分式方程和无理方程

天材教育学科教师辅导讲义

分式方程

【知识梳理】

A

1.分式概念：若A、B表示两个整式，且B中含有字母，则代数式一叫做分式.

B

2•分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分：

3 .分式运算

4•分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程.

5. 了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根.

【思想方法】

1. 类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式）

2. 检验

【例题精讲】

八“x22x 1 x 1

1.化简：22

X 1 XX

2

x 2x 2x 4 卄亠小匚

2 •先化简，再求值：2x 2 ，其中x 2 V2 .

x24 x 2

1 x

3 •先化简（1 ）2x，然后请你给x选取一个合适值，再求此时原式的值.

x 1 x 1

「小 5 1 - x 2 x 2 16

4 •解下列万程（1） 2 20 （2）2

x 3x x x x 2 x 2 x 4

则根据题意所列方程正确的是()

312 312 d312 312 ,

=1 _ = 1 A. x x—2& B.兀+ X

巫-匹=1 21L-竺"

c.工X十% D. X—2戌X

(二) 无理方程

【一】知识梳理：

1、无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程.

2、有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程；有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数

方程.

3、解无理方程基本思路：通过乘方，把无理方程转化为有理方程.

4、无理方程的增根：(解无理方程验根的必要性)

乘方之后所得整式方程的根，代入原无理方程检验得不是原无理方程的根.

5、解分式方程基本步骤：

① 去根号，把无理方程化为有理方程；『例题选讲〗

」、选择：

1、下列方程中，不是无理方程的是(

)

(A) “x 1 x ；(B) 、2x .3 1 ；

2、下列方程中，有实数根的方程是(

(A)、x2 1 0 ；(B) x 2 0 ；

2

3、下列正确的是( )

(A)方程x 2x 3的根是1和3;

(C)方程x 1 7 x的根是x 10;

4、方程x2 4x 4 x 2的根的情况是(

(A)无实数根；(B)只有x=2 一个根；习题：

一.填空题：

1 .方程口1分式方程.(填

② 解这个有理方程；③ 验根；④写出原方程的根.

(C) . x2 2 . x 1 1 ；(D) 2x , 3 x 1 .

(C) x 1 2 ；(D)、x 1 T x 2.

(B)方程i x2 2x 1 4 0的根是x=5；

(D) 方程.、2y 3 y的根是y 1 .

)

(C)有无数多个实数根；(D)只有两个实数根. “是”或“不是”)

2.

3.

4. 分式方程!£ 竺的根是______________

x x 1

如果代数式X 1的值是2，那么x =

x 3 3

2

方程 1 0 _______

x V2 <3 1

无理方程•（填“是”或“不是”）

5.

6.

方程x2已知线段

7 . 分式方程

16 3的解是___________________ .

AB=10cm点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP则AP=

7 3

2 2

x x x

的最简公分母是

1

8. 分式方程8(x22x)

x2 1

3x2 3

2 x 2x

11，如果设

cm.

x：2x y，那么原方程可以化为

x 1

9. 已知：I n R(nR

180 0 ），

则R= .（用n、丨的代数式表示

R）

10.用换元法解无理方程x2 5x 2° x2 5x 1 2，如果设.x2 5x 1 y，则原方程可以化为

11

. 12

.在解分式方程时，可以通过去分母或换元法将它转化为整式方程，体现了

无理方程* x 2 4 0无解的依据是_________________________________ .

数学思想.

13

. 14

.已知点P的坐标为（x, 3）,A（4，- 1）,如果PA=6,那么可得到方程分式方程1

15 .如果1 4

x

16 .已知方程x

x -

1

4

2

x

1

17 .

x 在解分式方程时, 法来解.

18

.R1 19

.

当x=

20

.

1的解x =

2

那么2的值是____________________ .

x

1 1 1

一的两根分别为a、-，则方程x

a a x 1

1

a -------- 的根是

a 1

除了用去分母方法以外，对于某些特殊的分式方程，还可以用（R R2），如果用R、R表示R,则R=

时，代数式—7x

_4x

与釦卫的值互为倒数.

x 3 5

方程-x 50 .x 20 0的根是; 方程（x 50）（x 20）0的根是

21.某数的正的平方根比它的倒数的正的平方根的10倍多3，如设某数为x，贝U可列出方程

22.已知