简单的线性规划应用题解析

简单的线性规划应用题解析

1．某人有楼房一幢，室内面积共180㎡,拟分隔两类房间作为旅游客房．大每间面积为18㎡，可住游客5名，每名游客每天住宿费为40元；小房间每间面积为15㎡，可住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？

设应隔出大、小房间分别为x ,y 间，此时收益为z 元，则

1815180

1000600800000

x y x y x

y +≤⎧⎪+≤⎪

⎨

≥⎪⎪≥⎩ 200150z x y =+

将上述不等式组化为

6560

534000

x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪

⎨

≥⎪⎪≥⎩ 作出可行域，如图⑴，作直线l:200x+150y=0,即l:4x+3y=0. 将直线l 向右平移，得到经过可行域的点B ，且距原点最远的直线l 1. 解方程组

6560

5340

x y x y +=⎧⎨

+=⎩ 图⑴

得最优解

20

7

60

7

2.9

8.6 x

y

=≈

⎧

⎨

=≈

⎩

但是房间的间数为整数，所以，应找到是整数的最优解．

①当x=3时，代入5x+3y=40中，得401525

338

y-

==>，得整点（3，8），此时z=200×3＋150×8=1800（元）;

②当x=2时,代入6x+5y=60中，得601248

559

y-

==>，得整点（2，9），此时z=200×2＋150×9=1750（元）；

③当x=1时,代入6x+5y=60中，得60654

5510

y-

==>，得整点（1，10）,此时z=200×1＋150×10=1700（元）；

④当x=0时,代入6x+5y=60中，得60

512

y==，得整点（0，12），此时

z=150×12=1800（元）．

由上①～④知，最优整数解为（0，12）和（3，8）．

答：有两套分隔房间的方案：其一是将楼房室内全部隔出小房间１２间；其二是隔出大房间３间，小房间８间，两套方案都能获得最大收益为１８００元．

2．某家具厂有方木料90m3,五合板60㎡，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3、五合板2㎡，生产每个书橱需要方木料0.2 m3、五合板1㎡，出售一张书桌可获得利润80元，出售一个书橱可获得利润120元．如果只安排生产书桌，可获利润多少？如果只安排生产书橱，可获利润多少？怎样安排生产可使所得利润最大？

【解析】将已知数据列成下表:

用完五合板，此时获利润为80×300=24000（元）；

⑵只生产书橱因为90÷0.2=450，600÷1=600，所以，可产生450个书橱，用完方木料.此时获利润为120×450=54000（元）；

⑶若既安排生产书桌，也安排生产书橱 设安排生产书桌x 张，安排生产书橱y 个,可获利润z 0.10.290

260000

x y x y x y +≤⎧

⎪+≤⎪⎨

≥⎪⎪≥⎩

80120z x y =+,作出

可行域如图⑵，并作直

线l :80x+120y=0,即 2x+3y=0.将直线l 向右平移，得到经过可行

域的定点B 且距原点最远的直线l 1.

解方程组

0.10.290

2600

x y x y +=⎧⎨

+=⎩ 得最优解

100

400x y =⎧⎨

=⎩

此时，8010012040056000z =⨯+⨯=（元）.

答：由上面⑴⑵⑶知：只安排生产书桌，可获利润24000元；只生产书

橱，可获利润为54000元；当生产书桌100张，书橱400个时，刚好用完方木料和五合板，且此时获得最大利润，为56000元.

(300,0),(0,600)

图⑵