直线与圆经典题型

直线与圆经典题型
题型一：对称性求最值
例题：已知点M （3，5），在直线l ：x ﹣2y +2=0和y 轴上各找一点P 和Q ，使△MPQ 的周长最小．
解：由点M （3，5）及直线l ，可求得点M 关于l 的对称点M 1（5，1）．同样容易求得点M 关于y 轴的对称点M 2（﹣3，5）．
据M 1及M 2两点可得到直线M 1M 2的方程为x +2y ﹣7=0．
得交点P （，）．
令x=0，得到M 1M 2与y 轴的交点Q （0，）．
解方程组
x +2y ﹣7=0，
x ﹣2y +2=0，
故点P （，）、Q （0，）即为所求．
1221M M PQ Q M P M PQ MQ MP C MPQ ≥++=++=∆
题型二：反射光线问题
已知光线经过已知直线l1：3x﹣y+7=0和l2：2x+y+3=0的交点M，且射到x轴上一点N（1，0）后被x轴反射．
（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；
（2）求反射光线所在的直线l3的方程．
（3）求与l3距离为的直线方程．
【分析】（1）联立方程组，求出M的坐标，从而求出P的坐标即可；
（2）法一：求出直线的斜率，从而求出直线方程即可；法二：求出直线PN的方程，根据对称性求出直线方程即可；
（3）设出与l3平行的直线方程，根据平行线的距离公式求出即可．
【解答】解：（1）由得，∴M（﹣2，1）．
所以点M关于x轴的对称点P的坐标（﹣2，﹣1）．…（4分）
（2）因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2．
直线MN的倾斜角为α，则直线l3的斜斜角为180°﹣α.，所以直线l3的斜率．
故反射光线所在的直线l3的方程为：．即．…（9分）
解法二：
因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2．
根据对称性∠1=∠3，∴∠2=∠3．
所以反射光线所在的直线l3的方程就是直线PN的方程．
直线PN的方程为：，整理得：．
故反射光线所在的直线l3的方程为．…（9分）
（3）设与l3平行的直线为，
根据两平行线之间的距离公式得：，解得b=3，或，
所以与l3为：，或．…（13分）
题型三：直线恒过点问题
已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．
（Ⅰ）证明：直线恒过定点M；
（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．
【分析】（Ⅰ）直线方程按m集项，方程恒成立，得到方程组，求出点的坐标，即可证明：直线恒过定点M；
（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率根据直线过的定点，写出直线方程，求出△AOB面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．
【解答】（Ⅰ）证明：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0化为（x﹣2y﹣3）m=﹣2x ﹣y﹣4．（3分）
得
∴直线必过定点（﹣1，﹣2）．（6分）
（Ⅱ）解：设直线的斜率为k（k＜0），则其方程为y+2=k（x+1），
∴OA=|﹣1|，OB=|k﹣2|，（8分）
S△AOB=•OA•OB=|（﹣1）（k﹣2）|=|﹣|..（10分）
∵k＜0，∴﹣k＞0，
∴S
=[﹣]=[4+（﹣）+（﹣k）]≥4．
△AOB
当且仅当﹣=﹣k，即k=﹣2时取等号．（13分）
∴△AOB的面积最小值是4，（14分）
直线的方程为y+2=﹣2（x+1），即y+2x+4=0．（15分）
2.已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；
（2）求点P到直线l的距离的最大值．
【分析】（1）把直线方程变形得，2x+y+m（y+2）=0，联立方程组，求得方程组的解即为直线l恒过的定点．
（2）设点P在直线l上的射影为点M，由题意可得|PM|≤|PQ|，再由两点间的距离公式求得点P到直线l的距离的最大值
【解答】（1）证明：由2x+（1+m）y+2m=0，得2x+y+m（y+2）=0，
∴直线l恒过直线2x+y=0与直线y+2=0的交点Q，
解方程组，得Q（1，﹣2），
∴直线l恒过定点，且定点为Q（1，﹣2）．
（2）解：设点P在直线l上的射影为点M，则|PM|≤|PQ|，
当且仅当直线l与PQ垂直时，等号成立，
∴点P到直线l的距离的最大值即为线段PQ的长度，等于=2．
题型四：动直线问题
已知点A（1，2）、B（5，﹣1），
（1）若A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程；
（2）若A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），试根据m的取值讨论直线l 存在的条数，不需写出直线方程．
【分析】（1）要分为两类来研究，一类是直线L与点A（1，2）和点B（5，﹣1）两点的连线平行，一类是线L过两点A（1，2）和点B（5，﹣1）中点，分类解出直线的方程即可；
（2）根据A，B两点与直线l的位置关系以及m与两点间距离5的一半比较，得到满足条件的直线．
【解答】解：∵|AB|==5，|AB|＞2，
∴A与B可能在直线l的同侧，也可能直线l过线段AB中点，
①当直线l平行直线AB时：k AB=，可设直线l的方程为y=﹣x+b
依题意得：=2，解得：b=或b=，
故直线l的方程为：3x+4y﹣1=0或3+4y﹣21=0；
②当直线l过线段AB中点时：AB的中点为（3，），可设直线l的方程为y﹣=k （x﹣3）
依题意得：=2，解得：k=，
故直线l的方程为：x﹣2y﹣=0；
（2）A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），AB平行的直线，满足题意得一定有2条，
经过AB中点的直线，
若2m＜|AB|，则有2条；
若2m=|AB|，则有1条；
若2m＞|AB|，则有0条，
题型五：斜率取值范围
已知点A（1，1），B（﹣2，2），直线l过点P（﹣1，﹣1）且与线段AB始终有交点，则直线l的斜率k的取值范围为k≤﹣3，或k≥1．
【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．
【解答】解：如图，
∵A（1，1），B（﹣2，2），直线l过点P（﹣1，﹣1），
又，
∴直线l的斜率k的取值范围为k≤﹣3，或k≥1．
故答案为：k≤﹣3，或k≥1．
题型六：对称问题
已知直线l：y=3x+3
求（1）点P（4，5）关于l的对称点坐标；
（2）直线y=x﹣2关于l对称的直线的方程．
【分析】（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），得到关于m，n的方程组，求得m、n的值，可得P′的坐标；
（2）求出交点坐标，在直线y=x﹣2上任取点（2，0），得到对称点坐标，求出直线方程即可．
【解答】解：（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），则由，求得m=﹣2，n=7，故P′（﹣2，7）．
（2）由，解得：交点为，
在直线y=x﹣2上任取点（2，0），
得到对称点为，
所以得到对称的直线方程为7x+y+22=0
题型七：截线段长问题
已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1；x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程．
【分析】法一如图，若直线l的斜率不存在，直线l的斜率存在，利用点斜式方程，分别与l1、l2联立，求得两交点A、B的坐标（用k表示），再利用|AB|=5可求出k的值，从而求得l的方程．
法二：求出平行线之间的距离，结合|AB|=5，设直线l与直线l1的夹角为θ，求出直线l的倾斜角为0°或90°，然后得到直线方程．就是用l1、l2之间的距离及l 与l1夹角的关系求解．
法三：设直线l1、l2与l分别相交于A（x1，y1），B（x2，y2），
则通过求出y1﹣y2，x1﹣x2的值确定直线l的斜率（或倾斜角），从而求得直线l 的方程．
【解答】解：解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，
此时与l1、l2的交点分别为A′（3，﹣4）或B′（3，﹣9），
截得的线段AB的长|AB|=|﹣4+9|=5，符合题意．
若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x﹣3）+1．
解方程组得
A（，﹣）．
解方程组得
B（，﹣）．
由|AB|=5．
得（﹣）2+（﹣+）2=52．
解之，得k=0，直线方程为y=1．
综上可知，所求l的方程为x=3或y=1．
题型八：直线夹角问题
已知直线l：5x+2y+3=0，直线l′经过点P（2，1）且与l的夹角等于45，求直线l'的一般方程．
【分析】设出直线l′的斜率为k′，通过直线的夹角公式求出直线的斜率，然后求出直线的方程．
【解答】解：设直线l′的斜率为k′，
则，…（7分）
，…（10分）
直线l′：7x﹣3y﹣11=0和3x+7y﹣13=0；…（13分）
本题是基础题，考查直线方程的求法，夹角公式的应用，注意夹角公式与到角公式的区别，考查计算能力．。