自动控制原理状态空间方程习题课

可观性的定义：在有限时间内，系统的初始状态可 以由输入和输出确定，则称系统是可观测得。 可观性的判定： 对于n阶单输出的线性定常系统，
& x = A x + bu y = cx
系统可观的充要条件
骣 ÷ çc ÷ ç ÷ ç ÷ çcA ÷ ç ÷ ç ç 2 ÷ ÷ ÷= n çcA ÷ rank ç ÷ ç ÷ ç ÷ çM ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç n- 1 ÷ ÷ çcA ÷ ç 桫
一般可控系统化为可控标准型 1先求可控性矩阵 2再求出可控性矩阵的逆 3取逆的最后一行，再构造出变换矩阵，做 线性变换，即可得到可控标准型 注：可逆线性变换不改变系统的可控性。
系统按可控性分解 1先求可控性矩阵。 2由于可控性矩阵奇异，故选取相应的列向 量，构成一个可逆的变换矩阵。 3利用可逆的变换矩阵对系统作变换，即可 得到系统的可控性分解
第九章习题课
主要内容回顾 1，线性系统的状态方程描述 2，线性系统的可控性与可观性 3，线性系统的传递函数及最小阶实现 4，状态反馈与状态观测器的设计 5，线性系统的稳定性分析 6，历年考研真题选讲
1，线性系统的状态方程描述
x
(n )
+ an - 1x
(n - 1)
+ an - 2x
(n - 2)
利用状态反馈将系统的极点配置到左半平面去，使 系统是渐进稳定的
利用对偶原理，若系统是可观的，则可以设计状态 观测器对系统的状态进行观测，观测器的极点可以 任意配置，使得观测值可以以任意速度接近真实值。 分离原理告诉我们，若系统是可控可观的，则可以 设计状态观测器对系统的状态进行观测，并利用观 测状态进行反馈，使系统的极点可以任意配置，并 且系统极点的配置设计与观测器系统极点的配置设 计可以独立的进行。
骣l t çe ç ç ç ç ç ç = ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç 桫
te l t el t
t 2e l t 2! te l t O
L ÷ ÷ ÷ ÷ 2 lt ÷ t e ÷ ÷ ÷ ÷ 2! ÷ ÷ lt ÷ te ÷ ÷ ÷ ÷ lt ÷ e ÷ ÷
非齐次线性定常系统的解
& x = A x + bu
5，线性系统的稳定性分析
主要是两种稳定性分析： 1，渐进稳定：系统矩阵的所有特征值都在复平面 的左半平面内，即均有负实部。 2，BIBO稳定：传递函数的分母多项式的极点都在 复平面的左半平面内，即均有负实部。 注：传递函数只反映系统既可控，又可观测的部分， 所以渐进稳定是属于BIBO稳定的，即若系统渐进 稳定，则一定BIBO稳定。
可控性的定义：系统的状态在控制输入的作用下， 由有限时间到达原点，简而言之，就是系统的状态 能够受控制输入的制约。 可控性的判定： 对于n阶单输入的线性定常系统，
& x = A x + bu
系统可控的充要条件
rank (b A b A 2b L A n - 1b) = n
系统可控指的是系统的模态可控，即系统的n个特 征根可控，因此，也有如下的可控性判据： 系统可控的充要条件是对A的任意特征根，有
若系统可控可观，则它的可控标准型实现亦 是可观的，同理，它的可观标准型实现亦是 可控的 传递函数只反映系统既可控，又可观测的部 分
4，状态反馈与状态观测器的设计
若系统是可控的，则系统的模态可以通过状态反馈 任意配置，且状态反馈不改变系统的可控性，但有 可能改变系统的可观测性
& x = A x + bu = A x + b(v - kx ) = (A - bk )x + bv
五，(02年)系统动态方程如下
1 骣 1 ÷ ÷x + & ç x = ç ÷ ç ç0 - 2 桫 y = (2 1)x
1 骣÷ ç ÷u ç ç0 ÷ ç ÷ 桫
1，设计一个全维状态观测器，观测器的极点要求 配置在-3，-4，写出观测器的表达式。 2，若取状态反馈u=Kx^+v,其中K=(-2 -3),v是 参考输入，x^是状态估计，求由对象，全维状态 观测器及状态反馈构成的闭环系统的传递函数。
& + L + a1x + a 0 = u
矩阵形式
& x = A x + bu
x , b 挝R n , A
R n ´ n , u R
齐次线性定常系统的解与状态转移矩阵
& x = A x,
方程的解
x (0)
x = f (t )x (0) = e A t x (0)
状态转移矩阵 f (t ) 的性质
6，历年考研真题选讲
一，（02年）已知两个系统S1,S2的状态方程和输 出方程分别为 0 0 1
骣 骣 ÷x + ç ÷u ç ÷ ÷ & S 1 : x1 = ç ÷ ç- 3 - 4 1 ç 1 ÷ 1 ç ÷ ç ç 桫 桫 y = (2 1)x 1 & S 2 : x 2 = - 2x 2 + u 2, y 2 = x 2
谢谢，再见！
f (0) = I f
- 1
(t ) = f (- t )
- 1
f (t 2 - t1 ) = f (t 2 )f f (t ) = f (kt )
k
(t 1 )
e A t 的求法
1，拉式变换法
e A t = L骣 çl 1 ç ç ç A = ç O ç ç ç ç0 桫
1
{(Is - A )- 1 }
三，(04年)系统动态方程如下 骣 1 0 0鼢 骣 2 珑 鼢 珑 鼢 珑 & 珑 x = 珑0 0 1 鼢 + 0 u x 鼢 鼢 珑 鼢 珑 鼢 珑0 1 0 鼢 桫1 桫
y = (0 a 1)x
其中a是实常量参数，问 1，判断系统是否渐进稳定？为什么？ 2，参数a取何值时系统BIBO稳定？为什么？
骣l 1 çe ç ç = ç ç ç ç ç ç0 桫
2，对角型与约当块法
0÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ln÷
0
O el n
eA
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
l 骣 1 ç ç ç l 1 ç ç A = ç ç O ç ç ç ç ç 桫
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ At ÷e ÷ 1÷ ÷ ÷ ÷ ÷ l ÷
变换不改变传递函数
G (s ) = C (Is - A )- 1 B + D = CP = CP
- 1 - 1
(Is - PA P
- 1 - 1
) PB + D ) PB + D
(P (Is - A )P
- 1
- 1 - 1
= C (Is - A ) B + D = G (s )
2，线性系统的可控性与可观性
At
x , b 挝R n , A
R n ´ n , u R , x (0)
x (t ) = e x (0) +
ò0
t
e A (t - t )bu (t )d t
线性系统的传递函数
& x = A x + Bu y = Cx + Du
拉氏变换后
sx (s ) - x (0) = A x (s ) + Bu (s )
系统可观指的是系统的模态可观，即系统的n个特 征根可观测，因此，也有如下的可观性判据： 系统可观的充要条件是对A的任意特征根，有
l 骣I - A ÷ rank ç ç c ÷= n ÷ ç ÷ 桫
因此，对于约当型系统可观：要求同一特征制对应 一个约当块，且每一约当块的第一行对应的c中元 素不为0。
系统可观情况下的标准型：
& x = A x + bu y = cx + d 0 骣 ç ç ç ç1 ç A = ç ç ç ç ç ç0 ç 桫 c = (0 L O O ÷ ÷ ÷ 0 - a1 ÷ ÷ ÷, ÷ M ÷ 0 ÷ ÷ ÷ ÷ 1 - an - 1 ÷ 1) 0 - a0
0 L
注：可控性与可观性是一对对偶的性质，因 此，它们之间的许多性质可以相互利用。 可观系统化为可观标准型，以及系统按可观 性分解均可根据对偶原理，利用可控性的相 关性质来做。
四，(05年)系统动态方程如下
骣a çç ç & ç x = ç5 ç ç 琪0 ç 桫 y = (2 0
0 ÷ ÷ ÷ ÷ - 5 - 15 ÷x + ÷ ÷ ÷ 0 b ÷ 麋 0)x 0
骣÷ ç1 ÷ ç ÷ ç ÷ ç 5 ÷u ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç0 ÷ 桫
其中a，b是实常数，分别写出满足下列稳定性要 求时，参数a，b应满足的条件： 1，当u=0，系统渐进稳定。 2，系统BIBO稳定。
有
y (s ) = Cx (s ) + Du (s ),
x (0) 来自百度文库 0
y (s ) = C (Is - A )- 1 B + D u (s )
线性系统的等价
& x = A x + Bu y = Cx + Du
作可逆变换 等价系统
x = Px
& x = A x + Bu y = Cx + Du A = PA P - 1, B = PB ,C = CP 1
若两个系统如题图所示的方式串联，设串联后的系 统为S。 1，求S的状态方程和输出方程 2，分析S的可控性和可观性
二，（05年）已知某系统的传递函数
5 G (s ) = 2s 3 + 4s 2 - 10s - 12
1，做出系统G(s)可控标准型实现和可观标准型实 现；并说明这两个实现之间是否代数等价 2：对上述可控标准型实现设计状态反馈（求出状 态反馈增益向量，状态反馈后的闭环系统可设为Abk的形式），同时满足要求：闭环系统阶跃响应的 超调量为4.3%，调节时间t=3.5s（取5%的误差 带），且其中一个闭环极点为-7。
rank (l I - A b) = n
因此，对于约当型系统可控：要求同一特征制对应 一个约当块，且每一约当块的最后一行对应的b中 元素不为0。
系统可控情况下的标准型：
& x = A x + bu 1 0 骣0 ç ç ç M O ç A = ç ç ç 0 0 L ç ç ç ç - a 0 - a1 K 桫 0 骣÷ 麋 ÷ ç ÷ ÷ ÷ çM ÷ 0 ÷ ç ÷ ÷, b = ç ÷ ç ÷ ÷ ç0 ÷ ÷ 1 ÷ ÷ ç ÷ ÷ 麋 ÷ ç ÷ ÷ ç1 ÷ - an - 1 ÷ ç ÷ 桫 0
3，线性系统的传递函数及最小阶实现
系统
& x = A x + bu y = cx + d
对于单输入单输出线性系统来说，可控可观的充要 条件是分子多项式与分母多项式没有零极点对消
g(s ) = c(Is - A )- 1b cadj (Is - A )b N (s ) = = Is - A D (s )