R语言实验6

实验6 参数估计

一、实验目的：

1. 掌握矩法估计与极大似然估计的求法；

2. 学会利用R 软件完成一个和两个正态总体的区间估计；

3. 学会利用R 软件完成非正态总体的区间估计；

4. 学会利用R 软件进行单侧置信区间估计。

二、实验内容：

练习： 要求：①完成练习并粘贴运行截图到文档相应位置(截图方法见下)，并将所有自己输入文字的字体颜色设为红色（包括后面的思考及小结），②回答思考题，③简要书写实验小结。④修改本文档名为“本人完整学号姓名1”，其中1表示第1次实验，以后更改为2,3,...。如文件名为“1305543109张立1”，表示学号为1305543109的张立同学的第1次实验，注意文件名中没有空格及任何其它字符。最后连同数据文件、源程序文件等（如果有的话，本次实验没有），一起压缩打包发给课代表，压缩包的文件名同上。 截图方法：

法1：调整需要截图的窗口至合适的大小，并使该窗口为当前激活窗口（即该窗口在屏幕最前方），按住键盘Alt 键（空格键两侧各有一个）不放，再按键盘右上角的截图键（通常印有“印屏幕”或“Pr Scrn ”等字符），即完成截图。再粘贴到word 文档的相应位置即可。 法2：利用QQ 输入法的截屏工具。点击QQ 输入法工具条最右边的“扳手”图标，选择

其中的“截屏”工具。）

1. 自行完成教材P163页开始的4.1.3-4.3节中的例题。

2. （习题4.1）设总体的分布密度函数为

⎩⎨

⎧<<+=,

,

10)1();(其他x x x f α

αα

X 1，X 2，…，X n 为其样本，求参数α 的矩估计量1ˆα

和极大似然估计量2ˆα。现测得样本观测值为

0.1, 0.2, 0.9, 0.8, 0.7, 0.7

求参数 α 的估计值。

解：先求参数α 的矩估计量1ˆα

。由于只有一个参数，因此只需要考虑E(X )=X 。 而由E(X )的定义有：E(X )=

2

1

|21)1()(1021

++=++=+⋅=⋅++∞

∞

-⎰

⎰ααααααα

x dx x x dx x f x 因此

X =++21αα，解得211

ˆ1--=X

α。

以下请根据上式完成R 程序，计算出参数α 的矩估计量1ˆα

的值。

源代码及运行结果：（复制到此处，不需要截图） x<-c(0.1, 0.2, 0.9, 0.8, 0.7, 0.7) >(2*mean(x)-1)/(1-mean(x)) [1] 0.3076923

下面再求参数α 的极大似然估计量2ˆα

。只需要考虑x ∈(0, 1)部分。依题意， 此分布的似然函数为 L (α; x )=

∏∏==+=n

i i

n

n i i

x x f 1

1

)()1();(ααα

相应的对数似然函数为 ln L (α; x )=n ln(α +1)+ α ln

∏=n

i i

x

1

令 ++=∂∂1);(ln αααn

x L ln ∏=n

i i x 1

=0

解此似然方程得到1ln 1--

=∏=n

i i

x n α，或写为1ln 1

--

=∑=n

i i

x

n

α。

容易验证0ln 2

2<∂∂αL

，从而α 使得L 达到极大，即参数α 的极大似然估计量un 1ln ˆ1

2--=∑=n

i i

X

n

α

。

以下请根据上式完成R 程序，计算出参数α 的极大似然估计量2ˆα

的值。 源代码及运行结果：（复制到此处，不需要截图） >f<-function(a) 6/(a+1)+sum(log(x)) >uniroot(f,c(0,1)) $root

[1] 0.211182 $f.root

[1] -3.844668e-05 $iter [1] 5 $init.it [1] NA $estim.prec

[1] 6.103516e-05

3. （习题

4.2）设元件无故障工作时间X 具有指数分布，取1000个元件工作时间的

提示：

①根据教材P168例4.7知，指数分布中参数 λ 的极大似然估计是n /

∑=n

i i

X

1

。

②利用rep()函数。

解：源代码及运行结果：（复制到此处，不需要截图）

x<-c(rep(5,365),rep(15,245),rep(25,150),rep(35,100),rep(45,70),rep(55,45),rep(65,25)) >1000/sum(x) [1] 0.05

4. （习题4.3）为检验某自来水消毒设备的效果，现从消毒后的水中随机抽取50升，

化验 每升水中大肠杆菌的个数（假设一升水中大肠杆菌个数服从

Poisson 分布），其化验结果如下：

试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时，才能使上述情况的概率为最大？ 解：此题实际就是求泊松分布中参数 λ 的极大似然估计。 泊松分布的分布律为 P {X =k }=

!

k e k λ

λ-, k =0,1,2,…, λ > 0

设x 1，x 2，…，x n 为其样本X 1，X 2，…，X n 的一组观测值。

于是此分布的似然函数为 L (λ; x )= L (λ; x 1，…，x n )=

λλ

λ

λn n x n

i i x e x x x e n

i i

i

-=-∑=

=∏

!

!!

111

相应的对数似然函数为 ln L (λ; x )= -n λ+

∑=n

i i

x

1

ln λ-

∑=n

i i

x 1

)!ln(

令

∑=++-=∂∂n

i i x n x L 1

1);(ln λαλ=0 解此似然方程得到x =λ

容易验证0ln 2

2<∂∂λL ，从而λ 使得L 达到极大，即参数λ 的极大似然估计量X =λˆ。 以下请据此完成R 程序，计算出参数λ 的极大似然估计量λ

ˆ的值。同上题，也需要利用rep()函数。

源代码及运行结果：（复制到此处，不需要截图）