第27章 相似 教案

第27章：相似

一、基础知识

(一)相似

1.定义:形状相同的图形称为相似图形.

2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.

相似比：相似多边形对应边的比。

3.相似三角形的性质

（1）对应边的比相等，对应角相等.

（2）相似三角形的周长比等于相似比.

（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.

（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.

4.相似三角形的判定

（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。（3）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（4）（类似全等SSS）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。（5）（类似全等SAS）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

（6）（类似全等AAA）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（7）（类似全等HL）：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

5.三角形中位线定义（区别于中线）:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.

梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.

7.相似三角形的应用:

１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；

２、利用三角形相似，求线段的长等

3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。如求河的宽度、求建

筑物的高度等。

8.射影定理（补充知识，选讲）：

△ABC中，∠C=90°，AB边的高为CD，则有：CD²=AD*BD，AC=AD*AB，BC=BD*AB (二)位似:

位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.

位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

二、经典例题

例1.如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．

（1）填空：∠ABC=______，BC=_______． （2）判定△ABC 与△DEF 是否相似？

[考点透视]本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力. [参考答案] ①135°，22 ②能判断△ABC 与△DEF 相似，

∵∠ABC=∠DEF=•135°，AB BC

DE EF

=

=2 【点评】注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断． 例2. 如图，王华晚上由路灯A 下的B 处走到C 处时，测得影子CD•的长为1米，继续往前走2米到达E 处时，测得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A 的高度等于（ ）

A ．4.5米

B ．6米

C ．7.2米

D ．8米 [考点透视]本例主要是考查相似的应用 [参考答案] B

【点评】在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中“

1.5

AB

”． 例4.B 如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，•要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，•这个正方形零件的边长是多少？

[考点透视]本例主要是考查相似的实际应用 [参考答案] 48mm

【点评】解决有关三角形的内接正方形（或矩形）的计算问题，•一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答,AE/AD=PN/BC.

例5.B 如图所示，在△ABC 中，AB=AC=1，点D 、E 在直线BC 上运动，设BD=x ，CE=y ． （1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y 与x 之间的函数关系式；

（2）如果∠BAC 的度数为α，∠DAE 的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y 与x•之间的函数关系式还成立，试说明理由．

[考点透视]本例主要是考查相似与函数的综合运用.

[参考答案]解:在△ABC 中，AB=AC=1，∠BAC=30°，∠ABC=•∠ACB=75°，∠ABD=

∠ACE=105°．

又∠DAE=105°，∴∠DAB+∠CAE=75°．• 又∠DAB+•∠ADB=∠ABC=75°，

∴∠CAE=∠ADB ，∴△ADB ∽△EAC ，

∴

1,1AB BD x EC AC y ==即，∴y=1

x

． (2)当α1β满足β- 2α =90°，y=1

x

仍成立．

此时∠DAB+∠CAE=β-α，∴∠DAB+∠ADB=β-α，

∴∠CAE=∠ADB ．

又∵∠ABD=∠ACE ，∴△ADB ∽△EAC ，∴y=

1x

． 【点评】确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系． 例6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm ×3.5cm ，放映的荧屏的规格为2m ×2m ，若放映机的光源距胶片20cm 时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？

解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答．

[参考答案]

807

m 【点评】位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质．

练习

1．A 如图所示，在△APM 的边AP 上任取两点B ，C ，过B 作AM 的平行线交PM 于N ，过N 作MC 的平行线交AP 于D ．求证：P A ∶PB ＝PC ∶PD ．

2．A 已知：如图，E 是□ABCD 的边AD 上的一点，且

2

3

DE AE ，CE 交BD 于点F ，BF ＝15cm ，求DF 的长．

3．B -A 如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC

相似的是( )

A ．