信号与系统第四章(陈后金)1资料
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信号系统(陈后金)第4章-信号的频域分析
w0 w0
0 2 lim[ 2 ] 2 0 + w
2 w dw 2arctg( ) 2 2 2 +w
f (t )
dt (t )e jwt dt 1
(t )
(1)
1
F (w )
0
t
0
w
单位冲激信号及其频谱
(4) 直流信号
直流信号不满足绝对可积条件,可采用极限 的方法求出其傅里叶变换。
F [1] lim F [1 e
0
| t|
2 ] 2 (w ) ] lim[ 2 2 0 + w
符号表示：
F ( jw ) F[ f (t )] f (t ) F 1[ F ( jw )]
或
f (t ) F ( jw )
F
狄里赫莱条件
（1）非周期信号在无限区间上绝对可积
f (t ) dt
（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值。 （3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值。 狄里赫莱条件是充分不必要条件
P 1
2 2 2 | C ( n w ) | C ( 0 ) + 2 | C ( n w ) | 0.1806 0 0 n =1 4 4
n =—4
P 0.1806 1 90 % P 0.200
周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功 率之和占整个信号平均功率的90%。
虚指数信号 正弦型信号单位冲激序列
• 常见周期信号的频谱密度
1. 常见非周期信号的频谱
(1) 单边指数信号
0 2 lim[ 2 ] 2 0 + w
2 w dw 2arctg( ) 2 2 2 +w
f (t )
dt (t )e jwt dt 1
(t )
(1)
1
F (w )
0
t
0
w
单位冲激信号及其频谱
(4) 直流信号
直流信号不满足绝对可积条件,可采用极限 的方法求出其傅里叶变换。
F [1] lim F [1 e
0
| t|
2 ] 2 (w ) ] lim[ 2 2 0 + w
符号表示：
F ( jw ) F[ f (t )] f (t ) F 1[ F ( jw )]
或
f (t ) F ( jw )
F
狄里赫莱条件
（1）非周期信号在无限区间上绝对可积
f (t ) dt
（2）在任意有限区间内，信号只有有限个最大值 和最小值。 （3）在任意有限区间内，信号仅有有限个不连续点， 且这些点必须是有限值。 狄里赫莱条件是充分不必要条件
P 1
2 2 2 | C ( n w ) | C ( 0 ) + 2 | C ( n w ) | 0.1806 0 0 n =1 4 4
n =—4
P 0.1806 1 90 % P 0.200
周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功 率之和占整个信号平均功率的90%。
虚指数信号 正弦型信号单位冲激序列
• 常见周期信号的频谱密度
1. 常见非周期信号的频谱
(1) 单边指数信号
陈后金《信号与系统》(第2版)配套题库【名校考研真题+课后习题+章节题库+模拟试题】(上册)
图2-2
3．有一离散时间信号
（1）画出
（2）求序列 学]
使之满足
解：（1）
又 比较上述两式可得： 故如图2-3所示。
[电子科技大
图2-3
4．已知 如图2-4（a），画出
和
的波形。[北
京理工大学]
解：将 反转得 如图2-4（b）所示，将它们相加、减得 ，波形如图2-4（c）、（d）所示。
图2-4 5．已知f（t）的波形如图2-5所示，令r（t）＝tu（t）。
大学]
图1-2 解：因为：
故：
y2（t）的波形如图1-3所示。
图1-3 3．将如图1-4（a）、（b）所示的连续信号展成如下形式：
给出信号
最简单的解析表达形式。[北京航空航天大学]
图1-4
解：（a）该信号可分为两段：
和
可化简为
故
，即：
（b）该信号可分为三段： 可化简为 故
，即
4．求
的值。[北京航空航天大学2006研]
，应该与齐次解有关，即系统的特征根为－1和－3，故特征方程应为 ，即a0＝4，a1＝3。
（2）设系统对激励 rzs（t），则
的零输入响应和零状态响应分别为rzi（t）和
由于
，则由线性时不变系统的微分特性可知
同时，设系统的单位冲激响应为h（t），则由线性时不变系统的叠加性 可知
由式（1）、式（2），并设
陈后金《信号与系统》（第2版）配 套模拟试题及详解
第一部分 名校考研真题 第1章 信号与系统分析导论 一、选择题
1．方程 天大学2007研] A．线性时不变 B．非线性时不变 C．线性时变 D．非线性时变 E．都不对 【答案】B
描述的系统是（ ）。[北京航空航
《信号与系统》第四章
图 两个矢量正交
矢量的分解
c2V2
V
V2
2
o
1
V1
c1V1
图 平面矢量的分解
c3V3
V3
V
o V1
V2
c2V2
c1V1
V c1V1 c2V2 c3V3
图 三维空间矢量的分解
推广到n维空间
1 正交函数的定义
在区间 (t1,t内2 )，函数集 {0 (t),1(t中),的,各N个(t)函} 数间，若满足下列 正交条件：
➢在波形任一周期内，其第二个半波波形与第一个半波波形相同；
x(t) x(t T0 / 2)
➢这时x(t)是一个周期减半为
的周期非正弦波，其基波频率
为
，即其只含有偶次谐T0波2；
20
4.4波形对称性与傅里叶系数
4 奇半波对称
➢在波形任一周期内，其第二个半周波形恰为第一个半周波形的
负值； x(t) x(t T0 / 2)
交函数集 {0 (t),1(t), ,N (t)} 是完备的,即再也找不到一个函数 (t)
能满足
t2
(t)
* m
(t
)dt
0
t1
m 0,1, , N
则在区间 (t1,t2 ) 内，任意函数x(t)可以精确地用N+1个正交函数地加权和
表示：
N
x(t) c00 (t) c11(t) cN N (t) cnn (t)
T0
3 傅里叶级数系数的确定
➢正弦—余弦形式傅里叶级数的系数
2Bk
2 T0
x(t) cos k0tdt
T0
2Dk
2 T0
x(t) sin k0tdt
信号与系统第四章1
0<t<1 1< t < 2
1
2
4.5
思考题4.4 思考题4.4
20
4.5 周期信号的频谱与功率谱
一.频谱 频谱
辐频 Ak ~ kω 0 关系
相频 θ k ~ k ω 0 关系
x ( t ) = c 0 + 2 ∑ Ak cos( k ω 0 t + θ k )
k =1
∞
---三角函数形式 三角函数形式
2 2 Ak = Bk + Dk
tgθ k = Dk / Bk
− Dk = − I m {ck }, k > 0
11
复指数——> 正余弦的转换： 正余弦的转换： 复指数
B k = Re {ck }
4.4 波形对称性与傅里叶系数
1.偶对称：x(t)=x(-t) 偶对称： 偶对称
− 2 Dk = 0
4 2 Bk = T0
8
将这两者相加， 式中基波角频率 ω 0 = 2π / T0 。将这两者相加，即 为所求x(t)的傅里叶级数。所以 的傅里叶级数。 为所求 的傅里叶级数
x( t ) = Ev{ x( t )} + Od { x( t )}
4 8 = sinω0 t − 2 cosω0 t + sin3ω0 t − 2 cos3ω0 t π π 3π 9π
第 四 章
连续时间傅立叶变换 连续时间信号的谱分析和 --频分析 时--频分析
1
4.1引言 引言 4.2复指数函数的正交性 复指数函数的正交性 4.3周期信号的表示：连续时间傅里叶级数 周期信号的表示： 周期信号的表示 4.4波形对称性与傅立叶系数 波形对称性与傅立叶系数 4.5周期信号的频谱与功率谱 周期信号的频谱与功率谱 4.6傅里叶级数的收敛性 吉伯斯现象 傅里叶级数的收敛性 4.7非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换 非周期信号的表示： 非周期信号的表示 4.8傅里叶级数与傅里叶变换的关系 傅里叶级数与傅里叶变换的关系 4.9连续时间傅里叶变换的性质与应用 连续时间傅里叶变换的性质与应用 4.10卷积定理及其应用 卷积定理及其应用 4.11相关 相关 4.12能量谱密度与功率谱密度 能量谱密度与功率谱密度 4.13信号的时 频分析和小波分析简介 信号的时---频分析和小波分析简介 信号的时
北京交通大学陈后金教授信号处理课件
第8章 数字滤波器的实现
第9章 数字语音信号
主要参考书
[1] 陈后金等译:数字信号处理及MATLAB仿真, 机械工业出版社, 2015
[2] S.K. Mitra. 数字信号处理(第4版） 清华大学出版社, 2012
[3] A.V.Oppenheim. 离散时间信号处理(第3版)英文版 ,电子工业出版社, 2011 [4] 胡广书.数字信号处理.清华大学出版社(第3版), 2012. [5]P.P. Vaidyanathan, Multirate systems and filter banks, Prentice Hall, Englewood Cliffs NJ,1993. [6] N.J.Fliege, Multirate digital signal processing. John Wiley &Sons, NY,1994. [7] I.Daubechies, 小波十讲（修订版） ,国防工业出版社, 2011 [8] S. Mallat 信号处理的小波导引：稀疏方法（第3版）英文影印版, 2012
第4章 IIR数字滤波器的设计
第5章 FIR数字滤波器的设计
第6章 随机信号功率谱估计
第7章 数字系统的结构 第8章 多速率信号处理基础Fra bibliotek主要教材
第1章 概述 第2章 离散时间信号 第3章 频域概念 第4章 抽样与重建 第5章 FIR滤波器设计与分析 第6章 IIR滤波器设计与分析 第7章 抽样速率转换
近代数字信号处理
(Advanced Digital Signal Processing)
信号与图像处理研究室 电子信息工程学院
主要教材
主教材: 普通高等教育“十一五”国家级规划教材
信号与系统-陈后金-北京交通大学-全
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A/D
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D/A
¼ ¬ Ë Å º Á ¨ð ² Å
2．线性系统与非线性系统 • 线性系统：具有线性特性的系统。线性特性包括
均匀特性与叠加特性。 (1)均匀特性：
若f1 (t ) y1 (t )
则Kf1 (t ) Ky1 (t )
(2)叠加特性：
若f1 (t ) y1 (t ), f 2 (t ) y2 (t )
数学解析式或图形
• 2. 表示
语音信号：空气压力随时间变化的函数
0
0.1
0.2
语音信号“你好”的波
0.3
0.4
静止的单色图象： 亮度随空间位置变化的信号f(x,y)。
静止的彩色图象： 三基色红(R)、绿(G)、蓝(B)随空间位置变化的信号。
I R ( x, y ) I ( x, y ) I G ( x, y ) I B ( x, y )
[例2] 试判断下列系统是否为时不变系统
(1)y(t)=sin[f(t)]
时不变系统
(2)y(t)=cost· f(t)
(3)y(t)=4f 2(t) +3f(t)
时变系统
时不变系统
(4)y(t)=2t· f(t)
时变系统
分析： 判断系统是否为时不变系统，只需判断当输入激励f(t) 变为f(t-t0)时，相应的输出响应y(t)是否变为 y(t-t0)。 注意：时不变特性只考虑系统的零状态响应，因此在判 断系统的时不变特性时，不涉及系统的初始状态。
信号与系统(第4章)
k
X
[k
]
(
k0
)}H
(
j
)
Y ( j) 2
k
H
(
jk0
)
X
[k
]
(
k0
)
例4.4——利用冲激响应h(t)↔H(jω)实现频谱滤波。
2、离散时域信号： y[n] x[n]* h[n]
x[n]，y[n]是基频为Ω0的周期信号， h[n]是非周期信号。
DTFT Y (e j ) X (e j )H (e j )
§4.3 周期与非周期混合信号的卷积及相乘
——解决周期与非周期混合信号（运算）问题：连续时域信 号统一利用FT分析；离散时域信号统一利用DTFT分析。
4.3.1. 周期与非周期信号的卷积
1、连续时域信号 y(t) x(t) h(t)
非周期
周期
FTY ( j) X ( j)H ( j)
{2
N/ 2
DTFS
x[n] X [k]e jk0n
k N/ 2
DTFT
X [k ] 1
N/ 2
x[n]e jk0n
N n N/ 2
X (e j ) 2 X[k] ( k0 ) k
4.4.2 FT与DTFS的关系
X ( j)
2
Ts
k
X [k] ( k0 / Ts )
(v) (v) /
k 0
m
X (e j ) 2 X [k] ( k0 ) k
4小.2结.2：DTFT与DTFS的关系
离散时域周期信号
N/ 2
x[n] X [k]e jk0n
DTFS
X [k] 1
N/ 2
信号与系统第四章
求该系统对激励信号 e(t) 1 (t 2) cos(t) 的响应。
解答： 1)、 e0(t)=1，直流作用 2) 、 e1(t)= cost作用
H(j0)=2 H(j)=0
r0(t)=2 r1(t)=0
3)、 e2(t)= (t-2)作用
例4、设某系统的频率响应特性为：
H ( j) 2e j ( 2) ( 2)
H ( j )
2
( )
H(jw)=|H(jw)|ej(w) 1、 当直流作用
-2
2
r0(t)=4
j( )
2 、基波作用 H ( j1) 1* e 2
2 cos(t )
相量
20
2
2cos(t )
2
2
3、 二次谐波作用
H ( j2) 0 r(t) 4 2 cos(t )
2
例2：求信号f(t)=cost+sint通过系统 H ( p) 1 后的响应。 P 1
低通
高通
-C
C
-C
C
带通
带阻
1
2
1 2
1、理想低通滤波器的频率特性
求该系统对激励信号
e(t) 1 (t 2) cos(t) 的响应。
解答： r0(t)=2
r1(t)=0
3)、 e2(t)= (t-2)作用
E2(j)= e-j2
2
AG
()
A
Sa(t
2
)
R2(j)= E2(j) ·H(j)
= e-j2 ·2e-j [ (+2)- (-2)]
=2 [ (+2)- (-2)] e-j3
H(jw)
R(jw) R(jw) = E(jw) ·H(jw)
解答： 1)、 e0(t)=1，直流作用 2) 、 e1(t)= cost作用
H(j0)=2 H(j)=0
r0(t)=2 r1(t)=0
3)、 e2(t)= (t-2)作用
例4、设某系统的频率响应特性为：
H ( j) 2e j ( 2) ( 2)
H ( j )
2
( )
H(jw)=|H(jw)|ej(w) 1、 当直流作用
-2
2
r0(t)=4
j( )
2 、基波作用 H ( j1) 1* e 2
2 cos(t )
相量
20
2
2cos(t )
2
2
3、 二次谐波作用
H ( j2) 0 r(t) 4 2 cos(t )
2
例2：求信号f(t)=cost+sint通过系统 H ( p) 1 后的响应。 P 1
低通
高通
-C
C
-C
C
带通
带阻
1
2
1 2
1、理想低通滤波器的频率特性
求该系统对激励信号
e(t) 1 (t 2) cos(t) 的响应。
解答： r0(t)=2
r1(t)=0
3)、 e2(t)= (t-2)作用
E2(j)= e-j2
2
AG
()
A
Sa(t
2
)
R2(j)= E2(j) ·H(j)
= e-j2 ·2e-j [ (+2)- (-2)]
=2 [ (+2)- (-2)] e-j3
H(jw)
R(jw) R(jw) = E(jw) ·H(jw)
《信号与系统》第04章
, −∞ < t < ∞ −a t 解：它可以看作是双边指数函数 x ( t ) = e
x ( t ) = li m e
a→ 0 −a t
x(t ) = 1
不满足 绝对可积的条件 中
a → 0 的极限情况，即
T
T = 4T1
2π ω = k ω0 = k T
T = 8T1
ω0 = 2π / T ,当 T → ∞
时,
ω0 → 0 )。
是单位间隔
T = 16T1
这说明，可以把非周期 信号当作周期信号在周期 任意大时的极限来看待。
x 2、再看一个信号 x ( t ) ,它具有有限持续期，即满足： (t) =0
∧
1 x(t ) = 2π
∧
∫
+∞
−∞
X ( jω )e jωt d ω
1、若x ( t )能量有限，即x ( t )平方可积 1)
∫
+∞
−∞
x(t ) dt < ∞
2
∫
傅立叶级数时 2
T
x(t ) dt < ∞
则x ( t )的傅里叶变换存在。 2) 其中
∫
+∞
−∞
e(t ) dt = 0
2
∧
傅里叶变换时，周期为 无穷大。
T1 − jωt
πθ ωT1 sin( π) sin(ωT1 ) ωT1 π )] ∴ = = sin c( ωT1 ωT1 π π π
[Q sin c(θ ) =
sin πθ
sinc函数
例4.5 已知信号的傅里叶变换为
X ( jω )
(4.18) -W 1
⎧1 , ⎪ X ( jω ) = ⎨ ⎪0 , ⎩
信号与系统第四章知识点
第四章 拉普拉斯变换—连续信号s 域分析一、考试内容（知识点）1．拉普拉斯变换的定义及其性质、拉普拉斯逆变换； 2．系统的复频域分析法； 3．系统函数)(s H ；4．系统的零极点分布决定系统的时域、频域特性； 5．线性系统的稳定性；6．拉普拉斯变换与傅里叶变换之间的关系。
二、内容（知识点）详解1．拉普拉斯变换的定义、收敛域（1）变换式与反变换式dt e t f t f s F st -∞⎰-==0)()]([)(L ds e s F js F t f stj j ⎰∞+∞--==σσπ)(21)]([)(1L )(s F 称为)(t f 的象函数，)(t f 称为)(s F 的原函数。
下限值取-0，主要是考虑信号)(t f 在t =0时刻可能含有冲激函数及其导数项也能包含在积分区间之内。
（2）收敛域在s 平面上，能使式0)(lim =-→∞t t e t f σ满足和成立的σ的取值范围（区域），称为)(t f 或)(s F 的收敛域。
2．常用时间函数的拉普拉斯变换（1）冲激函数 )()(t t f δ= 1)(=s F)()()(t t f n δ= n s s F =)(（2）阶跃函数 )()(t u t f = ss F 1)(= （3）n t （n 是正整数） t t f =)( 21)(s s F =2)(t t f = 32)(s s F =n t t f =)( 1!)(+=n s n s F（4）指数信号 t e t f α-=)( α+=s s F 1)(t te t f α-=)( ()21)(α+=s s F t n e t t f α-=)( ()1!)(++=n s n s F αt j e t f ω-=)( ωj s s F +=1)( （5）正弦信号、余弦信号系列)sin()(t t f ω= 22)(ωω+=s s F)cos()(t t f ω= 22)(ω+=s ss F)sin()(t e t f t ωα-= 22)()(ωαω++=s s F)cos()(t e t f t ωα-= 22)()(ωαα+++=s s s F )sin()(t t t f ω= 222)(2)(ωω+=s ss F )cos()(t t t f ω= 22222)()(ωω+-=s s s F )()(t sh t f ω= 22)(ωω-=s s F )()(t ch t f ω= 22)(ω-=s ss F （6） ∑∞=-=0)()(n nT t t f δ sT e s F --=11)(∑∞=-=00)()(n nT t f t f sTes F s F --=1)()(0 3．拉普拉斯变换的基本性质象函数)(s F 与原函数)(t f 之间的关系为：)]([)(t f s F L = （1）线性（叠加性）∑∑===⎥⎦⎤⎢⎣⎡ni i i n i i i s F a t f a 11)()(L ，其中i a 为常数，n 为正整数。
信号与系统 完美 (4)
[例] 画出信号f (t) 的奇、偶分量
解：
f(t) 2 1
0.5 fe(t) 1.5
-1
0
f(-t) 2 1
1
t
-1
0
1
t
fo(t) 0.5 -1
1
t
-1
0
1
t
-0.5
3．信号分解为实部分量与虚部分量
连续时间信号
f (t ) f r (t ) j f i (t )
实部分量 虚部分量
y[k ]
f1[k ]
n -
f [ n]
1 k
k
n -
f [ n]
1
k
3 2
1 0
k
0
单位阶跃序列可用单位脉冲序列的求和表示
u[k ]
n -
[ n]
k
信号的分解
1．信号分解为直流分量与交流分量 2．信号分解为奇分量与偶分量之和 3．信号分解为实部分量与虚部分量 4．连续信号分解为冲激函数的线性组合 5．离散序列分解为脉冲序列的线性组合
f (t)
f ( k )
- 0 2
k (k 1)
t
¬ ø Å º í ¾ ª å ¤Ð Å Ä ü Ó Á Ð Ð Å ±Ê Î ³ ¼ Å º µ µ ¼ f (t ) f (0)[u(t ) - u(t - )] f ()[u(t - ) - u(t - 2)] f (k)[u(t - k) - u(t - k - )]
4．连续信号分解为冲激函数的线性组合
[u (t ) - u (t - )] [u (t - ) - u (t - 2)] f (t ) f (0) f () [u (t - k) - u (t - k - )] f (k)
信号与系统第四章
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4.3 单边拉普拉斯变换的性质
4.3.1 线性
若
f1(t) F1(S), Re[s] 1
f2 (t) F2 (S), Re[s] 2
则
a1
f 1
(t
)
a2
f
2
(t
)
a1F1 ( S
)
a2 F2
(S
),
Re[s]
max(1,
2
)
4.3.2 时移性质
若 则
f (t) (t) F (s) , Re[s] 0
f
(0 )
lim t 0
f
(t) lim sF s
(s)
4.3.12 终值定理
若f(t)在 t 时极限 f () 存在，并且 f (t) F (s), Re[s] 0
则的终值为
f () lim f (t) lim sF(s)
t
s0
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4.4 拉普拉斯逆变换
4.4.1 查表法
双边拉普拉斯变换是信号 f (t)et 的傅里叶变换，因此，若 f (t)et
绝对可积，即
f (t) etdt
则f(t)的双边拉普拉斯变换一定存在。上式表明，F(s)是否存
在取决于能否选取适当的 。进一步说，由于 Re[s] ，所以，
F(s)是否存在取决于能否选取适当的S。由于F(s)的收敛域由S的实
一一对应的关系。在以 为实轴， j 为虚轴如图4-1所示的复
平面中，使拉氏变换积分收敛的那些复数S的集合，称为拉氏变换的 收敛域 （Region of Convergence），拉氏变换的ROC是非常重要的 概念。
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4.2 拉普拉斯变换
4.3 单边拉普拉斯变换的性质
4.3.1 线性
若
f1(t) F1(S), Re[s] 1
f2 (t) F2 (S), Re[s] 2
则
a1
f 1
(t
)
a2
f
2
(t
)
a1F1 ( S
)
a2 F2
(S
),
Re[s]
max(1,
2
)
4.3.2 时移性质
若 则
f (t) (t) F (s) , Re[s] 0
f
(0 )
lim t 0
f
(t) lim sF s
(s)
4.3.12 终值定理
若f(t)在 t 时极限 f () 存在，并且 f (t) F (s), Re[s] 0
则的终值为
f () lim f (t) lim sF(s)
t
s0
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4.4 拉普拉斯逆变换
4.4.1 查表法
双边拉普拉斯变换是信号 f (t)et 的傅里叶变换，因此，若 f (t)et
绝对可积，即
f (t) etdt
则f(t)的双边拉普拉斯变换一定存在。上式表明，F(s)是否存
在取决于能否选取适当的 。进一步说，由于 Re[s] ，所以，
F(s)是否存在取决于能否选取适当的S。由于F(s)的收敛域由S的实
一一对应的关系。在以 为实轴， j 为虚轴如图4-1所示的复
平面中，使拉氏变换积分收敛的那些复数S的集合，称为拉氏变换的 收敛域 （Region of Convergence），拉氏变换的ROC是非常重要的 概念。
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4.2 拉普拉斯变换
信号与系统第四章(上)
解： 由式（4.3-8）可得，冲激串信号的复系数为
•
Fn
所以
1 T
T
2 T
2
n
δ(t
nT )e jn1tdt
1 T
δT
(t)
1 T
e jn1t
n
信号处理教研室制
4.3 指数形式的傅里叶级数
• 周期信号的频谱及其特点
°f (t) A0
g
An cos n0t n
n1
°f (t)
0
• 复指数形式傅里叶级数系数或频谱系数
信号处理教研室制
4.3 指数形式的傅里叶级数
• 一个周期信号既可展成三角形式傅立叶级数， 同时也可展成复指数形式的傅立叶级数，二者 之间存在着明确的关系（欧拉公式）
°f (t)
a0 2
an
n1
cos n0t
bn
n1
sin n0t
a0 2
e jn0t
an
• 试画出 f t 的频谱。
信号处理教研室制
4.3 指数形式的傅里叶级数
解：题中所已知 f t 的表达式可视为 f t 的三
角级数傅立叶展开式，据
°f (t) A0 An cos n0t n n1 2π
可知，其基波频率0 π (rad/s，) 基本周期T 0 2 (s)，
3π, 4π, 6π
0.5 0.3
0.4
-6π -5π -4π -3π -2π -π 0 π 2π 3π 4π 5π 6π
n 45º
45º 30º
30º 20º
15º 10º -6π -5π -4π -3π -2π -π
0 π 2π 3π 4π 5π 6π -15º
信号与系统第4章
T
2 T
2
f
(t) cos(nt) d t
j1 T
T
2 T
2
f (t) sin(nt) d t
1 T
T
2 T
f (t) e d jnt t
2
f (t) Fn e jnt n
Fn
1 T
T
2 T
f (t) e jntd t
2 n = 0, ±1, ±2，…
第4-13页
■
信号与系统
4.2 傅里叶级数
可从三角形式推出指数形式的傅里叶级数：利用 cosx=(ejx + e–jx)/2
f (t)
A0 2
n1
An
cos(nt
n)
A0 An [e j(ntn ) e j(ntn ) ]
2 n1 2
第4-8页
Ki
t2 t1
i2
(t
)
d
t
■
信号与系统
4.2 傅里叶级数
4.2 傅里叶级数
一、傅里叶级数的三角形式
设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足
狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级
数—— 称为f(t)的傅里叶级数
f (t)
a0 2
1 T
2
e
jnt
dt
2
1 e jnt
T jn
2
2
2
sin( n
2
)
T n
T
sin n
ssch1_4
源于多种媒体及同事、同行、朋友的交流，难以一一注明出处， 特此说明并表示感谢！
RLC并联电路
diL (t ) 1 vC (t ) dt L dvC (t ) 1 1 1 - iL (t ) vC (t ) + x(t ) dt C RC C
状态变量描述
N阶系统的数学模型： N个一阶微分方程组或N个一阶差分方程组
系统的定义
谢 谢
本课程所引用的一些素材为主讲老师多年的教学积累，来
主讲人：陈后金
电子信息工程学院
系统的定义
※ 系统的定义 ※ 生活中的系统 ※ 系统的描述
1. 系统的定义
英文中系统(system)一词来源于古代希腊文(systεmα) 意为由多个部分而组成的整体。
系统论创始人贝塔朗菲定义：“系统是相互联系且相互作 用的诸元素的综合体” 。 本课程定义：
3. 系统的描述
输入输出描述 若输入为x(t)，输出为vC(t)，则输入 和输出的关系为
2 dvC (t ) 1 dvC (t ) 1 1 dx(t ) + + v ( t ) C RC dt LC C dt dt 2
iR (t) x(t) R
iL (t) L
iC (t) C
+ vC (t)
输入x(t)
A/D
D/A
输出
信号处理系统
2. 生活中的系统
简单电路系统
+
u(t) R1 R2
+
vR2(t)
i(t) R1 R2
iR2(t)
-
-
分压器
R2 vR2 (t ) u (t ) R1 + R2
分流器
R1 iR2 (t ) i(t ) R1 + R2
信号与系统-课件(陈后金)
f2(t) 0.5
0
t
y(t)=f1(t)+f2(t) 1
t 0
5 . 信号的相乘
f(t)=f1(t)·f2(t) ·…… ·fn(t)
f1(t) 1
t
-1
1
f (t) f1(t) f1(t) 1
f2(t) 1
t
-1
1
t
-2
2
6 . 信号的微分
y(t)=df(t)/dt=f '(t)
f (t) 1
0 t0
t
sin w0 (t - t0 ) u(t - t0 )
t 0 t0
2. 冲激信号
1)冲激信号的引出
单位阶跃信号加在电容两端，流过电容的电流 i(t)=C du(t)/dt可用冲激信号表示。 2)冲激信号的定义
狄拉克定义式：
(t)=0 , t0
+
(t) dt = 1 -
3) 冲激信号的图形表示
dt
性质：
'(t)dt 0
- t
'( )d (t)
-
f (t) ' (t) f (0) ' (t) - f ' (0) (t)
f (t) '(t)dt - f '(0)
-
'(t) (1)
t 0
冲激偶信号图形表示
•四种奇异信号具有微积分关系
'(t) d (t)
dt
t) du(t)
e j0k 的振荡频率不随角频率0的增加而增加。
e e e e j(0 +n2 )k
j0k j 2nk
j0k
周期性：
若e j0N 1
信号与系统第四章(陈后金)1
-2 1
0
2
t
解:
由
~ (t ) C 2 x Re( Cn e jn0t ) 0
n 1
周期三角脉冲信号的三角形式傅里叶级数展开式为
1 4 ~(t ) x [(2m 1)π]2 cosn0t 2 m=1
2π 0 π T0
1 4 4 4 2 cos 0 t 2 cos 3 0 t cos 5 0 t 2 2 π 9π 25π
0
~(t ) cos(n t )dt x 0
纵轴对称周期信号其傅里叶级数展开式中只含 有直流项与余弦项。
一、周期信号的傅里叶级数展开
4. 对称特性
(2) 原点对称信号
A
T0 / 2
T0 / 2
~(t ) ~(t ) x x
~(t ) x
0 T0 / 2 -A
t
2 ~(t ) cos(n t )dt 0 0 T0 / 2 x T0 2 T0 / 2 ~ 4 T0 / 2 ~ bn x (t ) sin(n0t )dt x (t ) sin(n0t )dt T0 / 2 0 T0 T0 an
周期信号的傅里叶级数表示 周期信号的频谱 傅里叶级数的基本性质 周期信号的功率谱
连续周期信号的频域分析
为什么进行信号的频域分析？
什么是频域的频谱？
如何进行信号的频域分析？
为什么进行信号的频域分析
进行信号频域分析的意义
1. 连续时间信号(周期为T0) jn0t ~ (t ) x X (n0 ) e
4. 对称特性
(4) 半波镜像信号
A T0/2 0 -A T0 t
~(t ) ~(t T / 2) x x 0
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一、周期信号的傅里叶级数展开
4. 对称特性
(4) 半波镜像信号
A T0/2 0 -A T0 t
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇次 谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。
说明 ：某些信号波形经上下或左右平移后，
才呈现出某种对称特性
~ x (t )
A
x (t ) 显然满足狄里赫勒的三个条件， 解: 该周期信号 ~ 必然存在傅里叶级数展开式。 n0 A 1 T2 ~ 1 jn t jn t 2
- T0
0
T0
t
Cn
x (t ) 的指数形式傅里叶级数展开式为 因此， ~ n0 jn t A 2π jn0t ~ x (t ) Cn e 0 Sa ( )e
周期三角脉冲信号的指数形式傅里叶级数展开式为
~ x (t ) Cn e jn0t
n =
1 2 2π j( 2 m 1) 0 t e 0 π 2 2 m= [(2m 1) π] T0
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里 叶级数展开式。
~ x (t )
一、周期信号的傅里叶级数展开
1. 周期信号展开为傅里叶级数条件
周期信号 ~ x (t ) 应满足Dirichlet条件，即：
(1) 在一个周期内绝对可积，即满足
T0 / 2
T0 / 2
~ x (t ) dt
(2) 在一个周期内只有有限个有限的不连续点；
(3) 在一个周期内只有有限个极大值和极小值。
1 Cn T0
1 1 0 jn0t jn0t jn0t ~ x ( t ) e d t ( t e d t t e dt ) T0 / 2 0 2 1 T0 / 2
1 (te jn0t 2 jn 0
0 jn0t 0 1 e dt 1
3. 三角形式傅里叶级数
~ 若 x (t )为实函数，则Cn具有共轭偶对称性。即 C n C n
利用此性质可将指数Fourier级数表示写为三角形式
~ x (t ) C0
令
n
1
Cn e jn0t Cn e jn0t C0 Cn e jn0t Cn e jn0t
C2 1
C 3 2
~ x (t )
4 3(e j0t e j0t ) (e j20t e j20t ) 2(e j30t e j30t )
0
T0
T0 x (t )e
2
0
0
dt
T0
Ae
0
dt
2
T0
Sa (
2
)
n =
T0
n =
2
T0
x (t ) 例1 试计算图示周期矩形脉冲信号 ~ 的傅里叶级数展开式。
~ x (t )
A
解: 由于~ x (t ) 为实信号且满足偶对称，故其三角形式 傅里叶级数展开式为 n0 A 2A ~ x (t ) Sa ( ) cosn0t 若 =T0/2，则有
0
T0
t
A / T0
Cn
n0 A Cn Sa ( ) T0 2
2π
2π
n 0
0 2π / T
例2 已知连续周期信号的频谱如图，试写出 信号的Fourier级数表示式。
Cn
3 2 1 1 3 4 3 2
9
6
0
3
6
9
n
解： 由图可知 C 0 4
C 1 3
n
2. 连续时间非周期信号 1 j t x(t ) X ( j ) e d 2 π 3. 离散非周期信号 1 π jΩ jΩk x[k ] X ( e ) e dΩ 2π π 4. 离散周期信号(周期为N)
1 ~ x [k ] N
m 0
-2 1
0
2
t
解:
由
~ x (t ) C0 2 Re( Cn e jn0t )
n 1
周期三角脉冲信号的三角形式傅里叶级数展开式为
1 4 ~ x (t ) cos n0t 2 2 m=1 [(2m 1) π]
2π 0 π T0
1 4 4 4 2 cos 0 t 2 cos 3 0 t cos 5 0 t 2 2 π 9π 25π
te
jn0t
1 0
1 jn0t e dt ) 0
1 (cos nπ 1) 2 (nπ)
2π 0 π T0
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里 叶级数展开式。
~ x (t )
-2 1
0
2
t
解:
2 /(nπ) 2 , n为奇数 1 Cn (cos nπ 1) 2 n0 (nπ) 1 / 2,
注意：条件（1） 为充分条件但不是必要条件； 条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。
一、周期信号的傅里叶级数展开
2. 指数形式傅里叶级数
连续时间周期信号可以用指数形式傅里叶级数表示为
~ x (t )
n =
Cn e
jn0t
1 Cn 其中 T0
T0 t 0
t0
~ x (t )e jn 0t dt
n 1
an jbn Cn 2
则有
C n
由于C0是实的，所以 b0= 0，故
a0 C0 2
an jbn 2
n 1
将C0 Cn Cn代入上面指数Fourier级数中，即得三角形式
一、周期信号的傅里叶级数展开
3. 三角形式傅里叶级数
a ~ x (t ) 0 (an cos n0t bn sin n0t ) 2 n1
原点对称周期信号其傅里叶级数展开式中只 含有正弦项。
一、周期信号的傅里叶级数展开
4. 对称特性
(3) 半波重迭信号
A t
~ x (t ) ~ x (t T0 / 2)
~ x (t )
T0
T0 / 2 0
T0 / 2
T0
半波重叠周期信号只含有正弦与余弦的偶次 谐波分量，而无奇次谐波分量。
~ x (t )
n =
jn 0 t C e n
不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Cn不同， 因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。 Cn是频率的函数，它反映了组成信号各次谐波 的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。
x (t ) 例1 试计算图示周期矩形脉冲信号 ~ 的傅里叶级数展开式。
周期信号的傅里叶级数表示 周期信号的频谱 傅里叶级数的基本性质 周期信号的功率谱
连续周期信号的频域分析
为什么进行信号的频域分析？
什么是频域的频谱？
如何进行信号的频域分析？
为什么进行信号的频域分析
进行信号频域分析的意义
1. 连续时间信号(周期为T0) jn0t ~ x (t ) X (n0 ) e
n 1 两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量 n 2 的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量 n N 的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量
物理含义：
x (t ) 可以分解为不同频率虚指数信号之和 周期信号 ~
一、周期信号的傅里叶级数展开
3 j4 C1 e , 2
3 j4 C1 e 2
Cn 0, n 1
二、周期信号的频谱及其特点
2. 频谱的表示
直接画出信号各次谐波对应的Cn线状分布图 形，这种图形称为信号的频谱图。
Cn Cn e
jn
幅度频谱
相位频谱
例1 周期矩形脉冲信号的频谱图
~ x (t )
A
- T0
0
~ x (t ) cos(n0t )dt
纵轴对称周期信号其傅里叶级数展开式中只含 有直流项与余弦项。
一、周期信号的傅里叶级数展开
4. 对称特性
(2) 原点对称信号
A
T0 / 2
T0 / 2
~ x (t ) ~ x (t )
~ x (t )
0 T0 / 2 -A
t
2 ~ x (t ) cos(n0t )dt 0 T0 T0 / 2 2 T0 / 2 ~ 4 T0 / 2 ~ bn x (t ) sin(n0t )dt x (t ) sin(n0t )dt T0 / 2 0 T0 T0 an
3. 三角形式傅里叶级数
纯余弦形式傅里叶级数 a ~ x (t ) 0 An cos （n0t n ） 2 n1 其中
An a b
2 n 2 n
bn n arctg a n
a0/2称为信号的直流分量， An cos(n0 t + n) 称为信号的n次谐波分量。
例3
~ x (t ) 3 cos(0t 4)
求 Cn 。
x (t ) 3 cos(0t 4) 解: ~
1 j(0t 4) j(0t 4) 3 e e 2 3 j4 j0t 3 j4 j0t e e e e 2 2
根据指数形式傅里叶级数的定义可得
~ X [m]
N 1
e
j
2π mk N