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第一章 §1.1 集合

1. 关于集合的元素的特征

（1）确定性（组成元素不确定的如：我国的小河流） （2）互异性 （3）无序性

集合相等：构成两个集合的元素完全一样

(1)若集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同则称集合A 等于集合B,记作A=B.

(2) B A A B B A =⇔⊆⊆,

例：已知A={1,1+d ，1+2d}，B={1，q ，q 2}，若A=B ，求的，d ，q 的值。 解：d=－，q=－

2. 元素与集合的关系；

（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to ）A ，记作a ∈A （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to ）A ，记作a ∉A

子集与真子集：如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作B A ⊆或A B ⊇.

若集合P 中存在元素不是集合Q 的元素，那么P 不包含于Q ，或Q 不包含P.记作

Q P ⊄

若集合A 是集合B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 叫做集合B 的真子集. B A ⊂或A B ⊃.

子集与真子集的性质：传递性：若B A ⊆，C B ⊆，则C A ⊆ 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.

3. 常用数集及其记法

非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R

4. 集合的表示方法

（1） 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。 如：{1，2，3，4，5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…；

（2） 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}

内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或

变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}，…；

（3） 自然语言描述法：小于10的所有正偶数组成的集合。

（{2,4,6,8}）

问：1、{1，3，5，7，9}如何用自然语言描述法表示？2、用例举法表示集合{|18}A x N x =∈≤<

练习：（1）已知集合M={a ，b ，c}中的三个元素可构成某一三角形的三条边，那么此三角形一定不是（ ）

A 直角三角形

B 锐角三角形

C 钝角三角形

D 等腰三角形 5. 集合间的基本运算

并集（∪）：一般的由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，成为集合A 与B 的并集，记作A ∪B ，即： {|,}A B x x A x B =∈∈或,韦恩图如下：

交集（∩）：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集

合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B ，即：

{|,}.A B x x A x B =∈∈且韦恩图如下：

全集（U ）：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元

素，那么就成这个集合为全集，记为U 。

补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称

为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作C U A ，即

C U A ={x x U 且 x A}，韦恩图如下：

练习：

1、若A={0，2，4}，C U A={-1，2}， C U B={-1，0，2}，求B= 。

2、设A={x|x>-2},B={x|x<0},求A ∩B.

3、若A={x|x=4n,n ∈Z}，B={x|x=6n,n ∈Z}，求A ∩B.

4、A={x|a ≤x ≤a+3},B={x|x ＜-1或x ＞5} ， 分别求出满足下列条件的a 的取值范围 : (1) A ∩B=Æ (2) A ∩B=A

U

C U A A

5、已知A={x|-1＜x ＜2}, B= {x|1＜x ＜3}求A ∪B.

__________}2

1

|{}2|{6=∈+=∈=B A Z m m B Z n n A ，则，、集合

7、已知X={x|x 2+px+q=0，p 2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10}，且 X B X ,A X =∅= ，试求p 、q ；

8、已知集合A={a+2，(a+1)2，a 2+3a+3}，且1∈A ，求实数a 的值

9、已知集合A={x|x 2－5x ＋6=0}，B={x|mx ＋1=0}，A ∪B=A ，求实数m 的值组成的集合。

10、集合A={x||x －2|≤2，x ∈R}，B={y|y=－x 2，－1≤x ≤2}，则C R (A ∩B)等于（）

A.R

B.{x|x ∈R ，x ≠0}

C.{0}

D. Φ（空集）

11、已知{a ，b}⊆A ，且A 为{a ，b ，c ，d ，e}的真子集，则满足条件的集合A 的个数是（）

12、记函数f （x ）=lg （2x －3）的定义域为集合M ，函数g （x ）=的定

义域为集合N ，求：（1）集合M 、N ；（2）集合m ∩N ，M ∪N

13、已知集合A={x||x －a|≤1}，B={x|x 2－5x ＋4≥0}，若A ∩B=Φ，则实数a 的取值范围是（）

§1.2 函数

函数概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。 记作： y =f (x )，x ∈A ．

其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域． 构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域

区间：（1）、开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）、无穷区间；区间的数轴表示

例1：已知函数f (x ) = 3+x +2

1

+x ，求函数的定义域。

例2：设一个矩形周长为80，其中一边长为x ，求它的面积关于x 的函数的解析式，并写出定义域。 函数的定义域小结：

（1）如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R .

（2）如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 .

（3）如果f (x )是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.

（4）如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集） （5）满足实际问题有意义.

例3：下列函数中哪个与函数y=x 相等？

（1）y = (x )2 ; （2）y = (33x ) ;

（3）y =2x

; （4）y =

x

x 2

练习：1.求下列函数的定义域

（1）y=＋

（2） y=

（3）已知f （x ）的定义域为（－1,1），求函数F （x ）=f （1－x ）＋f （）的定义域。

2.已知A={1,2,3，k}，B={4,7，a 4，a 2＋3a}，a ∈N *，x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y=3x+1是从定义域A 到值域B 的一个函数，求a ，k ，A ，B 。 解：a=2，k=5，A={1,2,3,5}，B={4,7,16,10}

映射：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．