09第9讲第六章 方差分析第一节 方差分析的基本原理与步骤

Ti
356 335 352 323 378 152076.8 442.7 4 442.7 110 .68 4 160.5 s e2 10.7 15 s t2
二、F 分布与 F 检验
设想在一正态总体 N（μ，σ2）中随机抽取样本含量为 n 的样本 k 个，将各样本观测 值整理成表 6-1 的形式。此时的各处理没有真实差异，各处理只是随机分的组。因此，由 上式算出的 S t 和 S e 都是误差方差 的估计量。以 S e 为分母， S t2 为分子，求其比值。
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总变异平方和：
2
07 中药学文（1、2） 《医学生物统计学》 电子教案
SST= x C =152680-152076.8=603.2 组间变异平方和: SSt=
SSe=SST-SSt=603.2-442.7=160.5 进而计算各部分方差：
n C
总自由度=组间(处理间)自由度＋组内(误差)自由度
记作： 将以上公式归纳如下： 总平方和 处理平方和 误差平方和
nk 1 (k 1) k (n 1) DFT=DFt＋DFe
SS T x 2 C Tt C n SS e SS T SS t SS t
总的方差 处理间方差 误差方差
2 2
值表，得 F＞F0.01 =4.89，P＜0.01，表明 5 个不同大豆品种对产量的影响达到极显著差异。 在方差分析中，通常将变异来源、平方和、自由度、均方和 F 值归纳成一张方差分 析表，见表 6-3。
变异来源 组间 组内 总变异 平方和 442.7 160.5 603.28 表2 自由度 4 15 19 表 1 资料方差分析表 F值 方差 110.68 10.34** 10.7 F0.05 3.04 F0.01 4.89

F
f ( F ) dF


因而 F 分布右尾从 F 到+∞的概率为：
P ( F F ) 1 F ( F )
F
f ( F ) dF
附表 F 值表列出的是不同 1 和 2 下，P(F≥ F )=0.05 和 P(F≥ F )=0.01 时的 F 值， 即右尾概率α=0.05 和α=0.01 时的临界 F 值，一般记作 F0.05，F0.01。如查 F 值表，当 v1=3， v2=18 时，F0.05=3.16，F0.01=5.09，表示如以 v1=dft=3，v2=dfe=18 在同一正态总体中连续抽 样，则所得 F 值大于 3.16 的仅为 5%，而大于 5.09 的仅为 1%。
SSt n ( xij x ) 2
1
k
T
n
t
2
C
组内的变异为各组内观测值与组平均数的变异，故每组具有自由度 n 1 和平方 和
(x
1
n
ij
x ) 2 ，而资料共有 k 组，故组内自由度， k (n 1) ，而组内平方和 SSe 为：
k n
SS e ( xij xt ) 2 SST SSt
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吉林农业科技学院 2．F 测验
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F 值表是专门为检验 S t2 代表的总体方差是否比 S e2 代表的总体方差大而设计的。若实
际计算的 F 值大于 F0.05 ( 1 , 2 ) ， 则 F 值在α=0.05 的水平上显著， 我们以 95%的可靠性(即冒 5%的风险)推断 S t2 代表的总体方差大于 S e2 代表的总体方差。这种用 F 值出现概率的大小 推断两个总体方差是否相等的方法称为 F 测验。 在方差分析中所进行的 F 测验目的在于推断处理间的差异是否存在，检验某项变异 因素的效应方差是否为零。因此，在计算 F 值时总是以被测验因素的方差作分子，以误 差方差作分母。应当注意，分母项的正确选择是由方差分析的模型和各项变异原因的期 望均方决定的。 实际进行 F 测验时，是将由试验资料所算得的 F 值与根据 1 df t (大均方，即分子 均方的自由度)、 2 df e (小均方，即分母均方的自由度)查附表 F 值表所得的临界 F 值 F0.05，F0.01 相比较作出统计推断的。 若 F＜F0.05，即 P＞0.05，不能否定 H 0 ，统计学上，把这一测验结果表述为：各处理 间差异不显著，不标记符号；若 F0.05≤F＜F0.01，即 0.01＜P≤0.05，否定 H 0 ，接受 H A ， 统计学上，把这一测验结果表述为：各处理间差异显著，在 F 值的右上方标记“*” ；若 F≥F0.01，即 P≤0.01，否定 H0，接受 HA，统计学上，把这一测验结果表述为：各处理间差 异极显著，在 F 值的右上方标记“**”。 对于[例 6.1]，因为 F= s t s e =25.32/1.43=17.71；根据 1 =dft=4， 2 =dfe=15 查附表 F
1 1
因此，得到表 1 类型资料平方和与自由度的分解式为： 总平方和=组间(处理间)平方和＋组内(误差)平方和
( xij x ) 2 n ( xt x ) 2 ( xij xt ) 2
1 1 i 1 1 1
k
n
k
k
n
记作： 即：
SS T SS t SS e
2
总自由度 处理自由度 误差自由度
2 SS T DFT
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DFT kn 1 DFt k 1 DFe k (n 1)
求得各变异来源的平方和与自由度后，进而求得：
2 sT
SS t2 DFt SS 2 s e2 e DFe s t2
根据以上分析，将表 1 中的数据代入公式中，进一步计算得到：
f（F） （ 1 =2， 2 =5）
（ 1 =8， 2 =20）
（ 1 =4， 2 =10）
F
图 不同自由度下的 F 分布曲线
F 分布的取值范围是（0，+∞） ，其平均值 F =1。 用 f ( F ) 表示 F 分布的概率密度函数，则其分布函数 F ( F ) 为：
F ( F ) P ( F F )
表中的 F 值应与相应的被测验因素齐行。因为经 F 测验差异极显著，故在 F 值 10.34 右上方标记“**”。 在实际进行方差分析时，只须计算出各项平方和与自由度，各项均方的计算及 F 检 验可在方差分析表上进行。
授课内容总结
主要讲授方差分析的基本原理：自由度与平方和的分解、F 检验。
复习思考题：
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第九讲
授课日期: 2009 年 月 日 节课 授课题目：第六章 方差分析 6.1 方差分析的基本原理与步骤 教学目的：了解方差分析的概念和作用；掌握方差分析的基本原理和步骤。 教学重点：试验总变异剖分原理、F 测验。 教学难点：方差分析的基本原理 教学方 法及时 复习提问： 间分配 1.单个总体率假设检验的方法步骤？ 5 2.两个总体率假设检验的方法步骤？ 多媒体 导言： 我们在研究中，经常遇到的是多个样本之间进行比较，这个时候再用 授 课 假设检验的方法就显得麻烦，比较的精度也差了，用什么方法？方差分析。 教 学 进 程 新课内容: 第六章 方差分析
SS T
上式中的 C 称为矫正数：
(x
1
nk
ij
x )2 x2 C
C
( x) 2 nk

T nk
产生总变异的原因可从两方面来分析：一是同一处理不同重复观测值的差异是由偶 然因素影响造成的，即试验误差，又称组内变异；二是不同处理之间平均数的差异主要 是由处理的不同效应所造成，称处理间变异，又称组间变异。因此，总变异可分解为组 间变异和组内变异两部分。 组间的差异即 k 个 x 的变异，故自由度 v k 1 ，而其平方和 SSt 为：
练习方差分析的步骤。
本次课小结： 重点讲授 平方和的分解、自由度的分解、F 分布与 F 检验。 课后总结：
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对一个或两个样本进行平均数的假设测验，可以采用 u 测验或 t 测验来测定它们之 间的差异显著性。而当试验的样本数 k≥3 时，上述方法已不敷应用。其原因是当 k≥3 时，就要进行 k（k-1）/2 次测验比较，不仅工作量大，而且精确度降低。因此，对多个 样本平均数的假设测验，需要采用一种更加适宜的统计方法，即方差分析法。方差分析 法是科学研究工作的一个十分重要的工具。 第一节 方差分析的基本原理与步骤 方差分析（analysis of variance，ANOVA）就是将试验数据的总变异分解为来源于不 同因素的相应变异，并作出数量估计，从而发现各个因素在总变异中所占的重要程度； 即将试验的总变异方差分解成各变因方差，并以其中误差方差作为和其他变因比较的标 准，以推断其他变因所引起变异量是否真实的一种统计分析方法。 一、自由度与平方和分解 方差是平方和除以自由度的商。要将一个试验资料的总变异分解为各个变异来源的 相应变异，首先将总平方和与总自由度分解为各个变异来源的相应部分。因此，平方和 与自由度的分解是方差分析的第一步骤。下面以单因素完全随机试验设计的资料为例说 起。 假设有 k 个处理，每个处理有 n 个观察值，则该试验资料共有 nk 个观察值。 例题 1 考察温度对某药得率的影响，选取 5 种温度，不同温度下各做 4 次试验，结 果如表 1，试问温度对该药的得率有无显著影响？ 表1 某药在不同温度下的得率 60 65 70 75 80 温度（℃） 86 80 83 76 96 89 83 90 71 93 得率（%） 91 88 94 81 95 90 84 85 84 94 356 335 352 323 378 T=1744 总和（%）Ti 89 83.75 88 80.75 94.5 x =87.2 平均（%） x i 首先，对该表格的数据进行分析: 试验总变异：试验有多少个观察值？有几个处理（样本）？回答 5 个，用 k 表示， k=5。每个样本有几个观察值？用 n 表示，n=4，试验共有几个观察值？kn 个观察值。 第 1 页 共 4 页
2 2 2 2
1．F 分布
统计学上把两个方差之比值称为 F 值。 即 F S t2 / S e2 F 具有两个自由度： 1 df t k 1, 2 df e k ( n 1) 。 F 值所具有的概率分布称为 F 分布。F 分布密度曲线是随自由度 df1、df2 的变化而变 化的一簇偏态曲线，其形态随着 df1、df2 的增大逐渐趋于对称，如下图所示。
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那么变异用什么表示？用方差表示，而方差是平方和除以自由度的商。 要将一个试验资料的总变异分解为各个变异来源的相应变异，首先将总平方和与总 自由度分解为各个变异来源的相应部分。因此，平方和与自由度的分解是方差分析的第 一步骤。下面以上面的单因素完全随机试验设计的资料为例说起。 表 1 中，总变异是 20（nk）个观测值的变异，故其自由度 =nk-1=20-1=19，而其平 方和 SST 则为：