第九章应力状态(3,4,5)分解

s min
2 2
2 t x
解：
s 2 50MPa s 1 s 2 50MPa
s 3 50MPa
t max s1 s 3
2 50MPa
[例9-14]求图示应力状态的主应力和最大 剪应力（应力单位为MPa）。
s max
解：
s min

s x s y
§9-3 空间应力状态的概念
当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点 处的应力状态为空间应力状态(三向应力状态)；钢 轨在轮轨触点处就处于空间应力状态(图a)。
空间应力状态最一 般的表现形式如图所 示；正应力sx、sy、sz 的下角标表示其作用 面，切应力txy、txz、tyx、 tyz、tzx、tzy的第一个下角标表示其作用面，第二个 下角标表示切应力的方向。
现在来导出一般空 间应力状态(图a)下的广 义胡克定律。因为在线 弹性,小变形条件下可以 应用叠加原理，故知x方 向的线应变与正应力之 间的关系为
s y sz 1 ex s x s y s z E E E E 同理有 1 1 e y s y s x s z ，e z s z s x s y E E sx
图中所示的正应力和切应力均为正的，即正应力以拉应 力为正。如果某作用面的外法线是沿着坐标轴的正向，则该 面上的切应力分量就以沿坐标轴正向时为正，相反，如果某 截面上的外法线是沿着坐标轴的负向，则该面上的切应力分 量就以沿坐标轴负向时为正。这样剪应力互等定理的表达式 就可不加负号了。
最一般表现形式的空间应力状态中有9个应力 分量，但根据切应力互等定理有txy＝tyx，tyz＝tzy ， txz＝tzx，因而独立的应力分量为6个，即sx、sy、sz、 tyx、tzy、tzx。
当空间应力状态的三个主应 力s1、s2、s3已知时(图a)，与 任何一个主平面垂直的那些斜截 面(即平行于该主平面上主应力 的斜截面)上的应力均可用应力 圆显示。
三向应力状态下的应力圆
s2
s1 s3
若三个主应力已知，求任意斜截面上的应力:
首先分析平行于主应力之一σ3的斜截面上的应力。
σ3 对斜截面上的应力没有影响。这些斜截面上的 应力对应于由主应力 σ1 和 σ2 所画的应力圆圆周上各 点的坐标。
s2
s1 s1 s3
s3
s2
t
s
s3
s2
s1
同理，在平行于 σ2 的各个斜截面上，其应力对应于
由主应力 σ1 和 σ3 所画的应力圆圆周上各点的坐标。
主单元体：六个平面都是主平面
s2 s 3
s1 s3 s1
t
s3
s2
s1
s
s2
在平行于 σ1 的各个斜截面上，其应力对应于由主
应力 σ2 和 σ3 所画的应力圆圆周上各点的坐标。
s2
s1 s
s3
在三向应力状态情况下：
s2
s max s 1 s min s 3
t max s1 s3 2
s3
s2
s3
s1
s1
τmax 作用在与σ2平行且与σ1和σ3的方向成45° 角的平面上，以τ1，3表示。
[例9-12]求图示应力状态的主应力和最大 应力（应力单位为MPa）。 s max s x s y s x s y 2 解：
s2 s 3
s1 s3 s1
t
s3
s2
s1
s
s2
这样，单元体上与主应力之一平行的各个斜截 面上的正应力和剪应力，可由三个应力圆圆周上各 点的坐标来表示。
t
s3
s2
s
s1
至于与三个主方向都不平行的任意斜截面，弹性 力学中已证明，其应力σn和τn可由图中阴影面内某点 的坐标来表示。
t
s1 s3
s2
n
2
s min

2

2
2 t x
s 1 30 20 30 20 52.2 2 40 42.2 MPa s3 2 2
s 2 50MPa
t max
s1 s3 47.2MPa 2
[例9-13]求图示应力状态的主应力和最大 剪应力（应力单位为MPa）。s max s x s y s x s y 2
关于应力分量的正负已于§7-3中讲述；至于应 变分量的正负为了与应力分量的正负相一致，规定： 线应变ex , ey , ez以伸 长变形为正，切应变 gxy、gyz 、gzx 以使单 元体的直角∠xOy 、 ∠yOz 、∠zOx减小 为正。
本节讨论在线弹性范围内，且为小变形的条件 下，空间应力状态的应力分量与应变分量之间的关 系，即广义胡克定律。
一. 单向应力状态虎克定律和剪切虎克定律
纵向应变： e
横向应变：

s
E
s
s
σ ε νε ν E
τ Gγ
二. 各向同性材料的广义胡克定律
对于各向同性材料，它在任何方向上的弹性性 质相同，也就是它在各个方向上应力与应变之间的 关系相同。因此，对于各向同性材料：
(1) 在正应力作用下，沿正应力方向及与之垂 直的方向产生线应变，而在包含正应力作用面在内 的三个相互垂直的平面内不会发生切应变； (2) 在切应力作用下只会在切应力构成的平面 内产生切应变，而在与之垂直的平面内不会产生切 应变；也不会在切应力方向和与它们垂直的方向产 生线应变。
至于切应变与切应力 的关系，则根据前面 所述可知，切应变只 与切应变平面内的切 应力相关，因而有
g xy
t xy
G
，g yz
t yz
G
，g zx
t zx
G
1 ε x [σ x ν (σ y σ z )] E 1 ε y σ y ν σ x σ z E 1 εz σ z ν σ x σ y E
2
s x s y 2 t x 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
s 1 120 40 120 40 130 2 30 30 MPa s2 2 2
2
s 3 30MPa s1 s3 t max 80MPa
2
§9-4 应力与应变间的关系
前已讲到，最一般表现形式的空间应力状态有6 个独立的应力分量： sx 、sy 、sz 、txy 、 tyz 、tzx；与之相应 的有6个独立的应变 分量：ex、ey 、ez、 gxy 、gyz 、gzx。