函数的可导性与连续性的关系教学方案
函数的连续性与函数可导关系探讨
函数的连续性与函数可导关系探讨作者：许高洁来源：《现代商贸工业》2019年第10期摘要：基于高中数学导数部分的学习，发现有些函数的导数并不存在;特别是分段函数及复合函数等求导问题。
对于我们高中生来说，导函数是基于某点的极限是否存在，然后判断该函数的导数是否存在;考虑该函数左右极限的存在性和导数的关系。
从函数的连续性与导数是否存在，探讨了导函数的存在与否和函数连续性的内在关系。
通过对不同函数的研究，得出函数的连续性是函数可导的充分不必要条件，函数的可导性是函数连续性的必要不充分条件。
关键词：连续性;导函数;分段函数;复合函数;充要条件中图分类号：TB文献标识码：Adoi：10.19311/ki.1672-3198.2019.10.0861引言在高中阶段学习了导数的定义：设函数y=f（x）在点x0处的某个领域内有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx（点x0+x仍在该区域内）时，相应地函数y取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0），如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在x0处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x0处的导数，记为y'x=x0， f'（x），或dydxx=x0即：y'x=x0=limΔx→0ΔyΔx=f（x0+Δx）-f（x）Δx（1）导数的几何意义：函数在该点x0出的斜率k，从而能求出函数在该点的切线方程。
图1导数的几何意义说明一下：f'x=k=tanαα是直线与x轴的夹角。
物理意义：速度的瞬时变化率Δy就是加速度。
图2导数的物理意义在学习导数时，基本求导法则与导数公式：f（x）g（x）′=f（x）′g（x）+f（x）g（x）′f（x）g（x）′=f（x）′g（x）-f（x）g（x）′g（x）2（C）′=0（xα）′=αxα-1（sinx）′=cosx（cosx）′=sinx（tanx）′=sec2x（cotx）′=-csc2x（ax）′=axlna（ex）′=ex（logax）′=1xlna（lnx）′=1x在綜合这些公式探究了导数的运用。
函数的可导性与连续性的关系教案(供参考)
函数的可导性与连续性的关系教案教学目的1．使学生理解函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件．2．使学生了解左导数和右导数的概念．教学重点和难点掌握函数的可导性与连续性的关系．教学过程一、复习提问1．导数的定义是什么？2．函数在点x0处连续的定义是什么？在学生回答定义基础上，教师进一步强调函数f(x)在点x=x0处连续必须具备以∴f(x)在点x0处连续．综合(1)(2)原命题得证．在复习以上三个问题基础上，直接提出本节课题．先由学生回答函数的可导性与连续性的关系．二、新课1．如果函数f(x)在点x0处可导，那么f(x)在点x0处连续．∴f(x)在点x0处连续．提问：一个函数f(x)在某一点处连续，那么f(x)在点x0处一定可导吗？为什么？若不可导，举例说明．如果函数f(x)在点x0处连续，那么f(x)在该点不一定可导．例如：函数y=|x|在点x＝0处连续，但在点x=0处不可导．从图2－3看出，曲线y ＝f(x)在点O(0，0)处没有切线．证明：(1)∵Δy=f(0＋Δx)－f(0)＝|0＋Δx|－|0|=|Δx|，∴函数y=|x|在点x0处是连续的．2．左导数与右导数的概念．(2)左、右导数存在且相等是导数存在的充要条件(利用左右极限存在且相等是极限存在的充要条件，可以加以证明，本节不证明)．(3)函数在一个闭区间上可导的定义．如果函数y=f(x)在开区间(a，b)内可导，在左端点x＝a处存在右导数，在右端点x ＝b处存在左导数，我们就说函数f(x)在闭区间[a，b]上可导．三、小结1．函数f(x)在x0处有定义是f(x)在x0处连续的必要而不充分条件．2．函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0处有极限的充分而不必要条件．3．函数f(x)在x0处连续是f(x)在x0处可导的必要而不充分的条件．四、布置作业作业解答的提示：=f(1)．∴ f(x)在点x＝1处连续．∴ f(x)在x=1处不可导．。
函数的连续性与可导性的关系
函数的连续性与可导性的关系函数的连续性和可导性是数学中两个重要的概念，它们描述了函数在某点或某个区间上的性质和变化规律。
本文将探讨函数的连续性与可导性之间的关系，并从数学的角度解释它们之间的联系和区别。
一、函数的连续性函数的连续性是指函数在某个点或某个区间上的取值变化平缓，没有突变或间断的情况。
具体来说，若函数f(x)在x=a处连续，那么在a点的左右两侧，f(x)的极限存在且相等。
这意味着函数在a点处没有跳跃、断裂或半岛等现象。
连续性是函数在某一点的局部性质，主要通过极限的性质进行研究。
二、函数的可导性函数的可导性是指函数在某个点上存在导数，也可以理解为函数的变化率。
假设函数f(x)在点x=a处可导，则导数f'(a)表示函数在a点的切线斜率。
函数可导性要求函数在该点附近具有充分的平滑性和连续性。
可导性是函数的全局性质，主要通过导数的存在与计算进行研究。
三、连续性与可导性的关系连续性和可导性之间存在一定的关系，但并非完全等价。
首先，如果一个函数在某点可导，那么它必然在该点连续。
这是因为可导性要求函数在该点处具有充分的平滑性和连续性，所以连续性是可导性的一个充分条件。
相反地，连续性不能推出可导性。
即使函数在某点连续，但如果该点处的变化率不可导，那么函数在该点不可导。
进一步地，如果一个函数在某个区间上可导，那么它在该区间上必然连续。
这是因为存在导数要求函数在该区间内具有充分的平滑性和连续性，所以连续性是可导性的一个必要条件。
然而，连续性不能推出可导性。
即使函数在某个区间上连续，但如果该区间上的某些点处的变化率不可导，那么函数在该区间上不可导。
总结起来，连续性是可导性的充分条件，也是可导性的必要条件。
也就是说，函数在某点连续并不一定可导，但是函数在某点可导必定连续。
函数的连续性描述了函数在某点的取值变化平缓，而可导性描述了函数在该点附近的变化率。
两者相互补充，共同揭示了函数的性质和特点。
总结：本文讨论了函数的连续性和可导性的关系。
可导与连续的关系及四则运算法则
可导的定义
函数在某点的导数描述了函数 在该点的切线斜率。如果一个 函数在某点可导，那么该点的 切线斜率存在。
可导性要求函数在该点的左右 极限相等，即函数在该点具有 极限。
可导性是函数局部性质，只要 求函数在某一点可导，并不要 求在整个定义域上可导。
可导的定义
函数在某点的导数描述了函数 在该点的切线斜率。如果一个 函数在某点可导，那么该点的 切线斜率存在。
导数的计算方法
导数可以通过极限定义进行计算，即函数在某一点的导数等于该点的切线斜率。此外，还可以利用链 式法则、乘积法则、商的导数法则等计算复杂函数的导数。
导数的几何意义
导数表示函数图像上某一点的切线斜率。当导数大于零时，函数在该区间内单调递增；当导数小于零 时，函数在该区间内单调递减。
思考导数的物理意义和实际应用
02
减法法则
$(u-v)' = u'-v'$
03
乘法法则
$(uv)' = u'v + uv'$
04
除法法则
$left(frac{u}{v}right)' = frac{u'v - uv'}{v^2}$
复合函数的导数
链式法则
$(uv)' = u'v + uv'$
指数法则
$(u^n)' = nu^{n-1}u'$
对数法则
$(ln u)' = frac{u'}{u}$
复合函数的导数
链式法则
$(uv)' = u'v + uv'$
指数法则
$(u^n)' = nu^{n-1}u'$
导数的定义及可导条件教案
导数的定义及可导条件教案第一章：导数的基本概念1.1 引入导数的概念解释导数的定义：导数是函数在某一点的瞬时变化率，表示函数图像上某点切线的斜率。
举例说明导数的概念：如直线、抛物线、指数函数等图形的切线斜率。
1.2 导数的几何意义解释导数的几何意义：导数表示函数图像在一点的切线斜率，即函数曲线在某一点的瞬时变化率。
演示导数的几何意义：通过图形演示函数图像的切线斜率变化。
第二章：导数的计算2.1 基本函数的导数计算常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数。
举例说明基本函数导数的计算方法。
2.2 导数的运算法则介绍导数的四则运算法则：加法、减法、乘法、除法。
举例说明导数的运算法则的应用。
第三章：可导条件3.1 连续性与可导性解释连续性与可导性的关系：函数在某一点连续不一定可导，但某一点可导必定连续。
举例说明连续性与可导性的区别。
3.2 可导条件的判断介绍可导条件的判断方法：利用导数的定义、导数的运算法则、连续性与可导性的关系。
举例说明可导条件的判断应用。
第四章：导数的应用4.1 函数的单调性解释函数的单调性：函数在某区间内单调递增或单调递减。
利用导数判断函数的单调性：导数大于0表示函数单调递增，导数小于0表示函数单调递减。
4.2 函数的极值解释函数的极值：函数在某一点的局部最大值或最小值。
利用导数找函数的极值：导数为0的点可能是极值点，还需判断是极大值还是极小值。
第五章：导数与曲线图像5.1 导数与曲线切线解释导数与曲线切线的关系：导数表示曲线在某一点的切线斜率。
举例说明导数与曲线切线的关系。
5.2 导数与曲线图像的凹凸性解释导数与曲线图像凹凸性的关系：二阶导数表示曲线的凹凸性。
举例说明导数与曲线图像凹凸性的关系。
第六章：高阶导数6.1 高阶导数的定义解释高阶导数的定义：函数的导数的导数称为高阶导数。
举例说明高阶导数的计算方法。
6.2 高阶导数的应用介绍高阶导数的应用：如速度与加速度的关系、物理中的加速度等。
第二章导数与微分
第二章导数与微分一、教学目的1.理解导数和微分的概念、导数的几何意义，函数的可导性与连续性之间的的关系.2.掌握导数、微分计算的各种方法，会求简单函数的高阶导数的计算. 二、教学重点1.导数的概念及几何意义.2.导数计算的各种方法 三、教学难点复合函数和隐函数的导数 四、课时安排 约16学时2.1 导数的概念◆2.1.1引例◆2.1.2导数的定义 ◆2.1.3求导数举例◆2.1.4 导数与左右导数的关系 ◆2.1.5导数的几何意义◆2.1.6函数的可导性与连续性的关系 ◆2.1.7内容小结2.1.1引例1．瞬时速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ), 求动点在时刻t 0的速度. 考虑到 0000()()s s f t f t v t t t t --==--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t -t 0内的平均速度. 如果时间间隔选得越短, 这个比值和动点在时刻t 0的速度越接近.令t -t 0→0, 取比值0)()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即0)()(limt t t f t f v t t --=→我们把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的瞬时速度. 2． 产品总成本的变化率设某产品的总成本C 是产量q 的函数，即C ＝f （q ）.当产量0q 变为0q q +∆时，总成本相应的改变量为 00()()C f q q f q ∆=+∆-而产量由0q 变为0q q +∆时，总成本的平均变化率为00()()f q q f q C q q+∆-∆=∆∆ 当0q ∆→时，如果极限000()()limq f q q f q C q q∆→+∆-∆=∆∆存在，称此极限为产量为0q 的总成本的变化率，又称边际成本.2.1.2导数的定义定义2.1.1 设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量∆x 时, 相应地函数y 取得增量∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0); 如果∆y 与∆x 之比当∆x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为)(0x f ',即 xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(limlim)(00000, 也可记为0|x x y =', 0 x x dx dy =或0)(x x dx x df =. 导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有 h x f h x f x f h )()(lim)(0000-+='→, 或 000)()(l i m )(0x x x f x f x f x x --='→. .如果极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000不存在, 就说函数y =f (x )在点x 0处不可导.如果函数y =f (x )在开区间I 内的每点处都可导, 就称函数f (x )在开区间I 内可导.定义2.1.2如果对任一x ∈I ,函数 f (x )都对应着的一个确定的导数值. 这样就构成了一个新的函数, 这个函数叫做原来函数y =f (x )的导函数, 记作 y ',)(x f ',dx dy , 或dxx df )(. f '(x 0)与f '(x )之间的关系:函数f (x )在点x 0处的导数f '(x )就是导函数f '(x )在点x =x 0处的函数值, 即 0)()(0x x x f x f ='='.导函数f '(x )简称导数, 而f '(x 0)是f (x )在x 0处的导数或导数f '(x )在x 0处的值.2.1.3求导数举例例1．求函数f (x )=C （C 为常数）的导数. 解: hx f h x f x f h )()(lim)(0-+='→0lim 0=-=→h C C h . 即 (C ) '=0.例2. 求xx f 1)(=的导数.解:h x h x h x f h x f x f h h 11lim )()(lim )(00-+=-+='→→2001)(1lim )(lim x x h x x h x h h h h -=+-=+-=→→. 例3. 求x x f =)(的导数.解: hx h x h x f h x f x f h h -+=-+='→→00l i m )()(l i m )(xx h x x h x h h h h 211lim )(lim00=++=++=→→. 例4．求函数f (x )=x n (n 为正整数)在x =a 处的导数. 解: f '(a )a x a f x f ax --=→)()(lima x a x n n a x --=→lim ax →=lim (x n -1+ax n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1)=na n -1. 把以上结果中的a 换成x 得 f '(x )=nx n -1,即 (x n )'=nx n -1.一般地, 有(x μ)'=μx μ-1 , 其中μ为常数. 例5．求函数f (x )=sin x 的导数. 解: f '(x )hx f h x f h )()(lim-+=→h x h x h sin )sin(lim 0-+=→ 2sin )2cos(21lim 0hh x h h +⋅=→x h hhx h cos 22sin )2cos(lim 0=⋅+=→.即 (sin x )'=cos x .用类似的方法, 可求得 (cos x )'=-sin x . 例6．求函数f (x )= a x (a >0, a ≠1) 的导数. 解: f '(x )hx f h x f h )()(lim-+=→h a a x h x h -=+→0lim h a a h h x 1lim 0-=→t a h =-1令)1(log lim 0t t a a t x +→a a ea x a xln log 1==. 即 '()ln x xa a a =特别地有 (e x )=e x .例7．求函数f (x )=log a x (a >0, a ≠1) 的导数. 解: hx h x h x f h x f x f a ah h log )(log lim )()(lim)(00-+=-+='→→ h xa h a h a h xh x x h h x x x h x h )1(log lim 1)1(log lim 1)(log 1lim 000+=+=+=→→→ax e x a ln 1log 1==. 即 ax x a ln 1)(log =' . :特殊地 xx 1)(l n='. 2.1.4 导数与左右导数的关系:定义2.1.3如果极限hx f h x f h )()(lim 000-+-→存在, 则称此极限值为函数在x 0的左导数.即 f (x )在0x 的左导数:hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='-→-;如果极限hx f h x f h )()(lim 000-++→存在, 则称此极限值为函数在x 0的右导数.即f (x )在0x 的右导数:hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='+→+.定理2.1 函数f (x )在点x 0处可导的充分必要条件是左导数左导数f '-(x 0) 和右导数f '+(x 0)都存在且相等.即: A x f =')(0⇔A x f x f ='='+-)()(00. 如果函数f (x )在开区间(a , b )内可导, 且右导数f '+(a ) 和左导数f '-(b )都存在, 就说f (x )有闭区间[a , b ]上可导.例8．求函数f (x )=|x |在x =0处的导数.解: 1||lim )0()0(lim )0(00-==-+='--→→-h h h f h f f h h , 1||lim )0()0(lim )0(00==-+='++→→+h h hf h f f h h , 因为f '-(0)≠ f '+(0), 所以函数f (x )=|x |在x =0处不可导.2.1.5导数的几何意义函数y =f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)在几何上表示曲线y =f (x )在点M (x 0, f (x 0))处的切线的斜率, 即 f '(x 0)=tan α , 其中α是切线的倾角.如果y =f (x )在点x 0处的导数为无穷大, 这时曲线y =f (x )的割线以垂直于x 轴的直线x =x 0为极限位置, 即曲线y =f (x )在点M (x 0, f (x 0))处具有垂直于x 轴的切线x =x 0.由直线的点斜式方程, 可知曲线y =f (x )在点M (x 0, y 0)处的切线方程为 y -y 0=f '(x 0)(x -x 0).过切点M (x 0, y 0)且与切线垂直的直线叫做曲线y =f (x )在点M 处的法线.如果 f '(x 0)≠0, 法线的斜率为)(10x f '-, 从而法线方程为 )()(1000x x x f y y -'-=-.例9. 求等边双曲线x y 1=在点)2 ,21(处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.解: 21x y -=', 所求切线及法线的斜率分别为4)1(2121-=-==x x k , 41112=-=k k .所求切线方程为)21(42--=-x y , 即4x +y -4=0.所求法线方程为)1(12-=-x y , 即2x -8y +15=0.例10. 求曲线x x y =的通过点(0, -4)的切线方程.解 设切点的横坐标为x 0, 则切线的斜率为 0212302323)()(0x x x x f x x =='='=. 于是所求切线的方程可设为)(230000x x x x x y -=-.根据题意, 点(0, -4)在切线上, 因此 )0(2340000x x x x -=--,解方程得x 0=4.于是所求切线的方程为 )4(42344-=-x y , 即3x -y -4=0.2.1.6函数的可导性与连续性的关系如果函数y =f (x )在点x 处可导, 则函数在该点必连续.另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.例11． 函数3)(x x f =在区间(-∞, +∞)内连续, 但在点x =0处不可导. 这是因为函数在点x =0处导数为无穷大h f h f h )0()0(lim-+→+∞=-=→hh h 0lim 30. 2.1.7内容小结1.引例2.导数的定义3.求导数举例4.导数与左右导数的关系5.导数的几何意义6.函数的可导性与连续性的关系2.2 函数的求导法则◆2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则 ◆2.2.2反函数的求导法则 ◆2.2.3复合函数的求导法则 ◆2.2.4求导法则与导数公式 ◆2.2.5 隐函数的导数 ◆2.2.6 对数求导法◆2.2.7参数方程所确定的函数的导数 ◆2.2.8内容小结2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则定理2.2 如果函数u =u (x )及v =v (x )在点x 可导, 则它们的和、差、积、商(分母不为零)都在点x 具可导, 并且[u (x ) ±v (x )]'=u '(x ) ±v '(x ) ;[u (x )⋅v (x )]'=u '(x )v (x )+u (x )v '(x );)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡.定理2.2中的函数的和、差、积的求导法则可推广到有限多个可导函数的情形. 在函数的积的求导法则中, 如果v =C (C 为常数), 则有 (Cu )'=Cu '. 例1．y =2x 3-5x 2+3x -7, 求y '解: y '=(2x 3-5x 2+3x -7)'= (2x 3)'-(5x 2)'+(3x )'-(7)'= 2 (x 3)'- 5( x 2)'+ 3( x )' =2⋅3x 2-5⋅2x +3=6x 2-10x +3.例2. 2 sin cos 4)(3π-+=x x x f , 求f '(x )及)2 (πf '.解: x x x x x f sin 43)2 (sin )cos 4()()(23-='-'+'='π,443)2 (2-='ππf .例3．y =e x (sin x +cos x ), 求y '.解: y '=(e x )'(sin x +cos x )+ e x (sin x +cos x )' = e x (sin x +cos x )+ e x (cos x -sin x ) =2e x cos x . 例4．y =tan x , 求y '.解:xx x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ()(tan '-'='='='x xx x x 22222sec cos 1cos sin cos ==+=.即 (tan x )'=sec 2x .例5．y =sec x , 求y '.解: x x x x x y 2cos )(cos 1cos )1()cos 1()(sec '⋅-'='='='x x2cos sin ==sec x tan x . 即 (sec x )'=sec x tan x .类似的,可求得余切函数及余割函数的导数公式: (cot x )'=-csc 2x ,(csc x )'=-csc x cot x .2.2.2反函数的求导法则定理2.3如果函数x =f (y )在某区间I y 内单调、可导且f '(y )≠0, 那么它的反函数y =f -1(x )在对应区间I x ={x |x =f (y ), y ∈I y }内也可导, 并且)(1])([1y f x f '='-. 或dydx dx dy 1=.即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例6．设x =sin y , ]2 ,2 [ππ-∈y 为直接函数, 则y =arcsin x 是它的反函数. 函数x =sin y 在开区间)2 ,2 (ππ-内单调、可导, 且 (sin y )'=cos y >0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-1, 1)内有 2211sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin x y y y x -=-=='='. 即(a r c s i nx '=类似地有: 211)(arccos x x --='.例7．设x =tan y , )2 ,2 (ππ-∈y 为直接函数, 则y =arctan x 是它的反函数. 函数x =tan y在区间)2 ,2 (ππ-内单调、可导, 且 (tan y )'=sec 2 y ≠0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-∞, +∞)内有 22211t a n 11s e c 1)(t a n 1)(a r c t a n xy y y x +=+=='='. 类似地有: 211)cot arc (xx +-='.例8.设x =a y (a >0, a ≠1)为直接函数, 则y =log a x 是它的反函数. 函数x =a y 在区间I y =(-∞, +∞)内单调、可导, 且 (a y )'=a y ln a ≠0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(0, +∞)内有 ax a a a x y y a ln 1ln 1)(1)(log =='='. 2.2.3复合函数的求导法则定理2.4如果u =g (x )在点x 可导, 函数y =f (u )在点u =g (x )可导, 则复合函数y =f [g (x )]在点x 可导, 且其导数为 )()(x g u f dx dy '⋅'=或dx du du dydx dy ⋅=. 例9. 3x e y =, 求dxdy . 解： 函数3x e y =可看作是由y =e u , u =x 3复合而成的, 因此32233x u e x x e dxdu du dy dx dy =⋅=⋅=. 例10. 212sinx x y +=, 求dx dy .解： 函数212sinx x y +=是由y =sin u , 212x x u +=复合而成的, 因此2222222212cos )1()1(2)1()2()1(2cos x x x x x x x u dx du du dy dx dy +⋅+-=+-+⋅=⋅=. 对复合函数的导数比较熟练后, 就不必再写出中间变量,而直接写出结果.例11．lnsin x , 求dxdy . 解:)(sin sin 1)sin (ln '⋅='=x xx dx dy x x x cot cos sin 1=⋅=. 例12．3221x y -=, 求dxdy . 解:)21()21(31])21[(2322312'-⋅-='-=-x x x dx dy 322)21(34x x --=. 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y =f (u ), u =ϕ(v ), v =ψ(x ),则dxdv dv du du dy dx du du dy dx dy ⋅⋅=⋅=. 例13．y =lncos(e x ), 求dxdy . 解:])[cos()cos(1])cos([ln '⋅='=x x x e e e dx dy)tan()()]sin([)cos(1x x x x x e e e e e -='⋅-⋅=.例14．xe y 1sin =, 求dxdy . 解: )1(1cos )1(sin )(1sin 1sin 1sin '⋅⋅='⋅='=x x e x e e dx dy x x x x e x x 1cos 11sin 2⋅⋅-=. 例15.设x >0, 证明幂函数的导数公式(x μ)'=μ x μ-1.解： 因为x μ=(e ln x )μ=e μ ln x , 所以(x μ)'=(e μ ln x )'= e μ ln x ⋅(μ ln x )'= e μ ln x ⋅μ x -1=μ x μ-1.2.2.4求导法则与导数公式 1．基本初等函数的导数:(1) (C )'=0, (2) (x μ)'=μ x μ-1, (3) (sin x )'=cos x , (4) (cos x )'=-sin x , (5) (tan x )'=sec 2x , (6) (cot x )'=-csc 2x , (7) (sec x )'=sec x ⋅tan x , (8) (csc x )'=-csc x ⋅cot x , (9) (a x )'=a x ln a , (10) (e x )'=e x ,(11) a x x a ln 1)(log =',(12) xx 1)(ln =',(13) 211)(arcsin x x -=', . (14) 211)(arccos x x --=' (15) 211)(arctan x x +=',(16) 211)cot arc (xx +-='.2．函数的和、差、积、商的求导法则 设u =u (x ), v =v (x )都可导, 则(1)(u ±v )'=u '±v ', (2)(C u )'=C u ', (3)(u v )'=u '⋅v +u ⋅v ',(4)2)(v v u v u v u '-'='.3．反函数的求导法则设x =f (y )在区间I y 内单调、可导且f '(y )≠0, 则它的反函数y =f -1(x )在I x =f (I y )内也可导, 并且)(1])([1y f x f ='-. 或dydx dx dy 1=.4．复合函数的求导法则设y =f (x ), 而u =g (x )且f (u )及g (x )都可导, 则复合函数y =f [g (x )]的导数为dxdudu dy dx dy ⋅=或y '(x )=f '(u )⋅g '(x ). 例16. y =sin nx ⋅sin n x (n 为常数), 求y '. 解: y '=(sin nx )' sin n x + sin nx ⋅ (sin n x )'= n cos nx ⋅sin n x +sin nx ⋅ n ⋅ sin n -1 x ⋅(sin x )'= n cos nx ⋅sin n x +n sin n -1 x ⋅ cos x =n sin n -1 x ⋅ sin(n +1)x .2.2.5 隐函数的导数定义2.2.1形如y =f (x )的函数称为显函数. 例如y =sin x , y =ln x +e x 是显函数的例子. 定义2.2.2 由方程F (x , y )=0所确定的函数称为隐函数. 例17求由方程e y +xy -e =0 所确定的隐函数y 的导数. 解: 把方程两边的每一项对x 求导数得 (e y )'+(xy )'-(e )'=(0)', 即 e y ⋅ y '+y +xy '=0, 从而 y ex yy +-='(x +e y ≠0). 在上式两边对x 求导过程中，在遇到含有y 项时，应视y 是x 的函数，利用复合函数的求导法则.例18求由方程y 5+2y -x -3x 7=0 所确定的隐函数y =f (x )在x =0处的导数y '|x =0. 解: 把方程两边分别对x 求导数得5y ⋅y '+2y '-1-21x 6=0,由此得 2521146++='y x y .因为当x =0时, 从原方程得y =0, 所以 21|25211|0460=++='==x x y x y . 例19 求椭圆122=+y x 在)323 ,2(处的切线方程.解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得0928='⋅+y y x . 将x =2, 323=y , 代入上式得 03141='⋅+y ,于是 k =y '|x =243-=. 所求的切线方程为)2(43323--=-x y , 即03843=-+y x .2.2.6 对数求导法:这种方法是先在y =f (x )的两边取对数, 然后再求出y 的导数. 设y =f (x ), 两边取对数, 得 ln y = ln f (x ),两边对x 求导, 得 ])([ln 1'='x f y y,y '= f (x )⋅[ln f (x )]'.对数求导法适用于求幂指函数y =[u (x )]v (x )的导数及多因子之积和商的导数. 例20求y =x sin x (x >0)的导数.解法一: 两边取对数, 得 ln y =sin x ⋅ ln x ,上式两边对x 求导, 得 x x x x y y 1sin ln cos 1⋅+⋅=',于是 )1sin ln (cos x x x x y y ⋅+⋅=')sin ln (cos sin xx x x x x +⋅=.解法二: 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求:y =x sin x =e sin x ·ln x, )sin ln (cos )ln (sin sin ln sin x x x x x x x e y x x x +⋅='⋅='⋅.例21求函数)4)(3()2)(1(----=x x x x y 的导数.解: 先在两边取对数(假定x >4), 得ln y 21=[ln(x -1)+ln(x -2)-ln(x -3)-ln(x -4)],上式两边对x 求导, 得 )41312111(211-----+-='x x x x y y ,于是 )41312111(2-----+-='x x x x yy .当x <1时, )4)(3()2)(1(x x x x y ----=; 当2<x <3时, )4)(3()2)(1(x x x x y ----=; 用同样方法可得与上面相同的结果.注: 严格来说, 本题应分x >4, x <1, 2<x <3三种情况讨论, 但结果都是一样的.2.2.7参数方程所确定的函数的导数定理2.5 设x =ϕ(t )具有单调连续反函数t =ϕ-1(x ), 且此反函数能与函数y =ψ(t )构成复合函数y =ψ[ϕ-1(x ) ], 若x =ϕ(t )和y =ψ(t )都可导, 则 )()(1t t dtdx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψ''=⋅=⋅=, 即 )()(t t dx dy ϕψ''=或dt dx dt dydx dy =. 例1 设⎩⎨⎧+=-=)1ln(arctan 2t y tt x ，求1=t dx dy . 解：t t t t dt dx dt dydx dy 21111222=+-+== ∴21==t dx dy 例2求椭圆⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos 在相应于4 π=t 点处的切线方程. 解:t ab t a t b t a t b dx dy cot sin cos )cos ()sin (-=-='=. 所求切线的斜率为ab dx dyt -==4π. 切点的坐标为224 cos 0a a x ==π, 224sin 0b b y ==π. 切线方程为)22(22a x a b b y --=-, 即 bx +ay 2-ab =0.2.2.8内容小结1.函数的和、差、积、商的求导法则2.反函数的求导法则3.复合函数的求导法则4.求导法则与导数公式5.隐函数的导数6.对数求导法7.参数方程所确定的函数的导数2.3 高阶导数◆2.3.1 高阶导数◆2.3.2 内容小结定义2.3.1如果函数y =f (x )的导数y '=f '(x )仍然是x 的函数. 则称y '=f '(x )的导数叫做函数y =f (x )的二阶导数, 记作 y ''、f ''(x )或22dx y d , 即 y ''=(y ')', f ''(x )=[f '(x )]' , )(22dxdy dx d dx y d =. 相应地, 把y =f (x )的导数f '(x )叫做函数y =f (x )的一阶导数.类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, ⋅ ⋅ ⋅, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作y ''', y (4), ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) 或33dx y d , 44dx y d , ⋅ ⋅ ⋅ , nn dx y d . 函数f (x )具有n 阶导数, 也称函数f (x )为 n 阶可导. 如果函数f (x )在点x 处具有n 阶导数, 那么函数f (x )在点x 的某一邻域内一定具有所有低于n 阶的导数. 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.例1．y =ax +b , 求y ''.解: y '=a , y ''=0.例2．s =sin ω t , 求s ''.解: s '=ω cos ω t , s ''= cos ω t -ω 2sin ω t .例3．验证: 函数22x x y -=是方程y 3y ''+1=0的解.证明: 因为22212222x x x x x x y --=--=', 22222222)1(2x x x x xx x x y -------='')2()2()1(22222x x x x x x x ----+-=32321)2(1yx x -=--=, 所以y 3y ''+1=0.例4．求函数y =e x 的n 阶导数.解：y '=e x , y ''=e x , y '''=e x , y ( 4)=e x ,一般地, 可得 y ( n )=e x , 即 (e x )(n )=e x .例5．求正弦函数与余弦函数的n 阶导数.解: y =sin x ,)2s i n (c o s π+=='x x y , )22s i n ()2 2 s i n ()2 c o s (ππππ⋅+=++=+=''x x x y , )23s i n ()2 2 2s i n ()2 2c o s (ππππ⋅+=+⋅+=⋅+='''x x x y , )24sin()2 3cos()4(ππ⋅+=⋅+=x x y , 一般地, 我们有)2sin()(π⋅+=n x y n , 即)2 sin()(sin )(π⋅+=n x x n .同理, 可得 )2c o s ()(c o s )(π⋅+=n x x n .例6．求幂函数y =x μ (μ是任意常数)的n 阶导数公式.解: y '=μx μ-1,y ''=μ(μ-1)x μ-2,y '''=μ(μ-1)(μ-2)x μ-3,y ( 4)=μ(μ-1)(μ-2)(μ-3)x μ-4,依次类推, 可得y (n )=μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ (μ-n +1)x μ-n ,即 (x μ )(n ) =μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ (μ-n +1)x μ-n .当μ=n 时, 得到(x n )(n ) = μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1=n ! .而 (x n )( n +1)=0 .2.3.2 内容小结高阶导数2.4 函数的微分◆2.4.1微分的定义◆2.4.2微分的几何意义◆2.4.3基本初等函数的微分公式与微分运算法则◆2.4.4微分在近似计算中的应用◆2.4.5内容小结2.4.1微分的定义定义2.4.1 设函数y =f (x )在某区间内有定义, x 0及x 0+∆x 在这区间内, 如果函数的增量 ∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)可表示为∆y =A ∆x +o (∆x ), 其中A 是不依赖于∆x 的常数, 那么称函数y =f (x )在点x 0是可微, 而A ∆x 叫做函数y =f (x )在点x 0相应于自变量增量∆x 的微分, 记作 dy , 即 dy =A ∆x .定理2.6 （函数可微的条件）: 函数f (x )在点x 0可微的充分必要条件是函数f (x )在点x 0可导, 且当函数f (x )在点x 0可微时, 其微分一定是dy =f '(x 0)∆x . .函数y =f (x )在任意点x 的微分, 称为函数的微分, 记作dy 或 d f (x ), 即dy =f '(x )∆x ,例1 求函数y =x 2在x =1和x =3处的微分.解 函数y =x 2在x =1处的微分为 1=x dy =(x 2)'|x =1∆x =2∆x ;函数y =x 2在x =3处的微分为 3=x dy =(x 2)'|x =3∆x =6∆x .例2．求函数 y =x 3当x =2, ∆x =0. 02时的微分.解: 先求函数在任意点x 的微分 dy =(x 3)'∆x =3x 2∆x .再求函数当x =2, ∆x =0. 02时的微分dy |x =2, ∆x =0.02 =3x 2| x =2, ∆x =0.02 =3⨯22⨯0.02=0.24.自变量的微分:因为当y =x 时, dy =dx =(x )'∆x =∆x , 所以通常把自变量x 的增量∆x 称为自变量的微分, 记作dx , 即dx =∆x . 于是函数y =f (x )的微分又可记作dy =f '(x )dx . 从而有 )(x f dxdy '=. 亦即, 函数的微分dy 与自变量的微分dx 之商等于该函数的导数. 因此, 导数也叫做“微商”. 2.4.2微分的几何意义当∆y 是曲线y =f (x )上的点的纵坐标的增量时, dy 就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量. 当|∆x |很小时, |∆y -dy |比|∆x |小得多. 因此在点M 的邻近, 我们可以用切线段来近似代替曲线段.2.4.3基本初等函数的微分公式与微分运算法则1. 基本初等函数的微分公式导数公式: 微分公式:(x μ)'=μ x μ-1 d (x μ)=μ x μ-1d x(sin x )'=cos x d (sin x )=cos x d x(cos x )'=-sin x d (cos x )=-sin x d x(tan x )'=sec 2 x d (tan x )=sec 2x d x(cot x )'=-csc 2x d (cot x )=-csc 2x d x(sec x )'=sec x tan x d (sec x )=sec x tan x d x(csc x )'=-csc x cot x d (csc x )=-csc x cot x d x(a x )'=a x ln a d (a x )=a x ln a d x(e x )=e x d (e x )=e x d xax x a ln 1)(log =' dx a x x d a ln 1)(log = x x 1)(ln =' dx xx d 1)(ln = 211)(arcsin x x -=' dx x x d 211)(arcsin -= 211)(arccos x x --=' dx x x d 211)(arccos --=211)(arctan xx +=' dx x x d 211)(arctan += 211)cot arc (xx +-=' dx x x d 211)cot arc (+-= 2. 函数和、差、积、商的微分法则求导法则: 微分法则:(u ±v )'=u '± v ' d (u ±v )=du ±dv(Cu )'=Cu ' d (Cu )=Cdu(u ⋅v )'= u 'v +uv ' d (u ⋅v )=vdu +udv)0()(2≠'-'='v v v u v u v u )0()(2≠-=v dx v udv vdu v u d 乘积的微分法则证明:根据函数微分的表达式, 有d (uv )=(uv )'dx .再根据乘积的求导法则, 有(uv )'=u 'v +uv '.于是 d (uv )=(u 'v +uv ')dx =u 'vdx +uv 'dx .由于u 'dx =du , v 'dx =dv , 所以d (uv )=vdu +udv .3. 复合函数的微分法则设y =f (u )及u =ϕ(x )都可导, 则复合函数y =f [ϕ(x )]的微分为dy =y 'x dx =f '(u )ϕ'(x )dx .于由ϕ'(x )dx =du , 所以, 复合函数y =f [ϕ(x )]的微分公式也可以写成dy =f '(u )du 或 dy =y 'u du .由上式可见, 无论u 是自变量还是中间变量函数的微分形式dy =f '(u )du 保持不变. 这一性质称为微分形式不变性.例3．y =sin(2x +1), 求dy .解: 把2x +1看成中间变量u , 则dy =d (sin u )=cos udu =cos(2x +1)d (2x +1)=cos(2x +1)⋅2dx =2cos(2x +1)dx .运算熟练后，在求复合函数的导数时, 可以不写出中间变量.例4.)1ln(2x e y +=, 求dy .解: )1(11)1ln(222x x x e d e e d dy ++=+= xdx e x d e x x x x 21)(122222⋅⋅=⋅=dx e xe x x 2212+=. 例5．y =e 1-3x cos x , 求dy .解: 应用积的微分法则, 得dy =d (e 1-3x cos x )=cos xd (e 1-3x )+e 1-3x d (cos x )=(cos x )e 1-3x (-3dx )+e 1-3x (-sin xdx )=-e 1-3x (3cos x +sin x )dx .例6．在括号中填入适当的函数, 使等式成立.(1) d ( )=xdx ;(2) d ( )=cos ω t dt .解: (1)因为d (x 2)=2xdx , 所以)21()(2122x d x d xdx ==, 即xdx x d =)21(2. 一般地, 有xdx C x d =+)21(2(C 为任意常数). (2)因为d (sin ω t )=ω cos ω tdt , 所以 ) sin 1() (sin 1 cos t d t d tdt ωωωωω==. 所以 tdt C t d cos ) sin 1(ωωω=+(C 为任意常数). 2.4.4微分在近似计算中的应用如果函数y =f (x )在点x 0处的导数f '(x )≠0, 且|∆x |很小时, 我们有∆y ≈dy =f '(x 0)∆x ,∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)≈dy =f '(x 0)∆x ,f (x 0+∆x )≈f (x 0)+f '(x 0)∆x .若令x =x 0+∆x , 即∆x =x -x 0, 那么又有 f (x )≈ f (x 0)+f '(x 0)(x -x 0).特别当x 0=0时, 有 f (x )≈ f (0)+f '(0)x .这些都是近似计算公式.例7．有一批半径为1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为0. 01cm . 估计一了每只球需用铜多少g (铜的密度是8. 9g/cm 3)?解: 已知球体体积为334R V π=, R 0=1cm , ∆R =0. 01cm . 镀层的体积为∆V =V (R 0+∆R )-V (R 0)≈V '(R 0)∆R =4πR 02∆R =4⨯3. 14⨯12 ⨯0. 01=0. 13(cm 3). 于是镀每只球需用的铜约为 0. 13 ⨯8. 9 =1. 16(g ).例8．利用微分计算sin 30︒30'的近似值.解: 已知30︒30'3606 ππ+=, 6 0π=x , 360π=∆x . sin 30︒30'=sin(x 0+∆x )≈sin x 0+∆x cos x 03606 cos 6 sin πππ⋅+= 5076.03602321=⋅+=π. 即 sin 30︒30'≈0. 5076.常用的近似公式（假定|x |是较小的数值）: (1)x nx n 111+≈+; (2)sin x ≈x ( x 用弧度作单位来表达);(3)tan x ≈x ( x 用弧度作单位来表达);(4)e x ≈1+x ;(5)ln(1+x )≈x .例9．计算05.1的近似值.解: 已知 x nx n 111+≈+, 故025.105.021105.0105.1=⨯+≈+=. 直接开方的结果是02470.105.1=.2.4.5内容小结1.微分的定义2.微分的几何意义3.基本初等函数的微分公式与微分运算法则4.微分在近似计算中的应用。
高等数学上教案
高等数学教案一、课程的性质与任务高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。
要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。
在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。
第一章：函数与极限教学目的与要求 18学时1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4.掌握基本初等函数的性质及其图形。
5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6.掌握极限的性质及四则运算法则。
7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
第一节：映射与函数一、集合1、 集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。
组成这个集合的事物称为该集合的元素表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素1)},,,{321 a a a A2)}{P x x A 的性质=元素与集合的关系：A a ∉ A a ∈一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。
常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N +元素与集合的关系： A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ⊂。
函数的连续性与可导性分析
函数的连续性与可导性分析函数的连续性和可导性是微积分领域中的重要概念，它们描述了函数在某个点或某个区间上的性质和行为。
本文将分析函数的连续性和可导性的定义，讨论它们的关系以及在数学和实际问题中的应用。
1. 连续性的定义与性质函数的连续性是指函数在某个点或某个区间内无间断的特性。
我们定义在点a处连续的函数为：当x趋近于a时，函数f(x)趋近于f(a)。
一般地，我们把在区间[a, b]上每个点都连续的函数称为在该区间上连续的函数。
连续函数具有以下性质：- 连续函数的和、差、积仍然是连续函数；- 区间上的有界函数与连续函数的乘积仍然是连续函数；- 连续函数的复合仍然是连续函数。
连续函数的性质使它在数学中有着广泛的应用。
例如，连续函数可以用来刻画函数的整体行为，解决方程和方程组的问题，以及进行函数逼近和插值等计算。
2. 可导性的定义与性质函数的可导性是指函数在某个点处存在导数的性质。
我们定义在点a处可导的函数为：当自变量在a处取得极限值时，函数的导数存在且等于极限。
可导函数具有以下性质：- 可导函数必定连续，但连续函数不一定可导；- 可导函数的导数可以反映函数的局部变化率和切线斜率；- 可导函数的和、差、积仍然是可导函数；- 可导函数的复合仍然是可导函数。
可导函数的性质使它在微积分、物理学和经济学等领域中有着广泛的应用。
例如，可导函数可以用来描述物体的运动轨迹和速度，求解最优化问题，以及进行泰勒展开和微分方程求解等计算。
3. 连续性与可导性的关系连续函数的导数不一定存在，但是可导函数一定连续。
这意味着可导函数一定是连续函数的特例，而连续函数不一定是可导函数。
例如，考虑函数f(x)=|x|，在x=0处不可导，因为在该点导数不存在。
然而，f(x)在任何实数值上都是连续的。
另一个例子是函数f(x)=x^2sin(1/x)，在x=0处连续但不可导。
在该点，f(x)的导数无穷大，因此导数不存在。
然而，在x≠0的任何点，f(x)都是可导的。
导数的定义及可导条件教案
导数的定义及可导条件教案教学目标：1. 理解导数的定义及物理意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 了解可导条件的判断。
教学内容：第一章：导数的定义1.1 引入导数的概念1.2 导数的几何意义1.3 导数的物理意义第二章：导数的计算2.1 基本导数公式2.2 导数的四则运算2.3 复合函数的导数第三章：可导条件3.1 连续函数的可导性3.2 导数存在与函数连续的关系3.3 高阶导数第四章：导数的应用4.1 函数的单调性4.2 函数的极值4.3 函数的凹凸性及拐点第五章：导数与图形5.1 切线方程的求解5.2 函数图像的局部特征5.3 函数图像的走势分析教学方法：1. 采用讲授法，系统讲解导数的定义、计算及应用；2. 利用数形结合法，通过图形演示导数的几何意义；3. 结合实际例子，让学生感受导数在实际问题中的应用价值；4. 引导学生进行小组讨论，探讨导数与函数的关系。
教学评价：1. 课堂问答：检查学生对导数定义、计算及应用的理解程度；2. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识；3. 单元测试：评估学生对导数知识的掌握情况。
教学资源：1.PPT课件：展示导数的定义、计算及应用；2.黑板：用于板书关键公式和推导过程；3.练习题及答案：供学生课后练习和自测。
教学步骤：第一章：导数的定义1.1 引入导数的概念（1）解释导数的定义；（2）举例说明导数的物理意义。
1.2 导数的几何意义（1）图形演示导数的几何意义；（2）解释导数与切线的关系。
1.3 导数的物理意义（1）通过实际例子，说明导数在物理中的应用；（2）引导学生体会导数的重要性。
第二章：导数的计算2.1 基本导数公式（1）讲授基本导数公式；（2）让学生熟记基本导数公式。
2.2 导数的四则运算（1）讲解导数的四则运算规则；（2）举例说明导数四则运算的运用。
2.3 复合函数的导数（1）引入复合函数的概念；（2）讲解复合函数的导数计算方法。
第三章：可导条件3.1 连续函数的可导性（1）讲解连续函数的概念；（2）说明连续函数的可导性。
《高职应用数学》教案 第10课 导数的概念
第10课导数的概念考勤（2 min ）【教师】清点上课人数，记录好考勤【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况复习（10 min）【教师】提前设计好上节课的复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解【学生】做复习题目复习上节课所学内容，为讲授新课打好基础引例分析（10 min）【教师】由引例体现导数在实际问题中的应用引例自由落体的瞬时速度如图3-1所示是著名的伽利略自由落体实验的场景．若物体在真空中自由下落，则它的运动方程为21()2s f t gt==，其中g为常量．试求物体在t时刻的瞬时速度v．分析我们知道，当物体做匀速直线运动时，它在任意时刻的速度可用公式=路程速度时间来计算．但这里物体是变速直线运动，上式中的速度只能反映物体在某段时间内的平均速度，而不能精确地描述运动过程中任意时刻的瞬时速度．因此，求物体在t时刻的瞬时速度，需要采用新的方法．下面我们用求极限的方法来解决这个问题．如图3-2所示，给定时间变量t在t时的一个增量t∆，则在从时刻t到t t+∆这段时间间隔内，物体运动路程的增量为0022002()()11()221()2s f t t f tg t t gtgt t g t∆=+∆-=+∆-=∆+∆，从而求得物体在时间段t∆内的平均速度，即00()()12f t t f tsv gt g tt t+∆-∆===+∆∆∆．通过引例使学生了解导数在现实中的应用，体会到数学是源于生活的，是对实际问题的抽象产生的，数学学科不是脱离我们实际生活的，所以要好好学习数学图3-2图3-1显然，当||t ∆无限变小时，平均速度v 无限接近于物体在0t 时刻的瞬时速度v ．因此，平均速度的极限值就是物体在0t 时刻的瞬时速度v ，即可定义00000()()lim limlimt t t f t t f t sv v t t∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆ 0001lim 2t gt g t gt ∆→⎡⎤=+∆=⎢⎥⎣⎦．可以看到，上述定义与物理学中自由落体的瞬时速度公式是一致的．从数学观点看，以上引例中求自由落体瞬时速度的实质就是求函数()f t 在某一点处的增量与其自变量t 的增量之比的极限．在实际中，许多问题都可以归结为这样一种求增量比的极限问题．在数学上，我们把这类问题定义为导数．【学生】了解导数在现实中的应用 讲授新课（23 min ）【教师】讲解导数的定义定义1 设函数()y f x =在点0x 处及其左右近旁有定义，当自变量x 在点0x 处有增量x ∆时，相应地函数有增量00()()y f x x f x ∆=+∆-．若当0x ∆→时，y ∆与x ∆之比的极限0000()()limlimx x f x x f x yx x ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 存在，则称函数()f x 在点0x 处可导，并称此极限值为()y f x =在点0x 处的导数，记作0()f x '，0x x y ='，d d x x yx =或0d ()d x x f x x =， 于是有00000()()()limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆． 若上式的极限不存在，则称函数()f x 在点0x 处不可导（或导数不存在）．定义 2 若函数()f x 在区间()a b ，内每一点都可导，则称()f x 在区间()a b ，内可导．这时，对于任意一个()x a b ∈，，学习导数的定义和运用导数定义求导数的方法。
函数的连续性教案
函数的连续性教案教案标题：函数的连续性教案教案目标：1. 了解函数的连续性的概念和意义。
2. 掌握判断函数在给定区间上的连续性的方法。
3. 能够应用函数的连续性性质解决实际问题。
教案步骤：引入：1. 向学生介绍函数的连续性的概念，即函数在某一区间内的图像是连续的。
2. 解释连续性的意义，即函数在某一点上的值与该点附近的值之间没有突变或间断。
探究：1. 提供一个简单的例子，如f(x) = x^2，让学生观察函数图像并讨论函数在整个定义域上的连续性。
2. 引导学生思考如何判断函数在给定区间上的连续性。
提醒学生关注函数在区间端点和内部点上的性质。
3. 引导学生思考连续性的三个基本性质：函数在闭区间上连续的充要条件、函数在开区间上连续的充要条件以及函数在无穷区间上连续的充要条件。
实践：1. 给出一些具体的函数，例如f(x) = sin(x)和g(x) = 1/x，在给定区间上判断它们的连续性。
2. 引导学生使用连续性的性质，结合函数的定义和性质进行判断。
3. 给学生一些实际问题，例如求一个函数在某一点处的极限值，要求学生利用函数的连续性性质进行求解。
总结：1. 总结函数连续性的概念和意义。
2. 强调函数连续性的判断方法和应用。
3. 鼓励学生在实际问题中运用函数连续性的性质解决问题。
教案评估：1. 给学生一些练习题，要求判断给定函数在给定区间上的连续性。
2. 给学生一些应用题，要求利用函数的连续性性质解决实际问题。
3. 收集学生的答案并进行评估，及时纠正他们的错误并给予指导。
教案扩展：1. 引导学生进一步研究函数的间断点和可导性的关系。
2. 探究函数连续性的中值定理及其应用。
3. 引导学生研究其他函数性质与连续性的关系，如函数的单调性和极值点等。
教案资源：1. 函数图像展示工具，如数学软件或在线绘图工具。
2. 练习题和应用题的题目和答案。
3. 相关教材和参考书籍的章节和页码。
【教案】微积分教案
教学重点难点
教学方法
参考文献
习题作业
内容
3.1中值定理
பைடு நூலகம்学时
1学时
教学目标及
要求
1.理解罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理
2.知道这三个定理之间的联系
3.会用中值定理证明简单的命题
教学内容要点
罗尔定理
拉格朗日中值定理
推论1、推论2
柯西中值定理
教学重点难点
1.罗尔定理和拉格朗日中值定理
基本初等函数的微分公式
微分的四则运算法则
微分形式不变性
函数线性化的概念
教学重点难点
1.可导与可微的关系
2.一阶微分形式不变性求微分的方法
教学方法
由具体问题引进微分概念，并进一步推广到一般结论
参考文献
《微积分》吴赣昌，学习辅导与习题解答，经管类简明版，第三版
《数学分析》华东师范大学数学系，第三版，上册，高等教育出版社
学时
2学时
教学目标及
要求
1熟练掌握各种求导法则：
基本初等函数的求导公式、四则运算求导法则、反函数求导法则、复合函数求导法则、隐函数求导法则、对数求导法则
2.了解高阶导数的概念，会求二阶、三阶导数及一些简单的 阶导数
3.熟练进行导数的运算
教学内容要点
导数的四则运算法则
反函数的导数
复合函数的求导法则
初等函数的求导法则
2.理解函数的概念，掌握函数的常用表示法；掌握函数的有界性,了解函数几何特性
3.了解反函数概念、函数与其反函数的几何关系,掌握基本初等函数概念性质及图形
4.理解复合函数的概念、了解构成复合函数的条件、掌握将一个复合函数分解成基本初等函数的方法
2.4-1函数可导与连续的关系
一、可导的充要条件 二、可导与连续的关系 三、单侧导数
Next
1
一、可导的充要条件
f ( x0 + Δ x ) − f ( x0 ) Δy = lim 回顾 ♣ f ′( x0 ) = lim Δx → 0 Δ x Δx → 0 Δx
f ( x ) − f ( x0 ) = lim x → x0 x − x0
定理 函数 y = f (x) 在 x0 处可导 ⇔ f −′ ( x0 ) = f +′ ( x0 )
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例 讨论函数 f ( x ) = x | x | 在 x = 0 处的连续性和可导性. 解
⎧ x2 , x ≥ 0 f ( x) = x | x | = ⎨ 2 ⎩− x , x < 0
Δy 证明 设 y = f (x) 在 x0 处可导, ∴ lim = f ′( x 0 ) Δx → 0 Δ x Δy ⇒ = f ′( x0 ) + α , lim α = 0 Δx → 0 Δx Δ y = f ′( x 0 ) Δ x + α Δ x
Δx → 0
lim Δy = lim[ f ′( x0 )Δx + α Δx ] = 0
2x = lim (e + b ) = 1 + b , f (0 − 0) = lim f ( x ) − −
x →0 x →0
f (0 + 0) = lim f ( x ) = lim sin ax = 0 + +
x →0 x →0
f (0) = 1 + b
当 f (0 − 0) = f (0 + 0) = f (0) 时， f (x) 在 x = 0 处连续，则 b = -1
高中数学人教版《函数的连续性》教案2023版
高中数学人教版《函数的连续性》教案2023版第一节：引言函数的连续性是高中数学中的重要概念之一，它在解决实际问题、分析函数性质以及计算积分等方面起到了重要作用。
通过本教案，我们将全面介绍函数的连续性的概念、性质和计算方法，帮助学生建立正确的观念，培养逻辑思维和数学分析能力，并且通过例题演练加深他们对该知识点的理解。
第二节：函数的连续性概念1. 连续性的定义：介绍什么是函数的连续性，以及连续函数和间断函数的区别。
2. 连续性的三个条件：详解连续函数的三个条件：函数在定义域内有定义、极限存在和函数值等于极限值。
3. 连续性与可导性的关系：介绍可导函数与连续函数之间的关系，以及可导函数在一点的连续性。
第三节：函数的连续性性质1. 连续函数运算性质：介绍连续函数加减乘除的性质，以及连续函数的复合函数是否连续的判定。
2. 闭区间上连续函数性质：讲解闭区间上连续函数的最大值和最小值存在性质，以及零点定理的应用。
3. 介值定理：详细解释介值定理的概念和证明方法，以及介值定理在实际问题中的应用。
第四节：函数连续性的计算方法1. 分段函数的连续性：介绍分段函数在分段点是否连续的判定方法，以及常见的分段函数例题。
2. 反函数的连续性：讲解反函数连续性的判定条件和例题展示。
3. 参数方程的连续性：详解参数方程连续性的考察方法，以及参数方程在连续性问题中的应用。
第五节：例题演练通过一些经典的例题演练，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
第六节：拓展应用通过一些实际问题的拓展应用，引导学生将所学的函数连续性理论应用到实际问题中，培养解决问题的能力和实际思维能力。
第七节：总结与作业布置对本节课所学内容进行总结，并布置相应的作业，巩固学生对函数连续性的理解。
本教案旨在通过全面系统地介绍高中数学中函数的连续性概念、性质和计算方法，帮助学生深入理解该知识点，并能够运用到实际问题中。
在教学过程中，教师应该注重理论与实践相结合，多设立例题和练习题，培养学生分析和解决问题的能力。
函数的基本性质(教案)
函数的基本性质教学目标：1. 了解函数的定义和基本概念。
2. 掌握函数的域和值域的概念。
3. 理解函数的单调性、连续性和可导性的概念。
4. 学会运用函数的基本性质解决实际问题。
教学内容：第一章：函数的定义与域1.1 函数的定义1.2 函数的域第二章：值域2.1 值域的概念2.2 确定函数的值域第三章：函数的单调性3.1 单调性的定义3.2 单调性的判定第四章：函数的连续性4.1 连续性的定义4.2 连续性的判定第五章：函数的可导性5.1 可导性的定义5.2 可导性的判定教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实例来理解函数的基本性质。
2. 使用多媒体辅助教学，通过动画和图形来直观展示函数的单调性、连续性和可导性。
3. 组织小组讨论和实践活动，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
教学评估：1. 课堂讨论和提问，评估学生对函数基本性质的理解程度。
2. 布置课后习题和作业，巩固学生对函数基本性质的掌握。
3. 进行定期的测验和考试，检验学生对函数基本性质的掌握情况。
教学资源：1. 教科书和参考书籍，提供详细的知识点和实例。
2. 多媒体课件和教学软件，提供直观的图形和动画展示。
3. 在线学习平台和论坛，提供额外的学习资源和交流平台。
教学计划：1. 第一章：2课时2. 第二章：2课时3. 第三章：2课时4. 第四章：2课时5. 第五章：2课时教学总结：通过本章的教学，学生应该能够理解函数的定义和基本概念，掌握函数的域和值域的概念，理解函数的单调性、连续性和可导性的概念，并能够运用函数的基本性质解决实际问题。
函数的基本性质（续）教学内容：第六章：函数的极值与最值6.1 极值的概念6.2 函数的最值第七章：函数的周期性7.1 周期性的定义7.2 周期函数的性质第八章：函数的奇偶性8.1 奇偶性的定义8.2 奇偶函数的性质第九章：函数的图像9.1 图像的性质9.2 图像的变换第十章：函数的极限10.1 极限的概念10.2 极限的计算教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过实例来理解函数的极值、周期性、奇偶性、图像和极限的基本性质。
函数的可导性与连续性的关系教案
函数的可导性与连续性的关系教案教学目标：1. 理解函数连续性与可导性的概念及其关系。
2. 学会运用连续性与可导性分析函数性质。
3. 能够运用极限的思想理解函数连续性和可导性。
教学重点：1. 函数连续性与可导性的定义。
2. 函数连续性与可导性的关系。
教学难点：1. 函数在某一点连续与在某一点可导的区别与联系。
2. 运用极限的思想理解函数连续性和可导性。
教学准备：1. 教学课件。
2. 相关例题与习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入函数连续性的概念，通过图形演示连续函数的特点。
2. 引入函数可导性的概念，通过图形演示可导函数的特点。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解函数连续性与可导性的定义。
连续性：如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，则称函数在该点连续。
可导性：如果函数在某一点的导数存在，则称函数在该点可导。
2. 讲解函数连续性与可导性的关系。
连续性是可导性的必要条件，但不是充分条件。
即如果函数在某点连续，则在该点可能可导，但如果函数在某点可导，则在该点一定连续。
三、例题讲解（10分钟）1. 举例说明函数连续性与可导性的关系。
2. 运用连续性与可导性分析函数性质。
四、课堂练习（5分钟）1.让学生在课堂上完成练习题，巩固所学知识。
五、总结与作业布置（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结。
2. 布置相关作业，巩固知识点。
教学反思：本节课通过讲解函数连续性与可导性的概念及其关系，使学生掌握了分析函数性质的方法。
通过例题讲解和课堂练习，使学生能够运用所学知识解决问题。
但在教学过程中，要注意引导学生运用极限的思想理解函数连续性和可导性，加深对概念的理解。
六、函数连续性与可导性的性质1. 连续函数的性质：连续函数在某一区间内任意两点间的函数值之差趋于0。
连续函数的图形不出现“尖点”。
2. 可导函数的性质：可导函数在某一点导数等于该点的切线斜率。
可导函数的图形是连续的。
七、连续性与可导性的关系1. 连续性是可导性的必要条件：如果函数在某一点可导，则函数在该点连续。
函数的可导性与连续性的关系教案
函数的可导性与连续性的关系教案一、教学目标1. 理解函数连续性和可导性的概念。
2. 掌握连续函数一定可导，但可导函数不一定连续的性质。
3. 学会运用极限的观点来分析函数的连续性和可导性。
二、教学重点与难点1. 教学重点：连续函数的可导性，可导函数的连续性。
2. 教学难点：如何运用极限的观点分析函数的连续性和可导性。
三、教学方法与手段1. 教学方法：采用讲授法、案例分析法、讨论法等。
2. 教学手段：多媒体课件、黑板、教具等。
四、教学内容1. 函数的连续性：介绍连续函数的定义，通过案例分析说明连续函数的性质。
2. 函数的可导性：介绍可导函数的定义，通过案例分析说明可导函数的性质。
3. 连续函数的可导性：证明连续函数一定可导，并通过案例分析说明连续函数的可导性。
4. 可导函数的连续性：证明可导函数一定连续，并通过案例分析说明可导函数的连续性。
5. 例外情况：举例说明连续函数不一定可导，可导函数不一定连续的情况。
五、教学过程1. 导入：通过提问方式引导学生回顾连续函数和可导函数的定义。
2. 讲解：讲解连续函数的可导性和可导函数的连续性，并通过案例分析加深学生理解。
3. 互动：邀请学生上台演示连续函数和可导函数的性质，引导学生积极参与。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
六、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对函数连续性和可导性的理解。
七、课后作业1. 复习连续函数和可导函数的定义。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 预习下一节课内容。
八、教学评价通过课堂表现、课后作业和练习题的成绩，评价学生对函数连续性和可导性的掌握程度。
九、教学进度安排1. 第一课时：介绍连续函数和可导函数的定义。
2. 第二课时：讲解连续函数的可导性和可导函数的连续性。
3. 第三课时：通过案例分析，加深对连续函数和可导函数的理解。
4. 第四课时：讲解连续函数不一定可导，可导函数不一定连续的例外情况。
函数的可导性与连续性的关系教案
函数的可导性与连续性的关系教案教学目标：1. 理解函数连续性与可导性的概念；2. 掌握连续性与可导性之间的关系；3. 学会运用连续性与可导性分析函数性质。
教学内容：一、函数连续性与可导性的定义1. 函数连续性的定义2. 函数可导性的定义二、连续性与可导性的关系1. 连续性是可导性的必要条件；2. 连续性不是可导性的充分条件；3. 举例说明连续性与可导性的关系。
三、常见函数的连续性与可导性1. 基本初等函数的连续性与可导性；2. 复合函数的连续性与可导性；3. 隐函数的连续性与可导性。
四、函数的跳跃连续与跳跃可导1. 跳跃连续的概念；2. 跳跃可导的概念；3. 跳跃连续与跳跃可导之间的关系。
五、函数的可导性与连续性在实际问题中的应用1. 利用连续性与可导性分析函数的图形；2. 利用连续性与可导性研究函数的极值；3. 利用连续性与可导性解决实际问题。
教学方法：1. 采用讲解、案例分析、讨论相结合的方式进行教学；2. 引导学生通过图形直观理解连续性与可导性的关系；3. 鼓励学生运用所学知识分析实际问题。
教学评估：1. 课堂练习：要求学生完成相关练习题，巩固所学知识；2. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，提高学生的合作能力；3. 课后作业：布置课后作业，检验学生对知识的掌握程度。
教学资源：1. 教学PPT：提供清晰的函数连续性与可导性概念及相关例题；2. 教材：为学生提供丰富的学习资料，加深对知识的理解；3. 网络资源：为学生提供相关的学习网站和视频，拓宽知识面。
教学建议：1. 注重概念的理解，引导学生通过图形直观感受连续性与可导性的关系；2. 加强课后练习，让学生充分运用所学知识分析实际问题；3. 鼓励学生参与课堂讨论，提高学生的积极性和合作能力。
函数的可导性与连续性的关系教案教学内容：六、函数的罗尔定理与连续性、可导性的关系1. 罗尔定理的定义及条件；2. 罗尔定理在连续性和可导性关系中的应用。
七、拉格朗日中值定理与连续性、可导性的关系1. 拉格朗日中值定理的定义及条件；2. 拉格朗日中值定理在连续性和可导性关系中的应用；3. 拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系。
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函数的可导性与连续性的关系教案
教学目的
1．使学生理解函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件．
2．使学生了解左导数和右导数的概念．
教学重点和难点
掌握函数的可导性与连续性的关系．
教学过程
一、复习提问
1．导数的定义是什么？
处连续的定义是什么？
2．函数在点x
处连续必须具备以在学生回答定义基础上，教师进一步强调函数f(x)在点x=x
∴f(x)在点x
处连续．
综合(1)(2)原命题得证．
在复习以上三个问题基础上，直接提出本节课题．先由学生回答函数的可导性与连续性的关系．
二、新课
1．如果函数f(x)在点x
0处可导，那么f(x)在点x
处连续．
∴f(x)在点x
处连续．
处一定可导吗？为什么？若提问：一个函数f(x)在某一点处连续，那么f(x)在点x
不可导，举例说明．
处连续，那么f(x)在该点不一定可导．
如果函数f(x)在点x
例如：函数y=|x|在点x＝0处连续，但在点x=0处不可导．从图2－3看出，曲线y＝f(x)在点O(0，0)处没有切线．
证明：(1)∵Δy=f(0＋Δx)－f(0)＝|0＋Δx|－|0|=|Δx|，
∴函数y=|x|在点x
处是连续的．
2．左导数与右导数的概念．
(2)左、右导数存在且相等是导数存在的充要条件(利用左右极限存在且相等是极限存在的充要条件，可以加以证明，本节不证明)．
(3)函数在一个闭区间上可导的定义．
如果函数y=f(x)在开区间(a，b)可导，在左端点x＝a处存在右导数，在右端点x ＝b处存在左导数，我们就说函数f(x)在闭区间[a，b]上可导．
三、小结
1．函数f(x)在x
0处有定义是f(x)在x
处连续的必要而不充分条件．
2．函数f(x)在x
0处连续是f(x)在x
处有极限的充分而不必要条件．
3．函数f(x)在x
0处连续是f(x)在x
处可导的必要而不充分的条件．
四、布置作业
作业解答的提示：
=f(1)．
∴ f(x)在点x＝1处连续．
∴ f(x)在x=1处不可导．。