中考数学十大解题思路之换元法
初中数学换元法的学习技巧
初中数学换元法的学习技巧初中数学换元法的学习技巧初中数学10种解题方法之换元法我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
上面的内容是初中数学10种解题方法之换元法，希望同学们看过后可以做好笔记并灵活运用了。
接下来还有更多的初中数学讯息尽在哦。
初中数学解题方法之常用的公式下面是对数学常用的公式的讲解，同学们认真学习哦。
对于常用的公式如数学中的乘法公式、三角函数公式，常用的数字，如11～25的平方，特殊角的三角函数值，化学中常用元素的化学性质、化合价以及化学反应方程式等等，都要熟记在心，需用时信手拈来，则对提高演算速度极为有利。
总之，学习是一个不断深化的认识过程，解题只是学习的一个重要环节。
你对学习的内容越熟悉，对基本解题思路和方法越熟悉，背熟的数字、公式越多，并能把局部与整体有机地结合为一体，形成了跳跃性思维，就可以大大加快解题速度。
初中数学解题方法之学会画图数学的解题中对于学会画图是有必要的，希望同学们很好的学会画图。
学会画图画图是一个翻译的过程。
读题时，若能根据题义，把对数学（或其他学科）语言的理解，画成分析图，就使题目变得形象、直观。
这样就把解题时的抽象思维，变成了形象思维，从而降低了解题难度。
有些题目，只要分析图一画出来，其中的关系就变得一目了然。
尤其是对于几何题，包括解析几何题，若不会画图，有时简直是无从下手。
所以，牢记各种题型的基本作图方法，牢记各种函数的图像和意义及演变过程和条件，对于提高解题速度非常重要。
画图时应注意尽量画得准确。
画图准确，有时能使你一眼就看出答案，再进一步去演算证实就可以了；反之，作图不准确，有时会将你引入歧途。
初中数学解题方法之审题对于一道具体的习题，解题时最重要的环节是审题。
审题认真、仔细地审题。
审题的第一步是读题，这是获取信息量和思考的过程。
读题要慢，一边读，一边想，应特别注意每一句话的内在涵义，并从中找出隐含条件。
初中数学 什么是换元法
初中数学什么是换元法换元法是一种在初中数学中常用的解题方法，特别适用于一些复杂的方程或不等式的求解过程。
通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，可以将原问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。
下面我将为您详细介绍换元法的定义、原理以及应用方法。
一、换元法的定义换元法是指通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，将原问题转化为更简单的形式，从而更容易求解的解题方法。
通过将问题中的变量进行替换，可以改变问题的形式，使其更易于处理。
换元法在解方程、求不等式的最值、证明等问题中都有广泛的应用。
二、换元法的原理换元法的原理是通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，将原问题转化为更简单的形式。
新的未知数或代换的选择通常是根据问题的特点和需要来确定的。
通过合理的选择，可以使问题的形式更简单，从而更容易求解。
三、换元法的应用方法换元法的应用方法可以根据具体问题的不同而有所变化。
下面我将分别介绍在解方程、求不等式的最值以及证明中的换元法应用方法。
1. 解方程：a. 对于一元一次方程，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于方程2x + 3 = 7，可以引入新的未知数y = 2x + 3，转化为y = 7，进而求得x的值。
b. 对于一元二次方程，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于方程x^2 + 3x + 2 = 0，可以引入新的未知数y = x + 1，转化为y^2 + 2 = 0，进而求得x的值。
2. 求不等式的最值：a. 对于一元一次不等式，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于不等式2x + 3 > 5，可以引入新的未知数y = 2x + 3，转化为y > 5，进而求得x的取值范围。
b. 对于一元二次不等式，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，可以引入新的未知数y = x - 2，转化为y^2 - 1 > 0，进而求得x的取值范围。
数学方法之换元法篇
数学方法之换元法篇通过换元法可以把未知问题化为已知问题，把抽象问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过换元可以清楚的认识问题的实质，迅速寻找和选择解决问题的途径的方法. 根据数式的特点常见的换元法有：（1）整体换元；（2）平均数换元法；（3）比值换元法；（4）三角代换法；（5）不等量换元法；（6）根式换元法；（7）倒数换元法；（8）相反数换元法；（9）坐标换元法等等.一、整体换元例1：求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值.解析：设••t x x •y x x t .21cos sin ),22(cos sin 2-=∙≤≤-+=则 •t t t y .1)1(212122-+=+-=故 当.221,2max +==••y •t 时 二、三角换元例2：求函数25x x y -+=的值域.解析：令••••x ],2,2[,sin 5ππθθ-∈= ).4sin(10cos 5sin 5|cos |5sin 5πθθθθθ+=+=+∙=y 则 因为22πθπ≤≤-，所以 .4344ππθπ≤+≤- 所以1)4sin(22≤+≤-πθ，得10)4sin(105≤+≤-πθ 所以函数的值域为[10,5•-]. 三、平均数换元法例3：已知正数.425)1)(1(:,1,≥++=+y y x x •••y x y x •求证满足 证明：由题意可知x ，y 的平均数为21，令x =21+θ，y =21-θ（-21<θ<21）, 则.41162523)1)(1()1)(1(22422θθθ-++=++=++xy y x y y x x 显然分子的值大于等于1625， 分母的值大于0小于等于41，从而得证.四、比值换元例4：已知x ，y ，z 满足x -1=3221-=+z y ，试问实数x ，y ，z 为何值时，x 2+y 2+z 2达到最小值？ 解析：由比例可以设t z y x =-=+=-322111，则 222z y x ++22)12()1(-++=t t +.61014)23(22++=+t t t 当145-=t 时，即149=x ，712-=y ，222,1413z y ••x z ++=时达到最小值. 五、根式换元例5：求函数y =2x +x 21-的值域.解析：设t =x 21-≥0，则x =212t -，f (t )=)0(21212≥++-t t t ，由二次函数的图象可以知f (t )≤1，所以原函数的值域是(].1,•••∞- 六、不等量换元例6：求证：47)1(1131211122322<++++++n n . 证明：对通项公式进行变形)1111(21)1)(1(111122+--∙=+-=-<k k k k k k . 令k =2，3，…n ，n +1，则47)2111211(211)1(1131211122322<+-+-++<++++++n n n n .。
换元求解的技巧
换元求解的技巧换元求解是一种常用于解决复杂微积分问题的技巧。
它通过引入新的自变量来简化原始方程，并将其转化为更易求解的形式。
在本文中，我将介绍一些常见的换元求解技巧及其应用。
一、代数换元法1. 简单代数换元法简单代数换元法是将问题中的某个自变量用一个新的变量表示，从而简化方程的形式。
例1：已知函数 f(x) = 2x + 3，求 f(a + b)。
解：令u = a + b，那么a + b = u，代入方程中得f(u) = 2u + 3。
2. 三角代数换元法三角代数换元法是将三角函数中的角度用一个新的角度表示，从而简化方程的形式。
例2：已知函数 f(x) = sin(2x) + cos(2x)，求 f(π/6)。
解：令u = 2x，那么2x = u，代入函数中得f(u) = sin(u) + cos(u)。
由于要求 f(π/6)，所以把 u = 2x = π/3 代入函数中得到 f(π/6) = sin(π/3) + cos(π/3)。
二、三角换元法三角换元法是将一个复杂的三角函数用一个较简单的三角函数表示，从而简化方程的形式。
例3：求解积分∫(x^2)/(1+x^4) dx。
解：引入换元变量 u = x^2，那么 du = 2x dx，从而可将原式转化为∫(1/2)/(1+u^2) du。
然后我们再用一个三角换元法 u = tanθ，那么 du = sec^2θ dθ，从而原式变为∫(1/2) sec^2θ dθ。
三、指数换元法指数换元法是将一个复杂的指数函数用一个较简单的指数函数表示，从而简化方程的形式。
例4：求解积分∫x^2 e^x dx。
解：首先，我们可以使用分部积分法将上述积分转化为∫x d(x^2 e^x)。
然后，我们引入一个指数换元法u = x^2 e^x，得到 du = (2x + x^2) e^x dx。
通过代入变量，我们可以将原始积分简化为∫1/2 du。
四、分子分母同时换元法当需要对一个复杂的有理函数进行积分或求导时，分子分母同时换元法是非常有用的一种技巧。
初中数学—换元法
知识点拨【知识提要】1. 方程中变量的换元；2. 三角换元；3. 特殊换元。
【基本题型】1. 解超过二次的方程，或解某些特殊的根式方程；2. 证明某些不等式，或者某些量的取值范围；3. 求某些难以直接求出来表达式的值。
【解题技巧】1. 遇到可以整体代入的时候，可以考虑换元；2. 解特殊的高次方程的时候，可以考虑换元；3. 有时候甚至可以联想三角函数。
快乐热身【热身】已知若有23y x =+成立，则有恒等式2223x x ay by c ++=++成立。
求abc 的值。
【解析】分析 直接用待定系数法会很繁琐。
有没有简单一些的方法呢？解 因为23y x =+，所以32y x -=。
所以，22239232424y y y x x y -⎛⎫++=+=-+ ⎪⎝⎭。
因此，119942432abc ⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭。
第五讲 换元法热身完了，我们开始今天的课程吧！例题精讲【例 1】 求1111111...++++（无穷多个）的值。
【解析】 分析 连分数化简为分数从最底下开始，但是这个是无限的，应该怎么办呢？解 设原式x =，则11x x=+，也就是说210x x --=。
解得12x +=（负根舍去）。
说明 无限连分数和无限小数一样，都是极限。
关于极限的概念，以后会学到。
【例 2】 解关于x 的一元四次方程：43210x ax bx ax ++-+=。
【解析】 分析 因为方程次数高，所以应当设法降次。
解 观察方程的系数，具有对称的特点，所以应当使用换元法。
显然0x =不是原方程的解，所以除以2x 后得到：2210a x ax b x x ++-+=。
设1y x x=-，则有220y ay b +++=。
248a b ∆=--。
⑴若0∆>，则方程的解为1y =2y =。
代回1y x x =-得到1,2x =，3,4x =。
⑵若0∆=，则方程的解为1,22a y =-，于是有1,34a x -+=，2,44a x -=。
换元求解方法和技巧
换元求解方法和技巧换元求解方法是一种常用的数学分析技巧，用于将复杂的数学问题转化为更简单或更易处理的形式。
它通常用于积分或微分的计算中，可以大大简化计算过程，提高计算效率。
在换元求解中，我们寻找一个合适的变量替换，使得原问题可以转化为一个等价的但更易处理的形式。
下面我们将详细介绍换元求解的基本思路、方法和技巧。
1. 换元法的基本思路换元法的基本思路是通过一个适当的变量替换，将原问题转化为一个更易处理的形式，然后通过求解新问题得到原问题的解。
一般来说，换元法可以将复杂的代数式或函数进行简化，或者将繁琐的积分或微分问题转化为更简单的形式。
2. 换元法的基本步骤换元法的基本步骤如下：（1）选择合适的变量替换，找到一个新的变量或新的函数关系，使得原问题可以转化为一个更简单或更易处理的形式。
（2）将原问题中的变量和微分或积分元用新的变量或新的函数来表示。
（3）进行变量替换后，将原问题转化为一个新的问题，然后解决这个新问题。
（4）根据新问题的解，得到原问题的解。
3. 常用的换元法技巧（1）代数换元代数换元是指通过一系列代数变换，将原问题中的变量替换为一个或多个新的变量，从而简化问题的求解过程。
常用的代数换元技巧有：- 分式分解：将一个复杂的分式拆解成几个简单分式之和或积之积。
- 完全平方公式：将一个二次项进行完全平方分解，从而得到一个简化后的表达式。
- 三角恒等式：利用三角函数的基本关系和恒等式，将复杂的三角函数表达式转化为更简单的形式。
（2）三角换元三角换元是指通过引入三角函数和三角恒等式，将原问题中的变量替换为三角函数或与之相关的新的变量，从而简化问题的求解过程。
常用的三角换元技巧有：- 三角函数的幂指数换元：利用三角函数和幂指数函数的关系，将原问题中的指数部分进行替换，从而简化计算。
- 特殊角换元：利用特殊角的正弦、余弦、正切等值，将原问题中的变量替换为特殊角的函数值，从而求解问题。
（3）指数换元指数换元是指通过引入指数函数和对数函数，将原问题中的变量替换为指数函数或对数函数的值，从而简化问题的求解过程。
中考数学高效10种中考数学解题技巧
中考数学高效10种中考数学解题技巧中考数学高效10种中考数学解题技巧1、配方法：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。
因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。
因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。
3、换元法：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
4、判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c∈R，a=?0）根的判别式△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程（组），解不等式，研究函数乃至解析几何、三角函数运算中都有非常广泛的应用。
韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。
5、待定系数法：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。
它是中学数学中常用的重要方法之一。
换元求解的方法和技巧
换元求解的方法和技巧换元求解是解决数学问题中的一种常用方法，它通过引入新的自变量，从而将原始方程转化为一个更简单的形式来进行求解。
换元求解方法和技巧可以帮助我们解决各种类型的方程和积分问题。
下面，我将详细介绍一些常见的换元求解方法和技巧。
1. 利用三角恒等变换：当我们遇到包含三角函数的方程时，可以尝试使用三角恒等变换。
例如，对于含有平方根的三角函数，我们可以使用三角恒等变换将其转换为较简单的形式，然后再进行求解。
2. 利用自然对数的换元法：当我们遇到含有指数函数的方程时，可以尝试使用自然对数的换元法。
通过取对数，我们可以将指数函数转换为对数函数，从而将原始方程转化为一个更容易求解的形式。
3. 利用代换法：代换法是换元求解中最常用的方法之一。
通过引入新的自变量，可以将原始方程转化为一个更简单的形式。
例如，对于含有分式的方程，我们可以通过引入新的自变量，将分式转换为一个更简单的整式，然后再进行求解。
4. 利用幂函数的换元法：当我们遇到含有幂函数的方程时，可以尝试使用幂函数的换元法。
通过引入新的自变量，我们可以将幂函数转换为一个更简单的形式，从而将原始方程转化为一个更容易求解的形式。
5. 利用逆函数的换元法：当我们遇到含有逆函数的方程时，可以尝试使用逆函数的换元法。
通过引入逆函数，我们可以将原始方程转换为一个更简单的形式，然后再进行求解。
6. 利用线性变换：线性变换是一种将原始方程转化为线性方程的方法。
通过引入新的自变量，并进行线性变换，我们可以将原始方程转换为一个线性方程，从而更容易求解。
除了以上方法和技巧外，换元求解还需要注意以下几点：1. 选择合适的换元：在进行换元求解时，我们需要选择合适的换元方法，以使得原始方程转换为一个更简单的形式。
通过观察原始方程的特点和性质，选择合适的换元方法是非常重要的。
2. 注意换元后的边界问题：在进行换元求解时，我们需要注意换元后的边界条件。
有时候换元后的方程在某些特定点上是不可解的，这时我们需要重新考虑边界条件，以使得方程有解。
初中数学十大思想方法-换元法
解：（用平均值 x x 4 代换） 2
设 y= x－2 ，则 x=y+2.
原方程化为 (y+2)4+(y－2)4=626.
［((y+2)2－(y－2)2)2＋2(y+2)2(y－2)2－626=0
整理，得 y4+24y2－297=0.
(这是关于 y 的双二次方程).
(y2+33)(y2－9)=0.
3. (2x+7)4+(2x+3)4=32 .
4. (2x2－x－6)4+(2x2－x－8)4=16.
5. (2 5 x 1 1)4+(2 5 x 1 3 )4=16.
6.
x x2 1
x1 =3
2
.
x2
7. 2x4－3x3－x2－3x+2=0.
x 2 y 2 x y 18 8. x 2 y 2 xy 19
则
x2+
1 x2
=y2－2.
原方程化为 2y2+3y－20=0.
5
解得 y=－4；或 y= .
2
由 y=－4 得 x=－2+ 3 ；或 x=－2－ 3 .
由 y=2.5 得
x=2；或 x= 1 . 2
2x 2 5xy 2 y 2 x y 1 0 例 4 解方程组 x 2 4xy y 2 12x 12 y 10 0
形如 ax4－bx3+cx2＋bx+a=0 的方程，其特点是：
与首、末等距离的偶数次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数.
x
2
1
x
2
1
两边都除以 x2, 可化为 a(x2+
因式分解有妙方,化繁为简“换元法”
因式分解有妙方,化繁为简“换元法”“换元法”是初中数学中经常用到的一个方法。
在因式分解中，我们可以将多项式的某些项用字母替换，将一个复杂的多项式转换成较为简单熟悉的形式，达到“化繁为简”的目的。
下面，我们谈谈因式分解中的“换元法”。
一、整体代换例1 因式分解：a2（__y）-b2（__y）。
题目中出现了相同的因式__y。
我们可以将__y看作一个整体，提取公因式，运用整体代换的方法。
解：a2（__y）-b2（__y）=（__y）（a2-b2）=（__y）（a+b ）（a-b）。
当题中出现相同因式，我们可以将其看作一个整体进行运算。
为让式子更为简约，我们也可以在这道题中令u=__y，变原式为a2u-b2u，那么下一步的提取公因式就更为明朗。
这种方法我们称之为“换元法”。
要注意的是，最终的结果不能写成u·（a+b）（a-b），要将换掉的“元”重新换回去，将结果书写为（__y）（a+b）（a-b）的形式。
例2 因式分解：（x+y）2-4（x+y）+4。
题目中出现了相同因式（x+y），我们用整体代换，将x+y看作整体，令u=x+y。
解：令u=x+y，得原式=u2-4u+4=（u-2）2，即原式=（x+y-2）2。
例3 因式分解：（m2-3m+2）（m2-3m-4）+9。
本题如果利用整式乘法将两个多项式相乘，会得到一个四次多项式。
高次多项式因式分解是比较困难的。
我们可以看到题目中两个括号内也有相同因式m2-3m，利用换元法，令t=m2-3m。
解：令t=m2-3m，得（t+2）（t-4）+9=t2-2t+1=（t-1）2，即原式=（m2-3m-1）2。
本题利用整体代换达到降次目的，但要注意，最后将“元”换回去后，括号里的因式是否还能进行分解，如果可以，则要继续分解到不能分解为止。
二、平均代换对于例3，有同学会疑惑：能将m2-3m+2看成一个整体进行换元吗？当然可以。
那么m2-3m加上任意一个常數为新元可以吗？哪种换元法呈现出的因式最简洁？下面我们给出另一种较为简洁的换元法，称之为平均代换。
换元——轻松地理解整体的思想
换元——轻松地理解整体的思想
我们给学生讲整体的思想，学生接受起来很困难.如果我们换一种思路，从换元的角度来讲解整体的思想，那么效果就好得多了。
换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。
【反思】本题考查了换元法解一元二次方程：当所给方程的指数
较大，又有相同的部分时，可考虑用换元法把相同的部分当做一个整体对待，进一步求解．
在讲解的时候，我一般称为二步换元法，目的是提醒学生，在这里换元应该有两步：先把整体换成一个未知数，最后这个未知数还要再换成开始的那个整体。
这样有利于学生从整体上把握解题的步骤。
换元法原理及解释
换元法原理及解释
嘿，咱今儿就来唠唠换元法！换元法啊，就像是给一个复杂的数学式子来个大变身！比如说，咱遇到一个式子，里面的某个部分特别复杂，就像一团乱麻，让你头疼得很，对吧？（就像你面对一团怎么解也解不开的耳机线一样。
）这时候，咱就可以找个新的“替身”来代替这团乱麻，把问题变得简单些。
你看哈，假设原来的式子是 f(x)，里面有个部分比如说是 g(x)很难搞，那咱就设 t = g(x)，这下子，原来的式子 f(x)就可以变成 f(t)啦！（这就好比你本来面对一个调皮捣蛋让你头疼的小孩，现在把他换成了一个乖宝宝。
）这多好呀，一下子就把难题变得容易多啦！
我给你举个例子呗，就说计算∫(x+1)²dx，咱就可以设 t = x+1，那 dx 不就等于 dt 啦！然后式子就变成了∫t²dt，这样是不是好算多啦？（就像你原本要走一条崎岖的山路，现在突然有条平坦的大道摆在你面前。
）
换元法在很多地方都超有用的呢！不管是解方程还是求积分，都能派上大用场。
它就像一把神奇的钥匙，能打开那些看似紧闭的数学大门。
（就如同你有一把万能钥匙，可以打开各种神秘的宝箱。
）咱可不能小瞧它呀！
我觉得换元法真的是数学里超级厉害的一个方法，它能让我们在面对复杂问题时找到巧妙的解决途径，让我们能更轻松地在数学的海洋里畅游。
所以呀，大家一定要好好掌握换元法哦！。
初中数学解题技巧-换元与配方
初中数学解题技巧:换元与配方
初中数学解题技巧:换元与配方
（ 1 ）换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在初中数学中有广泛的应用。
（ 2 ）配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式 (a ＋ b) 2 ＝ a 2 ＋ 2ab ＋ b 2 ，将这个公式灵活运用，
可得到各种基本配方形式。
备战2020年中考数学解题方法之探究十法04 换元法专题研究(解析版)
备战2020中考数学解题方法专题研究专题4 换元法专题【方法简介】解一些复杂的因式分解问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。
换元法又称变量替换法, 是我们解题常用的方法之一。
利用换元法, 可以化繁为简, 化难为易, 从而找到解题的捷径。
【真题演练】1. 若（x2+y2﹣2）2=9，则x2+y2的值为（）A．1 B．﹣1 C．5 D．5或﹣1【解析】：设t=x2+y2（t≥0），由原方程得：（t﹣2）2=9，解得t﹣2=±3，解得t=5或t=﹣1（舍去）．故选：C．2. 用“整体法”求得方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解为（）A．x1=1，x2=3 B．x1=﹣2，x2=3 C．x1=﹣3，x2=﹣1 D．x1=﹣2，x2=﹣1【解析】：（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0，设2x+5=y，则原方程变形为y2﹣4y+3=0，解得：y1=1，y2=3，当y=1时，2x+5=1，解得：x=﹣2，当y=3时，2x+5=3，解得：x=﹣1，即原方程的解为x1=﹣2，x2=﹣1，故选：D．3. 若实数a，b满足（2a+2b）（2a+2b﹣2）﹣8=0，则a+b=．【解析】设a+b=x，则由原方程，得2x（2x﹣2）﹣8=0，整理，得4x2﹣4x﹣8=0，即x2﹣x﹣2=0，分解得：（x+1）（x﹣2）=0，解得：x1=﹣1，x2=2．则a+b的值是﹣1或2．故答案是：﹣1或2．4. 阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4=0 ①，解得y1=1，y2=4．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=4时，x2=4，∴x=±2；∴原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=2，x4=﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．【解析】：（1）换元，降次（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．【名词释义】概念：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
初中数学重点梳理：换元法
换元法 知识定位很多时候，我们遇到的问题直观比较复杂，在这种情况下把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
知识梳理知识梳理1：换元法在因式分解中的运用利用换元法分解因式，就是将多项式中的某一部分用一个新字母（元）来代替，进行变量替换，将问题转化，从而起到化繁为简、化隐为显、化难为易的作用。
知识梳理2：换元法在解方程中的运用换元法在解方程中是一种常用的方法，特别是解特殊方程中经常能产生事半功倍的 效果，下面介绍解特殊方程时应用换元法的几种常见的方法。
例题精讲【试题来源】【题目】分解因式：()()a a a a a 22216112++-++【答案】【解析】直接换元设a m 21+=，则原式=+-+()()m a m a a 6122=-+=--=+-+-=-+-m am a m a m a a a a a a a a 22222256231213311()()()()()()【知识点】换元法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：()()()a b b c c a ----24 【答案】【解析】双元换元设b c m c a n -=-=，则a b m n -=-+()，原式=-+-[()]m n mn 24=-=---=+-()[()()]()m n b c c a a b c 2222【知识点】换元法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：()()()a b ab a b ab +-+-+-2212【答案】【解析】和积换元设a b m ab n +==，原式=--+-()()()m n m n 2212=---+=--=+--=--()()()()()()m n m n m n a b ab a b 22222211111【知识点】换元法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：()()()ab a b ab a b --+---1222 【答案】【解析】和差换元设a b ab m n +-=+22--=-a b m n则m ab n a b ab =-=+--11， 原式=-+-m m n m n 2()()=--=m m n n 2222()=+--=--()()()a b ab a b 111222【知识点】换元法【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：a a a 42200320022003+++【答案】【解析】常值换元设2003=m ，则20021=-m ，原式=++-+a ma m a m 421()=-+++()()a a m a a 421=++-+=++-+()()()()a a a a m a a a a 2222112003【知识点】换元法【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式： ()()()()x m x m x m x m m +++++2344 【答案】【解析】均值换元 原式=+++++()()x mx m x mx m m 222245456 设n x mx m x mx m =+++++1254562222[()()] =++x mx m 2255则原式=-++()()n m n m m 224==++n x mx m 222255()【知识点】换元法 【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】分解因式：291492432a a a a -+-+【答案】【解析】倒数换元 原式=-+-+a a a a a 222291492()=+-++a a a a a 222219114[()()] 设a a m +=1，则原式=--+a m m 2222914[()]=-+=--a m m a m m 2222910225()()()=+-+-=-+-+=---a a a a a a a a a a a a 222212225212521221()()()()()()()【知识点】换元法【适用场合】阶段测验【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式：()()()a b b c c a abc ++++【答案】【解析】变形后换元原式=++-++-++-+()()()a b c c a b c a a b c b abc设a b c m ++=，则原式=---+()()()m c m a m b abc =-+++++-+=-+++=++++m a b c m ab bc ca m abc abcm m m ab bc ca mab bc ca a b c 3232()()()()()·【知识点】换元法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式： ()()()a a a 212472----【答案】【解析】整体换元原式=+----[()()][()()]a a a a 141272 =---+-()()a a a a 22343272设a a m 232-+=，则原式=--()m m 672=--=-+=-+--++=+--+m m m m a a a a a a a a 222267212632123262538()()()()()()()【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】分解因式： ()12323+++-m m m m【答案】【解析】局部换元设12++=m m a ，则原式=+-()a m m 323 =++-=++-=++-=++-=++++++a am m m a am m m a am m m aa a m m m m m m m m m 23632333233343223422121211()()()()()【知识点】换元法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程：x 4+(x －4)4=626.【答案】x=5；或x=－1.【解析】（用平均值24-+x x 代换，可化为双二次方程.） 设 y= x －2 ，则x=y+2.原方程化为 (y+2)4+(y －2)4=626.［((y+2)2－(y －2)2)2＋2(y+2)2(y －2)2－626=0整理，得 y 4+24y 2－297=0. (这是关于y 的双二次方程).(y 2+33)(y 2－9)=0.当y 2+33=0时， 无实根 ；当y 2－9=0时， y=±3.即x －2=±3，∴x=5；或x=－1.【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程：2x 4+3x 3－16x 2+3x+2=0 .【答案】x=－2+3；x=－2－3； x=2；或x=21. 【解析】∵这是个倒数方程，且知x ≠0， 两边除以x 2,并整理 得2(x 2+21x )+3(x+x 1)－16=0. 设x+x 1=y, 则x 2+21x =y 2－2. 原方程化为 2y 2+3y －20=0.解得 y=－4；或y=25.由y=－4得 x=－2+3；或x=－2－3.由y=2.5得 x=2；或x=21. 【知识点】换元法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++++=+++++01012124012522222y x y xy x y x y xy x 【答案】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x . 【解析】（这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.）设x+y=u, xy=v. 原方程组化为：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++010********v u u v u u . 解得⎩⎨⎧-==374v u ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=91132v u . 即⎩⎨⎧-==+374xy y x ； 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+91132xy y x . 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=33213321y x ；或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=33213321y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧-=+=412412y x ；或⎪⎩⎪⎨⎧+=-=412412y x .【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】 【题目】解方程=++++)7(27x x x x 35－2x. 【答案】【解析】7=x x t ++则原式变为2t 420t +-=，解得t = -7 或 6【知识点】换元法【适用场合】课后两周练习【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程(16x 2－9)2+(16x 2－9)(9x 2－16)+(9x 2－16)2=(25x 2－25)2. 【答案】【解析】可以换元令16x 2－9 = a ，9x 2－16 = b ，25x 2－25 = a + b 则原式变为 ()222a ab b a b++=+化简得ab = 0即【知识点】换元法【适用场合】阶段测验【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程(2115-+x )4+(2315-+x )4=16.【答案】1，3【解析】【知识点】换元法【适用场合】阶段测验【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程x x x x 112+++=223.【答案】无实数解【解析】x x x x 112+++=223 即111x x x x +++=223.令1x x + = t原方程变为1t t +=223.【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】解方程组【答案】【解析】【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】［a ］表示不大于a 的最大整数，如［2］=1，［－2］=－2， 那么 方程 ［3x+1］=2x －21 的所有根的和是_____.【答案】-2【解析】【知识点】换元法【适用场合】课后一个月练习【难度系数】4【试题来源】 【题目】解方程1112---++x x x =x. 【答案】45 【解析】设11-++x x =y, 那么y 2=2x+212-x . 原方程化为： y －21y 2=0 . 解得 y=0；或y=2.当y=0时，11-++x x =0 (无解) 当y=2时， 11-++x x =2，解得，x=45. 检验（略）. 【知识点】换元法【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3。
初中数学换元法
初中数学换元法数学中的换元法指通过一个一次或多次函数变换将原方程转化成更易解的方程的方法。
它在初中数学中主要应用于简化复杂的代数式和解方程，主要有以下几种类型。
1. 代数式的化简当出现一次多项式和一个二次多项式相乘时，可以使用一个新的变量，将二次项的系数给去掉。
例如：x^2 + 6x = (x+3)^2-92. 解一元一次方程组对于一元一次方程组，也可以使用换元法进行求解，通过将其中一个方程的某一变量项代入到另一个方程中，从而消去一部分未知数。
例如：\begin{cases} x-y=3\\ 2x+y=7\end{cases}，可将第一个方程中的 y 用 3-x 表示，代入第二个方程，得到 x=2，进而求出 y=-1。
3. 解一元二次方程对于一元二次方程，可以通过变换将其化为一元一次方程。
例如：x^2-5x+4=0，令 x=y-\dfrac{b}{2a}，代入原方程即可求解 y，再通过还原变量得到 x。
4. 解三角函数方程对于某些三角函数方程，可以通过一些简单的代数变换将其转化为其他类型的方程，例如：\sin^2 x - \sin x -2=0，令 y=\sin x，则原方程变为 y^2-y-2=(y+1)(y-2)=0，解得 y=-1 或 y=2，进而求出 x。
5. 解根式方程对于一些含有根式的方程，可以通过换元法将其化为一元二次方程，例如：\sqrt{2x+5}-\sqrt{x+1}=1，令 y=\sqrt{x+1}，则原方程变为\sqrt{2y^2+3}-y=1，化为 2y^2-2y-2=0，解得 y=1+\sqrt{2} 或y=1-\sqrt{2}，进而求出 x。
中考数学十大解题思路之换元法
换元法在因式分解中的应用因式分解是初中代数课中一种重要的恒等变形，它是分式通分、约分、解方程以及三角函数的基础。
学好因式分解，对以后数学的学习有着非常重要的意义。
除教材上介绍的因式分解的方法外，换元法也是一种比较常用的方法。
例1.分解因式：()()442++-+y x y x （济南市 2007）分析：如果将原式变形，就会得到一个二次多项式，不利于因式分解。
换个角度考虑，可以将y x +看成一个整体，则原式就变成这个整体为未知量的二次多项式。
解：设u y x =+ 原式442+-=u u ()22-=u()22-+=y x例2.分解因式：()()()22224432134-+--+--x x x x x x分析：本题如果展开，就会出现四次多项式，不利于因式分解。
因此可以尝试用换元法进行因式分解。
观察原式中各个局部之间的简单运算关系，有：=-+442x x ()()321322-++--x x x x ，将其中两部分设为辅助元，则可以表示出第三部分。
解：设A x x =--132，B x x =-+322,则B A x x +=-+442。
原式()()224B A B A AB --=+-=()()222222323213+--=+-----=x x x x x x使用换元法的关键是选择辅助元。
在选择辅助元时，要反复比较式子中重复出现的整体结构，以便寻找最恰当的辅助元。
第三章换元法在化简二次根式中的应用在化简二次根式的过程中，常常会因为根式下的式子过于复杂而无从下手，这时可以考虑通过换元将复杂的式子简单化，从而有助于二次根式的化简，下面介绍两种应用换元法化简二次根式的方法。
3.1设元代数，化已知为未知例3.若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=20021200221x ，求x x ++12的值 分析：2002是一个较大、带根号的无理数，直接代入较复杂，因此可以尝试用字母换元代入。
解：设2002=y ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y y x 121，221411⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y y x ，且01〉+y y 原式⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y y y y y y y y 12112112114122002==y3.2设元代式，无理变有理例4. 化简aba b b a a +-（陕西省 2008）分析：本题中的式子较复杂，可以利用换元，将无理式转化为有理式，便于计算。
换元法解题技巧和方法
换元法解题技巧和方法
换元法是数学问题解决中常用的策略之一，旨在将复杂的问题转化为更简单的形式，从而更容易解决。
在解题过程中，正确选择合适的换元方法非常重要。
以下是几种常见的换元法解题技巧和方法：
1. 代入法：将题目中给出的数据或条件分别表示为一个或多个新的变量，然后利用这些新的变量重新表述问题，并解决它。
2. 平移法：引入一个新的变量，通过平移给定函数或方程的坐标系，使得原来的问题变得更容易处理。
3. 三角换元法：如果题目中涉及到三角函数，可以利用三角换元法将其转化为更简单的形式。
常见的三角换元包括正弦换元、余弦换元及正切换元。
4. 对称换元法：当题目中存在对称性时，可以选择合适的新变量，利用对称性质将原问题转化为较简单的形式。
5. 递推换元法：对于递归或迭代的问题，可以引入一个新的变量，利用递推关系将原问题转化为关于新变量的直接求解问题。
6. 迭代换元法：对于需要多次迭代的问题，可以通过引入新的变量，将原问题转化为一个迭代问题，然后使用逐次逼近的方法求解。
7. 反向换元法：当题目给出的问题较难处理时，可以考虑反向思维，使用一个合适的换元将该问题转化为更易解决的问题。
在应用换元法解题时，需要根据题目的特点和所给条件进行灵活选择，并合理确定新的变量。
此外，需要注意换元后问题的合法性和简化程度，避免引入复杂度较高的新问题。
通过熟练掌握换元法解题技巧和方法，可以提高问题解决的效率和准确性。
换元法解题步骤
换元法解题步骤
换元法是一种解方程的方法，其基本思想是通过代入一些变量或函数，将原方程转换为一个更容易求解的形式。
具体步骤如下：
1. 选取合适的新变量或新函数。
一般来说，新变量或新函数应该与原方程中的某一项相关，并且能够将原方程转化为一个更简单的形式。
2. 将原方程中的变量用新变量或新函数表示。
这一步需要根据选取的新变量或新函数进行代入和化简，使得原方程中的变量全部被表示为新变量或新函数。
3. 求解新方程。
将原方程转化为新方程后，可以更加方便地进行求解。
一般来说，新方程的求解难度应该比原方程更小。
4. 将新变量或新函数重新表示为原变量。
求解出新方程后，需要将结果转化为原变量或原函数的形式。
这一步需要将新变量或新函数表达式代入到原方程中，再化简即可得到最终的解。
需要注意的是，换元法并不是解方程的万能方法，有些情况下可能不适用或者不太好用。
在使用的过程中，需要根据具体情况进行判断和选择。
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中学数学中换元法的应用与常见错误分析目录第一章引言 (4)第二章在因式分解中的应用 (4)第三章在化简二次根式中的应用 (5)设元代数，化已知为未知 (5)设元代式，无理变有理 (5)第四章在解方程中的应用 (6)分式方程 (6)一元二次方程 (7)三角有理方程……………………………………………………7第五章在证明不等式中的应用 (8)三角换元法………………………………………………………8改变换元后中间变量的范围………………………………………9第六章换元法常见错误分析 (9)将复合函数与原函数混为一谈……………………………………………9改变换元后中间变量的范围………………………………………………10换元的选择不恰当…………………………………………………………11结论……………………………………………………………………………12参考文献……………………………………………………………12第一章引言换元法是中学数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。
所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变量来代替原式的一部分或改造原来的式子，使其简化，问题便于解决。
之所以说换元法重要，是因为换元思想是中学教学中要求掌握并熟练应用的。
在中考、高考的试卷也常出现运用换元法的试题。
之所以说换元法应用广泛，是因为在因式分解、化简二次根式、解方程、证明不等式等许多题型中都会运用到换元的思想。
同时，由于学生概念不清，在换元过程中往往会出现这样那样的错误，因此需要对常见错误进行分析，防止犯错。
本文探讨了换元法运用的最为常见也是最为重要的几个问题，还指出了换元法运用中的常见错误以及如何解决这些错误的方法。
第二章换元法在因式分解中的应用因式分解是初中代数课中一种重要的恒等变形，它是分式通分、约分、解方程以及三角函数的基础。
学好因式分解，对以后数学的学习有着非常重要的意义。
除教材上介绍的因式分解的方法外，换元法也是一种比较常用的方法。
例1.分解因式：()()442++-+y x y x （济南市 2007） 分析：如果将原式变形，就会得到一个二次多项式，不利于因式分解。
换个角度考虑，可以将y x +看成一个整体，则原式就变成这个整体为未知量的二次多项式。
解：设u y x =+原式442+-=u u()22-=u ()22-+=y x 例2.分解因式：()()()22224432134-+--+--x x x x x x分析：本题如果展开，就会出现四次多项式，不利于因式分解。
因此可以尝试用换元法进行因式分解。
观察原式中各个局部之间的简单运算关系，有：=-+442x x ()()321322-++--x x x x ，将其中两部分设为辅助元，则可以表示出第三部分。
解：设A x x =--132，B x x =-+322,则B A x x +=-+442。
原式()()224B A B A AB --=+-= ()()222222323213+--=+-----=x x x x x x使用换元法的关键是选择辅助元。
在选择辅助元时，要反复比较式子中重复出现的整体结构，以便寻找最恰当的辅助元。
第三章换元法在化简二次根式中的应用在化简二次根式的过程中，常常会因为根式下的式子过于复杂而无从下手，这时可以考虑通过换元将复杂的式子简单化，从而有助于二次根式的化简，下面介绍两种应用换元法化简二次根式的方法。
设元代数，化已知为未知例3.若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=20021200221x ，求x x ++12的值 分析：2002是一个较大、带根号的无理数，直接代入较复杂，因此可以尝试用字母换元代入。
解：设2002=y ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y y x 121，221411⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y y x ，且01〉+y y 原式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y y y y y y y y 1211211211412 2002==y设元代式，无理变有理例4. 化简ab a bb a a +-（陕西省 2008）分析：本题中的式子较复杂，可以利用换元，将无理式转化为有理式，便于计算。
解：设x a =，y b =， 原式()()()y x x y x y x x xyx xy x +-+=+-=223 b a y x -=-=解题时，根据需要，把较大的数字或复杂的式子用字母代换，这样会使得式子中的各种关系更加明朗，化简或计算也会更加简便。
第四章换元法在解方程中的应用除了课本中介绍的解方程的基本方法以外，换元法也是解方程的一种常用的方法。
如果方程()0=x F 的左端()x F 是一个复合函数：()()u f x F =，()x u φ=，而方程()0=u f 和()x u φ=是比较简单的方程，则可进行换元。
令()x u φ=，这样方程就转化为()0=u f ，方便运算。
但值得注意的是，换元后的方程定义域发生了变化，应考虑增根或失根的可能。
下面就列举三种常见的用换元法可解的方程类型及换元方法。
分式方程形如()()0=++c x f b x af 令()x f u =，原方程化为0=++c u b au ，即02=++c bu au 解得a ab c c u 242-±-=，原方程化为两个简单方程()a ab c c x f 2421-+-=，()aab c c x f 2422---=，注意检验根。
例5.解方程251122=+++x x x x 分析：此分式方程左边的两个分式互为倒数，可采用换元法来解。
解：设u x x =+12，则u x x 112=+，原方程化为251=+u u 解得211=u ，22=u 当211=u 时，有2112=+x x ，即0122=+-x x ，解得121==x x 当22=u 时，有212=+x x ，即0222=+-x x ，无实数解 经检验，1=x 是原方程的解。
一元二次方程形如()()()02=++c x bf x f a 令()x f u =，原方程化为一元二次方程02=++c bx ax 解得a ab c c u 242-±-=，原方程化为两个简单方程()aab c c x f 2421-+-=，()aab c c x f 2422---=当()x f 是整式时，上述两方程的根都是原方程的跟，当()x f 是分式或无理式时，应进行验根。
例6.解方程()()376276222=---x x x x （哈尔滨 2007）分析：则可以将x x 762-看成整体进行换元，转化为一元二次方程求解。
解：设x x u 762-=，原方程化为0322=--u u ，解之得31=u ，12-=u 当31=u 时，即3762=-x x ，得231=x ，312-=x 当12-=u 时，即1762-=-x x ，13=x ，614=x 经检验231=x ，312-=x ，13=x ，614=x 是原方程的根 三角有理方程形如()0cos ,sin =x x R 运用万能代换2tan x u =，得代数有理方程011,12222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+uu u u R 。
需要注意的是，因2tan x u =的自变量允许值是()π12+≠n x ，()z n ∈，缩小了未知量的范围，因此用万能代换解三角有理方程时，应注意有失根的可能。
例7.解方程1cos sin =-x x分析：运用万能代换，将原方程化为代数有理方程，再求解。
解：设2tan x u =， 原方程化为11112222=+--+uu u u ，解之得1=u 因此12tan =x ，ππn x 22+= ()z n ∈ 经检验，ππn x 221+=，()π122+=n x 是原方程的根从以上分析可以看出，换元的方法是以所讨论方程的特有性质为依据的，因此不同的方程就有不同的换元方法。
因此，这种方法灵活性大，技巧性强，适当的换元，可以将复杂的方程化简，方便求解。
第五章换元法在证明不等式中的应用不等式作为一个重要的分析工具和分析手段，在数学中具有举足轻重的地位。
在不等式证明中，有些问题直接证明较为困难，但如果通过换元的思想与方法去解决就方便多了。
下面列举两种基本的换元方法。
三角换元法三角换元是常用的一种换元方法，多用于条件不等式的证明。
在解类似这些问题时，选用适当的三角函数进行换元，把代数问题转化为三角问题，再充分利用三角函数的性质解决问题。
例8.已知R b a ∈,，且122≤+b a ，求证：2222≤++b ab a分析：由条件不难想到公式1cos sin 22=+θθ，假设θsin r a =， θcos r b =，其中1≤r ，[)πθ2,0∈，这样就将代数问题转化为三角问题了。
证明：设θsin r a =，θcos r b =，其中1≤r ，[)πθ2,0∈， 则2222222sin cos sin 2cos 2θθθθr r r b ab a -+=-+θθ2sin 2cos 22r r +=242sin 22≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πθr 当1=r ，2πθ=或89π时，等号成立。
增量换元法一般的，对称式（任意互换两个字母，代数式不变）和给定字母顺序（如a>b>c ）的不等式，常用增量法进行换元，换元的目的是通过减元，使问题化难为易，化繁为简。
例9.已知a >2,b >2,求证：b a +<ab分析：因为b a ,都在常量2附近变化，运用增量换元法，设m a +=2，n b +=2，其中m >0，n >0，再运算证明。
证明：设m a +=2，n b +=2，其中m >0，n >0则()()n m n m ab b a ++-+++=-+2222mn n m n m ----++=2244mn n m ---=<0故b a +<ab不等式证明是中学数学中的一个难点，换元法是常用的一种方法，然而在具体解题时要根据不同的条件和结论进行相应的换元，技巧性很强。
第六章换元法常见错误分析虽然合理运用换元法能够做到化繁为简，化难为易的作用，但在使用过程中如果不注意等价转化，往往会出现不易察觉的错误。
错误常表现为：将复合函数与原函数混为一谈函数()x F y =经过换元()u x φ=就变为()()u F y φ=这种形式的复合函数。
常常出现只考虑()()u F y φ=的单调性，而不考虑()u φ的单调性的情况，最终导致错解。
例10.试讨论函数21x axy -= （a <0）的单调性错解：设()πθθ,0,cos ∈=x ，则θθθcot sin cos a a y == 因为θcot =y 在()π,0上是减函数，且a <0 所以21x axy -=（a <0）是增函数分析：换元过后，只考虑了θcot a y =的单调性，没有考虑θcos =x 的单调性，导致了错解。