上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷(B)及答案

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上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷（B ）闭卷

课程代码 105208 课程序号

姓名 学号 班级

一、单选题(每小题2分，共计20分)

1. 当=t 3 时，311244s t a a a a 是四阶行列式中符号为负的项。

2. 设A 为三阶方阵，3A = ，则*2A -=__-72__。

3. 设矩阵01000

010********A ⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥

⎢⎥

⎣⎦

，4k ≥,k 是正整数，则=k P 0 。 4. 设A 是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵,若满足等式2

26A A I +=，则

()

1

4A I -+=

2

2A

I - 。 5. 向量组()()()1,2,6,1,,3,1,1,4a a a +---的秩为1，则 a 的取值为__1___。

6. 方程组12434

00x x x x

x ++=⎧⎨+=⎩ 的一个基础解系是 ⎪⎪⎪⎪

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1101,0011 。

……………………………………………………………

装

订

线…………………………………………………

7. 设矩阵12422421A k --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，500050004A ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪-⎝⎭，且A 与B 相似，则=k 4 。

8. 123,,ααα是R 3的一个基,则基312,,ααα到基12,αα,3α的过渡矩阵为 ⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛001100010 。

9. 已知413

1

210,32111

a A B A A I -===-+-, 则B 的一个特征值是 2 。

10. 设二次型222

12312132526f x x x tx x x x =++++为正定, 则t 为 5

4||<

t 。

二．选择题（每题3分，共15分）

1. 设A 为n 阶正交方阵，则下列等式中 C 成立。

(A) *

A A =; (B)1

*

A A -= (C)()

1T

A

A -=; (D) *T A A =

2. 矩阵 B 合同于145-⎛⎫ ⎪

- ⎪ ⎪⎝⎭

(A) 151-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ; （B ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--321;（C ）⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛112;（D ）121-⎛⎫

⎪

- ⎪ ⎪-⎝⎭

3. 齐次线性方程组AX O =有唯一零解是线性方程组B AX =有唯一解的（ C ）。

（A ）充分必要条件； （B ）充分条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 4．设,A B 都是n 阶非零矩阵，且AB O =，则A 和B 的秩（ B ）。

（A ）必有一个等于零；（B ）都小于n ；（C ）必有一个等于n ；（D ）有一个小于n 。 5．123,,ααα是齐次线性方程组AX O =的基础解系，则__B___也可作为齐次线性方程组

AX O =的基础解系。

(A) 1231231222,24,2αααααααα-+-+--+ （B ）1231212322,2,263αααααααα-+-+-+ （C ）1231231224,6123,3αααααααα-+--+-+ （D ）1231212322,2,366αααααααα-+--+

三． 计算题（58分）

1．计算110000

2200

030

00001

1

1

1

1

D n n --=- （8分）

答案 ()!1+n

2．设3阶方阵A 、B 满足条件BA B A =+且120210002A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，求B .（12分）

答案 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--1000000

)

(2121

1

I A ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=200

01012

12

1B 3．求12311000445(1,-1,2,4),(,2,1,2),(3,3,4,8),(1,,2,0),(,,,)ααααα====-=的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用极大无关组表示。（10分）

答案 3=r

极大线性无关组： 421,,ααα

4

15213,2αααααα-=+=

…………………………………………………装

订

线…………………………………………………

4．λ为何值时，下列方程组有唯一解；无解；有无穷多解，并求解。

1231231

2322122221

x x x x x x t x x x λλλ-++=⎧⎪

-+=⎨⎪++=⎩ （14分）

答案 )4()2(||2

λλ-+=A

（1） 当42≠-≠λλ且时，对任意t ,唯一解； （2） 当2-=λ时，对任意t , 无解；

（3） 当4=λ，0≠t 时,无解；

（4） 当4=λ，0=t 时, 无穷多解，

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11103/16/1k X

5．将二次型()2

2

2

123123121323,,222f x x x x x x x x x x x x =+++++用正交变换法化为标

准型，并求出相应的正交变换。（14分）

答案 )3(||2

-=-λλλA I ，

3,032,1==λλ

（1）:

02,1=λ

⎪⎪

⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101,01121ξξ

正交化：⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211,01121ββ

…………………………………………………装

订

线…………………………………………………