数学建模：公交公司司机排班方案

问题 1 中，以月份总班次最少为目标函数，将公司对司机的 3 点要求作为约
束条件，建立了单目标优化模型。经计算得到最少需要 2463 班次，且各类别的
班次如下表所示：
类别
天数
排班间隔
每天班次
节假日
11 天
10 分钟每班
73 班次
工作日高峰期
20 天
8 分钟每班
48 班次
工作日非高峰期
20 天
10 分钟每班
由于总时间充裕，所以当司机开了接近 4 小时的车的时候就换司机，或者没 开班 1 次就休息一次，这样就可以满足该约束条件。 （3）每名司机每月至少完成 120 班次
平均每天至少完成 3 班次，每天至少要 60 个班次，而每天至少有 73 个班次， 所以可以满足该约束条件。
综上所述，上述模型结果可以满足约束条件。 5.4 结果分析
本问要求在问题 2 的基础上，计算出每天需要的司机人数，在假设每个司机 每周连续工作五天，休息两天。确定使得司机总数最少的排班方案。
在本文中，将司机看作特殊的乘客，让司机进行排队上车，安排司机的排班 方案。
5、问题 1 模型的建立与求解
5.1 问题的分析 2011 年 5 月份共包含节假日 11 天，正常工作日 20 天，以总发车次数最少
4、问题分析
4.1 问题 1 的分析 本问要求根据 5 月份节假日情况，求出当月最少班次总数。由于节假日与正
常工作日发车间隔与运行时间均相互独立，所以分开考虑两种情况。当两种情况 均达到最小发车次数时，总发车班次此时最小。
将公交公司对司机工作时间的 3 条规定可以看成约束条件，总发车次数最少 为目标函数，进而可建立非线性优化模型。 4.2 问题 2 的分析
⎪
s.t.
⎪ ⎨
⎪
⎪
⎪
m1
∑ xijk cijk ≤ 480
j =1
2
∑ xi, j+ p,k < 3
p=0
⎪ ⎪
31
∑ xijk ≥ 120
⎪
i =1
⎪ ⎧0
⎪ xijk ⎪
=⎨ ⎩1
第i天第j班次司机k开车 第i天第j班次司机k不开车
⎪ ⎪ ⎩⎪
⎧⎪cijk ∼ U (80,85) 正常 ⎨⎪⎩cijk ∼ U (100,120) 高峰
35 班次
月度总班次
2463 次
问题 2 中，为了合理安排 5 月份司机排班方案，将司机班次的方差和工作时
间的方差作为衡量合理性的标准，由于两个方差不同且难以进行归一化处理，故
2 者均作为目标函数；将公司对司机的 3 点要求作为约束条件建立了多目标规划
模型，考虑到该模型约束条件的复杂性,并不直接对模型进行编程求解，而是首
节假日每天开班 73 次，则每天工作时间介于区间[5840, 6205]（单位：分钟，
下同）。
平时每天开班共 83 次，每天工作时间介于区间[7560,8665] 。
司机每天上班不超过 8 小时就是 480 分钟，20 个司机就是 9600 分钟，故该 约束条件可以满足。 （2）司机连续工作不能超过 4 小时
为目标函数，公交公司的规定作为约束条件，建立单目标优化模型。 5.2 模型的建立 5.2.1 目标函数的确定 1、节假日开班次数的确定
用 x1 表示节假日排班时间间隔，由于节假日的排班间隔为 5~10 分钟一班，
-4-
且服从均匀分布，所以
x1 ∼ U (5,10) 夏令开收班时间为 6:15—18:20，共 725 分钟，所以节假日每天开班次数
非高峰期共包括 3 个时间段：8:30~11:30；13:30~16:30；18:00~18:20，共计 380 分钟，所以非高峰期每天开班次数
⎡380 ⎤
m2 = ⎢ ⎣
x2
⎥ +1 ⎦
高峰期共包括 3 个时间段：6:00~8:30；11:30~13:30；16:30~18:00，共计 360 分钟，然而夏令开班时间是从 6:15 开始，因此高峰期实际只有 345 分钟，所以 高峰期开班次数
本问要求合理设计 5 月份的排班方案，如何突出合理性是本文的一大关键。 公交司机作为公交公司的员工，每位司机的工作班次和工作时间应该尽量相等， 因此可用工作班次和工作时间的方差来衡量合理性指标，由于工作班次与工作时 间的量纲差异性较大，也不宜进行归一化处理，因此可建立多目标规划模型。 4.3 问题 3 的分析
5 月份最少班次的排班方案如下表所示：
表 1：5 月份总班次最少的排班方案示意表
类别
问题 3 中，在问题 2 的基础上，将司机看成“乘客”进行排队上车，从而得
到总共需要 26 名司机，又司机每连续工作 5 天就休息 2 天，故每天安排 24 位司
机，最后给出了该月的司机排班方案。
在模型改进中，进一步考虑了实际发车中可能出先的 2 种问题：1、某班车
发车时处于正常时段，但在本班次中后处于高峰时段； 2、某班车发车时处于高
数模训练
公交公司司机排班方案
指导老师： 陈 作 清
组员：
王青春 王诗怡
朱倩
2011 年 8 月 23 日
-1-
基于优化模型和计算机仿真的公交司机排班方案 摘要
本文建立了优化模型，并利用计算机仿真设计了公交司机排班方案，确定了
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2011 年 5 月份某线路的司机排班方案。并根据排班方案优化了需要的司机人数。
第 i 天第 j 班次第 k 号司机此班次所用时间（当 xijk = 0 时， cijk = 0 ；当 cijk
xijk = 1时， cijk 服从均匀分布）
σ1,σ 2 司机月份班次次数和月份工作时间的方差
σ
* 1
,
σ
* 2
司机月份班次次数和月份工作时间的理想方差（精度）
α 公交车的运行时间修正参数
-6-
5.3 模型的求解 考虑 2011 年 5 月份的班次，2011 年 5 月份共有节假日 11 天，工作日 20 天，
所以 α1 = 11,α2 = α3 = 20
5.3.1 模型算法复杂性分析及求解思路分析 本模型直接用软件编程求解非常困难，单 xijk 的取值就超过 10000 种情况，
⎧0
xijk
=
⎨ ⎩1
第i天第j班次司机k开车 第i天第j班次司机k不开车
用 cijk 表示第 i 天第 j 班次第 k 号司机此班次所用时间，则
⎧⎪cijk ∼ U (80,85) 正常 ⎨⎪⎩cijk ∼ U (100,120) 高峰
-5-
其中 i = 1, 2,...,31 ； j = 1, 2,..., mi ； k = 1, 2,..., 20 ； mi 表示第 i 天公交班次
⎡ 345 ⎤
m3 = ⎢ ⎣
x3
⎥ +1 ⎦
3、目标函数的确定 总发车次数为上述 3 种情况的和，所以目标函数
3
∑ M = αimi
i =1
其中α1 表示节假日的天数，α2,α3 表示正常工作日的天数。 5.2.2 约束条件的确定
定义标识符 xijk ，表示第 i 天第 j 班次第 k 号司机是否开车，其中
2、模型假设
1、假设行车路上不发生任何行车时间超过题目给出的范围的事件； 2、线路的排班间隔、车辆的运行时间服从均匀分布； 3、工作日高峰期和非高峰期间隔是单独发车。
3、符号说明
符号 xi mi
xijk
意义 不同类型的时间段排班间隔（ i = 1表示节假日； i = 2 表示工作日非高 峰期； i = 3 表示工作日高峰期） 不同类型的时间段应发车班数（ i 的意义同上）
= 11(⎢ ⎣
x1
⎥ +1) +12(⎢
⎦
⎣
x2
⎥+⎢ ⎦⎣
x3
⎥ + 2) ⎦
由于 xi 均服从均匀分布，所以当
时， M 取最小值，且
x1 = 10, x2 = 10, x3 = 8
M min = 2463
此时的排班方案为： （1）节假日（共 11 天）每天开 73 班，每 10 分钟一班； （2）工作日（共 20 天）平时每天开班 35 次，每 10 分钟一班； （3）工作日（共 20 天）高峰期每天开班 48 次，每 8 分钟一班。 2、约束条件满足性验证 （1）每名司机每天工作时间不超过 8 小时
1、司机每天上班时间不超过 8 小时约束 该约束等价于
m1
∑ xijkcijk ≤ 480
j =1
2、司机连续开车不超过 4 小时 由于每班次至少 80 分钟，最多 120 分钟，所以连续开车不超过 4 小时等价
于不能连续开车 3 班次，即
3、司机每月至少完成 120 班次 该约束等价于
2
∑ xi, j+ p,k < 3
求目标函数的次优值，转 Step（2）； Step（4）：若一直存在约束条件无法满足，则该问题无解。
其算法流程图如下：
图 1：问题 1 模型的算法流程图
5.3.2 模型的求解 1、无约束条件下目标函数最优解
目标函数
-7-
M = 11m1 + 20(m2 + m3 )
⎡ 725⎤
⎡380 ⎤ ⎡345⎤
⎡ 725⎤
m1 = ⎢ ⎣
x1
⎥ +1 ⎦
其中[ x] 为高斯函数，表示不超过 x 的最大整数。
2、工作日开班次数的确定 用 x2 , x3 分别表示非高峰期和高峰期排班时间间隔，均服从均匀分布，而非
高峰期 8~10 分钟每班，高峰期 4~8 分钟每班，所以 x2 ∼ U (8,10) x3 ∼ U (4,8)
又 cijk 服从均匀分布，取值无法确定。因此，该模型不宜直接求解。 鉴于此，本文采取如下的方法进行模型求解： Step（1）：不考虑约束条件，求出无约束条件下目标函数的最大值； Step（2）：将 Step（1）中的理想情况用约束条件进行检验，若满足约束条
件，则计算终止，Step（1）确定的最优值即为所求；否则转 Step（3）； Step（3）：剔除 Step（1）最优值满足的约束条件，保留不满足的约束条件，
峰时段，但一段时间后处于正常时段；针对这 2 种情况，引进公交车的运行时间
修正参数α ，对在车上的运行时间进行修正，修正后班次的反差为 0.1961，工作
时间的方差为 9.60，模型的精度进一步提高。
问题 2 中将司机工作时间和工作班次的方差看作衡量合理性的标准以及在
问题 3 中将司机看成乘客进行排班是本文最大的两个亮点。
p=0
31
∑ xijk ≥ 120
i =1
5.2.3 模型的得到 综上所述，得到总发车班次最少的优化模型
3
∑ min M = αimi
i=1
⎧
⎡725 ⎤
⎪ ⎪
m1 = ⎢ ⎣
x1
⎥ +1 ⎦
⎪ ⎪ ⎪
⎡380 ⎤
m2 = ⎢ ⎣
x2
⎥ +1 ⎦
⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎡345 ⎤
m3
=⎢ ⎣
x3
⎥ +1 ⎦
⎪
先设定目标函数的精度，用 MATLAB 对约束条件进行循环模拟排班，当排班方
案对应的目标函数满足精度要求时，运算终止。经循环 17 次达到精度要求，此
时该月共运行班次 3015 班，工作班次的方差为 0.1961，工作时间的方差为 12.62，
具有较高的精度。并在附录中给出了 3015 班次的发车时间。
第 i 天第 j 班次第 k 号司机是否开车， xijk = 0 时表示不开车； xijk = 1时
表示开车（ i = 1, 2,..., d ； j = 1, 2,..., mi ； k = 1, 2,..., n ； d 表示所研究
-3-
的月份的总天数； mi 表示第 i 天公交班次； n 表示司机的总人数）
关键词：公交排班，多目标规划，计算机仿真
-2-
1、问题重述
随着武汉市经济进一步的发展，道路变得越来越多。公交优先，百姓优先， 为此武汉市公交总公司开辟了各种线路以满足老百姓出行需要。而现实却是经常 出现司机数量不足、工作时间过长、因堵车扰乱行车计划等问题。一般而言，公 交公司按月给司机排班。
现有某条线路基本情况如下： 1、开收班时间：冬令（12 月—3 月）6:20—18:10；夏令（4 月—11 月）6:15 —18:20。 2、司机人数：20 人。 3、排班间隔：工作日：高峰期 4—8 分钟每班；非高峰期期 8—10 分钟一班； 节假日：5—10 分钟一班 [注：高峰期为 6:00—8:30，11:30—13:30，16:30—18:00]。 4、运行时间：高峰期:100—120 分钟每班次；非高峰期（包括节假日）：80 —85 分钟每班次。 同时，公司对司机工作时间有如下规定： 1、司机每天上班时间不超过 8 小时； 2、司机连续开车不得超过 4 小时； 3、每名司机每月至少完成 120 班次。 结合上述情况，请完成如下 2 个问题： 问题 1：根据五月份的节假日情况，求出当月最少班次总数 问题 2：阐述你对上述规定的理解，并根据你的理解建立适当的数学模型， 合理地设计五月份该线路的司机排班方案。