四棱台公式以及适用范围

四菱台体积公式及使用范围

四菱台的定义由上下两个平行矩形或者正方形面，竖向四个面均为梯形。四棱台又分为一般四菱台和特殊四菱台。

1、一般四菱台

一般四棱台是由上下两个平行矩形或者正方形面，竖向四个面均为梯形。其公式证明我们使用分割体积法进行体积计算。

如图：

A b D

B a C

b1A1D1

B1a1C1

四个面不一定是等腰梯形。

由分割法可以将此四棱台分割如下所示：

从图中不难看出，四棱台的体积=中心长方体体积+四个三棱柱体积+四个四棱锥体积：

①长方体体积=a×b×H

②四个三棱柱

四个三棱柱可以相对的两个两两拼接成两个三领柱，

三棱柱的体积=底面积×高，如图中横向两个三棱柱拼接可以得出一个三棱柱，此三棱柱高为b，底面积=(a1-a)H/2。

同理可以得出竖向两个三棱柱拼接一个三棱柱，此三棱柱高为a，底面积底面积=(b1-b)H/2。

所以：四个三棱柱体积=b(a1-a)H/2+a(b1-b)H/2

③四个四棱锥

四个四棱锥（如图）左边两个四棱锥可以组合一个新的四棱锥，此新的四棱锥的体积=长×宽×H/3,假设左边的宽假设为X，由以上可以得出：新四棱锥的长为(b1-b)

新四棱锥体积=(b1-b)×X×H/3

同理可以得到右边两个四棱锥，假设右边的宽为Y，由上可以得出：新四棱锥的长为(b1-b)

新四棱锥体积=(b1-b)×Y×H/3

所以，四个四棱锥的体积为：

四个四棱锥体积=(b1-b)×X×H/3+(b1-b)×Y×H/3

=(b1-b)H/3(X+Y)

而（X+Y）=（a1-a）

所以：四个四棱锥体积=(a1-a)(b1-b)H/3

由①②③可以得出：

V=a×b×H+ b(a1-a)H/2+a(b1-b)H/2+(a1-a)(b1-b)H/3

由此得出：

V=H

6

[ab+a1b1+(a1+a)(b+b1)]（通用公式）

2、特殊四菱台

特殊四菱台是由上下两个平行矩形或者正方形面，竖向四个面均为等腰梯形组成。由此可得上下两面的几何中心重合且在正中心，此类特殊四棱台又要分为2类。

2.1、由正四棱锥削掉上面一部分而得到的四菱台

如图：

H1

a b

H2

b1

a1

由正四棱锥的性质可以得到a

b =a1

b1

由以上条件可以的得出：

V =13

（H 1+H 2）×a 1×b 1−1

3

H 1×a ×b,又∵

H 1H 2

=

a a 1−a

∴V =13

（

a a 1−a

×H 2+H 2）×a 1×b 1−

13a

a 1−a

×H 2×a ×b

整理可以得到： V =1

3H 2

a 12

b 1−a 2b

a 1−a

特别注意当a=b ，a 1=b 1的时候，即平行面为正方形时候： V =1

3H 2

a 13−a

3a 1−a =1

3

H 2

a 13−a

3a 1−a

=1

3

H 2

(a 1−a )(a 12+a 1a+a 2)

a 1−a

=1

3

H 2(a 12

+a 1a +a 2) 即V =13

×H 2×（S 2+a 1a+S 12）

2.2、由上下两个平行矩形或者正方形面，竖向四个面均为等腰梯形组成。由条件可以知道：

如下图：

a b

d 1

d b 1

a 1

由条件可知道a 1−a =2d 1，b 1−b =2d ,且a

b ≠

a 1

b 1

如图所作辅助线，四菱台体积等于中间长方体体积加上四个边角四棱锥再加上四个三菱柱。设a 1−a =2d 1，b 1−b =2d ，高为H ：

∴V =abH+Hd

2

a ×2+

Hd 12

b ×2+4×

dd 13

×H

=abH+Had+Hbd 1+43

×

a 1−a

2

×

b 1−b 2

×H

=H

3

[3ab+3ad+3bd1+(a1−a)(b1−b)]

=H

3[3ab+3a b1−b

2

+3b a1−a

2

+(a1−a)(b1−b)]

=H

6

[6ab+3a(b1−b)+3b(a1−a)+2(a1−a)(b1−b)]

=H

6

(6ab+3ab1−3ab+3a1b−3ab+2a1b1−2a1b−2ab1+2ab)

=H

6

(2ab+2a1b1+a1b+ab1)

=H

6

(ab+a1b1+a1b+ab+ab1+a1b1)

=H

6

[ab+a1b1+(a1+a)b+(a+a1)b1]

=H

6

[ab+a1b1+(a1+a)(b+b1)]

得到通用公式：V=H

6

[ab+a1b1+(a1+a)(b+b1)]

而S0为中截面面积，S0=a1+a

2×b+b1

2

所以：V=H

6

[S+S1+4S0]

总结：

由以上可以得知，四棱台是由上下两个平行矩形或者正方形面，竖向四个面均为梯形组成。

V=H

6

[ab+a1b1+(a1+a)(b+b1)]（通用公式）

V=H

6

[S+S1+4S0]（通用公式，S0为中截面面积）

而当有a

b =a1

b1

时，

V=1

3H2a1

2b

1−a2b

a1−a

V=1

3

×H2×（S2+a1a+S12）（上下面为正方形面）

所以四棱台的万能公式为：

V=H

6

[ab+a1b1+(a1+a)(b+b1)]（通用公式）

V=H

6

[S+S1+4S0]（通用公式，S0为中截面面积）