2021.1北京西城区初三期末数学卷+答案

合集下载

2020-2021学年北京市西城区九年级上学期期末数学复习试卷及答案解析

第1页（共29页）
2020-2021学年北京市西城区九年级上学期期末数学复习试卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AD 与BC 的延长线交于点E ，BA 与
CD 的延长线交于点F ，∠DCE ＝85°，∠F ＝28°，则∠E 的度数为（）
A ．38°
B ．48°
C ．58°
D ．68°
2．（2分）将抛物线y ＝x 2﹣2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛
物线的解析式为（）
A ．y ＝（x +3）2
B ．y ＝（x ﹣3）2
C ．y ＝（x +2）2+1
D ．y ＝（x ﹣2）2+1
3．（2分）圆心角为60°，半径为1的弧长为（）
A ．π2
B ．π
C ．π6
D ．π3 4．（2分）如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边
AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，其中有：①AC ＝AD ；②AB ⊥EB ；③BC ＝DE ；④∠A ＝∠EBC ，四个结论，则结论一定正确的有（）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．（2分）如图，点A 为⊙O 上一点，OD ⊥弦BC 于点D ，如果∠BAC ＝60°，OD ＝1，则
BC 为（）。

2021.1北京初三数学期末分类汇编-函数综合(含参考答案)

--------1 分 …………2 分
∵ =y ( x − 2)2 ，
∴ 该二次函数的顶点坐标为（2，0）．
…………3 分
② y1 > y2 ，…………4 分
（2）∵只有当 m ≥ 1时， y1 ⋅ y2 ≤ 0 ， ∴当 m < 1时， y1 ⋅ y2 > 0 ．而点 Q(m, y2 ) 在一次函数 y =−x + 4 图象上， ① 当 m < 1时， y2 > 0 ，而 y1 ⋅ y2 > 0 ，因此 y1 > 0 ； ② 当1 ≤ m < 4 时， y2 > 0 ，而 y1 ⋅ y2 ≤ 0 ，因此 y1 ≤ 0 ； ③ 当 m > 4 时， y2 < 0 ，而 y1 ⋅ y2 ≤ 0 ，因此 y1 ≥ 0 ；
（1）求抛物线的表达式；
（2）设 B 点关于对称轴的对称点为 E，抛物线 G1 : y＝ax2（a≠0）
与线段 EB 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围.
y
y
O
x
O
x
备用图
第13页
14．【密云】
已知抛物线 y = ax2 + bx + 3a 与 y 轴交于点 P，将点 P 向右平移 4 个单位得到点 Q，点 Q
y 5
4
3
2
1 x
–4 –3 –2 –1 –1
1 23 4
–2
–3
–4
–5
第15页
第16页
参考答案：
1．解：（1）∵抛物线经过点（-2,-2），
∴ 4+4b +1 =−2. ∴b = −7.
4
┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2 分

2021-2022学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年北京市西城区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）.1．古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（﹣3，1）D．（3，1）3．如图，点A、B、C在⊙O上，△OAB为等边三角形，则∠ACB的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°4．将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（）A．（x﹣4）2＝6B．（x﹣8）2＝6C．（x﹣4）2＝﹣6D．（x﹣8）2＝54 5．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（）A．4B．8C．D．6．生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（）A．2.5（1+x）＝3.2B．2.5（1+2x）＝3.2C．2.5（1+x）2＝3.2D．2.5（1﹣x）2＝3.27．下列说法中，正确的是（）A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得8．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．③④D．①④二、填空题（共16分，每题2分）9．在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣7）关于原点的对称点坐标为．10．关于x的一元二次方程x2+mx+4＝0有一个根为1，则m的值为．11．如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料800πmm，则此圆弧所在圆的半径为mm．12．写出一个开口向下，且对称轴在y轴左侧的抛物线的表达式：．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2可以看作是抛物线y＝x2+2经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线y＝x2+2得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2的过程：．15．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△ADE，点B的对应点D 恰好落在边BC上，则∠ADE＝.（用含α的式子表示）16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内的一个动点，满足AC2﹣AD2＝CD2.若AB＝2，BC＝4，则BD长的最小值为．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．解方程：x2﹣2x﹣2＝0．18．问题：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O内，请仅用无刻度的直尺，作出△ABC中AB边上的高．小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．作法：如图，①延长AC交⊙O于点D，延长BC交⊙O于点E；②分别连接AE，BD并延长相交于点F；③连接FC并延长交AB于点H．所以线段CH即为△ABC中AB边上的高．（1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∴∠ADB＝∠AEB＝°．（）（填推理的依据）∴AE⊥BE，BD⊥AD．∴AE，是△ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．19．已知二次函数y＝x2+4x+3．（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）画出此函数的图象；（3）若点A（0，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，结合函数图象，直接写出m的取值范围．20．如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．（1）求证：AF＝AE；（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接写出△AEF的面积．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于﹣1，求k的取值范围．22．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数﹣2，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数﹣5，m，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若a＜b，小明胜；若a＝b，为平局；若a＞b，小刚胜．（1）若m＝﹣2，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；（2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值．23．如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，EF⊥AC于点F．（1）求证：四边形CDEF是矩形；（2）若CD＝2，DE＝2，求AC的长．24．某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y（单位：m）与行进的水平距离x（单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为 4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．（1）图中点B表示篮筐，其坐标为，篮球行进的最高点C的坐标为；（2）求篮球出手时距地面的高度．25．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，DE⊥BC交BC 的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2﹣8a的顶点为A，0＜h＜．（1）若a＝1，①点A到x轴的距离为；②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；（2）已知点A到x轴的距离为4，此抛物线与直线y＝﹣2x+1的两个交点分别为B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若点D（x D，y D）在此抛物线上，当x1＜x D＜x2时，y D 总满足y2＜y D＜y1，求a的值和h的取值范围．27．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在边CA，CB上，CD＝CE，连接DE，AE，BD．点F在线段BD上，连接CF交AE于点H．（1）①比较∠CAE与∠CBD的大小，并证明；②若CF⊥AE，求证：AE＝2CF；（2）将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2．若F是BD的中点，判断AE＝2CF是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点A在⊙O上，点P在⊙O内，给出如下定义：连接AP并延长交⊙O于点B，若AP＝kAB，则称点P是点A关于⊙O的k倍特征点．（1）如图，点A的坐标为（1，0）．①若点P的坐标为（﹣，0），则点P是点A关于⊙O的倍特征点；②在C1（0，），C2（，0），C3（，﹣）这三个点中，点是点A关于⊙O的倍特征点；③直线l经过点A，与y轴交于点D，∠DAO＝60°．点E在直线l上，且点E是点A 关于⊙O的倍特征点，求点E的坐标；（2）若当k取某个值时，对于函数y＝﹣x+1（0＜x＜1）的图象上任意一点M，在⊙O 上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．解：选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故选：C．2．二次函数y＝2（x﹣3）2+1的图象的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（﹣3，1）D．（3，1）【分析】二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点坐标是（h，k）．解：根据二次函数的顶点式方程y＝2（x﹣3）2+1知，该函数的顶点坐标是：（3，1）．故选：D．3．如图，点A、B、C在⊙O上，△OAB为等边三角形，则∠ACB的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°【分析】先根据等边三角形的性质得到∠AOB＝60°，然后根据圆周角定理求∠ACB的度数．解：∵△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠ACB＝∠AOB＝30°．故选：D．4．将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（）A．（x﹣4）2＝6B．（x﹣8）2＝6C．（x﹣4）2＝﹣6D．（x﹣8）2＝54【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可．解：x2﹣8x＝﹣10，x2﹣8x+16＝6，（x﹣4）2＝6．故选：A．5．如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若⊙O的半径为4，则正方形ABCD的边长为（）A．4B．8C．D．【分析】连接BD．由题意，△BCD是等腰直角三角形，故可得出结论．解：如图，连接BD．由题意，△BCD是等腰直角三角形，∵BD＝8，∠CBD＝45°，∠BCD＝90°，∴BC＝BD＝4．故选：D．6．生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（）A．2.5（1+x）＝3.2B．2.5（1+2x）＝3.2C．2.5（1+x）2＝3.2D．2.5（1﹣x）2＝3.2【分析】利用2019年全国生活垃圾无害化处理能力＝2017年全国生活垃圾无害化处理能力×（1+年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：依题意得：2.5（1+x）2＝3.2．故选：C．7．下列说法中，正确的是（）A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得【分析】根据必然事件，随机事件，不可能事件的特点，以及列表法与树状图法逐一判断即可．解：A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，故A不符合题意；B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，故B符合题意；C．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就可能会中奖，故C不符合题意；D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率不可以用列举法求得，故D不符合题意；故选：B．8．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（2，m），且经过点B（5，0），其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①ac＜0；②a﹣b+c＞0；③m+9a＝0；④若此抛物线经过点C（t，n），则t+4一定是方程ax2+bx+c＝n的一个根．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．③④D．①④【分析】由抛物线开口和抛物线与y轴交点判断①，由抛物线的对称性及经过点（5，0）可判断②，由抛物线对称轴为直线x＝2可得b＝﹣4a，由a﹣b+c＝0可得c＝﹣5a，从而判断③，点C对称点横坐标为4﹣t可判断④．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0，①正确．∵抛物线顶点为A（2，m），∴抛物线对称轴为直线x＝2，∵抛物线过点（5，0），∴由对称性可得抛物线经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，②错误，∵﹣＝2，∴b＝﹣4a，∴5a+c＝0，∴c＝﹣5a∵（2，m）为抛物线顶点，∴4a+2b+c＝m，∴4a﹣8a﹣5a＝m，即9a+m＝0，③正确，∵点C（t，n）在抛物线上，∴点C关于对称轴对称点（4﹣t，n）在抛物线上，∴4﹣t为ax2+bx+c＝n的一个根，④错误．故选：B．二、填空题（共16分，每题2分）9．在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣7）关于原点的对称点坐标为（﹣4，7）．【分析】利用关于原点对称点的坐标特点可得答案．解：在平面直角坐标系xOy中，点（4，﹣7）关于原点的对称点坐标为（﹣4，7），故答案为：（﹣4，7）．10．关于x的一元二次方程x2+mx+4＝0有一个根为1，则m的值为﹣5．【分析】把x＝1代入方程x2+mx+4＝0得1+m+4＝0，然后解关于m的方程．解：把x＝1代入方程x2+mx+4＝0得1+m+4＝0，解得m＝﹣5．故答案为：﹣5．11．如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料800πmm，则此圆弧所在圆的半径为900mm．【分析】利用弧长的计算公式即可求解．解：设此圆弧所在圆的半径为Rmm，由弧长公式得：＝800π，解得：R＝900，即此圆弧所在圆的半径为900mm，故答案为：900．12．写出一个开口向下，且对称轴在y轴左侧的抛物线的表达式：y＝﹣x2﹣x，（答案不唯一）．【分析】满足开口向下且对称轴在y轴左侧可以判断a、b的正负，从而可以得到所求得抛物线的表达式．解：∵开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴左侧，∴﹣＜0，∴b＜0，故抛物线的解析式可以为y＝﹣x2﹣x，（答案不唯一），故答案为：y＝﹣x2﹣x，（答案不唯一）．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为（2，1）．【分析】根据图形得出A、B、C的坐标，再连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，最后求出点Q的坐标即可．解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，∴Q点的坐标是（2，1），故答案为：（2，1）．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2可以看作是抛物线y＝x2+2经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线y＝x2+2得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2的过程：将抛物线y＝x2+2绕顶点（0，2）顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2．（答案不唯一）．【分析】根据抛物线的顶点坐标和开口方向的变化进行解答．解：抛物线y＝x2+2的顶点为（0，2），抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2的顶点为（4，2），∴将抛物线y＝x2+2绕顶点（0，2）顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2．故答案为：将抛物线y＝x2+2绕顶点（0，2）顺时针方向旋转180度，再向右平移4个单位长度得到抛物线y＝﹣（x﹣4）2+2．（答案不唯一）．15．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△ADE，点B的对应点D 恰好落在边BC上，则∠ADE＝90°﹣.（用含α的式子表示）【分析】根据旋转的性质得到AD＝AB，∠ADE＝∠B，根据等腰三角形的性质得到∠ADB ＝∠B，求得∠ADE＝∠ADB＝90°﹣．解：由旋转的性质可知，AD＝AB，∠ADE＝∠B，∴∠ADB＝∠B，∵∠BAD＝α，∴∠ADE＝∠ADB＝＝90°﹣，故答案为：90°﹣．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是△ABC内的一个动点，满足AC2﹣AD2＝CD2.若AB＝2，BC＝4，则BD长的最小值为2．【分析】由AC2﹣AD2＝CD2.得∠ADC＝90°，取点H为AC的中点，可知DH和BH都是定值，从而解决问题．解：取AC的中点H，连接HD，HB，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝，∵AC2﹣AD2＝CD2．∴∠ADC＝90°，∵点H为AC的中点，∴DH＝CH＝3，∴BH＝，∵BD≥BH﹣DH，∴BD的最小值为5﹣3＝2，故答案为：2．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．解方程：x2﹣2x﹣2＝0．【分析】在本题中，把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．解：移项，得x2﹣2x＝2，配方，得x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3，开方，得x﹣1＝±．解得x1＝1+，x2＝1﹣．18．问题：如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O内，请仅用无刻度的直尺，作出△ABC中AB边上的高．小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．作法：如图，①延长AC交⊙O于点D，延长BC交⊙O于点E；②分别连接AE，BD并延长相交于点F；③连接FC并延长交AB于点H．所以线段CH即为△ABC中AB边上的高．（1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∴∠ADB＝∠AEB＝90°．（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）∴AE⊥BE，BD⊥AD．∴AE，BD是△ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用三角形的三条高交于一点解决问题即可．解：（1）如图，线段CH即为所求．（2）∵AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∴∠ADB＝∠AEB＝90°．（直径所对的圆周角是直角），∴AE⊥BE，BD⊥AD．∴AE，BD是△ABC的两条高线．∵AE，BD所在直线交于点F，∴直线FC也是△ABC的高所在直线．∴CH是△ABC中AB边上的高．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD．19．已知二次函数y＝x2+4x+3．（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）画出此函数的图象；（3）若点A（0，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，结合函数图象，直接写出m的取值范围．【分析】（1）将解析式化为顶点式即可；（2）画出函数图象；（3）由题意可得2＜|m+2|，求出m的取值范围即可．解：（1）y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，∴对称轴为直线x＝﹣2，顶点（﹣2，﹣1）；（2）如图：（3）∵点A（0，y1）和B（m，y2）都在此函数的图象上，且y1＜y2，∴2＜|m+2|，∴m＞0或m＜﹣4．20．如图，在正方形ABCD中，射线AE与边CD交于点E，将射线AE绕点A顺时针旋转，与CB的延长线交于点F，BF＝DE，连接FE．（1）求证：AF＝AE；（2）若∠DAE＝30°，DE＝2，直接写出△AEF的面积．【分析】（1）根据正方形的性质得到AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，求得∠ABF＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠BAF＝∠DAE，得到△AEF是等腰直角三角形，根据直角三角形的性质得到AE＝2DE＝4，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，∴∠ABF＝90°，在△ABF与△ADE中，，∴△ABF≌△ADE（SAS），∴AF＝AE；（2）解：由（1）知，△ABF≌△ADE，∴∠BAF＝∠DAE，∴∠BAF+∠BAE＝∠DAE＝∠BAE＝90°，∴∠FAE＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，在Rt△ADE中，∠D＝90°，∠DAE＝30°，DE＝2，∴AE＝2DE＝4，∴△AEF的面积＝×4×4＝8．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于﹣1，求k的取值范围．【分析】（1）计算根的判别式得到Δ＝（k+1）2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）解方程得到x1＝2，x2＝k+3，则k+3＜﹣1，然后解不等式即可．【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+5）2﹣4（6+2k）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，∴此方程总有两个实数根；（2）∵x＝，∴x1＝2，x2＝k+3，∵此方程恰有一个根小于﹣1，∴k+3＜﹣1，解得k＜﹣4，即k的取值范围为k＜﹣4．22．有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数﹣2，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数﹣5，m，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b．若a＜b，小明胜；若a＝b，为平局；若a＞b，小刚胜．（1）若m＝﹣2，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；（2）当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值．【分析】（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有2种，a＞b的结果有3种，再由概率公式分别求解即可；（2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有3种，a＞b的结果有3种，再由概率公式得小明获胜的概率＝小刚获胜的概率即可．解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有2种，a＞b的结果有3种，∴小明获胜的概率为＝，小刚获胜的概率为＝；（2）m为0时，小明和小刚获胜的概率相同，理由如下：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中a＜b的结果有3种，a＞b的结果有3种，∴小明获胜的概率＝小刚获胜的概率＝＝．23．如图，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，连接CO并延长交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，EF⊥AC于点F．（1）求证：四边形CDEF是矩形；（2）若CD＝2，DE＝2，求AC的长．【分析】（1）根据切线的性质得到AC⊥CD，DE⊥CD，得到AC∥DE，∠ACD＝90°，根据平行线的判定定理得到EF∥CD，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据切线的性质得到AB＝AC，BE＝DE＝2，根据矩形的性质得到CF＝DE＝2，EF＝CD＝2，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AC、DE是⊙O的切线，CD是⊙的直径，∴AC⊥CD，DE⊥CD，∴AC∥DE，∠ACD＝90°，∵EF⊥AC，∴EF∥CD，∴四边形CDEF是矩形；（2）解：∵AB，AC，DE是⊙O的切线，∴AB＝AC，BE＝DE＝2，由（1）知，四边形CDEF是矩形，∴CF＝DE＝2，EF＝CD＝2，∵EF⊥AC，∴∠AFE＝90°，∴AE2＝AF2+EF2，∴（AC+2）2＝（AC﹣2）2+（2）2，解得AC＝5，故AC的长为5．24．某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y（单位：m）与行进的水平距离x（单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为 4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．（1）图中点B表示篮筐，其坐标为（4.5，3.05），篮球行进的最高点C的坐标为（3，3.3）；（2）求篮球出手时距地面的高度．【分析】（1）根据已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．即可得到答案；（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+3.3，把B（4.5，3.05）代入求得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+3.3，当x＝0时，解方程即可得到结论．解：（1）∵篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m，∴点B表示篮筐，其坐标为（4.5，3.05），篮球行进的最高点C的坐标为（3，3.3）；故答案为：（4.5，3.05），（3，3.3）；（2）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+3.3，把B（4.5，3.05）代入得，3.05＝a（4.5﹣3）2+3.3，解得a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2+3.3，当x＝0时，y＝2.3，答：篮球出手时距地面的高度为2.3米．25．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，DE⊥BC交BC 的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝8，求BD的长．【分析】（1）要证明DE是⊙O的切线，所以连接OD，求出∠ODE＝90°即可，根据已知DE⊥BC，可得∠DEC＝90°，所以只要证明OD∥BE即可解答；（2）由（1）可得BD平分∠ABC，所以想到过点D作DF⊥AB，垂足为F，进而证明△ADF≌△CDE，可得AF＝CE，易证△BDF≌△BDE，可得BF＝BE，然后进行计算即可解答．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，∵D是的中点，∴＝，∴∠ABD＝∠CBD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC，∴∠ODE＝180°﹣∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，由（1）得：∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC，∵DF⊥AB，DE⊥BC，∴DF＝DE，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠DCB＝180°，∵∠DCB+∠DCE＝180°，∴∠A＝∠DCE，∵∠DFA＝∠DEC＝90°，∴△ADF≌△CDE（AAS），∴AF＝EC，∵∠DFB＝∠DEC＝90°，BD＝BD，∴△BDF≌△BDE（AAS），∴BF＝BE，设AF＝EC＝x，则BE＝BF＝8+x，∵AB＝10，∴AF+BF＝10，∴x+8+x＝10，∴x＝1，∴BF＝9，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝∠DBF，∴△BFD∽△BDA，∴BD2＝BF•BA，∴BD2＝90，∴BD＝3．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2﹣8a的顶点为A，0＜h＜．（1）若a＝1，①点A到x轴的距离为8；②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；（2）已知点A到x轴的距离为4，此抛物线与直线y＝﹣2x+1的两个交点分别为B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若点D（x D，y D）在此抛物线上，当x1＜x D＜x2时，y D 总满足y2＜y D＜y1，求a的值和h的取值范围．【分析】（1）①把a＝1代入函数解析式求出顶点坐标，进而求解．②令y＝0，求出x1与x2，进而求解．（2）由当x1＜x D＜x2时，y D总满足y2＜y D＜y1可得当x1＜x＜x2时，y随x增大而减小，从而可得点A与点C重合或点A在点C右侧，进而求解．解：（1）①把a＝1代入y＝a（x﹣h）2﹣8a得y＝（x﹣h）2﹣8，∴抛物线顶点坐标为（h，﹣8），∴点A到x轴的距离为|﹣8|＝8，故答案为：8．②把y＝0代入y＝（x﹣h）2﹣8得0＝（x﹣h）2﹣8，解得x1＝h+2，x2＝h﹣2，∵x1﹣x2＝h+2﹣（h﹣2）＝4，∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4．（2）∵y＝a（x﹣h）2﹣8a，∴点A坐标为（h，﹣8a），∴|﹣8a|＝4，解得a＝或a＝﹣，∵当x1＜x D＜x2时，y D总满足y2＜y D＜y1，∴当x1＜x＜x2时，y随x增大而减小，如图，当抛物线开口向上，点A与点C重合或点A在点C右侧时满足题意，∴a＝，y＝（x﹣h）2﹣4，∴点A坐标为（h，﹣4），把x＝h代入y＝﹣2x+1得y＝﹣2h+1，当﹣2h+1≤﹣4时，记得h≥，∵0＜h＜，∴≤h＜．27．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E分别在边CA，CB上，CD＝CE，连接DE，AE，BD．点F在线段BD上，连接CF交AE于点H．（1）①比较∠CAE与∠CBD的大小，并证明；②若CF⊥AE，求证：AE＝2CF；（2）将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），如图2．若F是BD的中点，判断AE＝2CF是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．【分析】（1）①通过证明△ACE≌△BCD，利用全等三角形对应角相等解答即可；②利用同角或等角的余角相等判定△FCB和△FCD是等腰三角形即可得出结论；（2）延长CF至点G，使FG＝FC，连接BG，则得：△DCF≌△BGF，再利用题意证明△ACE≌△CBG，结论可得．解：（1）①∠CAE＝∠CBD．理由：在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）．∴∠CAE＝∠CBD．②证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACH+∠ECH＝90°．∵CF⊥AE，∴∠ACH+∠CAH＝90°．∴∠CAH＝∠ECH．由①知：∠CAE＝∠CBD，∴∠ECH＝∠CBD．∴CF＝BF．∵∠DCB＝90°，∴∠DCF+∠ECF＝90°，∠CDF+∠CBD＝90°．∴∠CDF＝∠DCF，∴CF＝DF．∴BD＝2CF．由①知：△ACE≌△BCD，∴AE＝BD．∴AE＝2CF．解：（2）若F是BD的中点，AE＝2CF仍然成立．理由：延长CF至点G，使FG＝FC，连接BG，如图，∴F是BD的中点，∴FD＝FB．在△DCF和△BGF中，，∴△DCF≌△BGF（SAS）．∴CD＝BG，∠DCF＝∠G．∴CD∥BG．∴∠DCB+∠GBC＝180°．∵将图1中的△CDE绕点C逆时针旋转α，∴∠ACD＝∠BCE＝α．∴∠DCB＝90°﹣∠ACD＝90°﹣α，∠ACE＝∠ACB+∠BCE＝90°+α．∴∠CBG＝180°﹣∠BCD＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α．∴∠ACE＝∠CBG．∵CD＝CE，∴CE＝BG．在△ACE和△CBG中，，∴△ACE≌△CBG（SAS）．∴AE＝CG．∵FG＝FC，∴CG＝2CF．∴AE＝2CF．∴若F是BD的中点，AE＝2CF仍然成立．28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点A在⊙O上，点P在⊙O内，给出如下定义：连接AP并延长交⊙O于点B，若AP＝kAB，则称点P是点A关于⊙O的k倍特征点．（1）如图，点A的坐标为（1，0）．①若点P的坐标为（﹣，0），则点P是点A关于⊙O的倍特征点；②在C1（0，），C2（，0），C3（，﹣）这三个点中，点C3是点A关于⊙O的倍特征点；③直线l经过点A，与y轴交于点D，∠DAO＝60°．点E在直线l上，且点E是点A关于⊙O的倍特征点，求点E的坐标；（2）若当k取某个值时，对于函数y＝﹣x+1（0＜x＜1）的图象上任意一点M，在⊙O 上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．【分析】（1）①由题意知AP＝OA+OP＝1+＝，AB＝2，则k＝；②由勾股定理得AC1＝＝，假设点C1是点A关于⊙O的倍特征点，则AE＝＞2OA＝2，不符合题意，同理判断C2、C3即可；③设直线AD交⊙O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于点F，根据点E点A关于⊙O的倍特征点，得，由含30°的直角三角形的性质可得OE，AE的长；（2）设直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点分别为C，D，过点N作NP⊥CD交CD于P，交⊙O于B，过点O作直线EF⊥CD交⊙O于E，F，由，可知k越大，1﹣k的值越小，则﹣1+的值越小，得AM＝BP，MN＝NP时，k的值最小，即A 与E重合，N与F重合时，k的值最小，从而解决问题．解：（1）①∵A（1，0），P（﹣），∴AP＝OA+OP＝1+＝，∵B（﹣1，0），∴AB＝2，∵AP＝kAB，∴k＝，故答案为：；②∵C1（0，），A（1，0），∴OC1＝，∴AC1＝＝，假设点C1是点A关于⊙O的倍特征点，∴，∴AE＝＞2OA＝2，不符合题意，∴点C1不是点A关于⊙O的倍特征点，同理可求出AC3＝＝＝，假设点C3是点A关于⊙O的倍特征点，∴，∴C3为AF的中点，∴F（0，﹣1），∵F在圆上，∴点C3是点A关于⊙O的倍特征点，∵C2（），∴AC2＝，∴，∴点C2不是点A关于⊙O的倍特征点，故答案为：C3；③如图，设直线AD交⊙O于B，连接OE，过点E作EF⊥x轴于点F，∵点E点A关于⊙O的倍特征点，∴，∴E是AB的中点，∴OE⊥AB，∵∠EAO＝60°，∴∠EOA＝30°，∴AE＝，EF＝，OE＝＝，∴EF＝，∴E（）；（2）设直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点分别为C，D，过点N作NP⊥CD交CD于P，交⊙O于B，过点O作直线EF⊥CD交⊙O于E，F，∴MN≥NP，AM≤BP，∵AM＝AN﹣MN＝（1﹣k）AN，∴，∵k越大，1﹣k的值越小，∴﹣1+的值越小，∴当的值越大，k的值越小，∴AM＝BP，MN＝NP时，k的值最小，∴A与E重合，N与F重合时，k的值最小，∵C，D是直线y＝﹣x+1与x轴，y轴的交点，∴C（1，0），D（0，1），∵O到C和D的距离都是1，∴OC＝OD＝1，∴CD＝＝，∵OG⊥CD，∴CG＝DG＝，∴OG＝＝，∴FG＝OF﹣OG＝1﹣，∴k＝，∴k的最小值为，当点N在E点，A在F点时，k有最大值为．。

九年级上期末2021【西城区】数学试题及答案

北京市西城区2020-2021学年度第一学期期末试卷九年级数学 2021.1一、选择题（本题共16分，每小题2分）1. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，若是AC =3，AB =5，那么sin B 等于（）．A.35B. 45C. 34D. 432. 点1(1,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6y x=-图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是（）． A.12y y > B.12y y = C.12y y < D.不能肯定 3. 抛物线2(4)5y x =--的极点坐标和开口方向别离是（）.A.(4,5)-，开口向上B.(4,5)-，开口向下C.(4,5)--，开口向上D.(4,5)--，开口向下4. 圆心角为60︒，且半径为12的扇形的面积等于（）. A.48π B.24π C.4π D.2π5. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，若是∠ACD =34°，那么∠BAD 等于（）．A ．34°B ．46°C ．56° D．66°6. 若是函数24y x x m =+-的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是（）. A.m ≤4 B.<4m C. m ≥4- D.>4m -7. 如图，点P 在△ABC 的边AC 上，若是添加一个条件后可以取得 △ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不．正确的是（）． A ．∠ABP =∠C B ．∠APB =∠ABC C ．2AB AP AC =⋅ D ．AB ACBP CB= 8. 如图，抛物线32++=bx ax y (a ≠0)的对称轴为直线1x =，若是关于x 的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么该方程的另一个根为（）．A ．4-B ．2-C ．1D ． 3二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 .10. 如图，在△ABC 中，D ，E 两点别离在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，若是23=DB AD ，AC =10，那么EC = .11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点(,)P x y与点(2,2)A 在同一个反比例函数的图象上，PC ⊥y 轴于点C ，PD ⊥x 轴于点D ，那么矩形ODPC 的面积等于 .12. 如图，直线1y kx n =+(k ≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0) 别离交于(1,0)A -，(2,3)B -两点，那么当12y y >时，x 的取值范围是 .13. 如图，⊙O 的半径等于4，若是弦AB 所对的圆心角等于120︒，那么圆心O 到弦AB 的距离等于 .14.2021年9月热播的专题片《辉煌中国——圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成绩，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度活着界斜拉桥中排在前列.在图2的主桥示用意中，两座索塔及索塔双侧的斜拉索对称散布，大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577 m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角∠CED 为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD= (m) .15.如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交 x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论：①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有正确结论的序号是 .16. 如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内， 4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.若是OB ⊥OP ，那么OB 的长为 .三、解答题（本题共68分，第17－20题每小题5分，第2一、22题每小题6分，第23、24题每小题5分，第2五、26题每小题6分，第27、28题每小题7分） 17．计算：22sin30cos 45tan60︒+︒-︒．18．如图，AB ∥CD ，AC 与BD 的交点为E ，∠ABE=∠ACB ．（1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）若是AB=6，AE=4，求AC ，CD 的长．19．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：22y x x =-+．（1）补全表格：抛物线顶点坐与x 轴交点坐与y 轴交点坐标（2）将抛物线1C 向上平移3个单位取得抛物线2C ，请画出抛物线1C ，2C ，并直接回答：抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间距离的多少倍．20．在△ABC 中，AB=AC=2，45BAC ∠=︒．将△ABC 绕点A 逆时针旋转α度（0<α<180）取得△ADE ，B ，C 两点的对应点别离为点D ，E ，BD ，CE 所在直线交于点F ．（1）当△ABC 旋转到图1位置时，∠CAD = （用α的代数式表示），BFC ∠的度数为 ︒；（2）当α=45时，在图2中画出△ADE ，并求此时点A 到直线BE 的距离．21．运动员将小球沿与地面成必然角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h （m ）与它的飞行时间t （s ）知足二次函数关系，t 与h 的几组对应值如下表所示．标标 22y x x =-+(1,1)(0,0)t （s ） 0 0.5 1 1.5 2 … h （m ）8.751518.7520…图1 图2（1）求h 与t 之间的函数关系式（不要求写t 的取值范围）；（2）求小球飞行3 s 时的高度；（3）问：小球的飞行高度可否达到22 m ？请说明理由．22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线k y x =（k ≠0）与直线12y x =的交点为(,1)A a -，(2,)B b 两点，双曲线上一点P 的横坐标为1，直线PA ，PB 与x 轴的交点别离为点M ，N ，连接AN ．（1）直接写出a ，k 的值；（2）求证：PM=PN ，PM PN ⊥．23．如图，线段BC 长为13，以C 为极点，CB 为一边的α∠知足5cos 13α=．锐角△ABC 的顶点A 落在α∠的另一边l 上，且知足4sin 5A =．求△ABC 的高BD 及AB 边的长，并结合你的计算过程画出高BD 及AB 边．（图中提供的单位长度供补全图形利用）24．如图，AB 是半圆的直径，过圆心O 作AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D ，点E 在OD上，=DCE B ∠∠．（1）求证：CE 是半圆的切线；（2）若CD=10，2tan 3B =，求半圆的半径．25．已知抛物线G ：221y x ax a =-+-（a 为常数）．（1）当3a =时，用配方式求抛物线G 的极点坐标；（2）若记抛物线G 的极点坐标为(,)P p q ．①别离用含a 的代数式表示p ，q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，极点P 的位置会随着a 的取值转变而转变，但点P 总落在的图象上． A ．一次函数 B ．反比例函数 C ．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改成抛物线H ：22y x ax N =-+（a 为常数），其中N 为含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 知足：无论a 取何值，它的极点总落在某个一次函数的图象上．请依照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H 的函数表达式：（用含a 的代数式表示），它的极点所在的一次函数图象的表达式y kx b =+（k ，b 为常数，k ≠0）中，k= ，b= ．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线M ：2(0)y ax bx c a =++≠通过(1,0)A -，且极点坐标为(0,1)B ．（1）求抛物线M 的函数表达式；（2）设(,0)F t 为x 轴正半轴．．．上一点，将抛物线M 绕点F 旋转180°取得抛物线1M ．①抛物线1M 的极点1B 的坐标为；②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时，结合函数的图象，求t 的取值范围．27．如图1，在Rt △AOB 中，∠AOB =90°，∠OAB =30°，点C 在线段OB 上，OC =2BC ，AO 边上的一点D 知足∠OCD =30°．将△OCD 绕点O 逆时针旋转α度（90°<α<180°）取得△OC D ''，C ，D 两点的对应点别离为点C '，D '，连接AC '，BD '，取AC '的中点M ，连接OM ．（1）如图2，当C D ''∥AB 时，α= °，此时OM 和BD '之间的位置关系为；（2）画图探讨线段OM 和BD '之间的位置关系和数量关系，并加以证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 两点的坐标别离为(2,2)A ，(2,2)B -．对于给定的线段AB 及点P ，Q ，给出如下概念：若点Q 关于AB 所在直线的对称点Q '落在△ABP 的内部（不含边界），则称点Q 是点P 关于线段AB 的内称点．（1）已知点(4,1)P -．①在1(1,1)Q -，2(1,1)Q 两点中，是点P 关于线段AB 的内称点的是____________； ②若点M 在直线1y x =-上，且点M 是点P 关于线段AB 的内称点，求点M 的横坐标M x 的取值范围；（2）已知点(3,3)C ，⊙C 的半径为r ，点(4,0)D ，若点E 是点D 关于线段AB 的内称点，且知足直线DE 与⊙C 相切，求半径r 的取值范围．西城区2020-2021学年度第一学期期末试卷九年级数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共16分，每小题2分）1.A2.C3.A4.B5.C6.C7.D8.B 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. 〔0，3〕 10.4 11.4 12. -1<X <2 13.2 14. 1154cosα或2CE•cosα 15. ②④ 16.115.如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交 x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论：①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有正确结论的序号是 . 解析：图像开口向下，∴ a <0 ①错对称轴在Y 轴右边，按照"左同右异"，b >0 ②对当x=2时，2 (0)y ax bx c a =++≠=4a+2b+c >0 ③错【 ∵(4,0)B , 由图估量AD=BD=3 D(1，0) 】 AD=3， CE=1 AD+CE=3+1=4 ④对16. 如图，⊙O 的半径为3，A ，P 两点在⊙O 上，点B 在⊙O 内， 4tan 3APB ∠=，AB AP ⊥.若是OB ⊥OP ，那么OB 的长为 .。

2020-2021学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.关于函数y=x2，下列说法不正确的是()A. 当x<0时，y随x增大而减小B. 当x≠0时，函数值总是正的C. 当x>0时，y随x增大而增大D. 函数图象有最高点2.120°的圆心角对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是()A. 3B. 4C. 9D. 183.已知：二次函数y=x2−4x−a，下列说法中错误的个数是()①若图象与x轴有交点，则a≤4②若该抛物线的顶点在直线y=2x上，则a的值为−8③当a=3时，不等式x2−4x+a>0的解集是1<x<3④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1,−2)，则a=−1⑤若抛物线与x轴有两个交点，横坐标分别为x1、x2，则当x取x1+x2时的函数值与x取0时的函数值相等．A. 1B. 2C. 3D. 44.在平面直角坐标系中，点P(m,n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为()A. (2m,2n)B. (2m,2n)或(−2m,−2n)C. (12m,12n) D. (12m,12n)或(−12m,−12n)5.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在劣弧AD上，则∠BEC等于()A. 45°B. 60°C. 30°D. 55°6.下列函数中，y随x的增大而减小的是()A. y=x+1B. y=2x2(x>0)C. y=−x2(x<0)D. y=−x2(x>0)7.某型号的手机连续两次降阶，每台手机售价由原来的1185元降到580元，设平均每次降价的百分率为x，则列出方程正确的是()A. 580(1+x)2=1185B. 1185(1−x)2=580C. 580(1−x)2=1185D. 1185(1+x)2=5808.抛物线y=x2−2x−8的最小值为()A. −8B. 7C. −7D. −9二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是______．10.如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过坐标原点，且与x轴、y轴分别相交于点A(−8,0)，B(0,−6)两点.若抛物线对称轴过点M，顶点C在圆上，开口向下，且经过点B，交x轴于点D、E两点，P在抛物线上，S△ABC，则满足条件的P点有______ 个.若S△PDE=1511.如图，线段AB=BC=CD=DE=1厘米，那么图中所有线段的长度之和等于____________厘米．12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)的图象如图所示，下面四个结论，①abc<0；②a+c<b；③2a+b=1；④a+b≥m(am+b)，其中全部正确的是()13.如图，小正方形边长为2，连接小正方形的三个顶点可得△ABC，则AC边上的高为______ ．14.如图，⊙O与平行四边形的两边CD、BC分别相切于点E、F，与∠ADC的角平分线DG相切于点H，若DH=3，∠A=60°，则阴影部分面积是______．15.已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置(如图)，则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是______ (结果保留准确值)．16.如图，AB为⊙O的直径，AD//OC，∠AOD=84°，则∠BOC=______ ．三、解答题（本大题共9小题，共52.0分）17.计算：(π−2019)0−|−22|+tan45°18.解方程：3x(x+1)=2x+2．19.如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，过点C作⊙O的切线CD交AB的延长线于点D，点E在直径AB上，且DE=DC，连接CE并延长交⊙O于点F，连接AF，BF，试判断AF与BF的数量关系，并说明理由．20.抛物线y=ax2+bx经过点A(4,0)，B(2,2)，连结OB，AB．(1)求a、b的值；(2)求证：△OAB是等腰直角三角形；(3)将△OAB绕点O按顺时针方向旋转l35°得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的出标．试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由．21.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．(1)求证：BC是⊙D的切线；(2)设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，若AB=2√3，求图中阴影部分的面积；(3)假设圆的半径为r，⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动，且∠FDM<90°，连接DM，MF，当S四边形DFHM：S四边形ABCD=3：4时，求动点M经过的弧长．22.如图，已知矩形ABCD的边AB=4，BC=3，在直线BC上取点E(在点B左侧)，使得BE=AB，点P是边AB上的一点，点Q是直线BC上位于点E右侧的一点，且有EQ=2AP，连接PQ，以Q为中心将PQ顺时针旋转90°得到QF，连接PF，设AP=m．(1)当m=1时，求点F到直线BC的距离；(2)当点Q在线段BE上，且线段PF被直线BC分成1：2的两部分时，求m的值；(3)如图2，连接BD，在点P的移动过程中．①当点F恰好落在△BCD的角平分线所在的直线上时，求所有满足要求的m值；②当△PQF与△ABD的重叠部分的图形为锐角三角形时，则m的取值范围为______.(直接写出答案)23.若点P(x,y)的坐标满足方程组(1)求点P的坐标(用含m，n的式子表示)；(2)若点P在第四象限，且符合要求的整数m只有两个，求n的取值范围；(3)若点P到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，求m，n的值(直接写出结果即可)．24.如图在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB=120°，∠ADC=90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．(1)求证：AD=DE；(2)求∠DCE的度数．25.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，点D是BC⏜上任一点，连接BD，CD．(1)设∠BAC=α，用含α的式子表示∠ADB；(2)若∠BAC=60°，求证：AD=BD+CD；(3)当BC经过圆心O时，BC=10，BD=6，求AD的长．参考答案及解析1.答案：D解析：解：由题意得，图象开口向上，对称轴为y轴，∴当x<0时，y随x增大而减小，A选项说法正确，当x>0时，y随x增大而增大，C选项说法正确，当x=0时，函数取最小值为0，∴B选项正确，∵二次项的系数大于0，∴函数图象有最低点，∴D选项错误，故选：D．根据二次项的系数确定开口方向，再根据对称轴确定增减性．本题主要考查二次函数的图象的性质，要牢记解析式中的系数和图象性质的关系．2.答案：C解析：，将n及l的值代入即可得出半径r的值．根据弧长的计算公式l=nπr180此题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练记忆弧长的计算公式，属于基础题，难度一般．解：根据弧长的公式l=nπr180得到：6π=120πr180解得r=9．故选C．3.答案：B解析：①和x轴有交点，就说明△≥0，易求a的取值；②求出二次函数定点的表达式，代入直线解析式即可求出a的值；③将a=3代入不等式，即可求其解集；④将解析式化为顶点式，利用解析式平移的规律解答；⑤利用根与系数的关系将x1+x2的值代入解析式进行计算即可．解：①当△=b2−4ac=16+4a≥0，即a≥−4时，二次函数和x轴有交点，故①错误；②∵二次函数y=x2−4x−a的顶点坐标为(2,−a−4)，代入y=2x得，−a−4=2×2，a=−8，故②正确；③当a=3时，y=x2−4x+3，图象与x轴交点坐标为：(1,0)，(3,0)，故不等式x2−4x+a>0的解集是：x<1或x>3，故③错误；④将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后解析式为：y=(x+1)2+a−3，∵图象过点(1,−2)，∴将此点代入得：−2=(1+1)2+a−3，解得：a=−3.故④正确；⑤由根与系数的关系，x1+x2=4，当x=4时，y=16−16+a=a，当x=0时，y=a，故⑤正确．故选B．4.答案：B解析：本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．根据位似变换的性质计算即可．解：点P(m,n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为(m×2,n×2)或(m×(−2),n×(−2))，即(2m,2n)或(−2m,−2n)．故选B．5.答案：A解析：解：∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠BEC等于90°÷2=45°．故选A．由此图可知，正方形正好把圆周长平分为四等分，即把圆心角平分为四等份，所以∠BEC等于90°÷2=45°．此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6.答案：D解析：解：A.在y=x+1中，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；B.在y=2x2，x>0时，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；C.在y=−x2，x<0时，y随x的增大而增大，故选项C不符合题意；D.在y=−x2，x>0时，y随x的增大而减小，故选项D符合题意；故选：D．根据各个选项中的函数解析式，可以判断出y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．本题考查一次函数的性质、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次例函数和二次函数的性质解答．7.答案：B解析：解：设平均每次降价的百分率是x，根据题意列方程得，1185(1−x)2=580．故选：B．设出平均每次下调的百分率为x，利用原价×(1−每次下调的百分率)2=实际售价列方程解答即可．此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，基本数量关系：原价×(1−每次下调的百分率)2=实际售价．8.答案：D解析：把二次函数配方，把一般形式的二次函数转化成顶点式，考查学生的运算能力，二次方程中的配方。

2021.1北京初三数学期末分类汇编-几何综合(含参考答案)

②BC-BD= 2 BP.
图①
证明：如图②，过点 P 作 PF⊥BP 交 BC 于点 F. ∵AB= AC，∠A=90°， ∴∠ABC=45°. ∴BP=PF，∠PFB=45°. ∴∠PBD=∠PFC=135°. ∴△BPD≌△FPC. ∴BD=FC. ∵BF= 2 BP，
∴BC-BD= 2 BP.
与正方形交于点 H ， K ，连接 EC ， DF ．
（1）求∠BAG 的值（用θ 表示）；（2）求证： AG∥EC ；（3）写出线段 AG ， EC ， DF 之间的数量关系，并证明．
第7页
8．【昌平】在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，点 D 是线段 BC 上的动点（BD＞CD），作射线 AD，点
；
（2）如图 2，当点 D 不是线段 AB 的中点时，画∠BCE（点 E 与点 D 在直线 BC 的异侧），
使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，连接 AE.
①按要求补全图形；
②求 AE 的长.
第1页
2．【西城】
在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝ 3 .将△ABC 绕点 B 顺时针旋转 α（0°
第5页
6．【石景山】
已知矩形 MBCD 的顶点 M 是线段 AB 上一动点， AB = BC ，矩形 MBCD 的对角线交于点 O ，连接 MO ， BO ．点 P 为射线 OB 上一动点（与点 B 不重合），连接 PM ，作 PN ⊥ PM 交射线 CB 于点 N ．（1）如图 1，当点 M 与点 A 重合时，且点 P 在线段 OB 上．
3．（1）AC=DE；（2）补全图形，
N B
…………2 分
C EM A
D 第16页
…………3 分

北京市西城区2021—2021学年度九年级数学上学期期末试题人教新课标版

北京市西城区2021—2021学年第一学期期末测试初三数学试卷一、选择题〔此题共32分，每题4分〕下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．假设两圆的半径分别是4 cm 和5cm ，圆心距为9 cm ，那么这两圆的位置关系是〔〕． A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离2．关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 有一个根为0，那么a 的值等于〔〕． A ．－1 B ．0 C ．1D ．1或－13．抛物线)3)(1(-+=x x y 的对称轴是直线〔〕．A ． 1x =-B ． 1x =C ．3x =-D ．3x =4．如图，在平面直角坐标系中，以P (4，6)为位似中心，把△ABC 缩小得到△DEF ，假设变换后，点A 、B 的对应点分别为点D 、E ，那么点C 的对应点F 的坐标应为〔〕． A. (4，2) B. (4，4) C. (4，5) D. (5，4)5．某汽车销售公司2021年盈利1500万元， 2021年盈利2160万元，且从2021年到2021年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的选项是〔〕．A ．2160)1(15002=+x B ．2160150015002=+x xC ．216015002=xD ． 2160)1(1500)1(15002=+++x x6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，M 为AB 边的中点，将Rt △ABC 绕点M 旋转，使点A 与点C 重合得到△CED ，连结MD ．假设∠B =25°，那么∠BMD 等于〔〕．A ． 50°B ．80°C ．90°D ．100° 7．AB 是⊙O 的直径，以AB 为一边作等边△ABC ，交⊙O 于点E 、F ，连结AF ，假设AB =2，那么图中阴影局部的面积为〔〕．A ．4334-π B ．2332-πC ．233-πD ．433-π8．：c b a >>，且c b a ++=0，那么二次函数c bx ax y ++=2的图象可能是以下图象中的〔〕．二、填空题〔此题共16分，每题4分〕9．如图，在△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB 、AC 于点D 、E ，假设DE=1，BC =3，那么△ADE 与△ABC 面积的比为．10．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为AD BOC ＝70°，那么∠BED 的度数为 °．11．如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的圆心在坐标原点，半径为2，点A 的坐标为)32,2(．直线AB 为⊙O 的切线，B 为切点，那么B 点的坐标为．12．如图，在平面直角坐标系中 ,二次函数)0(22≠+=a amax y 的图象经过正方形ABOC 的三个顶点 A 、B 、C ，那么m 的值为．三、解答题〔此题共30分，每题5分〕 13．计算：︒+︒-︒+︒60tan 30cos 60sin 45sin 22.14．关于x 的方程04332=++mx x . 〔1〕如果此方程有两个不相等的实数根，求m〔2〕在〔1〕中，假设m 15．二次函数y = x 2 ＋4x+3.〔1〕用配方法将y = x 2 ＋4x +3化成y = a (x - h ) 2 +k 〔2〕在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；〔3〕写出当x 为何值时，y >0． 16．：如图，在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°， D 、E 分别为AB 边上的点，且AE AD 53=，连结DE .假设AC ＝3，AB ＝5与AB 有怎样的位置关系？并证明你的结论. 17．：如图，AB 是⊙O 的弦，∠OAB ＝45°，C 是优弧AB 上一点，BD ∥OA ，交CA 延长线于点D ，连结BC ．〔1〕求证：BD 是⊙O 的切线；〔2〕假设AC =34，∠CAB ＝75°，求⊙O 的半径．18．列方程解应用题为了鼓励居民节约用电，某地区规定：如果每户居民一个月的用电量不超过a 度时，每度电按0.40元交费；如果每户居民一个月的用电量超出a 度时，那么该户居民的电费将使用二级电费计费方式，即其中有a 度仍按每度电0.40元交费，超出a 度局部那么按每度电150a元交费．下表是该地区一户居民10月份、11月份的用电情况．根据表中的数据，求在该地区规定的电费计费方式中，a 度用电量为多少？10月 80 32 11月 100 42四、解答题〔此题共20分，第19题6分，第20题4分，第21题4分，第22题6分〕 19．：抛物线C 1 ：c bx ax y ++=2经过点A 〔－1,0〕、B (3，0)、C 〔0,－3〕．〔1〕求抛物线C 1的解析式；〔2〕将抛物线C 1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C 2经过坐标原点，并写出C 2的解析式；〔3〕把抛物线C 1绕点A 〔－1，O 〕旋转180o，写出所得抛物线C 3顶点D 的坐标．20．：如图，一座商场大楼的顶部竖直立有一个矩形广告牌，小红同学在地面上选择了在一条直线上的三点A 〔A 为楼底〕、D 、E ，她在D 处测得广告牌顶端C 的仰角为60°，在E 两处测得商场大楼楼顶B 的仰角为45°，DE =5米．，广告牌的高度BC =2.35米，求这座商场大楼的高度AB 〔3取1.73，2取1.41，小红的身高不计，结果保存整数)． 21．阅读以下材料：对于李老师所提出的问题，请给出你认为正确的解答〔写出BD 的取值范围，并在备用图中画出对应的图形，不写作法，保存作图痕迹〕．22．：如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的点，将DB 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ，延长ED 交AC 于点F ，连结DC 、AE ．〔1〕求证：△ADE ≌△DFC ；〔2〕过点E 作EH ∥DC 交DB 于点G ，交BC 于点H ，连结AH ．求∠AHE 的度数；〔3〕假设BG =32，CH =2，求BC 的长．五、解答题〔此题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分〕23．关于x 的一元二次方程022=++c bx ax 〔0>a 〕①.〔1〕假设方程①有一个正实根c ，且02<+b ac .求b 的取值范围；李老师提出一个问题： “：如图1，AB =m 〔m >0〕，∠BAC ＝α〔α为锐角〕，在射线AC 上取一点D .使构成的△ABD 唯一确定，试确定线段BD 的取值范围.〞小明同学说出了自己的解题思路：以点B 为圆心，以m 为半径画圆〔如图2所示〕，D 为⊙B 与射线AC 的交点〔不与点A 重合〕，连结BD .所以，当BD =m 时，构成的△ABD 是唯一确定的. 李老师说：“小明同学画出的三角形是正确的，但是他的解答不够全面.〞〔2〕当a =1 时，方程①与关于x 的方程0442=++c bx x ②有一个相同的非零实根，求cb c b +-2288 的值.24．：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，过C 点的切线与AB 的延长线交于点D ，CE∥AB 交⊙O 于点E ，连结AC 、BC 、AE . 〔1〕求证：①∠DCB =∠CAB ；②CA CB CE CD ⋅=⋅；〔2〕作CG ⊥AB 于点G .假设k CAB 1tan =∠〔k ＞１〕，求GBEC 的值〔用含k 的式子表示〕.25．：抛物线m x m x y ++-=)1(2与x 轴交于点A 〔1x ，0〕、B 〔2x ，0〕〔A 在B 的左侧〕，与y 轴交于点C .〔1〕假设m ＞1，△ABC 的面积为6，求抛物线的解析式；〔2〕点D 在x 轴下方，是〔1在该抛物线对称轴的左侧，作DE ∥x 点E ，作DF ⊥x 轴于F ，作EG ⊥x 轴于点G ，求矩形周长的最大值；〔3〕假设m <0，以AB 为一边在x 轴上方做菱形ABMN 〔∠NAB 为锐角〕， P 是AB 边的中点，Q 是对角线AM 上一点，假设54cos =∠NAB ，6=+PQ QB ，当菱形ABMN 的面积最大时，求点A 的坐标．北京市西城区2021——2021学年度第一学期期末初三数学试卷答案及评分参考 2021.1一、选择题〔此题共32分，每题4分〕三、解答题〔此题共30分，每题5分〕13.解：︒+︒-︒+︒60tan 30cos 60sin 45sin 22.=2)3(2323222+-+⨯. ······················· 4分 =32+. ······························· 5分14．〔1〕解：m c b a 43,3,1===. m mac b 3943143422-=⨯⨯-=-=∆. ·············· 1分 ∵ 该方程有两个不相等的实数根，∴ 039>-m . ························· 2分解得 3<m .∴ m 的取值范围是3<m . ·····················3分〔2〕解：∵3<m ，∴ 符合条件的最大整数是 2=m . ·················4分此时方程为 02332=++x x ，解得 22314332⨯⨯-±-=x 233±-=.∴方程的根为 2331+-=x ，2332--=x . ··········· 5分15．解：〔1〕342++=x x y1)2(2-+=x . ························ 2分〔2〕列表：图象见图1. ··············· 4分〔3〕x ＜－3或x >－1. ·········· 5分16．DE 与AB 的位置关系是互相垂直. ······ 1分证明：∵AC =3，AB =5，AE AD 53=， ∴AEABAD AC =． ··········· 2分 ∵ ∠A =∠A ， ··········· 3分∴ △ADE ∽△ACB ． ······· 4分∵∠C ＝90°， ∴∠ADE =∠C =90°． ∴DE ⊥AB ． ····························5分17．〔1〕证明：连结OB ，如图3. ∵ OA=OB ，∠OAB =45°，∴ ∠1=∠OAB=45°. (1)∵ AO ∥DB ，∴∠2 =∠OAB=45°. ∴ ∠1 +∠2=90°.∴ BD ⊥OB 于B . ······················ 2分 ∴ 又点B 在⊙O 上.∴ CD 是⊙O 的切线. ····················· 3分〔2〕解：作OE ⊥AC 于点E .∵OE ⊥AC ，AC =34， ∴AE ＝AC 21＝32. ····················· 4分 E A C B D 图2图1图3∵∠BAC=75°，∠OAB=45°， ∴∠3=∠BAC －∠OAB=30°. ∴ 在Rt △OAE 中，4233230cos ==︒=AE OA . ··········· 5分解法二：如图4，延长AO 与⊙O 交于点F ，连结FC . ∴ ∠ACF =90°.在Rt △ACF 中，8233430cos ==︒=AC AF . ·····4分 ∴AO ＝AF 21＝4. ····················· 5分 18．解：因为 80×0.4=32，100×0.4=40＜42，所以 10080<≤a . ························· 1分由题意得 42150)100(4.0=-+aa a . ················3分去分母，得 15042)100(60⨯=-+a a a .整理，得 063001602=+-a a . 解得 901=a ，702=a . ······················4分因为 80≥a ，所以 702=a 不合题意，舍去.所以 90=a ．答：在该地区规定的电费计费方式中，a 度用电量为90度. ··········5分四、解答题〔此题共20分，第19题6分，第20题4分，第21题4分，第22题6分〕19．解：〔1〕∵c bx ax y ++=2经过点A (－1,0) 、B (3，0)、 C (0，－3) ．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-.3,039,0c c b a c b a ········ 2分解得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-==.3,2,1c b a∴ 所求抛物线C 1的解析式为：322--=x x y ．·············· 3分〔2〕抛物线C 1向左平移3个单位长度，可使得到的抛物线C 2经过坐标原点 · 4分所求抛物线C 2的解析式为：x x x x y 4)4(2+=+=． ········· 5分〔3〕D 点的坐标为〔－3,4〕. ···················· 6分20．解：设AB 为x 米.依题意，在Rt △ABE 中， ∠BEA =45°， ∴ AE =AB ＝x .∴ AD =AE －DE =x －5，AC = BC + AB =2.35+x . ··· 2分在Rt △ADC 中， ∠CDA =60°，图5_ O-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 45 4 3 2 1-1 -2 -3 -4A BD xyAB CDOF图4∴ AC =CDA AD ∠⋅tan =3AD .∴ x +2.35＝3( x －5). ······················· 3分 ∴ (3－1 )x ＝2.35+53. 解得 1335.235-+=x .∴ x ≈15. 答：商场大楼的高度AB 约为15米. ··· 4分21．解：BD =αsin m 或BD ≥m ．〔各1分〕见图7、图8；〔各1分〕22．〔1〕证明：如图9， ∵ 线段DB 顺时针旋转60°得线段DE ，∴ ∠EDB =60°，DE =DB . ∵ △ABC 是等边三角形，∴ ∠B =∠ACB =60°.∴ ∠EDB =∠B .∴ EF ∥BC . ············· 1分 ∴ DB =FC ，∠ADF =∠AFD =60°.∴ DE=DB=FC ，∠ADE =∠DFC =120°，△ADF 是等边三角形. ∴ AD=DF .∴ △ADE ≌△DFC . ······················ 2分〔2〕由 △ADE ≌△DFC ，得 AE =DC ，∠1=∠2. ∵ ED ∥BC ， EH ∥DC ，∴ 四边形EHCD 是平行四边形. ∴ EH=DC ，∠3=∠4.∴ AE=EH . ····························· 3分 ∴ ∠AEH =∠1+∠3=∠2+∠4 =∠ACB =60°. ∴ △AEH 是等边三角形.∴∠AHE=60°. ··························· 4分〔3〕设BH =x ，那么AC = BC =BH ＋HC = x ＋2，由〔2〕四边形EHCD 是平行四边形， ∴ ED=HC .∴ DE=DB=HC=FC =2. ∵ EH ∥DC ，∴ △BGH ∽△BDC . ·························· 5分∴ BCBHBD BG =.即 2232+=x x . 解得 1=x .∴ BC =3. ····························· 6分五、解答题〔此题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分〕23．解：〔1〕∵ c 为方程的一个正实根〔0>c 〕，∴ 022=++c bc ac . ······················ 1分 ∵0>c ,图8图9 H∴ 012=++b ac ，即12--=b ac . ················ 2分 ∵ 02<+b ac ， ∴ 0)12(2<+--b b .解得 32->b ． ························· 3分又0>ac 〔由0>a ，0>c 〕． ∴ 012>--b ．解得 21-<b ． ∴ 2132-<<-b ． ························ 4分〔2〕当1=a 时，此时方程①为 022=++c bx x .设方程①与方程②的相同实根为m ， ∴ 022=++c bm m ③ ∴ 0442=++c bm m ④④－③得 0232=+bm m . 整理，得 0)23(=+b m m . ∵m ≠0，∴023=+b m .解得 32bm -=. ························· 5分把32b m -=代入方程③得 0)32(2)32(2=+-+-c b b b .∴0982=+-c b ，即c b 982=. 当c b 982=时，548822=+-c b c b . ··················· 7分24．〔1〕证明：①如图10，解法一：作直径CF ，连结BF .∴ ∠CBF =90°， ·········· 1分那么 ∠CAB =∠F =90°－∠1. ∵ CD 切⊙O 于C ， ∴ OC ⊥CD ， ············ 2分那么 ∠BCD =90°－∠1. ∴ ∠BCD =∠CAB . ·解法二：如图11，连结OC .∵AB 是直径，∴ ∠ACB =90°. ·········· 1分那么∠2 =90°－∠OCB . ∵ CD 切⊙O 于C ，∴ OC ⊥CD . ························· 2分那么 ∠BCD =90°－∠OCB . ∴ ∠BCD =∠2.图11A 图10 A∵ OA =OC ，∴ ∠2 =∠CAB . ∴ ∠BCD =∠CAB . ······················ 3分 ② ∵ EC ∥AB ，∠BCD =∠3，∴ ∠4 =∠3=∠BCD . ······················ 4分 ∵ ∠CBD ＋∠ABC =180°， ∵ ∠AEC ＋∠ABC =180°， ∴ ∠CBD =∠AEC . ······················· 5分 ∴ △ACE ∽△DCB ．∴CBCDCE CA =． ∴ CA CB CE CD ⋅=⋅． ····················· 6分〔2〕连结EB ，交CG 于点H ，∵ CG ⊥AB 于点G ， ∠ACB =90°. ∴ ∠3=∠BCG . ∵ ∠3 =∠4. ∴ = ∴ ∠3=∠EBG . ∴ ∠BCG =∠EBG .∵ kCAB 1tan =∠〔k ＞１〕， ∴ 在Rt △HGB 中，kGB GH HBG 1tan ==∠. 在Rt △BCG 中，kCG BG BCG 1tan ==∠. 设HG =a ，那么BG= ka ，CG= k 2a . CH =CG －HG =( k 2－1)a . ∵ EC ∥AB ，∴ △ECH ∽△BGH ．∴ 1)1(22-=-==k aa k HG CH GB EC ． ··················· 8分解法二：如图10-2，作直径FC ，连结FB 、EF ，那么∠CEF =90°. ∵CG ⊥AB 于点G ，在Rt △ACG 中，kAG CG CAB 1tan ==∠ 设CG =a ，那么AG= ka ，a k BG 1=，CF =AB =AG ＋BF =〔k k1+〕a . ∵ EC ∥AB ， ∠CEF =90°，∴直径AB ⊥EF . ∴EF =2CG = a .EC =22222)2()1(a a k k EF CF -+=-〕=( k k1-)a .∴111)1(2-=-=k kk k BG EC . AE BCA图10-2解法三：如图11-2，作EP ⊥AB 于点P ，在Rt △ACG 中，kAG CG CAB 1tan ==∠ 设CG =a ，那么AG= ka ，a kBG 1=，可证△AEP ≌△BCG ，那么有AP =a kBG 1=. EC =AG -AP =〔k k1-〕a .∴111)1(2-=-=k kk k BG EC . 25．解：∵ 抛物线与x 轴交于点A 〔x 1，0〕、B 〔x 2，0〕，∴ x 1、x 2是关于x 的方程0)1(2=++-m x m x 的解.解方程，得1=x 或m x =. ························ 1分〔1〕∵ A 在B 的左侧，m >1，∴11=x ，m x =2. ························ 2分 ∴ AB =m －1.抛物线与y 轴交于C 〔0，m 〕点. ∴ OC =m .△ABC 的面积S=OC AB ⋅21=6)1(21=-m m . 解得 41=m ，32-=m 〔不合题意，舍去〕. ∴ 抛物线解析式为452+-=x x y . ····· 3分〔2〕∵ 点D 在〔1〕中的抛物线上，∴ 设D 〔t , 452+-t t 〕〔251<<t 〕.∴ F 〔t ，0〕，DF =452-+-t t . 又抛物线对称轴是直线25=x ，DE 与抛物线对称轴交点记为R 〔如图12〕， ∴ DR =t -25，DE =t 25-.设矩形DEGF 的周长为L ，那么 L=2〔DF +DE 〕. ∴ L =2〔452-+-t t ＋t 25-〕=2622++-t t=213)23(22+--t . ························ 4分 ∵ 251<<t ， ∴ 当且仅当23=t 时，L 有最大值. 当23=t 时，L 最大=213.图12x2A图11-2∴ 矩形周长的最大值为213. ····················· 5分〔3〕∵ A 在B 的左侧，m <0，∴m x =1 ，12=x .∴ AB =1－m .如图13，作NH ⊥AB 于H ，连结QN .在Rt △AHN 中， AN AH NAB =∠cos 54=. 设AH =4k 〔k >0〕，那么AN =5k ，NH =3k . ∴ AP =AB 21=AN 21=k 25，PH =AH －AP =k k 254-=k 23，PN =22HN PH +=k 253. ∵ 菱形ABMN 是轴对称图形，∴ QN =QB .∴ PQ +QN = PQ +QB =6.∵ PQ +QN ≥PN 〔当且仅当P 、Q 、N 三点共线时，等号成立〕.∴ ≥6k 253，解得 k ≤554. ···························· 6分 ∵ S 菱形ABMN =AB ·NH =15 k 2≤48.∴ 当菱形面积取得最大值48时，k =554. 此时AB =5k =1－m =54.解得 m =1－54.∴ A 点的坐标为〔1－54，0〕. ···················· 7分图13。

2021-2022学年北京西城区初三第一学期数学期末试卷及答案

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！12021-2022学年北京西城区初三第一学期数学期末试卷及答案第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C 、是中心对称图形，故此选项符合题意；D 、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．2. 二次函数的图象的顶点坐标是（）()=-+2y 2x 31A.B. C. D.()2,3()2,1()3,1-()3,1【答案】D【解析】【分析】直接根据二次函数的顶点式写出顶点坐标即可．【详解】解：∵抛物线解析式为，()=-+2y 2x 31∴ 其顶点坐标为(3，1)，故选D ．【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质，正确理解知识点是解题的关键．3. 如图，点，，在上，是等边三角形，则的大小为（）A B C O OAB ACB ∠A. 60°B. 40°C. 30°D. 20°【答案】C【解析】【分析】由为等边三角形，得：∠AOB=60°，再根据圆周角定理，即可求解．OAB ∆【详解】解：∵为等边三角形，OAB ∆∴∠AOB=60°，∴=∠AOB =×60°=30°． ACB ∠1212故选C ．【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．4. 将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确28100x x -+=()2x a b +=的是（）A. B. C. D. ()246x -=()286x -=()246x -=-()2854x -=【答案】A【解析】【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．【详解】解：∵，28100x x -+=∴，2810x x -=-∴，即，28161016x x +=-+-2(4)6x -=故选A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．5. 如图，是正方形的外接圆，若的半径为4，则正方形的边长为O ABCD O ABCD （）A. 4B. 8C.D. 【答案】D【解析】【分析】连接OB ，OC ，过点O 作OE⊥BC 于点E ，由等腰直角三角形的性质可知OE=BE ，由垂径定理可知BC=2BE ，故可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，过点O 作OE⊥BC 于点E ，∴OB=OC，∠BOC=90°，∴∠OBE=45°，45BOE ∠=︒∴OE=BE，∵OE 2+BE 2=OB 2，∴ BE ===∴BC=2BE=ABCD 的边长是．故选：D【点睛】本题考查的是圆周角定理、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．6. 生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可x 以列方程为（）A.B. ()2.51 3.2x +=()2.512 3.2x +=C.D. ()22.51 3.2x +=()22.513.2x -=【答案】C【解析】【分析】设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，根据等量关系，列x 出方程即可．【详解】解：设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，x 由题意得：，()22.513.2x +=故选C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，掌握增长率模型，是解题()21a x b ±=的关键．7. 下列说法中，正确的是（）A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件B. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近1C. 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖D. 抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得【答案】B【解析】【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义可判断A ，根据随机事件发生的机会大小，估计概率的大小可判断B ，可判断C ，不规则物体的概率只能通过大数次的实验，使频率达到稳定时用频率估计概率可判断D ．【详解】解：“射击运动员射击一次，命中靶心”可能会发生，也可都能不会发生是随机事件不是必然事件，故选项A 不正确；事件发生的可能性越大，说明发生的机会越大，它的概率越接近1，故选项B 正确；某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票每一张彩票中奖的概率都是1%，可能会中奖，但一定会中奖机会很小，故选项C 不正确；图钉是不规则的物体，抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率只能通过实验，大数次的实验，使频率稳定时，可用频率估计概率，不可以用列举法求得，故选项D 不正确．故选择B ．【点睛】本题考查事件，事件发生的可能性，概率，实验概率，掌握事件，事件发生的可能性，概率，实验概率知识是解题关键．8. 抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示.2y ax bx c =++()2,A m ()5,0B对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物0ac <0a b c -+>90m a +=线经过点，则一定是方程的一个根．其中所有正确结论的序(),C t n 4t +2ax bx c n ++=号是（）A. ①②B. ①③C. ③④D. ①④【答案】B【解析】【分析】利由抛物线的开口方向和位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的一个交点坐标为（-1，0），代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的顶点坐标以及对称轴可对③进行判断；抛物线的对称性得出点的对称点是，则(),C t n ()4,-C t n 可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c＞0，∴，故①正确；0ac <∵抛物线的顶点为，且经过点，2y ax bx c =++()2,A m ()5,0B ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），2y ax bx c =++∴，故②错误；0a b c -+=∵抛物线的对称轴为直线x=2，∴，即：b=-4a ， 22b a-=∵，0a b c -+=∴c=b-a=-5a，∵顶点，()2,A m ∴，即：， 244ac b m a -=()()24544a a a m a ⋅---=∴m=-9a，即：，故③正确；90m a +=∵若此抛物线经过点，抛物线的对称轴为直线x=2，(),C t n ∴此抛物线经过点，()4,-C t n ∴，()()244-+-+=a t b t c n ∴一定是方程的一个根，故④错误．4t -2ax bx c n ++=故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置．第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为_______．xOy ()4,7-【答案】（-4，7）【解析】【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x ，y ）关于原点O 的对称点是P′（-x ，-y ），进而得出答案．【详解】解：点关于原点的对称点坐标为（-4，7），()4,7-故答案是：（-4，7）．【点睛】此题主要考查了原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．10. 关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为________．x 240x mx ++=m 【答案】-5【解析】【分析】直接利用一元二次方程的解的意义将x=1代入求出答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程的一个根是1，240x mx ++=∴12+m+4=0，解得：m=-5．故答案是：-5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，正确理解一元二次方程解的意义是解题关键．11. 如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料mm ，则此圆弧所在圆的半径为________mm ．800π【答案】900【解析】【分析】由弧长公式l=得到R 的方程，解方程即可． 180n R π【详解】解：根据题意得，=，解得，R=900（mm ）． 800π160180R π答：这段圆弧所在圆的半径R 是900 mm ．故答案是：900．【点睛】本题考查了弧长的计算公式：l=，其中l 表示弧长，n 表示弧所对的圆心角180n R π的度数．12. 写出一个开口向下，且对称轴在轴左侧的抛物线的表达式：_______．y 【答案】y=-x 2-2x+1【解析】【分析】根据二次函数的性质写出一个符合的即可．【详解】解：抛物线的解析式为y=-x 2-2x+1，故答案为：y=-x 2-2x+1．【点睛】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．13. 如图，在平面直角坐标系中，点，，的横、纵坐标都为整数，过这三个点xOy A B C 作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为_______．【答案】（2，1）【解析】【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB 和BC 的垂直平分线，交点即为圆心．【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB 和BC 的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为（2，1）．【点睛】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．14. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线可以看作是抛物线xOy ()21422y x =--+经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线2122y x =+得到抛物线的过程：_______． 2122y x =+()21422y x =--+【答案】抛物线先向右平移4个单位，再关于直线轴对称得到抛物线2122y x =+2y =． ()21422y x =--+【解析】【分析】由抛物线向右平移4个单位后得到抛物线后，此2122y x =+()21422y x =-+时正好与关于直线对称，即可得到答案． 2122y x =-+2y =【详解】解：∵抛物线向右平移4个单位后得到抛物线2122y x =+()21422y x =-+后，正好与关于直线对称， 2122y x =-+2y =∴抛物线可以看做是抛物线先向右平移4个单位，再关()21422y x =--+2122y x =+于直线轴对称得到的， 2y =故答案为：抛物线先向右平移4个单位，再关于直线轴对称得到抛物线2122y x =+2y =． ()21422y x =--+【点睛】本题主要考查了二次函数的平移，轴对称变化，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．15. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点恰ABC A ()090αα︒<<︒ADE B D 好落在边上，则_______．（用含的式子表示）BC ADE ∠=α【答案】 1802α-【解析】【分析】由旋转的性质可得∠DAB=，AD=AB ，∠B，进而即可求解．αADE ∠=【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，ABC A ()090αα︒<<︒ADE ∴∠DAB=，AD=AB ，∠B，αADE ∠=∵∠B=， 1802α-∴， ADE ∠=1802α-故答案是：． 1802α-【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．16. 如图，在中，，是内的一个动点，满足Rt ABC △90ACB ∠=︒D ABC．若，则长的最小值为_______．222AC AD CD -=AB =4BC =BD【答案】2【解析】【分析】取AC 中点O ，由勾股定理的逆定理可知∠ADC=90°，则点D 在以O 为圆心，以AC 为直径的圆上，作△ADC 外接圆，连接BO ，交圆O 于，则长的最小值即为，由1D BD 1BD 此求解即可．【详解】解：如图所示，取AC 中点O ，∵，即，222AC AD CD -=222=AC AD CD +∴∠ADC=90°，∴点D 在以O 为圆心，以AC 为直径的圆上，作△ADC 外接圆，连接BO ，交圆O 于，则长的最小值即为，1D BD 1BD∵，，∠ACB=90°，AB =4BC =∴，AC =∴， 1132OC OD AC ===∴，5OB ==∴，112BD OB OD =-=故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最短距离，勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键在于确定点D 的运动轨迹．三、解答题（共68分，第17-18题，每题5分，第19题6分，第20题5分，第21题6分，第22-24题，每题5分，第25-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 解方程：．2220x x --=【答案】1211x x =+=【解析】【分析】把方程化成x 2=a 的形式，再直接开平方，即可得到方程的解.【详解】2220x x --=221120x x -+--=2213x x -+=2(1)3x -=1x =∴原方程的解为1211x x ==【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程无实数根．18. 问题：如图，是的直径，点在内，请仅用无刻度的直尺，作出AB O C O ABC 中边上的高.AB 小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．作法：如图，①延长交于点，延长交于点；AC O D BC O E ②分别连接，并延长相交于点；AE BD F ③连接并延长交于点．FC AB H所以线段即为中边上的高．CH ABC AB （1）根据小芸的作法，补全图形；（2）完成下面的证明．证明：∵是的直径，点，在上，AB O D E O ∴________°．（______）（填推理的依据）ADB AEB ∠=∠=∴，．AE BE ⊥BD AD ⊥∴，________是的两条高线．AE ABC ∵，所在直线交于点，AE BD F ∴直线也是的高所在直线．FC ABC ∴是中边上的高．CH ABC AB 【答案】（1）见详解；（2）90，直径所对的圆周角是直角，BD ．【解析】【分析】（1）根据作图步骤作出图形即可；（2）根据题意填空，即可求解．【详解】解：（1）如图，CH 为△ABC 中AB 边上的高；（2）证明：∵是的直径，点，在上，AB O D E O ∴___90_°．（__直径所对的圆周角是直角_）（填推理的依据） ADB AEB ∠=∠=∴，．AE BE ⊥BD AD ⊥∴，_BD__是的两条高线．AE ABC ∵，所在直线交于点，AE BD F ∴直线也是的高所在直线．FC ABC ∴是中边上的高．CH ABC AB 故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，BD ．【点睛】本题考查了圆周角定理的推理，三角形的三条高线相交于一点等知识，熟知两个定理，并根据题意灵活应用是解题关键．19. 已知二次函数．243y x x =++（1）求此函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）画出此函数的图象；（3）若点和都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写()10,A y ()2,B m y 12y y <出的取值范围．m 【答案】（1）抛物线对称轴为直线，顶点坐标为（-2，-1）；（2）见解析；（3）2x =-或4m <-0m >【解析】【分析】（1）把抛物线解析式化为顶点式求解即可；（2）先列表，然后描点，最后连线即可；（3）根据函数图像求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线解析式为， ()224321y x x x =++=+-∴抛物线对称轴为直线，顶点坐标为（-2，-1）；2x =-（2）列表如下： x … -4 -3 -2 -1 0 …243y x x =++ (3)0 -1 0 3 … 函数图像如下所示：（3）由函数图像可知，当时，或．12y y <4m <-0m >【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，画二次函数图像，图像法求自变量的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．20. 如图，在正方形中，射线与边交于点，将射线绕点顺时针旋ABCD AE CD E AE A 转，与的延长线交于点，，连接．CB F BF DE =FE（1）求证：；AF AE =（2）若，，直接写出的面积．30DAE ∠=︒2DE =AEF 【答案】（1）见解析；（2）8【解析】【分析】（1）根据SAS 证明即可得到结论；ADE ABF ≅ （2）根据直角三角形的性质求出AE=4，再根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴AD=AB=BC=CD，90ABC D BAD ∠=∠=∠=︒∴90ABF D ∠=∠=︒在和中，ADE ∆ABF ∆AD AB D ABF DE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADE ABF ≅ ∴AF AE =（2）由（1）得ADE ABF ≅ ∴，DAE BAF ∠=∠AF AE =∴90BAF BAE BAE DAE BAD ∠+∠=∠+∠=∠=︒∴是等腰直角三角形，FAE ∆在Rt△ADE 中，，，30DAE ∠=︒2DE =∴AE=2DE=4∴AF=4∴ 1144822AEF S AE AF ∆=⨯⨯=⨯⨯=【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、三角形的面积以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键．21. 已知关于的一元二次方程． x ()25620x k x k -+++=（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于，求的取值范围．1-k 【答案】（1）见详解；（2）k ＜-4【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得Δ≥0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x 1=2、x 2= k+3，根据方程有一根小于-1，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围．【详解】（1）证明：∵在方程中，Δ=[-（k+5）]2-4×1×()25620x k x k -+++=（6+2k ）=k 2+2k+1=（k+1）2≥0，∴方程总有两个实数根．（2）解：∵， ()()[]2562320-+++=-+-=⎡⎤⎣⎦x k x k x k x ∴x 1=2，x 2=k+3．∵此方程恰有一个根小于，1-∴k+3＜-1，解得：k ＜-4，∴k 的取值范围为k ＜-4．【点睛】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于-1，找出关于k 的一元一次不等式．22. 有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数，2；2-乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数，，5．小明和小刚进行摸球游戏，规5-m 则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为；再从乙口袋中随机取出一个a 球，其上的数记为.若，小明胜；若，为平局；若，小刚胜．b a b <a b =a b >（1）若，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；2m =-（2）当为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数的m m 值．【答案】（1）见详解；（2）m=-1【解析】【分析】（1）先画出树状图，再利用概率公式计算，即可求解；（2）取一个符合条件的m 的值，即可．【详解】解：（1）画树状图如下：∵一共有6种可能的结果，，有2种可能，，有3种可能，a b <a b >∴小明获胜的概率=2÷6=，小刚获胜的概率=3÷6=； 1312（2）当m=-1时，画树状图如下：此时，小明和小刚获胜的概率相同．【点睛】本题主要考查等可能时间的概率，掌握画树状图是解题的关键．23. 如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接并延长交于AB AC O B C CO O 点，过点作的切线交的延长线于点，于点．D D O ABE EF AC ⊥F（1）求证：四边形是矩形；CDEF（2）若，求的长.．CD =2DE =AC【答案】（1）见详解；（2）5【解析】【分析】（1）根据切线的性质和矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据切线长定理可得AB=AC ，BE=DE ，再利用勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：∵，DE 是的两条切线，于点AC O EF AC ⊥F ∴∠EFC=∠EDC=∠FCD=90°，∴四边形是矩形；CDEF （2）∵四边形是矩形，CDEF∴EF=，CF=，CD =2DE =∵，，DE 是的两条切线，AB AC O ∴AB=AC，BE=DE ，设AB=AC=x ，则AE=x+2，AF=x-2，在中，， Rt AEF ()(()22222x x -+=+解得：x=5，∴AC=5．【点睛】本题主要考查切线长定理和勾股定理以及矩形的判定定理，掌握切线长定理以及勾股定理是解题的关键．24. 某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度（单位：m ）与行进的水平距离（单位：m ）之间关系的y x 图象如图所示．已知篮球出手位置与篮筐的水平距离为4.5m ，篮筐距地面的高度为A 3.05m ；当篮球行进的水平距离为3m 时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m ．（1）图中点表示篮筐，其坐标为_______，篮球行进的最高点的坐标为________；B C （2）求篮球出手时距地面的高度．【答案】（1）（4.5，3.05），（3，3.3）；（2）2.3米【解析】【分析】（1）根据题意，直接写出坐标即可；（2）设抛物线的解析式为：，从而求出a 的值，再把()()23 3.30y a x a =-+≠x=0代入解析式，即可求解．【详解】（1）由题意得：点坐标为（4.5，3.05），的坐标为（3，3.3）， B C 故答案是：（4.5，3.05），（3，3.3）；（2）设抛物线的解析式为：，()()233.30y a x a =-+≠把点坐标（4.5，3.05），代入得B ()23 3.3y a x =-+()23.054.53 3.3a =-+，解得：， 19a =-∴ ()213 3.39y x =--+当x=0时，， ()2103 3.3 2.39y =--+=答：篮球出手时距地面的高度为2.3米．【点睛】考查了二次函数的应用，利用二次函数的顶点式，求出函数解析式是解题的关键．25. 如图，是的直径，四边形内接于，是的中点，AB O ABCD O D AC DE BC ⊥交的延长线于点．BC E（1）求证：是的切线；DE O （2）若，，求的长． 10AB =8BC =BD【答案】（1）见详解；（2）【解析】【分析】（1）连接OD ，由圆周角定理可得∠AOD=∠ABC，从而得OD∥BC，进而即可得到结论；（2）连接AC ，交OD 于点F ，利用勾股定理可得AC ，，再证明四边形DFCE 是6=4OF =矩形，进而即可求解．【详解】（1）证明：连接OD ，∵是的中点， D AC ∴∠ABC=2∠ABD， ∵∠AOD=2∠ABD， ∴∠AOD=∠ABC， ∴OD∥BC， ∵， DE BC ⊥∴， DE OD ⊥∵OD 为半径∴是的切线； DE O （2）连接AC ，交OD 于点F ，∵AB 是直径， ∴∠ACB=90°，，6==∵是的中点， D AC ∴OD⊥AC，AF=CF=3，∴，4O F ===∴DF=5-4=1，∵∠E=∠EDF=∠DFC=90°， ∴四边形DFCE 是矩形， ∴DE=CF=3，CE=DF=1，∴CD ==， ∵∠ADB=90°，∴BD ===【点睛】本题主要考查切线的判定定理，圆周角定理以及勾股定理，添加辅助线构造直角三角形和矩形，是解题的关键．26. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A ，． xOy ()28y a x h a =--702h <<（1）若，1a =①点A 到轴的距离为_______；x ②求此抛物线与轴的两个交点之间的距离；x （2）已知点A 到轴的距离为4，此抛物线与直线的两个交点分别为x 21y x =-+，，其中，若点在此抛物线上，当时，()11,B x y ()22,C x y 12x x <(),y D D D x 12D x x x <<总满足，求的值和的取值范围．D y 21D y y y <<a h【答案】（1）①8；②2）， 12a =5722h <<【解析】【分析】（1）①当时，，可得抛物线的顶点坐标为1a =()()2288y a x h a x h =--=-- ，即可求解；(),8h -②令，可得此抛物线与轴的两个交点为，即()280x h --=x ()(),h h +-可求解；（2）根据点A 到轴的距离为4，可得．分两种情况：①当时，抛物线为x 12a =±12a =，由此抛物线与直线的两个交点分别为，()2142y x h =--21y x =-+()11,B x y ，其中，得方程，从而得到()22,C x y 12x x <()2224100x h x h --+-=，进而得到，然后把，()()22244100h h ∆=---->⎡⎤⎣⎦72h <()2142y x h =--，联立得，再由点21y x =-+1212222525x h x h y h y h ⎧⎧=-=-+⎪⎪⎨⎨=-++=-+-⎪⎪⎩⎩在此抛物线上，当时，总满足，可得抛物线对称(),y D D D x 12D x x x <<D y 21D y y y <<轴在点的右侧，即可求解；②当时，抛物线为x h =()22,C x y 12a =-，由此抛物线与直线的两个交点分别为，()2142y x h =--+21y x =-+()11,B x y ，其中得方程，从而得到()22,C x y 12x x <()222460x h x h -++-=，进而求出，把，()()2224460h h ∆=-+-->⎡⎤⎣⎦52h >-()2142y x h =--+，联立得，由点21y x=-+1212222323x h x h y h y h ⎧⎧=+=++⎪⎪⎨⎨=--+=--⎪⎪⎩⎩在此抛物线上，当时，总满足，抛物线对称轴(),y D D D x 12D x x x <<D y 21D y y y << 在点的左侧，即可求解．x h =()11,B x y 【详解】解：（1）①当时，， 1a =()()2288y a x h a x h =--=--∴抛物线的顶点坐标为， (),8h -∴点A 到轴的距离为8；x ②令，即， ()280x h --=()28x h -=解得：，12x h x h =+=-∴此抛物线与轴的两个交点为，x ()(),hh +-∴此抛物线与轴的两个交点之间的距离为；x ((h h +--（2）∵点A 到轴的距离为4， x ∴，解得：， 84a -=±12a =±①当时， 12a =∴抛物线为， ()2142y x h =--∵此抛物线与直线的两个交点分别为，，其中， 21y x =-+()11,B x y ()22,C x y 12x x <∴，即， ()214221h x x =---+()2224100x h x h --+-=∴， ()()22244100h h ∆=---->⎡⎤⎣⎦解得：， 72h <把，，联立得： ()2142y x h =--21y x =-+， ()214221y x h y x ⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩解得：1212222525x h x h y h y h ⎧⎧=--=-+⎪⎪⎨⎨=-++=-+-⎪⎪⎩⎩∵点在此抛物线上，当时，总满足， (),y D D D x 12D x x x <<D y 21D y y y <<∴抛物线对称轴在点的右侧， x h =()22,C x y ∴， 2h h >-+∴， 52h >∵． 702h <<∴的取值范围为． h 5722h <<②当时， 12a =-∴抛物线为， ()2142y x h =--+∵此抛物线与直线的两个交点分别为，，其中， 21y x =-+()11,B x y ()22,C x y 12x x <∴，即， ()212142x x h -+=--+()222460x h x h -++-=∴ ， ()()2224460h h ∆=-+-->⎡⎤⎣⎦解得：， 52h >-把，，联立得： ()2142y x h =--+21y x =-+ ， ()214221y x h y x ⎧=--+⎪⎨⎪=-+⎩解得：，1212222323x h x h y h y h ⎧⎧=+=+⎪⎪⎨⎨=--=--⎪⎪⎩⎩∵点在此抛物线上，当时，总满足， (),y D D D x 12D x x x <<D y 21D y y y <<∴抛物线对称轴在点的左侧， x h =()11,B x y ∴，2h h <+-∴， 32h <-∴， 5322h -<<-∵． 702h <<∴无解．综上，，的取值范围为． 12a =h 5722h <<【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，与一函数的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．27. 如图1，在中，，，点，分别在边，上，ABC 90ACB ∠=︒CA CB =D E CA CB ，连接，，．点在线段上，连接交于点．CDCE =DE AE BD F BD CF AE H（1）①比较与的大小，并证明； CAE ∠CBD ∠②若，求证：；CF AE ⊥2AE CF =（2）将图1中的绕点逆时针旋转，如图2．若是的中CDE △C ()090αα︒<<︒F BD点，判断是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由. 2AE CF =【答案】（1）①∠CAE=∠CBD，理由见解析；②证明见解析；（2）AE=2CF 仍然成立，理由见解析【解析】【分析】（1）①只需要证明△CAE≌△CBD 即可得到∠CAE=∠CBD；②先证明∠CAH=∠BCF，然后推出∠BDC=∠FCD，∠CAE=∠CBD=∠BCF，得到CF=DF ，CF=BF ，则BD=2CF ，再由△CAE≌△CBD，即可得到AE=2BD=2CF ；（2）如图所示延长DC 到G 使得，DC=CG ，连接BG ，只需要证明△ACE≌△BCG 得到AE=BG ，再由CF 是△BDG 的中位线，得到BG=2CF ，即可证明AE=2CF ．【详解】解：（1）①∠CAE=∠CBD，理由如下：在△CAE 和△ CBD 中，， =CE CD ACE BCD AC BC =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩∴△CAE≌△CBD（SAS ）， ∴∠CAE=∠CBD； ②∵CF⊥AE， ∴∠AHC=∠ACB=90°，∴∠CAH+∠ACH=∠ACH+∠BCF=90°， ∴∠CAH=∠BCF，∵∠DCF+∠BCF=90°，∠CDB+∠CBD=90°，∠CAE=∠CBD， ∴∠BDC=∠FCD，∠CAE=∠CBD=∠BCF， ∴CF=DF，CF=BF ， ∴BD=2CF，又∵△CAE≌△CBD， ∴AE=2BD=2CF；（2）AE=2CF 仍然成立，理由如下：如图所示延长DC 到G 使得，DC=CG ，连接BG ，由旋转的性质可得，∠DCE=∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCD=∠BCE+∠BCD，∠ECG=90°， ∴∠ACD=∠BCE，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠ECG，即∠ACE=∠BCG，又∵CE=CD=CG，AC=BC ， ∴△ACE≌△BCG（SAS ），∴AE=BG，∵F 是BD 的中点，CD=CG ， ∴CF 是△BDG 的中位线， ∴BG=2CF， ∴AE=2CF．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，三角形中位线定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，点在上，点在内，给出如xOy O A O P O 下定义：连接并延长交于点，若，则称点是点关于的倍AP O B AP kAB =P A O k 特征点．（1）如图，点的坐标为．A ()1,0①若点的坐标为，则点是点关于的_______倍特征点；P 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭P A O ②在，，这三个点中，点_________是点关于的110,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭311,22C ⎛⎫- ⎪⎝⎭A O 12倍特征点；③直线经过点，与轴交于点，.点在直线上，且点是点关于l A y D 60DAO ∠=︒E l E A的倍特征点，求点的坐标；O 12E （2）若当取某个值时，对于函数的图象上任意一点，在上k ()101y x x =-+<<M O 都存在点，使得点是点关于的倍特征点，直接写出的最大值和最小值． N M N O k k【答案】（1）①；②；③（）；（2）k 的最小值为k 有最大值为343C 34．【解析】【分析】（1）①先求出AP ，AB 的长，然后根据题目的定义求解即可；②先求出，，即可得到是点A 关112OC =1OA =1AC ==1C于⊙O 的倍特征点，得到，则不符合题意，同理可以求12112AC AE =22AE OA =>=出是点A 关于⊙O 的倍特征点，得到3AC ==3C 12，可求出点F 的坐标为（0，-1），由点的坐标为（，0），得到，312AC AF =2C 12212AC =则，则点不是点A 关于⊙O 的倍特征点； 214AC AB =2C 12③设直线AD 交圆O 于B ，连接OE ，过点E 作EF⊥x 轴于F ，先求出E 是AB 的中点，从而推出∠EOA=30°，再求出，即可得到点E 的坐标为EF =34OF ==（）； 34（2）如图所示，设直线与x 轴，y 轴的交点分别为C 、D 过点N 作NP⊥CD 交CD 1y x =-+于P ，交圆O 于B ，过点O 作直线EF⊥CD 交圆O 于E ，F 即可得到，MN NP ≥AM BP ≤，由，可得，可以推出当的值越大，k 的值越MN kAN =1111MN k AM k k ==-+--MN AN大，则当AM=BP ，MN=NP 时，k 的值最小，即当A 与E 重合，N 于F 重合时，k 的值最小，由此求出最小值即可求出最大值．【详解】解：（1）①∵A 点坐标为（1，0），P 点坐标为（，0）， 12-∴，B 点坐标为（-1，0）， 32AP =。