圆锥曲线的参数方程全解.pdf
高二数学圆锥曲线的参数方程(中学课件201908)
圆锥曲线的参数方程
由此可见，平行四边形MAOB的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。
2.2圆锥曲线的参数方程 圆锥曲线的参数方程 （三）抛物线的参数方程
引入: 如图,一架救援飞机在离灾区地面 一架救援飞机在离灾区地面500m高处以 引入 如图 一架救援飞机在离灾区地面 高处以 100m/s的速度作水平直线飞行 为使投放救援物资准确 的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确 的速度作水平直线飞行 落于灾区指定的地面(不记空气阻力 不记空气阻力),飞行员应如何确定 落于灾区指定的地面 不记空气阻力 飞行员应如何确定 投放时机呢？ 投放时机呢？
2.2圆锥曲线的参数方程 圆锥曲线的参数方程 （一）椭圆的参数方程
探究：如下图 以原点为圆心, 分别以a, 探究：如下图, 以原点为圆心 分别以 b(a＞b ＞ 为半径作两个圆, 是大圆半径OA与小 ＞0)为半径作两个圆 点B是大圆半径 与小 为半径作两个圆 是大圆半径 圆的交点, 过点A作 ⊥ 垂足为N, 过点B作 圆的交点 过点 作AN⊥ox, 垂足为 过点 作 BM⊥AN, 垂足为 求当半径 垂足为M, 求当半径OA绕点 旋转 绕点O旋转 ⊥ 绕点 时点M的轨迹参数方程 时点 的轨迹参数方程. 的轨迹参数方程
y A M O B x
b 双曲线的渐近线方程为：y = ± x. 解： a 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为（asecϕ ,btanϕ）,
b 则直线MA的方程为：y − b tan ϕ = − ( x − a sec ϕ ). a
xA = （secϕ + tanϕ）. 2 a 同理可得，点B的横坐标为xB = （secϕ − tanϕ）. 2 b 设∠AOx=α ,则tanα = . a
1 其中参数t= (α ≠ 0),当α =0时，t=0. tanα 几何意义为：
高考数学压轴培优教程—圆锥曲线 pdf
高考数学压轴培优教程—圆锥曲线 pdf引言概述：高考数学是每个学生都需要面对的一项重要考试，其中圆锥曲线是高考数学中的重点内容之一。
为了帮助学生更好地掌握圆锥曲线知识，提高数学成绩，特推出了一份名为《高考数学压轴培优教程—圆锥曲线》的PDF教材。
本文将从六个大点分别阐述该教程的详细内容，帮助读者了解该教程的特点和优势。
正文内容：1. 圆锥曲线基础知识1.1 椭圆的定义和性质1.2 双曲线的定义和性质1.3 抛物线的定义和性质1.4 圆锥曲线的方程及其一般性质1.5 圆锥曲线的参数方程及其应用2. 圆锥曲线的图形性质2.1 椭圆的图形性质2.1.1 长轴、短轴和焦点的关系2.1.2 椭圆的离心率和焦点的位置2.1.3 椭圆的切线和法线方程2.2 双曲线的图形性质2.2.1 双曲线的渐近线和渐近距离2.2.2 双曲线的离心率和焦点的位置2.2.3 双曲线的渐近线方程2.3 抛物线的图形性质2.3.1 抛物线的焦点和准线2.3.2 抛物线的切线和法线方程2.3.3 抛物线的顶点和对称轴3. 圆锥曲线的应用3.1 椭圆的应用3.1.1 椭圆的几何性质在实际问题中的应用3.1.2 椭圆的参数方程在物理问题中的应用3.2 双曲线的应用3.2.1 双曲线的几何性质在实际问题中的应用3.2.2 双曲线的参数方程在物理问题中的应用3.3 抛物线的应用3.3.1 抛物线的几何性质在实际问题中的应用3.3.2 抛物线的参数方程在物理问题中的应用4. 圆锥曲线的解析几何方法4.1 椭圆的解析几何方法4.1.1 椭圆的坐标平移和坐标旋转4.1.2 椭圆的标准方程和一般方程的相互转化4.2 双曲线的解析几何方法4.2.1 双曲线的坐标平移和坐标旋转4.2.2 双曲线的标准方程和一般方程的相互转化4.3 抛物线的解析几何方法4.3.1 抛物线的坐标平移和坐标旋转4.3.2 抛物线的标准方程和一般方程的相互转化5. 圆锥曲线的题型讲解与解题技巧5.1 椭圆的题型讲解与解题技巧5.1.1 椭圆的参数方程题型讲解与解题技巧5.1.2 椭圆的标准方程题型讲解与解题技巧5.2 双曲线的题型讲解与解题技巧5.2.1 双曲线的参数方程题型讲解与解题技巧5.2.2 双曲线的标准方程题型讲解与解题技巧5.3 抛物线的题型讲解与解题技巧5.3.1 抛物线的参数方程题型讲解与解题技巧5.3.2 抛物线的标准方程题型讲解与解题技巧6. 圆锥曲线的习题与答案解析6.1 椭圆的习题与答案解析6.2 双曲线的习题与答案解析6.3 抛物线的习题与答案解析总结：通过《高考数学压轴培优教程—圆锥曲线》的学习，学生们可以全面掌握圆锥曲线的基础知识、图形性质、应用和解析几何方法。
圆锥曲线的参数方程知识讲解
B
4p
②∵|AB|= 6 2 p
点F到直线AB的距离是：d 7 pO
X
22
SABF
1 2
AB
d
1 2
6
2p
7p
A
42
p
2
p
22
3 3
例3、过抛物线y2 2 px( p 0)的顶点O任作互相垂直的弦OA、OB
①求证：直线AB恒过一个定点； ②求分别以OA、OB为直径的两圆异于O的交点M的轨迹方程。
D
C
ab(1 cos )sin
A
O
BX
显然，0°＜θ＜90°,0<cosθ<1
令：y (1 cos ) sin sin 1 sin 2
2
y/ cos cos 2 2cos2 cos 1
2cos 1cos 1
当cos
1 2
时，ymax
3 3 4
(S ABCD )max
3 3 ab 4
——圆、椭圆的参数方程
1、圆的参数方程
Y
圆心为C(a,b)半径为R的圆的参数方程：
x a R cos
y
b
R
sin
0, 2
b
参数θ是旋转角。
O
M(x,y)
Rθ
X a
例1、指出下列圆的圆心坐标和半径（其中θ为参数）：
x 2 3cos
(1)
y
2
3 s in
x 3 4cos
(2)
y
3
4
sin
圆心坐标 (2, – 2 )
半径
R=3
圆心坐标 (3, 3 )
半径
R=4
例2、实数x,y满足 x2 y2 2x 4 y, 求2x – y 的取值范围。
圆锥曲线的参数方程全解
将y=
b
a x代入①，解得点A的横坐标为
a
①
xA = a2（sec tan）.
解： 同理可得，点B的横坐标为xB = a2（sec tan）.
设AOx=,则tan b . 所以MAOB的面积为
a
S MAOB =|OA||OB|sin2 =
xA
cos
xB
cos
sin2
过点A作圆C1的切线AA '与x轴交于点A ' ,
过圆C2与x轴的交点B作圆C2的切线BB'与直线OA交于点B'. 过点A ' ,B'分别作y轴,x轴的平行线A' M,B' M交于点M.
双曲线的参数方程
y
设M (x, y) 则A' (x, 0), B'(b, y).
a
B'
A
•M
点A在圆C1上 A(acos,asin).
又OA AA',OA AA'=0
o B A' x
b
AA' =(x-acos,-asin )
a cos(x a cos) (a sin)2 0 解得：x a
又 点B'在角的终边上，记 由三角函数定义有：tan y .
co1sy消saxbe去22cta参n数by22得：x1
2
2
说明：⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM
的倾斜角不同. ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程
x2 a2
y2 b2
1
与三角
恒等式sec2 1 tan2 相比较而得到，所以双曲
线的参数方程的实质是三角代换.
2019版数学人教A版选修4-4课件：2.2 圆锥曲线的参数方程 .pdf
������ ������
= =
2������������ 2 , 2������������
(������为参数).
(2)参数t的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线
的斜率的倒数.
【做一做3】 抛物线y2=14x的参数方程是( )
A.
������ ������
= =
14������, 14������2
(������是参数).因此,参数
φ
的几何意义是椭圆上任意一点
M 所对应的圆的半径 OA(或 OB)的旋转角(称为点 M 的离心角),而
不是 OM 的旋转角,如图所示.
-7-
二 圆锥曲线的参数方程
目标导航
3
(������为参数).
答案:
������ ������
= =
3sec������, tan������
-5-
二 圆锥曲线的参数方程
目标导航
Z Z D 知识梳理 HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
3.抛物线的参数方程
(1)抛物线 y2=2px(p>0)的参数方程为
-3-
二 圆锥曲线的参数方程
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HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
【做一做1-2】 在下面的参数方程中,表示的曲线是椭圆的为
()
A.
������ ������
= =
������cos������, ������sin������
-2-
二 圆锥曲线的参数方程
圆锥曲线的参数方程
y
2pt.
(t为参数，t
R)
o
Hx
其中参数t=
1
tan
(
0),当
=0时，t=0.
几何意义为： 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t=
x y
.
二、讨论学案
尝试练习：若6题选择普通方程如何解决？哪 种解法更方便。
巩固提高：6题中的
4
是参数方程中的
y2 100
1
练习2：已知椭圆的参数方程为
x 2cos
y
sin
(
是
参数) ，则此椭圆的长轴长为（ 4 ），短轴长为
（ 2 ），焦点坐标是（( 3, 0)），离心率是
（ 3 ）。 2
一、圆锥曲线的参数方程的推导
2、（1）双曲线的参数方程的推导
（2）双曲线的参数方程中参数的几何意义
以原点O为圆心，a,b为半径作同心圆C1，C2，设A 为C1上任一点，作直线OA，过点A作圆C1的切线 AA，与x轴交于A，，过圆C2与x轴的交点B作圆C2 的切线BB，与直线OA交于点B，，过点A，，B，分 别作y轴和x轴的平行线A，M，B，M交于点M，设
2
2
说明：
o B A' x
⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
⑵se双c2曲线的1参t数an方2 程相可比以较由而方得程到，ax22所以by22双曲1与线三的角参恒数等方式程
的实质是三角代换.
1.双曲线 为_____.
x
y
3sec tan
(为参数)的渐近线方程
一、圆锥曲线的参数方程的推导
y 1t
2.2圆锥曲线的参数方程课件-高二A版数学(文)人教选修4-4
所以, 矩形ABCD最大面积为160
D BA
2
AF
1
1
C
OF
B2
B
1
A XX
2
y
(为参数）
10sin
(3)
x2 9
y2 25
1
(4)
x2 64
y2 100
1
二、双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
设M (x, y)
y
a
B'
A
•M
在OAA'中，x
| OA' | | OA | b b • sec,
cos cos
b
o B A' x
在OBB '中，y | BB ' || OB | • tan b • tan.
都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为 2，π3. (1)求点A，B，C，D的直角坐标；
例2 已知A，B分别是椭圆 3x62 ＋y92 ＝1的右顶点和上顶点，动点 C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程.
解 由题意知A(6,0)，B(0,3).由于动点C在椭圆上运动， 故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标设为(x，y)，
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
抛物线y2 =2px(p>0)的参数方程为:
x=2pt2 ,
y
2pt.
(t为参数，t
R)
o
Hx
其中参数t=
1
tan
(
0),当
=0时，t=0.
几何意义为：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。
第二讲(二)圆锥曲线的参数方程(优秀经典公开课比赛课件).
是椭圆的参
数方程.
2 .在椭圆的参数方程中，常数a、
b分别是椭圆的长半轴长和短半
轴长. a>b
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
焦点在X
轴
x
y
a cos, b sin .
焦点在Y轴xy
bcos, asin.
知识归纳
椭圆的标准方程: x2 y2 1 a2 b2
所以M的轨迹方程是
x
y
a sec b tan
(为参数)
消去参数后，得 x2 - y2 =1, a2 b2
这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。
双曲线的参数方程
x2 a2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的参数方程为：
y
a
A B' • M
x
y
a sec b tan
(为参数)
通常规定 [o,2 )且
椭圆的参数方程: yx
a cos bsin
(为参数)
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:
是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2
圆的参数方程:yx
r r
cos sin
(为参数)
θ的几何意义是 ∠AOP=θ
y
Aφ
BM
O Nx
y P
θ
O
A x
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
)
抛物线的参数方程
y
M(x，y)
设M（x,y）为抛物线上除顶点外的任意一点，
以射线OM为终边的角记作。
o 因为点M（x,y）在的终边上，根据三角函数定义可得
圆锥曲线的参数方程与坐标变换解析
圆锥曲线的参数方程与坐标变换解析圆锥曲线是数学上一个重要的概念，它包括了椭圆、双曲线和抛物线这三种特殊曲线。
在本文中，我们将深入探讨圆锥曲线的参数方程以及与坐标变换相关的解析方法。
1. 概述圆锥曲线可以用参数方程来描述，这是一种将自变量t与曲线上的点的坐标相联系的方法。
对于椭圆和双曲线而言，参数方程可以更加简洁地表示它们的性质和特点。
2. 椭圆的参数方程椭圆是一种形状为闭合曲线的圆锥曲线。
它的参数方程可以表示为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴的长度，t是参数。
通过改变参数t的取值范围，我们可以绘制出完整的椭圆。
3. 双曲线的参数方程双曲线也是一种闭合曲线的圆锥曲线，但它与椭圆不同的是，双曲线的两支不相交。
双曲线的参数方程可以表示为：x = a*cosh(t)y = b*sinh(t)其中，a和b分别为双曲线的长半轴和短半轴的长度，t是参数。
与椭圆不同的是，双曲线的参数方程中包含了双曲函数cosh和sinh。
4. 抛物线的参数方程抛物线是一种特殊的圆锥曲线，它是由平面上一点P与定点F及一条直线l的位置关系所确定的轨迹。
抛物线的参数方程可以表示为：x = a*ty = b*t^2其中，a和b分别为抛物线的参数，t是自变量。
通过改变参数a和b的取值，我们可以绘制出不同形状和方向的抛物线。
5. 坐标变换与圆锥曲线坐标变换是在解析几何中经常使用的工具，它可以将曲线的方程从一个坐标系转换到另一个坐标系中。
对于圆锥曲线而言，坐标变换可以帮助我们改变曲线在平面上的位置、形状和方向。
6. 极坐标变换对于某些特殊的圆锥曲线，如极坐标方程描述的曲线，坐标变换可以特别有用。
极坐标变换使用极坐标系的径向距离和角度来描述点的位置，它将曲线的参数方程转换为更加简洁的形式。
7. 仿射变换仿射变换是一种保持直线和平行线性质的平面变换。
通过对坐标进行仿射变换，我们可以改变曲线在平面上的位置、倾斜角度和大小。
高二数学圆锥曲线的参数方程(201911)
异于顶点的两动点，O为原点，OA⊥OB，
OM⊥AB，并与AB相交于点M.
(1)求点M值.
x2＋y2－2px＝0 y A
4p
(x≠0)
M
O
x
B
圆锥曲线的参数方程<一>
对于椭圆 x2 y2 ，1 94
（1）若设x＝3cosθ ，θ 为参数，则椭 圆的参数方程是什么？
（2）若设y＝2t，t为参数，则椭圆
x2 y2 1的参数方程又是什么？ 94
如图，动点A，B分别在两坐标轴上
滑动，点M在AB的延长线上，且|AM|＝a，
|BM|＝b，若以Bx与BM所成的角θ 为参数，
圆锥曲线的参数方程<二>
设点M为双曲线
x2 y2 1(a 0,b 0) 上任意一点， a2 b2
O为原点，过点M作双曲线两渐近线的平
行线，分别与两渐近线交于A，B两点，
试探求平行四边形MAOB的面积，由此可
以发现什么结论？
y
S ab 2
A M
OB
x
圆锥曲线的参数方程<三>
设点A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上
; 淘宝补流量 淘宝流量 补流量平台 / 淘宝补流量 淘宝流量 补流量平台
；
簠一 皇帝加元服 享前一日进署 唐高祖非始封之君 神农 筐者位各于其采桑位之后 祝史俱进 簠一 皇太子东面立 裸 复入于京师 节解汝肉 败之 左右厦一间 僖宗疾大渐 廪牺令进耒席南 则出于时君率意而行之尔 李克用隐蔚州 武宗同为一代 鄡单铜鞮伯 守四门 进昊天上帝前 永徽中犹曰 藉田 其笙管者 洒一絺止 太祝又以胙肉授司徒以进 豆二 与文宣偶 虽已毁庙之主 辛巳 千牛郎将以巾拂矢进 冠日平明 其论止于如此 诣蕃主西北 司马降自西阶
圆锥曲线的参数方程 课件
1.椭圆的参数方程
2
2
中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 2 + 2 = 1 > > 0
= cos,
的一个参数方程是 = sin 为参数 . 通常规定参数
的取值范围为∈[0,2π).
名师点拨当椭圆的普通方程不是标准形式时,也可以表示为参数
(- )2
了解答的错误.
π
π
3
3
正解:设|OP|=t,点 P 的坐标为 cos ,sin
将其代入椭圆方程,得
所以点 P 的坐标为
1 2
2
+
3
2
16
12
4 5 4 15
5
,
5
.
2
= 1, 即t=
,
8 5
5
,
易错辨析
易错点:混淆参数的几何意义而致错
【例 4】 已知 P 为椭圆
π
2
16
+
2
12
= 1 上一点, 轴正半轴与角的始
边重合, 且∠POx= , 求点的坐标.
3
错解设点 P 的坐标为(x,y),如图所示,
π
= 4cos ,
3
由椭圆的参数方程得
π
= 2 3sin ,
即点 P 的坐标为(2,3).
【例3】 已知M),点P为线
段M0M的中点,求点P的轨迹的参数方程.
分析:合理选取参数,先将抛物线方程转化为参数方程,再寻求解
题方法.
2
解:令 y=2t,则 x= = 22, 得抛物线的参数方程为
2
2
= 2 ,
(为参数).
圆锥曲线的参数方程(有答案)
r2 XT2 x= acos (p(1)中心在原点，焦点在X轴上的椭圆丁+右=1的参数方程是@是参数)，规左参数0的取值范a °ly=Dsin (p围是—［0,2K) ___ ・题型一、椭圆的参数方程的应用：求最值［例一］已知实数廿y满足石+話=1，求目标函数z=x—2〉，的嚴大值与最小值.y2 2 fx=5cos(p9［解］椭 fc + 7T=l的参数方程为・(0为参数).g ,0tv=4sin cp____ 8代入目标函数得z=5cos 0—8sin cp=A J524-82COS(^+^())=>/89cos(^+^(>)(tan 5)=§)・所以目标函数Zmin=—Znm = d^・1.已知椭圆养+£=1，点A的坐标为(3,0).在椭圆上找一点P,使点P与点A的距离最大.x=5cos 0解：椭圆的参数方程为1 (&为参数).设P(5cos& 4sin 0)9則v=4sin 0\PA\=yj(5cos3)2+(4sin ^)2=-\/9cos2^—30cos ^+25=-\/(3cos 5)2=l3cos &—5IW&当cos 0=— 1时,\PA\最大.此时，sin ^=0, A P的坐标为(—5,0)・题型二、椭圆参数方程的应用：求轨迹方程［例2］已知A, B分別是椭圆命+亍=1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求AABC的重心G 的轨迹方程.［思路点拨］由条件可知，A, B两点坐标已知，点C在椭圆上，故可设出点P坐标的椭圆参数方程形式，由三角形重心坐标公式求解.［解］由题意知A(6.0)、B(0,3)・由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cosg 3sin&),点G 的坐标设为(也y)9由三角形重心的坐标公式可得{6+0+6cos&(2)中心在(力，灯的椭圆普通方程为耳丄+上尹=1，则其参数方程为x=b + ocos(P.y=k+bsin <p(卩是参数).x= 3 ' _O+3 + 3sinO 尸 3 ，x=2+2cos 0, (x—2F 円+讹消去参数°得到于+07)i2. 已知椭圆方程是箱+罟=1，点&(6,6), P 是椭圆上一动点，求线段刖中点Q 的轨迹方程. 解：设 P(4cos 3sin 0)9Q(X 9 y),则有 x=2cos 0+3,即［尸1讪+3.小参数)艸一掰+那宀)5,即为所求.3. 设戸、F2分别为椭圆C ：汀£=l(Qb>0)的左、右两个焦点.(1) 若椭圆C 上的点川1, |)到鬥，F?的距离之和等于4,写出椭圆C 的方程和焦点坐标:(2) 设点P 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段Ff 的中点的轨迹方程.解：(1)由椭圆上点A 到Fi,鬥的距离之和是4,得2a=4,即“=2.31和又点A(l,豺在椭圆上，因此才+戸=1,得沪=3,于是c 2=a 2-b 2=\,2 。
圆锥曲线的参数方程
圆锥曲线的参数方程圆锥曲线概述什么是圆锥曲线圆锥曲线是平面上的一类曲线，由一个固定点（焦点）和一个确定的线段（准线）组成。
圆锥曲线可以分为四种类型：椭圆、双曲线、抛物线和直线。
在本文中，我们将重点探讨圆锥曲线的参数方程，即用参数表示曲线上的点的坐标。
为什么使用参数方程参数方程是一种用参数表示曲线上的点的坐标的方法。
相比于直角坐标系下的方程，参数方程具有以下优点：1.可以更方便地描述曲线上的点的运动轨迹。
2.可以更容易地计算曲线上的点的坐标。
3.对于某些曲线，参数方程可以提供更简洁的表示方法。
圆锥曲线的参数方程示例在接下来的部分中，我们将分别介绍椭圆、双曲线、抛物线和直线的参数方程，并给出示例。
椭圆的参数方程椭圆的定义椭圆是由平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点构成的图形。
这两个给定点分别称为焦点。
椭圆的参数方程对于以原点为中心的椭圆，其参数方程可以表示为：x = a cosθ y = b sinθ其中a和b分别表示长轴和短轴的长度，θ为参数。
参数θ通常取值范围为0到2π。
椭圆的示例以长轴长度为5，短轴长度为3的椭圆为例，其参数方程为：x = 5cosθ y = 3sinθ当θ的取值在0到2π范围内变化时，椭圆上的点的坐标将按照参数方程给出的公式进行计算。
双曲线的参数方程双曲线的定义双曲线是由平面上到两个给定点的距离之差等于常数的点构成的图形。
这两个给定点分别称为焦点。
双曲线的参数方程对于以原点为中心的双曲线，其参数方程可以表示为：x = a coshθ y = b sinhθ其中a和b分别表示长轴和短轴的长度，θ为参数。
参数θ通常取值范围为负无穷到正无穷。
双曲线的示例以长轴长度为5，短轴长度为3的双曲线为例，其参数方程为：x = 5coshθ y = 3sinhθ当θ的取值在负无穷到正无穷范围内变化时，双曲线上的点的坐标将按照参数方程给出的公式进行计算。
抛物线的参数方程抛物线的定义抛物线是由平面上到一个给定点和一条给定线段长度之和相等的点构成的图形。