平行四边形复习提纲

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平行四边形复习

平行四边形复习（1）一、知识点梳理：1、平行四边形：的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边；（2）平行四边形的对角；（3）平行四边形的对角线。

3、平行四边形的判定：（1）的四边形是平行四边形；（2）的四边形是平行四边形；（3）的四边形是平行四边形；（4）的四边形是平行四边形；（5）的四边形是平行四边形。

4、三角形的中位线：叫做三角形的中位线。

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且。

5、两条平行线间的距离处处。

二、典型例题：例1、（1）不能判定一个四边形是平行四边形的条件是【】A. 两组对边分别平行B. 一组对边平行，另一组对边相等C. 一组对边平行且相等D. 两组对边分别相等（2）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果点F是边AD上的点，那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是【】A．DF=BE B．AF=CE C．CF=AE D．CF∥AE（3）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是【】A．2cm＜OA＜5cm B．2cm＜OA＜8cmC．1cm＜OA＜4cm D．3cm＜OA＜8cm（4）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为．【课堂练习1】1、如图1, D,E,F 分别在△ABC 的三边BC,AC,AB 上,且DE ∥AB, DF ∥AC, EF ∥BC,则图中共有_______________个平行四边形,分别是_______________________________________.2、如图2，在 ABCD 中，AD =8，点E 、F 分别是BD 、CD 的中点，则EF = .图（1）图（2）（3）图（4）3、如图3,平行四边形ABCD 中,E,F 是对角线AC 上的两点,连结BE,BF,DF,DE,添加一个条件使四边形BEDF 是平行四边形，则添加的条件是______________（添加一个即可）.4、如图4，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是BC 的中点，DE ⊥BC ，CE //AD ，若AC ＝2，CE ＝4，则四边形ACEB 的周长为。

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《平行四边形》温习纲要一、知识网络归纳四边形的“全家福”二、重要知识总结1、平行四边形（1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）平行四边形的性质：对称性：边：角：对角线：（3）补充结论：若一条直线过平行四边形两对角线的交点,则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点,且这条直线二等分平行四边形的面积；两平行线间的距离处处相等．2、矩形（1）矩形的定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质：具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形；又是中心对称图形,还是旋转对称图形；3、菱形（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质：具有平行四边形的一切特征；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形,又是中心对称图形。

4、正方形（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形；正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形；既是矩形又是菱形的四边形是正方形．（2）正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切特征．边：四边相等、邻边垂直、对边平行；角：四角都是直角；对角线：①相等,②互相垂直平分,③每条对角线平分一组对角；对称性：是轴对称图形,有4条对称轴．；是中心对称图形,对称中心是对角线的交点。

5、梯形（1）梯形的定义与性质：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形；梯形是特殊的四边形所,具有四边形所具有的一切性质,此外它的上下两底平行．（2）等腰梯形的定义与性质：两腰相等的梯形是等腰梯形；等腰梯形在同一底边上的两个内角相等,两腰相等,两底平行,两对角线相等,两底平行,两对角线相等,是轴对称图形,只有一条对称轴（底的中垂线就是它的对称轴）．（3）直角梯形有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．（4）解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：①“作高”：使两腰在两个直角三角形中．②“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中．③“廷腰”：构造具有大众角的两个三角形．④“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点,并延长交下底的延长线于一点,构成三角形．综上,解决梯形问题的基本思路：梯形问题分割、拼接转化三角形或平行四边形问题, 这种思路常通过平移或旋转来实现．三、典型例题解析例1 如图,已知平行四边形ABCD,AE 平分∠DAB 交DC 于E,BF 平分∠ABC 交DC 于F,DC=6cm,AD=2cm,求DE 、EF 、FC 的长．例2 如图,等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,AD ＝5,AB ＝7,BC ＝12,求∠B 的度数．例3 如图所示,矩形ABCD 的两条对角线交于O 点,∠AOD=0120,AB=6cm,求AC 的长。

平行四边形知识点总结

平行四边形知识点总结一、平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

需要注意的是，平行四边形的定义既是它的一个性质，即两组对边分别平行；也是判定一个四边形是否为平行四边形的依据之一。

二、平行四边形的性质1、边的性质（1）平行四边形的两组对边分别平行且相等。

（2）平行四边形的邻边之和等于周长的一半。

2、角的性质（1）平行四边形的两组对角分别相等。

（2）平行四边形的邻角互补，即相邻的两个角之和为 180 度。

3、对角线的性质（1）平行四边形的对角线互相平分。

（2）两条对角线把平行四边形分成的四个三角形的面积相等。

4、对称性平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

三、平行四边形的判定1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

这是根据平行四边形的定义直接得出的判定方法。

2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

如果一个四边形的两组对边分别相等，那么可以通过平移其中一组对边，使其与另一组对边重合，从而证明该四边形是平行四边形。

3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

先证明一组对边平行，如果再能证明这组对边相等，就可以判定为平行四边形。

4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

因为平行四边形的两组对角分别相等，所以如果一个四边形的两组对角分别相等，那么它就是平行四边形。

5、对角线互相平分的四边形是平行四边形。

通过证明对角线互相平分，可以得出四边形的两组对边分别平行，从而判定为平行四边形。

四、平行四边形面积的计算平行四边形的面积＝底×高需要注意的是，底和高必须是相对应的，即底边上对应的高。

五、平行四边形中的常见题型1、利用性质求边长、角度或对角线的长度已知平行四边形的一些边、角或对角线的关系，通过性质列方程求解。

2、证明一个四边形是平行四边形根据给定的条件，选择合适的判定方法进行证明。

3、求平行四边形的面积给出底和高的长度，或者通过其他条件求出底和高，进而计算面积。

4、与三角形结合的问题例如，平行四边形的对角线把平行四边形分成两个全等的三角形，或者通过三角形的全等或相似来解决平行四边形中的问题。

四边形复习提纲(一)——平行四边形

ABCD 是平行四边形。
在判定一个四边形是平行四边形基本思路可如下表已知条件边角一组对边相等一组对边平行一组对角相等对角线选择判定方法 “两组对边分别相等”或“一组对边平行且相等” “两组对边分别平行”或“一组对边平行且相等” “两组对角分别相等” “对角线互相平分”
脸大走遍天下!
——徐大帅哥
S ah, a 为底边长， h 为底边上的高。
二：平行四边形的判定【重点】 1．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；在四边形 ABCD 中，若 AB ∥CD, BC ∥AD ，则有四边形 ABCD 是平行四边形
2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；在四边形 ABCD 中，若 AB=CD, BC =AD ，则有四边形 ABCD 是平行四边形
图1
图2
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四边形复习提纲（一）——平行四边形一：平行四边形的性质 1．平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。【重点】只有一组对边平行的四边形不一定是平行四边行；平行四边形 ABCD 记做 ABCD ，读作平行四边形 ABCD ，平行四边形的顶点字母一定要按照顺时针或逆时针的顺序依次读写；平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做平行四边形的对角线。 2．平行四边形的性质：【难点】性质一：平行四边形的对边相等；常用来求线段的和长度、周长以及证明线段和角的相等；性质二：平行四边形的对角相等；对角相等，邻角互补可以用来证明相等或两角互补以及用于角度计算；性质三：平行四边形的对角线互相平分；求线段的长、求解不等式等。 3．平行四边形的面积：平行四边形的面积等于平行四边形的底与底边上的高的积，即

平行四边形知识点归纳和题型归类

平行四边形知识点归纳和题型归类平行四边形知识点归纳和题型归类要点梳理】要点一、平行四边形1.定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.性质：（1）对边相等；（2）同位角相等；（3）相邻角互补；（4）是中心对称图形。

3.面积：S = 底 ×高。

4.判定：边：（1）有两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）对边相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形。

角：（4）有一组对边平行，且同位角相等的四边形是平行四边形。

对角线：有一组对边相等，且互相平分的四边形是平行四边形。

要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等。

要点二、矩形1.定义：有四个角都是直角的平行四边形叫做矩形。

2.性质：（1）对边相等；（2）相邻角互补；（3）对角线相等；（4）是中心对称图形，也是轴对称图形。

3.面积：S = 长 ×宽。

4.判定：有四个角都是直角的平行四边形是矩形。

要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半。

要点三、菱形1.定义：有四个边都相等的平行四边形叫做菱形。

2.性质：（1）对边相等；（2）相邻角互补；（3）对角线相等；（4）是中心对称图形，也是轴对称图形。

3.面积：S = 对角线之积的一半。

4.判定：有一组对边平行且相等的四边形是菱形。

要点四、正方形1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的平行四边形叫做正方形。

2.性质：（1）对边相等；（2）相邻角互补；（3）对角线相等；（4）是中心对称图形，也是轴对称图形；（5）两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。

3.面积：S = 边长的平方，也可以用对角线的平方的一半求解。

4.判定：（1）有一组对边平行且相等的菱形是正方形；（2）有四个角都是直角的矩形是正方形；（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（4）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。

《平行四边形》全章复习与巩固(提高)知识讲解

《平行四边形》全章复习与稳固（提升）【学习目标】1. 掌握平行四边形的性质定理和判断定理.2.掌握三角形的中位线定理 .3.认识多边形的定义以及内角、外角、对角线等观点. 掌握多边形的内角和与外角和公式.4.累积数学活动经验，发展推理能力.【知识网络】【重点梳理】重点一、平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD记作“口ABCD”，读作“平行四边形ABCD” .重点解说：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.重点二、平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线相互均分；重点解说：（ 1）平行四边形的性质定理中边的性质能够证明两边平行或两边相等；角的性质能够证明两角相等或两角互补；对角线的性质能够证明线段的相等关系或倍半关系.（ 2）因为平行四边形的性质内容许多，在使用时依据需要进行选择.（3）利用对角线相互均分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决 .重点三、平行四边形的判断定理1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线相互均分的四边形是平行四边形.重点解说：（1）这些判断方法是学习本章的基础，一定坚固掌握，当几种方法都能判断同一个行四边形时，应选择较简单的方法 .（2）这些判断方法既可作为判断平行四边形的依照，也可作为“画平行四边形”的依据 .重点四、平行线间的距离 1. 两条平行线间的距离：（ 1）定义：两条平行线中，一条直线上的随意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离 . 注：距离是指垂线段的长度，是正当 . 2．平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等. 平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.重点五、三角形的中位线三角形的中位线1．连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，而且等于第三边的一半.重点解说：（ 1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的地点关系与数目关系.（ 2）三角形的三条中位线把原三角形分红可全等的4 个小三角形 . 因此每个小三角形的周长为原三角形周长的 1，每个小三角形的面积为原三角形面积的12.4（ 3）三角形的中位线不一样于三角形的中线 .重点六、多边形内角和、外角和n 边形的内角和为 ( n － 2) ·180° ( n ≥ 3) ．重点解说： (1) 内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2) 正多边形的每个内角都相等，都等于(n 2) 180°；多边形的外角和为 360°． n 边形的外角和恒等于 n360°，它与边数的多少没关 .【典型例题】种类一、平行四边形的性质与判断1、（2015?海淀区二模）如图 1，在△ ABC 中， AB=AC ，∠ ABC=α ， D 是 BC 边上一点，以 AD 为边作△ ADE ，使 AE=AD ，∠ DAE+∠BAC=180°．（ 1）直接写出∠ ADE 的度数（用含 α 的式子表示）；（ 2）以 AB ， AE 为边作平行四边形 ABFE ，①如图 2，若点 F 恰巧落在 DE 上，求证： BD=CD ；②如图 3，若点 F 恰巧落在 BC 上，求证： BD=CF ．【思路点拨】（ 1）由在△ ABC 中，AB=AC，∠ABC=α，可求得∠ BAC=180°﹣ 2α，又由 AE=AD，∠D AE+∠BAC=180°，可求得∠ DAE=2 α，既而求得∠ ADE 的度数；（2）①由四边形 ABFE是平行四边形，易得∠ EDC=∠ABC= α，则可得∠ADC=∠ADE+∠EDC=90°，证得 AD⊥BC，又由 AB=AC，依据三线合一的性质，即可证得结论；②由在△ ABC中，AB=AC，∠ABC=α，可得∠ B=∠C= α，四边形 ABFE是平行四边形，可得 AE∥BF，AE=BF．即可证得：∠ EAC=∠C= α，又由（ 1）可证得AD=CD，又由 AD=AE=BF，证得结论．【答案与分析】解：（ 1）∵在△ ABC中， AB=AC，∠ ABC=α，∴∠ BAC=180°﹣ 2α，∵∠ DAE+∠BAC=180°，∴∠ DAE=2α，∵AE=AD，∴∠ ADE=90°﹣α；（2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形，∴AB∥EF．∴∠ EDC=∠ABC=α，由（ 1）知，∠ ADE=90°﹣α，∴∠ ADC=∠ADE+∠EDC=90°，∴AD⊥BC．∵AB=AC，∴BD=CD；②证明：∵ AB=AC，∠ ABC= α，∴∠ C=∠B=α ．∵四边形ABFE是平行四边形，∴AE∥BF， AE=BF．∴∠ EAC=∠C= α，由（ 1）知，∠ DAE=2α，∴∠ DAC=α，∴∠ DAC=∠C．∴AD=CD．∵AD=AE=BF，∴BF=CD．∴BD=CF．注意（ 2）【总结升华】本题考察了平行四边形的判断与性质以及等腰三角形的性质与判断．①中证得AD⊥BC 是重点，（ 2）②中证得AD=CD是重点．贯通融会：【变式】分别以口 ABCD（∠ CDA≠ 90 °）的三边 AB， CD， DA 为斜边作等腰直角三角形，△ ABE，△ CDG，△ ADF．（ 1）如图 1 ，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外面时，连结GF， EF．请判断 GF 与 EF 的关系并证明）；（ 2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连结GF， EF，（ 1 ）中结论还建立吗？若建立，给出证明；若不建立，说明原因．【答案】解：（ 1） GF⊥ EF， GF＝ EF建立；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝ CD，∠ DAB＋∠ ADC＝ 180°，∵△ ABE，△ CDG，△ ADF都是等腰直角三角形，∴DG＝ CG＝AE＝ BE，DF＝ AF，∠ CDG＝∠ ADF＝∠ BAE＝45°，∴∠ GDF＝∠ GDC＋∠ CDA＋∠ ADF＝ 90°＋∠ CDA，∠EAF＝360°﹣∠ BAE﹣∠ DAF﹣∠ BAD＝ 270°﹣（ 180°﹣∠ CDA）＝ 90°＋∠CDA，∴∠ FDG＝∠ EAF，∵在△ EAF和△ GDF中，DF AFFDG FAE ，DG AE∴△ EAF≌△ GDF（ SAS），∴EF＝ FG，∠ EFA＝∠ DFG，即∠ GFD＋∠ GFA＝∠ EFA＋∠GFA，∴∠ GFE＝ 90°，∴ GF⊥EF；（2） GF⊥ EF， GF＝ EF 建立；原因：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝ CD，∠ DAB＋∠ ADC＝ 180°，∵△ ABE，△ CDG，△ ADF都是等腰直角三角形，∴DG＝CG＝ AE＝BE， DF＝AF，∠ CDG＝∠ ADF＝∠ BAE＝45°，∴∠ BAE＋∠ FAD＋∠ EAF＋∠ ADF＋∠ FDC＝ 180°，∴∠EAF＋∠CDF＝45°，∵∠ CDF＋∠FDG＝45°，∴∠ FDG＝∠ EAF，∵在△ EAF和△ GDF中，DF AFFDG FAE ，DG AE∴△ EAF ≌△ GDF （ SAS ），∴ EF ＝FG ，∠ EFA ＝∠ DFG ，即∠ GFD ＋∠ GFA ＝∠ EFA ＋∠ GFA ， ∴∠ GFE ＝ 90°，∴ GF ⊥EF ．2、如图，点 D 是△ ABC 的边 AB 的延伸线上一点，点 F 是边 BC 上的一个动点（不与点B 重合）．以 BD 、 BF 为邻边作平行四边形 BDEF ，又 AP BE （点 P 、E 在直线 AB 的同侧），假如 BD ＝ 1AB ，那么△ PBC 的面积与△ ABC 面积之比为（）4A ．1B ．3C ．1D．34 5 54【答案与分析】解：过点 P 作 PH ∥BC 交 AB 于 H ，连结 CH ， PF ，∵AP BE ，∴四边形 APEB 是平行四边形， ∴PE ∥AB ， PE ＝AB ，∵四边形 BDEF 是平行四边形， ∴EF ∥BD ， EF ＝BD ，即 EF ∥AB ，∴P ， E ， F 共线，设 BD ＝ a ，∵ BD ＝ 1AB ，∴ PE ＝ AB ＝4 a ，4则 PF ＝ PE － EF ＝ 3 a ， ∵PH ∥BC ，∴S △HBCS △ PBC，∵PF ∥AB ，∴四边形 BFPH 是平行四边形， ∴BH ＝ PF ＝ 3 a ，∵ S △HBC : S △ ABC ＝ BH ： AB ＝ 3 a ： 4 a ＝ 3： 4，∴ S △PBC : S △ABC ＝ 3： 4．【总结升华】本题考察了平行四边形的判断与性质与三角形面积比的求解方法．本题难度较大，注意正确作出协助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比．贯通融会：【变式】已知△ ABC 中， AB ＝ 3， AC ＝ 4，BC ＝ 5，分别以 AB 、 AC 、 BC 为一边在 BC 边同侧作正△ ABD 、正△ ACE 和正△ BCF ，求以 A 、 E 、 F 、D 四点为极点围成的四边形的面积．【答案】证明：∵ AB ＝ 3， AC ＝ 4， BC ＝ 5，∴∠ BAC ＝ 90°∵△ ABD 、△ ACE 和△ BCF 为正三角形，∴ AB ＝BD ＝ AD ，AC ＝ AE ＝CE ， BC ＝ BF ＝ FC ,∠ 1＋∠ FBA ＝∠ 2＋∠ FBA ＝ 60° ∴∠ 1＝∠ 2易证△ BAC ≌△ BDF （SAS ），∴ DF ＝AC ＝ AE ＝4，∠ BDF ＝ 90° 同理可证△ BAC ≌△ FEC∴ AB ＝AD ＝ EF ＝3∴四边形 AEFD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）∵ DF ∥ AE ， DF ⊥ BD延伸 EA 交 BD 于 H 点， AH ⊥ BD ，则 H 为 BD 中点∴平行四边形 AEFD 的面积＝ DF × DH ＝ 4× 3＝ 6.23、在平行四边形 ABCD 中，点 A 1，A 2， A 3， A 4 和 C 1，C 2， C 3， C 4 分别 AB 和 CD 的五均分点，点 B 1，B 2 和 D 1，D 2 分别是 BC 和 DA 的三均分点，已知四边形 A 4B 2C 4D 2 的面积为 1，则平行四边形 ABCD 面积为（） A ．2B ．3C ．5D ．155 3【思路点拨】能够设平行四边形 ABCD 的面积是 S ，依据均分点的定义利用平行四边形 ABCD的面积减去四个角上的三角形的面积，便可表示出四边形 A 4B 2C 4D 2 的面积，进而获得两个四边形面积的关系，即可求解．【答案】 C ；【分析】解：设平行四边形ABCD 的面积是 S ，设 AB ＝ 5 a ，BC ＝ 3 b ．AB 边上的高是 3 x ， BC 边上的高是 5 y ．则 S ＝5 a ?3 x ＝ 3 b ?5 y ．即 a x ＝ b y ＝S．15△AA 4D 2 与△B 2CC 4 全等， B 2C ＝1BC ＝ b ， B 2C 边上的高是4 ?5 y ＝ 4 y ．35则△ AA 4D 2 和△B 2CC 4 的面积是 2 b y ＝ 2S．同理△D 2C 4D 与△A 4BB 2 的面积是S．1515则四边形 A B C D 的面积是 S － 2S － 2S － S － S ＝ 9S ，即 9S ＝ 1，42 42151515151515解得 S ＝ 5．3【总结升华】考察平行四边形的性质和三角形面积计算，正确利用均分点的定义，获得两个四边形的面积的关系是解决本题的重点．种类二、三角形的中位线4、如图，△ ABC 的周长为 26，点 D ，E 都在边 BC 上，∠ ABC 的均分线垂直于 AE ，垂足为 Q ，∠ ACB 的均分线垂直于 AD ，垂足为 P ，若 BC ＝ 10，则 PQ 的长为（）A.3B.2【答案】 C ；【分析】52C.3D.4解：易证△ ABQ ≌ △ EBQ, AB ＝BE ， Q 为 AE 中点，△ACP ≌ △ DCP, AC ＝CD ， P 为 AD 中点， ∴PQ ∥ DE,PQ ＝ 1DE ，2∵AB ＋ AC ＋BC ＝ 26，BC ＝ 10，∴AB ＋ AC ＝BE ＋ CD ＝16＝ BD ＋DE ＋ DE ＋EC ＝ BC ＋ DE ，12【总结升华】本题考察了三角形的中位线定理及等腰三角形的判断，注意培育自己的敏感性，一般出现高、角均分线重合的状况，都需要找到等腰三角形．种类三、多边形内角和与外角和5、若一个多边形的每个外角都等于 60°，则它的内角和等于（）A． 180°B．720°C． 1080° D． 540°【思路点拨】由一个多边形的每个外角都等于 60°，依据 n 边形的外角和为360°计算出多边形的边数 n ，而后依据 n 边形的内角和定理计算即可．【答案】 B ；【分析】解：设多边形的边数为n ，∵多边形的每个外角都等于60°，∴ n ＝360°÷60°＝6，∴这个多边形的内角和＝（6－ 2）× 180°＝ 720°．【总结升华】本题考察了 n 边形的内角和定理：n 边形的内角和＝（n －2）?180°；也考查了 n 边形的外角和为360°．贯通融会：【变式】（ 2016 秋 ?小金县校级期末）一个多边形的每个内角都相等，且一个外角比一个内角大 60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．【答案】解：设内角是 x°，外角是 y°，y x60则获得一个方程组，x y180x60解得．y120而任何多边形的外角是360°，则多边形中外角的个数是360÷ 120=3 ，故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三边形．6、甲、乙两人想在正五边形 ABCDE内部找一点 P，使得四边形 ABPE为平行四边形，其作法以下：（甲）连结 BD、 CE，两线段订交于P 点，则 P 即为所求（乙）先取 CD的中点 M，再以 A 为圆心， AB长为半径画弧，交 AM于 P 点，则 P 即为所求．关于甲、乙两人的作法，以下判断何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确【思路点拨】求出五边形的每个角的度数，求出∠ABP、∠ AEP、∠ BPE的度数，依据平行四边形的判断判断即可．【答案】 C；【分析】解：甲正确，乙错误，52180原因是：如图，∵正五边形的每个内角的度数是＝108°，5AB＝ BC＝ CD＝ DE＝ AE，∴∠ DEC＝∠ DCE＝1×（180°－108°）＝36°，2同理∠ CBD＝∠ CDB＝ 36°，∴∠ ABP＝∠ AEP＝108°－ 36°＝ 72°，∴∠ BPE＝360°－ 108°－ 72°－ 72°＝ 108°＝∠ A，∴四边形ABPE是平行四边形，即甲正确；∵∠ BAE＝108°，∴∠ BAM＝∠ EAM＝54°，∵AB＝ AE＝AP，∴∠ ABP＝∠ APB＝1×（180°－54°）＝63°，∠AEP＝∠APE＝63°，2∴∠ BPE＝360°－ 108°－ 63°－ 63°≠ 108°，即∠ ABP＝∠ AEP，∠ BAE≠∠ BPE，∴四边形ABPE不是平行四边形，即乙错误；【总结升华】本题考察了正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判断的应用，注意：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形．。

(完整版)平行四边形专题讲义

平行四边形专题讲义一、学习目标复习平行四边形、特殊平行四边形性质与判定，能利用它们进行计算或证明. 二、学习重难点重点：性质与判定的运用；难点：证明过程的书写。

三、本章知识结构图1．平行四边形是特殊的；特殊的平行四边形包括、、。

2．梯形（是否）特殊平行四边形，（是否）特殊四边形。

3．特殊的梯形包括梯形和梯形。

4、本章学过的四边形中，属于轴对称图形的有；属于中心对称图形的有。

四、复习过程（一）知识要点1：平行四边形的性质与判定1.平行四边形的性质：（1）从边看：对边，对边；（2）从角看：对角，邻角；（3）从对角线看：对角线互相；（4）从对称性看：平行四边形是图形。

2、平行四边形的判定：（1）判定1：两组对边分别的四边形是平行四边形。

（定义）（2）判定2：两组对边分别的四边形是平行四边形。

（3）判定3：一组对边且的四边形是平行四边形。

（4）判定4：两组对角分别的四边形是平行四边形。

（5）判定5：对角线互相的四边形是平行四边形。

【基础练习】1.已知□ABCD 中，∠B =70°，则∠A =____，∠C =____，∠D =____．2.已知O 是ABCD 的对角线的交点，AC =38 mm ，BD =24 mm,AD =14 mm ，那么△BOC 的周长等于__ __.3.如图1，ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，若AC =8，BD =6，则边AB 长的取值范围是（）. A.1＜AB ＜7 B.2＜AB ＜14 C.6＜AB ＜8 D.3＜AB ＜44.不能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（） A.AB=CD,AD=BC B.ABCD C.AB=CD,AD ∥BC D.AB ∥CD,AD ∥BC5.在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，AE=4，AF=6，ABCD 的周长为40，则ABCD 的面积是（） A 、36 B 、48 C 、 40 D 、24【典型例题】例1、若平行四边形ABCD 的周长是20cm,△AOD 的周长比△ABO 的周长大6cm.求AB,AD 的长. F DA OA B CDOA DDC AB E F M NBE F C AD例2、如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD 的平分线CF 交边AB 于F ，∠ADC 的平分线DG 交边AB 于G 。

初二数学平行四边形知识点归纳

初二数学平行四边形知识点归纳一、平行四边形的定义与性质。

1. 定义。

- 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形用符号“▱”表示，例如平行四边形ABCD记作“▱ABCD”。

2. 性质。

- 边的性质。

- 平行四边形的两组对边分别平行且相等。

即AB∥CD，AD∥BC，AB = CD，AD = BC。

- 角的性质。

- 平行四边形的两组对角分别相等，邻角互补。

即∠A = ∠C，∠B = ∠D，∠A+∠B = 180°，∠B + ∠C=180°等。

- 对角线的性质。

- 平行四边形的对角线互相平分。

即若AC、BD是▱ABCD的对角线，则AO = CO，BO = DO（O为AC、BD交点）。

二、平行四边形的判定。

1. 边的判定。

- 两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定）。

- 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

即若AB = CD，AD = BC，则四边形ABCD是平行四边形。

- 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

例如AB∥CD且AB = CD，则四边形ABCD是平行四边形。

2. 角的判定。

- 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

即若∠A = ∠C，∠B = ∠D，则四边形ABCD是平行四边形。

3. 对角线的判定。

- 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

若AO = CO，BO = DO，则四边形ABCD 是平行四边形。

三、平行四边形的面积。

1. 面积公式。

- 平行四边形的面积 = 底×高，即S = ah（a为底边长，h为这条底边对应的高）。

例如在▱ABCD中，若以AB为底，AB边上的高为h，则S▱ABCD=AB×h。

2. 等底等高的平行四边形面积关系。

- 等底等高的平行四边形面积相等。

如果有▱ABCD和▱EFGH，AB = EF，且它们对应的高相等，那么S▱ABCD = S▱EFGH。

四、特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）与平行四边形的关系。

平行四边形全章复习

D C B A O D C B A DC B A OD C B A 平行四边形全章复习【基础知识回顾】一、平行四边形1、平行四边形的定义：两组对边分别的四边形是平行四边形，平行四边形ABCD 可写成。

2、平行四边形的特质：⑴平行四边形的两组对边分别；如图几何语言为： ∵ ∴ 。

⑵平行四边形的两组对角分别；如图几何语言为：∵ ∴ 。

⑶平行四边形的对角线；如图几何语言为：∵ ∴ 。

3、平行四边形的判定：⑴用定义判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

⑵两组对边分别的四边形是平行四边形。

如图几何语言为：∵ ∴ 。

⑶一组对它的四边形是平行四边形。

如图几何语言为： ∵ ∴ 。

⑷两组对角分别的四边形是平行四边形。

如图几何语言为：∵ ∴ 。

⑸对角线的四边形是平行四边形。

如图几何语言为：∵ ∴ 。

注：特别的：一组对边平行，另一组对边相等的四边形和一组对边相等、一组对角相等的四边形的两个命题都不被保证是平行四边形。

4、平行四边形的面积如图：计算公式S □ = × = × 。

注：1、夹在两平行线间的平行线段，两平行线之间的距离处处。

二、矩形1、定义：有一个角是角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质：⑴矩形的四个角都；⑵矩形的对角线。

3、矩形的判定：⑴用定义判定；⑵有三个角是直角的是矩形；⑶对角线相等的是矩形。

注：1、矩形是对称图形对称轴有条。

2、矩形被它的对角线分成两对全等的三角形。

二、菱形1、定义：有一组邻边的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的性质：⑴菱形的四条边都。

⑵菱形的对角线且每条对角线。

3、菱形的判定：⑴用定义判定；⑵对角线互相垂直的是菱形；⑶四条边都相等的是菱形。

注1、菱形是对称图形，它有条对称轴，分别是。

2、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形。

3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线乘积的来计算4、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形知识点的的题目。

平行四边形的复习全章复习.

2。如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝ 90°，E是AC的中点，EF⊥BD于F，求证： DF＝BF。
A
注意：在已知条件中有直
角三角形及斜边的中点时，常利用斜边的中线是斜边的一半这条性质。
D
E
F
B
C
3.已知：以三角形ABC的三边为边，在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即ΔABD、 ΔBCE、 ΔACF
A
D
O B C
知识联系：等腰直角三角形
二、几种特殊四边形的性质边
平行四边形矩形
对边平行且相等对边平行且相等
角
对角相等邻角互补四个角都是直角
对角线
两条对角线互相平分两条对角线互相平分且相等
对称性
非轴对称轴对称
菱形对边平行，四
条边都相等
对角相等邻角互补
两条对角线互相垂直平分，轴对称每条对角线平分一组对角
）
C 一组对边平行，一组对角相等 D一组对边平行，另一组对边相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（
A 对角线互相平分 B对角线相等
）。
C 对角线平分一组对角
D对角线互相垂直。
3.顺次连结四边形各边中点所得到的四边形一定是（）
(A)矩形。 (B)正方形。(C ) 菱形。(D)平行四边形
4.下列性质中，平行四边形不一定具备的是（） A 对角相等 B 邻角互补 C 对角互补 D内角和是360°
1 2
正
方
形
定义：一个角为直角 + 一组邻边相等 + 平行四边形 = 正方形。
性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质。
1、正方形四个角都是直角，四条边都相等。 2、正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。 3。轴对称图形判定：1、一组邻边相等 + 矩形 = 正方形 2、一角为90°+ 菱形 = 正方形

中心对称图形—平行四边形知识点复习

平行四边形知识点复习：一、旋转1、图形旋转的概念：在平面内，将一个图形绕一个转动一定的，这样的图形运动称为，这个定点称为，旋转的角度称为 .2、图形旋转的性质：（1）旋转前后的图形 .（2）对应点到旋转中心的距离 .（3）每一对对应点与旋转中心的连线所成的角 .3、中心对称：概念：把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形，那么称这两个图形关于这点，也称这两个图形成．这个点叫做．性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过，且被对称中心．4、中心对称图形：定义：把一个图形绕旋转，如果旋转后的图形能够与，那么这个图形叫做，这个点就是 .二、平行四边形：1、平四边形的概念：2、平行四边形的性质：边：角：对角线：对称性：平行四边形的面积：3、平四边形的判定方法：（1）（2）（3）（4）三、矩形：1、矩形的概念：2、矩形的性质：矩形具有的所有性质，也有平行四边形没有的性质.边：角：对角线：对称性：3、直角三角形斜边上的等于斜边的一半.直角三角形中30°角所对的等于斜边的一半.4、矩形的判定：（1）（2）（3）四、菱形：1、菱形的概念：2、菱形的性质：菱形具有的所有性质，也有平行四边形没有的性质.边：角：对角线：对称性：菱形的面积= =四、正方形:1、正方形的概念：2、正方形的性质：正方形具有、、的所有性质.边：角：对角线：对称性：正方形的面积= =3、正方形的判定：（1）（2）六、中位线：1、中位线的概念：2、中位线的性质：。

平行四边形复习提纲

《平行四边形》复习纲要一、知识网络归纳四边形的“全家福”二、重要知识总结1、平行四边形（1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）平行四边形的性质：对称性：边：角：对角线：（3）补充结论：若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积；两平行线间的距离处处相等．2、矩形（1）矩形的定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质：具有平行四边形的一切性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形；又是中心对称图形，还是旋转对称图形；3、菱形（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质：具有平行四边形的一切特征；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，又是中心对称图形。

4、正方形（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形；正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；既是矩形又是菱形的四边形是正方形．（2）正方形的性质：正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切特征．边：四边相等、邻边垂直、对边平行；角：四角都是直角；对角线：①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；对称性：是轴对称图形，有4条对称轴．；是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

5、梯形（1）梯形的定义与性质：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形；梯形是特殊的四边形所，具有四边形所具有的一切性质，此外它的上下两底平行．（2）等腰梯形的定义与性质：两腰相等的梯形是等腰梯形；等腰梯形在同一底边上的两个内角相等，两腰相等，两底平行，两对角线相等，两底平行，两对角线相等，是轴对称图形，只有一条对称轴（底的中垂线就是它的对称轴）．（3）直角梯形有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．（4）解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：①“作高”：使两腰在两个直角三角形中．②“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中．③“廷腰”：构造具有公共角的两个三角形．④“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形．综上，解决梯形问题的基本思路：梯形问题分割、拼接转化三角形或平行四边形问题，这种思路常通过平移或旋转来实现．三、典型例题解析例1 如图，已知平行四边形ABCD ，AE 平分∠DAB 交DC 于E ，BF 平分∠ABC 交DC 于F ，DC=6cm ，AD=2cm ，求DE 、EF 、FC 的长．例2 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝5，AB ＝7，BC ＝12，求∠B 的度数．例3 如图所示，矩形ABCD 的两条对角线交于O 点，∠AOD=0120,AB=6cm,求AC 的长。

12.平行四边形全章复习与巩固讲义

平行四边形全章复习与巩固【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2．性质：（1）对边平行且相等；（2）对角相等；邻角互补；（3）对角线互相平分；（4）中心对称图形. 3．面积：高底平行四边形⨯=S4．判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．知识点角：（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）任意两组邻角分别互补的四边形是平行四边形．边与角：（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线：（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形. 要点诠释：平行线的性质：（1）平行线间的距离都相等；（2）等底等高的平行四边形面积相等. 要点二、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形. 3．面积：宽＝长矩形 S４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形. （2）对角线相等的平行四边形是矩形. （3）有三个角是直角的四边形是矩形. 要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．要点三、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点四、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.类型一、平行四边形例1、如图，在口ABCD中，点E在AD上，连接BE，DF∥BE交BC于点F，AF与BE交于点M，CE与DF交于点N．求证：四边形MFNE是平行四边形．举一反三：【变式】如图，等腰△ABC中，D是BC边上的一点，DE∥AC，DF∥AB,通过观察分析线段DE，DF，AB三者之间有什么关系，试说明你的结论．典型例题例2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．举一反三：【变式】如图1，口ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O，与AD，BC分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH．（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）如图2，若EF∥AB，GH∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形（四边形AGHD除外）．类型二、矩形例3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC．①求证：CD＝AN；②若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．例4、如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，求EF的长.举一反三：【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB ＝ 3cm，cm．BC ＝ 5cm，则重叠部分△DEF的面积是__________2类型三、菱形例5、如图,在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠CDF等于( ).A.80°B.70°C.65°D.60°举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．类型四、正方形例6、如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA 上，AH=2，连结CF．（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；（2）若DG=6，求△FCG的面积．举一反三：【变式】如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点，连接EF、FG、GH、HE，则四边形EFGH为________形．(1)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是菱形．(2)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是矩形．(3)当四边形满足________条件时，四边形EFGH是正方形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性．课后练习一.选择题 1. 如图，□ABCD 中，AB=3cm ，AD=4cm ，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，则BE 的长等于（） A.2cm B.1cm C.1.5cm D.3cm2．在口ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝4cm ，∠A ＝120°，则口ABCD 的面积是( ) cm ². A.33 B.36 C.315 D.3123.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 是对角线AC 上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF ；②DE=BF ；③∠ADE=∠CBF ；④∠ABE=∠CDF ．其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）．A ．测量对角线是否相互平分B ．测量两组对边是否分别相等C ．测量一组对角是否都为直角D ．测量其中三个角是否都为直角5.正方形具备而菱形不具备的性质是（）A. 对角线相等；B. 对角线互相垂直；C. 每条对角线平分一组对角；D. 对角线互相平分.6. 如图所示，口ABCD 的周长为16cm ，AC 、BD 相交于点O ，OE ⊥AC ，交AD 于点E ，则△DCE 的周长为( )．A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm7. 矩形对角线相交成钝角120°，短边长为2.8cm，则对角线的长为（）A．2.8cm B．1.4cm C．5.6cm D．11.2cm8. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为（）A．16a B．12a C．8a D．4a二.填空题9．如图，若口ABCD与口EBCF关于B，C所在直线对称，∠ABE＝90°，则∠F＝______．10．矩形的两条对角线所夹的锐角为60 ，较短的边长为12，则对角线长为__________.11．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为______．12.如图，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC边上的点，DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形AFDE的周长是．13.如图, 有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角形的直角顶点落在点A，两条直角边分别与CD交于点F，与CB的延长线交于点E，则四边形AECF的面积是 _________.cm，对角线AC＝4cm，则菱形的边长是______cm．14．已知菱形ABCD的面积是12215.菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB＝4cm．那么，菱形ABCD的面积是________，对角线BD的长是_________．16. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠AOD=120°，AB=1，则AC= ,BC = .三.解答题17.已知，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，求四边形EFGH的周长．18. 如图，在口ABCD中，AC、BD交于点O，AE⊥BC于E，EO交AD于F，求证：四边形AECF是矩形．19.如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于F，连接DE．证明：DF=DC．20. 已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE ＝ AF．（1）求证：BE ＝ DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM ＝ OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．。

平行四边形性质的复习

平行四边形的性质一、课堂笔记知识点一、平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.诠释：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. 知识点二、平行四边形的性质1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.诠释：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.知识点三、平行线间的距离1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.（2）平行线间的距离处处相等任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的，都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度. 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的.2.平行四边形的面积：平行四边形的面积＝底×高；等底等高的平行四边形面积相等.二、经典例题考点一、平行四边形的定义、表示及相关概念例1.如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形的个数共有（）A．12个B．9个C．7个D．5个考点二、平行四边形中的角与边的性质例2.如图，在平行四边形ABCD中，边AB在x轴上，顶点D在y轴上，AB=5，AD=4，点A 的坐标为（﹣1，0），求B、C、D点的坐标．例3.在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O，求证：OA=OE．例4.如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点，延长CE交BA的延长线于点F．（1）求证：AB=AF；（2）若BC=2AB，∠BCD=110°，求∠ABE的度数．例5.已知：如图，在▱ABCD中，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AB∥CD，点F在AB的延长线上，且BF=AB，联结FD交BC于点E．（1）证明：△DCE≌△FBE；（2）若EC=3，求AD的长．例6.已知：如图，A为EF上一点，四边形ABCD是平行四边形且∠EAD=∠BAF．（1）求证：△CEF是等腰三角形．（2）△CEF的哪两边之和恰好等于平行四边形ABCD的周长？证明你的结论．考点三、平行线的性质定理及推论例7.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别为E、F，∠ADC=60°，BE=4，CF=2．（1）从对称性质看，▱ABCD是_________对称图形；（2）求平行四边形ABCD的周长．例8.如图，将▱ABCD分成3块，已知图形中阴影部分AEFG是平行四边形，面积是12平方厘米，请分别求出图中三角形ABG和梯形CDEF的面积．例9.如图，点P是▱ABCD上一点，已知S△ABP＝3，S△PCD＝1，求▱ABCD的面积．例10.如图，m∥n，AD∥BC，CD∶CF＝2∶1，如果△CEF的面积为10，求四边形ABCD 的面积．例11. 如图，在▱ABCD中，F，E分别是BA，DC延长线上的点，且AE∥CF，交BC，AD于点G，H.求证：EG＝FH.例12.如图，把▱ABCD分成4个小平行四边形，已知▱AEOG，▱BFOG，▱CFOH的面积分别为8，10，30，求▱OEDH的面积．考点四、平行四边形对角线的性质例13.已知点A（3，0）、B（-1，0）、C（0，2），以A、B、C为顶点画平行四边形，你能求出第四个顶点D吗？二、经典例题答案考点一、平行四边形的定义、表示及相关概念例1解：根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，则图中的四边AEOH，HOFD，EBNO，ONCF，AEFD，EBCF，ABNH，HNCD，ABCD都是平行四边形，共9个．故选B．考点二、平行四边形中的角与边的性质例2解：∵在平行四边形ABCD中，AB=5，AD=4，点A的坐标为（﹣1，0），∴AO=1，BO=5﹣1=4，DO==故B（4，0），D（0，），由平行四边形的性质得：AB=CD=5，故C（5，）．例3.证明：平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD对折，使点C落在E处，可得∠DBE=∠ADB，∠A=∠C，∴OB=OD，在△AOB和△EOD中，，∴△AOB≌△EOD（AAS），∴OA=OE．例4.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∴∠DCE=∠F，∠FBC+∠BCD=180°，∵E为AD的中点，∴DE=AE．在△DEC和△AEF中，，∴△DEC≌△AEF（AAS）．∴DC=AF．∴AB=AF；（2）解：由（1）可知BF=2AB，EF=EC，∵∠BCD=110°，∴∠FBC=180°﹣110°=70°，∵BC=2AB，∴BF=BC，∴BE平分∠CBF，∴∠ABE=∠FBC=×70°=35°．例5.（1）证明：∵AB∥CD，∴∠FBE=∠C，∵AB=DC，AB=BF，∴BF=DC，在△DCE和△FBE中，，∴△DCE≌△FBE（AAS）；（2）解：∵△DCE≌△FBE，∴BE=EC=3，∴AD=BC=6．例6.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥FC，AB∥EC，∴∠FAB=∠E，∠EAD=∠F．又∵∠EAD=∠BAF，∴∠E=∠F．∴△CEF是等腰三角形．（2）结论：CE+CF=平行四边形ABCD的周长．证明：由（1）可知：∠FAB=∠E，∠EAD=∠F，∴∠F=∠BAF，∠DAE=∠E．∴AB=BF，AD=DE，∴▱ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=BF+BC+CD+DE=CE+CF．考点三、平行线的性质定理及推论例7.【解】（1）中心；（2）40试题解析：1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴对角线互相平分，∴O为旋转中心，即平行四边形ABCD是中心对称图形，（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D=60°，AB=CD，AD=BC．∵AE⊥BC，∵BE=4，∴AB=8，∴CD=AB=8，∵CF=2，∴DF=6，∵AF⊥DC，∠D=60°∴在Rt△ADF中，AD=12，∴平行四边形ABCD的周长=2（12+8）=40．例8.【解】解：分别过点A作AM⊥BC于M，CN⊥AD于N，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ＝9 cm ，∴AM ＝CN ，∵S ▱AEFG ＝GF·AM ，∴AM ＝S ▱AEFG GF ＝123＝4(cm )， ∴CN ＝AM ＝4 cm ，∵四边形AEFG 是平行四边形，∴AE ＝GF ＝3 cm ，∴DE ＝6 cm ，∴S △ABG ＝12BG·AM ＝6(cm 2)， S 梯形CDEF ＝12(CF ＋DE)·CN ＝18(cm 2) 例9.解：过点B 作BM ⊥AD ，交DA 的延长线于点M ，过点C 作CN ⊥AD 于点N ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴AM ＝CN ，∴S △ABP ＋S △PCD ＝12AP·BM ＋12DP ·CN ＝12AP·BM ＋12DP·BM ＝12BM(AP ＋DP)＝12AD·BM ＝12S ▱ABCD ，∴S ▱ABCD ＝2(S △ABP ＋S △PCD )＝2(3＋1)＝821例10.解：过点A 作AG ⊥n 于点G ，EH ⊥n 于点H ，∵m ∥n ，∴AG ＝EH ，∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，又∵S △CEF ＝12CF·EH ＝10，CD ∶CF ＝2∶1， ∴S ▱ABCD ＝CD·AG ＝2CF·EH ＝40例11.解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∵AB ∥CD ，AE ∥CF ，∴AE ＝CF ，∵AD ∥BC ，AE ∥CF ，∴AG ＝CH ，∴AE －AG ＝CF －CH ，即EG ＝FH例12.解：设平行线AD ，GH 之间的距离为h 1，平行线GH ，BC 之间的距离为h 2，则S ▱OEDH S ▱OHCF ＝OH·h 1OH ·h 2＝ h 1h 2，S ▱OEAG S ▱OGBF ＝OG·h 1OG ·h 2＝h 1h 2，∴S ▱OEDH S ▱OHCF ＝S ▱OEAG S ▱OGBF，即S ▱OEDH 30＝810，∴S ▱OEDH ＝24 考点四、平行四边形对角线的性质例13.。

完整版平行四边形全章知识点总结

完整版平行四边形全章知识点总结哎呀呀，让我们一起来瞧瞧完整版平行四边形全章知识点总结吧！第一，平行四边形的定义可得好好记住呀！两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

这可是认识平行四边形的基础呢！嘿，那平行四边形都有啥性质呀？平行四边形的对边相等，比如说，AB 等于CD，AD 等于BC 。

平行四边形的对角相等，∠A 等于∠C ，∠B 等于∠D 。

还有哦，平行四边形的对角线互相平分，AC 和BD 相交于点O ，那OA 就等于OC ，OB 就等于OD 。

第二，平行四边形的判定方法也很重要呢！一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

对角线互相平分的四边形是平行四边形。

哇，这么多判定方法，可得好好理解，才能熟练运用呀！第三，咱们再来说说平行四边形的面积。

平行四边形的面积等于底乘以高，用字母表示就是S = ah （a 表示底，h 表示高）。

哎呀呀，可别小瞧这个公式，做题的时候经常用到呢！第四，平行四边形具有不稳定性。

生活中就有很多这样的例子，像伸缩门，就是利用了平行四边形的不稳定性。

想想看，是不是很神奇呀？第五，平行四边形中还常常涉及到角度的计算。

比如说，已知平行四边形的一个内角，就能通过对角相等、邻角互补的性质来求出其他内角的度数。

这在解题中可经常用到哟！第六，在复杂的图形中，识别平行四边形也是一项重要技能。

要仔细观察图形中的边和角的关系，判断是否符合平行四边形的定义和判定条件。

第七，关于平行四边形的周长计算，那就是相邻两边之和乘以 2 。

这是不是很简单呢？总之呀，平行四边形这一章节的知识点可不少呢！只有把这些知识点都掌握透彻了，做起题来才能得心应手呀！加油，小伙伴们，相信你们一定可以学好平行四边形的知识！。