构造辅助函数
浅析一元微积分学中的构造辅助函数法
浅析一元微积分学中的构造辅助函数法
一元微积分学中的构造辅助函数法
一、什么是构造辅助函数法？
构造辅助函数法是一元微积分学的简易方法。
它的作用是帮助学生快速找出一元微积分的原函数。
构造辅助函数法把几何形状分解成可以快速被积分的函数，从而实现快速求微积分的目的。
二、构造辅助函数法的运用
构造辅助函数法在一元微积分学中被广泛应用。
一般来说，不论曲线形状是什么，都可以用构造辅助函数法来积分。
具体来说，学习者要做的就是观察图形，分解出可以被分解处理的函数，由此能够获得较为准确的结果。
例如，当内接圆的半径是a的时候，可以把它分解为一个关于y的抛物线，然后通过微积分的方法计算出半径为a的内接圆的面积。
三、构造辅助函数法的优势
1.构造辅助函数法相比其它方法较快。
构造辅助函数法可以让学生在计算微积分的过程中少把精力花在一般的函数上，而多放在观察函数的几何形状上，从而更快的获得结果。
2.构造辅助函数法能够更好的理解函数的几何形状。
构造辅助函数法是一个抽象的概念，
但是它可以让学生用简单的描述来更好的理解一元函数的几何形状。
3.构造辅助函数法可以更快的求出极限。
用构造辅助函数法可以更加有效的求出一元微积分变量x进行极限求法，而且更容易理解。
总结
以上就是构造辅助函数法在一元微积分学中的用法，该方法的优势是方便、高效，可以辅助学生们解决许多一元微积分的问题。
数学证明中的构造辅助函数方法
数学证明中的构造辅助函数方法摘要数学中运用辅助函数就像是在几何中添加辅助线，其应用是非常广泛的. 构造辅助函数是数学命题推证的有效方法，是转化问题的一种重要手段。
遇到特殊的问题时，用常规方法可能比较复杂.这时就需要构造辅助函数，就如同架起一座桥梁，不需要大量的算法就可以得到结果.如何构造辅助函数是数学分析解题中的难点，看似无章可循，但仔细研究不失基本方法和一般规律。
文章通过对微分中值定理证明中，关于构造辅助函数方法的总结和拓展，给出了多种形式的辅助函数；通过详尽的实例，讲明了辅助函数在不等式、恒等式、函数求极限、讨论方程的根及非齐次线性微分方程求解中的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造函数法的一些思路.关键词辅助函数；中值定理；恒等式与不等式；函数表达式；极值1.引言数学中，不等式与等式的证明、微分中值定理、拉格朗日条件极值、线性微分方程求解公式等，都是通过构造一个辅助函数来完成推证的，有时候构造辅助函数也是求证数学命题的简便而有效的方法之一，掌握构造辅助函数证明数学命题的方法的关键是要对“数学现象”善于观察，联想和发现问题，根据直观的结论倒推构造什么样的辅助函数.基本思路是从一个目标出发，联想起某种曾经遇到过的方法、手段，而后借助于这些方法和手段去接近目标，或者从这些方法和手段出发，去联想别的通向目标的方法和手段，这样继续下去，直到达到把问题归结到一个明显成立的结构上为止.构造辅助函数实质上就是分析法的一种技巧，也是数学中的一个难点，值得重视的是，在证明命题的过程中要不断研究问题的本质，从而寻求构造辅助函数的方法，文章重点分析了微分中值定理的证明中辅助函数的构造方法与技巧，进而应用到其他一般命题的证明中.2.微分中值定理证明中构造辅助函数的方法与技巧2.1 拉格朗日（Lagrange ）中值定理辅助函数的作法定理1（Rolle ）：若函数()f x 满足如下条件：（i ）()f x 在闭区间[,]a b 上连续； （ii ）()f x 在开区间(,)a b 内可导； （iii ）()()f a f b =；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=.定理2（Lagrange ）：若函数()f x 满足如下条件：（i ）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（ii ）()f x 在开区间(,)a b 内可导；则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()()()f b f a f b aξ-'=- 显然，特别当()()f a f b =时，本定理的结论即为Rolle 定理的结论。
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法微分中值定理应用中，怎么寻找辅助函数，是比较头疼的一件事。
今天笔者就介绍下三种方式帮忙寻找到这个函数。
首先声明：这三种方式也不是万能的，但对常见题目还是挺有帮助的，而且学霸们应该都知道这些方法，故慎入。
因此本文目的是向还没留意过这些方法的同学做普及，尤其是线下笔者所带的那些可爱的学生们。
至于还有些仗着自己有点学识就恨不得鄙视这个、鄙视那个，恨不得日天日地日地球的所谓学霸请自行绕道。
一、积分原函数法具体方法简述：将要证明的式子整理为φ(ξ)=0 （一般不包含分式），然后令 F′(ξ)=φ(ξ) ，对两边式子分别积分，则有 F(ξ)=∫φ(ξ)dξ，那么F(x)就是我们所求的辅助函数。
说白了，就是将所证明的表达式进行积分还原，如果能够还原成功，那么成功找到的这个F(x)就是我们苦苦寻找的辅助函数。
还不懂？没事，举两个例子。
例1：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且 g′(x)≠0 ，证明：在（a,b）存在ξ，使得 f(ξ)−f(a)g(b)−g(ξ)=f′(ξ)g′(ξ) 。
解析：这是非常常见的一道题。
估计即使做过了这道题，还有很多同学很迷惑，解答中的辅助函数到底是咋构建出来的。
其实利用原函数法，很容易就找到这个辅助函数了。
首先先所证明的分式整理成易观的式子，如下：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)然后我们令：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)好，对上式两边进行积分，如下：F(ξ)=∫g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)dξ=∫f(ξ)dg(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−∫g(ξ)df(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)所以我们要寻找的辅助函数就为：F(x)=f(x)g(x)−f(a)g(x)−g(b)f(x)很容易验证：F(a)=F(b)=−f(a)g(b)于是根据罗尔定理，在(a,b)上存在一点ξ，使得 F′(ξ)=0 ，也就是：g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g′(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)=0整理便可得题目中的式子，因此原题得证。
数学证明中的构造辅助函数方法
数学证明中的构造辅助函数方法在数学证明中，当我们需要证明一个命题或者解决一个难题时，有时候需要借助一些额外的工具或函数来进行推导和证明，这些工具或函数就称为辅助函数。
构造辅助函数是一种常用的解题方法，它能够将原问题转化为更容易处理的新问题，通过解决新问题来获得原问题的解决。
构造辅助函数的方法通常分为以下几种：1.构造差函数：当需要证明一个函数f(x)在某个区间内单调递增或递减时，可以通过构造差函数F(x)=f(x+h)-f(x)来证明。
如果F(x)大于0，则f(x)递增，如果F(x)小于0，则f(x)递减。
2.构造积函数：当需要证明一个函数f(x)在某个区间内取得极值时，可以通过构造积函数P(x)=f(x)g(x)来证明。
其中g(x)是一个与f(x)无关的函数，通过求解P'(x)=0来找到极值点。
3.构造和函数：当需要证明一个函数f(x)在某个区间内周期性变化时，可以通过构造和函数S(x)=f(x)+f(x+T)来证明。
其中T为f(x)的周期，通过求解S'(x)=0来找到周期性变化的特征。
4.构造对数函数：当需要证明一个函数f(x)在某个区间内与对数函数有相似性质时，可以通过构造对数函数L(x)=lnf(x)来证明。
通过求解L'(x)=1/f'(x)来找到f(x)的变化规律。
在使用构造辅助函数的方法时，需要注意以下几点：1.要根据题目的具体问题进行合理构造，确保辅助函数与原问题有紧密联系。
2.要明确构造的辅助函数的性质和特征，以便进行后续的推导和证明。
3.要注意辅助函数的取值范围和定义域，确保推导和证明的正确性。
4.要注意辅助函数与原问题的等价性，确保最终能够得出原问题的结论。
下面给出一个具体的例子来说明构造辅助函数的方法。
例：证明当x>1时，不等式lnx<(x-1)/（x-2）恒成立。
证明：令f(x)=lnx-(x-1)/（x-2），则f'(x)=1/x-1/（x-2）^2=(x-1)^2/（x （x-2））^2>0，所以f(x)在(1,+∞)上单调递增，又因为f(1)=0，所以当x>1时，f(x)>0，即原不等式恒成立。
辅助函数构造
辅助函数构造
辅助函数构造是一种软件技术，允许软件程序员以更加有效的方式编写程序。
与基础类似，它不是一种基础构造，而是一种补充构造，程序员可以用它来更轻松地实现特定结构的特定功能。
辅助函数构造的最大优势是它可以帮助软件程序员更轻松地实
现特定的功能。
它把原本需要更复杂的程序结构和更复杂的代码分解成一系列更容易理解的步骤，使软件程序员能够更快地完成任务并实现自己的思路。
另外，辅助函数构造还有助于开发维护容易和管理可靠的软件系统。
它可以帮助改善软件系统的可读性，使软件构建变得更容易维护和更可靠。
例如，软件程序员可以使用辅助函数来规范软件程序的语法，使它更易于理解和管理。
此外，辅助函数构造还可以帮助软件程序员更容易地重用特定的功能。
它可以帮助程序员实现最佳实践，而不需要重复编写相同的代码，这样可以节省大量时间和精力。
因此，软件工程师可以用少量的时间和精力开发出高质量的软件产品。
辅助函数构造还可以帮助软件工程师更容易地实现复杂的功能。
因为它们把复杂的程序结构分解成更容易理解的步骤，软件工程师可以更好地理解并处理复杂问题，并实现该功能。
最后，辅助函数构造在软件开发过程中可以帮助改善代码质量。
由于它可以帮助改善软件程序的可读性，软件工程师可以更轻松地查看代码，更快速地解决问题，并且可以更好地控制软件产品的质量。
总之，辅助函数构造是一种重要的软件技术，能够帮助软件程序员更快、更高效地实现特定功能。
它可以帮助改善软件程序的可读性，使软件程序员可以更容易地查看、管理和维护软件系统，从而提高软件开发的效率。
辅助函数的构造
4ax3 3bx2 2cx （a b c） 0 在 ( 0, 1) 内至少有一个根.
分析： 上述两个方程的左端构成的函数 g( x ) 在所给的
闭区间上都是连续，在开区间内可导的. 但例 2 中 g(0) g(a b) b a[1 sin( a b)] 0 ，
例 4：设 f ( x ) 在区间 [a , b] 上连续，在 (a, b) 内可导， 证明：在 (a , b) 内至少存在一个 ，使
bf ( b ) a f ( a ) f ( ) f ( ) ba
------------------------------------------bf ( b ) a f ( a ) [ xf ( x ) ] 【分析】即证 ba
bf ( b ) a f ( a ) f ( ) f ( ) ba bf ( b ) a f ( a ) bf ( b ) kb af ( a ) ka k， 【分析】令 ba
显然，这是一个对称式( a 与 b 互换等式不变)
故作辅助函数 F ( x ) xf ( x ) kx xf ( x )
由零点定理：至少存在一点 (0, a b ) ，
使得 F ( ) 0 ；
由(1)、(2)即知 是方程 x a sin x b 0 ( a , b 0 ) 在 ( 0, a b] 上的正根.
4 3 2 F ( x ) ax bx cx (a b c) x , 例 3 证明：设
(3) 分析关于端点的代数表达式是否为对称式或轮换对称式，
若是，只要把端点的 a 改成
x ，相应的函数值 f (a ) 改成
难点2 构造辅助函数求解导数问题
难点2 构造辅助函数求解导数问题1.“作差(商)法”构造函数当试题中给出简单的基本初等函数,例如f(x)=x 3,g(x)=ln x,要证明在某个取值范围内不等式f(x)≥g(x)成立时,可以构造函数h(x)=f(x)-g(x)或φ(x)=g(x)-f(x),证明h(x)min ≥0或φ(x)max ≤0即可,在求最值的过程中,可以利用导数.此外,在能够说明g(x)>0(f(x)>0)的前提下,也可以构造函数h(x)=,证明h(x)min ≥1(0<φ(x)max ≤1).典例1 已知函数f(x)=e x -ax(a 为常数)的图象与y 轴交于点A,曲线y=f(x)在点A 处的切线斜率为-1.(1)求a 的值及函数f(x)的极值;(2)证明:当x>0时,x 2<e x ;(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x 0,使得当x∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<ce x .解析 (1)由f(x)=e x -ax 得f '(x)=e x -a,则f '(0)=1-a=-1,得a=2.所以f(x)=e x -2x, f '(x)=e x -2,令f '(x)=0,得x=ln 2.所以,当x<ln 2时, f '(x)<0, f(x)单调递减;当x>ln 2时, f '(x)>0, f(x)单调递增. 故当x=ln 2时, f(x)有极小值且极小值为f(ln 2)=e ln 2-2ln 2=2-ln 4, f(x)无极大值.(2)证明:令g(x)=e x -x 2,则g'(x)=e x -2x,由(1)得g'(x)≥f(ln 2)>0,所以g(x)为增函数,因此,当x>0时,g(x)>g(0)=1>0,即x 2<e x .(3)证明:首先证明当x∈(0,+∞)时,恒有x 3<e x .证明如下: 令h(x)=x 3-e x (x∈(0,+∞)),则h'(x)=x 2-e x ,由(2)知,当x>0时,x 2<e x ,从而h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)上单调递减,所以h(x)<h(0)=-1<0,即x 3<e x .取x 0=,当x>x 0时,有x 2<x 3<e x ,因此,对任意给定的正数c,总存在x 0,当x∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<ce x .点拨在本例第(2)问中,发现“x2,e x”具有基本初等函数的基因,故选择对要证明的“x2<e x”构造函数,得到“g(x)=e x-x2”;第(3)问中,必须结合第(2)问的结论,证明“x3<e x”,于是构造函数“h(x)=x3-e x”.对点练函数f(x)=ln x+x2+ax(a∈R),g(x)=e x+x2,若对于任意的x∈(0,+∞),总有f(x)≤g(x)成立.求实数a的取值范围.解析f(x)≤g(x)⇒e x-ln x+x2≥ax,因为x>0,所以a≤对于任意的x>0恒成立,设φ(x)=(x>0),φ'(x)==,∵x>0,∴当x∈(0,1)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增,∴φ(x)≥φ(1)=e+1,∴a≤e+1.2.“拆分法”构造函数当所要证明的不等式由几个基本初等函数通过相乘以及相加的形式组成时,如果对其直接求导,得到的导函数往往给人一种“扑朔迷离”“不知所措”的感觉.这时可以将原不等式合理拆分为f(x)≤g(x)的形式,进而证明f(x)max ≤g(x)min即可,此时注意配合使用导数工具.在拆分的过程中,一定要注意合理性的把握,一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准.典例2 设函数f(x)=ae x ln x+,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线为y=e(x-1)+2.(1)求a,b;(2)证明: f(x)>1.解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=ae x+,依题意得解得a=1,b=2.(2)证明:由(1)知f(x)=e x ln x+,从而f(x)>1等价于xln x>xe-x-.构造函数g(x)=xln x(x>0),则g'(x)=1+ln x,所以当x∈时,g'(x)<0,当x∈时,g'(x)>0,故g(x)在上单调递减,在上单调递增,从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g=-.构造函数h(x)=xe-x-(x>0),则h'(x)=e-x(1-x),所以当x∈(0,1)时,h'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,故h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=-.综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.点拨对于第(2)问的证明,若直接构造函数h(x)=e x ln x+(x>0),求导以后不易分析,因此先将不等式“e x ln x+>1”合理拆分为“xln x>xe-x-”,再分别对左右两边构造函数,进而达到证明原不等式的目的.对点练(2017山东,20,13分)已知函数f(x)=x3-ax2,a∈R.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3, f(3))处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.解析(1)由题意知f '(x)=x2-ax,所以当a=2时, f(3)=0, f '(x)=x2-2x,所以f '(3)=3,因此,曲线y=f(x)在点(3, f(3))处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.(2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,所以g'(x)=f '(x)+cos x-(x-a)sin x-cos x=x(x-a)-(x-a)sin x=(x-a)(x-sin x),令h(x)=x-sin x,则h'(x)=1-cos x≥0,所以h(x)在R上单调递增.因为h(0)=0,所以当x>0时,h(x)>0;当x<0时,h(x)<0.①当a<0时,g'(x)=(x-a)(x-sin x),当x∈(-∞,a)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(a,0)时,x-a>0,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以当x=a时,g(x)取到极大值,极大值是g(a)=-a3-sin a,当x=0时,g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a.②当a=0时,g'(x)=x(x-sin x),当x∈(-∞,+∞)时,g'(x)≥0,g(x)单调递增.所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值.③当a>0时,g'(x)=(x-a)(x-sin x),当x∈(-∞,0)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(0,a)时,x-a<0,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(a,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以当x=0时,g(x)取到极大值,极大值是g(0)=-a;当x=a时,g(x)取到极小值,极小值是g(a)=-a3-sin a.综上所述:当a<0时,函数g(x)在(-∞,a)和(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(a)=-a3-sin a,极小值是g(0)=-a;当a=0时,函数g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值;当a>0时,函数g(x)在(-∞,0)和(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(0)=-a,极小值是g(a)=-a3-sin a.3.“换元法”构造函数典例3 已知函数f(x)=ax2+xln x(a∈R)的图象在点(1, f(1))处的切线与直线x+3y=0垂直.(1)求实数a的值;(2)求证:当n>m>0时,ln n-ln m>-.解析(1)因为f(x)=ax2+xln x,所以f '(x)=2ax+ln x+1,因为切线与直线x+3y=0垂直,所以切线的斜率为3,所以f '(1)=3,即2a+1=3,故a=1.(2)证明:要证ln n-ln m>-,即证ln>-,只需证ln-+>0.令=x,由已知n>m>0,得>1,即x>1,构造函数g(x)=ln x-+x(x>1),则g'(x)=++1.因为x∈(1,+∞),所以g'(x)=++1>0,故g(x)在(1,+∞)上单调递增.所以g>g(1)=0,即证得ln-+>0成立,所以命题得证.点拨将待证不等式等价变形为“ln-+>0”后,观察可知,对“”进行换元,进而构造函数“g(x)=ln x-+x(x>1)”来证明不等式,简化了证明过程中的运算.对点练已知函数f(x)=x2ln x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)证明:对任意的t>0,存在唯一的s,使t=f(s);(3)设(2)中所确定的s关于t的函数为s=g(t),证明:当t>e2时,有<<. 解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).f '(x)=2xln x+x=x(2ln x+1),令f '(x)=0,得x=.当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表:所以函数f(x)的单调递减区间是,单调递增区间是.(2)证明:当0<x≤1时, f(x)≤0.令h(x)=f(x)-t,x∈[1,+∞).由(1)知,h(x)在区间(1,+∞)内单调递增.h(1)=-t<0,h(e t)=e2t ln e t-t=t(e2t-1)>0.故存在唯一的s∈(1,+∞),使得t=f(s)成立.(3)证明:因为s=g(t),由(2)知,t=f(s),且s>1,从而====,其中u=ln s.要使<<成立,只需0<ln u<.当t>e2时,若s=g(t)≤e,则由f(s)的单调性,有t=f(s)≤f(e)=e2,矛盾.所以s>e,即u>1,从而ln u>0成立.另一方面,令F(u)=ln u-,u>1.F '(u)=-,令F '(u)=0,得u=2.当1<u<2时,F '(u)>0;当u>2时,F '(u)<0.故对u>1,F(u)≤F(2)<0.因此ln u<成立.综上,当t>e2时,有<<.4.二次(或多次)构造函数典例4 已知函数f(x)=-a(x-ln x).(1)当a=1时,试求f(x)在(1, f(1))处的切线方程;(2)若f(x)在(0,1)内有极值,试求a的取值范围.解析(1)当a=1时, f(1)=e-1,f '(x)=-1+, f '(1)=0.故切线方程为y=e-1.(2)若f(x)在(0,1)内有极值,则f '(x)在(0,1)内有解.令f '(x)==0(x∈(0,1))⇒e x-ax=0⇒a=.设g(x)=,x∈(0,1),所以g'(x)=,当x∈(0,1)时,g'(x)<0恒成立,所以g(x)在(0,1)上单调递减.因为g(1)=e,又当x→0时,g(x)→+∞,所以g(x)在(0,1)上的值域为(e,+∞),所以当a>e时, f '(x)==0在(0,1)内有解.设H(x)=e x-ax,则H'(x)=e x-a<0(x∈(0,1)),所以H(x)在x∈(0,1)内单调递减.因为H(0)=1>0,H(1)=e-a<0,所以H(x)=e x-ax在(0,1)上有唯一解x.所以有:所以当a>e时, f(x)在(0,1)内有极值且唯一.当a≤e时, f '(x)≥0在(0,1)上恒成立,则f(x)在(0,1)上单调递增,不符合题意.综上,a的取值范围为(e,+∞).对点练已知函数f(x)=ex-xln x,g(x)=e x-tx2+x,t∈R,其中e为自然对数的底数.(1)求函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若g(x)≥f(x)对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求t的取值范围.解析(1)由f(x)=ex-xln x,知f'(x)=e-ln x-1,则f'(1)=e-1,而f(1)=e,则所求切线方程为y-e=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+1.(2)∵f(x)=ex-xln x,g(x)=e x-tx2+x,t∈R,∴g(x)≥f(x)对任意的x∈(0,+∞)恒成立等价于e x-tx2+x-ex+xln x≥0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,即t≤对任意的x∈(0,+∞)恒成立,令F(x)=,则F'(x)==,令G(x)=e x+e--ln x,x∈(0,+∞),则G'(x)=e x--=>0对任意的x∈(0,+∞)恒成立.∴G(x)=e x+e--ln x在(0,+∞)上单调递增,且G(1)=0,∴当x∈(0,1)时,G(x)<0,当x∈(1,+∞)时,G(x)>0,即当x∈(0,1)时,F'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,F'(x)>0.∴F(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴F(x)≥F(1)=1,∴t≤1,即t的取值范围是(-∞,1].5.“转化法”构造函数典例5 设函数f(x)=ln x+,m∈R.(1)当m=e(e为自然对数的底数)时,求f(x)的最小值;(2)讨论函数g(x)=f '(x)-零点的个数;(3)若对任意的b>a>0,<1恒成立,求m的取值范围.解析(1)当m=e时, f(x)=ln x+(x>0),则f '(x)=,故当x∈(0,e)时, f '(x)<0, f(x)在(0,e)上单调递减,当x∈(e,+∞)时, f '(x)>0, f(x)在(e,+∞)上单调递增,故当x=e时,f(x)取到极小值,也即最小值, f(e)=ln e+=2,故f(x)的最小值为2.(2)g(x)=f '(x)-=--(x>0),令g(x)=0,得m=-x3+x(x>0).设φ(x)=-x3+x(x≥0),则φ'(x)=-(x-1)(x+1),当x∈(0,1)时,φ'(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增;当x∈(1,+∞)时,φ'(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减,故x=1是φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此x=1也是φ(x)的最大值点,故φ(x)的最大值为φ(1)=.又φ(0)=0,结合y=φ(x)的图象可知:①当m>时,函数g(x)无零点;②当m=时,函数g(x)有且只有一个零点;③当0<m<时,函数g(x)有两个零点;④当m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点.综上所述,当m>时,函数g(x)无零点;当m=或m≤0时,函数g(x)有且只有一个零点;当0<m<时,函数g(x)有两个零点.(3)对任意的b>a>0,<1等价于f(b)-b<f(a)-a恒成立.(*)设h(x)=f(x)-x=ln x+-x(x>0),故(*)等价于h(x)在(0,+∞)上单调递减.由h'(x)=--1≤0在(0,+∞)上恒成立,得m≥-x2+x=-+(x>0)恒成立,故m≥,当且仅当x=时等号成立,故m的取值范围为.点拨本例第(3)问中,利用不等式的性质,将“<1”等价转化为“f(b)-b<f(a)-a”,进而构造函数“h(x)=f(x)-x”,通过研究函数的单调性求解实数m的取值范围.对点练已知函数f(x)=x2+(1-a)x-aln x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设a<0,若∀x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求a的取值范围.解析(1)f(x)的定义域为(0,+∞).f '(x)=x+1-a-==.若a≤0,则f '(x)>0,此时f(x)在(0,+∞)上单调递增.若a>0,则由f '(x)=0,得x=a.当0<x<a时, f '(x)<0;当x>a时, f '(x)>0.此时f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.(2)不妨设x1≤x2,又a<0,故由(1)知, f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f(x1)≤f(x2).从而∀x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|等价于∀x1,x2∈(0,+∞),4x1-f(x1)≥4x2-f(x2).(*)令g(x)=4x-f(x),则g'(x)=4-f '(x)=4-=-x+3+a.(*)式等价于g(x)在(0,+∞)上单调递减,∴g'(x)=-x+3+a≤0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,∴a≤对任意的x∈(0,+∞)恒成立,∴a≤.又=x+1+-5≥2-5=-1,当且仅当x+1=,即x=1时,等号成立.∴a≤-1.故a的取值范围是(-∞,-1].。
浅谈定积分不等式证明中辅助函数的构造方法
浅谈定积分不等式证明中辅助函数的构造方法构造辅助函数法是高等数学中解决问题的一种重要方法，在解决实际问题中有着广泛的应用，通过研究微积分学中辅助函数的构造法，构造与问题相关的辅助函数，从而得出欲证明的结论。
尤其关于定积分不等式的证明在近几年的研究生数学考试中又频繁出现。
借助适当的辅助函数来证明定积分不等式是一种非常重要且行之有效的方法。
本文对某些定积分不等式中辅助函数的构造方法简单探讨。
标签：定积分不等式；构造；辅助函数；变限法当某些数学问题使用通常办法去考虑而很难奏效时，可根据题设条件和结论特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式——构造辅助函数。
辅助函数构造法是高等数学中一个重要的思想方法，在高等数学中广泛应用。
构造辅助函数是把复杂问题转化为已知的容易解决问题的一种方法，在解题时，常表现为不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助问题进行求解。
微积分学中辅助函数的构造是在一定条件下利用微积分中值定理求解数学问题的方法。
可以解决高等数学中众多难题，尤其是在微积分证明题中应用颇广，可达到事半功倍的效果。
特别是定积分不等式的证明，往往需要借助恰当的辅助函数才能顺利完成，然而，对基础一般的学生来说，构造恰当的辅助函数是相当有难度的。
笔者在教学中进行探索，找到一些可行的方法，在此与广大读者进行交流。
一、构造辅助函数的原则辅助函数的构造是有一定规律的。
当某些数学问题使用通常的方法按定势思维去考虑很难奏效时，可根据题设条件和结论的特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式，这就是构造辅助函数解题的一般思路。
二、构造辅助函数方法探讨1.仅告知被积函数连续的命题的证法一般来说，这类命题的证明要做辅助函数（或者说用辅助函数法更简便）。
在定积分不等式中，辅助函数φ（x）的构造方法是将定积分不等式中，积分上限（或下限）及相同字母换成x，移项使不等式一端为0，则另一端即为所设的辅助函数φ（x）。
这类命题的证明思路：（1）做辅助函数φ（x）；（2）求φ（x）的导数φ’（x），并判别φ（x）的单调性；（3）求φ（x）在积分区间[a，b]的端点值φ（a），φ（b），其中必有一个值为“0”，由第2条思路可推出φ（b）>φ（a）（或φ（b）<φ（a）），从而得出命题的证明。
高等数学辅助函数的构造方法及应用
高等数学辅助函数的构造方法及应用1.极限函数构造方法：极限函数是研究极限存在性、计算极限值的重要辅助工具。
在构造极限函数时，可以利用基本初等函数（如指数函数、对数函数、三角函数等）的性质和运算法则，通过运算、组合或分解等方法得到所需的函数。
应用：a.利用极限函数构造方法可以证明柯西收敛准则、介值定理等数学定理。
b.在计算极限的过程中，可以应用极限函数构造方法将原式转化为更容易计算的形式。
2.反函数构造方法：反函数是研究函数的性质、解方程、求极值等问题时经常用到的工具。
在构造反函数时，需要保证原函数为一一映射（即可逆），并通过交换自变量和因变量的位置得到反函数。
应用：a.反函数构造方法可以应用于解方程，通过求解反函数可以得到原方程的解。
b.在求函数的导数时，可以应用反函数构造方法将原函数转化为反函数的形式，从而简化计算。
3.特殊函数构造方法：特殊函数是高等数学中具有特定性质和重要应用的函数，包括阶乘函数、伽马函数、贝塞尔函数等。
这些函数在构造时需要考虑其特定的性质和定义条件。
应用：a.特殊函数构造方法可以应用于求解微分方程、积分等问题，通过引入特殊函数可以简化问题的求解过程。
b.特殊函数的性质和应用广泛，可以用于研究数学、物理、工程等各个领域的问题。
4.递推函数构造方法：递推函数是指通过前一项和已知条件来递推出后一项的函数。
在构造递推函数时，需要给出递推公式和初始条件，并通过递推关系得到所需的函数。
应用：a.递推函数构造方法可以应用于解决递推关系式、数列求和等问题，通过递推公式可以快速计算出数列的项或求和结果。
b.在组合数学中，递推函数构造方法常用于证明组合恒等式、计算组合数等问题。
总之，高等数学辅助函数的构造方法多种多样，根据问题的具体要求和性质选择适当的构造方法非常重要。
这些函数的应用广泛，涉及数学、物理、工程等各个领域，对于问题的分析和求解都起到了重要的作用。
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法微分中值定理是微积分中最重要的定理之一，它可以用来构造辅助函数。
在这里，我将介绍三种常见的方法。
方法一：构造辅助函数来证明微分中值定理我们首先回顾微分中值定理的陈述：如果函数f在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
为了证明这一定理，我们可以构造一个辅助函数g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(x-a)。
我们可以计算g(a)和g(b)：g(a)=f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(a-a)=f(a)g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(b-a)=f(b)由于g(x)是f(x)的线性函数，我们可以得出g(a)=f(a)和g(b)=f(b)。
根据罗尔定理，存在c∈(a,b)，使得g'(c)=0。
将g(x)展开得到：g'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)当x=c时：0=g'(c)=f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)因此，存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
方法二：构造辅助函数来确定函数的最大值和最小值微分中值定理的一个重要应用是确定函数的最大值和最小值。
我们可以利用此定理构造辅助函数来确定函数在给定闭区间上的最大和最小值。
假设我们要确定函数f在闭区间[a,b]上的最大值和最小值。
我们可以构造辅助函数h(x)=f(x)-M(x-a)，其中M是一个足够大的常数。
我们可以选择一个足够大的M，使得h(x)在[a,b]上永远不小于0。
当x=a时，h(a)=f(a)-M(a-a)=f(a)>=0当x=b时，h(b)=f(b)-M(b-a)=f(b)-M(b-a)<=0根据微分中值定理，存在c∈(a,b)，使得h'(c)=0。
几种构造辅助函数的方法的归纳
则可设辅助函数为 :
F ( x) = xf ( x) - kx bf ( b) - af ( a) x b- a 则 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b) 内可导 , 且 F ( a) = xf ( x ) = F ( b) 。 由罗尔定理知 , 至少存在一点 ξ ∈ ( a , b) , (ξ ) = 0 , 即有 使 F′ bf ( b) + af ( a) ) +ξ (ξ ) = f (ξ f′ b- a
=
(ξ ) = 0 即 f ′ (ξ ) F′ (ξ ) = f′ f ( b) - f ( a) 2ξ b2 - a2
f ( b) - f ( a) 2ξ = 0 2 2 b - a
二 、 原函数法
在利用微分中值定理 ( 尤其是罗尔定理 ) 求解 介值 ( 或零点) 问题时 , 要证明的结论往往是某一个 函数的导函数的零点 , 因此可通过不定积分反求出 原函数作为辅助函数 , 其步骤为 : 1 . 将要证结论中的 ξ( 或 x 0 ) 换成 x ; 2 . 通过恒等变换 , 将结论化为易积分 ( 或容易 消除导数符号) 的形式 ; 3 . 用观察法或凑微分法求出原函数 ( 必要时 , 可在等式两端同乘以非零的积分因子 ) , 为简便起 见 , 可将积分常数取为零 。 4 . 移项 , 使等式一边为零 , 则等式的另一边即 为所需的辅助函数 。 例 3 设 f ( x) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b) 内可 导 , 0 < a < b , 证明在 ( a , b) 内必存在一点 ξ, 使
构造辅助函数在解决数学问题中的作用
构造辅助函数在解决数学问题中的作用摘要：构造辅助函数来解决数学中的作用，利用扎实的数学基本知识，并灵活运用来解决实际问题，以提高数学能力。
本文通过一系列的实际例子来呈现构造辅助函数在解决数学问题中的能力，及通过该过程，更加清晰的了解数学、认识数学，从而喜欢上数学。
关键词：构造辅助函数；解决能力；数学问题；数学应用一、概念函数（function）表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系。
这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素。
构造函数（constructor）是一种特殊的方法。
主要用来在创建对象时初始化对象，即为对象成员变量赋初始值，总与new运算符一起使用在创建对象的语句中。
二、构建辅助函数的研究2.1构造辅助函数求取值范围学生们每次遇到求取值范围的数学习题，样样都会犯难，不知从何入手，也不知道该如何解决，而通过学习构造辅助函数的使用方法，从某个方面来建设一个辅助函数，也很好的解决了这个问题，且解答起来更加直观。
1.例子:(积分)设函数f在区间[0,1]上可微,且满足1/2f(1)=∫（1/2,0）xf(x)dx(其中∫(1/2,0)表示定积分在[0,1/2]上),证明至少存在一点a属于（0，1），使f'(a)=-f(a)/a解答:即af'(a)+f(a)=0注意到左边＝[xf(x)]'|x=a ,转化为证此函数的导函数有零点，当然用罗尔中值定理，只需证明函数有两点值相同即可现在有1/2f(1)=∫（1/2,0）xf(x)dx构造g(x)=∫（x,0）tf(t)dtg(1/2)=1/2f(1)g'(x)=xf(x),则有点b使得g'(b)=[g(1/2)-g(0)]/1/2=f(1)=bf(b) （拉格朗日中值定理）即有一点b，其bf(b)等于1f（1）那么在(b,1)中有点a使[xf(x)]'|（x=a）＝02.例题：已知函数f(x)=log2[ax^2+(a-1)x+1/4],若值域为R，求实数a的取值范围解题：函数f(x)=log2[ax^2+(a-1)x+1/4],若值域为R则真数t=ax^2+(a-1)x+1/4“能够”取遍一切正实数a=0，t=-x+14, 真数t“能够”取遍一切正实数.(至于有非正实数，可以用定义域来限制它）a>0,△≤0,真数t才“能够”取遍一切正实数.(至于有非正实数，可以用定义域来限制它）（3-√5）/2≤a≤（3+√5）/2a<0,真数t不可能取遍一切正实数综上所述（3-√5）/2≤a≤（3+√5）/2 or a=03.例题：求使函数f(x)=x^3+3kx^2-kx-1 没有极值的实数k的取值范围.解题：解题：f'(x)=3x^2+6kx-k方程3x^2+6kx-k=0的解是：x=-k±[√(9k^2+3k)]/3当9k^2+3k<0 ==> -1/3<k<0时，方程没有实根，即f(x)没有驻点，所以没有极值；当9k^2+3k=0，即k=-1/3或k=0时，有唯一驻点x=-k，因为f''(x)=6x+6k,f''(-k)=0；f'''(x)=6≠0，所以x=-k不是极值点，函数没有极值；当9k^2+3k>0时，f(x)有两个驻点：x=-k±[√(9k^2+3k)]/3，因为f''(-k±[√(9k^2+3k)]/3)≠0，都是极值点；所以当-1/3≤k≤0时，函数f(x)没有极值。
一阶微分方程构造辅助函数原理
一阶微分方程构造辅助函数原理1. 引言1.1 概述在数学和科学领域中，微分方程是一个重要的研究对象。
一阶微分方程是其中最基础且常见的类型之一。
解一阶微分方程可以帮助我们理解自然现象、预测未来发展趋势以及解决各种实际问题。
辅助函数作为求解一阶微分方程的有效工具，在解题过程中起着至关重要的作用。
本文将深入探讨辅助函数原理，并介绍构造辅助函数的方法和技巧。
1.2 文章结构本文共包括五个部分。
首先，在引言部分我们将概述文章的主题和目标。
其次，我们会介绍一阶微分方程的基础知识，包括定义与形式、常见类型与解法以及初值问题与辅助函数的重要性。
接着，我们将详细阐述辅助函数原理及其构造方法，包括辅助函数的概念与作用、构造辅助函数的步骤和方法以及常用的辅助函数构造技巧。
然后，通过示例和应用案例分析，我们将展示辅助函数在求解一阶微分方程中的实际应用，包括小型一阶微分方程求解示例的详解、实际问题中辅助函数应用案例的分析以及辅助函数在数学模型建立中的实践应用。
最后，我们会总结本文的研究成果，并对未来研究方向进行展望。
1.3 目的本文旨在深入探讨一阶微分方程构造辅助函数原理，并介绍相关的构造方法和技巧。
通过对辅助函数在一阶微分方程求解过程中的作用和重要性进行分析，使读者能够更好地理解和运用辅助函数。
同时，通过具体示例和应用案例的分析，帮助读者将理论知识与实际问题相结合，提高问题求解能力。
最终，希望本文能为相关领域研究者提供有益的参考和启示，并促进一阶微分方程及其应用领域的发展与创新。
2. 一阶微分方程基础知识：2.1 定义与形式一阶微分方程是指未知函数的导数与自变量之间只包含一阶导数的关系式。
通常表示为dy/dx=f(x)的形式，其中y表示未知函数，x表示自变量，f(x)表示已知函数。
2.2 常见类型与解法一阶微分方程可以根据其类型进行分类和求解。
常见的类型包括可分离变量型、齐次型、线性型等。
可分离变量型：当一阶微分方程可以被写为dy/dx=g(x)h(y)时，我们可以将其转化为两个变量可分离的形式，并通过两边同时积分来求解。
中值定理构造辅助函数的方法
中值定理构造辅助函数的方法中值定理是微积分中的重要定理之一，它在研究函数的性质、求解方程等问题中具有广泛的应用。
利用中值定理可以构造辅助函数来解决一些复杂的问题。
本文将介绍几种构造辅助函数的方法，以帮助读者更好地理解和运用中值定理。
1.构造辅助函数的基本原理在构造辅助函数之前，首先要明确辅助函数的目的。
一般来说，构造辅助函数的目的是通过引入一个与原函数相关的函数，利用其性质来简化问题或解决问题。
辅助函数可以是原函数的导函数、导函数的导函数、原函数与导函数之间的关系函数等。
2.1导函数作为辅助函数中值定理中最常用的辅助函数是原函数的导函数。
对于一个连续函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$内可导，根据中值定理，存在一点$c\in(a,b)$，使得$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
因此，我们可以构造辅助函数$g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$，其中$a\leq x\leq b$。
当且仅当原函数$f(x)$满足中值定理的条件时，辅助函数$g(x)$在闭区间$[a,b]$内的其中一点$c$处的导数等于0。
这样一来，我们就可以通过求解$g'(x)=0$来找到中值点$c$。
2.2导函数的导函数作为辅助函数类似地，我们也可以利用导函数的导函数作为辅助函数，来解决一些问题。
假设$f(x)$在闭区间$[a,b]$内可导，则中值定理告诉我们存在一点$c\in(a,b)$，使得$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
如果我们进一步假设$f'(x)$在区间$[a,b]$内可导，那么根据中值定理，存在一点$d\in(a,b)$，使得$f''(d)=\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}$。
这样，我们就可以构造辅助函数$h(x)=f'(x)-f'(a)-\frac{f'(b)-f'(a)}{b-a}(x-a)$，其中$a\leq x\leq b$。
微分中值定理辅助函数构造
4 、常数k值法 此方法构造辅助函数的步骤分为以下四
点：
11〕将结论变形，使常数局部别离出来并令为． 22〕恒等变形使等式一端为a及f(a)构成的代数式，
另一端为b及f(b)构成的代数式． 33〕观察分析关于端点的表达式是否为对称
式．假设是，那么把其中一个端点设为x，相 应的函数值改为f(x)． 4〕端点换变量x的表达式即为辅助函数F(x)．
〔四〕、构造结论法
构造结论法，就是按照命题的条件和要 求构造出符合结论的数学对象，从而断 定命题正确性的证题方法．有些数学命 题是断言存在着具有某种性质的数学对 象，或者是断言某种数学对象具有某种 特定的性质，对于这种类型的数学命题， 证明的关键往往是构造出符合要求的数 学对象，用构造结论的方法对数学命题 作出证明，称为“构造性证明〞 。
由题设条件及所给的数量关系，构造一种新的函数、方程、多项式等具体数学关系，使问题在新的关系下实现转化从而获得解决的方 法称为构造数学关系法．
通 过 几 何 图 形 考 查 两 函 数 在 区 间 端 点 处 分析法又叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出的条件和结论．
〔二〕、构造数学关系法
微分中值定理辅助函数构造
〔一〕、构造数学命题法
1．构造等价命题
如果遇到的数学问题直接证明有困难时， 可构造其等价命题，并通过证明其等价 命题成立从而使所论命题获证．
2．构造辅助命题
在解答某些数学问题时，如果缺乏现成的 根据，那么我们不妨构造一个辅助命题 作为根据，只要证明了辅助命题是真命 题，原问题就迎刃而解．
为了说明一个命题不真，常常选择一个符合题设条件但命题不成立的反例．这个过程叫做构造反例．选择特殊值，极端情形，常常是 构造反例的关键．
利用变上限积分构造辅助函数证明一些积分不等式
利用变上限积分构造辅助函数证明一些积分不等式积分不等式在数学中有着非常重要的应用，其可以用来证明其他更加复杂的定理，同时也具有广泛的实际应用。
在本文中，我们将介绍如何利用变上限积分构造辅助函数证明一些积分不等式。
1. 变上限积分变上限积分，又称为广义积分，是指积分上限不确定的积分。
更具体地说，如果$f(x)$是在$[a,b)$上的可积函数，那么$f(x)$在$[a,b]$上的变上限积分定义为：$$\int_a^b f(x)dx = \lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x)dx$$$t \to b^-$表示$t$从左侧逼近$b$，也就是说，$t$可以任意接近$b$但不等于$b$。
可以看出，如果$\int_a^t f(x)dx$无限趋近于一个确定的值，那么$\int_a^bf(x)dx$就存在。
反之，如果无限趋近于$\infty$或$-\infty$，那么$\int_a^b f(x)dx$就不存在。
2. 构造辅助函数下面我们将介绍如何利用变上限积分构造辅助函数。
如果$f(x)$是一个连续可导的函数，那么我们可以通过构造辅助函数来研究$f(x)$的性质。
具体地说，我们定义函数$F(x)$如下：$a$是一个常数。
然后，我们利用$f(x)$和$F(x)$之间的关系，构造一个函数$g(x)$：我们可以通过对$g(x)$求导来研究$f(x)$的性质。
具体来说，我们有：于是，如果$g'(x)$的符号与$f(x)$的符号相同，那么$f(x)$就是单调递增或单调递减的。
如果$g'(x)$的符号与$f(x)$的符号相反，那么$f(x)$就在$x$处有极值。
这个结论非常有用，在证明一些积分不等式时经常会用到。
3. 应用举例下面我们将通过举例来演示如何使用上述方法证明一些积分不等式。
例1：证明斯特林公式：$$n! \sim \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n$$证明：定义函数：$$f(x) = ln(x)$$函数的图像如下所示：然后，我们计算$F(x)$：$$g(x) = ln(x)e^{-\lambda((x-1)ln(x)-x+1)}$$我们要证明的是：$$\int_1^n ln(x)dx - \frac{1}{2}(ln(2\pi)+ln(n)+ln(1-\frac{1}{n^2})) \to 0$$我们现在对$f(x)$和$g(x)$分别使用上面的结论。
中值定理证明题中辅助函数的构造方法
中值定理证明题中辅助函数的构造方法
一、罗尔定理
如果函数)(x f 满足下列条件：
（1）在闭区间[]b a ,上连续；
（2）在开区间()b a ,内可导；
（3）在区间端点的函数值相等，即)()(b f a f =，
那么在()b a ,内至少有一点ξ，使得
0)(='ξf
二、拉格朗日中值定理
如果函数)(x f 满足下列条件：
（1）在闭区间[]b a ,上连续；
（2）在开区间()b a ,内可导；
那么在()b a ,内至少有一点ξ，使得 a
b a f b f f --=
')()()(ξ 或
))(()()(a b f a f b f -'=-ξ
三、柯西中值定理
如果函数)(x f 和)(x g 满足条件：
（1）在闭区间[]b a ,上连续；
（2）在开区间()b a ,内可导；
（3）),()(b a x g 在'内每点处均不为零，那么在()b a ,内至少有一点ξ，使得 )
()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ
四、定积分中值定理
如果函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，则在积分区间[]b a ,上至少存在一个点ξ，使下式成立
))(()(a b f dx x f b a -=⎰
ξ ()b a ≤≤ξ 这个公式叫做积分中值公式。