵表示)
图7.3.1 图G
显然无向图的邻接矩阵必是对称的。
下面的定理说明， 在邻接矩阵 A 的幂 A2 ， A3， …等矩阵中， 每个元素有特定的含义。
•
• •
• •
定理 7.3.1 设G是具有n个结点｛v1, k v2, …,vn｝ 的图， 其邻接矩阵为A， 则A （k＝1， 2， …）的（i， j）项元素a(k)ij是 从vi到vj的长度等于k的路的总数。 证明: 施归纳于k。 当k＝1时， A1＝A， 由A的定义， 定理显然成立。 n 若k(＝ l 时定理成立， l 1) (l ) aij air arj 所以 l+1＝Al ·A， 则当k＝lr＋ 1 时， A 1
1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 A(4)
1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0
0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0
故
P A(1) A(2) A(3) A(4)
•
定理 7.3.2 有向图G是强连通的当 且仅当其可达性矩阵P除主对角线外， 其它元素均为１。
•
• •
小结：本节介绍了图的邻接矩阵、 可达性矩阵的概念。 • 重点: 掌握邻接矩阵、可达性矩阵 及由vi到vj长 • 度为k的路径的条数的求法。 • 作业: P300 (1),(3) •
•
定义 7.3.1 设G＝〈V ,E〉是有n个 结点的简单图， 则 n 阶方阵Ａ＝（ aij ）称 为G的邻接矩阵。 )E 1 (i , j其中
离散数学 7-3 图的矩阵表示
要条件，但也不是汉密尔顿图。
所以用此定理来证明某一特定图不是汉密尔顿图并不是
总是有效的。例如，著名的彼得森(Petersen)图，在图中删 去任一个结点或任意两个结点，不能使它不连通；删去3个结 点，最多只能得到有两个连通分支的子图；删去4个结点，只 能得到最多三个连通分支的子图；删去5个或5个以上的结点，
e3
v3
1 1 0 0 0
0 1 1 0 0
0 0 1 1 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
v3 0 v4 0 v5 0
无向图的关联矩阵反映出来图的性质:
每一条边关联两个结点,故每一列中只有两个1。
每一行中元素之和等于该行对应的结点的度数。
一行中元素全为0，其对应结点为孤立点。
两个平行边其对应的两列相同。 同一个图当结点或边的编号不同时，其对应的矩 阵只有行序列序的差别。
证明思路：1) 先证必要性: G有欧拉路 G连通 且（有0个 或 2个奇数度结点） 设G的欧拉路是点边序列v0e1v1e2… ekvk，其中结点可能重复， 但边不重复。因欧拉路经过（所有边）所有结点，所以图G 是连通的。 对于任一非端点结点vi，在欧拉路中每当vi出现一次，必关 联两条边，故vi虽可重复出现，但是deg(vi)必是偶数。对于端 点,若v0=vk ，则deg(v0)必是偶数，即G中无奇数度结点 。若 v0≠vk ，则deg(v0)必是奇数， deg(vk)必是奇数,即G中有两个奇 数度结点 。必要性证完。
e3
v3
0 0 0
-1 1 0 0
-1 1 0 0
有向图的关联矩阵的特点：
(1)每一列中有一个1和一个-1，对应一边一个始 点、一个终点，元素和为零。 (2)每一行元素的绝对值之和为对应点的度数。-1 的个数等于入度，1的个数等于出度。
所以用此定理来证明某一特定图不是汉密尔顿图并不是
总是有效的。例如，著名的彼得森(Petersen)图，在图中删 去任一个结点或任意两个结点，不能使它不连通；删去3个结 点，最多只能得到有两个连通分支的子图；删去4个结点，只 能得到最多三个连通分支的子图；删去5个或5个以上的结点，
e3
v3
1 1 0 0 0
0 1 1 0 0
0 0 1 1 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
v3 0 v4 0 v5 0
无向图的关联矩阵反映出来图的性质:
每一条边关联两个结点,故每一列中只有两个1。
每一行中元素之和等于该行对应的结点的度数。
一行中元素全为0，其对应结点为孤立点。
两个平行边其对应的两列相同。 同一个图当结点或边的编号不同时，其对应的矩 阵只有行序列序的差别。
证明思路：1) 先证必要性: G有欧拉路 G连通 且（有0个 或 2个奇数度结点） 设G的欧拉路是点边序列v0e1v1e2… ekvk，其中结点可能重复， 但边不重复。因欧拉路经过（所有边）所有结点，所以图G 是连通的。 对于任一非端点结点vi，在欧拉路中每当vi出现一次，必关 联两条边，故vi虽可重复出现，但是deg(vi)必是偶数。对于端 点,若v0=vk ，则deg(v0)必是偶数，即G中无奇数度结点 。若 v0≠vk ，则deg(v0)必是奇数， deg(vk)必是奇数,即G中有两个奇 数度结点 。必要性证完。
e3
v3
0 0 0
-1 1 0 0
-1 1 0 0
有向图的关联矩阵的特点：
(1)每一列中有一个1和一个-1，对应一边一个始 点、一个终点，元素和为零。 (2)每一行元素的绝对值之和为对应点的度数。-1 的个数等于入度，1的个数等于出度。
离散数学 图的矩阵表示
1 1 1 0 0
1 1 1 0 0
P=
1
1
1
0
0
0 0 0 1 1
0
0
0
1
1
23
可达性矩阵用来描述有向图的一个结点到另 一个结点是否有路，即是否可达。无向图也 可以用矩阵描述一个结点到另一个结点是否 有路。在无向图中，如果结点之间有路，称 这两个结点连通，不叫可达。所以把描述一 个结点到另一个结点是否有路的矩阵叫连通 矩阵，而不叫可达性矩阵。
似。 25
仙也。名之者/谁？太守/自谓也。太守与客来饮/于此，饮少/辄醉，而/年又最高，故/自号曰/醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之间也。山水之乐，得之心/而寓之酒也。节奏划分思考“山行/六七里”为什
么不能划分为“山/行六七里”？
明确：“山行”意指“沿着山路走”，“山行”是个状中短语，不能将其割裂。“望之/蔚然而深秀者”为什么不能划分为“望之蔚然/而深秀者”？明确：“蔚然而深秀”是两个并列的词，不宜割裂，“望
16
例如:下图邻接矩阵为：
0 1 0 1
A(G)
1 0 1
0 1 1
1 0 1
1
1 0
17
有向图的可达矩阵
定义 设D=<V,E>为有向图, V={v1, v2, …, vn}, 令
1,
pij
0,
vi可达v j 否则
称(pij)nn为D的可达矩阵, 记作P(D), 简记为P.
之”是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在划分节奏的过程中感知文意。对于部分结构复杂的句子，教师可做适当的讲解引导。目标导学三：结合注释，
《离散数学》第七章_图论-第3-4节
图的可达性矩阵计算方法 （3） 无向图的可达性矩阵称为连通矩阵，也是对称的。 Warshall算法
例7-3.3 求右图中图G中的可达性矩 阵。 分析：先计算图的邻接矩阵A布尔乘法的的2、 v1
3、4、5次幂，然后做布尔加即可。
解：
v4
v2
v3 v5
P=A∨ A(2) ∨ A(3) ∨A(4)∨A(5)
图的可达性矩阵计算方法（2）
由邻接矩阵A求可达性矩阵P的另一方法： 将邻接矩阵A看作是布尔矩阵，矩阵的乘法运算和加 法运算中，元素之间的加法与乘法采用布尔运算 布尔乘：只有1∧1=1 布尔加：只有0∨0=0 计算过程： 1．由A，计算A2，A3，…，An。 2．计算P=A ∨ A2 ∨ … ∨ An P便是所要求的可达性矩阵。
v4
v3
v2
G中从结点v2到结点v3长度 为2通路数目为0，G中长 度为2的路（含回路）总数 为8，其中6条为回路。 G中从结点v2到结点v3长度 为3的通路数目为2， G中 长度为3的路（含回路）总
图的邻接矩阵的 应用 (2)计算结点vi与vj之间的距离。
中不为0的最小的L即为d<vi,vj>。
（一）有向图的可达性矩阵
可达性矩阵表明了图中任意两个结点间是否至少存在一条 路以及在任何结点上是否存在回路。
定义7-3.2 设简单有向图G=（V，E），其中V={v1， v2，…，vn }，n阶方阵P=（pij）nn ，称为图G的可达 性矩阵，其中第i行j列的元素
p ij =
1 1 1 1 P v3 1 1 v4 0 0 v5 0 0 v1 v2 1 1 1 1 1 1
0 1 A(G)= 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
离散数学-图的矩阵表示
使用压缩矩阵
对于稠密图（边数较多的 图），可以使用压缩矩阵 来减少存储空间和计算时 间。
使用动态规划
对于某些特定的问题，可 以使用动态规划来优化算 法，提高计算效率。
05
离散数学-图的矩阵表示的挑战和未
来发展方向
离散数学-图的矩阵表示的挑战
计算复杂性
图的矩阵表示的计算复杂性较高， 特别是对于大规模图，需要消耗 大量的计算资源和时间。
表示图中任意两个顶点之间距离的矩阵， 距离矩阵中的元素d[i][ j]表示顶点i和顶点j 之间的最短路径长度。
图的邻接矩阵
1
邻接矩阵是表示图中顶点之间连接关系的常用方 法，其优点是简单直观，容易理解和计算。
2
邻接矩阵的行和列都对应图中的顶点，如果顶点i 和顶点j之间存在一条边，则矩阵中第i行第j列的 元素为1，否则为0。
THANKS
感谢观看
3
通过邻接矩阵可以快速判断任意两个顶点之间是 否存在边以及边的数量。
图的关联矩阵
01
关联矩阵是表示图中边和顶点之间关系的常用方法，
其优点是能够清晰地展示图中边的连接关系。
02
关联矩阵的行和列都对应图中的边，如果边e与顶点i相
关联，则矩阵中第i行第e列的元素为1，否则为0。
03
通过关联矩阵可以快速判断任意一条边与哪些顶点相
图的矩阵表示的算法复杂度分析
创建邻接矩阵的时间复杂 度：O(n^2)，其中n是顶 点的数量。
查找顶点之间是否存在边 的复杂度：O(1)。
创建关联矩阵的时间复杂 度：O(m)，其中m是边的 数量。
查找边的权重复杂度： O(1)。
图的矩阵表示的算法优化策略
01
02
03
离散数学_第7章 图论 -1-2图的基本概念、路和回路
第9章 图论
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第9章 图论
第7章 图论
图论是一个重要的数学分支。数学家欧拉1736年发 表了关于图论的第一篇论文，解决了著名的哥尼斯堡七 桥问题。克希霍夫对电路网络的研究、凯来在有机化学 的计算中都应用了树和生成树的概念。随着科学技术的 发展，图论在运筹学、网络理论、信息论、控制论和计 算机科学等领域都得到广泛的应用。本章首先给出图、 简单图、完全图、子图、路和图的同构等概念，接着研 究了连通图性质和规律，给出了邻接矩阵、可达性矩阵、 连通矩阵和完全关联矩阵的定义。最后将介绍欧拉图与 哈密尔顿图、二部图、平面图和图的着色、树和根树。
v3
e7
a e6e3
e2
b e5
（本课程仅讨论无向图和有向图）
v4
c
9章 图论
【例7.1.1】无向图G=V(G),E(G),G
其中：V(G)=a,b,c,d
E(G)=e1,e2,e3,e4
G：G(e1)=(a,b) G(e2)=(b,c) G(e3)=(a,c) G(e4)=(a,a)
试画出G的图形。
即，deg(v)=deg－(v)+deg＋(v)，或简记为d(v)=d－(v)+d＋(v)
4）最大出度：+(G) =max deg＋(v) | vV
5）最小出度：+(G) = min deg＋(v) | vV
6）最大入度： (G) =max deg－(v) | vV
7）最小入度： (G) = min deg－(v) | vV
解：G的图形如图7.1.2所示。
图 7.1.2
由于在不引起混乱的情况下，图的边可以用有序对或无序 对直接表示。因此，图可以简单的表示为：
离散数学部分概念和公式总结(考试专用)
命题：称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。
给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。
真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。
命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。
主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A↔B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。
约束变元和自由变元：在合式公式∀x A和∃x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。
一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A↔B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。
前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。
集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。
二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。
离散数学第3章_(7-8)(新教材)_(1)
c
c
c
x , y R1
c
x, y R2
c
于是又有
y , x R1 y , x R 2
y , x R 2
x , y R1
c
c
x, y R
c 2
x , y R1 R 2
c
(6)的证明:
R1 R 2 R1 R 2
再利用(3)和(5)就得到 c x , y R1 R 2
x , y R1 R 2
x , y R1 R 2
(3)设A是一个集合,R是A上的一个二元关系.定义 (0) (1) (k ) R IA, R R, R ... , R R k 那么，对任意正整数m,n就有 (n) (m ) (mn ) (m ) (n) (mn) R R [1] R R R ; [2] . (4)设A,B,C,D是四个集合,R1,R2,R3分别是从A到B, 从B到C以及从C到D的二元关系,那么就有 [1](复合运算关于并的分配律)
定义7.3(对称性) 设R是集合A上一个二元 关系, 如果对每一对元素x, yA,当xRy时, 就有yRx, 则称R在A上是对称的. 即R在A上是对称的 (x)(y)((xA)(yA)(xRy)yRx).
对称性很容易从关系矩阵和关系图中看出来.一个 关系有对称性的充分必要条件是它的关系矩阵是 一个对称阵;一个关系有对称性的充分必要条件是 它的关系图中任意两个结点之间要么没有有向边 相连,要么恰有一对方向相反的有向边相连.
R1 ( R 2 R 3 ) R1 R 2 R1 R 3
c
c
x , y R1
c
x, y R2
c
于是又有
y , x R1 y , x R 2
y , x R 2
x , y R1
c
c
x, y R
c 2
x , y R1 R 2
c
(6)的证明:
R1 R 2 R1 R 2
再利用(3)和(5)就得到 c x , y R1 R 2
x , y R1 R 2
x , y R1 R 2
(3)设A是一个集合,R是A上的一个二元关系.定义 (0) (1) (k ) R IA, R R, R ... , R R k 那么，对任意正整数m,n就有 (n) (m ) (mn ) (m ) (n) (mn) R R [1] R R R ; [2] . (4)设A,B,C,D是四个集合,R1,R2,R3分别是从A到B, 从B到C以及从C到D的二元关系,那么就有 [1](复合运算关于并的分配律)
定义7.3(对称性) 设R是集合A上一个二元 关系, 如果对每一对元素x, yA,当xRy时, 就有yRx, 则称R在A上是对称的. 即R在A上是对称的 (x)(y)((xA)(yA)(xRy)yRx).
对称性很容易从关系矩阵和关系图中看出来.一个 关系有对称性的充分必要条件是它的关系矩阵是 一个对称阵;一个关系有对称性的充分必要条件是 它的关系图中任意两个结点之间要么没有有向边 相连,要么恰有一对方向相反的有向边相连.
R1 ( R 2 R 3 ) R1 R 2 R1 R 3
7-4图的矩阵表示ppt课件
求无向图的关联矩阵例
e1
v1
e2
v2
e5
e6
e3
v4
v3
e4
v5
从关联矩阵中，可以看出图形的一些性质：
1） 图中每一边关联两个结点，故M(G)的每一列中 只有两个1； 2） 每一行中元素的和数是对应结点的度数； 3） 一行中元素全为0，其对应的结点为孤立结点； 4） 两个平行边其对应的两列元素相同。
1 1 1
0 1 0
1 0 0
0
0 0
矩 阵 是 对 称 的
Example 已知无向图的邻接矩阵为
0 1 0 1 1 0
1 0 1 0 1 1
A
(G
)
0
1
0
0
0
1
1 0 0 0 1 0
1 0
1 1
0 1
1 0
0 1
1 0
试画出相应的无向图。
解 画法： 先确定结点再用行确定边。
无向图如右图
0 0 0 1
对 称
A(G
)
1 1 0
0 1 1
0 0 1
0
1 0
的
课堂练习4
4、写出下图所示有向图的邻接矩阵
v2 e2
v3
e5
e1
e3
e4 v1
v4
e1 e2 e3 e4 e5 e6
v1 1 1 0 0 1 1
M
(G
)
v2
1
1
1
0
0
0
v3 0 0 1 1 0 1
v4
0
0
0
1
1
0
v5 0 0 0 0 0 0
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•
1) 令Bn＝A＋A2＋…＋An,
•
2) 将矩阵Ｂn中不为零的元
素均改为１， 为零的元素不变，
所得的矩阵P就是可达性矩阵。
•
当n很大时， 这种求可达性
矩阵的方法就很复杂。 下面再介绍
一种更简便的求可达性矩阵的方法。
•
因可达性矩阵是一个元素仅
为１或０的矩阵（称为布尔矩阵），
而在研究可达性问题时， 我们对于
•
定理 7.3.1 设G是具有n个结点｛v1,
v2, …,vn｝ 的图， 其邻接矩阵为A， 则Ak
（k＝1， 2， …）的（i， j）项元素a(k)ij是
从vi到vj的长度等于k的路的总数。
•
证明: 施归纳于k。
•
当k＝1时， A1＝A， 由A的定义，
定理显然成立。
•
若k＝l时定n 理成立，
•
所以 则当ai(jlk1)＝ lr＋1 a1i(r时l)ar，j A l+1＝Al ·A，
1 1
1 1
0 0
1 1 1 0
1 1 1 0
• 定理 7.3.2 有向图G是强连通的当 且仅当其可达性矩阵P除主对角线外， 其它元素均为１。
如图7.3.1所示的图G， 其邻接矩阵A为
如图7.3.1所示的图G， 其邻 接矩阵A为
0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 A 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0
图7.3.1 图G
显然无向图的邻接矩阵必是对称的。
下面的定理说明， 在邻接矩阵A的幂A2， A3， …等矩阵中， 每个元素有特定的含义。
阵的布尔加∨和布尔乘∧。
图 7.3.3
• 【例7.3.2】求出图7.3.3所示图的 可达性矩阵。
• 解: 该图0的1邻接0 矩0阵为
A 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 A(2) 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0
两个结点间具有路的数目并不感兴
趣， 所关心的只是两结点间是否有
路存在。 因此， 我们可将矩阵A， A2,…, An, 分 别 改 为 布 尔 矩 阵 A(1) ，
A(2)， …， A(n)。
• 由此有 • A(2)＝A(1)∧A(1)＝A∧A • A(3)＝A(2)∧A(1) • ……
• A(n)＝A(n-1)∧A(1) • P＝A(1)∨A(2)∨…∨A(n) • 相应的矩阵加法和乘法称为矩
7.3 图的矩阵表示(Matrix
Notation of Graph)
• 7.3.1邻接矩阵 (Adjacency Matrices) • 7 . 3 . 2 可 达 性 矩 阵 (Reachability
Matrices )
7.3.1邻接矩阵 (Adjacency
Matrices)
•
上面我们介绍了图的一种表示
•
根 据 邻 接 矩 阵 定 义 arj 是 联 结
vr和vj的长度为1的路数目,a(l)ir是联结
vi和vr的r,再由
vr 经过1条边到vj的总长度为l+1的路
的数目 。对所有r求和,即得a(l+1)ij是
所有从vi到vj的长度等于l+1的路的总
• 定义 7.3.2 设G＝〈V ,E〉是一个有n
个结点的有向图， 则n阶方阵Ｐ＝（pij）
称为图G的可达性矩阵。 其中
1 (vi到vj可达) pij 0 (否则)
根据可达性矩阵， 可知图中任意两个结点之间是否 至少存在一条路以及是否存在回路。
由7.2节定理7.2.1 可知， 利用有向图的 邻接矩阵A， 分以下两步可得到可达性矩阵。
数,故命题对l+1成立。
•
•
由定理7.3.1可得出以下结论：
•
1) 如果对l＝1， 2， …， n-1，
Al的（i， j）项元素（i≠j）都为零， 那么
vi和vj之间无任何路相连接， 即vi和vj不 连通。 因此， vi和vj必属于G的不同的连 通分支。
•
2) 结点vi 到vj （i≠j）间的距离d
•
2) 由A2的主对角线上元素知，
每个结点都有长度为２的回路， 其中
结点v2有两条： v2v1v2和v2v3v2， 其 余结点只有一条。
•
3) 由于A3的主对角线上元素
全为零， 所以G中没有长度为３的回
•
4) 由于 a(1) 34
a(2) 34
a(3) 34
a(4) 34
0,
所以结点v3和v4间无路， 它们属于 不同的连通分支。
•
5) d（v1， v3）＝２。
• 对其他元素读者自己可以找出它
的意义。
7.3.2可达性矩阵 (Reachability
Matrices )
• 下面用矩阵来研究有向图的可达性。
•
与无向图一样， 有向图也能用
相应的邻接矩阵 A＝（aij）表示， 其中
1 aij 0
vi , v j E 否则
但注意这里A不一定是对称的。
方法， 即用图形表示图。 它的优点是
形象直观， 但是这种表示在结点与边
的数目很多时是不方便的。 下面我们
提供另一种用矩阵表示图的方法。 利
用这种方法， 我们能把图用矩阵存储
在计算机中， 利用矩阵的运算还可以
了解到它的一些有关性质。
•
定义 7.3.1 设G＝〈V ,E〉是有n个
结点的简单图， 则n阶方阵Ａ＝（aij）称 为G的邻a接ij 矩10阵(否。i,则j其) 中E
1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
1 1 0 0 A(3) 0 1 1 0
1 1 1 0 1 1 1 0
0 1 1 0 A(4) 1 1 1 0
1 1 1 0 1 1 1 0
故
1 P A(1) A(2) A(3) A(4) 1
• 解:
0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 A 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
图 7.3.2
•
1) 由A中a(1)12＝1知， v1和
v2是邻接的； 由A3中a(3)12＝2知， v1
到v2长度为3的路有两条， 从图中可
看出是v1v2v1v2和v1v2v3v2。
（vi， vj）是使Al（l＝1， 2， …， n-1 ）
的（i， j）项元素不为零的最小整数l。
•
3) Al的（i， i）项元素a(l)ii表示开
始并结束于vi长度为l的回路的数目。
• 【例7.3.1】图G＝〈V ,E〉的图形如 图7.3.2， 求邻接矩阵A和A2， A3， A4，
并分析其元素的图论意义。