高中数学立体几何学科老师辅导讲义

北辰教育学科老师辅导讲义

V

πr 2

h(即πr 2

l)

31πr 2

h 31πh(r 21+r 1r 2+r 2

2) 3

4πR 3

表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1、r 2分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径。

四．题型解析：

题型1：柱体的体积和表面积

例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长.

点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。

例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=

3

。 （1）求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； （2）求这个平行六面体的体积。

图1 图2

题型2：柱体的表面积、体积综合问题

例3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是6,3,2，这个长方体对角线的长是（ ） A ．2

3

B ．3

2

C ．6

D ．

6

图

图

图图

题型8：球的体积、表面积

例15．已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===，求球的表面积。

点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。

例16．如图所示，球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ，求这个球的表面积。

点评：本题也可用补形法求解。将P —ABC 补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=

2

3

a ,下略。

，底面半径为r，则

P-PA ABCD